专题04 点到直线的距离（6种核心考点+过关测试）-【寒假自学课】2025年高二数学寒假提升精品讲义（沪教版2020）

专题04 点到直线的距离（6种核心考点+过关测试） 题型聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 知识梳理：知识点和关键点梳理，查漏补缺 核心考点：难点内容标注与讲解，能力提升 过关测试：真题感知+精选专练，全面突破 【题型1 求点到直线的距离】 【题型2 直线围成图形的面积问题】 【题型3 已知点到直线距离求参数】 【题型4 求点关于直线的对称点】 【题型5 光线反射问题(2)——直线关于直线对称】 【题型6 坐标法的应用——点到直线的距离】 一．两点间的距离 1.两点间的距离公式 平面上任意两点间的距离公式为. 特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离． 2．两点间距离公式的推导 法一：已知平面上的任意两点，向量，则. 因此得到平面上的任意两点的距离公式为：. 法二：已知平面上的任意两点，如何求点间的距离? 如图，过点分别向y轴和x轴作垂线和，垂足分别为，，直线与相交于点Q． 在中，，过点向x轴作垂线，垂足为；过点向轴作垂线，垂足为，所以，同理可得． 所以． 由此得到平面上任意两点间的距离公式为． 二．对称问题 对称问题包括点关于点的对称、点关于直线的对称、直线关于点的对称． 1．点关于点对称 点关于点的对称是对称问题中最基本的问题，是解决其他对称问题的基础，一般用中点坐标公式解决这种对称问题． 设点关于点M（a，b）的对称点为P′（x，y），则有，所以，即点．特别地，点P关于坐标原点O的对称点为． 2．点关于直线对称 对于点关于直线的对称问题，若点P关于直线l的对称点为，则直线l为线段的中垂线，于是有等量关系： ①（直线l的斜率存在且不为零）； ②线段的中点在直线l上； ③直线l上任意一点M到P，的距离相等，即． 常见的点关于直线的对称点： 1 点关于x轴的对称点； 2 点关于y轴的对称点； 3 点关于直线y=x的对称点； 4 点关于直线y=−x的对称点； ⑤点关于直线x=m（m≠0）的对称点； 5 点关于直线y=n（n≠0）的对称点． 三．点到直线的距离 1．点到直线的距离 点到直线的距离，是指从点到直线的垂线段的长度，其中为垂足．实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外一点所连线段的长度的最小值． 2．点到直线的距离公式 平面上任意一点到直线l：Ax+By+C=0（A，B不同时为0）的距离为． 3．点到直线的距离公式的推导 如图，设，则直线l与x轴和y轴都相交，过点分别作x轴和y轴的平行线，交直线l于R和S，则直线的方程为，R的坐标为；直线的方程为，S的坐标为， 于是有，， ． 设，由三角形面积公式可得， 于是得． 因此，点到直线l：Ax+By+C=0的距离． 可以验证，当A=0，或B=0时，上述公式也成立． 【点拨】用向量法推导点P到直线l的距离|PQ|公式的向量法推导，在直线上取任意一点M，与直线方向向量垂直的单位向量为n，则有 ，所以有. 四．点到直线的距离问题 （1）求点到直线的距离时，若给出的直线方程不是一般式，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可． （2）对于与坐标轴平行（或重合）的直线x=a或y=b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成或． （3）若已知点到直线的距离求参数或直线方程时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可． 【题型1 求点到直线的距离】 1．（22-23高二·上海·期中）以，，为顶点的三角形的面积等于（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求平面两点间的距离、求点到直线的距离 【分析】先求出及直线的方程，再利用距离公式求出到直线的距离，按照三角形的面积公式即可求解. 【详解】由题意知：，直线的方程为，即，则到直线的距离为， 故三角形的面积为. 故选：A. 2．（高二·上海·课后作业）点到直线和直线的距离相等，则点P的坐标应满足的是（    ）． A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求点到直线的距离 【分析】利用点到直线的距离求解. 【详解】解：因为点到直线和直线的距离相等， 所以， 化简得：或， 故选：A 3．（24-25高二上·上海·阶段练习）过点且和原点距离是2的直线方程是 . 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】求点到直线的距离、已知点到直线距离求参数 【分析】通过斜率存在、不存在两类情况讨论即可. 【详解】依题意，当斜率不存在时，直线方程为：，此时原点到直线的距离为2，满足题意， 当斜率存在时， 所以设直线方程为，即，又原点到直线的距离等于2， 所以，解得． 所以直线方程为或． 故答案为：或． 4．（24-25高二上·上海·期中）直线绕其与轴的交点顺时针旋转所得的直线方程为，则原点到的距离为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、直线的点斜式方程及辨析、求点到直线的距离 【分析】求出直线与轴的交点坐标、斜率，利用两角差的正切公式，求出所求直线的方程，再求出原点到直线的距离. 【详解】设直线的倾斜角为，则，直线的倾斜角为， 设直线的斜率为，则， ∵直线与轴的交点为， 所以直线的方程：，即． 原点到的距离为. 故答案为：． 5．（24-25高二上·上海·期中）平面直角坐标系中的点集，则集合中任意一点到坐标原点距离的最小值为 . 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求点到直线的距离 【分析】根据点到直线的距离公式，结合辅助角公式，即可求解. 