专题12 圆中的五类最值问题（5大题型）-【寒假分层作业】2025年九年级数学寒假培优练（北师大版）

专题12 圆中的五类最值问题 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（5大题型） 题型一 阿氏圆最值问题 题型二 瓜豆原理问题 题型三 隐圆问题 题型四 定角定高问题 题型五 米勒最大角问题 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 阿氏圆最值问题 ⭐技巧积累与运用 动点到两定点距离之比为定值（即：平面上两点A、B，动点P满足 PA/PB=k（k为常数，且k≠1）），那么动点的轨迹就是圆，因这个结论最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称为阿氏圆。 阿氏圆求最值的本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在于如何构造母子相似。 阿氏圆最值问题常见考法：点在圆外：向内取点（系数小于1）；点在圆内：向外取点（系数大于1）；一内一外：提系数；隐圆型阿氏圆等。 1．（23-24九年级下·浙江绍兴·阶段练习）如图，在菱形中，，，以点为圆心作半径为3的圆，其中点是圆上的动点，则的最小值为 ． 2．（2024·浙江·模拟预测）已知扇形中，，，点P是弧上一点，的最小值为 3．（2023·陕西咸阳·三模）如图，在菱形中，对角线相交于点O，点E、F分别是上的两个动点，且，P是的中点，连接，若，则的最小值为 ．    瓜豆原理问题 ⭐技巧积累与运用 “主从联动”模型也叫“瓜豆”模型，出自成语“种瓜得瓜，种豆得豆”。这类动点问题中，一个动点随另一个动点的运动而运动，我们把它们分别叫作从动点和主动点，从动点和主动点的轨迹是一致的，即所谓“种”线得线，“种”圆得圆（而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是）。解决这一类问题通常用到旋转、全等和相似。 1.（2024·河南南阳·三模）如图，点，半径为2，，，点是上的动点，点是的中点，则的最小值为（    ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 2．（2023·江苏盐城·九年级统考期中）如图，为的直径，C为上一点，其中，，D为上的动点，连接，取中点M，连接，则线段的最大值为 ． 3．（2024·江苏无锡·一模）如图，矩形中，，以为圆心，3为半径作，为上一动点，连接，以为直角边作，使，，则点与点的最小距离为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，，平面上有一点P，，连接，，取的中点G．连接，在绕点A的旋转过程中，则的最大值是（    ） A．3 B．4 C． D．5 隐圆问题 ⭐技巧积累与运用 寻找隐圆技巧1：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧； 寻找隐圆技巧2：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧； 寻找隐圆技巧3：AB为定值，∠P为定角，则P点轨迹是一个圆。 1．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在x轴上，点A的坐标为；中，，连接，点M是中点，连接．将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（    ）    A．3 B． C． D．2 2．（2023·山东·统考中考真题）如图，在四边形中，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则线段的最小值为 ．    3．（2023·广东深圳·校考模拟预测）如图，在边长为6的等边中，点E在边上自A向C运动，点F在边上自C向B运动，且运动速度相同，连接交于点P，连接，在运动过程中，点P的运动路径长为（    ） A． B． C． D． 4．（2023上·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，⊙O的半径为2，弦AB的长为2，点C是优弧AB上的一动点，BD⊥BC交直线AC于点D，当点C从△ABC面积最大时运动到BC最长时，点D所经过的路径长为 ． 定角定高问题 ⭐技巧积累与运用 定角定高模型：如图，直线BC外一点A，A到直线BC距离为定值（定高AD），∠BAC为定角，则BC有最小值，即△ABC的面积有最小值。因为其形像探照灯，所以也叫探照灯模型。 条件：在△ABC中，∠BAC=（定角），AD是BC边上的高，且AD=h（定高）。 