专题03 两条直线的位置关系（4种核心考点+过关测试）-【寒假自学课】2025年高二数学寒假提升精品讲义（沪教版2020）

专题03 两条直线的位置关系（4种核心考点+过关测试） 题型聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 知识梳理：知识点和关键点梳理，查漏补缺 核心考点：难点内容标注与讲解，能力提升 过关测试：真题感知+精选专练，全面突破 【题型1 由斜率判断两条直线平行】 【题型2 已知直线平行求参数】 【题型3 由斜率判断两条直线垂直】 【题型4 已知直线垂直求参数】 一．两直线平行 1．特殊情况下的两条直线平行的判定 两条直线中有一条直线没有斜率，当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，故它们互相平行． 2．两条直线的斜率都存在时，两条直线平行的判定 两条直线都有斜率而且不重合时，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即． 证明如下： 设两条直线的斜率分别为． 如果（如图），那么它们的倾斜角相等，即． ∴，∴． 反过来，如果两条直线的斜率相等，即，那么． 由于，∴．又两条直线不重合，∴． 二．两直线垂直 1．特殊情况下的两条直线垂直的判定 当两条直线中有一条直线没有斜率，另一条直线的斜率为0时，即一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°时，两条直线互相垂直． 2．两条直线的斜率都存在时，两条直线垂直的判定 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于-1；反之，如果两条直线的斜率之积等于−1，那么它们互相垂直，即． 证明如下： 设两条直线与的倾斜角分别为与． 如果，这时．否则，则，与相矛盾． 设（如下图）， 图（1）的特征是与的交点在x轴上方； 图（2）的特征是与的交点在x轴下方； 图（3）的特征是与的交点在x轴上，无论哪种情况下都有． ∵，的斜率分别是，且，∴． ∴． ∴，即． 反过来，若，即． 不失一般性，设，则，即， ∴． 三.两条平行直线间的距离 1．两条平行直线间的距离 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长． 2．两条平行直线间的距离公式 一般地，两条平行直线（其中A与B不同时为0，且）间的距离． 3．两条平行直线间的距离公式的推导 对于两条平行直线（其中A与B不同时为0，且）． 在直线上任取一点，则点到的距离即为与之间的距离，则． ∵点在直线上，∴，即． ∴两条平行直线， （其中A与B不同时为0，且）之间的距离为． 四．直线关于直线对称 （1）直线与关于直线l对称，它们具有以下几种几何性质： ①若与相交，则直线l是、夹角的平分线； ②若与平行，则直线l在、之间且到、的距离相等； ③若点A在上，则点A关于直线l的对称点B一定在上，此时AB⊥l，且线段AB的中点M在l上（即l是线段AB的垂直平分线）．充分利用这些性质，可以找出多种求直线的方程的方法． （2）常见的对称结论有：设直线l为Ax+By+C=0， ①l关于x轴对称的直线是Ax+B（−y）+C=0； ②l关于y轴对称的直线是A（−x）+By+C=0； ③l关于直线y=x对称的直线是Bx+Ay+C=0； ④l关于直线y=−x对称的直线是A（−y）+B（−x）+C=0． 【题型1 由斜率判断两条直线平行】 1．（高二上·上海金山·期末）已知直线与不重合，则“直线与的斜率相等”是“直线与平行”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 2．（23-24高二上·上海·期末）已知点分别是直线与直线上的点，则的取值范围是 ． 3．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知：，：，求当m为何值时，与相交、平行或重合． 4．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知，则直线：和直线：的位置关系为 ． 5．（22-23高二·上海·期末）判断下列各组直线的位置关系： （1）， ； （2），， ． 【题型2 已知直线平行求参数】 1．（24-25高二上·上海·期中）直线与平行，则实数 . 2．（22-23高二下·上海虹口·期末）已知平面直角坐标系中的三点、、，若直线过点且与直线平行，则的方程为 . 3．（2023·上海·二模）已知直线，直线，若，则 ． 4．（23-24高二下·上海·期中）直线，若三条直线无法构成三角形，则实数可取值的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（23-24高二上·上海·期末）已知，设直线：，直线：. (1)若，求m的值； (2)当与相交时，求交点I的坐标（用m表示），并证明点I恒在一条定直线上. 【题型3 由斜率判断两条直线垂直】 1．（20-21高二下·上海青浦·期末）已知直线：与：，则下列结论正确的是（    ） A．直线与直线可能重合 B．直线与直线可能垂直 C．直线与直线可能平行 D．存在直线上一点P，直线绕点P旋转后可与直线重合 2．