【详解】表示直线上的点构成的集合， 故原点到直线的距离为，其中为锐角且， 故的最小值为，故集合中任意一点到坐标原点距离的最小值为， 故答案为： 【题型2 直线围成图形的面积问题】 1．（21-22高二·上海·课后作业）已知的顶点为、、，直线与平行，且将分成面积相等的两部分，则直线的方程为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】直线围成图形的面积问题 【分析】根据相似三角形的性质，结合点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】设直线与 、分别交于两点，因为直线与平行， 所以∽，设点到直线与的距离分别为， 因为直线与平行，且将分成面积相等的两部分， 所以， 因为、， 所以直线的方程为：， 因为直线与平行，所以设直线的方程为， 于是有，， 因此有， 当时，直线的方程为，令，得， 此时显然点在直线与直线之间，不符合题意， 当时，直线的方程为，令，得， 此时显然直线与边 、分别相交，符合题意， 故答案为： 2．（22-23高二下·上海黄浦·期中）已知的三个顶点，，. (1)求直线的方程； (2)求的面积. 【答案】(1) (2)7 【难度】0.85 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线围成图形的面积问题、求平面两点间的距离、求点到直线的距离 【分析】（1）首先求出的斜率，再由点斜式求出直线方程； （2）求出点到直线的距离，再求出的长度，最后由面积公式计算可得. 【详解】（1）因为，， 所以，所以，化简可得. （2）点到直线的距离， ， 则. 3．（23-24高二上·上海·期末）已知直线，，，三条直线围成，则当面积取得最大时的值为 . 【答案】1 【难度】0.65 【知识点】直线交点系方程及应用、直线围成图形的面积问题、基本不等式求和的最小值、求点到直线的距离 【分析】首先判断直线和的定点，判断的形状，再求直线与直线的交点，利用点到直线的距离表示边长，再求解三角形的面积，并利用基本不等式求最值. 【详解】直线，即，恒过定点， 直线，即，也恒过定点， 所以直线与相交于定点， 由，解得，可知直线与直线相交于点， 又因为直线与直线相互垂直，所以是为直角的直角三角形， 因为点到的距离， 点到,的距离， 所以的面积， 时，的面积不可能取到最大值； 时，，当且仅当时，等号成立． 因此，当时，的面积有最大值． 故答案为：1 【题型3 已知点到直线距离求参数】 1．（23-24高二上·上海·课后作业）已知到直线的距离等于3，则a的值为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】已知点到直线距离求参数 【分析】 由距离公式，解方程得出a的值. 【详解】由距离公式可得，，即解得或. 故选：C 2．（23-24高二上·上海·课后作业）已知点，点B在直线上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】已知点到直线距离求参数 【分析】设点的坐标是，则线段AB垂直直线时，线段AB最短，根据两直线垂直的斜率关系即可求解. 【详解】因为点在直线上运动， 所以可设点的坐标是， 当线段AB垂直直线时，线段AB最短， 由直线得其斜率为-1， 则，得， 所以的坐标是. 故选：A 3．（21-22高二·上海·课后作业）点到直线的距离大于5，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】已知点到直线距离求参数 【分析】利用点到直线的距离公式列不等式即可求得. 【详解】因为点到直线的距离大于5， 所以，解得：或， 所以实数的取值范围为. 故选：B 4．（21-22高二·上海·课后作业）已知、，若A与B到直线l的距离都为2，则满足条件的直线l有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】已知点到直线距离求参数、由两条直线平行求方程 【分析】首先求出的斜率与中点坐标，再分两种情况讨论，直线过的中点与直线与平行，分别设出直线方程，利用距离公式得到方程，解得即可； 【详解】解：，，所以，且的中点为， 若直线过的中点，显然直线的斜率存在，设直线为， 即，则到直线的距离， 即，解得或； 所以直线为或； 若直线与平行，设直线为，则到直线的距离， 解得或，所以直线为或； 综上可得满足条件的直线有4条； 故选：D 5．（22-23高二下·上海杨浦·期中）直线关于点对称的直线的一般式方程为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知点到直线距离求参数、由两条直线平行求方程 【分析】由直线关于点对称的直线与已知直线平行，设出所求直线方程，再根据点到两条直线的距离相等可解出答案. 【详解】设对称直线为， 根据点到两条直线的距离相等， 则有，即，解得（舍）或. 所以对称直线的方程为. 故答案为：. 【题型4 求点关于直线的对称点】 1．（24-25高二上·上海·期中）已知点在直线上，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求点关于直线的对称点 【分析】问题转化为直线上的点到点和的距离之和最小，利用对称点求解可得. 【详解】因为 表示到点和的距离之和. 又在直线上，关于的对称点为， 所以，三点共线时等号成立， 所以，所求最小值为：. 故选：B 2．（21-22高二上·上海·期末）直线关于直线对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求点关于直线的对称点、直线关于直线对称问题 【分析】先联立方程得，再求得直线的点关于直线对称点的坐标为，进而根据题意得所求直线过点，，进而得直线方程. 