专题11 一次函数与方程组的实际应用（8大题型）-【寒假分层作业】2025年八年级数学寒假培优练（北师大版）

专题11 一次函数与方程组的实际应用 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（8大题型） 题型一 一次函数的实际应用-最大利润问题 题型二 一次函数的实际应用-最优方案问题 题型三 一次函数的实际应用-行程问题 题型四 一次函数的实际应用-其他问题 题型五 二元一次方程的实际应用-方案问题 题型六 二元一次方程的实际应用-工程问题 题型七 二元一次方程的实际应用-销售、利润问题 题型八 三元一次方程的实际应用问题 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 一次函数的实际应用-最大利润问题 ⭐技巧积累与运用 解题步骤：1）将需求最值对象表示成一次函数；2）利用题中条件求出自变量的取值范围；3）利用一次函数的增减性求出的最值，并找出最大利润或最小成本。 1．（24-25八年级上·陕西西安·期末）某教育科技公司销售，两种多媒体，这两种多媒体的进价与售价如表所示： 进价（万元/套） 售价（万元/套） (1)若该教育科技公司计划购进两种多媒体共套，共需资金万元，该教育科技公司计划购进，两种多媒体各多少套？(2)若该教育科技公司计划购进两种多媒体共套，其中购进种多媒体套，设将购进的两种多媒体全部售出的利润为，请求出与之间的函数关系式，并求出利润的最大值． 2．（2024·山西阳泉·模拟预测）“一盔一带”是公安部在江苏开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当佩戴安全头盔．某商场欲购进一批安全头盔，已知购进2个甲种型号头盔和3个乙种型号头盔需要270元，购进3个甲种型号头盔和1个乙种型号头盔需要195元．(1)甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是多少？(2)若该商场计划购进甲、乙两种型号头盔共200个，且乙种型号头盔的购进数量最多为80个．已知甲种型号头盔每个售价为55元，乙种型号头盔每个售价为80元．若该商场将这两种型号头盔全部售出可获利W元，则应该如何进货才能使该商场获利最大？最大利润是多少元？    3．（23-24八年级下·河北廊坊·期末）A、B两个蔬菜基地要向C、D两城市运送蔬菜，已知基地有蔬菜200吨，基地有蔬菜300吨，城市需要蔬菜240吨，城市需要蔬菜260吨．从基地运往C、D两城市的费用分别为每吨20元和每吨25元，从基地运往C、D两城市的费用分别为每吨15元和每吨18元，设从基地运往城市的蔬菜为吨，A、B两个蔬菜基地的总运费为元．(1)求与之间的函数解析式，并写出的取值范围；(2)写出总运费最小时的运送方案，并求出此时的总运费；(3)如果从基地运往城市的费用每吨减少元且，其余线路的运费不变，请直接写出总运费最小时的运送方案． 一次函数的实际应用-最优方案问题 ⭐技巧积累与运用 解题步骤：1）根据实际情景确立数学模型；2）列出各方案的数学表达式；3）求出两函数图象的交点；3）根据实际情况确定最佳方案。 1．（23-24八年级下·河南开封·期末）某班的部分同学计划去参观一个受欢迎的历史文化景点，该景点融合了传统文化和现代元素，吸引了大批的游客．近期，这个景点推出新的门票销售方案．提供两类门票：一类是普通门票，价格为80元/张；另一类是团体门票（一次性购买门票10张及以上）每张门票价格为普通门票的8折．设该班参加旅游的人数为人，购买门票共需要元．请解决以下问题． (1)如果每个学生都购买普通门票，则与之间的函数解析式为________； (2)如果购买团体票，求与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)请根据人数的变化，直接设计一种最省钱的购票方案． 2．（24-25八年级上·河南郑州·期中）灯彩（洛阳宫灯）是国家级非物质文化遗产之一．古朴典雅，款式多样，彩绘蕴蓄，是生活的真实写照，给人以美的享受．李老师计划购进一批灯彩，已知甲、乙两个商店的标价都是每个10元．两商店售卖方式如下：设李老师购买灯彩的个数为x（个），甲商店所需费用为元，且；乙商店所需费用为元． 甲商店 乙商店 购买一张会员卡，享受会员价， 每个灯彩可按标价的七折卖； 不购买会员卡， 每个灯彩可按标价的九折卖． (1)甲商店一张会员卡的价格为______元；(2)求的函数表达式； (3)若李老师准备买40个灯彩，则选哪个商店比较合算，请说明理由． 一次函数的实际应用-行程问题 ⭐技巧积累与运用 1）纵坐标表示行驶路程 1.一般该类型代表时间，代表行驶路程，需要研究每条线段及拐点的实际意义； 2.直线中=行驶速度；3.两线段的交点为两人的相遇点；4.两人间的距离. 2）纵坐标表示两者之间的距离 1.一般该类型代表时间，代表两人之间的距离，需要研究每条线段及拐点的实际意义； 2.①当两人同向行驶时，速度差；②当两人相向行驶时，速度和； 3.轴上的点为两人的相遇点；4.两人间的距离。 1．（24-25八年级上·山西晋中·期中）甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程与所用的时间之间的函数关系如图所示．根据图中信息，下列说法错误的是（   ） A．前，甲比乙的速度慢 B．经过，甲、乙都走了 C．甲、乙两名同学相距时， D．甲的平均速度为 2．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）小明租用共享单车从家出发，匀速骑行到相距2400米的图书馆还书．小明出发的同时，他的爸爸以每分钟96米的速度从图书馆沿同一条道路步行回家，小明在图书馆停留了2分钟后沿原路按原速返回．设他们出发后经过（分）时，小明与家之间的距离为（米），小明爸爸与家之间的距离为（米），图中折线、线段分别表示、与之间的函数关系的图象小明从家出发，经过 分钟在返回途中追上爸爸． 3．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）已知、两市相距千米，甲车从市前往市运送物资，行驶小时在地汽车出现故障，立即通知技术人员乘乙车从市赶来维修（通知时间忽略不计），乙车到达地后又经过分钟修好甲车后以原速原路返回，同时甲车以原速倍的速度前往市，如图所示，是两车距市的路程（千米）与甲车行驶时间（小时）之间的函数图象． (1)甲车提速后的速度是 ，乙车的速度是 ，点C的坐标是 ； (2)求乙车返回时与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)求甲车到达市时乙车已返回市多长时间？ 一次函数的实际应用-其他问题 1．（24-25八年级下·江苏·期末）小李计划通过社会实践活动赚钱买一本标价为43元的书，他以1.1元/千克的价格从批发市场购进若干数量的西瓜去销售，在销售了之后，余下的打七五折全部售完，若销售金额（元）与售出西瓜的数量之间的关系如图所示，则下列结论正确的是（  ） A．降价后西瓜的单价为2元/千克 B．小李一共进了西瓜 C．小李这次社会实践活动赚的钱可以买到43元的书 D．降价前的单价比降价后的单价多0.6元 2．（24-25八年级上·山东青岛·期中）《九章算术》中记载，浮箭漏（如图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间.某学校科技研究小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究.研究小组每2h记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为），得到如表： 供水时间x（h） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（） 6 18 30 42 54 (1)如图②，建立平面直角坐标系，横轴表示供水时间，纵轴表示箭尺读数，描出以表格中数据为坐标的各点，并连线；(2)观察描出各点的分布规律，可以知道它是我们学过的_______函数，请结合表格数据，求出该函数解析式；(3)应用上述得到的规律计算：如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当箭尺读数为时是什么时候？ 3．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）小林生日时，妈妈送她一个斜挎包，如图①，包的挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成，通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短．单层部分的长度与双层部分的长度满足一次函数关系，经测量，得到如下数据： 单层部分的长度 … 60 70 80 90 100 110 … 双层部分的长度 … 40 35 30 25 20 15 … (1)请在图②的平面直角坐标系中，描出各点，并把这些点依次连接起来，画出函数图象，根据图象猜想y与x是否满足一次函数的关系？如果是，请求出y关于x的函数表达式，并验证你的猜想； (2)当挎带的长度为时，此时双层部分的长度为_______； (3)若刚买回来的斜挎包挎带全为双层，小林的身高最合适的挎带长度为，调节挎带长度的方法是_________． 二元一次方程的实际应用-方案问题 ⭐技巧积累与运用 往往有多种方案都是符合，注意在得出方案时，必须要符合实际（通常为正整数）。 1．（24-25八年级上·江苏·期末）某汽车公司有甲、乙两种货车可供租用，现有一批货物要运往某地，货主准备租用该公司货车，已知甲、乙两种货车运货情况如表： 第一次 第二次 甲种货车（辆） 2 5 乙种货车（辆） 3 6 累计运货（吨） 13 28 (1)甲、乙两种货车每辆可装多少吨货物？(2)若某货主共有20吨货物，计划租用该公司的货车，正好（每辆货车都满载）把这批货物运完，请你写出所有租车方案；(3)王先生要租用该公司的甲、乙两种货车送一批货，如果租用甲种货车数量比乙种货车数量多1辆，而乙种货车每辆的运费时甲种货车的1.4倍，结果甲种货车共付运费800元，乙种货车共付运费980元，试求此次甲、乙两种货车每辆各需运费多少元？ 2．（24-25八年级上·陕西汉中·阶段练习）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解，2辆型汽车．3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元． (1)求、两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），则该公司有哪几套方案？ 二元一次方程的实际应用-工程问题 ⭐技巧积累与运用 解题技巧：工程问题中的公式（等量关系式）有：工程量=工作效率×工作时间。工程问题，常是几个工程队共同完成，因此等量关系式为：总工程量=甲工程队工程量+乙工程队工程量。 1．（23-24七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）古运河是扬州的母亲河．为打造古运河风光带，现有一段长为180米的河道整治任务由A、B两工程队先后接力完成．A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天． (1)根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下： 甲：；乙： 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x、y表示的意义，然后在括号内补全甲、乙两名同学所列的方程组： 甲：x表示______，y表示_______； 乙：x表示______，y表示______． (2)求A、B两工程队分别整治河道多少米．（写出完整的解答过程） 2．（23-24七年级下·山东聊城·期末）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元． (1)求甲、乙装修组工作一天，商店各需支付多少元费用？ (2)若装修完后，商店每天可盈利200元，现有如下三种方式装修：①甲单独做；②乙单独做；③甲乙合做，你认为如何安排施工更有利于商店经营？说明理由． 二元一次方程的实际应用-销售、利润问题 ⭐技巧积累与运用 利润问题，常见的等量关系式有：利润=售价－进价=进价×利润率。 1．（湖南省郴州市2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试题）为了喜迎新春，某水果店用4000元购进水果礼盒和坚果礼盒共90盒，这两种礼盒的进价、标价如下表所示． 类型/价格 水果礼盒 坚果礼盒 进价（元/盒） 40 60 标价（元/盒） 60 90 (1)水果礼盒和坚果礼盒各购进多少盒？(2)为回馈客户，该水果店计划将每个水果礼盒和坚果礼盒都打八折出售，求售完这批水果礼盒和坚果礼盒水果店共盈利多少元？ 2．（24-25八年级上·重庆南岸·阶段练习）麦麦蛋糕店准备促销“葡式蛋挞”和“香草泡芙”，已知“葡式蛋挞”的成本为10元/份，售价为20元/份，“香草泡芙”的成本为12元/份，售价为24元/份，第一天销售这两种蛋糕共136份，获利1438元．(1)求第一天这两种蛋糕的销量分别是多少份； (2)经过第一天的销售后，这两种蛋糕的库存发生了变化，为了更好的销售这两种蛋糕，店主决定把“葡式蛋挞”的售价在原来的基础上减少，“香草泡芙”的售价在原来的基础上增加，“葡式蛋挞”的销量在原来的基础上减少了12份，“香草泡芙”的销量在原来的基础上增加了31份，但两种蛋糕的成本不变，结果获利比第一天多254元．求的值． 三元一次方程的实际应用问题 ⭐技巧积累与运用 列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系。一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足： ①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相等。 1．（24-25七年级上·北京·期中）正正和阳阳一起玩猜数游戏．正正说：“你随便选定三个小于8的正整数，按下列步骤进行计算：第一步把第一个数乘以4，再减去15；第二步把第一步的结果乘以2，再加上第二个数；第三步把第二步的结果乘以8，再加上第三个数．只要你告诉我最后的得数，我就能知道你所选的三个正整数．”阳阳表示不信，但试了几次以后，正正都猜对了．请你利用所学过的数学知识来探索该“奥秘”，回答：当“最后的得数”是102时，阳阳最初选定的三个正整数按顺序分别是（    ） A．1，4，6 B．6，4，1 C．6，2，5 D．5，2，6 2．（24-25八年级上·山东济南·期中）【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：得：③ 得：，所以，的值为． 【类比迁移】（1）已知求的值； 【实际应用】（2）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买本笔记本、支签子笔、支记号笔需要元；若购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要元；本班共位同学，则购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要多少钱？ 1．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）《九章算术·盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出8钱，就多了3钱；如果每人出7钱，就少了4钱．问一共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有人，物品的价格为钱，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）有A，B，C三种商品，单价都是正整数（元），若黄老师去买A商品3件，B商品7件，C商品1件，共付款24元：黄老师又去买A商品4件，B商品10件，C商品1件，共付款33元；那么黄老师买A，B，C三种商品各一件共需付款（    ） A．10元 B．9元 C．8元 D．6元 3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）周末，张洋去某杨梅园摘杨梅，已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克40元．为满足客户需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案： 甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的杨梅按原价的七折收费； 乙方案：游客进园不需购买门票，采摘的杨梅在10千克以内按原价收费、超过10千克后，10千克部分按原价收费，超过部分按原价的五折收费． 设张洋的采摘量为千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为元． (1)当采摘量超过10千克时，分别求出、关于x的函数表达式； (2)若张洋的采摘量为30千克，选择哪种方案更划算?请说明理由． 4．（23-24九年级下·河南驻马店·阶段练习）2024年，郑州市中招体育考试的总分值提高到分，考试项目增加至项，其中技能类考试项目除篮球和足球外增加了排球垫球．某校为更好开展排球课程，计划购买一批排球，郑州市两家体育用品商店分别推出了自己的优惠方案： 商店：若购买超过个，超过部分按每个排球标价的八折出售． 商店：若购买超过个，超过部分按每个排球标价的九折出售，然后每个再优惠元． 若用字母表示购买排球的数量，字母表示购买排球的价格，其函数图象如图所示． (1)求每个排球的标价是多少元．(2)当时，商店的应付总价与数量之间的函数关系式为 ；当时，商店的应付总价与数量之间的函数关系式为 ．(3)请求出图中点的坐标，并简要说明点表示的实际意义．(4)根据图象直接写出选择哪家商店购买排球更优惠． 5．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·开学考试）2018年11月5日中国进口博览会如期举行，旨在坚定支持贸易自由化和经济全球化，主动向世界开发市场，吸引了58个“一带一路”沿线国家的超过1000多家企业参展，将成为共建“一带一路”的又一个重要支撑，仅医疗器械及医药保健展区成交57.6亿美元，某保健公司引进了A、B两种型号的医疗器材共计50台，花费2300万美元，已知A型器材每台40万美元，B型器材每台50万美元． 甲（万美元/台） 乙（万美元/台） A型医疗器材 0.7 1 B型医疗器材 0.8 0.9 (1)求出该公司引进了A、B两种型号的医疗器材各多少台．(2)现该公司需将购进的医疗器材运往甲、乙两个仓库，已知甲仓库容量为30台，乙仓库容量为20台，运费如表，设运往甲仓库的A型医疗器材为x台（），求总运费为y（万美元）关于x的函数关系式，并求出总运费最低的调运方案，最低总运费是多少万美元． 6．（23-24八年级下·甘肃庆阳·期末）襄阳市某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查，这两种蔬菜的进价和售价如下表所示． 有机蔬菜种类 进价/（元） 售价/（元） 甲 m 16 乙 n 18 (1)该超市购进甲种蔬菜和乙种蔬菜需要170元；购进甲种蔬菜和乙种蔬菜需要200元．求m，n的值；(2)该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共进行销售，其中甲种蔬菜的数量不少于，且不大于，实际销售时，由于多种因素的影响，甲种蔬菜超过的部分，当天需要打5折才能售完，乙种蔬菜能按售价卖完，求超市当天售完这两种蔬菜获得的利润额y（元）与购进甲种蔬菜的数量之间的函数关系式，并写出x的取值范围；(3)在（2）的条件下，该超市如何购买花菜才能使当天的利润最大？ 7．（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）“龟兔赛跑”的故事同学们都非常熟悉，图中的线段和折线表示“龟兔赛跑”时路程与时间的关系，请你根据图中给出的信息，解决下列问题． (1)折线表示赛跑过程中_________的路程与时间的关系，线段表示赛跑过程中________的路程与时间的关系．（填“乌龟”和“兔子”）赛跑的全程是_________米． (2)乌龟用了多少分钟追上了正在睡觉的兔子？(3)兔子醒来，以米分的速度跑向终点，结果还是比乌龟晚到了分钟，请你算一算兔子中间停下睡觉用了多少分钟？ 8.（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）一条笔直的路上依次有A、B、C三地，其中A、C两地相距720米．小刚、小欣两人分别从A、C两地同时出发，匀速而行，分别去往目的地C与A．图中线段、分别表示小刚、小欣两人离A地的距离y（米）与行走时间x（分钟）的函数关系图象． (1)求所在直线的表达式．(2)出发后小刚行走多少时间，与小欣相遇？ (3)小刚到B地后，再经过1分钟小欣也到B地，求A、B两地间的距离． 9．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）某果农销售一种新鲜水果，采用线上和线下销售相结合的模式，具体费用标准如下： 线下销售模式：标价5元/千克，八折出售； 线上销售模式：标价5元/千克，九折出售，超过6千克时，超出部分按每千克3.5元． 购买这种新鲜水果千克，所需费用为元，与之间的函数关系如图所示． 根据以上信息，完成下列任务：(1)请求出两种销售模式对应的函数表达式；(2)求出图中点坐标，并解释它的实际意义；(3)若想购买15千克该种新鲜水果，请问选择哪种模式购买最省钱？ 10．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）某快递公司每天下午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，如图，线段分别表示甲仓库、乙仓库的快件数量（件）与揽件（或派件）时间x（分钟）之间的函数关系，线段相交于点A． (1)求甲仓库快件数量（件）与揽件（或派件）时间x（分钟）之间的函数表达式；（） (2)若已知乙仓库快件数量（件）与揽件（或派件）时间x（分钟）之间的函数表达式是，若点A的坐标（ ，160），写出点A的横坐标并写出点A的坐标表示的实际意义是 ． 11．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）某校迎来了一百二十年校庆，为了准备校庆，校方决定准备一场别开生面的文艺演出，有歌唱，舞蹈，小舞台剧等节目，为此学校需要采购一批演出服装．现有质量较好且价格合理的A，B两家公司供选择，这两家公司给出的价格都是每套服装100元，经洽谈协商：A公司给出的优惠条件是全部服装单价打8折，但校方需要承担1500元的运费；B公司给出的优惠条件是购买服装不超过100套时不打折，超过100套时，超出部分每套打7折，校方不用承担运费．(1)分别求出学校购买A，B两公司服装所付的总费用（元）和（元）与购买服装的数量x（套）之间的函数关系式；(2)如果该校根据演出人数决定购买180套服装，请通过计算说明学校选择哪家公司的服装花费更少． 1．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）货车和轿车分别沿同一路线从地出发去地，已知货车先出发分钟后，轿车才出发，当轿车追上货车分钟后，轿车发生故障，花了分钟修好车后，轿车按原来速度的继续前进，在整个行驶过程中，货车和轿车均保持各自的速度匀速前进，两车相距的路程（米）与货车出发的时间（分钟）之间的关系的部分图象如图所示，对于以下说法：货车的速度为米分；；点的坐标为；图中的值是．其中正确的是 ． 2．（24-25七年级上·江苏·期末）某生鲜店推出了A、B、C三类蔬菜包以方便居家生活的市民购买，A、B、C三类蔬菜包内均由萝卜、白菜、洋葱三种蔬菜搭配而成，每袋蔬菜包的成本也均为萝卜、白菜、洋葱三种蔬菜成本之和．