（22-23高二下·上海杨浦·期中）下列各组直线中，互相垂直的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．（20-21高二上·上海长宁·期中）已知直线，动直线，则下列结论错误的是（    ） A．存在，使得的倾斜角为； B．对任意的，与都有公共点； C．对任意的，与都不重合； D．对任意的，与都不垂直； 4．（21-22高二·上海·期末）已知直线，．请从以下三个条件中选出两个求实数，的值． (1)； (2)； (3)． 5．（23-24高二上·上海杨浦·期中）已知两条直线和. (1)讨论直线与的位置关系； (2)当直线与平行时，求它们之间的距离；当直线与相交时，求它们之间夹角的最大值，并指出相应的取值. 【题型4 已知直线垂直求参数】 1．（2023·上海黄浦·二模）若直线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·上海·期中）若直线和直线垂直，则 ． 3．（24-25高二上·上海·期中）已知平面直角坐标系中，，，， (1)若直线与直线平行，求m的值； (2)若直线与直线垂直，求m的值. 4．（21-22高三上·上海浦东·阶段练习）已知，，直线与直线垂直，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D．6 5．（21-22高二上·上海金山·期末）数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点为，，，且欧拉线方程为，则的重心到垂心的距离为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知是直线：外一点，则方程与的倾斜角（    ） A．相等 B．互余 C．互补 D．不相等 2．（23-24高二上·上海·期末）若直线与直线平行，则（    ） A． B．0 C．1 D．1或 3．（24-25高二上·上海·期中）若直线，的斜率是方程的两根，则这两条直线的夹角为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·上海·阶段练习）若点既是的中点，又是直线与的交点，则线段的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2022高二上·上海·专题练习）若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列命题 ①若，则斜率；  ②若斜率，则； ③若，则倾斜角；④若倾斜角，则； 其中正确命题的个数是 ． 6．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合、，若，则 ． 7．（23-24高二下·上海黄浦·期中）已知直线，，，若它们不能围成三角形，则实数的取值所构成的集合为 ． 8．（21-22高一下·上海浦东新·期末）设直线l1、l2的斜率分别为k1、k2，倾斜角分别为α、β，若k1k2＝﹣1，则|α﹣β|＝ ． 9．（20-21高二上·上海浦东新·阶段练习）过点且与原点距离最大的直线的倾斜角为 . 10．（21-22高二下·上海黄浦·期末）已知两直线，，若，则实数 ． 11．（2022高二·上海·专题练习）若直线l经过点和，且与经过点，斜率为的直线垂直，则实数a的值为 ． 12．（24-25高二上·上海·期中）已知P是直线上一点，直线绕点P逆时针旋转角得直线： ，若将直线绕点P继续逆时针旋转角得直线：， 则直线的方程为 . 13．（23-24高二下·上海·随堂练习）已知两条直线和相交，则这两条直线的交点坐标为 ，过交点并且垂直于直线的直线方程为 ． 14．（23-24高二上·上海松江·期末）已知分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为 15．（24-25高二上·上海·阶段练习）在空间四边形 ABCD 的各边AB、BC、CD、DA 上依次取E、F、G、H四个中点，当时，四边形EFGH是 . 16．（23-24高三上·上海浦东新·开学考试）已知定点与定直线：，过点的直线与交于第一象限点，与轴正半轴交于点，求使面积最小的直线方程为 . 三、解答题 17．（24-25高二上·上海·期中）在中，边，上的高所在直线的方程分别为与，点的坐标为. (1)求边的高所在直线的一般式方程； (2)求边的中线所在直线的斜率. 18．（24-25高二·上海·课堂例题）在平面直角坐标系xOy中，四边形的顶点坐标分别为、、、，其中．试判断四边形的形状． 19．（23-24高二下·上海·期中）已知点，． (1)设，若直线与直线垂直，求的值； (2)求过点且与直线夹角的余弦值为的直线方程． 20．（2023高二·上海·专题练习）直线l过点P（3，2）且与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点． (1)若直线l的斜率为，求△的面积； (2)若的面积S满足，求直线l的斜率k的取值范围； (3)如图，若点P分向量所成的比的值为2，过点P作平行于x轴的直线交y轴于点M，动点E、F分别在线段MP和OA上，若直线EF平分直角梯形OAPM的面积，求证：直线EF必过一定点，并求出该定点坐标． 21．