【详解】解：联立方程得，即直线与直线的交点为 设直线的点关于直线对称点的坐标为， 所以，解得 所以直线关于直线对称的直线过点， 所以所求直线方程的斜率为， 所以所求直线的方程为，即 故选：C 3．（20-21高二上·上海宝山·期中）已知平面内点一定点，点M、N分别是x轴和直线上的两个动点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、求点关于直线的对称点 【分析】利用对称性，作点关于轴的对称点，， 利用数形结合求的最小值. 【详解】作出点关于轴的对称点,则, 最小值即为到直线的距离, 所以的最小值为. 故答案为：. 4．（24-25高二上·上海奉贤·期中）已知点，在轴和直线上各取一点、，则的周长最小值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求平面两点间的距离、求点关于直线的对称点 【分析】作出图形，数形结合，由两点间距离公式求解即可； 【详解】 作点关于轴的对称点，和关于直线的对称点， 连接交轴于点，交直线于点， 此时的周长最小值，最小值为， 故答案为：. 【题型5 光线反射问题(2)——直线关于直线对称】 1．（22-23高二下·上海静安·期中）光线沿着直线射到直线上，经反射后沿着直线射出，则实数 ． 【答案】6或－2 【难度】0.94 【知识点】光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】根据反射光线上的点关于直线的对称点一定在入射光线上，即可求解. 【详解】在直线上任意取一点， 由题知点关于直线的对称点在直线上， 则，整理得，解得或. 故答案为：6或－2. 2．（23-24高二上·上海浦东·期中）如图，在直角坐标系中，已知，，从点射出的光线经直线反射到轴上，再经轴反射后又回到点，则光线所经过的路程的为 .    【答案】 【难度】0.85 【知识点】求点关于直线的对称点、光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】作出点关于轴的对称点以及关于的对称点，将问题转化为求解，由此求解出结果. 【详解】点关于轴的对称点，关于的对称点，如图所示，      又因为，，所以直线方程为：，即， 所以，解得，即. 所以光线经过的路程为. 故答案为： 3．（23-24高二上·上海·阶段练习）在等腰直角三角形ABC中，，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发经BC，CA反射后又回到点P，若光线QR经过的重心，则的周长等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】以为坐标原点，,所在直线为轴，轴，建立如图所示的平面直角坐标系，通过对称光线的对称关系找到点关于，的对称点，，则即为的长. 【详解】解析：以为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，， 所以直线的方程为. 设，点关于直线的对称点为，点关于轴的对称点为， 易得，. 易知直线就是所在的直线. 所以直线的方程为. 设的重心为，则， 所以，即，所以（舍去）或， 所以，. 结合对称关系可知，， 所以的周长即线段的长度为： . 故选：A. 4．（2023·上海·模拟预测）已知，，从点处射出的光线经x轴反射后，反射光线与平行，且点B到该反射光线的距离为，则实数 ． 【答案】4或14 【难度】0.65 【知识点】已知点到直线距离求参数、光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】根据平行线的性质设出反射光线的方程，结合点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】因为，故可设反射光线的方程为， 因为B到该直线的距离为，故，解得或－10． 当时，反射光线的方程为， 点关于x轴对称的点坐标为，显然点在反射光线上， 把点代入方程得，故； 当时，反射光线的方程为， 将点代入方程解得．综上，或14． 故答案为：4或14 5．（22-23高二上·上海嘉定·期末）一条沿直线传播的光线经过点和，然后被直线反射，则反射光线所在直线方程为 （用一般式表示） 【答案】 【难度】0.65 【知识点】光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】根据题意，先得到所在直线方程，然后联立两直线方程得到入射点坐标，再求得点关于直线的对称点的坐标，即可得到反射光线的直线方程. 【详解】由题意可得所在直线方程为:，即， 联立直线方程，解得入射点， 设点关于直线的对称点为 则，解得，所以， 即反射光线方程为:，即 故答案为: 【题型6 坐标法的应用——点到直线的距离】 1．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知为直线上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．3 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、坐标法的应用——点到直线的距离 【分析】利用两点的距离公式结合“将军饮马”模型计算最值即可. 【详解】如图，为点到原点和到点的距离之和， 即． 设关于直线对称的点为， 则，解得，即， 则，当三点共线时，取到最小值， 且最小值为． 故选：D. 2．（22-23高二上·上海·期末）已知实数，则的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.15 【知识点】坐标法的应用——点到直线的距离 【分析】根据题意，设直线：，则的几何意义为，点到直线的距离，即可求出取值范围. 【详解】根据题意，设直线：，设点 那么点到直线的距离为：， 因为，所以，且直线的斜率， 当直线的斜率不存在时，，所以， 当时， ， 所以，即， 因为，所以， 故答案为：. 