（新课衔接站）专题06 比例的应用-2024-2025学年北师大版数学六年级寒假学习培优真题讲练讲义（学生版+教师版）

2024-2025学年北师大版数学六年级寒假学习培优讲义（新课衔接） 专题06 比例的应用 （导图+7个知识点+5个易错点+2个考点讲练+拔尖训练） 目录 导图知识荟萃 2 新知预习强化 2 知识点01：比例的基本性质 2 知识点02：解比例的方法 2 知识点03：比例尺的应用 3 知识点04：正反比例的应用 3 知识点05：比例分配问题 3 知识点06： 实际问题中的比例应用 3 知识点07：注意事项 3 易错知识指引 3 易错知识点01：比例尺的应用 3 易错知识点02：比例解决实际问题时的单位换算： 4 易错知识点03：正比例和反比例的应用： 4 易错知识点04：比例分配问题： 4 易错知识点05：列比例式解决实际问题： 4 考点培优讲练 4 考点1：比例的意义 4 考点2：比例的基本性质 6 真题汇编拔尖练 7 知识点01：比例的基本性质 等比性质：若a:b=c:d，且b≠0，d≠0，则(a+c):(b+d)=a:b=c:d（注意，这个性质在b+d≠0且a+c与b+d的比值有意义时才成立，即需避免分母为零和无意义的比例）。但在实际解题中，此性质更多作为理解比例关系的一个辅助，而非直接用于计算。 交叉相乘：若a:b=c:d，则ad=bc。这是解比例问题中最常用的性质，也是判断两个比例是否相等的关键。 知识点02：解比例的方法 设未知数：在解复杂的比例问题时，常设一个或多个未知数为x，然后根据题目条件列出比例式。 交叉相乘求解：利用比例的基本性质，通过交叉相乘将比例式转化为等式，然后求解未知数。 检验答案：将求得的解代入原比例式，检验是否满足题目条件。 知识点03：比例尺的应用 定义：比例尺是表示图上一条线段的长度与地面相应线段的实际长度之比的工具。 应用：在地图、工程图纸等领域，常使用比例尺来计算实际距离或图上距离。 知识点04：正反比例的应用 正比例：当两个量的比值一定时，这两个量成正比例。例如，速度一定时，路程与时间成正比例。 反比例：当两个量的乘积一定时，这两个量成反比例。例如，长方形面积一定时，长与宽成反比例（在长宽均为正数且面积不为零的情况下）。 知识点05：比例分配问题 定义：按照一定比例将总量分配给各个部分。 应用：常用于分配任务、资源等场景，需要确保分配结果符合预定的比例。 知识点06： 实际问题中的比例应用 工程问题：利用比例关系计算工作量、工作时间等。 浓度问题：利用比例关系计算溶液的浓度。 行程问题：利用比例关系计算速度、时间、路程等。 其他问题：如按比例分配利润、成本等。 知识点07：注意事项 在使用比例时，要确保各个量之间的单位一致，否则需要进行单位换算。 在列比例式时，要仔细审题，确保比例式正确反映题目条件。 在解比例式时，要注意运算的准确性和逻辑性，避免出现计算错误或逻辑错误。 易错知识点01：比例尺的应用 易错点：混淆实际距离与图上距离的比例关系。 解析：在使用比例尺时，需要明确比例尺表示的是图上距离与实际距离之比。例如，比例尺1:1000表示图上1厘米代表实际1000厘米（或10米）。学生在计算时容易将两者混淆，导致计算结果错误。 易错知识点02：比例解决实际问题时的单位换算： 易错点：忽视单位换算，导致计算结果不准确。 解析：在解决实际问题时，如计算面积、体积等，需要注意单位是否统一。若单位不统一，则需要进行换算。例如，在计算长方形面积时，若长和宽的单位不同（如长为米，宽为厘米），则需要先统一单位再进行计算。 易错知识点03：正比例和反比例的应用： 易错点：混淆正比例和反比例的概念，导致判断错误。 解析：正比例是指两个量同时增加或减少，且比值保持不变；反比例则是指一个量增加时，另一个量减少，且乘积保持不变。学生在判断两个量之间的关系时，容易混淆这两个概念。 易错知识点04：比例分配问题： 易错点：未正确理解比例分配的原则，导致分配结果错误。 解析：比例分配问题通常涉及将总量按照一定比例分配给各个部分。学生在计算时，需要明确总量和各个部分的比例关系，然后按照比例进行分配。若未正确理解比例分配的原则，则可能导致分配结果错误。 易错知识点05：列比例式解决实际问题： 易错点：未正确列出比例式，导致解题过程出错。 解析：在解决实际问题时，需要根据题目条件列出正确的比例式。若未正确理解题目条件或未正确列出比例式，则可能导致解题过程出错。因此，在列出比例式时，需要仔细审题并明确各个量之间的关系。 考点1：比例的意义 【典例精讲】（23-24六年级下·四川成都·期末）解方程或比例。 （1）x－85%x＝750    （2）16＋4x＝40  （3）＝   （4）1.2∶x＝5∶1.5 【变式1】（23-24六年级下·四川成都·期末）解方程。 （1）         （2） （2）         （4） 【变式2】（23-24六年级下·四川成都·期末）解方程。 （1）2x＋5（3x－5）＝10－4（2x－10）  （2）    （3）x∶＝（x－）∶ 【变式3】（2024·四川成都·小升初真题）解方程。                             【变式4】（21-22五年级下·广东湛江·期末）解方程。      7x－5×（x＋）＝x＋27     【变式5】（2019·四川成都·小升初模拟）解方程。 （1） （2） 考点2：比例的基本性质 【典例精讲】（23-24六年级下·四川成都·期末）学校科学小组在同一时间、同一地点进行观察实验，测得竹竿的高与竿影的长如下表： 竹竿的高/m 1 2 3 4 6 8 竿影的长/m 0.4 0.8 1.2 1.6 2.4 3.2 根据实验记录，科学小组发现了竿影的长与竹竿的高的变化关系。 科学小组用这种方法测量校园里一座雕塑的高度。某天下午4时，他们在这座雕塑旁测得竿影的长为1.8m，竹竿的高为1.2m；同时，测得这座雕塑的影子长度是3.9m。请你根据测量的过程，算出这座雕塑的高度是( )m。 【变式1】（2024六年级下·河南驻马店·学业考试）甲乙两辆车同时从两地相向开出，经过3小时相遇，甲每小时比乙少行36千米，已知甲乙两车的速度之比是5∶7。两地相距( )千米。 【变式2】（23-24六年级下·陕西榆林·期末）榆林沙漠国家森林公园是以沙漠森林草地景观和无形的民间风俗——陕北民歌、民俗为主，以人文景观为辅，集回归自然、生态观光、休闲度假为一体的多功能综合性城郊型森林公园。某公司计划去榆林沙漠国家森林公园进行团建，其中男职工与女职工的人数比是2∶5，已知男职工有12人，则女职工有多少人？（用比例解答） 【变式3】（23-24六年级下·陕西咸阳·期中）古时候，“小山羊”在人们的生活中起着“钱”的作用。2只羊可以换8把斧头。如果张伯伯要换12把斧头，需要几只羊？（用比例解） 【变式4】（2024六年级下·河南驻马店·学业考试）甲、乙两人分别从A、B两地同时出发、相向而行，出发时他们的速度比是3∶2，他们相遇后，甲的速度提高20%，乙的速度提高30%。这样，当甲到达B地时，乙离A地还有7千米，那么A、B两地的距离是多少千米？ 【变式5】（19-20六年级下·辽宁·单元测试）甲、乙、丙三人跑200m（假设三人匀速），甲到达终点时，乙距终点还有20m，丙距终点还有29m，当乙到达终点时，丙距终点还有多少米？ （用比例解） 1．（21-22六年级下·辽宁·单元测试）观察图，（    ）的面积∶（    ）的面积＝a∶b。 A．上面；左面 B．前面；左面 C．左面；左面 D．后面；左面 2．（21-22六年级下·广东深圳·期末）用5毫升的蜂蜜兑100毫升水调制成蜂蜜水，如果再加入10毫升的蜂蜜，为了使蜂蜜水的甜度不变，需要加入的水可以是（    ）。 A．10毫升 B．200毫升 C．原来的3倍 D．原来的4倍 3．（20-21六年级下·陕西西安·期中）十四运会是于2021年9月15日－9月27日在陕西省西安市举办的全民运动会。其设置的大项和分项的数量比为，已知设置的大项有34个，则分项有（    ）个。 A．126 B．136 C．85 D．51 4．（23-24六年级下·陕西咸阳·期中）给比例0.5∶6＝3∶36的内项3增加9，要使比例仍然成立，在6和36不变的情况下，0.5应该增加( )。 5．（23-24六年级下·广东深圳·期中）笑笑喜欢喝蜂蜜水，她把10克蜂蜜放入180克水中，甜度刚刚好。如果要用25克蜂蜜配制同样甜的蜂蜜水，需要( )克水。 6．（23-24六年级下·辽宁·课后作业）学校图书馆有科技书和文学书各360本，要使科技书和文学书的本数的比达到2∶3，还要添置( )本文学书。 7．（2023·四川成都·小升初真题）张家与李家本月的收入钱数之比是，本月开支的钱数之比是，月底张家结余630元，李家结余700元，则本月两家共收入( )元。 8．（19-20六年级下·辽宁·单元测试）把0.25、、4和另一个数组成一个比例，这个数可以是( )、( )、( )。 9．（20-21六年级下·陕西咸阳·期末）2∶1.8和∶可以组成比例。( )（判断对错） 10．（22-23六年级下·陕西西安·期中）淘气和爷爷的今年年龄的岁数比是，淘气今年的年龄是4岁，爷爷今年的年龄是58岁。( )（判断对错） 11．（23-24六年级下·四川成都·期末）解方程。          12．（23-24六年级下·浙江金华·期末）甲、乙两地相距600千米，一辆货车行完全程需要10时。一辆客车和这辆货车同时从甲、乙两地相对开出，已知客车和货车的速度比是3∶2，经过几时能在途中相遇？ 13．（23-24六年级下·河南商丘·期末）淘气身高1.4米，测得影长2.1米，同一时刻、同一地点测得一栋楼的影长22.5米，这栋楼的高度是多少米？（用比例解答） 14．（23-24六年级下·陕西渭南·期末）成语“立竿见影”在《辞源》里的解释为“竿立而影现，喻收效迅速”。希望小学开展了测量旗杆有多高的实践活动。同学们进行了如下操作：某天下午5时，先测出旗杆的影子长度，接着在同一时间，同一地点，测得一根木棍的高度和它的影子的长度，如图所示。 用数学的眼光看，测量旗杆有多高的实践活动应用了（    ）的相关知识。 请你计算：旗杆的高度是多少米？ 15．（2024六年级下·辽宁·专题练习）雏鹰小学开展阳光运动，调查了六年级学生喜欢的球类活动（每人只选一项自己喜欢的活动项目），并将调查情况制成如表统计表和统计图。（不完整） 球类项目 排球 篮球 足球 其他 喜欢人数 40人 40人 20人 （1）将统计表和统计图补充完整。 （2）如果其他球类项目中，有的学生喜欢羽毛球，喜欢乒乓球的人数与喜欢羽毛球的人数比是，有多少人喜欢乒乓球？（用比例解） 16．（22-23六年级下·安徽阜阳·期中）用黄铜和黄金制成一种合金。现有黄金45g，黄铜150g，要使制成的合金中黄金和黄铜的比是2∶5，还应加入多少克的黄金？（列比例解答） 17．