（22-23高二上·上海宝山·期中）直线l过点P（3，2）且与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点． (1)若直线l与2x+3y﹣2＝0法向量平行，写出直线l的方程； (2)求△AOB面积的最小值； (3)如图，若点P分向量AB所成的比的值为2，过点P作平行于x轴的直线交y轴于点M，动点E、F分别在线段MP和OA上，若直线EF平分直角梯形OAPM的面积，求证：直线EF必过一定点，并求出该定点坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 两条直线的位置关系（4种核心考点+过关测试） 题型聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 知识梳理：知识点和关键点梳理，查漏补缺 核心考点：难点内容标注与讲解，能力提升 过关测试：真题感知+精选专练，全面突破 【题型1 由斜率判断两条直线平行】 【题型2 已知直线平行求参数】 【题型3 由斜率判断两条直线垂直】 【题型4 已知直线垂直求参数】 一．两直线平行 1．特殊情况下的两条直线平行的判定 两条直线中有一条直线没有斜率，当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，故它们互相平行． 2．两条直线的斜率都存在时，两条直线平行的判定 两条直线都有斜率而且不重合时，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即． 证明如下： 设两条直线的斜率分别为． 如果（如图），那么它们的倾斜角相等，即． ∴，∴． 反过来，如果两条直线的斜率相等，即，那么． 由于，∴．又两条直线不重合，∴． 二．两直线垂直 1．特殊情况下的两条直线垂直的判定 当两条直线中有一条直线没有斜率，另一条直线的斜率为0时，即一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°时，两条直线互相垂直． 2．两条直线的斜率都存在时，两条直线垂直的判定 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于-1；反之，如果两条直线的斜率之积等于−1，那么它们互相垂直，即． 证明如下： 设两条直线与的倾斜角分别为与． 如果，这时．否则，则，与相矛盾． 设（如下图）， 图（1）的特征是与的交点在x轴上方； 图（2）的特征是与的交点在x轴下方； 图（3）的特征是与的交点在x轴上，无论哪种情况下都有． ∵，的斜率分别是，且，∴． ∴． ∴，即． 反过来，若，即． 不失一般性，设，则，即， ∴． 三.两条平行直线间的距离 1．两条平行直线间的距离 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长． 2．两条平行直线间的距离公式 一般地，两条平行直线（其中A与B不同时为0，且）间的距离． 3．两条平行直线间的距离公式的推导 对于两条平行直线（其中A与B不同时为0，且）． 在直线上任取一点，则点到的距离即为与之间的距离，则． ∵点在直线上，∴，即． ∴两条平行直线， （其中A与B不同时为0，且）之间的距离为． 四．直线关于直线对称 （1）直线与关于直线l对称，它们具有以下几种几何性质： ①若与相交，则直线l是、夹角的平分线； ②若与平行，则直线l在、之间且到、的距离相等； ③若点A在上，则点A关于直线l的对称点B一定在上，此时AB⊥l，且线段AB的中点M在l上（即l是线段AB的垂直平分线）．充分利用这些性质，可以找出多种求直线的方程的方法． （2）常见的对称结论有：设直线l为Ax+By+C=0， ①l关于x轴对称的直线是Ax+B（−y）+C=0； ②l关于y轴对称的直线是A（−x）+By+C=0； ③l关于直线y=x对称的直线是Bx+Ay+C=0； ④l关于直线y=−x对称的直线是A（−y）+B（−x）+C=0． 【题型1 由斜率判断两条直线平行】 1．（高二上·上海金山·期末）已知直线与不重合，则“直线与的斜率相等”是“直线与平行”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】由斜率判断两条直线平行、判断命题的充分不必要条件 【分析】“与的平行”则有“与的斜率相等”或“与的斜率均不存在”两种情况，再判断即可得解. 【详解】因为两条直线与不重合，由“与的斜率相等”可得“与平行”； 由“与的平行”则可得“与的斜率相等”或“与的斜率均不存在”， 即“与的斜率相等”是“与的平行”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（23-24高二上·上海·期末）已知点分别是直线与直线上的点，则的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求平行线间的距离、由斜率判断两条直线平行 【分析】先得到两直线平行，求出两平行线间距离公式求出的最小值，从而得到答案. 【详解】由可知直线，所以当且时，有最小值， 其最小值为平行直线与的距离，直线的方程可化为， 所以，即的取值范围是． 故答案为： 3．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知：，：，求当m为何值时，与相交、平行或重合． 【答案】答案见解析 【难度】0.85 【知识点】已知直线平行求参数、由斜率判断两条直线平行 【分析】利用一般式方程判断两直线平行的等价条件来进行研究求解. 