3．（高二下·上海·阶段练习）定义点P(x0，y0)到直线l：ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)的有向距离为.已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2.以下命题正确的是（    ） A．若d1＝d2＝1，则直线P1P2与直线l平行 B．若d1＝1，d2＝－1，则直线P1P2与直线l垂直 C．若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l垂直 D．若d1·d2≤0，则直线P1P2与直线l相交 【答案】A 【难度】0.15 【知识点】距离新定义、点到直线的有向距离、已知点到直线距离求参数 【分析】由有向距离的定义可知B中直线P1P2不一定与直线l垂直，C和D中直线P1P2与直线l有可能重合. 【详解】设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 对于A，若d1＝d2＝1， 则， 所以直线P1P2与直线l平行，正确； 对于B，点P1，P2在直线l的两侧且到直线l的距离相等， 直线P1P2不一定与直线l垂直，错误； 对于C，若d1＝d2＝0，满足d1＋d2＝0， 即ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c＝0， 则点P1，P2都在直线l上，所以此时直线P1P2与直线l重合，错误； 对于D，若d1·d2≤0， 即(ax1＋by1＋c)(ax2＋by2＋c)≤0， 所以点P1，P2分别位于直线l的两侧或在直线l上， 所以直线P1P2与直线l相交或重合，错误． 故选：A 一、单选题 1．（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）已知直线，,则下列说法中错误的是（   ） A．直线过定点 B．当时， C．当时，与重合 D．当时，、之间的距离为 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】直线过定点问题、求平行线间的距离、由一般式方程判断直线的垂直 【分析】 对A：将点代入即可得；对B、C、D，将对应的代入即可得. 【详解】对A：将点代入，有，故正确； 对B：当时，， 即，， ， 即，， 有，即，故正确； 对C：当时，， 即，即， ，即，与平行，故错误； 对D：当时，， ，即， ，故正确. 故选：C. 2．（20-21高二上·上海浦东新·阶段练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求点关于直线的对称点、求平面两点间的距离 【分析】设关于的对称点为，列方程求对称点坐标，再应用两点距离公式求“将军饮马”的最短总路程. 【详解】设关于的对称点为， 所以，可得，即对称点为，又 所以“将军饮马”的最短总路程为. 故选：A 3．（24-25高二上·上海·阶段练习），分别为直线与上任意一点，则最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求平行线间的距离 【分析】利用两平行线间的距离公式可求出的最小值. 【详解】由，可得两条直线相互平行， 所以最小值为平行线之间的距离，可化为， 所以，. 故选：A 4．（2023·上海静安·二模）设直线与关于直线对称，则直线的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】两条直线的到（夹）角公式、直线关于直线对称问题、求直线交点坐标 【分析】根据三条直线交于一点，再利用点关于直线的对称点公式，求直线上一点，即可求解. 【详解】联立，得， 取直线上一点，设点关于直线的对称点为，则，解得：， 直线的斜率，所以直线的方程为， 整理为：. 故选：A 二、填空题 5．（24-25高二上·上海·期中）平行直线与之间的距离是 . 【答案】/ 【难度】0.94 【知识点】求平行线间的距离 【分析】根据平行线间的距离公式即可求得答案. 【详解】由题意得即， 则平行直线与之间的距离是. 故答案为：. 6．（24-25高二上·上海·期中）已知直线与直线，则它们之间的距离为 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】求平行线间的距离 【分析】利用平行线间的距离公式求解. 【详解】因为， 所以两直线之间的距离. 故答案为： 7．（22-23高二上·上海浦东新·阶段练习）直线与直线交于点P，则点P到直线（）的最大距离为 【答案】 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、求点到直线的距离、求直线交点坐标、求平面两点间的距离 【分析】由题可得，由直线方程可得直线恒过定点，进而即得. 【详解】由， 可得，即， 又，即， 由，可得， 所以直线恒过定点， 则点P到直线（）的最大距离为. 故答案为：. 8．（21-22高二下·上海虹口·期末）已知点在直线上，则的最小值为 ． 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离 【分析】将的最小值转化为原点到直线的距离来求解即可. 【详解】可以理解为点到点的距离， 又∵点在直线上， ∴的最小值等于点到直线的距离， 且. 故答案为：. 9．（2023·上海徐汇·一模）已知正实数满足，则的取最小值 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求平面两点间的距离、求点关于直线的对称点、求点到直线的距离 【分析】利用代数式和几何图形的关系，将问题转化为距离之和的最小值即可求解. 【详解】设直线，点在直线上，且在第一象限， 设点， 所以， 如图所示， 点A关于直线对称的点设为， 则有解得， 所以，由图可知，当在直线时， 最小，最小值为， 即的最小值为， 故答案为：. 