精品解析：吉林省友好学校2024-2025学年高一上学期第78届期末联考数学试题

友好学校第七十八届期末联考 高一数学 本试卷共19题，满分150分，共4页.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号填写清楚，将条形码粘贴到条形码区域内. 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色中性笔书写，字体工整，笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草纸､试题卷上答题无效. 4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破､弄皱､不准使用涂改液､修正带､刮纸刀. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题进行判断. 【详解】因为“”的否定是“”. 故选：C. 2. 在2小时内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中药物含量呈指数衰减，能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合单调性判断. 【详解】根据题意函数先递增再递减，进而判断C选项符合题意. 故选：C. 3. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出的图象，结合图象可知在上单调递减，即可得到，再由对数的运算比较的关系，即可得解. 【详解】，作出函数的图象如图： 在上单调递减， ，，即， 又，， ，， . 故选：D. 4. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出指数函数、对数函数值域化简集合，再利用交集的定义求解. 【详解】对数函数为增函数，当时，，则， 指数函数为减函数，当时，，则， 所以. 故选：B 5. 已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的解集为 【答案】D 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解集得到，，再依次判断A、B、C，再由一元二次不等式的解法求解集判断D. 【详解】由题设是的两个根，且，A错， 所以，故，B、C错， 由，D对. 故选：D 6. 使式子有意义的的取值范围是（ ） A. B. C. D. ，且 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数的定义得到不等式组解得. 【详解】 解得，即且. 故选：D 7. 已知是函数的一个零点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得函数单调递减，再由零点存在定理即可得到结果. 【详解】根据题意知函数在区间上单调递减， 函数在区间单调递减， 故函数在区间上单调递减， 又因， 又因的图象在上是连续不中断的， 所以根据零点存在定理即可得知存在使得. 故选：C 8. 将函数图象向右平移个单位得到奇函数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】先根据平移得出，再应用函数是奇函数得出进而求出最小值即可. 【分析】根据题意可得： 为奇函数， ， 故选：B 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. 集合，表示同一集合 B. ，，都有为真命题 C. 集合，集合，则 D. 设，则“”是“”的充要条件 【答案】CD 【解析】 【分析】由集合、充要条件的相关概念逐项判断即可. 【详解】对于A:集合是全体实数，集合:，故错误； 对于B: 恒成立，故错误； 对于C：正确 对于D:当时，可得；当时，可得，故正确 故选:CD 10. 已知，则以下说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用二倍角的正切公式及两角和的正切公式进行求值判断. 【详解】，， 由，解得或（舍去），故A正确； 由，又，则解得，故B正确； 由，且， 即，故C错误，D正确. 故选：ABD 11. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的一个对称中心坐标为 C. 的图象可由函数的图象向左平移个单位得到 D. 的一条对称轴为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据辅助角公式化简，根据周期公式即可判断A，代入检验即可判断B，通过三角函数的平移原则即可判断C，运用对称轴经过最高最低点即可判断D. 【详解】对A，， 由周期公式可得，A正确； 对B，因为，故为对称中心，B正确； 对C，的图象向左平移个单位得到，C错误； 对D，当，取得最小值， 则为的一条对称轴，故D正确. 故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的单调增区间为__________. 【答案】 【解析】 【分析】以为整体，结合正弦函数单调性运算求解. 【详解】令，解得， 所以函数的单调增区间为. 故答案为：. 13. 已知扇形的圆心角为3rad，面积为24，则该扇形的弧长为___________． 【答案】12 【解析】 【分析】由扇形的圆心角与面积求得半径再利用弧长公式即可求弧长. 【详解】设该扇形的弧长为，圆心角为，半径为， 所以由，即，解得， 所以. 故答案为：12. 14. 函数的单调减区间为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的定义域，利用求复合函数单调区间的方法求解即可. 【详解】函数中，，解得或， 即函数的定义域为， 函数在上单调递减，在上单调递增， 又在单调递增， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调减区间为 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，且为第二象限角. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意以及同角基本关系可知，再利用二倍角正弦公式即可求出结果； （2）根据（1）的结果求出，利用两角和正切公式，即可求出结果. 【小问1详解】 ，且为第二象限角，， . 【小问2详解】 由（1）知， . 16. （1）已知，求的最小值； （2）已知是正实数，且，求的最小值. 【答案】（1）7；（2）. 【解析】 【分析】（1）由题可知，，利用基本不等式即可求解； （2）利用基本不等式“1的妙用”即可求解. 