每袋A蔬菜包有5公斤萝卜、4公斤白菜、6公斤洋葱；每袋C蔬菜包有7公斤萝卜、2公斤白菜、3公斤洋葱．已知每袋A的成本是该袋中萝卜成本的3倍，利润率为，每袋B的成本是其售价的，每袋C的利润是每袋A利润的．若该生鲜店1月2日当天销售A、B、C三种蔬菜包袋数之比为，则当天该生鲜店销售A、B、C三种蔬菜包的总利润与总成本的比值为 ． 3．（23-24八年级上·江苏·单元测试）温州某一企业原先一次性口罩和防雾霾口罩生产信息如表： 口罩类型 材料成本不含人工 出厂价 产量一人一天 一次性口罩 元个 元个 个 防雾霾口罩 元个 元个 个 已知该企业有名工人，工资每人每天元，该企业原来每天产量共个口罩． (1)求原先企业安排生产一次性口罩和防雾霾口罩各有多少人． (2)经一段时间运行，企业发现每天销售的防雾霾口罩，最多只能卖个，而一次性口罩可以全部销售，市场缺口较大，怎么安排生产口罩的人数可以使该企业每一天获得利润最大，最大利润是多少？（注：没有销售的口罩，作为库存暂时当做不赚不亏）． (3)在疫情期间，为了配合政府防疫工作，该厂“改为全部生产一次性口罩”，因为原材料价格暴涨，口罩的材料成本和出厂价分别变为元个和元个．一部分员工因为滞留在外，无法及时回来工作．所以该厂提高了剩余老员工的工资，也招募了几个新员工过来且老员工人数多于新员工，信息如表： 员工类型 每日工资 一次性口罩产量一人一天 老员工 元天 个 新员工 元天 个 要是该厂的利润达到元天求该厂留下来的老员工和招募的新员工人数． 4．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）某条城际铁路线共有A，B，C三个车站，每日上午均有两班次列车从A站驶往C站，其中次列车从A站始发，经停B站后到达C站，次列车从A站始发，直达C站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变．某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行信息如下表所示． 列车运行时刻表 车次 A站 B站 C站 发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻 途经B站，不停车 记两列车离A站的路程为s（千米）从上午开始计时，时长记为t分钟（如：上午，则），S与t的函数关系如下图所示： (1)次列车从A站到B站行驶了m分钟，________．A站到B站距离________千米； (2)在次列车行驶过程中求s与t的函数关系式； (3)在次列车的行驶过程中，若两车间距离为60千米，直接写出t的值． 5．（24-25八年级上·福建宁德·期中）综合与实践： 【问题背景】沙漏又称“沙钟”，是我国古代一种计量时间的仪器，它是根据流沙从一个容器漏到另一个容器的数量来计量时间．综合实践小组在进行项目式学习时，根据古代的沙漏模型（图1）制作了一套“沙漏计时装置”，该装置由沙漏和精密电子秤组成，电子秤上放置盛沙容器．沙子缓慢匀速地从沙漏孔漏到精密电子称上的容器内，可以通过读取电子秤的读数计算时间（假设沙子足够）． 【实验操作】该实验小组从函数角度进行了如下实验探究：实验观察：实验小组通过观察，每两小时记录一次电子秤读数，得到表1． 漏沙时长（时） 0 2 4 6 8 电子秤读数（克） 6 18 30 42 54 任务1：建立平面直角坐标系，如图2，横轴表示漏沙时长，纵坐标表示精密电子称的读数，描出以表1中的数据为坐标的各点， 【建立模型】任务2：观察上述各点的分布规律，依次将各点连接起来，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，请你建立适当的函数模型，并求出函数表达式；如果不在同一条直线上，请说明理由． 【结论应用】任务3：应用上述发现的规律估算：（1）若漏沙时间为5小时，精密电子称的读数为多少？ （2）若本次实验开始记录的时间是上午，当精密电子秤的读数为78克时是几点钟？（时间为24时制） 6．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型新能源汽车、1辆B型新能源汽车的进价共计50万元；3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车的进价共计85万元．(1)求A、B两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为多少万元；(2)若该公司计划正好用220万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的新能源汽车均购买），请你通过计算帮该公司求出全部的购买方案． 7．（23-24七年级下·江苏南通·期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车制造商开发了一款新能源汽车，计划一年生产安装360辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成安装任务，工厂决定招聘部分新工人，他们经过培训后也能独立进行新能源汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和3名新工人每月可安装12辆新能源汽车；2名熟练工和5名新工人每月可以安装22辆新能源汽车．(1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆新能源汽车？ (2)如果工厂招聘n（）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？(3)在（2）的条件下，工厂给安装新能源汽车的每名熟练工人每月发放4000元的工资，给每名新工人每月发2400元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 一次函数与方程组的实际应用 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（8大题型） 题型一 一次函数的实际应用-最大利润问题 题型二 一次函数的实际应用-最优方案问题 题型三 一次函数的实际应用-行程问题 题型四 一次函数的实际应用-其他问题 题型五 二元一次方程的实际应用-方案问题 题型六 二元一次方程的实际应用-工程问题 题型七 二元一次方程的实际应用-销售、利润问题 题型八 三元一次方程的实际应用问题 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 一次函数的实际应用-最大利润问题 ⭐技巧积累与运用 解题步骤：1）将需求最值对象表示成一次函数；2）利用题中条件求出自变量的取值范围；3）利用一次函数的增减性求出的最值，并找出最大利润或最小成本。 1．（24-25八年级上·陕西西安·期末）某教育科技公司销售，两种多媒体，这两种多媒体的进价与售价如表所示： 进价（万元/套） 售价（万元/套） (1)若该教育科技公司计划购进两种多媒体共套，共需资金万元，该教育科技公司计划购进，两种多媒体各多少套？(2)若该教育科技公司计划购进两种多媒体共套，其中购进种多媒体套，设将购进的两种多媒体全部售出的利润为，请求出与之间的函数关系式，并求出利润的最大值． 【答案】(1)该教育科技公司计划购进种多媒体套，则购进种多媒体套； (2)，利润的最大值为万元． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用和一次函数的应用．设该教育科技公司计划购进种多媒体套，则购进种多媒体套，根据共需资金万元，可列一元一次方程求解；根据表中每种型号的多媒体的利润可以得到与之间的函数关系式，根据函数关系式和的取值范围求出利润最大值． 【详解】（1）解：设该教育科技公司计划购进种多媒体套，则购进种多媒体套， 根据题意可得：，解方程得：，则(套)， 答：该教育科技公司计划购进种多媒体套，则购进种多媒体套； （2）解：根据题意可得：，整理得：， ，随着的增大而减小， 又，当时，利润有最大值，最大值为， 答：利润的最大值为万元． 2．（2024·山西阳泉·模拟预测）“一盔一带”是公安部在江苏开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当佩戴安全头盔．某商场欲购进一批安全头盔，已知购进2个甲种型号头盔和3个乙种型号头盔需要270元，购进3个甲种型号头盔和1个乙种型号头盔需要195元．(1)甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是多少？(2)若该商场计划购进甲、乙两种型号头盔共200个，且乙种型号头盔的购进数量最多为80个．已知甲种型号头盔每个售价为55元，乙种型号头盔每个售价为80元．若该商场将这两种型号头盔全部售出可获利W元，则应该如何进货才能使该商场获利最大？最大利润是多少元？    【答案】(1)甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是45元和60元 (2)购进甲种型号头盔120个、乙种型号头盔80个才能使该商场获利最大，最大利润是2800元 【分析】本题考查一次函数和二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组的解法、根据各量之间的数量关系写函数关系式并判断其增减性是解题的关键． （1）设甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是元和元，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）设购进乙种型号头盔个，则购进甲种型号头盔个，根据“总利润甲种型号头盔的总利润乙种型号头盔的总利润”，写出与的函数关系式，根据随的增减性和的取值范围，确定当取何值时最大，求出的最大值，并求出此时购进甲种型号头盔的个数即可． 【详解】（1）解：设甲种型号头盔的进货单价是元，乙种型号头盔的进货单价是元． 根据题意，得，解得，甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是45元和60元． （2）解：设购进乙种型号头盔个，则购进甲种型号头盔个． 根据题意，得，，随的增大而增大， ，当时，取最大值，，此时（个， 购进甲种型号头盔120个、乙种型号头盔80个才能使该商场获利最大，最大利润是2800元． 3．（23-24八年级下·河北廊坊·期末）A、B两个蔬菜基地要向C、D两城市运送蔬菜，已知基地有蔬菜200吨，基地有蔬菜300吨，城市需要蔬菜240吨，城市需要蔬菜260吨．从基地运往C、D两城市的费用分别为每吨20元和每吨25元，从基地运往C、D两城市的费用分别为每吨15元和每吨18元，设从基地运往城市的蔬菜为吨，A、B两个蔬菜基地的总运费为元．(1)求与之间的函数解析式，并写出的取值范围；(2)写出总运费最小时的运送方案，并求出此时的总运费；(3)如果从基地运往城市的费用每吨减少元且，其余线路的运费不变，请直接写出总运费最小时的运送方案． 【答案】(1)， (2)A往C运200吨，不往D运，B往C运40吨，往D运260吨，此时总运费最小为9280元 (3)当时，A往C运200吨，不往D运，B往C运40吨，往D运260吨，此时总运费最小；当时，A不往C运，往D运200吨，B往C运240吨，往D运60吨，此时总运费最小 【分析】此题考查一次函数的应用，解题关键在于根据题意列出w与x之间的函数关系式，并注意分类讨论思想的应用．（1）根据调运总费用等于四种调运单价乘以对应的吨数的积的和，得w与x的函数关系； （2）根据一次函数的性质解答即可；（3）由题意可得w与x的关系式，根据x的取值范围不同而有不同的解，分情况讨论：当时，当时，根据一次函数的性质即可解决． 【详解】（1）解：由题意可得， 化简可得，其中； （2）w随x增大而增大，故当时，总运费最小为9280元， 此时A往C运200吨，不往D运，B往C运40吨，往D运260吨； （3）此时w与x之间的函数关系变为， 当时，w随x增大而增大，仍当时w最小，此时维持原调运方案不变； 当时，w随x增大而减小，当时w最小，此时应让A不往C运，往D运200吨，B往C运240吨，往D运60吨． 