10．（20-21高二上·上海长宁·期中）在平面直角坐标系中，动点到两条直线与的距离之和等于，则点到原点距离的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离 【分析】分析可知故直线与垂直，且均经过原点，设设点到直线与的距离分别为、，则，且，利用勾股定理结合二次函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】直线与的斜率分别为、，且， 故直线与垂直，且均经过原点， 设点到直线与的距离分别为、，则，且， 所以，， 所以. 故答案为：. 11．（23-24高二下·上海黄浦·阶段练习）平面中两条直线、相交于点O，对于平面上任意一点M，若p，q分别是M到直线和的距离，则称有序非负实数对是点M的“距离坐标”．已知常数，，给出下列命题： （1）若，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有1个； （2）若，，则“距离坐标”为的点有且仅有2个； （3）若，则“距离坐标”为的点有且仅有4个． 以上命题中，正确的命题是 ． 【答案】（1）（2）（3） 【难度】0.65 【知识点】距离新定义 【分析】根据“距离坐标”的概念，结合图象，即可得出答案. 【详解】对于（1），只有当点M与点O重合时，满足题意.故（1）正确； 对于（2），不妨假设，则点在直线上. 又点到直线的距离为， 如图1，作的两条平行线，使得与的距离均为. 由定义结合图象可知，直线与的交点满足条件. 所以，“距离坐标”为的点有且仅有2个.故（2）正确； 对于（3），如图2，作的两条平行线，使得与的距离均为；作的两条平行线，使得与的距离均为. 由定义结合图象可知，满足条件的点有且仅有4个.故（3）正确. 故答案为：（1）（2）（3）. 12．（24-25高二下·上海·单元测试）已知直线方程为，直线的一个单位法向量为，若点P是直线上任意一点，则 ，若点到直线的距离为1，则的值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】数量积的坐标表示、求点到直线的距离 【分析】设点P的坐标为，求出单位法向量为的坐标，计算数量积即可，由点到直线的距离即可求出的值. 【详解】设点P的坐标为， ，； 点到直线的距离为， 所以， 故答案为：； 13．（24-25高二上·上海·阶段练习）新定义：如图，圆与直线相离，过圆心作直线的垂线，垂足为，交圆于、两点（在、之间），我们把点称为圆关于直线的“近点”，把的值称为圆关于直线的“秘钥数”.根据新定义解决问题：在平面直角坐标系中，直线经过点，点是坐标平面内一点，以为圆心，为半径作圆.若与直线相离，点是圆关于直线的“近点”，且圆关于直线的“秘钥数”是，则直线的表达式为 . 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】已知点到直线距离求参数 【分析】分析可知，点到直线的距离为，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，当直线的斜率不存在时，直接检验即可；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式求出的值，综合可得出直线的方程. 【详解】设点到直线的距离为，因为圆关于直线的“秘钥数”是，且圆的半径为， 则根据题中定义可得，可得， 若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时，点到直线的距离为，不合乎题意； 若直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 根据题意可得，解得或， 所以，直线的方程为或. 故答案为：或. 14．（22-23高二下·上海金山·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知动点到两直线与的距离之和为，则的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】求分式型目标函数的最值、求点到直线的距离、斜率公式的应用 【分析】由题意可知满足为四边形的四边上任意一点，然后画图由几何意义求解即可. 【详解】将直线与的方程化为一般式为， ，所以到两直线的距离之和为：， 所以①. 当时，①式变形为：； 当时，①式变形为：； 当时，①式变形为：； 当时，①式变形为：； 则动点为如图所示的四边形的边，   的几何意义为正方形边上任意一点与连线的斜率. ，，，. 则的取值范围是：. 故答案为：. 15．（24-25高二上·上海·阶段练习）定义：点到直线（不全为零）的有向距离为.设点到直线l的有向距离为.已知两定点与，到直线l的有向距离之差的绝对值等于，且在直线l的同侧，则平面上不在任何一条直线l上的点组成的图形面积为 . 【答案】8 【难度】0.4 【知识点】直线围成图形的面积问题、距离新定义、直线一般式方程与其他形式之间的互化 【分析】结合有向距离定义，化简可得，由在直线l的同侧得，化简得的范围，由直线与直线的变化数形结合可得. 【详解】由题意两定点与到直线的有向距离分别为 ，， 因为，所以， 即，化简得，则. 又由不全为零，则，且. 当时，可化为； 当时，可化为； 又因为在直线l的同侧， 则. 解得或. 所以直线可表示平面上两平行直线与之间带状区域以外的点， 其中不能表示两平行直线上的点； 直线可表示平面上两平行直线与之间带状区域以外的点， 其中不能表示两平行直线上的点； 结合图形可知，平面上不在任何一条直线l上的点组成的图形为以为对角线的正方形， 由，则该正方形的面积. 故答案为：.    【点睛】结论点睛：根据有向距离的定义，可得如下结论： 在直线同侧的点，有向距离的符号相同；在直线异侧的点，有向距离的符号相反.即点在直线的同侧；点在直线的异侧. 16．