【详解】若直线与相交，则，即，解得且且； 若直线与平行或重合，则，解得或或． 当时，：，：，满足与平行； 当时，：，：，满足与平行； 当时，：，：，满足与重合； 综上，当且且时，与相交；当或时，与平行；当时，与重合． 4．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知，则直线：和直线：的位置关系为 ． 【答案】垂直或重合 【难度】0.85 【知识点】由斜率判断两条直线垂直、由斜率判断两条直线平行 【分析】求出值，再代入方程并确定位置关系即得. 【详解】由，得或， 当时，：，：，，， 显然，所以直线与垂直； 当时，：，：，所以直线与重合． 故答案为：垂直或重合 5．（22-23高二·上海·期末）判断下列各组直线的位置关系： （1）， ； （2），， ． 【答案】 平行 相交 【难度】0.85 【知识点】由斜率判断两条直线平行 【分析】 根据直线方程分别求出两直线的斜率，利用两直线斜率之间的关系判断直线的位置关系 【详解】（1）由直线，知直线斜率为， 由直线，知直线斜率为， 两直线的斜率相等，且两直线不重合，故两直线平行； 由直线，知直线斜率为， 由直线，知直线斜率不存在，所以直线与直线相交. 故答案为：平行；相交 【题型2 已知直线平行求参数】 1．（24-25高二上·上海·期中）直线与平行，则实数 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】已知直线平行求参数、由两条直线平行求方程 【分析】根据直线平行满足的系数关系即可求解. 【详解】由于直线与平行， 故，解得， 故答案为： 2．（22-23高二下·上海虹口·期末）已知平面直角坐标系中的三点、、，若直线过点且与直线平行，则的方程为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】直线的斜截式方程及辨析、已知直线平行求参数、已知两点求斜率 【分析】 根据给定条件，求出直线的斜率，再利用直线的斜截式方程求解作答. 【详解】依题意，直线的斜率，因为，因此直线的斜率为，直线过点， 所以直线的方程为. 故答案为： 3．（2023·上海·二模）已知直线，直线，若，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】根据两直线平行的充要条件求解． 【详解】因为，所以，解得． 故答案为： 4．（23-24高二下·上海·期中）直线，若三条直线无法构成三角形，则实数可取值的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求直线交点坐标、已知直线平行求参数 【分析】分、、及三条直线相交于一点四种情况讨论，分别求出所对应的的值，即可得解. 【详解】①时，则，解得，经检验符合题意； ②时，则，解得，经检验符合题意； ③时，则，解得，经检验符合题意； ④三条直线交于一点，解得或， 则实数可取值的集合为，即符合题意的实数共6个. 故选：D 5．（23-24高二上·上海·期末）已知，设直线：，直线：. (1)若，求m的值； (2)当与相交时，求交点I的坐标（用m表示），并证明点I恒在一条定直线上. 【答案】(1) (2)，点I恒在定直线上 【难度】0.65 【知识点】已知直线平行求参数、直线的一般式方程及辨析、求直线交点坐标 【分析】（1）根据直线平行的条件列方程可得，然后验证是否重合可得； （2）联立直线方程求解可得点I的坐标，然后消参可知点I在定直线上. 【详解】（1）因为，所以，解得， 当时，直线：，直线：即，显然此时两直线重合， 当时，直线：，直线：即，符合题意， 故. （2）由（1）知，当，相交时， 联立，解得，∴， 因为，即， 所以点I恒在定直线上. 【题型3 由斜率判断两条直线垂直】 1．（20-21高二下·上海青浦·期末）已知直线：与：，则下列结论正确的是（    ） A．直线与直线可能重合 B．直线与直线可能垂直 C．直线与直线可能平行 D．存在直线上一点P，直线绕点P旋转后可与直线重合 【答案】BD 【难度】0.94 【知识点】由斜率判断两条直线垂直、由斜率判断两条直线平行 【分析】分别求出直线，的斜率，根据两直线平行和垂直斜率满足的关系即可逐一求解. 【详解】直线的斜率为， 直线的斜率， ，，不可能相等， 直线与直线不可能重合，也不可能平行，故A，C均错误； 当时，，，直线与直线可能垂直，故B正确； 直线与直线不可能重合，也不可能平行， 直线与直线一定有交点， 存在直线上一点，直线绕点旋转后可与直线重合，故D正确． 故选：BD． 2．（22-23高二下·上海杨浦·期中）下列各组直线中，互相垂直的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由斜率判断两条直线垂直 【分析】分别求出两直线的斜率，根据斜率之积为两直线垂直，即可判断. 【详解】对于A：直线的斜率为，直线的斜率为， 故两直线平行，故A错误； 对于B：直线的斜率为，直线的斜率为， 斜率之积不为，即两直线不垂直，故B错误； 对于C：直线的斜率为，直线的斜率为， 斜率之积不为，即两直线不垂直，故C错误； 对于D：直线的斜率为，直线的斜率为， 斜率之积为，即两直线垂直，故D正确； 故选：D 3．（20-21高二上·上海长宁·期中）已知直线，动直线，则下列结论错误的是（    ） A．