一次函数的实际应用-最优方案问题 ⭐技巧积累与运用 解题步骤：1）根据实际情景确立数学模型；2）列出各方案的数学表达式；3）求出两函数图象的交点；3）根据实际情况确定最佳方案。 1．（23-24八年级下·河南开封·期末）某班的部分同学计划去参观一个受欢迎的历史文化景点，该景点融合了传统文化和现代元素，吸引了大批的游客．近期，这个景点推出新的门票销售方案．提供两类门票：一类是普通门票，价格为80元/张；另一类是团体门票（一次性购买门票10张及以上）每张门票价格为普通门票的8折．设该班参加旅游的人数为人，购买门票共需要元．请解决以下问题． (1)如果每个学生都购买普通门票，则与之间的函数解析式为________； (2)如果购买团体票，求与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)请根据人数的变化，直接设计一种最省钱的购票方案． 【答案】(1)，详见解析 (2)，详见解析 (3)当人数时，按普通门票购票省钱；当人数时，按普通门票购票和按团体门票购票一样省钱；当人数时，按团体门票购票省钱，详见解析 【分析】本题主要考查了一次函数的实际运用， （1）买普通门票可根据：买票总费用＝门票单价×门票张数，列函数关系式； （2）买团体票，需要一次购买门票10张及以上，即，利用打折后的票价乘人数即可； （3）根据8张普通门票的费用张团体门票费用，分类讨论：、、三种情况讨论； 根据数字特点找出临界点是解决问题的关键． 【详解】（1）∵普通门票，价格为80元/张，该班参加旅游的人数为x人，购买门票共需要y元， ∴，故答案为：； （2）∵团体门票（一次性购买门票10张及以上）每张门票价格为普通门票的8折．该班参加旅游的人数为x人，购买门票共需要y元，∴； （3）∵， 当人数时，按普通门票购票省钱； 当人数时，按普通门票购票和按团体门票购票一样省钱； 当人数时，按团体门票购票省钱． 2．（24-25八年级上·河南郑州·期中）灯彩（洛阳宫灯）是国家级非物质文化遗产之一．古朴典雅，款式多样，彩绘蕴蓄，是生活的真实写照，给人以美的享受．李老师计划购进一批灯彩，已知甲、乙两个商店的标价都是每个10元．两商店售卖方式如下：设李老师购买灯彩的个数为x（个），甲商店所需费用为元，且；乙商店所需费用为元． 甲商店 乙商店 购买一张会员卡，享受会员价， 每个灯彩可按标价的七折卖； 不购买会员卡， 每个灯彩可按标价的九折卖． (1)甲商店一张会员卡的价格为______元；(2)求的函数表达式； (3)若李老师准备买40个灯彩，则选哪个商店比较合算，请说明理由． 【答案】(1)100(2)(3)选乙商店比较合算，理由见解析 【分析】本题考查了一次函数的应用，明确题意，求出相应的函数解析式是解题的关键． （1）代入到，得到相应的值，即可得出甲商店一张会员卡的价格； （2）根据乙商店的售卖方式，即可求出的函数表达式； （3）分别代入到和，比较相应与的大小，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得，，当时，， 即甲商店一张会员卡的价格为100元．故答案为：100． （2）依照乙商店的售卖方式可得：，的函数表达式为． （3）选乙商店比较合算，理由如下： 代入，则；代入，则； ，选乙商店比较合算． 一次函数的实际应用-行程问题 ⭐技巧积累与运用 1）纵坐标表示行驶路程 1.一般该类型代表时间，代表行驶路程，需要研究每条线段及拐点的实际意义； 2.直线中=行驶速度；3.两线段的交点为两人的相遇点；4.两人间的距离. 2）纵坐标表示两者之间的距离 1.一般该类型代表时间，代表两人之间的距离，需要研究每条线段及拐点的实际意义； 2.①当两人同向行驶时，速度差；②当两人相向行驶时，速度和； 3.轴上的点为两人的相遇点；4.两人间的距离。 1．（24-25八年级上·山西晋中·期中）甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程与所用的时间之间的函数关系如图所示．根据图中信息，下列说法错误的是（   ） A．前，甲比乙的速度慢 B．经过，甲、乙都走了 C．甲、乙两名同学相距时， D．甲的平均速度为 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的图像及其在行程问题中的应用，理解函数关系图是解答本题的关键．结合函数关系图逐项判断即可． 【详解】A．前分钟，甲走千米，乙走千米，则甲比乙的速度慢，故A选项正确，故不符合题意； B．经过分钟，根据函数关系图可知，甲、乙都走了千米，故B选项正确，故不符合题意； C．经过分钟，甲走了千米，乙走了千米，则甲比乙少走了千米， 经过分钟，甲走了千米，乙走了千米，则甲比乙多走了千米， 则甲、乙两名同学相距千米时，分钟或分钟，故C选项错误，故符合题意； D．甲分钟走了千米，则其平均速度为：， 故D选项正确，故不符合题意；故选：C． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）小明租用共享单车从家出发，匀速骑行到相距2400米的图书馆还书．小明出发的同时，他的爸爸以每分钟96米的速度从图书馆沿同一条道路步行回家，小明在图书馆停留了2分钟后沿原路按原速返回．设他们出发后经过（分）时，小明与家之间的距离为（米），小明爸爸与家之间的距离为（米），图中折线、线段分别表示、与之间的函数关系的图象小明从家出发，经过 分钟在返回途中追上爸爸． 【答案】20 【分析】此题考查一次函数的实际运用．根据题意，可求出，，，，由此用待定系数法可分别求出直线的关系式，，从可列出一元一次方程，解出即可得出结果． 【详解】解：，由题意得：，，，， 设直线的关系式分别为，， 把，，，代入相应的关系式得： ，，解得：，， ∴直线的关系式分别为，， 当时，即：，解得：．故答案为：20． 3．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）已知、两市相距千米，甲车从市前往市运送物资，行驶小时在地汽车出现故障，立即通知技术人员乘乙车从市赶来维修（通知时间忽略不计），乙车到达地后又经过分钟修好甲车后以原速原路返回，同时甲车以原速倍的速度前往市，如图所示，是两车距市的路程（千米）与甲车行驶时间（小时）之间的函数图象． (1)甲车提速后的速度是 ，乙车的速度是 ，点C的坐标是 ； (2)求乙车返回时与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)求甲车到达市时乙车已返回市多长时间？ 【答案】(1)，， (2)与的函数关系式 (3)甲车到达市时乙车已返回市小时． 【分析】本题考查一次函数的综合应用，理解图示，掌握一次函数与行程问题的运用是解题的关键．（1）根据函数图象可得甲车的原速度为千米/小时，则提速后的速度为千米/小时；根据题意可得乙车所来回行使的路程为千米，除维修时间外，行驶时间为小时，根据路程时间速度得出乙车的速度，由此可得，乙车从点返回的时间为小时，则点的横坐标为；（2）根据点的坐标以及与轴的交点求出函数解析式；（3）分别求出甲车和乙车在修好后行使的时间，然后进行计算． 【详解】（1）解：根据图示，甲车行驶小时到达地的速度为：（千米/小时）， ∴甲车提速后的速度是千米/小时， 根据图示，分钟小时，乙车去的时间，回来的时间和为：（小时），乙行驶的路程为：（千米），∴乙车的速度是千米/小时， ∴乙从点返回的时间为：（小时），∴点对应的横坐标为：， ∴点的坐标为 ，故答案为：． （2）解：由题意，点的坐标为，且过， ∴ 设乙车返回时，与的关系式为：， ∴，∴解得：，∴乙车返回时，与的关系式为： ． （3）解：由题意，修好车后，小时， 小时， ∴小时，答：甲车到达市时，乙车已返回市小时． 一次函数的实际应用-其他问题 1．（24-25八年级下·江苏·期末）小李计划通过社会实践活动赚钱买一本标价为43元的书，他以1.1元/千克的价格从批发市场购进若干数量的西瓜去销售，在销售了之后，余下的打七五折全部售完，若销售金额（元）与售出西瓜的数量之间的关系如图所示，则下列结论正确的是（  ） A．降价后西瓜的单价为2元/千克 B．小李一共进了西瓜 C．小李这次社会实践活动赚的钱可以买到43元的书 D．降价前的单价比降价后的单价多0.6元 【答案】C 【分析】本题重点考查了一次函数的图象及一次函数的应用，关键是根据y与x的函数关系式解答．先设售价为元，可得出函数解析式，把已知坐标代入解析式可得的值，根据余下的打七五折得出余下西瓜的售价，再根据图就能得出总利润和总共进的西瓜数量. 【详解】解：设售价为元，根据题意可得出函数解析式 根据图可知销售40千克时，销售金额为80元，∴ 解得：，即降价前的售价是每千克2元，故A选项错误； ∵余下的打七五折全部售完∴余下的价格为：（元） ∴降价前的单价比降价后的单价多（元），故D选项错误； ∴降价后销售的西瓜为：（千克）∴总共的西瓜是：（千克） ∴广宇一共进了千克西瓜，故B选项错误；∴总的利润是：（元）， ∵，∴小李这次社会实践活动赚的钱可以买到43元的书，故C选项正确.故选：C． 2．（24-25八年级上·山东青岛·期中）《九章算术》中记载，浮箭漏（如图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间.某学校科技研究小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究.研究小组每2h记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为），得到如表： 供水时间x（h） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（） 6 18 30 42 54 (1)如图②，建立平面直角坐标系，横轴表示供水时间，纵轴表示箭尺读数，描出以表格中数据为坐标的各点，并连线；(2)观察描出各点的分布规律，可以知道它是我们学过的_______函数，请结合表格数据，求出该函数解析式；(3)应用上述得到的规律计算：如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当箭尺读数为时是什么时候？ 【答案】(1)见解析(2)一次，(3)下午 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）描点并连线即可；（2）根据画出的图象特征判断即可，运用待定系数法求出函数解析式；（3）将代入函数解析式，求出的值，并根据本次实验记录的开始时间计算当箭尺读数为时的时间即可． 【详解】（1）解：描点并连线如图所示： （2）解：观察描出各点的分布规律，可以知道它是我们学过的一次函数．故答案为：一次． 设与之间的函数解析式为、为常数，且． 将，和，分别代入， 得，解得，与之间的函数解析式为． （3）解：当时，得，解得，上午经过12.5小时是，即下午． 答：当箭尺读数为时是下午． 3．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）小林生日时，妈妈送她一个斜挎包，如图①，包的挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成，通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短．单层部分的长度与双层部分的长度满足一次函数关系，经测量，得到如下数据： 单层部分的长度 … 60 70 80 90 100 110 … 双层部分的长度 … 40 35 30 25 20 15 … (1)请在图②的平面直角坐标系中，描出各点，并把这些点依次连接起来，画出函数图象，根据图象猜想y与x是否满足一次函数的关系？如果是，请求出y关于x的函数表达式，并验证你的猜想； (2)当挎带的长度为时，此时双层部分的长度为_______； (3)若刚买回来的斜挎包挎带全为双层，小林的身高最合适的挎带长度为，调节挎带长度的方法是_________． 【答案】(1)画图见解析，是的一次函数，，验证见解析 (2)30(3)调节挎带长度使单层部分的长度为 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意并利用待定系数法求出函数关系式是解题的关键． （1）描点并连线，根据图象的特征判断函数类型并利用待定系数法求出函数表达式即可； （2）将代入关于的函数表达式，解方程求出的值即可； （3）分别求出当时对应的值和当时对应的值，从而求出挎带长度的取值范围，根据是否在这个范围来判断挎带长度是否满足小林的身高要求；设调节挎带长度使单层部分的长度为，则双层部分的长度为，将它们分别代入关于的函数表达式并求出的值即可． 【详解】（1）解：描点及函数图象如图所示： 图象是一条直线，是的一次函数．设关于的函数表达式为、为常数，且． 将坐标和分别代入， 得，解得，关于的函数表达式为； （2）解：当挎带的长度为时，单层部分的长度为． 将代入，得，解得． 此时双层部分的长度为．故答案为：30； （3）解：当斜挎包挎带全为双层时，则，此时挎带长度为； 当斜挎包挎带全为单层时，得，解得，此时挎带长度为； 挎带长度在之间， 小林的身高最合适的挎带长度为，挎带长度满足小林的身高要求． 设调节挎带长度使单层部分的长度为，则双层部分的长度为， ，解得，调节挎带长度使单层部分的长度为． 故答案为：调节挎带长度使单层部分的长度为 二元一次方程的实际应用-方案问题 ⭐技巧积累与运用 往往有多种方案都是符合，注意在得出方案时，必须要符合实际（通常为正整数）。 1．（24-25八年级上·江苏·期末）某汽车公司有甲、乙两种货车可供租用，现有一批货物要运往某地，货主准备租用该公司货车，已知甲、乙两种货车运货情况如表： 第一次 第二次 甲种货车（辆） 2 5 乙种货车（辆） 3 6 累计运货（吨） 13 28 (1)甲、乙两种货车每辆可装多少吨货物？ (2)若某货主共有20吨货物，计划租用该公司的货车，正好（每辆货车都满载）把这批货物运完，请你写出所有租车方案 (3)王先生要租用该公司的甲、乙两种货车送一批货，如果租用甲种货车数量比乙种货车数量多1辆，而乙种货车每辆的运费时甲种货车的1.4倍，结果甲种货车共付运费800元，乙种货车共付运费980元，试求此次甲、乙两种货车每辆各需运费多少元？ 【答案】(1)甲种货车每辆可装2吨货物，乙种货车每辆可装3吨货物 (2)共有4种租车方案，方案1：租用10辆甲种货车；方案2：租用7辆甲种货车，2辆乙种货车；方案3：租用4辆甲种货车，4辆乙种货车；方案4：租用1辆甲种货车，6辆乙种货车 (3)甲种货车每辆需运费100元，乙种货车每辆需运费140元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用等知识点， （1）设甲种货车每辆可装x吨货物，乙种货车每辆可装y吨货物，根据第一、二次两种货车运货情况表，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用a辆甲种货车，b辆乙种货车，根据货物的总重量为20吨且每辆货车都满载，即可得出关于的二元一次方程，结合均为非负整数，即可得出各租车方案； （3）设甲种货车每辆需运费m元，租用甲种货车n辆，则乙种货车每辆需运费元，租用乙种货车辆，根据总费用＝每辆车所需费用×租用该种车的辆数，即可得出关于的方程组，解之即可得出结论； 熟练掌握（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出方程组．是解决此题的关键． 【详解】（1）设甲种货车每辆可装x吨货物，乙种货车每辆可装y吨货物， 依题意，得：，解得：， 答：甲种货车每辆可装2吨货物，乙种货车每辆可装3吨货物． （2）设租用a辆甲种货车，b辆乙种货车，依题意，得：，∴． ∵a，b均为非负整数，∴b为偶数， ∴当时，；当时，；当时，；当时，． ∴共有4种租车方案，方案1：租用10辆甲种货车；方案2：租用7辆甲种货车，2辆乙种货车；方案3：租用4辆甲种货车，4辆乙种货车；方案4：租用1辆甲种货车，6辆乙种货车． （3）设甲种货车每辆需运费m元，租用甲种货车n辆，则乙种货车每辆需运费元，租用乙种货车辆，依题意，得：，解得：，∴． 答：甲种货车每辆需运费100元，乙种货车每辆需运费140元． 2．（24-25八年级上·陕西汉中·阶段练习）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解，2辆型汽车．3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元． (1)求、两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），则该公司有哪几套方案？ 【答案】(1)型汽车每辆的进价为25万元，型汽车每辆的进价为10万元 (2)3种；方案见解析 【分析】本题考查二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程（组）．（1）设A种型号的汽车每辆进价为a万元，B种型号的汽车每辆进价为b万元，根据题意列二元一次方程组，即可求解；（2）设购买A型号的汽车m辆，B种型号的汽车n辆，根据总价为180万元列出二元一次方程，进而分析得出购买方案． 【详解】（1）解：设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元， 依题意，得：，解得， 答：型汽车每辆的进价为25万元，型汽车每辆的进价为10万元． （2）解：设购进型汽车辆，购进型汽车辆， 依题意，得：，， ，均为正整数，或或，共3种购买方案， 方案一：购进型车2辆，型车13辆； 方案二：购进型车4辆，型车8辆； 方案三：购进型车6辆，型车3辆． 二元一次方程的实际应用-工程问题 ⭐技巧积累与运用 解题技巧：工程问题中的公式（等量关系式）有：工程量=工作效率×工作时间。工程问题，常是几个工程队共同完成，因此等量关系式为：总工程量=甲工程队工程量+乙工程队工程量。 1．（23-24七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）古运河是扬州的母亲河．为打造古运河风光带，现有一段长为180米的河道整治任务由A、B两工程队先后接力完成．A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天． (1)根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下： 甲：；乙： 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x、y表示的意义，然后在括号内补全甲、乙两名同学所列的方程组： 甲：x表示______，y表示_______； 乙：x表示______，y表示______． (2)求A、B两工程队分别整治河道多少米．（写出完整的解答过程） 【答案】(1)补全方程组见解析；A工程队用的时间，B工程队用的时间；A工程队整治河道的米数，B工程队整治河道的米数；(2)A工程队整治河道60米，B工程队整治河道120米． 【分析】此题主要考查二元一次方程组的应用．（1）此题蕴含两个基本数量关系：A工程队用的时间工程队用的时间天，A工程队整治河道的米数工程队整治河道的米数，由此进行解答即可；（2）选择其中一个方程组解答解决问题． 【详解】（1）解：甲同学：设A工程队用的时间为x天，B工程队用的时间为y天，由此列出的方程组为 ； 乙同学：A工程队整治河道的米数为x，B工程队整治河道的米数为y，由此列出的方程组为； 故答案为：A工程队用的时间，B工程队用的时间；A工程队整治河道的米数，B工程队整治河道的米数； （2）解：选甲同学所列方程组解答如下： ，得，解得， 把代入①得，所以方程组的解为， A工程队整治河道的米数为：，B工程队整治河道的米数为：； 答：A工程队整治河道60米，B工程队整治河道120米． 选乙同学所列方程组解答如下：由题意可得，解得， 答：A工程队整治河道60米，B工程队整治河道120米． 2．（23-24七年级下·山东聊城·期末）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元． (1)求甲、乙装修组工作一天，商店各需支付多少元费用？ (2)若装修完后，商店每天可盈利200元，现有如下三种方式装修：①甲单独做；②乙单独做；③甲乙合做，你认为如何安排施工更有利于商店经营？说明理由． 【答案】(1)甲组工作一天商店应支付300元，乙组工作一天商店应支付140元 (2)安排甲乙合作施工更有利于商店经营，理由见解析 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． （1）设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元，根据甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元，列出方程组，解方程组即可； （2）分别求出三种情况下的费用，然后进行比较得出答案即可． 【详解】（1）解：设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元， 依题意得：，解得：， 所以，甲组工作一天商店应支付300元，乙组工作一天商店应支付140元． （2）解：设甲、乙装修组的工作效率分别为m，n， 由题意得，解得：，所以，甲单独完成需要12天，乙单独完成需要24天． 选择①所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为：（元）； 选择②所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为：（元）； 选择③所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为：（元）． 因为，所以，安排甲乙合作施工更有利于商店经营． 二元一次方程的实际应用-销售、利润问题 ⭐技巧积累与运用 利润问题，常见的等量关系式有：利润=售价－进价=进价×利润率。 1．（湖南省郴州市2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试题）为了喜迎新春，某水果店用4000元购进水果礼盒和坚果礼盒共90盒，这两种礼盒的进价、标价如下表所示． 类型/价格 水果礼盒 坚果礼盒 进价（元/盒） 40 60 标价（元/盒） 60 90 (1)水果礼盒和坚果礼盒各购进多少盒？(2)为回馈客户，该水果店计划将每个水果礼盒和坚果礼盒都打八折出售，求售完这批水果礼盒和坚果礼盒水果店共盈利多少元？ 【答案】(1)水果礼盒和坚果礼盒各购进70，20盒 (2)800元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，利用方程的思想解答．（1）有两个等量关系：水果礼盒数+坚果礼盒数，购买水果礼盒钱数购买坚果礼盒钱数． （2）根据利润售价进价，知水果店共获利水果礼盒利润坚果礼盒利润． 【详解】（1）解：设水果礼盒和坚果礼盒各购进盒， 则由题意得：，解得：， 答：水果礼盒和坚果礼盒各购进盒； （2）解：（元）答：共盈利800元． 2．（24-25八年级上·重庆南岸·阶段练习）麦麦蛋糕店准备促销“葡式蛋挞”和“香草泡芙”，已知“葡式蛋挞”的成本为10元/份，售价为20元/份，“香草泡芙”的成本为12元/份，售价为24元/份，第一天销售这两种蛋糕共136份，获利1438元．(1)求第一天这两种蛋糕的销量分别是多少份； (2)经过第一天的销售后，这两种蛋糕的库存发生了变化，为了更好的销售这两种蛋糕，店主决定把“葡式蛋挞”的售价在原来的基础上减少，“香草泡芙”的售价在原来的基础上增加，“葡式蛋挞”的销量在原来的基础上减少了12份，“香草泡芙”的销量在原来的基础上增加了31份，但两种蛋糕的成本不变，结果获利比第一天多254元．求的值． 【答案】(1)97份，39份(2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设第一天这两种蛋糕的销量分别是x份，y份，根据“已知“葡式蛋挞”的成本为10元/份，售价为20元/份，“香草泡芙”的成本为12元/份，售价为24元/份，第一天销售这两种蛋糕共136份，获利1438元”，进行列二元一次方程组，再解得，即可作答． （2）依题意，列出一元一次方程，再解出，即可作答． 【详解】（1）解：设第一天这两种蛋糕的销量分别是x份，y份，由题意得 解得； ∴第一天这两种蛋糕的销量分别是97份，39份， （2）解：由题意得, ， ∴解得． 三元一次方程的实际应用问题 ⭐技巧积累与运用 列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系。一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足： ①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相等。 1．（24-25七年级上·北京·期中）正正和阳阳一起玩猜数游戏．正正说：“你随便选定三个小于8的正整数，按下列步骤进行计算：第一步把第一个数乘以4，再减去15；第二步把第一步的结果乘以2，再加上第二个数；第三步把第二步的结果乘以8，再加上第三个数．只要你告诉我最后的得数，我就能知道你所选的三个正整数．”阳阳表示不信，但试了几次以后，正正都猜对了．请你利用所学过的数学知识来探索该“奥秘”，回答：当“最后的得数”是102时，阳阳最初选定的三个正整数按顺序分别是（    ） A．1，4，6 B．6，4，1 C．6，2，5 D．5，2，6 【答案】D 【分析】本题考查了三元一次方程组，设这三个数为、、，由题意可得，整理得出，再将各个选项代入计算即可得解． 【详解】解：设这三个数为、、，由题意得：，整理得：， 、将1，4，6代入可得：，故不符合题意； B、将6，4，1代入可得：，故不符合题意； C、将6，2，5代入可得：，故不符合题意； D、将5，2，6代入可得：，故符合题意；故选：D． 2．（24-25八年级上·山东济南·期中）【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：得：③ 得：，所以，的值为． 【类比迁移】（1）已知求的值； 【实际应用】（2）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买本笔记本、支签子笔、支记号笔需要元；若购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要元；本班共位同学，则购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要多少钱？ 【答案】（1）； （2）元． 【分析】此题考查三元一次方程组的应用以及解三元一次方程组，代数式求值，弄清题意是解本题的关键，寻找代数式之间的倍数关系是解本题的关键．（1）方程组两方程左右两边相加，即可求出原式的值；（2）设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为元，元，元，根据题意列出方程组，求出按照原价本笔记本、支签字笔、支记号笔花费总数，即可求出购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要的钱． 【详解】解：（），①②得：，∴； （2）设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为元，元，元，根据题意得：， ∴得，∴， ∴购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要元． 1．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）《九章算术·盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出8钱，就多了3钱；如果每人出7钱，就少了4钱．问一共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有人，物品的价格为钱，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．根据题意直接列出方程组即可． 【详解】解∶根据题意，得，即，故选：C． 2．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）有A，B，C三种商品，单价都是正整数（元），若黄老师去买A商品3件，B商品7件，C商品1件，共付款24元：黄老师又去买A商品4件，B商品10件，C商品1件，共付款33元；那么黄老师买A，B，C三种商品各一件共需付款（    ） A．10元 B．9元 C．8元 D．6元 【答案】D 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的实际应用，设A、B、C三种商品的单价分别为x元，y元，z元，则，再解方程组即可得到答案． 【详解】解：设A、B、C三种商品的单价分别为x元，y元，z元， 由题意得， 得：，∴， ∵x、y都是正整数，∴是正整数， ∴当时，，，符合题意； 当时，，，不符合题意；∴， ∴黄老师买A，B，C三种商品各一件共需付款6元，故选：D． 3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）周末，张洋去某杨梅园摘杨梅，已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克40元．为满足客户需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案： 甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的杨梅按原价的七折收费； 乙方案：游客进园不需购买门票，采摘的杨梅在10千克以内按原价收费、超过10千克后，10千克部分按原价收费，超过部分按原价的五折收费． 设张洋的采摘量为千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为元． (1)当采摘量超过10千克时，分别求出、关于x的函数表达式； (2)若张洋的采摘量为30千克，选择哪种方案更划算?请说明理由． 【答案】(1)，(2)选择乙方案更划算，见解析 【分析】本题考查了一次函数在实际问题中的应用，正确求出一次函数的解析式是解题关键． （1）根据甲、乙收费方案即可求解；（2）令，分别求出，，即可进行判断． 【详解】（1）解：由题意得：，； （2）选择乙方案更划算 理由：当时，，． ∵，∴选择乙方案更划算． 4．（23-24九年级下·河南驻马店·阶段练习）2024年，郑州市中招体育考试的总分值提高到分，考试项目增加至项，其中技能类考试项目除篮球和足球外增加了排球垫球．某校为更好开展排球课程，计划购买一批排球，郑州市两家体育用品商店分别推出了自己的优惠方案： 商店：若购买超过个，超过部分按每个排球标价的八折出售． 商店：若购买超过个，超过部分按每个排球标价的九折出售，然后每个再优惠元． 若用字母表示购买排球的数量，字母表示购买排球的价格，其函数图象如图所示． (1)求每个排球的标价是多少元．(2)当时，商店的应付总价与数量之间的函数关系式为 ；当时，商店的应付总价与数量之间的函数关系式为 ．(3)请求出图中点的坐标，并简要说明点表示的实际意义．(4)根据图象直接写出选择哪家商店购买排球更优惠． 【答案】(1)元(2)；(3)点的坐标为；点表示的实际意义为当购买个排球时，在、两家商店所付的钱数相同，均为元(4)当或时，在、两家商店所付的钱数相同；当时，选择商店更合算；当时，选择商店更合算 【分析】本题考查一次函数的应用，列函数关系式，单价、数量、总价之间的关系 （1）根据函数图象可知：商店：购买个排球的总价为元；商店：购买个排球的总价为元，根据“单价总价数量”即可得解；（2）根据两家体育用品商店分别推出的优惠方案并根据“总价单价数量”即可得出函数关系式；（3）根据（2）的结论列方程解答即可；（4）根据（3）的结论结合图象解答即可；解题的关键是根据题意或图像找出等量关系列出函数关系式或方程，利用图像确定自变量的取值范围以解决方案问题． 【详解】（1）解：商店：购买个排球的总价为元，∴标价为：（元/个）； 商店：购买个排球的总价为元，∴标价为：（元/个）； 则两个商店排球的标价是一样的，∴每个排球的标价是元； （2）当时，， ∴与数量之间的函数关系式为， 当时，， ∴与数量之间的函数关系式为，故答案为：；； （3）由图像可知，点是两个函数图象的交点，此时这两个图象的横、纵坐标分别相等， 则，解得：，此时，∴点的坐标为， ∴点表示的实际意义为当购买个排球时，在、两家商店所付的钱数相同，均为元； （4）观察图象可知：当或时，在、两家商店所付的钱数相同； 当时，选择商店更合算；当时，选择商店更合算． 5．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·开学考试）2018年11月5日中国进口博览会如期举行，旨在坚定支持贸易自由化和经济全球化，主动向世界开发市场，吸引了58个“一带一路”沿线国家的超过1000多家企业参展，将成为共建“一带一路”的又一个重要支撑，仅医疗器械及医药保健展区成交57.6亿美元，某保健公司引进了A、B两种型号的医疗器材共计50台，花费2300万美元，已知A型器材每台40万美元，B型器材每台50万美元． 甲（万美元/台） 乙（万美元/台） A型医疗器材 0.7 1 B型医疗器材 0.8 0.9 (1)求出该公司引进了A、B两种型号的医疗器材各多少台．(2)现该公司需将购进的医疗器材运往甲、乙两个仓库，已知甲仓库容量为30台，乙仓库容量为20台，运费如表，设运往甲仓库的A型医疗器材为x台（），求总运费为y（万美元）关于x的函数关系式，并求出总运费最低的调运方案，最低总运费是多少万美元． 【答案】(1)该公司引进20台A型号医疗器材，30台B型号医疗器材 (2)y与x的函数关系式为；总运费最低的调运方案为：运往甲仓库的A型医疗器材为15台，运往甲仓库的B型医疗器材为15台，运往乙仓库的A型医疗器材为5台，运往乙仓库的B型医疗器材为15台；最低总运费为41万美元． 【分析】本题考查了二元一次方程组应用，一次函数的应用，为方程和函数综合应用的常规题型．准确用x表示运往甲、乙仓库的各种器材数是解题关键．（1）根据两种器材数量和为50台和总费用2300万美元为等量关系列方程组；（2）用x表示运往甲仓库的B型器材数、运往乙仓库的A、B型器材数，根据题意求运费和，得到y关于x的函数为一次函数，且x的系数为负数，所以x越大y越小． 【详解】（1）设该公司引进a台A型号医疗器材，则引进B型号器材b台，根据题意得： ，解得：，答：该公司引进20台A型号医疗器材，30台B型号医疗器材． （2）依题意得，运往甲仓库的B型医疗器材为台，运往乙仓库的A型为台，运往乙仓库的B型为x台，∴，整理得：，∴y随x的增大而减小， ∵，∴当时，y有最小值，最小值为， 答：y与x的函数关系式为；总运费最低的调运方案为：运往甲仓库的A型医疗器材为15台，运往甲仓库的B型医疗器材为15台，运往乙仓库的A型医疗器材为5台，运往乙仓库的B型医疗器材为15台；最低总运费为41万美元． 6．（23-24八年级下·甘肃庆阳·期末）襄阳市某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查，这两种蔬菜的进价和售价如下表所示． 有机蔬菜种类 进价/（元） 售价/（元） 甲 m 16 乙 n 18 (1)该超市购进甲种蔬菜和乙种蔬菜需要170元；购进甲种蔬菜和乙种蔬菜需要200元．求m，n的值；(2)该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共进行销售，其中甲种蔬菜的数量不少于，且不大于，实际销售时，由于多种因素的影响，甲种蔬菜超过的部分，当天需要打5折才能售完，乙种蔬菜能按售价卖完，求超市当天售完这两种蔬菜获得的利润额y（元）与购进甲种蔬菜的数量之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (3)在（2）的条件下，该超市如何购买花菜才能使当天的利润最大？ 【答案】(1)m，n的值分别为10，14 (2) (3)甲种蔬菜购进，乙种蔬菜购进时，利润额取最大值，为520元 【分析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和方程的知识解答． （1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得m、n的值； （2）根据题意，利用分类讨论的方法可以求得y与x的函数关系式； （3）根据（2）中的条件，可以求得y的最大值． 【详解】（1）根据题意，得解得．故m，n的值分别为10，14． （2）由题意可知． 当时，； 当时，． ∴； （3）当时，，y随x的增大而增大，∴当时，y最大，为520． 当时，，y随x的增大而减少，当时，y最大，为520． 故当，即甲种蔬菜购进，乙种蔬菜购进时，利润额取最大值，为520元． 7．（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）“龟兔赛跑”的故事同学们都非常熟悉，图中的线段和折线表示“龟兔赛跑”时路程与时间的关系，请你根据图中给出的信息，解决下列问题． (1)折线表示赛跑过程中_________的路程与时间的关系，线段表示赛跑过程中________的路程与时间的关系．（填“乌龟”和“兔子”）赛跑的全程是_________米． (2)乌龟用了多少分钟追上了正在睡觉的兔子？(3)兔子醒来，以米分的速度跑向终点，结果还是比乌龟晚到了分钟，请你算一算兔子中间停下睡觉用了多少分钟？ 【答案】(1)兔子，乌龟，(2)(3) 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用（行程问题），从函数的图象获取信息等知识点，能够读懂函数图象，获取正确信息是解题的关键．需要注意的是，解答图象信息题首先是读懂题目，分析图象，弄清楚每一个点所表示的实际意义，图象上的特殊点最为重要，是帮助理解题意，确定运动状态的重要信息． （1）通过观察图象即可直接得出答案；（2）先根据“速度路程时间”求出乌龟的速度；由图象可知，兔子睡觉时的路程为米，然后根据“时间路程速度”即可求出乌龟追上兔子所用的时间； （3）用兔子全程用时减去开始时跑的分钟和醒来后跑的分钟，即可得出答案． 【详解】（1）解：从图象可知：折线表示赛跑过程中兔子的路程与时间的关系，线段表示赛跑过程中乌龟的路程与时间的关系，赛跑的全程是米，故答案为：兔子，乌龟，； （2）解：乌龟的速度是：（米分），乌龟追上兔子所用时间为：（分钟）， 答：乌龟用了分钟追上了正在睡觉的兔子； （3）解：兔子全程共用时：（分钟）， 其中，开始时跑了分钟，醒来后又跑了：（分钟）， 兔子中间停下睡觉共用时：（分钟）， 答：兔子中间停下睡觉用了分钟． 8.（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）一条笔直的路上依次有A、B、C三地，其中A、C两地相距720米．小刚、小欣两人分别从A、C两地同时出发，匀速而行，分别去往目的地C与A．图中线段、分别表示小刚、小欣两人离A地的距离y（米）与行走时间x（分钟）的函数关系图象． (1)求所在直线的表达式．(2)出发后小刚行走多少时间，与小欣相遇？ (3)小刚到B地后，再经过1分钟小欣也到B地，求A、B两地间的距离． 【答案】(1)(2)分钟(3)396米 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，用待定系数法可求出函数表达式，一元一次方程的应用． （1）设所在直线表达式为：，将点，代入，再求解即可； （2）根据图象利用路程除以两人的速度和得到答案； （3）设A、B两地的距离为s米，利用时间关系可得，再解方程即可． 【详解】（1）解：由题可设所在直线表达式为：， 将点，代入：可得，解得，∴所在直线表达式为：． （2）解：由图象可得小刚行驶速度为（米/分），小欣行驶速度（米/分）， 两人相遇时间为：（分钟）所以，小刚行走分钟后两人相遇． （3）解：设A、B两地的距离为s米．由题意得，解得（米） 答：A、B两地的距离为396米． 9．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）某果农销售一种新鲜水果，采用线上和线下销售相结合的模式，具体费用标准如下： 线下销售模式：标价5元/千克，八折出售； 线上销售模式：标价5元/千克，九折出售，超过6千克时，超出部分按每千克3.5元． 购买这种新鲜水果千克，所需费用为元，与之间的函数关系如图所示． 根据以上信息，完成下列任务：(1)请求出两种销售模式对应的函数表达式；(2)求出图中点坐标，并解释它的实际意义；(3)若想购买15千克该种新鲜水果，请问选择哪种模式购买最省钱？ 【答案】(1)(2)图中点坐标的实际意义为当购买12千克产品时，线上线下都花费48元 (3)当时，线上购买比线下购买省钱 【分析】本题考查一次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题关键．（1）由题意，用待定系数法求函数解析式即可；（2）由图象知，点是射线和折线的交点，说明取同一个值时，函数值相等，从而说明点坐标的实际意义；（3）把分别代入和求值即可． 【详解】（1）解：根据题意，图中射线为线下销售，折线为线上销售， 线下销售：；线上销售：当时，， 当时，， ； （2）解：根据函数图象，得，解得：，，， 图中点坐标的实际意义为当购买12千克产品时，线上线下都花费48元； （3）解：购买15千克该种水果线下需花费：（元）， 线上需花费：（元）， ，购买该种新鲜水果15千克，线上购买省钱． 10．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）某快递公司每天下午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，如图，线段分别表示甲仓库、乙仓库的快件数量（件）与揽件（或派件）时间x（分钟）之间的函数关系，线段相交于点A． (1)求甲仓库快件数量（件）与揽件（或派件）时间x（分钟）之间的函数表达式；（） (2)若已知乙仓库快件数量（件）与揽件（或派件）时间x（分钟）之间的函数表达式是，若点A的坐标（ ，160），写出点A的横坐标并写出点A的坐标表示的实际意义是 ． 【答案】(1) (2)20，经过20分钟，甲乙两个仓库中的快递数量相等，均为160件 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）点的纵坐标代入解析式，求出横坐标，进而写出实际意义即可． 【详解】（1）解：设，由图象可知，直线过点， ∴，解得：，∴； （2）∵，当时，，解得：，∴点的横坐标为20， 由图象可知：点为两条直线的交点，实际意义为：经过20分钟，甲乙两个仓库中的快递数量相等，均为160件． 11．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）某校迎来了一百二十年校庆，为了准备校庆，校方决定准备一场别开生面的文艺演出，有歌唱，舞蹈，小舞台剧等节目，为此学校需要采购一批演出服装．现有质量较好且价格合理的A，B两家公司供选择，这两家公司给出的价格都是每套服装100元，经洽谈协商：A公司给出的优惠条件是全部服装单价打8折，但校方需要承担1500元的运费；B公司给出的优惠条件是购买服装不超过100套时不打折，超过100套时，超出部分每套打7折，校方不用承担运费．(1)分别求出学校购买A，B两公司服装所付的总费用（元）和（元）与购买服装的数量x（套）之间的函数关系式；(2)如果该校根据演出人数决定购买180套服装，请通过计算说明学校选择哪家公司的服装花费更少． 【答案】(1)；(2)购买180套服装时，购买B公司的服装比较合算 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，解题思路一般是先根据数量关系求出解析式再进行比较得到最优方案．（1）根据两家公司不同的优惠条件可以分别表示出购买A，B两公司服装所付的总费用（元）和（元）与购买服装的数量x（套）之间的函数关系式； （2）根据条件把分别代入两个关系式算出费用再比较可以求出结论． 【详解】（1）解：学校购买A，B两公司服装所付的总费用（元）和（元）与购买服装的数量x（套）之间的函数关系式分别是：， ． （2）当时，元； 元； ；当购买180套服装时，购买B公司的服装比较合算． 1．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）货车和轿车分别沿同一路线从地出发去地，已知货车先出发分钟后，轿车才出发，当轿车追上货车分钟后，轿车发生故障，花了分钟修好车后，轿车按原来速度的继续前进，在整个行驶过程中，货车和轿车均保持各自的速度匀速前进，两车相距的路程（米）与货车出发的时间（分钟）之间的关系的部分图象如图所示，对于以下说法：货车的速度为米分；；点的坐标为；图中的值是．其中正确的是 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查一次函数图像与行程问题的应用，先设出货车的速度和轿车故障前的速度，再根据货车先出发分钟后轿车出发，桥车发生故障的时间和两车相遇的时间，根据路程速度时间列出方程组求解可判断①；利用待定系数法求与解析式可判断②，先求出点货车的时间，用轿车修车分钟段货车追上轿车时间乘以货车速度，求出点的坐标可判断③；求出轿车速度米分，到时轿车追上货车两车相遇，列方程，解得可判断④． 【详解】解：由图象可知，当时，轿车开始出发；当时，轿车开始发生故障，则分钟，即货车出发分钟时，轿车追上了货车， 设货车速度为米分，轿车故障前的速度为米分，根据题意， 得：，解得：， 货车的速度为米分，轿车故障前的速度是米分，故①正确； ，设解析式：过点与点，代入坐标得 解得解析式： 点表示货车追上轿车，从到表示货车追及的距离是，货车所用速度为， 追及时间为分钟 点 段表示货车用分钟行走的路程， 点的横坐标为分，纵坐标米，，故③正确； 设解析式为，代入坐标得解得解析式为 与解析式中的相同，，故②正确； 点表示轿车修好开始继续行驶时，轿车的速度变为原来的，即此时轿车的速度为：米分，到时轿车追上货车两车相遇，， 解得，即图中的值是；故④正确， 正确的结论有①②③④．故答案为：①②③④． 2．（24-25七年级上·江苏·期末）某生鲜店推出了A、B、C三类蔬菜包以方便居家生活的市民购买，A、B、C三类蔬菜包内均由萝卜、白菜、洋葱三种蔬菜搭配而成，每袋蔬菜包的成本也均为萝卜、白菜、洋葱三种蔬菜成本之和．每袋A蔬菜包有5公斤萝卜、4公斤白菜、6公斤洋葱；每袋C蔬菜包有7公斤萝卜、2公斤白菜、3公斤洋葱．已知每袋A的成本是该袋中萝卜成本的3倍，利润率为，每袋B的成本是其售价的，每袋C的利润是每袋A利润的．若该生鲜店1月2日当天销售A、B、C三种蔬菜包袋数之比为，则当天该生鲜店销售A、B、C三种蔬菜包的总利润与总成本的比值为 ． 【答案】 【分析】本题考查三元一次方程组的应用，弄清题意，通过所给的条件，理顺各量之间的关系，列出方程是解题的关键． 设萝卜、白菜、洋葱的成本分别为x元、y元、z元，根据题意可求A的成本为（元），利润为（元），C的利润为（元），成本为（元），设B的成本为m元，利润为W元，由题意可得，则，再求出1月2日的总利润为：元，总成本为：元，则可由求解． 【详解】解：设萝卜、白菜、洋葱的成本分别为x元、y元、z元， ∵每袋A的成本是该袋中萝卜成本的3倍，∴，∴， ∴A的成本为（元），利润为（元）， ∵每袋C的利润是每袋A利润的，∴C的利润为（元），成本为（元）， 设B的成本为m元，利润为W元，∵每袋B的成本是其售价的，∴，∴， ∵1月2日当天销售A、B、C三种蔬菜包袋数之比为， ∴1月2日的总利润为：元，总成本为：元， ∴．故答案为：. 3．（23-24八年级上·江苏·单元测试）温州某一企业原先一次性口罩和防雾霾口罩生产信息如表： 口罩类型 材料成本不含人工 出厂价 产量一人一天 一次性口罩 元个 元个 个 防雾霾口罩 元个 元个 个 已知该企业有名工人，工资每人每天元，该企业原来每天产量共个口罩． (1)求原先企业安排生产一次性口罩和防雾霾口罩各有多少人． (2)经一段时间运行，企业发现每天销售的防雾霾口罩，最多只能卖个，而一次性口罩可以全部销售，市场缺口较大，怎么安排生产口罩的人数可以使该企业每一天获得利润最大，最大利润是多少？