（24-25高二上·上海奉贤·期中）在平面直角坐标系中，已知动点到两直线与的距离之和为，则的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】已知两点求斜率、求点到直线的距离、求直线交点坐标、求平面轨迹方程 【分析】由题意可知满足为四边形的四边上任意一点，然后画图由几何意义求解即可. 【详解】将直线与的方程化为一般式为， ，所以到两直线的距离之和为：， 所以①. 当时，①式变形为：； 当时，①式变形为：； 当时，①式变形为：； 当时，①式变形为：； 则动点为如图所示的四边形的边，   的几何意义为正方形边上任意一点与连线的斜率. 易知，， ，， 所以的取值范围是， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是去绝对值符号得到点的轨迹，再由的几何意义求解即可. 三、解答题 17．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知直线的倾斜角为，，且这条直线经过点. (1)求直线的方程； (2)直线恒过定点，求点到直线的距离. 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线过定点问题、求点到直线的距离 【分析】（1）求出直线斜率，由点斜式求出直线方程； （2）直线变形后求出定点坐标，进而由点到直线距离公式求出答案. 【详解】（1）由题可得，，则，， ∴直线的斜率，且直线过点， ∴由直线的点斜式方程得， 即； （2）∵直线化简得：， 令，解得，∴定点， 则点到直线的距离， ∴到直线的距离为. 18．（24-25高二上·上海·课后作业）如图，OAB是一张三角形纸片，，，，设与、的交点分别为、，将沿直线折叠后，使落在边上的点处．设，试用表示点到距离． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求直线交点坐标、求两点的对称轴 【分析】利用点与关于直线对称，求直线的方程，再与直线方程联立，求点的坐标，即可求点到的距离. 【详解】以为原点，边所在的直线分别为轴、轴建立如图所示的平面直角坐标系， 设，因为，所以． 连接，因为点与点对称，所以． 当时，直线的斜率不存在，此时直线的方程为，点到的距离为．当时，．因为的中点为， 从而直线的方程为， 即．① 又直线的方程为，② 由①②解得，即点的横坐标为， 所以点到距离为. 当时也满足上式． 所以点到距离为. 19．（24-25高二上·上海·期中）已知直线经过点. (1)若直线与轴、轴的正半轴分别交于两点，当的面积最小时，求直线的方程； (2)若直线和、分别交于两点，且，求直线的方程. 【答案】(1)； (2)或. 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线截距式方程及辨析、基本不等式求和的最小值、求平行线间的距离 【分析】（1）设，利用直线的截距式方程，结合基本不等式求出三角形面积最小值即可得解. （2）求出平行直线的距离，结合已知求出直线与的夹角，再借助倾斜角的关系，利用差角的正切求出斜率，进而求出直线方程. 【详解】（1）设，则直线，由直线经过点， 得，于是，即，当且仅当时取等号， ，因此当时，的面积最小，直线， 所以直线的方程为. （2）直线、，则，直线间距离， 过作于，则，而，则，， 设直线的倾斜角为，，设直线的倾斜角为，由直线与的夹角为， 得或，于是或， 因此直线：或，即或， 所以直线的方程为或. 20．（23-24高二上·上海·期末）定义：设P、Q分别为曲线和上的点，把P、Q两点距离的最小值称为曲线到的距离． (1)求曲线到直线的距离； (2)求圆到曲线的距离． 【答案】(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】基本不等式求和的最小值、求平行线间的距离 【分析】（1）求直线和直线平行，并与抛物线相切，然后两直线之间的距离即为所求. （2）把问题转化为点到曲线上点的距离的最小值，再求解. 【详解】（1）如图：    设直线：，代入，得：， 由得. 直线，的距离为：即为所求. （2）如图：    曲线化为， 取曲线上任意一点，先求的最小值. 设，，则且，，，. 所以（当且仅当时取“”）， 所以， 所以所求的距离为：. 【点睛】关键点睛：采用数形结合的方法，把所求的距离进行合理转化是解决问题的关键. 21．（24-25高二上·上海·课后作业）若恰有三组不全为0的实数对满足关系式，求实数t的所有可能的值． 【答案】，，． 【难度】0.4 【知识点】已知点到直线距离求参数、求点到直线的距离 【分析】化简得到，然后，根据情况，对进行分类讨论即可求解. 【详解】由已知得， 整理，得， 看成有且仅有三条直线满足，和）到直线：（不过原点）的距离相等．由， （1）当，此时，易得符合题意的直线为线段的垂直平分线以及直线平行的两条直线和； （2）当时，有4条直线会使得点和到它们的距离相等，注意到不过原点，所以，当其中一条直线过原点时，会作为增根被舍去． 设点到的距离为． （1）作为增根被舍去的直线，过原点和、的中点，其方程为，此时，，符合； （2）作为增根被舍去的直线，过原点且以为方向向量，其方程为，此时，，符合． 综上，满足题意的实数为，，． 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于化简得到，将问题转化为，有且仅有三条直线满足，和到直线（不过原点）的距离相等，这是本题的解题关键. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 点到直线的距离（6种核心考点+过关测试） 题型聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 知识梳理：知识点和关键点梳理，查漏补缺 核心考点：难点内容标注与讲解，能力提升 过关测试：真题感知+精选专练，全面突破 【题型1 求点到直线的距离】 【题型2 直线围成图形的面积问题】 【题型3 已知点到直线距离求参数】 【题型4 求点关于直线的对称点】 【题型5 光线反射问题(2)——直线关于直线对称】 【题型6 坐标法的应用——点到直线的距离】 一．