存在，使得的倾斜角为； B．对任意的，与都有公共点； C．对任意的，与都不重合； D．对任意的，与都不垂直； 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求直线交点坐标、由斜率判断两条直线垂直 【分析】根据倾斜角与斜率的关系取特殊值判断A；联立与的方程，由恒有解判断B；取时，与重合，判断C；由两直线垂直斜率的关系判断D. 【详解】解：当时，的倾斜角为，此时的方程为，故A正确； 联立方程组，得，此方程恒有解， 故对任意的，与都有公共点，B正确； 当时，，此时与重合，故C错误； 因为的斜率为1，当时，与不垂直； 当时，的斜率，所以对任意的，与都不垂直，D正确； 故选：C. 4．（21-22高二·上海·期末）已知直线，．请从以下三个条件中选出两个求实数，的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)选(1)和(2)，； (2)选(1)和(3)，或； (3)选(2)和(3)，a、b无解. 【难度】0.65 【知识点】由斜率判断两条直线平行、由斜率判断两条直线垂直、已知直线平行求参数、已知直线垂直求参数 【分析】根据两直线的位置关系可知，若两直线垂直则两直线的斜率之积为-1；若两直线平行则两直线的斜率相等且不重合. 【详解】（1）若选条件(1)和(2)，和， 由，得，即， 当时，，，与不垂直， 当时，，，与不垂直； 故且，得， 又，， 所以，解得，则； （2）若选条件(1)和(3)，和， 由，得， 当时，，，与不平行； 当时，，，与不平行； 故且，则，解得或， 故或， 即或； （3）若选条件(2)和(3)，和， 根据两条直线的位置关系， 可得和不可能同时成立， 此时无解. 5．（23-24高二上·上海杨浦·期中）已知两条直线和. (1)讨论直线与的位置关系； (2)当直线与平行时，求它们之间的距离；当直线与相交时，求它们之间夹角的最大值，并指出相应的取值. 【答案】(1)答案见解析； (2)平行时距离为，相交时最大夹角为． 【难度】0.65 【知识点】求平行线间的距离、由斜率判断两条直线垂直、由斜率判断两条直线平行 【分析】（1）由两相交求得的范围，再讨论平行与重合的情形即可； （2）由平行线间距离公式求距离，考虑特殊情形即两直线能否垂直，垂直时夹角最大为． 【详解】（1），且时，两直线相交， 时，两直线方程分别为和，两直线重合， 时，两直线方程分别为和，两直线平行． 综上， 且时，两直线相交，时，两直线重合，时，两直线平行． （2）由（1）两直线平行时，两直线方程分别为和即为和，距离为， 两直线相交时，且， 时，的斜率为，的斜率为， 由得，即时两直线垂直，夹角最大为． 【题型4 已知直线垂直求参数】 1．（2023·上海黄浦·二模）若直线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】已知直线垂直求参数 【分析】根据两条直线垂直的条件列出等量关系式，求得的值. 【详解】直线与直线垂直， 则，解得， 故选：B. 2．（23-24高二下·上海·期中）若直线和直线垂直，则 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】由一般式方程判断直线的垂直、已知直线垂直求参数 【分析】利用两直线垂直斜率乘积为计算可得. 【详解】易知直线的斜率为， 直线的斜率为, 由两直线垂直可得，解得. 故答案为： 3．（24-25高二上·上海·期中）已知平面直角坐标系中，，，， (1)若直线与直线平行，求m的值； (2)若直线与直线垂直，求m的值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】已知直线垂直求参数、已知直线平行求参数 【分析】（1）根据可求出结果； （2）根据可求出结果. 【详解】（1）因为直线AC与直线BD平行，所以， 所以，经检验两直线不重合， 所以 （2）因为直线AC与直线BC垂直，两直线斜率均存在， 所以， 所以， 4．（21-22高三上·上海浦东·阶段练习）已知，，直线与直线垂直，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D．6 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、已知直线垂直求参数 【分析】由两线垂直的判定可得，再应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意等号成立的条件. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，即， 所以（当且仅当，时，等号成立）. 故选：C． 5．（21-22高二上·上海金山·期末）数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点为，，，且欧拉线方程为，则的重心到垂心的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.45 【知识点】已知直线垂直求参数 【分析】确定重心为，代入方程得到，确定垂心，代入方程得到，根据，解得，得到答案. 【详解】的顶点为，，，所以重心， 代入欧拉线方程，得，即， 因为，都在轴，，故可设垂心， 代入欧拉线方程，得，，垂心， ，整理得到， ，解得，故重心为，， 故选：D 一、单选题 1．