专题10 一次函数与几何综合问题（8大题型）-【寒假分层作业】2025年八年级数学寒假培优练（北师大版）

专题10 一次函数与几何综合问题 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（8大题型） 题型一 一次函数与坐标系规律探究问题 题型二 一次函数与翻折问题 题型三 一次函数与旋转问题 题型四 一次函数与平移问题 题型五 一次函数与全等探究 题型六 一次函数与特殊三角形探究 题型七 一次函数与特殊角度问题 题型八 一次函数与最值问题 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 一次函数与坐标系规律探究问题 ⭐技巧积累与运用 一次函数中的规律探究模型 1）解题方法：（1）根据图象特征和已知条件列出前几项；（2）根据前几项结果归纳总结规律进而进行计算。 2）常见题型：（1）一次函数与点的坐标；（2）一次函数与周长面积；（3）一次函数与路径长。 1．（23-24·山东德州·八年级期末）正方形按如图所示的方式放置．点和点分别在直线和x轴上，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：点、、和点、、分别在直线和轴上， 当时，，，，正方形的边长为1，， 当时，，，，正方形的边长为2，， 当时，，，按照上述规律，可得点，，故选：B． 2．（24-25八年级上·河南·期中）如图，直线与直线相交于点，直线与y轴交于点A，一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线上的处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为垂直于x轴的方向运动，达到直线上的点处后，仍沿平行于x轴的方向运动…，照此规律运动，动点C依次经过点，则当动点C从A到达处时，运动的总路径的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由直线可知，根据题意，当时，得，解得，∴， 当时，，∴，∴，，∴， 当时，得，解得，∴， 当时，，∴，∴，， ∴，由此可得，， ∴动点C从A到达处时，运动的总路径的长为， ∴动点C从A到达处时，运动的总路径的长为．故答案为：C． 一次函数与翻折问题 ⭐技巧积累与运用 八年级上学了勾股定理，折叠问题通常与勾股定理联系在一起，因此，一次函数与翻折问题是个非常重要的考点，而这类题目有的比较容易，有的则特别难，需要不断的练习，积累做题的经验。（方法和勾股定理中的翻折问题类似） 1．（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，且点恰好是直线与轴，轴的交点，点是线段上一点，将沿直线翻折，点落在长方形对角线上的点处，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如下图，过点作轴于点， 对于直线，令，可得，令，可得，解得， 即，，∴，，∴， 由折叠的性质可得，，，，即， ∴，设，则， 在中，可得，∴，解得，∴，， ∵，即，解得，即， 将代入直线，可得，解得，∴．故选：C． 2．（24-25八年级上·河南·期中）已知直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是上的一点，若将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则点M的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由折叠可知：， 令时，则，解得：，令时，则， ∴，∴，∴，∴， 设点，则有， 在中，由勾股定理可得，解得：；故选B． 3．（24-25八年级上·四川成都·期中）将矩形纸片放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，． (1)如图①，沿折叠矩形，点落在处，交于点，求点的坐标； (2)如图②，点是中点，点在上，求的最小值；(3)如图③，折叠该纸片，使点落在边上的点为，折痕为，点在边上，求直线的函数解析式． 【答案】(1)(2)15(3) 【详解】（1）解：如图①，由折叠得：， 四边形是矩形，，，，，， 设，则，，在中，， 由勾股定理得：，，，； （2）解：如图②，作点关于的对称点，连接，交于，此时的值最小，即， 过作轴于，，是的中点，，， 在中，由勾股定理得：，即的最小值是15； （3）解：如图③，过作轴于， ，，设，则，， 在中，由勾股定理得：，，，． 设的解析式为，将，代入得： ，解得：，的解析式为． 一次函数与旋转问题 ⭐技巧积累与运用 主要结合旋转的性质，先求出相关坐标即可解决问题。 1．（2024九年级上·成都·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别交轴于点，将直线绕点顺时针旋转，交轴于点，则直线的函数表达式是 ． 【答案】 【详解】解：一次函数的图象分别交、轴于点、， 令，得，令，则，，，，， 过作交于，过作轴于，如图所示： ，是等腰直角三角形，， ，，， ，，，设直线的函数表达式为：， ，，直线的函数表达式为：，故答案为：． 2．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，，，是平面直角坐标系中三点，P为y轴正半轴上一个动点，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，点B的对应点为Q，交y轴于D，则的周长为 ． 【答案】 【详解】解：过作轴于，则， ∵将线段绕点P逆时针旋转得到线段， ∴，，∴，∵，∴， ∴，∴，，∵P为y轴正半轴上一个动点，∴设， ∵，∴，，∴，设直线解析式为， 代入，得，解得， ∴直线解析式为，∴直线与y轴交点，则， ∵，∴，， ∴，，， ∴的周长为，故答案为：． 3．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）（1）【提出问题】将一次函数的图象沿着y轴向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为 ； （2）【初步思考】将一次函数的图象沿着x轴向左平移3个单位长度，求所得图象对应的函数表达式．数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在图象上任取两点，，将它们沿着x轴向左平移3个单位长度，得到点，的坐标分别为 ，从而求出经过点，的直线对应的函数表达式为 ； （3）【深度思考】已知一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B． ①将一次函数的图象关于x轴对称，求所得图象对应的函数表达式； ②如图①，将直线绕点A逆时针旋转，求所得图象对应的函数表达式； ③如图②，将直线绕点A逆时针旋转，求所得图象对应的函数表达式． 【答案】（1）；（2）、，；（3）①．②．③ 【详解】解：（1）利用平移规律得：将一次函数的图象沿着y轴向下平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为．故答案为：； （2）∵，，∴将它们沿着x轴向左平移3个单位长度，得到点、点的坐标分别为、，设直线的一次函数解析式为，∴．∴． ∴过点、的直线对应的函数表达式为．故答案为：，，； （3）设一次函数的图象与y轴的交点为点A，与x轴的交点为点B， ∵，当时，，∴点，当时，，，∴点． ①如图，∵一次函数的图象关于x轴对称，，∴， 设所得到的图象对应的函数表达式为， ∴，解得．∴所得到的图象对应的函数表达式为． ②如图，设点B绕点A逆时针旋转到点C，过点C作轴于点D， ∴，，，∴， ∵，∴，∴，， ∴，∴，，∴，∴， 设所得到的图象对应的函数表达式为， ∴，解得．∴所得到的图象对应的函数表达式为． ③如图，过点B作交所得到的图象于点D，过点D作轴于点E， ∵将直线绕点A逆时针旋转， ∴，∴，，，∴， ∵，∴，∴，， ∴，∴，，∴，∴， 设所得到的图象对应的函数表达式为， ∴，解得．∴所得到的图象对应的函数表达式为． 一次函数与平移问题 ⭐技巧积累与运用 一次函数的平移与位置关系 1）一次函数与的位置关系： 两直线平行且 两直线垂直 一次函数的平移法则：左加右减，上加下减。 1．（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与轴，轴交于，两点，将直线向左平移后与轴，轴分别交于点，点．若，则直线的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：对于直线，当时，，∴， ∵直线向左平移后与轴，轴分别交于点，点，∴，∴， 又∵，，∴， ∴，∴点的坐标为，∴平移以后的函数解析式为．故选：． 2．（24-25九年级上·重庆万州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线：分别交x轴、y轴于点A、点B，直线：与直线交于点，与x轴交于点C，且． (1)求直线的解析式；(2)如图3，将直线向右平移个单位长度得到直线，直线与y轴交于点Q，连接，在x轴是否存在动点M，使得，若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：对于函数，令，则，∴， ∴，∴，∴， ∵点在直线：上，∴，解得，∴， ∵直线：过点，， ∴，解得，∴直线的解析式为． （2）解：∵将直线向右平移个单位长度得到直线，∴设直线的解析式为：， ∴直线上的点向右平移个单位长度得到点，点在直线上， ∴，解得，∴设直线的解析式为：， 令，则，∴，∴，∴， ∴是等腰直角三角形，， 过点B作，则，即点为所求动点， ∵，∴，， ∴，∴，∴； 作点关于的对称点，连接，交x轴于点，根据轴对称可得， ∴，即点为所求动点，∵， 在中，，∴，， 设点，∵，∴， ∴，解得或，∴， 易求过点，的直线的解析式为， 令，则，解得，∴． 综上所述，存在点M，使得，点M为或． 一次函数与全等探究 ⭐技巧积累与运用 一次函数与全等三角形综合时，最常用的模型为三垂直图，不仅要会直接使用模型图，还要学会添加辅助线，自己构造出K型全等图。 解题步骤：①先找固定相等的角或边；②以对应边/角相等要求分类讨论全等情况。 1．（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图，直线：与x轴、y轴分别交于A、B两点，于点M，点P为直线l上不与点A、B重合的一个动点．在y轴上存在（　　）个点Q，使得以O、P、Q为顶点的三角形与全等． A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】解：对于直线，令，则，令，则，解得：， ∴点A、B的坐标分别是，，∴，，∴， ∵ ∴； ①当时，如图2和图3， 由（1）得，∴，即P点横坐标为或， 当P点横坐标为时，纵坐标为：，∴， 当P点横坐标为时，纵坐标为：，∴， 此时点P的坐标为或； ②当时，如图4和图5， ∴，即点P、点Q纵坐标为或，由，解得：， 由，解得：，此时点P的坐标为或， 综上所述，符合条件的点P的坐标为或或或共4个．故选：B． 2．（24-25八年级上·山东济南·期中）阅读理解： 材料一：对于线段和点，定义：若，则称点为线段的“等距点”；特别地，若且，则称点是线段的“完美等距点”． 材料二：在平面直角坐标系中，我们通常用下面的公式求两点间的距离，如果，，那么． 解决问题：如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是直线上一动点．(1)已知3个点：，则这三点中，线段的“等距点”是________，线段的“完美等距点”是________； (2)若，点在轴上，且是线段的“等距点”，求点的坐标； (3)当，是否存在这样的点，使点是线段的“等距点”，也是线段的“完美等距点”？若存在，请直接写出所有符合的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)和；(2)或(3)或 【详解】（1）解：∵，，∴，∴B为等距点． ∵，，∴，∴C为等距点． ∵，，∴，∴D不为等距点． ∵，∴，，，， ∴C为完美等距点，故答案为：B和C；C； （2）在上，，， ，，或，设的坐标为，或， ，，或， 解得：或．的坐标为或； （3）因为是的等距点，设点的坐标为，， 为线段的“完美等距点”，，为等腰直角三角形， ①如图1，，， ，，，，则，， ，解得：，当时，     点的坐标为                               ②，， ，，，，   则，， ，解得：，当时，， 点的坐标为，点的坐标为或． 一次函数与特殊三角形探究 ⭐技巧积累与运用 1）等腰三角形存在性问题处理技巧：需注意分类讨论思想的应用，找准顶确与底角分类讨论的关键，借助等腰三角形的等边对等角、等角对等边、三线合一等性质来转化已知条件是常用的处理手段。 2）直角三角形存在性问题处理技巧：需注意分类讨论思想的应用，找准直角顶点是分类讨论的关键，借助直角三角形的勾股定理，两锐角互补等性质来转化已知条件是常用的处理手段。 1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A、交y轴于点B，动点P在x轴上，动点Q在线段上，满足．当为等腰三角形时，点P的坐标是 ． 【答案】或或 【详解】解：对于，当时，；当时，即，解得，， ∴∴由勾股定理得，， 当时，如图，则，又∵ ∴，∴，∴ ∵∴∴点的坐标为； 当时，此时点Q与点A重合，,∴点的坐标为； 当时，则 ∵∴，根据三角形外角性质得：，∴此种情况不存在； 当时，则，即，设此时， ∵在中，由勾股定理得：，∴，解得，∴点P的坐标为． 综上，点P的坐标为或或，故答案为：或或． 2．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，平面直角坐标系中，已知直线上一点，为轴上一点，连接，以为边做等腰直角三角形，，，过点作线段轴，垂足为，直线与直线交于点，且，连接，直线与直线交于点，则点的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：过作轴，交轴于，交于，过作轴，交轴于，    ，，，， ，，，在和中， ，，，，设，， ，，则，，即． 直线，，点， 在中，由勾股定理得：，则的坐标是， 设直线的解析式是，把代入得：，即直线的解析式是， 又∵过点，设直线解析式为，则∴直线的解析式为， 联立 解得：点，故答案为． 3．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，一次函数的图象过点与点与x轴相交于点A．(1)求这个一次函数的表达式；(2)如图1，求的面积；(3)如图2，若直线轴于点，交这个一次函数图象于点M，点P在y轴上，当以点M、N、P顶点的三角形是等腰直角三角形时，直接写出点M坐标． 【答案】(1)；(2)6；(3)或或． 【详解】（1）∵一次函数的图象过点与点， 根据题意得，解得，所以一次函数解析式为； （2）当时，，解得，则，∴； （3）如图，∵直线轴于点，交这个一次函数图象于点M，∴， ∵以点M、N、P顶点的三角形是等腰直角三角形 ∴当，即， 则，解得或，此时M点坐标为或； 当，即，则，解得或，此时M点坐标为或； 当时，∵，∴点P在线段的垂直平分线上，过点P作于点Q， 则，∴，解得，此时M点坐标为， 综上所述，满足条件的M点坐标为或或． 一次函数与特殊角度问题 ⭐技巧积累与运用 一次函数中的特殊角度模型常见题型及解题方法：（1）一次函数旋转45°（方法：构造K字型全等）；（2）角度相等（方法：构造全等或等边对等角）。 1．（24-25八年级上·安徽池州·期末）如图，一次函数 的图象分别与x轴、y轴交于点A，B．若以线段为边，在第一象限内作等腰，使，则直线的函数表达式为 ． 【答案】 【详解】解：在中，当时，，当时，，解得：， ∴点A的坐标是，点B的坐标是，如图，作轴于点D，    ∵，∴，又∵，∴， 在与中，∴， ∴，∴，∴C的坐标是， 设直线的函数表达式为，把点A、C的坐标代入得： ，解得∴直线的函数表达式为，故答案为：． 2．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，直线与轴交于点A，与轴交点，直线与轴交于点，与轴交点，连接，点在直线上，使得，则点的坐标为 ． 【答案】或 【详解】解：对于，令，则，即，令，则，即， 对于，令，则，即，令，则，即， ，； 连接交直线于，在上截取，连接，，和关于轴对称， 、在轴上，，为符合题意的一个点， ，，，， ，，，，， 为符合题意的另一个点；，，直线的解析式为， ，，直线的解析式为， 联立，解得：，，由对称性得：的横坐标为， 代入，则，， 综上所述，点的坐标为或．故答案为：或． 一次函数与最值问题 1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，点是直线在第一象限上的一点，线段在轴上，且是等边三角形，直线上存在一动点，已知的最大值为，则点的横坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由，∴当点三点共线时有最大值为， ∵的最大值为，∴，过作于点，则， ∵是等边三角形，∴，，∴， ∴由勾股定理得：， ∴当时，，解得：，∴点的横坐标是，故选：． 2．（24-25八年级上·山东·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是直线上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：点的坐标为，点是直线上的动点， 由定点与直线上动点距离最小值为点到直线的距离，即过点作垂直直线，如图所示： ，当时，，则；当时，，解得，则， ， 在中，，由勾股定理可得， ，即，即的最小值是，故答案为：． 3．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点和点，点的坐标为，点，分别是线段，上的动点，且，则的长为 ；当的值取最小值时，点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：∵一次函数的图象与轴、轴分别交于点和点， ∴令，则；令，则，∴，， 又∵点的坐标为，，∴，，∴， 如图，作轴于，使得，连接，， ∴，∴．∵，，∴， 又∵，∴，， 在和中，，∴，∴， ∴，∴当在上时，最小， 设直线解析式为，∵，， ∴，解得：，∴直线为，同理可得：直线为， ∴联列方程组，∴，∴，∴的纵坐标为：． ∴，答案为：；． 1．（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，轴上有一点，分别为直线和轴上的两个动点，当的周长最小时，点的坐标分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】解：作点关于直线的对称点和关于轴的对称点，如图， 则，，，∴， 当共线时周长最小， ∵一次函数的图象与轴、轴分别交于点，， ∴，，则是等腰直角三角形，∴， ∵C、关于对称，∴，∴， ∵，∴，∴， 设直线的解析式为，，解得， 则直线的解析式为，则点， 联立，解得，则．故选：A． 2．（2024八年级上·山东·专题练习）如图，直线分别与轴、轴交于点，，在轴上有一点，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴向左运动，设运动的时间为，连接．当运动到与全等时，的值为（    ） A．2 B．4 C．2或4 D．2或6 【答案】D 【详解】解：对于直线，当时，；当时，，，，， ∵当运动到与全等时∴，分为两种情况： ①当在上时，，， 动点从点以每秒1个单位的速度沿轴向左移动2个单位，所需要的时间是2秒钟； ②当在的延长线上时，， 则，此时所需要的时间（秒），故选：D． 3．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，是直线上的一个动点，将绕点顺时针旋转，得到点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵是直线上的一个动点，∴设，∴， ∵点，∴，∵将绕点顺时针旋转，得到点， ∴，∴， ∴，∴，∴， 在中，，∴，整理得，， ∵，∴当时，的最小值为，∴的最小值为，故答案为： ． 4．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，点A的坐标为，直线与坐标轴交于点B，C，连接，如果，则 ． 【答案】 【详解】解：直线与坐标轴交于点，，点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为，， 如图，在轴上截取，过作轴交直线于，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴，∴，解得．故答案为：． 5．（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴交于点，与轴交于点，以为腰在第二象限作等腰直角，，则的面积为 ． 【答案】 【详解】解：过点C作轴交轴于点，如图； 一次函数与轴交于点，与轴交于点， 当时，，当时，，，， ，，， 等腰直角三角形以为腰；，，， 则，，，点， 则；故答案为： 6．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于点B和点A，点C是线段上的一点，若将沿折叠，点A恰好落在x轴上的处，若P是y轴负半轴上一动点，且是等腰三角形，则P的坐标为 ．    【答案】或或 【详解】解：当时，，∴点A的坐标为， 当时，，解得：，∴点B的坐标为，∴， ∵，∴，设，则， 在中，，即，解得， ∴，∴， ∵P是y轴负半轴上一动点，且是等腰三角形，以和为腰，为底，则， ∴，∴P的坐标为；以和为腰，为底，设，∴， 在中，由勾股定理得，， 即，解得：，∴，∴P的坐标为， 以和为腰，为底，点O是的中点，∴，∴P的坐标为，    综上所述，P的坐标为或或．故答案为：或或． 7．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点是轴上的动点，线段绕着点按逆时针方向旋转至线段，，连接、，若点的坐标为，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作轴，垂足为点，∴，∴， ∵线段绕着点按逆时针方向旋转至线段， ∴，，∴，∴， ∵，∴，∴，， 设点，而点，∴点的坐标为，则点所在的直线为， 则，相当于在直线上寻找一点，使得点到，到的距离和最小，作关于直线的对称点， ∴求的值，相当于求点到点和点的最小值，∵， ∴当三点共线时，的最小值为，故答案为：． 8．（23-24八年级上·浙江丽水·期末）如图，直线的函数表达式为，与轴交于点，直线经过点和点，且直线交于点．(1)求点，点的坐标．(2)点是轴上的一个动点，求的最小值．(3)点分别是直线上的两点，且不与点重合．当时，直接写出每一组点和点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点和点的坐标分别为或或或 【详解】（1）解：∵直线的函数表达式为，与轴交于点， 令，可得，解得，∴，设直线的解析式为， ∵直线经过点和点，∴，解得，∴直线的解析式为， 联立得，解得，∴点的坐标为； （2）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接， ∴，，∴，此时最小，最小， ∵点的坐标为，，，∴，， ∴的最小值为； （3）解：∵点的坐标为，，， ∴，，， ∴，∴是直角三角形，， 点分别是直线上的两点，且不与点重合， 设，， 当时，，， ∴，，解得或，或， ∴点和点的坐标分别为或或或． 9．（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图1，直线和直线相交于点，直线与x轴交于点C，点P在线段上，直线轴于点D，交直线于点． (1)求a，b的值；(2)当时，求的面积；(3)如图2，在（2）的条件下，的平分线交x轴于点M，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1)，；(2)；(3) 【详解】（1）解：和直线相交于点， 将代入，可得，，将代入，解得，，； （2）解：如图，过点A作于点E， 由题意得：，，，， 又在线段上，设，轴交于Q， ，，解得，，， ，； （3）解：如图，过点M作于点F， ，平分，，由可知：，，， ，， ，解得，，． 10．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）（1）问题解决：如图①，平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，以为腰在第一象限作等腰直角，，点的坐标为______，点的坐标为_______．（2）求（1）中点的坐标．（3）类比探究：如图②，平面直角坐标系中，线段在轴上，点坐标为，点与关于轴对称，点是线段上的一个动点，点坐标为，以点为直角顶点，为直角边在右侧作等腰直角，连接，在点的运动过程当中，线段是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（2）（3） 【详解】解：（1）直线与轴交于点，与轴交于点， 当时，；当时，； （2）过点C作 ，交x轴于点D，在等腰直角中，，， ，， ，， ，，，； （3）过点C作 ，交x轴于点H， 在等腰直角中，，，，， ，，， 设，则，当点A在线段上时，如上图，， ，，最小值为8，即最小值为； 当点A在线段上时，如下图，，,故此时长必大于当点A在线段上时长，舍去；综上所述，最小值为； 11．（24-25八年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于，两点，过点作直线交于点，交轴于点，且，点坐标． (1)的坐标为________，线段的长为________；(2)求直线的解析式及点的坐标；(3)如图（2），点是线段上一动点（不与点重合），交于点，连结．①在点移动过程中，线段与满足怎样的数量关系？并证明；②求点移动过程中面积的最大值． 【答案】(1)，8(2)，(3)①② 【详解】（1）∵， ，∴点B坐标（0，4）           将点B坐标带入，解得： 得到解析式： 令，解得，所以A点坐标 故答案为：，8； （2）解：∵，∴ 点E坐标 设的解析式为，分别代入 得到：  解得：所以解析式是：， 因为D的横坐标为，代入解析式，得到即点的坐标为； （3）①线段与线段数量关系是， 证明：，，， ，，，， 在和中，，， ②解：，， ，，，，，， ，四边形OMDN面积为定值， ，要使面积最大，求面积最小即可， ，当取最小值时，面积最小， ，，，，当时，取最小值，， 即，面积最小为，则面积，即面积最大为． 1．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，直线分别交x，y轴于A、B两点，过点B的另一条直线交x轴于点C，D为中点，过点A作的垂线交于点E，若，则直线的函数表达式为 ． 【答案】 【详解】解：∵直线分别交x，y轴于A、B两点， 令，则，令，则，解得：， ，∴，∴，如图，连接， ∵D为中点，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴，∴，设，则，， ∵，即， ∵D为中点，∴，即，∴， 在中，，∴，即，∴， ∵，∴，∴，设直线的解析式为：，则， 解得：，∴直线的解析式为：，故答案为：． 2．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点、，点是的中点，点为轴正半轴上一动点，连接，以为边在右侧作等腰直角三角形，其中，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：过点E作于点F，∵，，∴， ∵，∴， ∵∴，∴， ∵直线与轴，轴分别交于点、，点是的中点， ∴，∴，∴，，设， ∴，∴， ∴，∴当时，取得最小值，且最小值为18， ∴取得最小值，且最小值为，故答案为：． 3．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）《庄子•天下篇》记载“一尺之锤，日取其半，万世不竭．”如图，直线与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，以此类推，令，，…，，则 ． 【答案】 【详解】解：在第一象限内任取直线上一点P，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点Q、R，则分别代表点P的的纵坐标与横坐标，即有：，则四边形是正方形，平分 ∴直线与y轴的夹角是，∴…都是等腰直角三角形． 令,代入直线中得，得到点A的坐标为∴点的横坐标为1， ∴当时，点的坐标为∴ ∴点的横坐标当时，得出点的坐标为 以此类推，得 ① ② ，得 ∴ 当时得到：故答案为：． 4．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴正半轴上，，面积为，点为线段上一点． (1)直接写出点、点坐标，点坐标为 　，点坐标为 　；(2)如图，当时，设长度为，用含有的式子表示．(3)如图，将线段绕点逆时针旋转得到，将线段绕点顺时针旋转得到，若，求的值． 【答案】(1)，(2)(3) 【详解】（1）解：（）∵面积为，∴， ∵，∴，∴，∴，∴，，故答案为：，； （2）解：∵点坐标为，∴，在轴上截取， ∵，∴，∴，设， ∴，∴，， ∴，∴，∴，∴； （3）解：过作轴于， ∵将线段绕点顺时针旋转得到，∴，， ∴，∴，∴， ∴，，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， 设直线的解析式为，∴解得∴直线的解析式为， 过作轴于，∵将线段绕点逆时针旋转得到，∴，， ∴，∴， ∴，∴，∴，，∴， 把代入得，，解得，∴的值为． 5．（24-25八年级上·山东济南·期中）阅读理解： 材料一：对于线段和点，定义：若，则称点为线段的“等距点”；特别地，若且，则称点是线段的“完美等距点”． 材料二：在平面直角坐标系中，我们通常用下面的公式求两点间的距离，如果，，那么． 解决问题：如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是直线上一动点．(1)已知3个点：，则这三点中，线段的“等距点”是________，线段的“完美等距点”是________；(2)若，点在轴上，且是线段的“等距点”，求点的坐标；(3)当，是否存在这样的点，使点是线段的“等距点”，也是线段的“完美等距点”？若存在，请直接写出所有符合的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)和；(2)或(3)或 【详解】（1）解：∵，，∴，∴B为等距点． ∵，，∴，∴C为等距点． ∵，，∴，∴D不为等距点． ∵，∴，，，， ∴C为完美等距点，故答案为：B和C；C； （2）在上，，， ，，或，设的坐标为，或， ，，或， 解得：或．的坐标为或； （3）因为是的等距点，设点的坐标为，， 为线段的“完美等距点”，，为等腰直角三角形， ①如图1，，， ，，，， 则，，，解得：， 当时，     点的坐标为                               ②，， ，，，，    则，，，解得：， 当时，，  点的坐标为，点的坐标为或． 6．