两点间的距离 1.两点间的距离公式 平面上任意两点间的距离公式为. 特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离． 2．两点间距离公式的推导 法一：已知平面上的任意两点，向量，则. 因此得到平面上的任意两点的距离公式为：. 法二：已知平面上的任意两点，如何求点间的距离? 如图，过点分别向y轴和x轴作垂线和，垂足分别为，，直线与相交于点Q． 在中，，过点向x轴作垂线，垂足为；过点向轴作垂线，垂足为，所以，同理可得． 所以． 由此得到平面上任意两点间的距离公式为． 二．对称问题 对称问题包括点关于点的对称、点关于直线的对称、直线关于点的对称． 1．点关于点对称 点关于点的对称是对称问题中最基本的问题，是解决其他对称问题的基础，一般用中点坐标公式解决这种对称问题． 设点关于点M（a，b）的对称点为P′（x，y），则有，所以，即点．特别地，点P关于坐标原点O的对称点为． 2．点关于直线对称 对于点关于直线的对称问题，若点P关于直线l的对称点为，则直线l为线段的中垂线，于是有等量关系： ①（直线l的斜率存在且不为零）； ②线段的中点在直线l上； ③直线l上任意一点M到P，的距离相等，即． 常见的点关于直线的对称点： 1 点关于x轴的对称点； 2 点关于y轴的对称点； 3 点关于直线y=x的对称点； 4 点关于直线y=−x的对称点； ⑤点关于直线x=m（m≠0）的对称点； 5 点关于直线y=n（n≠0）的对称点． 三．点到直线的距离 1．点到直线的距离 点到直线的距离，是指从点到直线的垂线段的长度，其中为垂足．实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外一点所连线段的长度的最小值． 2．点到直线的距离公式 平面上任意一点到直线l：Ax+By+C=0（A，B不同时为0）的距离为． 3．点到直线的距离公式的推导 如图，设，则直线l与x轴和y轴都相交，过点分别作x轴和y轴的平行线，交直线l于R和S，则直线的方程为，R的坐标为；直线的方程为，S的坐标为， 于是有，， ． 设，由三角形面积公式可得， 于是得． 因此，点到直线l：Ax+By+C=0的距离． 可以验证，当A=0，或B=0时，上述公式也成立． 【点拨】用向量法推导点P到直线l的距离|PQ|公式的向量法推导，在直线上取任意一点M，与直线方向向量垂直的单位向量为n，则有 ，所以有. 四．点到直线的距离问题 （1）求点到直线的距离时，若给出的直线方程不是一般式，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可． （2）对于与坐标轴平行（或重合）的直线x=a或y=b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成或． （3）若已知点到直线的距离求参数或直线方程时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可． 【题型1 求点到直线的距离】 1．（22-23高二·上海·期中）以，，为顶点的三角形的面积等于（    ） A．1 B． C． D．2 2．（高二·上海·课后作业）点到直线和直线的距离相等，则点P的坐标应满足的是（    ）． A．或 B．或 C． D． 3．（24-25高二上·上海·阶段练习）过点且和原点距离是2的直线方程是 . 4．（24-25高二上·上海·期中）直线绕其与轴的交点顺时针旋转所得的直线方程为，则原点到的距离为 . 5．（24-25高二上·上海·期中）平面直角坐标系中的点集，则集合中任意一点到坐标原点距离的最小值为 . 【题型2 直线围成图形的面积问题】 1．（高二·上海·课后作业）已知的顶点为、、，直线与平行，且将分成面积相等的两部分，则直线的方程为 ． 2．（22-23高二下·上海黄浦·期中）已知的三个顶点，，. (1)求直线的方程； (2)求的面积. 3．（23-24高二上·上海·期末）已知直线，，，三条直线围成，则当面积取得最大时的值为 . 【题型3 已知点到直线距离求参数】 1．（23-24高二上·上海·课后作业）已知到直线的距离等于3，则a的值为（    ） A． B．或 C．或 D． 2．（23-24高二上·上海·课后作业）已知点，点B在直线上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（21-22高二·上海·课后作业）点到直线的距离大于5，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（21-22高二·上海·课后作业）已知、，若A与B到直线l的距离都为2，则满足条件的直线l有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 5．（22-23高二下·上海杨浦·期中）直线关于点对称的直线的一般式方程为 ． 【题型4 求点关于直线的对称点】 1．（24-25高二上·上海·期中）已知点在直线上，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（21-22高二上·上海·期末）直线关于直线对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（20-21高二上·上海宝山·期中）已知平面内点一定点，点M、N分别是x轴和直线上的两个动点，则的最小值为 ． 4．（24-25高二上·上海奉贤·期中）已知点，在轴和直线上各取一点、，则的周长最小值为 ． 【题型5 光线反射问题(2)——直线关于直线对称】 1．（22-23高二下·上海静安·期中）光线沿着直线射到直线上，经反射后沿着直线射出，则实数 ． 2．（23-24高二上·上海浦东·期中）如图，在直角坐标系中，已知，，从点射出的光线经直线反射到轴上，再经轴反射后又回到点，则光线所经过的路程的为 .    3．（23-24高二上·上海·阶段练习）在等腰直角三角形ABC中，，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发经BC，CA反射后又回到点P，若光线QR经过的重心，则的周长等于（   ） A． B． C． D． 4．（2023·上海·模拟预测）已知，，从点处射出的光线经x轴反射后，反射光线与平行，且点B到该反射光线的距离为，则实数 ． 5．（22-23高二上·上海嘉定·期末）一条沿直线传播的光线经过点和，然后被直线反射，则反射光线所在直线方程为 （用一般式表示） 【题型6 坐标法的应用——点到直线的距离】 1．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知为直线上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．3 2．（22-23高二上·上海·期末）已知实数，则的取值范围是 . 3．（高二下·上海·阶段练习）定义点P(x0，y0)到直线l：ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)的有向距离为.已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2.以下命题正确的是（    ） A．若d1＝d2＝1，则直线P1P2与直线l平行 B．若d1＝1，d2＝－1，则直线P1P2与直线l垂直 C．若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l垂直 D．若d1·d2≤0，则直线P1P2与直线l相交 一、单选题 1．（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）已知直线，,则下列说法中错误的是（   ） A．直线过定点 B．当时， C．当时，与重合 D．当时，、之间的距离为 2．（20-21高二上·上海浦东新·阶段练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B．5 C． D． 3．（24-25高二上·上海·阶段练习），分别为直线与上任意一点，则最小值为（   ） A． B． C． D． 4．（2023·上海静安·二模）设直线与关于直线对称，则直线的方程是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25高二上·上海·期中）平行直线与之间的距离是 . 6．（24-25高二上·上海·期中）已知直线与直线，则它们之间的距离为 7．（22-23高二上·上海浦东新·阶段练习）直线与直线交于点P，则点P到直线（）的最大距离为 8．（21-22高二下·上海虹口·期末）已知点在直线上，则的最小值为 ． 9．（2023·上海徐汇·一模）已知正实数满足，则的取最小值 . 10．（20-21高二上·上海长宁·期中）在平面直角坐标系中，动点到两条直线与的距离之和等于，则点到原点距离的取值范围为 . 11．（23-24高二下·上海黄浦·阶段练习）平面中两条直线、相交于点O，对于平面上任意一点M，若p，q分别是M到直线和的距离，则称有序非负实数对是点M的“距离坐标”．已知常数，，给出下列命题： （1）若，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有1个； （2）若，，则“距离坐标”为的点有且仅有2个； （3）若，则“距离坐标”为的点有且仅有4个． 12．（24-25高二下·上海·单元测试）已知直线方程为，直线的一个单位法向量为，若点P是直线上任意一点，则 ，若点到直线的距离为1，则的值为 ． 13．（24-25高二上·上海·阶段练习）新定义：如图，圆与直线相离，过圆心作直线的垂线，垂足为，交圆于、两点（在、之间），我们把点称为圆关于直线的“近点”，把的值称为圆关于直线的“秘钥数”.根据新定义解决问题：在平面直角坐标系中，直线经过点，点是坐标平面内一点，以为圆心，为半径作圆.若与直线相离，点是圆关于直线的“近点”，且圆关于直线的“秘钥数”是，则直线的表达式为 . 14．（22-23高二下·上海金山·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知动点到两直线与的距离之和为，则的取值范围是 . 15．（24-25高二上·上海·阶段练习）定义：点到直线（不全为零）的有向距离为.设点到直线l的有向距离为.已知两定点与，到直线l的有向距离之差的绝对值等于，且在直线l的同侧，则平面上不在任何一条直线l上的点组成的图形面积为 . 16．（24-25高二上·上海奉贤·期中）在平面直角坐标系中，已知动点到两直线与的距离之和为，则的取值范围是 ． 三、解答题 17．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知直线的倾斜角为，，且这条直线经过点. (1)求直线的方程； (2)直线恒过定点，求点到直线的距离. 18．（24-25高二上·上海·课后作业）如图，OAB是一张三角形纸片，，，，设与、的交点分别为、，将沿直线折叠后，使落在边上的点处．设，试用表示点到距离． 19．（24-25高二上·上海·期中）已知直线经过点. (1)若直线与轴、轴的正半轴分别交于两点，当的面积最小时，求直线的方程； (2)若直线和、分别交于两点，且，求直线的方程. 20．（23-24高二上·上海·期末）定义：设P、Q分别为曲线和上的点，把P、Q两点距离的最小值称为曲线到的距离． (1)求曲线到直线的距离； (2)求圆到曲线的距离． 21．（24-25高二上·上海·课后作业）若恰有三组不全为0的实数对满足关系式，求实数t的所有可能的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$