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知是直线：外一点，则方程与的倾斜角（    ） A．相等 B．互余 C．互补 D．不相等 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】直线的倾斜角、由斜率判断两条直线平行 【分析】根据直线一般式判断两直线位置关系，即可判断. 【详解】由直线方程，即， 又：， 又在直线外，所以， 则， 所以直线与平行， 即两直线倾斜角相等， 故选：A. 2．（23-24高二上·上海·期末）若直线与直线平行，则（    ） A． B．0 C．1 D．1或 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】根据直线一般式中平行满足的系数关系，即可求解. 【详解】直线与直线平行， 故，解得， 故选：C 3．（24-25高二上·上海·期中）若直线，的斜率是方程的两根，则这两条直线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】两条直线的到（夹）角公式 【分析】设出两直线的斜率，由一元二次方程根与系数关系得到两直线斜率的和与积，代入夹角公式求得与的夹角． 【详解】设直线与的斜率分别为， ，与夹角为， ∵直线的斜率分别为二次方程的两个根，且， ∴，， ∴， ∵，∴. 故选：A. 4．（23-24高二上·上海·阶段练习）若点既是的中点，又是直线与的交点，则线段的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由两条直线垂直求方程、由直线的交点坐标求参数 【分析】将两直线方程相减可得过两直线交点的直线方程，再将代入化简可求出直线的斜率，从而可求出线段的垂直平分线的方程. 【详解】直线与直线的方程相减可得，， 把点代入可得， 所以， 所以线段的垂直平分线的方程是，即， 故选：C 二、填空题 5．（2022高二上·上海·专题练习）若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列命题 ①若，则斜率；  ②若斜率，则； ③若，则倾斜角；④若倾斜角，则； 其中正确命题的个数是 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】直线斜率的定义、由斜率判断两条直线平行、直线的倾斜角 【分析】根据两直线平行的充要条件、斜率与倾斜角的关系判断即可； 【详解】解：因为与为两条不重合的直线，且它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，. ①由于斜率都存在，若，则，此命题正确； ②因为两直线的斜率相等即斜率，得到倾斜角的正切值相等即，即可得到，所以，此命题正确； ③因为，根据两直线平行，得到，此命题正确； ④因为两直线的倾斜角，根据同位角相等，得到，此命题正确； 所以正确的命题个数是4． 故答案为：． 6．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合、，若，则 ． 【答案】1 【难度】0.94 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】即两图像没有交点，即两直线平行. 【详解】依题知两直线平行，则，解得， 经验证时，两直线不重合，所以. 故答案为：1 7．（23-24高二下·上海黄浦·期中）已知直线，，，若它们不能围成三角形，则实数的取值所构成的集合为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求直线交点坐标、已知直线平行求参数 【分析】通过三条直线两两平行或重合，以及三条线经过同一点计算的取值即可. 【详解】当与平行或重合时，， 当与平行或重合时，，解得， 当与平行或重合时，，此时无解； 当三条直线经过同一点时，联立，解得， 故的取值所构成的集合为. 故答案为： 8．（21-22高一下·上海浦东新·期末）设直线l1、l2的斜率分别为k1、k2，倾斜角分别为α、β，若k1k2＝﹣1，则|α﹣β|＝ ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由斜率判断两条直线垂直、直线的倾斜角 【分析】利用直线的倾斜角和斜率、两条直线互相垂直的性质，得出结论． 【详解】 如图，因为直线l1、l2的斜率分别为k1、k2，倾斜角分别为α、β， 若k1k2＝﹣1，则直线l1与l2的相互垂直，它们的倾斜角相差， 故|α﹣β|， 故答案为：． 9．（20-21高二上·上海浦东新·阶段练习）过点且与原点距离最大的直线的倾斜角为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】直线的倾斜角、反三角函数、已知直线垂直求参数 【分析】求出直线的斜率后可得倾斜角． 【详解】，而过点且与原点距离最大的直线与垂直，因此其斜率为，斜率为正，倾斜角为锐角，故倾斜角为． 故答案为：． 10．（21-22高二下·上海黄浦·期末）已知两直线，，若，则实数 ． 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】已知直线垂直求参数 【分析】根据，再解方程即可得答案． 