（18-19六年级下·四川成都·期末）如图1，一个底面积为100cm2，高为20cm的长方体水盒内有一个高相同的圆柱形水杯，以不变的水流速度先向水杯中注水，注满水杯后，继续注水，直到注满整个盒子。盒子内水面上升的高度h与注水时间t的关系如图2。 （1）求水杯的底面积。 （2）求注水速度（cm3/秒）。（计算时，容器的厚度与体积均忽略不计） 18．（21-22六年级上·辽宁·周测）兄弟两人月收入的比为4∶3，月支出比为11∶6，月结余均为3600元，问每人每月收入多少元？ 19．（19-20六年级下·辽宁·单元测试）当甲在60m赛跑中冲过终点线时，比乙领先10m，比丙领先20m。如果乙和丙按各自原来的速度继续冲向终点，那么当乙到达终点时，将比丙领先几米？ 20．（2024六年级下·全国·专题练习）我国逐渐完善养老金制度，居民可自行缴纳养老金。甲、乙两人计划用相同的年数分别缴纳养老金18万元和12万元。甲计划每年比乙多缴纳保险金0.2万元。若乙每年缴纳保险金x万元，则根据题意可列出比例为（    ）。 A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年北师大版数学六年级寒假学习培优讲义（新课衔接） 专题06 比例的应用 （导图+7个知识点+5个易错点+2个考点讲练+拔尖训练） 目录 导图知识荟萃 2 新知预习强化 2 知识点01：比例的基本性质 2 知识点02：解比例的方法 2 知识点03：比例尺的应用 3 知识点04：正反比例的应用 3 知识点05：比例分配问题 3 知识点06： 实际问题中的比例应用 3 知识点07：注意事项 3 易错知识指引 3 易错知识点01：比例尺的应用 3 易错知识点02：比例解决实际问题时的单位换算： 4 易错知识点03：正比例和反比例的应用： 4 易错知识点04：比例分配问题： 4 易错知识点05：列比例式解决实际问题： 4 考点培优讲练 4 考点1：比例的意义 4 考点2：比例的基本性质 11 真题汇编拔尖练 15 知识点01：比例的基本性质 等比性质：若a:b=c:d，且b≠0，d≠0，则(a+c):(b+d)=a:b=c:d（注意，这个性质在b+d≠0且a+c与b+d的比值有意义时才成立，即需避免分母为零和无意义的比例）。但在实际解题中，此性质更多作为理解比例关系的一个辅助，而非直接用于计算。 交叉相乘：若a:b=c:d，则ad=bc。这是解比例问题中最常用的性质，也是判断两个比例是否相等的关键。 知识点02：解比例的方法 设未知数：在解复杂的比例问题时，常设一个或多个未知数为x，然后根据题目条件列出比例式。 交叉相乘求解：利用比例的基本性质，通过交叉相乘将比例式转化为等式，然后求解未知数。 检验答案：将求得的解代入原比例式，检验是否满足题目条件。 知识点03：比例尺的应用 定义：比例尺是表示图上一条线段的长度与地面相应线段的实际长度之比的工具。 应用：在地图、工程图纸等领域，常使用比例尺来计算实际距离或图上距离。 知识点04：正反比例的应用 正比例：当两个量的比值一定时，这两个量成正比例。例如，速度一定时，路程与时间成正比例。 反比例：当两个量的乘积一定时，这两个量成反比例。例如，长方形面积一定时，长与宽成反比例（在长宽均为正数且面积不为零的情况下）。 知识点05：比例分配问题 定义：按照一定比例将总量分配给各个部分。 应用：常用于分配任务、资源等场景，需要确保分配结果符合预定的比例。 知识点06： 实际问题中的比例应用 工程问题：利用比例关系计算工作量、工作时间等。 浓度问题：利用比例关系计算溶液的浓度。 行程问题：利用比例关系计算速度、时间、路程等。 其他问题：如按比例分配利润、成本等。 知识点07：注意事项 在使用比例时，要确保各个量之间的单位一致，否则需要进行单位换算。 在列比例式时，要仔细审题，确保比例式正确反映题目条件。 在解比例式时，要注意运算的准确性和逻辑性，避免出现计算错误或逻辑错误。 易错知识点01：比例尺的应用 易错点：混淆实际距离与图上距离的比例关系。 解析：在使用比例尺时，需要明确比例尺表示的是图上距离与实际距离之比。例如，比例尺1:1000表示图上1厘米代表实际1000厘米（或10米）。学生在计算时容易将两者混淆，导致计算结果错误。 易错知识点02：比例解决实际问题时的单位换算： 易错点：忽视单位换算，导致计算结果不准确。 解析：在解决实际问题时，如计算面积、体积等，需要注意单位是否统一。若单位不统一，则需要进行换算。例如，在计算长方形面积时，若长和宽的单位不同（如长为米，宽为厘米），则需要先统一单位再进行计算。 易错知识点03：正比例和反比例的应用： 易错点：混淆正比例和反比例的概念，导致判断错误。 解析：正比例是指两个量同时增加或减少，且比值保持不变；反比例则是指一个量增加时，另一个量减少，且乘积保持不变。学生在判断两个量之间的关系时，容易混淆这两个概念。 易错知识点04：比例分配问题： 易错点：未正确理解比例分配的原则，导致分配结果错误。 解析：比例分配问题通常涉及将总量按照一定比例分配给各个部分。学生在计算时，需要明确总量和各个部分的比例关系，然后按照比例进行分配。若未正确理解比例分配的原则，则可能导致分配结果错误。 易错知识点05：列比例式解决实际问题： 易错点：未正确列出比例式，导致解题过程出错。 解析：在解决实际问题时，需要根据题目条件列出正确的比例式。若未正确理解题目条件或未正确列出比例式，则可能导致解题过程出错。