【详解】（1），即， ， 当且仅当，即时取等号， 的最小值为7. （2）. 当且仅当，即时取等号. 的最小值为. 17. 请解决下列问题： （1）设，若，求的值； （2）已知集合，若，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据集合相等得到答案. （2）根据集合的包含关系得到得到答案. 【详解】（1）由于，所以，且，. （2），且， 如图所示. 【点睛】本题考查了根据集合相等和集合的包含关系求参数，意在考查学生的理解能力. 18. 已知函数，且. （1）求； （2）判断函数在上的单调性，并用定义法证明； （3）求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1） （2）函数在上单调递增，证明如下： 设，则， 由，则， 所以，即， 所以函数在上单调递增. （3）最大值为，最小值为6. 【解析】 【分析】（1）直接由代入，即可求得； （2）利用定义法作差计算，即可证明函数的单调性； （3）利用函数的单调性计算最值即可. 【小问1详解】 函数，因为， 所以，则. 【小问2详解】 函数在上单调递增，证明略； 【小问3详解】 由（2）可知在区间上单调递增，则在区间上单调递增， 所以， 则函数在上的最大值为，最小值为6． 19. 设函数的定义域为D，对于区间（，），若满足以下两条性质之一，则称I为的一个“区间”.性质1：对任意，有；性质2：对任意，有. （1）分别判断区间是否为下列两函数的“区间”（直接写出结论）；①；②. （2）若（）是函数的“区间”，求m的取值范围； （3）已知定义在R上，且图象连续不断的函数满足：对任意a，，且，有.求证：存在“区间”，且存在，使得不属于的任意一个“区间”. 【答案】（1）①是（满足性质1）；②不是 （2） （3） 证明：对于任意区间，记， 由已知得在I上单调递减，故， 因为，即S的长度大于I的长度，故不满足性质①， 所以若I为的“区间”，必满足性质②，这只需， 即只需或， 由显然不恒成立，所以存在常数c使得. 如，取，区间满足性质②； 如，取，区间满足性质②； 综上，函数一定存在“区间”； 记，则图象连续不断，下证明有零点： 因为在R上是减函数，所以在R上是减函数，记； 若，则是的零点， 若，则，即，， 由零点存在性定理，可知存在，使得， 若，则，即，， 由零点存在性定理，可知存在，使得， 综上，有零点，即， 因为的所有“区间”I都满足性质②，故.（否则，与性质②不符） 即不属于的任意一个“区间”，证毕. 【解析】 【分析】（1）根据题设中的新定义，结合函数和，进行判定，即可求解； （2）若I为的“区间”，则不满足性质②，必满足性质①，即，由，根据二次函数的性质，分类讨论，即可求解； （3）对于任意区间，记，根据单调性得到，若I为的“区间”，必满足性质②，转化为或，得出一定存在“区间”，记，结合函数的单调性和零点的存在性定理，得到存在，使得，即可求解. 【小问1详解】 解：①中，函数，当时，可得，所以区间是函数的一个“区间”； ②中，函数，当时，可得，此时不满足，所以区间不是函数的一个“区间”； 所以①是（满足性质1）.②不是. 【小问2详解】 解：记，，可得，故若I为的“区间”， 则不满足性质②，必满足性质①，即； 由， 当时，在上单调递增，且， 即，所以不包含于，不合题意； 当时，，符合题意； 当时，，所以，不合题意； 综上可知，，即实数的取值范围是. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 友好学校第七十八届期末联考 高一数学 本试卷共19题，满分150分，共4页.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号填写清楚，将条形码粘贴到条形码区域内. 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色中性笔书写，字体工整，笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草纸､试题卷上答题无效. 4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破､弄皱､不准使用涂改液､修正带､刮纸刀. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 2. 在2小时内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中药物含量呈指数衰减，能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 5. 已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的解集为 6. 使式子有意义的的取值范围是（ ） A. B. C. D. ，且 7. 已知是函数的一个零点，则（ ） A. B. C. D. 8. 将函数图象向右平移个单位得到奇函数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. 集合，表示同一集合 B. ，，都有为真命题 C. 集合，集合，则 D. 设，则“”是“”的充要条件 10. 已知，则以下说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的一个对称中心坐标为 C. 的图象可由函数的图象向左平移个单位得到 D. 的一条对称轴为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的单调增区间为__________. 13. 已知扇形的圆心角为3rad，面积为24，则该扇形的弧长为___________． 14. 函数的单调减区间为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，且为第二象限角. （1）求的值； （2）求的值. 16. （1）已知，求的最小值； （2）已知是正实数，且，求的最小值. 17. 请解决下列问题： （1）设，若，求的值； （2）已知集合，若，求实数a的取值范围. 18. 已知函数，且. （1）求； （2）判断函数在上的单调性，并用定义法证明； （3）求函数在区间上的最大值和最小值. 19. 设函数的定义域为D，对于区间（，），若满足以下两条性质之一，则称I为的一个“区间”.性质1：对任意，有；性质2：对任意，有. （1）分别判断区间是否为下列两函数的“区间”（直接写出结论）；①；②. （2）若（）是函数的“区间”，求m的取值范围； （3）已知定义在R上，且图象连续不断的函数满足：对任意a，，且，有.求证：存在“区间”，且存在，使得不属于的任意一个“区间”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $