（新课衔接站）专题02 等式的性质-2024-2025学年苏教版数学五年级寒假学习培优真题讲练讲义（学生版+教师版）

2024-2025学年苏教版数学五年级寒假学习培优讲义（新课衔接） 专题02 等式的性质 （导图+5个知识点+3个易错点+7个考点讲练+拔尖训练） 目录 导图知识荟萃 2 新知预习强化 2 知识点01：等式的基本性质 2 知识点02：等式的运算律 2 知识点03：等式的变形与求解 3 知识点04：等式的应用 3 知识点05：注意事项 3 易错知识指引 3 易错知识点01：对等式性质理解的易错 3 易错知识点02：等式变形与求解的易错 4 易错知识点03：等式应用的易错 4 考点培优讲练 4 考点1：等式的认识及列等量关系式 4 考点2：等式的性质1 5 考点3：等式的性质2 6 考点4：应用等式的性质1解方程 7 考点5：应用等式的性质2解方程 8 考点6：综合应用等式的性质1和性质2解方程 9 考点7：解含括号的方程 10 真题汇编拔尖练 11 知识点01：等式的基本性质 1. 等式的定义：等式是表示两个量或两个代数式相等关系的式子，用等号“=”连接。 2. 等式的性质1（加法性质） 如果等式两边同时加上（或减去）同一个数或同一个代数式，那么所得的结果仍然是等式。 即，若a = b，则a + c = b + c（或a - c = b - c），其中c为任意实数或代数式。 3. 等式的性质2（乘法性质）： 如果等式两边同时乘以（或除以）同一个非零数，那么所得的结果仍然是等式。 即，若a = b，则ac = bc（或a/c = b/c），其中c为任意非零实数。 知识点02：等式的运算律 1. 交换律：在等式中，加法满足交换律，即a + b = b + a；乘法也满足交换律，即ab = ba。 2. 结合律：在等式中，加法满足结合律，即(a + b) + c = a + (b + c)；乘法也满足结合律，即(ab)c = a(bc)。 3. 分配律：在等式中，乘法对加法满足分配律，即a(b + c) = ab + ac。 知识点03：等式的变形与求解 1. 移项：利用等式的性质，可以将等式一边的某一项移到另一边，同时改变其符号（加变减，减变加；乘变除，除变乘）。 2. 合并同类项：在等式中，可以将含有相同字母且相同次数的项合并，即合并同类项。 3. 求解未知数：通过等式的变形和运算律，可以求解等式中的未知数。 知识点04：等式的应用 1. 解决实际问题：等式广泛应用于解决实际问题，如工程问题、经济问题、物理问题等。通过建立等式模型，可以求解未知量。 2. 方程的建立与求解：方程是含有未知数的等式。通过利用等式的性质，可以建立并求解方程，得到未知数的值。 知识点05：注意事项 1. 等式的书写规范：等式应书写清晰、规范，避免使用模糊或易混淆的符号和表达式。 2. 等式的运算顺序：在进行等式的运算时，应遵循数学中的运算顺序规则（先乘除后加减，有括号先算括号内的）。 3. 等式的解的唯一性：在没有额外条件的情况下，一个等式通常有一个唯一的解（对于某些特殊情况，如方程无解或多解的情况，需要额外分析）。 易错知识点01：对等式性质理解的易错 1. 混淆等式性质与运算律： 易错点：学生可能将等式的性质与运算律混淆，如错误地认为交换律是等式的一个性质。 正确理解：等式的性质主要指的是等式两边进行相同运算后，等式仍然成立；而运算律是数学中基本的运算规则，如加法交换律、乘法分配律等，它们虽然可以用于等式的变形，但本身并不属于等式的性质。 2. 对等式性质应用条件的忽视： 易错点：学生在应用等式性质时，可能忽视了一些重要的条件，如等式两边同时乘以或除以同一个非零数。 正确理解：在应用等式性质时，必须注意等式两边进行的是相同的运算，且对于乘法或除法运算，必须保证所乘或所除的数是非零的。 易错知识点02：等式变形与求解的易错 1. 移项操作不当： 易错点：学生在移项时，可能未能正确地将项从等式的一边移到另一边，并相应地改变其符号。 正确做法：移项时，要确保项的符号发生变化（正变负，负变正），并正确地将其移到等式的另一边。 2. 合并同类项错误： 易错点：学生在合并同类项时，可能未能准确识别出哪些项是同类项，或者未能正确地进行合并。 正确做法：合并同类项时，要仔细识别出含有相同字母且相同次数的项，并将它们的系数相加或相减。 3. 求解未知数时运算顺序错误： 易错点：学生在求解未知数时，可能未能按照正确的运算顺序进行计算，导致结果错误。 正确做法：求解未知数时，应遵循数学中的运算顺序规则（先乘除后加减，有括号先算括号内的），确保计算的准确性。 易错知识点03：等式应用的易错 1. 未能准确理解题意： 易错点：学生在应用等式解决实际问题时，可能未能准确理解题意，导致建立的等式不正确。 正确做法：仔细阅读题目，明确题目中的已知条件和未知量，根据数量关系准确建立等式。 2. 对方程解的验证不足： 易错点：在得到等式的解后，学生可能未能充分验证解的正确性。 正确做法：将得到的解代入原等式进行验证，确保等式两边相等。 考点1：等式的认识及列等量关系式 【典例精讲】（23-24五年级下·江苏·课后作业）先写出每题的数量关系，再列出方程。 爸爸去买音箱，用了288元，还剩下162元。爸爸原来带了多少元钱？ ____________＝剩下的钱数 【变式1】（23-24五年级下·江苏连云港·期末） 小梅和爸爸今年各是多少岁？（先把数量关系式填写完整，再用方程解答） （    ）－（    ）＝28岁 【变式2】（23-24五年级下·山西大同·期末）李萍利用假期阅读了我国四大名著之一《西游记》。少儿版全书共263页，她每天坚持读40页，几天后还剩63页，李萍已经读了多少天？以下等量关系中，不符合题意的是（    ）。 A．总页数－每天读的页数×已读的天数＝还剩的页数 B．总页数－还剩的页数＝每天读的页数×已读的天数 C．每天读的页数×已读的天数＝总页数 D．每天读的页数×已读的天数＋还剩的页数＝总页数 【变式3】（2024五年级下·江苏·专题练习）猎豹追捕猎物时的速度大约是优秀短跑运动员百米赛跑速度的3倍，每秒大约比运动员多跑20米。优秀短跑运动员每秒大约跑多少米？猎豹呢？ 从以上条件中，可以找到两个等量关系式，分别是：①( )②( )。 如果设( )每秒大约跑米，就可以列出方程：( )。 考点2：等式的性质1 【典例精讲】（23-24五年级下·江苏·课后作业）考考你。 亮亮买了2本笔记本和4支铅笔，红红买了14支同样的铅笔，两人用去的钱同样多。一本笔记本的价钱等于( )支铅笔的价钱。 【变式1】（23-24五年级下·山西大同·期末）下列各方程中，（    ）的解与2.5x－1＝6的解不同。 A．2.5x＝7 B．2.5x－2＝5 C．2.5x＋2＝9 D．5x－1＝12 【变式2】（21-22五年级下·江苏·单元测试）如果x＋2.5＝7.5，那么4.2x＝( )；如果x÷1.5＝5，那么x－0.3＝( )。 【变式3】（21-22五年级下·广西防城港·阶段练习）根据等式的性质在○里填上运算符号，在□里填上合适的数。 x＋50＝73                     0.6x＝5.4 x＋50－50＝73○□            0.6x÷0.6＝5.4○□ 考点3：等式的性质2 【典例精讲】（23-24五年级下·江苏连云港·期末）小亮家和小林家相距800米，他们同时从自己家出发，相向而行。小亮走的速度是82米/分钟，小林走的速度是78米/分。 （1）估计两人会在何处相遇？在上面的图中用“●”标一标。   （2）相遇时他们都走了几分钟？（用方程解答） 【变式1】（23-24六年级下·江苏·课后作业）根据等式的性质在括号里填上适当的符号和数。 (1)如果x＋4.5＝16.5，那么x＋4.5－4.5＝16.5( )。 (2)如果x－15＝25.6，那么x－15( )＝25.6＋15。 (3)如果4x＝7.2，那么4x÷4＝7.2( )。 (4)如果x÷5＝2.5，那么x÷5( )＝2.5×5。 【变式2】（23-24五年级下·江苏·课后作业）认真看图，细心填空。     x＝20              2x＝20×( )         2x÷2＝40÷( ) 我发现：等式两边同时乘或除以( )，所得结果仍然是等式。这也是等式的性质。 【变式3】（22-23五年级下·山西临汾·期中）下面的说法中，正确的有（    ）个。 ①方程都是等式，所以等式也都是方程。     ②方程1＋0.25y＝2.5的解是y＝6。 ③如果a＋6＝b－1，那么a＞b。            ④等式两边同时除以同一个数，等式仍然成立。 A．1 B．2 C．3 D．4 考点4：应用等式的性质1解方程 【典例精讲】（20-21五年级下·广西防城港·期中）解方程。 x＋15＝60        9.7－x＝3.6            130＋6x＝178 x÷13＝20        21x－14x＝175         2.2x－1.5×2＝5.8 【变式1】（23-24五年级下·江苏·课后作业）解方程。 x－47＝74           27x＋31x＝145            2.5x－0.5×8＝6 【变式2】（23-24五年级下·江苏·课后作业）在括号里找出方程的解，并在下面画横线。 （1）x＋17＝33（x＝16，x＝50）    （2）x－4.2＝4.2（x＝0，x＝8.4） （3）x－64＝19（x＝83，x＝45）    （4）19.3＋x＝26.4（x＝7.1，x＝45.7） 【变式3】（23-24五年级下·江苏·课后作业）根据等式的性质在里填运算符号，在里填数。 （1）x＋20＝30 解：x＋20－20＝30→运用了（    ） x＝→方程的解 （2）x－2.6＝3.7 解：x－2.6＋2.6＝3.7 x＝ 考点5：应用等式的性质2解方程 【典例精讲】（20-21五年级下·江苏泰州·期末）解方程。 3.8＝15.2            9.5－5.3＝12.6           4.2÷7＝12.6 【变式1】（23-24五年级下·江苏徐州·期中）解方程。                 【变式2】（23-24五年级下·山西临汾·期末）解方程。 0.2x－4.8＝13.2           6.6x＋3.8x＝31.2           16×0.5＋3x＝14 【变式3】（22-23五年级下·江苏淮安·期末）解方程 x÷0.9＝2.8                     4x－20＝8 7.2x＋1.8x＝270                 9x＋75＝156 考点6：综合应用等式的性质1和性质2解方程 【典例精讲】（23-24五年级下·江苏苏州·期末）解方程。 ①    ②    ③ 【变式1】（2024五年级下·江苏·专题练习）解方程。                        【变式2】（23-24五年级下·江苏淮安·期中）用蓝、白两色的正六边形按下图的规律拼成若干个图案。 (1)拼第4个图案需要( )个白色的正六边形。 (2)拼第( )个图案需要51个白色的正六边形。 【变式3】（23-24五年级下·江苏淮安·期中）解方程。 （1）2x－2.9×2＝4.2            （2）36－x＝2.5 （3）0.8x÷4＝2.5                （4）x－0.9x＝1.8 考点7：解含括号的方程 【典例精讲】（21-22五年级下·江苏盐城·期中）解方程。                                             【变式1】（23-24五年级下·江苏扬州·期中）解方程。 1.4－＝5.6              4－0.5＝4.2          4÷5＝16 －5.8＋4.2＝15.8        （－26）×6＝210        0.9－0.3×15＝11.7 【变式2】（20-21五年级下·江苏盐城·期中）解下列方程。 55＋x＝152         2.3x＋0.9x＝16        0.45x－4.5×6＝45 x÷2.4＝1.5         x－0.36＋1.24＝9           2（x－3.6）＝8.2 【变式3】（20-21五年级下·江苏盐城·期中）解方程。 8x＝4          （x－18）÷5＝2.4          0.4x－1.2×5＝6 6.4x－x＝32.4          4x＋3×0.7＝6.5          2x－6＋3.6＝11.2 一．选择题 1．（2024秋•芝罘区期末）如果，根据等式的性质，经过变形后，下列等式错误的是　　 A． B． C． D． 2．（2024春•项城市期末）当的值为____时，与相等。　　 A．3.5 B．6 C．5 3．（2024春•郏县期中）已知，根据等式的性质，下面的等式不成立的是　　 A． B． C． D． 4．（2023春•雨花台区期末）根据等式的性质，，均不为，下面的等式　　不成立。 A． B． C． D． 二．填空题 5．（2024春•贵阳期末）在□中，方程的解是，那么□中，是 　　。 6．（2024春•郸城县期中）如果，那么　　。如果，那么　　。 7．（2023春•义乌市期末）把写成，结果与原来相差 　　；如果，，则　　。 三．判断题 8．（2024春•岳池县期末）如果，那么。 　　（判断对错） 9．（2024春•隆回县期中）是方程的解． 　　．（判断对错） 10．（2022春•海口期中）7.5比的3倍多3，列方程是．　　（判断对错） 四．计算题（ 11．（2024春•东坡区期末）解方程。 ① ② ③ 12．（2024秋•芝罘区期末）解方程。 13．（2024春•武陟县期末）解方程。 14．（2024春•青原区期末）解方程。 五．解答题 15．（2024春•项城市期末）列方程，并求解。 （1）一个数的3.5倍是70，这个数是多少？ （2）一个数乘0.8等于8个2.4相加的和，这个数是多少？ 16．（2022秋•临清市期末）解方程 ． 17．（2023春•丹阳市校级期末）解方程。 18．（2022秋•垣曲县期末）解方程． （1） （2） （3） （4）． 19．（2022春•广陵区期末）解方程。 20．（2022春•沈丘县期中）解方程。 21．（2022春•鹿邑县月考）根据等式的性质在〇里填运算符号，在□里填数。 （1） 〇□ （2） 〇□ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏教版数学五年级寒假学习培优讲义（新课衔接） 专题02 等式的性质 （导图+5个知识点+3个易错点+7个考点讲练+拔尖训练） 目录 导图知识荟萃 2 新知预习强化 2 知识点01：等式的基本性质 2 知识点02：等式的运算律 2 知识点03：等式的变形与求解 3 知识点04：等式的应用 3 知识点05：注意事项 3 易错知识指引 3 易错知识点01：对等式性质理解的易错 3 易错知识点02：等式变形与求解的易错 4 易错知识点03：等式应用的易错 4 考点培优讲练 4 考点1：等式的认识及列等量关系式 4 考点2：等式的性质1 7 考点3：等式的性质2 9 考点4：应用等式的性质1解方程 12 考点5：应用等式的性质2解方程 15 考点6：综合应用等式的性质1和性质2解方程 19 考点7：解含括号的方程 22 真题汇编拔尖练 27 知识点01：等式的基本性质 1. 等式的定义：等式是表示两个量或两个代数式相等关系的式子，用等号“=”连接。 2. 等式的性质1（加法性质） 如果等式两边同时加上（或减去）同一个数或同一个代数式，那么所得的结果仍然是等式。 即，若a = b，则a + c = b + c（或a - c = b - c），其中c为任意实数或代数式。 3. 等式的性质2（乘法性质）： 如果等式两边同时乘以（或除以）同一个非零数，那么所得的结果仍然是等式。 即，若a = b，则ac = bc（或a/c = b/c），其中c为任意非零实数。 知识点02：等式的运算律 1. 交换律：在等式中，加法满足交换律，即a + b = b + a；乘法也满足交换律，即ab = ba。 2. 结合律：在等式中，加法满足结合律，即(a + b) + c = a + (b + c)；乘法也满足结合律，即(ab)c = a(bc)。 3. 分配律：在等式中，乘法对加法满足分配律，即a(b + c) = ab + ac。 知识点03：等式的变形与求解 1. 移项：利用等式的性质，可以将等式一边的某一项移到另一边，同时改变其符号（加变减，减变加；乘变除，除变乘）。 2. 合并同类项：在等式中，可以将含有相同字母且相同次数的项合并，即合并同类项。 3. 求解未知数：通过等式的变形和运算律，可以求解等式中的未知数。 知识点04：等式的应用 1. 解决实际问题：等式广泛应用于解决实际问题，如工程问题、经济问题、物理问题等。通过建立等式模型，可以求解未知量。 2. 方程的建立与求解：方程是含有未知数的等式。通过利用等式的性质，可以建立并求解方程，得到未知数的值。 知识点05：注意事项 1. 等式的书写规范：等式应书写清晰、规范，避免使用模糊或易混淆的符号和表达式。 2. 等式的运算顺序：在进行等式的运算时，应遵循数学中的运算顺序规则（先乘除后加减，有括号先算括号内的）。 3. 等式的解的唯一性：在没有额外条件的情况下，一个等式通常有一个唯一的解（对于某些特殊情况，如方程无解或多解的情况，需要额外分析）。 易错知识点01：对等式性质理解的易错 1. 混淆等式性质与运算律： 易错点：学生可能将等式的性质与运算律混淆，如错误地认为交换律是等式的一个性质。 正确理解：等式的性质主要指的是等式两边进行相同运算后，等式仍然成立；而运算律是数学中基本的运算规则，如加法交换律、乘法分配律等，它们虽然可以用于等式的变形，但本身并不属于等式的性质。 2. 对等式性质应用条件的忽视： 易错点：学生在应用等式性质时，可能忽视了一些重要的条件，如等式两边同时乘以或除以同一个非零数。 正确理解：在应用等式性质时，必须注意等式两边进行的是相同的运算，且对于乘法或除法运算，必须保证所乘或所除的数是非零的。 易错知识点02：等式变形与求解的易错 1. 移项操作不当： 易错点：学生在移项时，可能未能正确地将项从等式的一边移到另一边，并相应地改变其符号。 正确做法：移项时，要确保项的符号发生变化（正变负，负变正），并正确地将其移到等式的另一边。 2. 合并同类项错误： 易错点：学生在合并同类项时，可能未能准确识别出哪些项是同类项，或者未能正确地进行合并。 正确做法：合并同类项时，要仔细识别出含有相同字母且相同次数的项，并将它们的系数相加或相减。 3. 求解未知数时运算顺序错误： 易错点：学生在求解未知数时，可能未能按照正确的运算顺序进行计算，导致结果错误。 正确做法：求解未知数时，应遵循数学中的运算顺序规则（先乘除后加减，有括号先算括号内的），确保计算的准确性。 易错知识点03：等式应用的易错 1. 未能准确理解题意： 易错点：学生在应用等式解决实际问题时，可能未能准确理解题意，导致建立的等式不正确。 正确做法：仔细阅读题目，明确题目中的已知条件和未知量，根据数量关系准确建立等式。 2. 对方程解的验证不足： 易错点：在得到等式的解后，学生可能未能充分验证解的正确性。 正确做法：将得到的解代入原等式进行验证，确保等式两边相等。 考点1：等式的认识及列等量关系式 【典例精讲】（23-24五年级下·江苏·课后作业）先写出每题的数量关系，再列出方程。 爸爸去买音箱，用了288元，还剩下162元。爸爸原来带了多少元钱？ ____________＝剩下的钱数 【答案】原来的钱数－用去的钱数；x－288＝162 【思路点拨】把爸爸原来带的钱数设为未知数，原来带的钱数－买音箱用去的钱数＝买完音箱剩下的钱数，据此列方程解答。 【规范解答】数量关系：原来的钱数－用去的钱数＝剩下的钱数 解：设爸爸原来带了x元。 x－288＝162 x＝162＋288 x＝450 答：爸爸原来带了450元。 【变式1】（23-24五年级下·江苏连云港·期末） 小梅和爸爸今年各是多少岁？（先把数量关系式填写完整，再用方程解答） （    ）－（    ）＝28岁 【答案】 爸爸的年龄－小梅的年龄＝28岁 小梅10岁；爸爸38岁 【思路点拨】设小梅今年为x岁，则爸爸今年是3.8x岁，由题意可知，爸爸的年龄－小梅的年龄＝28岁，据此列方程计算即可。 【规范解答】根据数量关系式：爸爸的年龄－小梅的年龄＝28岁 解：设小梅今年为x岁，则爸爸今年是3.8x岁。 （岁） 答：小梅今年是10岁，爸爸今年是38岁。 【变式2】（23-24五年级下·山西大同·期末）李萍利用假期阅读了我国四大名著之一《西游记》。少儿版全书共263页，她每天坚持读40页，几天后还剩63页，李萍已经读了多少天？以下等量关系中，不符合题意的是（    ）。 A．总页数－每天读的页数×已读的天数＝还剩的页数 B．总页数－还剩的页数＝每天读的页数×已读的天数 C．每天读的页数×已读的天数＝总页数 D．每天读的页数×已读的天数＋还剩的页数＝总页数 【答案】C 【思路点拨】根据题意可得等式1：总页数－看了的页数＝还剩的页数，等式2：看了的页数＝每天读的页数×已读的天数，将等式2代入到等式1，可得等式3：总页数－每天读的页数×已读的天数＝还剩的页数。据此逐项判断即可。 【规范解答】A．总页数－每天读的页数×已读的天数＝还剩的页数，该选项符合题意。 B．总页数－还剩的页数＝看了的页数，该选项符合题意。 C．总页数≠看了的页数，该选项不符合题意。 D．看了的页数＋还剩的页数＝总页数，该选项符合题意。 故答案为：C 【变式3】（2024五年级下·江苏·专题练习）猎豹追捕猎物时的速度大约是优秀短跑运动员百米赛跑速度的3倍，每秒大约比运动员多跑20米。优秀短跑运动员每秒大约跑多少米？猎豹呢？ 从以上条件中，可以找到两个等量关系式，分别是：①( )②( )。 如果设( )每秒大约跑米，就可以列出方程：( )。 【答案】 优秀运动员的百米速度×3＝猎豹的速度 猎豹的速度－短跑运动员的速度＝20米 优秀短跑运动员 【思路点拨】根据题意，可以找到两个等量关系式，分别是：①优秀运动员的百米速度猎豹的速度  ②猎豹的速度短跑运动员的速度米（答案不唯一） 如果设优秀短跑运动员每秒大约跑米，据此列方程解答。 【规范解答】两个等量关系式，分别是： ①优秀运动员的百米速度×3＝猎豹的速度  ②猎豹的速度－短跑运动员的速度＝20米（答案不唯一） 如果设优秀短跑运动员每秒大约跑米，就可以列方程： 或 考点2：等式的性质1 【典例精讲】（23-24五年级下·江苏·课后作业）考考你。 亮亮买了2本笔记本和4支铅笔，红红买了14支同样的铅笔，两人用去的钱同样多。一本笔记本的价钱等于( )支铅笔的价钱。 【答案】5 【思路点拨】根据题意可知，2本笔记本的价钱＋4支铅笔的价钱＝14支铅笔的价钱，根据等式的性质1，等式两边同时减去4支铅笔的价钱，再根据等式的性质2，等式两边同时除以2，即可求出一本笔记本的价钱等于几支铅笔的价钱。 【规范解答】2本笔记本的价钱＋4支铅笔的价钱＝14支铅笔的价钱 2本笔记本的价钱＋4只铅笔的价钱－4支铅笔的价钱＝14支铅笔的价钱－4支铅笔的价钱 2本笔记本的价钱＝10支铅笔的价钱 2本笔记本的价钱÷2＝10支铅笔的价钱÷2 1本笔记本的价钱＝5支铅笔的价钱。 亮亮买了2本笔记本和4支铅笔，红红买了14支同样的铅笔，两人用去的钱同样多。一本笔记本的价钱等于5支铅笔的价钱。 【变式1】（23-24五年级下·山西大同·期末）下列各方程中，（    ）的解与2.5x－1＝6的解不同。 A．2.5x＝7 B．2.5x－2＝5 C．2.5x＋2＝9 D．5x－1＝12 【答案】D 【思路点拨】等式的性质：（1）等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式； （2）等式两边同时乘或除以同一个不为0点数，所得结果还是等式。 据此把原方程和选项中的方程进行比较即可解答。 【规范解答】A．把方程2.5x－1＝6的左右两边同时加上1可得：2.5x＝7，则2.5x＝7的解与2.5x－1＝6的解相同； B．把方程2.5x－1＝6的左右两边同时减去1可得：2.5x－2＝5，则2.5x－2＝5的解与2.5x－1＝6的解相同； C．把方程2.5x－1＝6的左右两边同时加上3可得：2.5x＋2＝9，则2.5x＋2＝9的解与2.5x－1＝6的解相同； D．把方程2.5x－1＝6的左右两边同时乘2可得：5x－2＝12，则5x－2＝12的解与2.5x－1＝6的解相同，而5x－1＝12的解与2.5x－1＝6的解不同。 故答案为：D 【变式2】（21-22五年级下·江苏·单元测试）如果x＋2.5＝7.5，那么4.2x＝( )；如果x÷1.5＝5，那么x－0.3＝( )。 【答案】 21 7.2 【思路点拨】x＋2.5＝7.5，根据等式的性质1，方程两边同时减去2.5，求出方程x的解；再把方程的解代入4.2x式子中，求出4.2x的值； x÷1.5＝5，根据等式的性质2，方程两边同时乘1.5，求出方程x的解，再把方程的解带入x－0.3的式子中，求出x－0.3的值。 【规范解答】x＋2.5＝7.5 解：x＝7.5－2.5 x＝5 把x＝5带入4.2x式子： 4.2×5＝21 x÷1.5＝5 解：x＝5×1.5 x＝7.5 把x＝7.5带入x－0.3式子中： 7.5－0.3＝7.2 【考点评析】利用等式的性质1和2，求出方程的解，再根据含有字母式子的化简与求值的知识进行解答。 【变式3】（21-22五年级下·广西防城港·阶段练习）根据等式的性质在○里填上运算符号，在□里填上合适的数。 x＋50＝73                     0.6x＝5.4 x＋50－50＝73○□            0.6x÷0.6＝5.4○□ 【答案】－；50；÷；0.6 【思路点拨】利用等式的性质1可知，方程左右两边减去50，所得结果还是等式；利用等式的性质2可知，方程左右两边同时除以0.6，所得结果还是等式。 【规范解答】x＋50＝73 x＋50－50＝73－50 0.6x＝5.4 0.6x÷0.6＝5.4÷0.6 【考点评析】此题的解题关键是利用等式的性质1和等式的性质2得出结果。 考点3：等式的性质2 【典例精讲】（23-24五年级下·江苏连云港·期末）小亮家和小林家相距800米，他们同时从自己家出发，相向而行。小亮走的速度是82米/分钟，小林走的速度是78米/分。 （1）估计两人会在何处相遇？在上面的图中用“●”标一标。   （2）相遇时他们都走了几分钟？（用方程解答） 【答案】（1）见详解 （2）5分钟 【思路点拨】（1）由题意可知，小亮的速度快一些，相同的时间，他走的路程应该也长一些，所以两人相遇的地点应该在中点再偏向小林家一些。 （2）根据，设相遇时他们都走了x分钟，则小亮走的路程是（82x）米，小林走的路程是（78x）米，根据等量关系式：小亮走的路程＋小林走的路程＝800，列方程解答即可。 【规范解答】（1）据分析作图如下： （2）解：设相遇时他们都走了x分钟，则小亮走的路程是（82x）米，小林走的路程是（78x）米。 答：相遇时他们都走了5分钟。 【变式1】（23-24六年级下·江苏·课后作业）根据等式的性质在括号里填上适当的符号和数。 (1)如果x＋4.5＝16.5，那么x＋4.5－4.5＝16.5( )。 (2)如果x－15＝25.6，那么x－15( )＝25.6＋15。 (3)如果4x＝7.2，那么4x÷4＝7.2( )。 (4)如果x÷5＝2.5，那么x÷5( )＝2.5×5。 【答案】(1)－4.5 (2)＋15 (3)÷4 (4)×5 【思路点拨】等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式。 等式的性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果还是等式。 （1）根据等式的性质1，等式的左边减去4.5，右边也要减去4.5； （2）根据等式的性质1，等式的右边加上15，左边也要加上15； （3）根据等式的性质2，等式的左边除以4，右边也要除以4； （4）根据等式的性质2，等式的右边乘5，左边也要乘5； 【规范解答】（1）如果x＋4.5＝16.5，那么x＋4.5－4.5＝16.5－4.5。 （2）如果x－15＝25.6，那么x－15＋15＝25.6＋15。 （3）如果4x＝7.2，那么4x÷4＝7.2÷4。 （4）如果x÷5＝2.5，那么x÷5×5＝2.5×5。 【变式2】（23-24五年级下·江苏·课后作业）认真看图，细心填空。     x＝20              2x＝20×( )         2x÷2＝40÷( ) 我发现：等式两边同时乘或除以( )，所得结果仍然是等式。这也是等式的性质。 【答案】 2 2 同一个不是0的数 【思路点拨】 观察天平，x＝20，左边×2，右边也乘2，左边除以2，右边也除以2，两边依然相等，即等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果还是等式，这就是等式的性质2。 【规范解答】x＝20              2x＝20×2         2x÷2＝40÷2 等式两边同时乘或除以同一个不是0的数，所得结果仍然是等式。这也是等式的性质。 【变式3】（22-23五年级下·山西临汾·期中）下面的说法中，正确的有（    ）个。 ①方程都是等式，所以等式也都是方程。     ②方程1＋0.25y＝2.5的解是y＝6。 ③如果a＋6＝b－1，那么a＞b。            ④等式两边同时除以同一个数，等式仍然成立。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【思路点拨】①含未知数的等式叫做方程，所以方程都是等式，但是等式不一定是方程；②根据等式的性质1和2，将方程左右两边同时减去1，再同时除以0.25，即可求出y的值；③根据等式的性质1，将方程左右两边同时加上1，可得a＋7＝b，可得a＜b；④等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。据此判断即可。 【规范解答】①方程都是等式，但是等式不一定是方程；例如： 1＋2＝3是等式，但是不是方程；原题说法错误； ②1＋0.25y＝2.5 解：1＋0.25y－1＝2.5－1 0.25y＝1.5 0.25y÷0.25＝1.5÷0.25 y＝6 方程1＋0.25y＝2.5的解是y＝6，原题说法正确； ③a＋6＝b－1 解：a＋6＋1＝b－1＋1 a＋7＝b a＋7＞a 所以b＞a 原题干说法错误； ④等式两边除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。原题说法错误。 正确的有②，共1个。 故答案为：A 【考点评析】本题考查了方程的认识、方程的解以及等式的性质1和2的应用。 考点4：应用等式的性质1解方程 【典例精讲】（20-21五年级下·广西防城港·期中）解方程。 x＋15＝60        9.7－x＝3.6            130＋6x＝178 x÷13＝20        21x－14x＝175         2.2x－1.5×2＝5.8 【答案】x＝45；x＝6.1；x＝8； x＝260；x＝25；x＝4 【思路点拨】x＋15＝60，等式两边同时减15，方程得解； 9.7－x＝3.6，等式两边同时加x后，得方程3.6＋x＝9.7，两边再同时减3.6，方程得解； 130＋6x＝178，等式两边同时减130后，两边再同时除以6，方程得解； x÷13＝20，等式两边同时乘13，方程得解； 21x－14x＝175，合并未知数后得7x＝175，等式两边同时除以7，方程得解； 2.2x－1.5×2＝5.8，先计算方程中算术运算得2.2x－3＝5.8，等式两边同时加3后再同时除以2.2，方程得解。 【规范解答】x＋15＝60 解：x＋15－15＝6015 x＝45 9.7－x＝3.6 解：9.7－x＋x＝3.6＋x 3.6＋x＝9.7 3.6＋x－3.6＝9.7－3.6 x＝6.1 130＋6x＝178 解：130＋6x－130＝178－130 6x＝48 6x÷6＝48÷6 x＝8 x÷13＝20 解：x÷13×13＝20×13 x＝260 21x－14x＝175 解：7x＝175 7x÷7＝175÷7 x＝25 2.2x－1.5×2＝5.8 解：2.2x－3＝5.8 2.2x－3＋3＝5.8＋3 2.2x＝8.8 2.2x÷2.2＝8.8÷2.2 x＝4 【变式1】（23-24五年级下·江苏·课后作业）解方程。 x－47＝74           27x＋31x＝145            2.5x－0.5×8＝6 【答案】x＝121；x＝2.5；x＝4 【思路点拨】 （1）根据等式的性质1，方程的左右两边同时加47，解出x； （2）先计算方程左边的加法，27x＋31x＝58x，根据等式的性质2，方程的左右两边同时除以58，解出x； （3）计算出0.5×8＝4，根据等式的性质1，方程的左右两边同时加4，再根据等式的性质2，方程的左右两边同时除以2.5，解出x； 【规范解答】x－47＝74 解：x－47＋47＝74＋47 x＝121 27x＋31x＝145 解：58x＝145 58x÷58＝145÷58 x＝2.5 2.5x－0.5×8＝6 解：2.5x－4＝6 2.5x＝10 2.5x÷2.5＝10÷2.5 x＝4 【变式2】（23-24五年级下·江苏·课后作业）在括号里找出方程的解，并在下面画横线。 （1）x＋17＝33（x＝16，x＝50）    （2）x－4.2＝4.2（x＝0，x＝8.4） （3）x－64＝19（x＝83，x＝45）    （4）19.3＋x＝26.4（x＝7.1，x＝45.7） 【答案】（1）（2）（3）（4）见详解 【思路点拨】 （1）等式的性质，方程两边同时减去17即可； （2）等式的性质，方程两边同时加上4.2即可； （3）等式的性质，方程两边同时加上64即可； （4）等式的性质，方程两边同时减去19.3即可。 【规范解答】 （1）x＋17＝33 解：x＋17－17＝33－17 x＝16 （2）x－4.2＝4.2 解：x－4.2＋4.2＝4.2＋4.2 x＝8.4 （3）x－64＝19 解：x－64＋64＝19＋64 x＝83 （4）19.3＋x＝26.4 解：19.3＋x－19.3＝26.4－19.3 x＝7.1 （1）x＋17＝33（x＝16，x＝50） （2）x－4.2＝4.2（x＝0，x＝8.4） （3）x－64＝19（x＝83，x＝45） （4）19.3＋x＝26.4（x＝7.1，x＝45.7） 【变式3】（23-24五年级下·江苏·课后作业）根据等式的性质在里填运算符号，在里填数。 （1）x＋20＝30 解：x＋20－20＝30→运用了（    ） x＝→方程的解 （2）x－2.6＝3.7 解：x－2.6＋2.6＝3.7 x＝ 【答案】（1）－；20；等式的性质；10 （2）＋；2.6；6.3 【思路点拨】 根据等式的性质：等式的两边同时加或减同一个数，等式仍然成立。据此解答即可。 【规范解答】 （1）x＋20＝30 解：x＋20－20＝30－20→运用了（等式的性质） x＝10→方程的解 （2）x－2.6＝3.7 解：x－2.6＋2.6＝3.7＋2.6 x＝6.3 考点5：应用等式的性质2解方程 【典例精讲】（20-21五年级下·江苏泰州·期末）解方程。 3.8＝15.2            9.5－5.3＝12.6           4.2÷7＝12.6 【答案】＝4；＝3；＝21 【思路点拨】根据等式的性质解方程。 （1）方程两边同时除以3.8，求出方程的解； （2）先把方程化简成4.2＝12.6，然后方程两边同时除以4.2，求出方程的解； （3）先把方程化简成0.6＝12.6，然后方程两边同时除以0.6，求出方程的解。 【规范解答】（1）3.8＝15.2 解：3.8÷3.8＝15.2÷3.8 ＝4 （2）9.5－5.3＝12.6 解：4.2＝12.6 4.2÷4.2＝12.6÷4.2 ＝3 （3）4.2÷7＝12.6 解：0.6＝12.6 0.6÷0.6＝12.6÷0.6 ＝21 【变式1】（23-24五年级下·江苏徐州·期中）解方程。                 【答案】x＝2.5；x＝5； x＝2700；x＝6 【思路点拨】（1）先将27x＋31x求和，然后在方程两边同时除以27x＋31x的和即可求出解。 （2）先求出0.5和2的积，然后在方程两边同时加0.5和2的积，再在方程两边同时除以2.2即可求出解。 （3）在方程两边同时乘15即可求出解。 （4）先在方程两边同时除以4，然后在方程两边同时加5.6即可求出解。 【规范解答】（1）27x＋31x＝145 解：58x＝145 58x÷58＝145÷58 x＝2.5 （2）2.2x−0.5×2＝10 解：2.2x−1＝10 2.2x−1＋1＝10＋1 2.2x＝11 2.2x÷2.2＝11÷2.2 x＝5 （3）x÷15＝180 解：x÷15×15＝180×15 x＝2700 （4）4（x−5.6）＝1.6 解：4（x−5.6）÷4＝1.6÷4 x－5.6＝0.4 x－5.6＋5.6＝0.4＋5.6 x＝6 【变式2】（23-24五年级下·山西临汾·期末）解方程。 0.2x－4.8＝13.2           6.6x＋3.8x＝31.2           16×0.5＋3x＝14 【答案】x＝90；x＝3；x＝2 【思路点拨】0.2x－4.8＝13.2，根据等式的性质1和2，两边同时＋4.8，再同时÷0.2即可； 6.6x＋3.8x＝31.2，先将左边合并成10.4x，根据等式的性质2，两边同时÷10.4即可； 16×0.5＋3x＝14，根据等式的性质1和2，两边同时－16×0.5的积，再同时÷3即可。 【规范解答】0.2x－4.8＝13.2 解：0.2x－4.8＋4.8＝13.2＋4.8 0.2x＝18 0.2x÷0.2＝18÷0.2 x＝90 6.6x＋3.8x＝31.2 解：10.4x＝31.2 10.4x÷10.4＝31.2÷10.4 x＝3 16×0.5＋3x＝14 解：8＋3x＝14 8＋3x－8＝14－8 3x＝6 3x÷3＝6÷3 x＝2 【变式3】（22-23五年级下·江苏淮安·期末）解方程 x÷0.9＝2.8                     4x－20＝8 7.2x＋1.8x＝270                 9x＋75＝156 【答案】x＝2.52；x＝7 x＝30；x＝9 【思路点拨】（1）根据等式的性质2，方程的左右两边同时乘0.9，求出方程的解； （2）根据等式的性质1，方程的左右两边同时加上20，根据等式的性质2，方程的左右两边同时除以4，求出方程的解； （3）先计算方程左边的加法得7.2x＋1.8x＝9x，根据等式的性质2，方程的左右两边同时除以9，求出方程的解； （4）根据等式的性质1，方程的左右两边同时减去75，根据等式的性质2，方程的左右两边同时除以9，求出方程的解； 【规范解答】（1）x÷0.9＝2.8 解：x＝2.8×0.9 x＝2.52 （2）4x－20＝8 解：4x－20＋20＝20＋8 4x＝28 x＝28÷4 x＝7 （3）7.2x＋1.8x＝270 解：9x＝270 x＝270÷9 x＝30 （4）9x＋75＝156 解：9x＋75－75＝156－75 9x＝81 x＝81÷9 x＝9 考点6：综合应用等式的性质1和性质2解方程 【典例精讲】（23-24五年级下·江苏苏州·期末）解方程。 ①    ②    ③ 【答案】①x＝18；②x＝25；③x＝1.8 【思路点拨】①先利用等式的性质1在等式的左右两边同时加6.2，再利用等式的性质2在等式的两边同时除以0.9即可； ②先将等式的左边化简为5.8x，再利用等式的性质2在等式的左右两边同时除以5.8即可； ③先计算0.4×5＝2，利用等式的性质1在等式的左右两边同时减2，再利用等式的性质2在等式的两边同时除以7即可。 【规范解答】0.9x－6.2＝10 解：0.9x－6.2＋6.2＝＝10＋6.2 0.9x÷0.9＝16.2÷0.9 x＝18 ②2.7x＋3.1x＝145 解：5.8x＝145 5.8x÷5.8＝145÷5.8 x＝25 ③7x＋0.4×5＝14.6 解：7x＋2＝14.6 7x＋2－2＝14.6－2 7x＝12.6 7x÷7＝12.6÷7 x＝1.8 【变式1】（2024五年级下·江苏·专题练习）解方程。                        【答案】；； 【思路点拨】根据等式的性质解方程。 （1）先把计算方程左边的减法，方程化简成，然后方程两边同时除以，求出方程的解； （2）方程两边先同时减去，再同时加上，求出方程的解； （3）先把方程化简成，然后方程两边先同时加上，再同时除以，求出方程的解。 【规范解答】（1） 解： （2） 解： （3） 解： 【变式2】（23-24五年级下·江苏淮安·期中）用蓝、白两色的正六边形按下图的规律拼成若干个图案。 (1)拼第4个图案需要( )个白色的正六边形。 (2)拼第( )个图案需要51个白色的正六边形。 【答案】(1)21 (2)10 【思路点拨】观察图形发现： 拼第1个图案需要6个白色正六边形，6＝5×1＋1； 拼第2个图案需要11个白色正六边形，11＝5×2＋1 拼第3个图案需要16个白色正六边形，16＝5×3＋1； …… 拼第n个图案需要（5n＋1）个白色正六边形，据此规律解答。 【规范解答】（1）规律：拼第n个图案需要（5n＋1）个白色正六边形。 当n＝4时 5n＋1 ＝5×4＋1 ＝20＋1 ＝21（个） 拼第4个图案需要21个白色的正六边形。 （2）5n＋1＝51 解：5n＋1－1＝51－1 5n＝50 5n÷5＝50÷5 n＝10 拼第10个图案需要51个白色的正六边形。 【考点评析】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。 【变式3】（23-24五年级下·江苏淮安·期中）解方程。 （1）2x－2.9×2＝4.2            （2）36－x＝2.5 （3）0.8x÷4＝2.5                （4）x－0.9x＝1.8 【答案】（1）x＝5；（2）x＝33.5 （3）x＝12.5；（4）x＝18 【思路点拨】（1）先化简方程，再根据等式的性质，方程两边同时加上5.8，再同时除以2即可； （2）根据等式的性质，方程两边同时加上x，再同时减去2.5即可； （3）根据等式的性质，方程两边同时乘4，再同时除以0.8即可； （4）先化简方程，再根据等式的性质，方程两边同时除以0.1即可。 【规范解答】（1）2x－2.9×2＝4.2 解：2x－5.8＝4.2 2x－5.8＋5.8＝4.2＋5.8 2x＝10 2x÷2＝10÷2 x＝5 （2）36－x＝2.5 解：36－x＋x＝2.5＋x 36＝2.5＋x 2.5＋x－2.5＝36－2.5 x＝33.5 （3）0.8x÷4＝2.5 解：0.8x÷4×4＝2.5×4 0.8x＝10 0.8x÷0.8＝10÷0.8 x＝12.5 （4）x－0.9x＝1.8 解：0.1x＝1.8 0.1x÷0.1＝1.8÷0.1 x＝18 考点7：解含括号的方程 【典例精讲】（21-22五年级下·江苏盐城·期中）解方程。                                             【答案】；； ；； 【思路点拨】根据等式的性质解方程。 （1）方程两边先同时减去1，再同时除以0.25，求出方程的解； （2）方程两边先同时乘0.8，再同时除以2，求出方程的解； （3）方程两边先同时除以4，再同时加上8，求出方程的解； （4）先把方程化简成4.8＝96，然后方程两边同时除以4.8，求出方程的解； （5）先把方程化简成1.7＋4.6＝8，然后方程两边先同时减去4.6，再同时除以1.7，求出方程的解； （6）先把方程化简成17.5－5＝2.5，然后方程两边先同时加上5，再同时减去2.5，最后同时除以5，求出方程的解。 【规范解答】（1） 解： （2） 解： （3） 解： （4） 解： （5） 解： （6） 解： 【变式1】（23-24五年级下·江苏扬州·期中）解方程。 1.4－＝5.6              4－0.5＝4.2          4÷5＝16 －5.8＋4.2＝15.8        （－26）×6＝210        0.9－0.3×15＝11.7 【答案】＝14；＝1.2；＝20 ＝17.4；＝61；＝18 【思路点拨】（1）先把方程化简成0.4＝5.6，然后方程两边同时除以0.4，求出方程的解； （2）先把方程化简成3.5＝4.2，然后方程两边同时除以3.5，求出方程的解； （3）方程两边先同时乘5，再同时除以4，求出方程的解； （4）先把方程化简成－1.6＝15.8，然后方程两边同时加上1.6，求出方程的解； （5）方程两边先同时除以6，再同时加上26，求出方程的解； （6）先把方程化简成0.9－4.5＝11.7，然后方程两边先同时加上4.5，再同时除以0.9，求出方程的解。 【规范解答】（1）1.4－＝5.6 解：0.4＝5.6 0.4÷0.4＝5.6÷0.4 ＝14 （2）4－0.5＝4.2 解：3.5＝4.2 3.5÷3.5＝4.2÷3.5 ＝1.2 （3）4÷5＝16 解：4÷5×5＝16×5 4＝80 4÷4＝80÷4 ＝20 （4）－5.8＋4.2＝15.8 解：－（5.8－4.2）＝15.8 －1.6＝15.8 －1.6＋1.6＝15.8＋1.6 ＝17.4 （5）（－26）×6＝210 解：（－26）×6÷6＝210÷6 －26＝35 －26＋26＝35＋26 ＝61 （6）0.9－0.3×15＝11.7 解：0.9－4.5＝11.7 0.9－4.5＋4.5＝11.7＋4.5 0.9＝16.2 0.9÷0.9＝16.2÷0.9 ＝18 【变式2】（20-21五年级下·江苏盐城·期中）解下列方程。 55＋x＝152         2.3x＋0.9x＝16        0.45x－4.5×6＝45 x÷2.4＝1.5         x－0.36＋1.24＝9           2（x－3.6）＝8.2 【答案】x＝97；x＝5；x＝160； x＝3.6；x＝8.12；x＝7.7 【思路点拨】方程两边同时减55； 计算方程左边的算式，然后方程两边同时除以3.2； 先计算方程左边的乘法，然后方程两边同时加27，再同时除以0.45； 方程两边同时乘2.4； 方程两边同时减1.24，再加0.36； 方程两边同时除以2，再同时加3.6； 【规范解答】55＋x＝152 解：x＝152－55 x＝97； 2.3x＋0.9x＝16 解：3.2x＝16 x＝5； 0.45x－4.5×6＝45 解：0.45x－27＝45 0.45x＝72 x＝160； x÷2.4＝1.5 解：x＝1.5×2.4 x＝3.6； x－0.36＋1.24＝9 解：x＝9－1.24＋0.36 x＝8.12； 2（x－3.6）＝8.2 解：x－3.6＝8.2÷2 x－3.6＝4.1 x＝7.7 【变式3】（20-21五年级下·江苏盐城·期中）解方程。 8x＝4          （x－18）÷5＝2.4          0.4x－1.2×5＝6 6.4x－x＝32.4          4x＋3×0.7＝6.5          2x－6＋3.6＝11.2 【答案】x＝0.5；x＝30；x＝30； x＝6；x＝1.1；x＝6.8 【思路点拨】根据等式的性质2，方程的两边同时除以8即可； 根据等式的性质2，方程的两边同时乘5，再根据等式的性质1，方程的两边同时加上18即可； 根据等式的性质1，方程的两边同时加上1.2×5，再根据等式的性质2，方程的两边同时除以0.4即可； 合并方程左边同类项，再根据等式的性质2，方程的两边同时除以（6.4－1）即可； 根据等式的性质1，方程的两边同时减去3×0.7，再根据等式的性质2，方程的两边同时除以4即可； 根据等式的性质1，方程的两边同时减去3.6再同时加上6，最后根据等式的性质2，方程的两边同时除以2即可。 【规范解答】8x＝4 解：x＝4÷8 x＝0.5 （x－18）÷5＝2.4 解：x－18＝2.4×5 x＝12＋18 x＝30 0.4x－1.2×5＝6 解：0.4x＝6＋6 x＝12÷0.4 x＝30 6.4x－x＝32.4 解：（6.4－1）x＝32.4 x＝32.4÷5.4 x＝6 4x＋3×0.7＝6.5 解：4x＝6.5－2.1 x＝4.4÷4 x＝1.1 2x－6＋3.6＝11.2 解：2x＝11.2－3.6＋6 x＝13.6÷2 x＝6.8 一．选择题（共4小题） 1．（2024秋•芝罘区期末）如果，根据等式的性质，经过变形后，下列等式错误的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据等式的性质，等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等；等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 【规范解答】解：，相当于左边减去8，右边加上8，所以左右两边不再相等； ，相当于方程的两边同时加上8，符合等式的基本性质； 根据等式的性质可知是正确的，相当于方程两边同时乘6，符合等式的基本性质； ，方程两边同时除以，所以左右两边相等，符合等式的基本性质。 故选：。 【考点评析】熟练掌握等式的基本性质是解题的关键。 2．（2024春•项城市期末）当的值为____时，与相等。　　 A．3.5 B．6 C．5 【思路点拨】根据题意，列方程：，根据等式的性质2，先将左边合并成，两边同时除以6.8，直接解方程即可。 【规范解答】解： 当的值为3.5时，与相等。 故选：。 【考点评析】本题考查了方程的解法，解题过程要利用等式的性质。 3．（2024春•郏县期中）已知，根据等式的性质，下面的等式不成立的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据等式的基本性质，进行判断即可。 【规范解答】解：，根据，等式两边同时乘7，可得到，等式成立； ，根据，等式两边同时加上，可得到，等式不成立； ，根据，等式两边同时减去，可得到，等式成立； ，根据，等式两边同时加上，，等式成立。 故选：。 【考点评析】本题主要考查等式的性质，掌握相关知识是解题关键。 4．（2023春•雨花台区期末）根据等式的性质，，均不为，下面的等式　　不成立。 A． B． C． D． 【思路点拨】根据等式的基本性质，在两边同时除以一个不为0的数，等式仍然成立，据此判断和，在两边同时加或减一个相同的数，等式仍然成立，据此判断和。 【规范解答】解：、在两边同时加2，等式仍然成立，即； 、在两边同时除以2，等式仍然成立，即，； 、，所以要使原等式成立，也要乘1.5，即，而不成立； 、，，即在两边同时减5，等式仍然成立。 故选：。 【考点评析】此题考查等式的性质的应用。掌握等式的性质并能灵活运用是解答的关键。 二．填空题（共3小题） 5．（2024春•贵阳期末）在□中，方程的解是，那么□中，是 　5.2　。 【思路点拨】由□，方程的解是，将代入□，再解方程即可求出□代表的数值，然后将□代表的数值代入□，再解方程即可求出的值。 【规范解答】解：□，当时，可得□， □ □□□ □ □ □ 将□代表的数值代入□可得， 故答案为：5.2。 【考点评析】此题考查了运用等式的性质解方程，即等式两边同加或同减去、同乘或同除以一个数除外），两边仍相等，同时注意“”上下要对齐。 6．（2024春•郸城县期中）如果，那么　1.4　。如果，那么　　。 【思路点拨】根据题意，把代入计算即可；先求出的值，然后把的值代入计算。 【规范解答】解： 故答案为：1.4；6。 【考点评析】解答此题要运用等式的基本性质。 7．（2023春•义乌市期末）把写成，结果与原来相差 　20　；如果，，则　　。 【思路点拨】用减去即可求出结果与原来相差多少；根据等式的基本性质，方程的两边同时加上4，两边再同时除以6即可求出的值，再把的结果代入方程，再根据等式的基本性质求出的结果即可。 【规范解答】解： 把代入得： 故答案为：20；10.5。 【考点评析】熟练掌握代入求值法以及等式的基本性质是解题的关键。 三．判断题（共3小题） 8．（2024春•岳池县期末）如果，那么。 　　（判断对错） 【思路点拨】根据等式的性质，等式两边同时加上或同时减去同一个数，等式不变，解答此题即可。 【规范解答】解：如果，那么。 所以题干说法是错误的。 故答案为：。 【考点评析】熟练掌握等式的性质，是解答此题的关键。 9．（2024春•隆回县期中）是方程的解． 　　．（判断对错） 【思路点拨】依据等式的性质，方程两边同时减2.8，求出方程的解即可解答． 【规范解答】解： 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查学生依据等式的性质解方程的能力，解方程时注意对齐等号． 10．（2022春•海口期中）7.5比的3倍多3，列方程是．　　（判断对错） 【思路点拨】的3倍是，7.5比的3倍多3，也就是7.5比多3，用7.5减去就是3，即，据此解答． 【规范解答】解：7.5比的3倍多3，列方程是． 故答案为：． 【考点评析】根据题意，先弄清等量关系，然后再方程进行解答． 四．计算题（共4小题） 11．（2024春•东坡区期末）解方程。 ① ② ③ 【思路点拨】①首先根据等式的性质，两边先同时减去1.4，然后两边同时除以2，即可解答。 ②先算，两边再同时加10，然后再同时除以5，即可解答。 ③根据除数被除数商，转换成，然后两边同时除以4，即可解答。 【规范解答】解： 故答案为：①，②，③。 【考点评析】本题考查了方程的解法，解题过程需利用等式的性质。 12．（2024秋•芝罘区期末）解方程。 【思路点拨】根据等式的性质，方程左右两边同时加0.92，解出方程； 根据等式的性质，方程左右两边同时减8.4，再同时除以4，解出方程； 先化简，再根据等式的性质，方程左右两边先同时除以0.3，解出方程。 【规范解答】解： 【考点评析】本题主要考查了小数方程求解，关键是利用等式的性质解答，注意等号要对齐。 13．（2024春•武陟县期末）解方程。 【思路点拨】，根据等式的基本性质，方程两边同时减去，然后计算即可求出的值； ，先计算，然后等式两边同时加上，最后计算即可求出的值。 【规范解答】解： 【考点评析】解答此题要运用等式的基本性质。 14．（2024春•青原区期末）解方程。 【思路点拨】根据等式的基本性质，等式两边同时加，再同时除以2。 先化简，再根据等式的基本性质，等式两边同时减。 根据等式的基本性质，等式两边同时加上再减去即可。 【规范解答】解： 【考点评析】本题主要考查学生对等式的基本性质的应用能力。 五．解答题（共7小题） 15．（2024春•项城市期末）列方程，并求解。 （1）一个数的3.5倍是70，这个数是多少？ （2）一个数乘0.8等于8个2.4相加的和，这个数是多少？ 【思路点拨】（1）设这个数是，的3.5倍是，等于70，然后求解即可； （2）设这个数是，乘0.8是，8个2.4是，然后列方程求解即可； （3）根据题意可知，男生人数是，女生人数是，把男生人数与女生人数相加是265人，然后列方程求解即可。 【规范解答】解：（1）设这个数是。 （2）设这个数是。 （3） 【考点评析】解答此题要运用等式的基本性质。 16．（2022秋•临清市期末）解方程 ． 【思路点拨】①先根据乘法分配律改写成，即，再根据等式的性质，两边同除以24即可； ②两边同时加上4.5，进而求解即可； ③两边同时减去6.8，再同除以3.2求解即可． 【规范解答】解：① ② ③ 【考点评析】在解方程时应根据等式的性质，即等式两边同加上、同减去、同乘上或同除以某一个数除外），等式的两边仍相等，同时注意“”上下要对齐． 17．（2023春•丹阳市校级期末）解方程。 【思路点拨】先计算方程左边的，再根据等式的性质，方程两边同时除以1.2计算即可； 根据等式的性质，方程两边同时乘2，再同时除以15计算即可； 先计算方程左边的，再根据等式的性质，方程两边同时减去3.2，再同时除以2计算即可。 【规范解答】解： 【考点评析】本题考查利用等式的性质解方程。注意计算的准确性。 18．（2022秋•垣曲县期末）解方程． （1） （2） （3） （4）． 【思路点拨】（1）根据等式的性质，在方程两边同时减去9.8，再同时除以1.4得解； （2）根据等式的性质，在方程两边同时除以2，再同时加上3得解； （3）逆用乘法分配律，先计算，再根据等式的性质，在方程两边同时除以12得解； （4）根据等式的性质，在方程两边同时加上，再同时减去24，进而同时除以4.4得解． 【规范解答】解：（1） （2） （3） （4） ． 【考点评析】此题考查了根据等式的性质解方程，即等式两边同时加、减、乘同一个数或除以同一个不为0的数，等式的左右两边仍相等；注意等号上下要对齐． 19．（2022春•广陵区期末）解方程。 【思路点拨】（1）方程两边同时减去计算即可解答。 （2）方程两边同时乘0.8计算即可解答。 （3）方程两边同时加上计算即可解答。 （4）先算，方程两边同时加上1，再同时除以2.2计算即可解答。 【规范解答】解：（1） （2） （3） （4） 【考点评析】本题考查了解方程的计算方法和计算能力。 20．（2022春•沈丘县期中）解方程。 【思路点拨】（1）方程的两边先同时减去26，然后两边同时除以8； （2）方程的两边先同时加上9.4，然后两边同时除以5； （3）先化简，同时计算，然后方程的两边同时除以的和； （4）先算，然后方程的两边同时减去的积，最后方程的两边同时除以3。 【规范解答】解：（1） （2） （3） （4） 【考点评析】本题考查了方程的解法，解题过程要利用等式的性质。 21．（2022春•鹿邑县月考）根据等式的性质在〇里填运算符号，在□里填数。 （1） 〇□ （2） 〇□ 【思路点拨】等式两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。 【规范解答】解： （1） （2） 【考点评析】此题考查了等式的性质，要熟练掌握。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$