因此，在列出比例式时，需要仔细审题并明确各个量之间的关系。 考点1：比例的意义 【典例精讲】（23-24六年级下·四川成都·期末）解方程或比例。 （1）x－85%x＝750    （2）16＋4x＝40  （3）＝   （4）1.2∶x＝5∶1.5 【答案】（1）x＝5000；（2）x＝6；（3）x＝2；（4）x＝0.36 【思路点拨】（1）先把85%化成0.85，再把方程左边化简为0.15x，最后根据等式的基本性质给方程两边同时除以0.15即可； （2）先给方程两边同时减去16，再同时除以4即可； （3）先根据比例的基本性质把方程化成3x＝1.2×5，再给方程两边同时除以3即可； （3）先根据比例的基本性质把方程化成5x＝1.2×1.5，再给方程两边同时除以5即可。 【规范解答】（1）x－85%x＝750 解：x－0.85x＝750 0.15x＝750 x＝750÷0.15 x＝5000 （2）16＋4x＝40 解：4x＝24 x＝24÷4 x＝6 （3）＝ 解；3x＝1.2×5 3x＝6 x＝6÷3 x＝2 （4）1.2∶x＝5∶1.5 解：5x＝1.2×1.5 5x＝1.8 x＝1.8÷5 x＝0.36 【变式1】（23-24六年级下·四川成都·期末）解方程。 （1）        （2） （3）        （4） 【答案】（1）；（2）； （3）；（4） 【思路点拨】等式的性质1：等式的两边同时加或者减去一个相同的数，等式仍然成立； 等式的性质2：等式的两边同时乘或除以一个不为0的数，等式仍然成立； （1）将等式的两边同时乘60%，再计算； （2）先根据等式的性质1，将等式的两边同时减13，再根据等式的性质2，将等式的两边同时除以25； （3）先根据乘法的分配律，提出x，再根据等式的性质2将等式的两边同时除以2.4； （4）利用比例的基本性质：内项积=外项积，得出,再利用等式的基本性质2将等式的两边同时除以。注意：除以一个分数相当于乘这个分数的倒数。 【规范解答】（1） 解： （2） 解： （3） 解： （4） 解： 【变式2】（23-24六年级下·四川成都·期末）解方程。 （1）2x＋5（3x－5）＝10－4（2x－10）    （2）    （3）x∶＝（x－）∶ 【答案】（1）x＝3；（2）x＝200；（3）x＝22 【思路点拨】（1）先化简方程，再根据等式的性质，方程两边同时加上25，再同时加上8x，最后同时除以25即可； （2）先化简方程，再根据等式的性质，方程两边同时减去20，再同时除以0.4即可； （3）先根据比例的基本性质，把式子化为x＝（x－5），再化简方程，最后根据等式的性质，方程两边同时减去x，再同时加上，最后同时除以即可。 【规范解答】（1）2x＋5（3x－5）＝10－4（2x－10） 解：2x＋（15x－25）＝10－（8x－40） 2x＋15x－25＝10－8x＋40 17x－25＝50－8x 17x－25＋25＝50－8x＋25 17x＝75－8x 17x＋8x＝75－8x＋8x 25x＝75 25x÷25＝75÷25 x＝3 （2）0.4x＋20＝80× 解：0.4x＋20＝100 0.4x＋20－20＝100－20 0.4x＝80 0.4x÷0.4＝80÷0.4 x＝200 （3）x∶＝（x－5）∶ 解：x＝（x－5） x＝x－ x－x＝x－x－ x－＝0 x－＋＝0＋ x＝ x÷＝÷ x＝×6 x＝22 【变式3】（2024·四川成都·小升初真题）解方程。                             【答案】；； 【思路点拨】（1）根据等式的性质2，方程两边同时乘，即可求解； （2）根据等式性质1，方程两边同时加上，再同时减去，最后根据等式性质2，方程两边同时除以25%，即可求解； （3）根据比例的基本性质，原式变为，再根据等式性质2，方程两边同时除以，即可求解； 【规范解答】 解： （2） 解： （3） 解： 【变式4】（21-22五年级下·广东湛江·期末）解方程。      7x－5×（x＋）＝x＋27     【答案】x＝68；x＝28；x＝ 【思路点拨】x÷4＋3＝x÷3－，根据分数与除法的关系，把x÷4写出；x÷3写出，原式化为：＋3＝－，再根据等式的性质1，方程两边同时减去，再加上，原式化为：－＝3＋，化简含有x的算式，即求出－的差，再根据等式的性质2，方程两边同时除以－的差即可； 7x－5×（x＋）＝x＋27，化简，去掉括号，原式化为：7x－5x－1＝x＋27，再根据等式的性质1，方程两边同时减去x，再加上1，原式化为：7x－5x－x＝27＋1，再进行计算； ＝（5x＋5）÷6，把（5x＋5）÷6化为，＝，解比例，原式化为：6×（4x－1）＝3×（5x＋5），化简，原式化为：24x－6＝15x＋15，再根据等式的性质1，方程两边同时减去15x，再加上6，原式化为：24x－15x＝15＋6，化简方程左边含有x的算式，即求出24－15的差，再根据等式的性质2，方程两边同时除以24－15的差，即可。 【规范解答】x÷4＋3＝x÷3－ 解：＋3＝－ －＋3＋＝－－＋ －＝ x－x＝ x＝ x÷＝÷ x＝×12 x＝68 7x－5×（x＋）＝x＋27 解：7x－5x－1＝x＋27 2x－1＝x＋27 2x－x－1＋1＝x－x＋27＋1 x＝28 ＝（5x＋5）÷6 解：＝ 6×（4x－1）＝3×（5x＋5） 24x－6＝15x＋15 24x－15x－6＋6＝15x－15x＋15＋6 9x＝21 x＝21÷9 x＝ 【变式5】（2019·四川成都·小升初模拟）解方程。 （1） （2） 【答案】；1.5 【思路点拨】（1）根据运算法则先去括号，然后把含有未知数的放在等号左边，常数放在等号右边，再根据等式的性质计算即可；（2）根据比例的性质对等式变形，然后再根据等式的性质解方程即可。 【规范解答】（1） 解： （2） 解： 【考点评析】此题考查较复杂的解方程，但也是根据等式的性质：等式两边同时加或减相同的数等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个非0数，等式仍然成立，和比例的性质两内项积等于两外项积来计算。 考点2：比例的基本性质 【典例精讲】（23-24六年级下·四川成都·期末）学校科学小组在同一时间、同一地点进行观察实验，测得竹竿的高与竿影的长如下表： 竹竿的高/m 1 2 3 4 6 8 竿影的长/m 0.4 0.8 1.2 1.6 2.4 3.2 根据实验记录，科学小组发现了竿影的长与竹竿的高的变化关系。 科学小组用这种方法测量校园里一座雕塑的高度。某天下午4时，他们在这座雕塑旁测得竿影的长为1.8m，竹竿的高为1.2m；同时，测得这座雕塑的影子长度是3.9m。请你根据测量的过程，算出这座雕塑的高度是( )m。 【答案】2.6// 【思路点拨】由题意可知：同一时间、同一地点不同物体的高度与影子的长度的比值相同，设这座雕塑的高度是xm，根据雕塑的高∶雕塑的影长＝竹竿的高∶竹竿的影长，列出比例求出x的值即可。 【规范解答】解：设这座雕塑的高度是xm。 x∶3.9＝1.2∶1.8 1.8x＝3.9×1.2 1.8x÷1.8＝4.68÷1.8 x＝2.6 这座雕塑的高度是2.6m。 【变式1】（2024六年级下·河南驻马店·学业考试）甲乙两辆车同时从两地相向开出，经过3小时相遇，甲每小时比乙少行36千米，已知甲乙两车的速度之比是5∶7。两地相距( )千米。 【答案】648 【思路点拨】设乙车每小时行驶x千米，甲每小时比乙少行36千米，则甲车每小时行驶（x－36）千米，已知甲乙两车的速度之比是5∶7，即甲车的速度∶乙车的速度＝5∶7；列比例：（x－36）∶x＝5∶7，解比例，求出乙车速度和甲车速度；再根据路程＝速度×时间；分别求出甲车行驶3小时的路程，乙车行驶3小时的路程，再把它们行驶的路程相加，即可解答。 【规范解答】解：设乙车每小时行驶x千米，则甲车每小时行驶（x－36）千米。 （x－36）∶x＝5∶7 （x－36）×7＝5x 7x－36×7＝5x 7x－5x＝252 2x＝252 x＝252÷2 x＝126 甲车速度：126－36＝90（千米） 90×3＋126×3 ＝270＋378 ＝648（千米） 两地相距648千米。 【变式2】（23-24六年级下·陕西榆林·期末）榆林沙漠国家森林公园是以沙漠森林草地景观和无形的民间风俗——陕北民歌、民俗为主，以人文景观为辅，集回归自然、生态观光、休闲度假为一体的多功能综合性城郊型森林公园。某公司计划去榆林沙漠国家森林公园进行团建，其中男职工与女职工的人数比是2∶5，已知男职工有12人，则女职工有多少人？（用比例解答） 【答案】30人 【思路点拨】将女职工的人数设为未知数，再根据“男职工与女职工的人数比是2∶5”列出比例。将比例改写成一般方程，再将等式两边同时除以2，解出女职工的人数。 【规范解答】解：设女职工有x人。 2∶5＝12∶x               2x＝5×12 2x＝60 2x÷2＝60÷2 x＝30     答：女职工有30人。 【变式3】（23-24六年级下·陕西咸阳·期中）古时候，“小山羊”在人们的生活中起着“钱”的作用。2只羊可以换8把斧头。如果张伯伯要换12把斧头，需要几只羊？（用比例解） 【答案】3只 【思路点拨】由题意可知：2只羊可以换8把斧头，那么一只羊可以换4把斧头，所以羊的只数与斧头的把数的比值相等，设需要x只羊，根据羊的只数与斧头的把数的比值相等列出比例求解即可。 【规范解答】解：设需要x只羊。 x∶12＝2∶8 8x＝12×2 8x＝24 8x÷8＝24÷8 x＝3 答：需要3只羊。 【变式4】（2024六年级下·河南驻马店·学业考试）甲、乙两人分别从A、B两地同时出发、相向而行，出发时他们的速度比是3∶2，他们相遇后，甲的速度提高20%，乙的速度提高30%。这样，当甲到达B地时，乙离A地还有7千米，那么A、B两地的距离是多少千米？ 【答案】22.5千米 【思路点拨】本题的关键是“相遇后乙走的路程”。由题意知，相遇前甲、乙速度之比为3∶2，相遇时甲、乙分别走了全程的和。相遇后，甲乙速度之比为（3×120%）∶（2×130%）＝18∶13；时间相同，路程比等于速度比，当甲走完剩下路程的时，乙又走完全程的×＝，这时离A还有全程的－＝，也就是7千米，由此可求出全程是多少，把全程看作单位“1”，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算解答。 【规范解答】相遇前甲、乙速度之比为3∶2，相遇时甲、乙分别走了全程的和。他们第一次相遇后，甲的速度∶乙的速度 ＝[3×（1＋20%）]∶[2×（1＋30%）] ＝[3×120%]∶[2×130%] ＝3.6∶2.6 ＝（3.6×5）∶（2.6×5） ＝18∶13 7÷（－×） ＝7÷（－） ＝7÷（－） ＝7÷ ＝7× ＝22.5（千米） 答：A、B两地间的距离是22.5千米。 【考点评析】本题主要考查了较复杂的相遇问题，正确理解速度、时间、路程之间的关系式，以及利用百分数和比例的知识进行解答。 【变式5】（19-20六年级下·辽宁·单元测试）甲、乙、丙三人跑200m（假设三人匀速），甲到达终点时，乙距终点还有20m，丙距终点还有29m，当乙到达终点时，丙距终点还有多少米？ （用比例解） 【答案】10m 【思路点拨】甲到达终点时，乙距终点还有20m，丙距终点还有29m，即甲到达终点时甲跑了200m，乙跑了180m，丙跑了171m，此时他们用的时间相同。即相同时间内所走的路程成正比。据此即可求解。 【规范解答】解：设丙跑了Xm。 （200－20）∶（200－29）＝200∶X 180∶171＝200∶X 180X＝171×200 180X＝34200 X＝34200÷180 X＝190 200－190＝10（m） 答：丙距终点还有10米。 【考点评析】此题考查学生对比例关系的应用，关键是抓住相同时间内所走的路程成正比例关系。 1．（21-22六年级下·辽宁·单元测试）观察图，（    ）的面积∶（    ）的面积＝a∶b。 A．上面；左面 B．前面；左面 C．左面；左面 D．后面；左面 【答案】A 【思路点拨】根据长方形的面积公式：S＝ab，把数据代入公式，计算出上面、左右、前面、后面的面积，然后进行计算即可。 【规范解答】前面的面积＝后面的面积＝a×b＝ab； 左面的面积＝b×c＝bc； 上面的面积＝a×c＝ac； 前面的面积∶左面的面积为 ab∶bc ＝（ab÷b）∶（bc÷b） ＝ a∶c 上面的面积∶左面的面积为 ac∶bc ＝（ac÷c）∶（bc÷c） ＝ a∶b 观察图，上面的面积∶左面的面积＝a∶b。 故答案为：A 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征，以及长方形面积公式的灵活运用。 2．（21-22六年级下·广东深圳·期末）用5毫升的蜂蜜兑100毫升水调制成蜂蜜水，如果再加入10毫升的蜂蜜，为了使蜂蜜水的甜度不变，需要加入的水可以是（    ）。 A．10毫升 B．200毫升 C．原来的3倍 D．原来的4倍 【答案】B 【思路点拨】根据蜂蜜水的甜度不变，即蜂蜜与水的比值一定，据此列比例解答即可。 【规范解答】解：设需要加入x毫升水。 5∶100＝10∶x 5x＝100×10 5x＝1000 x＝200 故答案为：B 【考点评析】本题主要考查比例的实际应用，答题的关键是明确蜂蜜水的浓度不变，也就是蜂蜜与水的比值一定。 3．（20-21六年级下·陕西西安·期中）十四运会是于2021年9月15日－9月27日在陕西省西安市举办的全民运动会。其设置的大项和分项的数量比为，已知设置的大项有34个，则分项有（    ）个。 A．126 B．136 C．85 D．51 【答案】D 【思路点拨】已知大项和分项的比2∶3，大项为34个，求分项是多少，根据比例的关系，外项积＝内项积，设方程解答即可。 【规范解答】解：设分项是x个。 2∶3＝34∶x 2x＝3×34 2x＝102 2x÷2＝102÷2 x＝51 分项有51个。 故答案为：D 【考点评析】考查了比例的应用，掌握比例的基本性质是解答本题的关键。 4．（23-24六年级下·陕西咸阳·期中）给比例0.5∶6＝3∶36的内项3增加9，要使比例仍然成立，在6和36不变的情况下，0.5应该增加( )。 【答案】1.5 【思路点拨】根据题意，0.5∶6＝3∶36的内项3增加9，要使比例仍然成立，设0.5应该增加，可得出比例方程（0.5＋）∶6＝（3＋9）∶36，解比例即可得解。 【规范解答】解：设0.5应该增加。 （0.5＋）∶6＝（3＋9）∶36 36（0.5＋）＝6×（3＋9） 18＋36＝6×12 18＋36＝72 36＝72－18 36＝54 ＝54÷36 ＝1.5 给比例0.5∶6＝3∶36的内项3增加9，要使比例仍然成立，在6和36不变的情况下，0.5应该增加1.5。 5．（23-24六年级下·广东深圳·期中）笑笑喜欢喝蜂蜜水，她把10克蜂蜜放入180克水中，甜度刚刚好。如果要用25克蜂蜜配制同样甜的蜂蜜水，需要( )克水。 【答案】450 【思路点拨】要配制同样甜的蜂蜜水，可以根据比例的意义解答，据此设如果要配制同样甜的蜂蜜水用25克蜂蜜，需要x克水。列出比例为10∶180＝25∶x，然后解出比例即可。 【规范解答】设：需要x克水。 10∶180＝25∶x 10x＝180×25 10x＝4500 x＝4500÷10 x＝450 则需要450克水。 6．（23-24六年级下·辽宁·课后作业）学校图书馆有科技书和文学书各360本，要使科技书和文学书的本数的比达到2∶3，还要添置( )本文学书。 【答案】180 【思路点拨】 可以设当科技书和文学书的本数的比是2∶3时，现在文学书的本数是x本，科技数的本数不变是360本，利用科技书和文学书的本数之比是2∶3，列出比例，解比例即可求出现在文学书的本数，用现在文学书的本数减去360，所得结果即为需要添置文学书的本数，据此解答。 【规范解答】解：设现在文学书的本数是x本。 360∶x＝2∶3 2×x＝360×3 2x＝1080 2x÷2＝1080÷2 x＝540 540－360＝180（本） 因此要使科技书和文学书的本数的比达到2∶3，还要添置180本文学书。 7．（2023·四川成都·小升初真题）张家与李家本月的收入钱数之比是，本月开支的钱数之比是，月底张家结余630元，李家结余700元，则本月两家共收入( )元。 【答案】4080 【思路点拨】张家与李家本月的收入钱数之比是，可以设张家本月的收入7x元，李家本月的收入为5x元，本月开支的钱＝本月收入的钱－结余的钱，再根据题意列出比例，然后解比例。两家的总收入＝张家收入钱＋李家收入钱 【规范解答】设张家本月的收入7x元，李家本月的收入为5x元。 （7x－630）∶（5x－700）＝7∶4 （5x－700）×7＝（7x－630）×4 35x－4900＝28x－2520 7x＝2380 x＝2380÷7 x＝340 340×7＋340×5 ＝2380＋1700 ＝4080（元） 则本月两家共收入4080元。 8．（19-20六年级下·辽宁·单元测试）把0.25、、4和另一个数组成一个比例，这个数可以是( )、( )、( )。 【答案】 12 【解析】略 9．（20-21六年级下·陕西咸阳·期末）2∶1.8和∶可以组成比例。( ) 【答案】√ 【思路点拨】判断两个比是否能组成比例，可根据比例的性质：两内项之积等于两外项之积进行判断。 【规范解答】由分析可得： 所以2∶1.8和∶符合比例的性质，可以组成比例。 故答案为：√ 【考点评析】此题考查比例性质的运用，验证两个比能否组成比例，关键在于两内项的积是否等于两外项的积。 10．（22-23六年级下·陕西西安·期中）淘气和爷爷的今年年龄的岁数比是，淘气今年的年龄是4岁，爷爷今年的年龄是58岁。( ) 【答案】√ 【思路点拨】可设爷爷今年的年龄是x岁，根据题意，可列出比例式：2∶29＝4∶x，解此比例即可知爷爷今年的年龄。再进行判断即可。 【规范解答】解：设爷爷今年的年龄是x岁。 2∶29＝4∶x 2x＝29×4 2x÷2＝29×4÷2 x＝58 原题说法正确。 故答案为：√ 【考点评析】本题考查了比例的应用，列出比例式2∶29＝4∶x是解答的关键。 11．（23-24六年级下·四川成都·期末）解方程。          【答案】x＝60；x＝ 【思路点拨】（1）先把方程左边化简为x，再根据等式的性质2，把方程两边同时乘即可解答； （2）根据比例的基本性质可得：x＝60%×5，再根据等式的性质2，把方程两边同时乘即可解出方程。 【规范解答】    解：     x＝55 x×＝55× x＝60   解：x＝60%×5 x＝3 x×＝3× x＝ 12．（23-24六年级下·浙江金华·期末）甲、乙两地相距600千米，一辆货车行完全程需要10时。一辆客车和这辆货车同时从甲、乙两地相对开出，已知客车和货车的速度比是3∶2，经过几时能在途中相遇？ 【答案】4小时 【思路点拨】根据路程＝速度×时间，一辆货车行完全程需要10小时，用600除以10计算出货车的速度；已知客车和货车的速度比，计算出客车的速度；最后要求相遇时间，根据相遇时间＝路程÷速度之和，代入数值计算，所得结果即为经过多少小时两车能相遇。 【规范解答】解：设客车的速度为x。 货车的速度：600÷10＝60（千米/小时） x∶60＝3∶2 2x＝60×3 2x＝180 2x÷2＝180÷2 x＝90 客车每小时行驶90千米。 相遇时间：600÷（60＋90） ＝600÷150 ＝4（小时） 答：经过4小时能在途中相遇。 13．（23-24六年级下·河南商丘·期末）淘气身高1.4米，测得影长2.1米，同一时刻、同一地点测得一栋楼的影长22.5米，这栋楼的高度是多少米？（用比例解答） 【答案】15米 【思路点拨】物体的高度和它的影长的比值是一定的。即物体的高度和它的影长成正比例。设这栋楼的高度是x米。淘气身高与影长的比为1.4∶2.1，楼的高度与影长的比为x∶22.5，可列出比例：1.4∶2.1＝x∶22.5。再解比例即可。 【规范解答】解：设这栋楼的高度是x米 1.4∶2.1＝x∶22.5 2.1x＝1.4×22.5 2.1x÷2.1＝31.5÷2.1 x＝31.5÷2.1 x＝15 答：这栋楼的高度是15米。 14．（23-24六年级下·陕西渭南·期末）成语“立竿见影”在《辞源》里的解释为“竿立而影现，喻收效迅速”。希望小学开展了测量旗杆有多高的实践活动。同学们进行了如下操作：某天下午5时，先测出旗杆的影子长度，接着在同一时间，同一地点，测得一根木棍的高度和它的影子的长度，如图所示。 用数学的眼光看，测量旗杆有多高的实践活动应用了（    ）的相关知识。 请你计算：旗杆的高度是多少米？ 【答案】比例；18米 【思路点拨】影长÷杆长＝每米杆子的影长（一定），所以影长和杆长成正比例；物体的长度和它的影子的长度的比值一定，即物体的长度和它的影子的长度的成正比例，由此列比例方程解答即可。 【规范解答】用数学的眼光看，测量旗杆有多高的实践活动应用了比例的相关知识。 解：设旗杆的高度是x米。 x∶30＝1.5∶2.5 2.5x＝30×1.5 2.5x＝45 2.5x÷2.5＝45÷2.5 x＝45÷2.5 x＝18 答：旗杆的高度是18米。 【考点评析】本题考查用比例解决问题，解答本题的关键是掌握物体的长度和它的影子的长度的比值一定，列出比例方程解决问题。 15．（2024六年级下·辽宁·专题练习）雏鹰小学开展阳光运动，调查了六年级学生喜欢的球类活动（每人只选一项自己喜欢的活动项目），并将调查情况制成如表统计表和统计图。（不完整） 球类项目 排球 篮球 足球 其他 喜欢人数 40人 40人 20人 （1）将统计表和统计图补充完整。 （2）如果其他球类项目中，有的学生喜欢羽毛球，喜欢乒乓球的人数与喜欢羽毛球的人数比是，有多少人喜欢乒乓球？（用比例解） 【答案】（1）见详解； （2）x＝4 【思路点拨】（1）从扇形统计图中可知，其他的人数占了总人数的12.5%，从统计表中可知是20人，已知一个数的百分之几，求这个数用除法得出总人数是160人。喜欢足球的人数＝总人数－喜欢排球的人数－喜欢篮球的人数－其他的人数。求出喜欢排球和篮球的人数占总人数的百分数，分别用喜欢排球和篮球的人数÷总人数×。喜欢足球的人数占总人数的百分数＝喜欢足球的人数÷总人数×。 （2）从统计表可知，其他类的是20人，喜欢羽毛球的人数咱占其他总人数的60%，求一个数的百分之几用乘法，得出喜欢羽毛球的人数。设有人喜欢乒乓球，列出比例式为：，利用比例的基本性质解比例即可。 【规范解答】（1）（人） 160－40－40－20＝60（人） 球类项目 排球 篮球 足球 其他 喜欢人数 40人 40人 60人 20人     （3）设有人喜欢乒乓球。 答：有4人喜欢乒乓球。 16．（22-23六年级下·安徽阜阳·期中）用黄铜和黄金制成一种合金。现有黄金45g，黄铜150g，要使制成的合金中黄金和黄铜的比是2∶5，还应加入多少克的黄金？（列比例解答） 【答案】15克 【思路点拨】设还应加入x克的黄金，则黄金的克数为（45＋x），再根据制成的合金中黄金和黄铜的比是2∶5列出比例求解即可。 【规范解答】解：设还应加入x克的黄金。 答：还应加入15克黄金。 17．（18-19六年级下·四川成都·期末）如图1，一个底面积为100cm2，高为20cm的长方体水盒内有一个高相同的圆柱形水杯，以不变的水流速度先向水杯中注水，注满水杯后，继续注水，直到注满整个盒子。盒子内水面上升的高度h与注水时间t的关系如图2。 （1）求水杯的底面积。 （2）求注水速度（cm3/秒）。（计算时，容器的厚度与体积均忽略不计） 【答案】（1）20平方厘米 （2）平方厘米/秒 【思路点拨】（1）根据水面上升的高度h与注水时间t的图象关系可知：注满圆柱水杯用12秒，注满长方体水盒用60秒，水杯与水盒的高度相同，注水的速度相同，那么水杯的底面积与水盒的底面积的比等于注满水杯的时间与注满水盒的时间比，即：水杯底面积∶100＝12∶60，即可求出水杯的底面积； （2）根据长方体的体积，底面积×高，求出长方体的体积，注面长方体的体积需要时间是60秒，用长方体的体积÷60，就是每秒钟注水的速度，即可解答。 【规范解答】（1）根据分析可知：水杯底面积∶100＝12∶60 水杯底面积：100×＝20（平方厘米） 答：水杯底面积是20平方厘米。 （2）100×20÷60 ＝2000÷60 ＝（平方厘米/秒） 答：注水的速度是平方厘米/秒。 【考点评析】本题考查比例的基本性质以及长方体体积公式的应用。 18．（21-22六年级上·辽宁·周测）兄弟两人月收入的比为4∶3，月支出比为11∶6，月结余均为3600元，问每人每月收入多少元？ 【答案】8000元；6000元 【思路点拨】可以设兄弟两人月收入分别为4x元，3x元，由于月结余均3600元，由此即可知道兄弟两人分别花的钱数，即4x－3600；3x－3600，由于月支出的比为11∶6，由此即可根据比例的意义列出方程，即（4x－3600）∶（3x－3600）＝11∶6，再根据比例的基本性质和等式的性质解方程即可，之后再分别乘兄弟两人月收入的份数即可。 【规范解答】解：设兄弟两人月收入分别为4x元，3x元 （4x－3600）∶（3x－3600）＝11∶6 6×（4x－3600）＝11×（3x－3600） 24x－21600＝33x－39600 33x－24x＝39600－21600 9x＝18000 x＝18000÷9 x＝2000 2000×4＝8000（元） 2000×3＝6000（元） 答：兄弟两人每个月的收入分别是8000元、6000元。 【考点评析】本题主要考查比例的应用，要找准等量关系是解答关键。 19．（19-20六年级下·辽宁·单元测试）当甲在60m赛跑中冲过终点线时，比乙领先10m，比丙领先20m。如果乙和丙按各自原来的速度继续冲向终点，那么当乙到达终点时，将比丙领先几米？ 【答案】12米 【思路点拨】先求出乙和丙的速度比，再根据速度比列出比例解答即可。 【规范解答】乙和丙的速度比为（60－10）∶（60－20）＝5∶4 解：设乙到达终点时，比丙领先x m。 5∶4＝10∶（20－x） 5（20-x）=40 100-5x=40 5x=60 x＝12 答：将比丙领先12米。 【考点评析】本题考查了比例应用题，求出乙和丙的速度比是关键。 20．（2024六年级下·全国·专题练习）我国逐渐完善养老金制度，居民可自行缴纳养老金。甲、乙两人计划用相同的年数分别缴纳养老金18万元和12万元。甲计划每年比乙多缴纳保险金0.2万元。若乙每年缴纳保险金x万元，则根据题意可列出比例为（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】设乙每年缴纳养老保险为x万元，则甲每年缴纳养老保险金为（x＋0.2）万元，根据甲、乙两人计划用相同的年数分别缴纳养老保险金18万元和12万元可知，18比上（x＋0.2）万元等于12比上x万元。 【规范解答】根据题意可列出比例为。 故答案为：B 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$