【详解】解：因为，，且， 所以，，即，解得或； 所以，实数或 故答案为：或 11．（2022高二·上海·专题练习）若直线l经过点和，且与经过点，斜率为的直线垂直，则实数a的值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知直线垂直求参数、已知两点求斜率 【分析】求出直线l的斜率，利用直线垂直关系列式求出a的值即得. 【详解】依题意，直线的斜率存在且为，由直线l经过点和， 得直线的斜率，解得， 所以实数a的值为. 故答案为： 12．（24-25高二上·上海·期中）已知P是直线上一点，直线绕点P逆时针旋转角得直线： ，若将直线绕点P继续逆时针旋转角得直线：， 则直线的方程为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、用和、差角的正切公式化简、求值、直线的倾斜角、求直线交点坐标 【分析】可设直线的倾斜角为，利用旋转之后的直线方程可得交点坐标以及斜率，再由点斜式方程可求得直线的方程. 【详解】根据题意可设直线的倾斜角为， 由易知直线： 的斜率为1，因此可得， 由可得直线：的斜率为，可得； 即，解得； 因此可知直线的斜率为， 又点为与的交点，联立，解得，即； 所以直线的方程为，即. 故答案为： 13．（23-24高二下·上海·随堂练习）已知两条直线和相交，则这两条直线的交点坐标为 ，过交点并且垂直于直线的直线方程为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求直线交点坐标、已知直线垂直求参数 【分析】方法1：联立直线方程求出交点，进而由垂直关系结合点斜式写出方程； 方法2：由垂直关系设出方程，进而代入交点，得出方程； 方法3：设出直线束方程，进而由垂直关系得出方程. 【详解】方法1：由方程组解得 即交点为．因为所求直线与直线垂直， 所以所求直线的斜率为． 由点斜式得所求直线方程为，即； 方法2：由垂直关系可设所求直线方程为． 由方程组可解得交点为， 代入得，故所求直线方程为； 方法3：由题意可设所求直线的方程为， 即①， 又因为所求直线与直线垂直， 所以，解得， 代入①式得所求直线方程为． 故答案为：；. 14．（23-24高二上·上海松江·期末）已知分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】已知直线垂直求参数、求平行线间的距离 【分析】利用数形结合，找到线段的等量关系进行转化，找到最小值即可得解. 【详解】因为，， 所以直线与间的距离为，又，故， 过作直线垂直于，如图， 则可设直线的方程为，代入，得，则， 所以直线的方程， 将沿着直线往上平移个单位到点，设， 则，解得或（舍去），则， 连接交直线于点P，过P作于Q，连接BQ， 有，即四边形为平行四边形， 则，即有， 显然是直线上的点与点距离和的最小值， 因此的最小值，即的最小值， 而， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将等价转化为，从而得解. 15．（24-25高二上·上海·阶段练习）在空间四边形 ABCD 的各边AB、BC、CD、DA 上依次取E、F、G、H四个中点，当时，四边形EFGH是 . 【答案】菱形 【难度】0.45 【知识点】公理的应用、棱锥的结构特征和分类 【分析】利用中位线定理,可得答案. 【详解】因为E、F、G、H是各边AB、BC、CD、DA 上的中点， 所以，，同理， 且，，又， 所以，且，， 所以四边形是菱形. 故答案为：菱形. 16．（23-24高三上·上海浦东新·开学考试）已知定点与定直线：，过点的直线与交于第一象限点，与轴正半轴交于点，求使面积最小的直线方程为 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】求直线交点坐标、直线的点斜式方程及辨析 【分析】分斜率存在与不存在两种情况，分别求出坐标，从而表示出的面积，进而可求出的面积的最小值，得出结果. 【详解】当直线斜率不存在时，直线的方程为，由，得到， 即，又易知，所以的面积为， （2）当直线斜率存在时，不妨设直线为， 令，得到， 又由，消得到， 由题知，得到， 此时，的面积为， 令，得到， 则， 又因为，又由，得到，故， 所以，故，此时， 因为，所以使面积最小的直线方程为，即, 故答案为：.    三、解答题 17．（24-25高二上·上海·期中）在中，边，上的高所在直线的方程分别为与，点的坐标为. (1)求边的高所在直线的一般式方程； (2)求边的中线所在直线的斜率. 【答案】(1)； (2) 【难度】0.85 【知识点】求直线交点坐标、由两条直线垂直求方程、直线的一般式方程及辨析、已知两点求斜率 【分析】（1）由两条高线所在直线方程联立求得垂足坐标后，再计算直线的斜率得直线方程； （2）由垂直得出直线的斜率，从而可得直线方程，联立方程组分别求得两点坐标后，由中点坐标公式计算出中点坐标，然后计算斜率． 【详解】（1）由，解得，因此垂足为， 所以高所在直线的斜率为， 直线方程为，即； （2）因为边，上的高所在直线的方程分别为与， 所以，， 直线方程为，即， 直线方程为，即， 由，得，即， 由得，即， 所以的中点的坐标为， 所以． 18．（24-25高二·上海·课堂例题）在平面直角坐标系xOy中，四边形的顶点坐标分别为、、、，其中．