（注：没有销售的口罩，作为库存暂时当做不赚不亏）． (3)在疫情期间，为了配合政府防疫工作，该厂“改为全部生产一次性口罩”，因为原材料价格暴涨，口罩的材料成本和出厂价分别变为元个和元个．一部分员工因为滞留在外，无法及时回来工作．所以该厂提高了剩余老员工的工资，也招募了几个新员工过来且老员工人数多于新员工，信息如表： 员工类型 每日工资 一次性口罩产量一人一天 老员工 元天 个 新员工 元天 个 要是该厂的利润达到元天求该厂留下来的老员工和招募的新员工人数． 【答案】(1)安排生产一次性口罩7人，则生产防雾霾口罩人； (2)当安排生产防雾霾口罩人，安排生产一次性口罩8人，总利润最大值为元； (3)该厂留下来的老员工和招募的新员工人数分别为6人，5人． 【分析】此考查了一次函数、一元一次方程、二元一次方程的实际应用． （1）设安排生产一次性口罩m人，则生产防雾霾口罩人，根据企业原来每天产量共个口罩列方程解方程即可；（2）设安排生产防雾霾口罩人，总利润为元，分和两种情况列出一次函数，根据一次函数的性质求出最值即可；（3）设该厂留下来的老员工和招募的新员工人数分别为a人，b人．该厂的利润达到元天，据此列出二元一次方程，根据题意求出答案即可． 【详解】（1）解：设安排生产一次性口罩m人，则生产防雾霾口罩人， 则，解得∴ 答：安排生产一次性口罩7人，则生产防雾霾口罩人； （2）设安排生产防雾霾口罩人，总利润为元， 则当时，， ∵，∴随着的增大而增大， ∴当时，，即y的最大值为， 当时，， ∵，∴随着的增大而减小， ∴当时，，即y的最大值为， 综上可知，当安排生产防雾霾口罩人，安排生产一次性口罩8人，总利润最大值为元； （3）设该厂留下来的老员工和招募的新员工人数分别为a人，b人． 由题意可得，，∴ ∵且均为正整数，∴，答：该厂留下来的老员工和招募的新员工人数分别为6人，5人． 4．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）某条城际铁路线共有A，B，C三个车站，每日上午均有两班次列车从A站驶往C站，其中次列车从A站始发，经停B站后到达C站，次列车从A站始发，直达C站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变．某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行信息如下表所示． 列车运行时刻表 车次 A站 B站 C站 发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻 途经B站，不停车 记两列车离A站的路程为s（千米）从上午开始计时，时长记为t分钟（如：上午，则），S与t的函数关系如下图所示： (1)次列车从A站到B站行驶了m分钟，________．A站到B站距离________千米； (2)在次列车行驶过程中求s与t的函数关系式； (3)在次列车的行驶过程中，若两车间距离为60千米，直接写出t的值． 【答案】(1)90，360；(2)(3)或125 【分析】本题考查了函数的应用，一元一次方程的应用，速度、时间、路程的关系，明确题意，合理分类讨论是解题的关键．（1）直接根据表中数据解答即可；（2）根据图像利用待定系数法求解即可； （3）先求出， A与B站之间的路程，G1002次列车经过B站时，对应t的值，从而得出当时，D1001次列车在B站停车． G1002次列车经过B站时，D1001次列车正在B站停车，然后分，，，讨论，根据题意列出关于t的方程求解即可． 【详解】（1）解：由表格可知：D1001次列车从A站出发，到达B站，行驶了分钟，即， 根据题意得：D1001次列车从A站到C站共需分钟，从A站到C站的距离是千米； A站到B站距离（千米）故答案为：90，360； （2）设次列车行驶过程中的 s与t的函数关系式为； 当时，，当时，，∴，解得：， 次列车行驶过程中的 s与t的函数关系式为 （3）次列车的速度为（千米/分钟），次列车的速度为（千米/分钟）． A与B站之间的路程为360千米．（分），当时，G1002次列车经过B站． 由题意可如，当时，D1001次列车在B站停车． G1002次列车经过B站时，D1001次列车正在B站停车． ⅰ．当时， D1001次列车在前， ，（分钟）； ⅱ．当时，D1001次列车在前，，（分钟），不合题意，舍去； ⅲ．当时，D1001次列车在后，，（分钟），不合题意，舍去； ⅳ．当时，D1001次列车在后，，（分钟）． 综上所述，当或125时，两车间距离为60千米． 5．（24-25八年级上·福建宁德·期中）综合与实践： 【问题背景】沙漏又称“沙钟”，是我国古代一种计量时间的仪器，它是根据流沙从一个容器漏到另一个容器的数量来计量时间．综合实践小组在进行项目式学习时，根据古代的沙漏模型（图1）制作了一套“沙漏计时装置”，该装置由沙漏和精密电子秤组成，电子秤上放置盛沙容器．沙子缓慢匀速地从沙漏孔漏到精密电子称上的容器内，可以通过读取电子秤的读数计算时间（假设沙子足够）． 【实验操作】该实验小组从函数角度进行了如下实验探究：实验观察：实验小组通过观察，每两小时记录一次电子秤读数，得到表1． 漏沙时长（时） 0 2 4 6 8 电子秤读数（克） 6 18 30 42 54 任务1：建立平面直角坐标系，如图2，横轴表示漏沙时长，纵坐标表示精密电子称的读数，描出以表1中的数据为坐标的各点， 【建立模型】任务2：观察上述各点的分布规律，依次将各点连接起来，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，请你建立适当的函数模型，并求出函数表达式；如果不在同一条直线上，请说明理由． 【结论应用】任务3：应用上述发现的规律估算：（1）若漏沙时间为5小时，精密电子称的读数为多少？ （2）若本次实验开始记录的时间是上午，当精密电子秤的读数为78克时是几点钟？（时间为24时制） 【答案】任务1：见解析；任务2：在同一直线上，；任务3：（1）漏沙时间为5小时，精密电子称的读数为36克；（2）经过12小时的漏沙时间为 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，包括描点法画函数图像，待定系数法求解析式等知识，正确求得函数自变量或函数值是解决本题的关键． 任务1：结合表1数据描出各点即可； 任务2：连线可得，这些点在同一线上，并且符合一次函数图像；设一次函数表达式为，根据待定系数法求解即可； 任务3：（1）根据函数表达式，令，求解即可获得答案；（2）根据函数表达式，令时，解得的值，然后结合起始时间是上午8：00即可获得答案． 【详解】解：任务1：如图所示； 任务2：如图所示，连线可得，这些点在同一线上，并且符合一次函数图象． 设一次函数表达式为：， 将点，代入解析式中，可得，解得，函数表达式为：； 任务3：（1）由任务2可知函数表达式为：， 当时，，漏沙时间为5小时，精密电子称的读数为36克； （2）由任务2可知函数表达式为：，当，时，， 起始时间是上午，经过12小时的漏沙时间为． 6．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型新能源汽车、1辆B型新能源汽车的进价共计50万元；3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车的进价共计85万元．(1)求A、B两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为多少万元；(2)若该公司计划正好用220万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的新能源汽车均购买），请你通过计算帮该公司求出全部的购买方案． 【答案】(1)A型车15万元/辆，B型车20万元/辆； (2)①A型车4辆，B型车8辆；②A型车8辆，B型车5辆；③A型车12辆，B型车2辆． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元，根据“2辆A型汽车、1辆B型汽车的进价共计50万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计85万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进m辆A型汽车，n辆B型汽车，利用总价=单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元， 依据题意可得：，解得：． 答：每辆A型汽车的进价为15万元，每辆B型汽车的进价为20万元． （2）解：设购进m辆A型汽车，n辆B型汽车， 依题意得：，∴， 又∵m，n均为正整数，∴，∴该公司共有3种购买方案， 方案1：购进4辆A型汽车，8辆B型汽车； 方案2：购进8辆A型汽车，5辆B型汽车； 方案3：购进12辆A型汽车，2辆B型汽车． 7．（23-24七年级下·江苏南通·期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车制造商开发了一款新能源汽车，计划一年生产安装360辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成安装任务，工厂决定招聘部分新工人，他们经过培训后也能独立进行新能源汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和3名新工人每月可安装12辆新能源汽车；2名熟练工和5名新工人每月可以安装22辆新能源汽车．(1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆新能源汽车？ (2)如果工厂招聘n（）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？(3)在（2）的条件下，工厂给安装新能源汽车的每名熟练工人每月发放4000元的工资，给每名新工人每月发2400元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能少？ 【答案】(1)每名熟练工每月可以安装6辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车 (2)工厂有3种新工人的招聘方案：①新工人9人，熟练工2人；②新工人6人，熟练工3人；③新工人3人，熟练工4人 (3)应招聘6名新工人 【分析】本题主要考查二元一次方程组和二元一次方程的应用，解题的关键是要能够理解题意，正确找到等量关系和不等关系，熟练解方程组和根据条件分析不等式中未知数的值． （1）设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车．根据“1名熟练工和3名新工人每月可安装12辆新能源汽车”和“2名熟练工和5名新工人每月可以安装22辆新能源汽车”列方程组求解．（2）设工厂有名熟练工．根据新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，根据，都是正整数和，进行分析的值的情况；（3）根据总费用熟练工人的费用新工人的费用列出代数式，分别代入（2）中方案，计算比较即可得出结论． 【详解】（1）解：设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车． 根据题意得：，解得：． 答：每名熟练工每月可以安装6辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车． （2）解：设工厂有名熟练工．根据题意，得，，， 又，都是正整数，，所以，6，3．即工厂有3种新工人的招聘方案： ①，，即新工人9人，熟练工2人；②，，即新工人6人，熟练工3人； ③，，即新工人3人，熟练工4人． （3）解：由（2）新工人的招聘方案：要使新工人的数量多于熟练工，则，或，； 根据题意得：． 当时，（元） 当时，（元） ，当，时，即工厂应招聘6名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额（元）尽可能少． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$