（24-25八年级上·湖北·期中）如图，直线过点，且与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数表达式及点的坐标；(2)如图，作直线，点P在直线上，当的面积为面积的倍时，求点的坐标；(3)如图，点为第二象限内的一点，连接，以为边在的左侧作等边，当，时，求线段的长． 【答案】(1)，；(2)或；(3) 【详解】（1）解：设的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：，则，则直线的表达式为：， 令，则，即点； （2）解：由点的坐标得，直线的表达式为：， 取，过点作直线，则的面积为面积的倍，则点， 则直线的表达式为：，在的上方取，过点作， 则此时的面积为面积的倍，则点，则直线的表达式为：， 分别将和的表达式和联立得：或，解得：或， 则点或； （3）解：在上截取，连接，作轴于点，设交于点， ∵，则为等边三角形，∵为等边三角形，则， ∵，，∴， ∵，，∴，则，，， 则，∵，， ∴，则，则， 则，则，则． 7．（23-24八年级上·山东济南·期末）综合与探究：如图1，平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴、轴于点、，一次函数的图象经过点，并与轴交于点，点是直线上的一个动点．(1)求直线的表达式与点的坐标；(2)如图2，过点作轴的垂线，交直线于点，垂足为点，试探究直线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．(3)试探究x轴上是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，(2)存在，点P的坐标为或 (3)存在，M点的坐标为或或或 【详解】（1）解：∵一次函数图象分别交轴、轴于点、， 当时，则，得：，当时，得：，∴，， ∵一次函数的图象经过点，∴，∴直线的表达式为：， 当时，则，得：，∴点的坐标为； （2）解：存在，理由如下：设，则，∴， ∵，，∴，∴， ∵，∴，∴或，∴点的坐标为或； （3）解：存在，理由如下：∵，，∴，，∴， ①当以为等腰三角形的顶点时，∴，∴点的坐标为或； ②当以为等腰三角形的顶点时，∴，∴点与点关于轴对称，∴点的坐标为； ③当以为等腰三角形的顶点时，∴，设， ∴，∴，解得：，∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 一次函数与几何综合问题 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（8大题型） 题型一 一次函数与坐标系规律探究问题 题型二 一次函数与翻折问题 题型三 一次函数与旋转问题 题型四 一次函数与平移问题 题型五 一次函数与全等探究 题型六 一次函数与特殊三角形探究 题型七 一次函数与特殊角度问题 题型八 一次函数与最值问题 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 一次函数与坐标系规律探究问题 ⭐技巧积累与运用 一次函数中的规律探究模型 1）解题方法：（1）根据图象特征和已知条件列出前几项；（2）根据前几项结果归纳总结规律进而进行计算。 2）常见题型：（1）一次函数与点的坐标；（2）一次函数与周长面积；（3）一次函数与路径长。 1．（23-24·山东德州·八年级期末）正方形按如图所示的方式放置．点和点分别在直线和x轴上，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河南·期中）如图，直线与直线相交于点，直线与y轴交于点A，一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线上的处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为垂直于x轴的方向运动，达到直线上的点处后，仍沿平行于x轴的方向运动…，照此规律运动，动点C依次经过点，则当动点C从A到达处时，运动的总路径的长为（   ） A． B． C． D． 一次函数与翻折问题 ⭐技巧积累与运用 八年级上学了勾股定理，折叠问题通常与勾股定理联系在一起，因此，一次函数与翻折问题是个非常重要的考点，而这类题目有的比较容易，有的则特别难，需要不断的练习，积累做题的经验。（方法和勾股定理中的翻折问题类似）。 1．（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，且点恰好是直线与轴，轴的交点，点是线段上一点，将沿直线翻折，点落在长方形对角线上的点处，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河南·期中）已知直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是上的一点，若将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则点M的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·四川成都·期中）将矩形纸片放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，． (1)如图①，沿折叠矩形，点落在处，交于点，求点的坐标； (2)如图②，点是中点，点在上，求的最小值；(3)如图③，折叠该纸片，使点落在边上的点为，折痕为，点在边上，求直线的函数解析式． 一次函数与旋转问题 ⭐技巧积累与运用 主要结合旋转的性质，先求出相关坐标即可解决问题。 1．（2024九年级上·成都·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别交轴于点，将直线绕点顺时针旋转，交轴于点，则直线的函数表达式是 ． 2．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，，，是平面直角坐标系中三点，P为y轴正半轴上一个动点，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，点B的对应点为Q，交y轴于D，则的周长为 ． 3．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）（1）【提出问题】将一次函数的图象沿着y轴向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为 ； （2）【初步思考】将一次函数的图象沿着x轴向左平移3个单位长度，求所得图象对应的函数表达式．数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在图象上任取两点，，将它们沿着x轴向左平移3个单位长度，得到点，的坐标分别为 ，从而求出经过点，的直线对应的函数表达式为 ； （3）【深度思考】已知一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B． ①将一次函数的图象关于x轴对称，求所得图象对应的函数表达式； ②如图①，将直线绕点A逆时针旋转，求所得图象对应的函数表达式； ③如图②，将直线绕点A逆时针旋转，求所得图象对应的函数表达式． 一次函数与平移问题 ⭐技巧积累与运用 一次函数的平移与位置关系 1）一次函数与的位置关系： 两直线平行且 两直线垂直 一次函数的平移法则：左加右减，上加下减。 1．（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与轴，轴交于，两点，将直线向左平移后与轴，轴分别交于点，点．若，则直线的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·重庆万州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线：分别交x轴、y轴于点A、点B，直线：与直线交于点，与x轴交于点C，且． (1)求直线的解析式；(2)如图3，将直线向右平移个单位长度得到直线，直线与y轴交于点Q，连接，在x轴是否存在动点M，使得，若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 一次函数与全等探究 ⭐技巧积累与运用 一次函数与全等三角形综合时，最常用的模型为三垂直图，不仅要会直接使用模型图，还要学会添加辅助线，自己构造出K型全等图。 解题步骤：①先找固定相等的角或边；②以对应边/角相等要求分类讨论全等情况。 1．（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图，直线：与x轴、y轴分别交于A、B两点，于点M，点P为直线l上不与点A、B重合的一个动点．在y轴上存在（　　）个点Q，使得以O、P、Q为顶点的三角形与全等． A．2 B．4 C．5 D．6 2．（24-25八年级上·山东济南·期中）阅读理解： 材料一：对于线段和点，定义：若，则称点为线段的“等距点”；特别地，若且，则称点是线段的“完美等距点”． 材料二：在平面直角坐标系中，我们通常用下面的公式求两点间的距离，如果，，那么． 解决问题：如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是直线上一动点．(1)已知3个点：，则这三点中，线段的“等距点”是_______，线段的“完美等距点”是______；(2)若，点在轴上，且是线段的“等距点”，求点的坐标； (3)当，是否存在这样的点，使点是线段的“等距点”，也是线段的“完美等距点”？若存在，请直接写出所有符合的点的坐标；若不存在，请说明理由． 一次函数与特殊三角形探究 ⭐技巧积累与运用 1）等腰三角形存在性问题处理技巧：需注意分类讨论思想的应用，找准顶确与底角分类讨论的关键，借助等腰三角形的等边对等角、等角对等边、三线合一等性质来转化已知条件是常用的处理手段。 2）直角三角形存在性问题处理技巧：需注意分类讨论思想的应用，找准直角顶点是分类讨论的关键，借助直角三角形的勾股定理，两锐角互补等性质来转化已知条件是常用的处理手段。 1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A、交y轴于点B，动点P在x轴上，动点Q在线段上，满足．当为等腰三角形时，点P的坐标是 ． 2．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，平面直角坐标系中，已知直线上一点，为轴上一点，连接，以为边做等腰直角三角形，，，过点作线段轴，垂足为，直线与直线交于点，且，连接，直线与直线交于点，则点的坐标是 ． 3．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，一次函数的图象过点与点与x轴相交于点A．(1)求这个一次函数的表达式；(2)如图1，求的面积；(3)如图2，若直线轴于点，交这个一次函数图象于点M，点P在y轴上，当以点M、N、P顶点的三角形是等腰直角三角形时，直接写出点M坐标． 一次函数与特殊角度问题 ⭐技巧积累与运用 一次函数中的特殊角度模型常见题型及解题方法：（1）一次函数旋转45°（方法：构造K字型全等）；（2）角度相等（方法：构造全等或等边对等角）。 1．（24-25八年级上·安徽池州·期末）如图，一次函数 的图象分别与x轴、y轴交于点A，B．若以线段为边，在第一象限内作等腰，使，则直线的函数表达式为 ． 2．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，直线与轴交于点A，与轴交点，直线与轴交于点，与轴交点，连接，点在直线上，使得，则点的坐标为 ． 一次函数与最值问题 1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，点是直线在第一象限上的一点，线段在轴上，且是等边三角形，直线上存在一动点，已知的最大值为，则点的横坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是直线上的动点，则的最小值是 ． 3．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点和点，点的坐标为，点，分别是线段，上的动点，且，则的长为 ；当的值取最小值时，点的坐标为 ． 1．（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，轴上有一点，分别为直线和轴上的两个动点，当的周长最小时，点的坐标分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（2024八年级上·山东·专题练习）如图，直线分别与轴、轴交于点，，在轴上有一点，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴向左运动，设运动的时间为，连接．当运动到与全等时，的值为（    ） A．2 B．4 C．2或4 D．2或6 3．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，是直线上的一个动点，将绕点顺时针旋转，得到点，连接，则的最小值为 ． 4．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，点A的坐标为，直线与坐标轴交于点B，C，连接，如果，则 ． 5．（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴交于点，与轴交于点，以为腰在第二象限作等腰直角，，则的面积为 ． 6．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于点B和点A，点C是线段上的一点，若将沿折叠，点A恰好落在x轴上的处，若P是y轴负半轴上一动点，且是等腰三角形，则P的坐标为 ．    7．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点是轴上的动点，线段绕着点按逆时针方向旋转至线段，，连接、，若点的坐标为，则的最小值是 ． 8．（23-24八年级上·浙江丽水·期末）如图，直线的函数表达式为，与轴交于点，直线经过点和点，且直线交于点．(1)求点，点的坐标．(2)点是轴上的一个动点，求的最小值．(3)点分别是直线上的两点，且不与点重合．当时，直接写出每一组点和点的坐标． 9．（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图1，直线和直线相交于点，直线与x轴交于点C，点P在线段上，直线轴于点D，交直线于点． (1)求a，b的值；(2)当时，求的面积；(3)如图2，在（2）的条件下，的平分线交x轴于点M，请直接写出点M的坐标． 10．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）（1）问题解决：如图①，平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，以为腰在第一象限作等腰直角，，点的坐标为______，点的坐标为_______．（2）求（1）中点的坐标．（3）类比探究：如图②，平面直角坐标系中，线段在轴上，点坐标为，点与关于轴对称，点是线段上的一个动点，点坐标为，以点为直角顶点，为直角边在右侧作等腰直角，连接，在点的运动过程当中，线段是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 11．（24-25八年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于，两点，过点作直线交于点，交轴于点，且，点坐标． (1)的坐标为________，线段的长为________；(2)求直线的解析式及点的坐标；(3)如图（2），点是线段上一动点（不与点重合），交于点，连结．①在点移动过程中，线段与满足怎样的数量关系？并证明；②求点移动过程中面积的最大值． 1．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，直线分别交x，y轴于A、B两点，过点B的另一条直线交x轴于点C，D为中点，过点A作的垂线交于点E，若，则直线的函数表达式为 ． 2．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点、，点是的中点，点为轴正半轴上一动点，连接，以为边在右侧作等腰直角三角形，其中，则的最小值为 ． 3．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）《庄子•天下篇》记载“一尺之锤，日取其半，万世不竭．”如图，直线与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，以此类推，令，，…，，则 ． 4．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴正半轴上，，面积为，点为线段上一点． (1)直接写出点、点坐标，点坐标为 　，点坐标为 　；(2)如图，当时，设长度为，用含有的式子表示．(3)如图，将线段绕点逆时针旋转得到，将线段绕点顺时针旋转得到，若，求的值． 5．（24-25八年级上·山东济南·期中）阅读理解： 材料一：对于线段和点，定义：若，则称点为线段的“等距点”；特别地，若且，则称点是线段的“完美等距点”． 材料二：在平面直角坐标系中，我们通常用下面的公式求两点间的距离，如果，，那么． 解决问题：如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是直线上一动点．(1)已知3个点：，则这三点中，线段的“等距点”是________，线段的“完美等距点”是________；(2)若，点在轴上，且是线段的“等距点”，求点的坐标；(3)当，是否存在这样的点，使点是线段的“等距点”，也是线段的“完美等距点”？若存在，请直接写出所有符合的点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（24-25八年级上·湖北·期中）如图，直线过点，且与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数表达式及点的坐标；(2)如图，作直线，点P在直线上，当的面积为面积的倍时，求点的坐标；(3)如图，点为第二象限内的一点，连接，以为边在的左侧作等边，当，时，求线段的长． 7．（23-24八年级上·山东济南·期末）综合与探究：如图1，平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴、轴于点、，一次函数的图象经过点，并与轴交于点，点是直线上的一个动点．(1)求直线的表达式与点的坐标；(2)如图2，过点作轴的垂线，交直线于点，垂足为点，试探究直线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．(3)试探究x轴上是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$