试判断四边形的形状． 【答案】四边形OPQR为矩形. 【难度】0.65 【知识点】已知两点求斜率、由斜率判断两条直线垂直、由斜率判断两条直线平行 【分析】根据给定条件，利用斜率坐标公式计算判断即可. 【详解】依题意，直线的斜率，直线的斜率， 直线的斜率，直线的斜率， 显然，，在四边形中，，， 因此四边形为平行四边形，又，则， 所以四边形为矩形. 19．（23-24高二下·上海·期中）已知点，． (1)设，若直线与直线垂直，求的值； (2)求过点且与直线夹角的余弦值为的直线方程． 【答案】(1) (2)或 【难度】0.45 【知识点】由两条直线垂直求方程、已知直线垂直求参数 【分析】（1）根据直线垂直即可求解； （2）先对用正弦定理，得到的正弦值，对用正弦定理，得到，设出交点求解二次方程即可求解. 【详解】（1）直线的斜率为，因为直线与直线垂直， 所以，所以； （2） 如图点为过点且与直线夹角的余弦值为的直线与直线的交点， 点为直线与轴的交点，点为直线与直线的交点， 点为过点作轴的垂线交直线的交点，，， 设夹角为，因为，所以， 因为，， 所以在中，，所以， 因为，所以在中，， 所以，所以，易知， 设交点坐标为，所以， 所以或，所以交点坐标为或， 所以直线方程为或， 即或. 20．（2023高二·上海·专题练习）直线l过点P（3，2）且与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点． (1)若直线l的斜率为，求△的面积； (2)若的面积S满足，求直线l的斜率k的取值范围； (3)如图，若点P分向量所成的比的值为2，过点P作平行于x轴的直线交y轴于点M，动点E、F分别在线段MP和OA上，若直线EF平分直角梯形OAPM的面积，求证：直线EF必过一定点，并求出该定点坐标． 【答案】(1)16 (2) (3)证明见解析，定点. 【难度】0.4 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线过定点问题、直线与坐标轴围成图形的面积问题 【分析】（1）由直线的点斜式方程可得直线l的斜率，分别求得直线l在坐标轴上的交点，运用三角形的面积公式可得所求值； （2）设直线l的斜率为k（k＜0），直线l的方程为y﹣2＝k（x﹣3），分别令x＝0，y＝0，求得l与坐标轴的交点，运用三角形的面积公式和二次不等式的解法，可得所求范围； （3）根据题意结合（2）得，设，，故直线的一般式方程为：，再根据得，进而得直线的式方程为：，再根据直线系方程即可得答案. 【详解】（1）因为直线的斜率为， 所以直线的方程为：， 整理得：， 所以直线与轴、轴正半轴的交点为、， 故的面积为. （2）根据题意，直线的斜率存在且， 所以直线的方程为：， 整理得： 所以直线与轴、轴正半轴的交点为、， 所以，解得 ， 所以的面积， 由于的面积满足， 所以，整理得：， 解不等式得：， 故直线的斜率的取值范围. （3）由（2）知、， 由于点分向量所成的比的值为2， 所以，由于， 所以，即. 所以、，， 故设，， 所以直线的一般式方程为：， 由于直角梯形的面积为， 直线平分直角梯形的面积， 所以直角梯形的面积为， 所以，即， 所以直线的式方程为：， 整理得：， 所以直线过直线与直线的交点， 所以直线过定点. 21．（22-23高二上·上海宝山·期中）直线l过点P（3，2）且与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点． (1)若直线l与2x+3y﹣2＝0法向量平行，写出直线l的方程； (2)求△AOB面积的最小值； (3)如图，若点P分向量AB所成的比的值为2，过点P作平行于x轴的直线交y轴于点M，动点E、F分别在线段MP和OA上，若直线EF平分直角梯形OAPM的面积，求证：直线EF必过一定点，并求出该定点坐标． 【答案】(1)3x﹣2y﹣5＝0； (2)12； (3)证明见解析，定点（3，1）． 【难度】0.4 【知识点】直线过定点问题、由两条直线垂直求方程、基本（均值）不等式的应用、由向量共线（平行）求参数 【分析】（1）利用两直线垂直设出一般式，代入点P即可求出直线方程； （2）设直线截距式方程为，代入点P得到，利用基本不等式即可求出面积最小值； （3）设A（a，0），B（0，b），利用得到a＝9，b＝6，再设E（m，2），F（n，0），根据四边形面积得到m+n＝6，代回直线EF方程，求出定点得解． 【详解】（1）由题设直线l：3x﹣2y+C＝0，将点（3，2）代入得9﹣4+C＝0，所以C＝﹣5，故直线l的方程为3x﹣2y﹣5＝0. （2）设直线l的方程为， 将点（3，2）代入得，则ab≥24， 则，当且仅当，结合，即a＝6，b＝4时等号成立， 故△AOB的面积最小值为12. （3）证明：点P分向量所成的比的值为2，即为， 设A（a，0），B（0，b），由P（3，2），， 即有（3﹣a，2）＝2（﹣3，b﹣2）， 可得a＝9，b＝3，M（0，2），|OM|＝2，|PM|＝3， 梯形AOMP的面积为，由题意可得梯形FOME的面积为6， 设E（m，2），F（n，0），可得，即m+n＝6， 由直线EF的方程为， 将n＝6﹣m代入上式可得， 由，解得x＝3，y＝1， 则直线EF经过定点（3，1）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$