结论：当△ABC是等腰三角形（AB=AC）时，BC的长最小；△ABC的面积最小；△ABC的周长最小。 1．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知：如图，点O是直线l外一点，点O到直线l的距离是4，点A、点B是直线l上的两个动点，且cos∠AOB=，则线段AB的长的最小值为（　　） A． B． C．3 D．4 2．（2023·陕西渭南·二模）如图，在中，，边上的高为4，则周长的最小值为 ．    3.（23-24·广东·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD⊥BC于点D，且AD＝4，则△ABC面积的最小值为 　　． 4．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）【场景发现】小明晚上经过河边时，发现探照灯的照射光线都不是垂直于河边，而是有一个角度，为了寻找原因，小明将这一场景进行数学抽象化如图所示， 【模型迁移】在一个矩形院子安装一个摄像头，摄像头的监控角度为，若将摄像头安装在墙的处，，是摄像头与墙壁的交点，如图图所示，阴影部分为摄像头的盲区．               (1)假设探照灯的有效照射角度为，河宽米， 米的时候照射的面积最小，最小值为 ； (2)若米，米，在线段是否存在点，当摄像头在点转动时，摄像头的盲区不变，若存在，等于多少，摄像头的盲区面积为多少？(3)在南北走向的马路上，工作人员要安装一个摄像角度为的摄像头，正好可以监控到整面墙面，以墙面的中点为为原点建立如图所示的坐标系，，马路距离墙面的最小距离为，请写出符合条件的摄像头的坐标． 米勒最大角问题 ⭐技巧积累与运用 已知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，则当C在何处时，∠ACB最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题。 米勒定理：已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的一动点，则当且仅当三角形ABC的外圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大。 1．（2024·河南濮阳·一模）如图，三位同学站在以足球门为弦的圆上踢足球，点 都在圆上，小明站在 点，小强站在 点，小宁站在 点，对于小明、小强、小宁踢进足球球门，下列说法正确的是（     ） A．小明踢进足球的可能性最大 B．小强踢进足球的可能性最大 C．小宁踢进足球的可能性最大 D．三位同学踢进足球的可能性一样大 2．（2024·江苏徐州·一模）如图，，，，点在上运动，当最大时，则的长度是（    ） A．15 B．20 C． D． 3．（2024·陕西西安·模拟预测）问题探究：（1）如图1，是的弦，直线与相交于点两点，是直线上异于点，的两个点，则、、的大小关系是______（用“”连接）．（2）如图2，是的弦，直线与相切于点，点是直线上异于点的任意一点，请在图2中画出图形，试判断，的大小关系，并证明． 问题解决：（3）某儿童游乐场的平面图如图3所示，场所工作人员想在边上点处安装监控装置，用来监控边上的段，为了让监控效果最佳，必须要求最大．已知，米，米，问在上是否存在一点，使得最大，若存在，请求出此时的长和的度数，如果不存在，请说明理由． 1．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作，且使，连接，则长的最大值为（　　） A． B． C． D． 2．（2023上·江苏苏州·九年级校考阶段练习）如图，以为圆心，半径为2的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，点E为上一动点，作于点F．当点E从点B出发，顺时针旋转到点D时，点F所经过的路径长为（    ）    A． B． C． D． 3.（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，分别经过原点和点的动直线，夹角，点是中点，连接，则的最大值是（    ）    A． B． C． D． 4．（2024·广东·模拟预测）如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_______． 5．（2024·山东·模拟预测）如图，在中，，，，在以为圆心3为半径的圆上，则的最小值为 　　． 6.（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，是上任意一点，点在外，已知，是等边三角形，则的面积的最大值为    7．（23-24九年级上·北京房山·期末）在平面直角坐标系中，为轴正半轴上一点．已知点，，是的外接圆．（1）点的横坐标为 ；（2）若最大时，则点的坐标为 ． 8．（2022·内蒙古·中考真题）如图，是的外接圆，为直径，若，，点从点出发，在内运动且始终保持，当，两点距离最小时，动点的运动路径长为______． 9．（2023·成都市·九年级专题练习）如图所示，在扇形中，，，点是上的动点，以为边作正方形，当点从点移动至点时，求点经过的路径长．    10．（2024·山东济宁·一模）如图，抛物线与轴交于点、，且经过点． (1)求抛物线的表达式；(2)在轴下方的抛物线上任取一点，射线、分别与抛物线对称轴交于点、，点关于轴的对称点为，求的面积；(3)点是轴上一动点，当最大时，请直接写出点的坐标． 1．（2024·重庆·模拟预测）正方形ABCD中，AB＝2，点M是BC中点，点P是正方形内一点，连接PC，PM，当点P移动时，始终保持∠MPC＝45°，连接BP，点E，F分别是AB，BP中点，求3BP＋2EF的最小值为 ．    2.（2024.江苏九年级期中）如下图，在正方形中，，点是以为直径的圆上的点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，则线段的最大值与最小值的和 ．    3．（2023·广东清远·统考三模）如图，在，，E为边上的任意一点，把沿折叠，得到，连接．若，，则的最小值为 ． 4．（2023·陕西西安·校考二模）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝4，AD∥BC，∠B＝60°，点E、F分别为边BC、CD上的两个动点，且∠EAF＝60°，则△AEF的面积的最小值是 ． 5．（2023·重庆·校考三模）问题探究：（1）如图①，已知在△ABC中，∠B＝∠C＝30°，BC＝6，则S△ABC＝　 　．（2）如图②，已知四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，AD＝DC，BD＝4，请求出四边形ABCD面积的最大值． 问题解决（3）如图③，某小区有一个四边形花坛ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝CD＝15m，∠B＝∠C＝60°．为迎接“十四运”，园艺师将花坛设计成由两种花卉构成的新造型，根据造型设计要求，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝60°，现需要在△AEF的区域内种植甲种花卉，其余区域种植乙种花卉．已知种植甲种花卉每平方米需200元，乙种花卉每平方米需160元．试求按设计要求，完成花卉种植至少需费用多少元？（结果保留整数，参考数据：≈1.7） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 圆中的五类最值问题 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（5大题型） 题型一 阿氏圆最值问题 题型二 瓜豆原理问题 题型三 隐圆问题 题型四 定角定高问题 题型五 米勒最大角问题 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 阿氏圆最值问题 ⭐技巧积累与运用 动点到两定点距离之比为定值（即：平面上两点A、B，动点P满足 PA/PB=k（k为常数，且k≠1）），那么动点的轨迹就是圆，因这个结论最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称为阿氏圆。 阿氏圆求最值的本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在于如何构造母子相似。 阿氏圆最值问题常见考法：点在圆外：向内取点（系数小于1）；点在圆内：向外取点（系数大于1）；一内一外：提系数；隐圆型阿氏圆等。 1．（23-24九年级下·浙江绍兴·阶段练习）如图，在菱形中，，，以点为圆心作半径为3的圆，其中点是圆上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，在上取一点，使得，连接，，过点作交的延长线于．先证明，即有，可得，再根据，（当P、G、D三点共线时取等号）即可求解． 【详解】解：连接，在上取一点，使得，连接，，过点作交的延长线于．，，，， ，，，， 四边形是菱形，，，， ，即，，， ，，（当P、G、D三点共线时取等号），的最大值为．故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，菱形的性质等知识，构造是解题的关键． 2．（2024·浙江·模拟预测）已知扇形中，，，点P是弧上一点，的最小值为 【答案】13 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，圆的基本知识，如图所示，延长到E，使得，连接，证明，得到，则，故当B、P、E三点共线时，有最小值，利用勾股定理求出，则的最小值为13． 【详解】解：如图所示，延长到E，使得，连接，∴， ∴，又∵，∴， ∴，∴，∴， ∴当B、P、E三点共线时，有最小值， ∴，∴的最小值为13．故答案为：． 3．（2023·陕西咸阳·三模）如图，在菱形中，对角线相交于点O，点E、F分别是上的两个动点，且，P是的中点，连接，若，则的最小值为 ．    【答案】/ 【分析】在上取一点G，使得连接．根据菱形的性质可知，则，结合，可得，利用相似三角形的性质证得根据可知的长即为的最小值，利用勾股定理求出便可解决问题． 【详解】解：如图，在上取一点G，使得，连接．      ∵四边形为菱形，，∴，， ∵，P是的中点，∴，∴， 又∵，∴，∴，即， ∵，∴当点G、P、C在同一直线上时，取得最小值， 此时 ，故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握“胡不归”问题模型，正确画出辅助线，构造相似三角形，根据相似三角形的性质和勾股定理求解． 瓜豆原理问题 ⭐技巧积累与运用 “主从联动”模型也叫“瓜豆”模型，出自成语“种瓜得瓜，种豆得豆”。这类动点问题中，一个动点随另一个动点的运动而运动，我们把它们分别叫作从动点和主动点，从动点和主动点的轨迹是一致的，即所谓“种”线得线，“种”圆得圆（而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是）。解决这一类问题通常用到旋转、全等和相似。 1.（2024·河南南阳·三模）如图，点，半径为2，，，点是上的动点，点是的中点，则的最小值为（    ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形、三角形中位线定理、勾股定理，连接交于，连接，由题意得出是的中位线，则，从而得到当最小值，最小，即当运动到时，最小，此时也为最小，求出的长即可得出答案． 【详解】解：如图，连接交于，连接， ， ∵，，∴，，∴， ∵点是的中点，∴，∴是的中位线，∴， ∴当最小值，最小，∴当运动到时，最小，此时也为最小， ∵，∴的最小值为，故选：A． 2．（2023·江苏盐城·九年级统考期中）如图，为的直径，C为上一点，其中，，D为上的动点，连接，取中点M，连接，则线段的最大值为 ． 【答案】 【分析】连接，首先证明点的运动轨迹为以为直径的，连接，当点在的延长线上时，的值最大，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ∵点是的中点，，∴，∴， ∴点的运动轨迹为以为直径的，连接，当点在的延长线上时，的值最大， 在中，∵，，∴， ∴，∴的最大值为，故答案为：． 【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 3．（2024·江苏无锡·一模）如图，矩形中，，以为圆心，3为半径作，为上一动点，连接，以为直角边作，使，，则点与点的最小距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，取的中点，连接，，，DE由，推出，因为，可得，推出点的运动轨迹是以为圆心1为半径的圆，再利用两点之间线段最短即可解决问题． 【详解】如图，取的中点，连接，，，DE． ∵，，∴，∵，，∴， ∵，∴，∴，∵四边形是矩形，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴点的运动轨迹是以为圆心1为半径的圆， ∵，∴，∴，∴的最小值为．故选：A． 【点睛】本题是一个动点问题，考查了矩形、圆、三角形相似的判定和性质、两点间线段最短等知识，本题的难点是点G的运动轨迹的探索，关键是构造两个相似的三角形． 4．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，，平面上有一点P，，连接，，取的中点G．连接，在绕点A的旋转过程中，则的最大值是（    ） A．3 B．4 C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形的中位线的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，圆的确定，作出合适的辅助线是解本题的关键；如图，取的中点，连接，，证明在以为圆心，为半径的圆上，即可得到答案． 【详解】解：如图，取的中点，连接，， ∵为的中点，，∴，∴在以为圆心，为半径的圆上， 当C，Q，G三点共线时，最大，， ∵，，，∴，∴， ∴，即的最大值为．故选A 隐圆问题 ⭐技巧积累与运用 寻找隐圆技巧1：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧； 寻找隐圆技巧2：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧； 寻找隐圆技巧3：AB为定值，∠P为定角，则P点轨迹是一个圆。 1．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在x轴上，点A的坐标为；中，，连接，点M是中点，连接．将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（    ）    A．3 B． C． D．2 【答案】A 【分析】如图所示，延长到E，使得，连接，根据点A的坐标为得到，再证明是的中位线，得到；解得到，进一步求出点C在以O为圆心，半径为4的圆上运动，则当点M在线段上时，有最小值，即此时有最小值，据此求出的最小值，即可得到答案． 【详解】解：如图所示，延长到E，使得，连接， ∵的一条直角边在x轴上，点A的坐标为， ∴，∴，∴， ∵点M为中点，点A为中点，∴是的中位线，∴； 在中，，∴， ∵将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，∴点C在以O为圆心，半径为4的圆上运动， ∴当点M在线段上时，有最小值，即此时有最小值， ∵，∴的最小值为，∴的最小值为3，故选A．    【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的最值问题，勾股定理，三角形中位线定理，坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键． 2．（2023·山东·统考中考真题）如图，在四边形中，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则线段的最小值为 ．    【答案】/ 【分析】设的中点为O，以为直径画圆，连接，设与的交点为点，证明，可知点F在以为直径的半圆上运动，当点F运动到与的交点时，线段有最小值，据此求解即可． 【详解】解：设的中点为O，以为直径画圆，连接，设与的交点为点，    ∵，∴，∴， ∵，∴，∴点F在以为直径的半圆上运动， ∴当点F运动到与的交点时，线段有最小值， ∵，∴，，∴，的最小值为，故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，圆周角定理的推论，勾股定理等知识，根据题意分析得到点F的运动轨迹是解题的关键． 3．（2023·广东深圳·校考模拟预测）如图，在边长为6的等边中，点E在边上自A向C运动，点F在边上自C向B运动，且运动速度相同，连接交于点P，连接，在运动过程中，点P的运动路径长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点A作于A，作于，连接，交于，证明，得，再证明，可得，确定点的运动路径是以点为圆心，以为半径的弧，再由弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，过点A作于A，作于，连接，交于， 是等边三角形，，，， ，，，是的垂直平分线，， 在中，，，， ，，， ，，， 点的运动路径是以点为圆心，以为半径的弧， 点P的运动路径长为．故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，扇形的面积，动点的运动轨迹等知识，确定点的运动轨迹是解本题的关键． 4．（2023上·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，⊙O的半径为2，弦AB的长为2，点C是优弧AB上的一动点，BD⊥BC交直线AC于点D，当点C从△ABC面积最大时运动到BC最长时，点D所经过的路径长为 ． 【答案】π 【分析】如图，以AB为边向上作等边三角形△ABF，连接OA，OB，OF，DF，OF交AB于H．说明点D的运动轨迹是以F为圆心，FA为半径的圆，再利用弧长公式求解即可． 【详解】如图，以AB为边向上作等边三角形△ABF，连接OA，OB，OF，DF，OF交AB于H． ∵FA=FB，OA=OB，∴OF⊥AB，AH=BH=，∴sin∠BOH=， ∴∠BOH=∠AOH=60°，∴∠AOB=120°∴∠C=∠AOB=60°， ∵DB⊥BC，∴∠DBC=90°，∴∠CDB=30°， ∵∠AFB=60°，∴∠ADB=∠AFB，∴点D的运动轨迹是以F为圆心，FA为半径的圆， ∵当点C从△ABC面积最大时运动到BC最长时，BC绕点B顺时针旋转了30°， ∴BD绕点B也旋转了30°，∴点D的轨迹所对的圆心角为60°， ∴运动路径的长，故答案为：． 【点睛】本题考查轨迹，垂径定理，等边三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 定角定高问题 ⭐技巧积累与运用 定角定高模型：如图，直线BC外一点A，A到直线BC距离为定值（定高AD），∠BAC为定角，则BC有最小值，即△ABC的面积有最小值。因为其形像探照灯，所以也叫探照灯模型。 条件：在△ABC中，∠BAC=（定角），AD是BC边上的高，且AD=h（定高）。 结论：当△ABC是等腰三角形（AB=AC）时，BC的长最小；△ABC的面积最小；△ABC的周长最小。 1．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知：如图，点O是直线l外一点，点O到直线l的距离是4，点A、点B是直线l上的两个动点，且cos∠AOB=，则线段AB的长的最小值为（　　） A． B． C．3 D．4 【答案】D 【分析】法1：根据定角定高（探照灯）模型求解。 法2：如图，过点O作直线直线l，则直线l与直线之间的距离为4，作点B关于直线的对称点，连接，，交直线于点T，连接BT，过点A作AH⊥BT于H，过点T作TW⊥AB于W．首先证明当A，O，共线时，的值最小，此时AB的值最小，解直角三角形求出此时AB的值，可得结论． 【详解】法1：根据定角定高（探照灯）模型知道：当△OAB是等腰三角形（OA=OB）时，AB的长最小； 设三角形△OAB的高为h，其外接圆半径为r，根据定角定高（探照灯）模型易得：r+rcos∠AOB≥h， 当取等号时r有最小值，此时BC的长最小:2rsin∠AOB； ∵O到直线l的距离是4，且cos∠AOB=，∴r≥，sin∠AOB=，∴BC≥4。 法2：如图，过点O作直线直线l，则直线l与直线之间的距离为4，作点B关于直线的对称点，连接，，交直线于点T，连接BT，过点A作AH⊥BT于H，过点T作TW⊥AB于W． 在Rt△中，AB=，∴的值最小时，AB的值最小， ∵OA+OB=OA+≥，∴当A，O，共线时，的值最小，此时AB的值最小， ∵直线l'垂直平分线段，∴TB=，∴∠ =∠， ∵∠TBA+∠=90°，∠TAB+∠=90°，∴∠TAB=∠TBA，∴TA=TB， ∵cos∠AOB=cos∠ATB=，∴，∴可以假设TH=3k，AT=TB=5k，∴BH=TB-TH=2k， ∴AH==4k，∴AB=，   ∵，∴，解得k=， ∴AB的最小值，故选：D． 【点睛】本题考查解直角三角形，轴对称最短问题，解题的关键是学会利用轴对称的性质添加辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于选择题中的压轴题。 2．（2023·陕西渭南·二模）如图，在中，，边上的高为4，则周长的最小值为 ．    【答案】 【分析】法1：根据定角定高（探照灯）模型求解。法2：作的垂直平分线，交于点N，交于点M，连接，则周长，当点D与点M重合时，周长，且为等边三角形，最后根据等边三角形的性质即可求解． 【详解】法1：设三角形△ABC的高为AD=h=4，其外接圆半径为r， 根据定角定高（探照灯）模型知：r+rcos≥h，即， 当取等号时r有最小值（即AB=AC时）；r的最小值为：，BC的最小值为：， 此时△ABC是等腰三角形（AB=AC）时，△ABC的周长有最小值：. 法2：如图所示，作的垂直平分线，交于点N，交于点M，连接，      ∵垂直平分，∴， ∴周长 ∵在中，，∴，当点D与点M重合时，， ∴周长，∴周长的最小值， ∵，∴为等边三角形，∵为边上的高，， ∴，∴周长的最小值，故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是正确作出辅助线，确定当周长最小时的情况． 3.（23-24·广东·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD⊥BC于点D，且AD＝4，则△ABC面积的最小值为 　　． 【解析】作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC，过点O作OE⊥BC于点E， ∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝30°， 设⊙O的半径为r，则OE＝OB＝r，BE＝OB＝r，∴BC＝r， ∵OA+OE≥AD，∴r+r≥4，解得：r≥，∴BC≥，∴， ∴△ABC的面积的最小值为，故答案为：． 4．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）【场景发现】小明晚上经过河边时，发现探照灯的照射光线都不是垂直于河边，而是有一个角度，为了寻找原因，小明将这一场景进行数学抽象化如图所示， 【模型迁移】在一个矩形院子安装一个摄像头，摄像头的监控角度为，若将摄像头安装在墙的处，，是摄像头与墙壁的交点，如图图所示，阴影部分为摄像头的盲区．               (1)假设探照灯的有效照射角度为，河宽米， 米的时候照射的面积最小，最小值为 ； (2)若米，米，在线段是否存在点，当摄像头在点转动时，摄像头的盲区不变，若存在，等于多少，摄像头的盲区面积为多少？(3)在南北走向的马路上，工作人员要安装一个摄像角度为的摄像头，正好可以监控到整面墙面，以墙面的中点为为原点建立如图所示的坐标系，，马路距离墙面的最小距离为，请写出符合条件的摄像头的坐标． 【答案】(1)，；(2)，盲区的面积不会变化，为；(3)，． 【分析】（）作的外接圆，连接，，， 过点作于点，由不变, 要使面积最小则最小，当、、 共线时最小，的面积最小； （）设，则有盲区面积为，当摄像头转动的角度为时，盲区减少的面积为，增加的面积为，当盲区增加的面积与减少的面积相等时即可求解； （）以为直径以为圆心做圆, 交公路与点，，求出坐标即可． 【详解】（1）作的外接圆，连接，，， 过点作于点，         的面积，不变, 要使面积最小则最小，设圆的半径为，不变， ∴不变，，当最小时，最小， ， ∴当、、 共线时最小，的面积最小，此时，，， 故答案为：，； （2）设，当摄像头如图所示，盲区面积为， 当摄像头转动的角度为时，盲区减少的面积为，增加的面积为， 当盲区增加的面积与减少的面积相等时，， 盲区的面积不会变化，此时，面积为初始面积等于，故，盲区的面积不会变化，为； （3）以为直径以为圆心做圆, 交公路与点，, ∴坐标为，． 【点睛】此题考查了圆的有关性质和垂线段最短，熟练掌握圆的有关概念和性质是解题的关键． 米勒最大角问题 ⭐技巧积累与运用 已知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，则当C在何处时，∠ACB最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题。 米勒定理：已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的一动点，则当且仅当三角形ABC的外圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大。 1．（2024·河南濮阳·一模）如图，三位同学站在以足球门为弦的圆上踢足球，点 都在圆上，小明站在 点，小强站在 点，小宁站在 点，对于小明、小强、小宁踢进足球球门，下列说法正确的是（     ） A．小明踢进足球的可能性最大 B．小强踢进足球的可能性最大 C．小宁踢进足球的可能性最大 D．三位同学踢进足球的可能性一样大 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，解答本题的关键就是找到射门角，即射门点与球门两侧所成的角，且角越大，进球率越高．根据射门角越大，射门进球的可能性就越大． 【详解】解：因为点 都在圆上，故通过观察处的射门角相等；故三位同学踢进足球的可能性一样大．故选D． 2．（2024·江苏徐州·一模）如图，，，，点在上运动，当最大时，则的长度是（    ） A．15 B．20 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三点共圆，切线的判定，含的直角三角形，勾股定理，解题的关键是正确的作图，理解当P运动到圆上时，最大；过的中点Q作于P，由含的直角三角形的性质，可推出三点共圆，可证与圆Q相切于P，进而推出此时最大，再由勾股定理求解即可； 【详解】过的中点Q作于P，则， Q是的中点，，，， ，，，，三点在以Q为圆心的圆上， ，与圆Q相切与P，此时最大， 在中，，故选：． 3．（2024·陕西西安·模拟预测）问题探究：（1）如图1，是的弦，直线与相交于点两点，是直线上异于点，的两个点，则、、的大小关系是______（用“”连接）．（2）如图2，是的弦，直线与相切于点，点是直线上异于点的任意一点，请在图2中画出图形，试判断，的大小关系，并证明． 问题解决：（3）某儿童游乐场的平面图如图3所示，场所工作人员想在边上点处安装监控装置，用来监控边上的段，为了让监控效果最佳，必须要求最大．已知，米，米，问在上是否存在一点，使得最大，若存在，请求出此时的长和的度数，如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）  （2）   （3）， 【分析】（1）先利用三角形外角的性质得出 再利用同弧所对的圆周角相等得出即可得出结论；（2）先利用三角形外角的性质得出，再利用同弧所对的圆周角相等得出， 即可得出结论；（3）如图3中, 当经过的与相切于时, 的值最大，作于, 交于, 连接.设 ，用两种方法求出，构建方程即可解决问题. 【详解】（1）如图,延长 交于, 连接, 是的外角，， ，，故答案为:； （2）画出图形如图所示， 证明: 连接, 是 的外角，， ，； （3）如图中, 当经过的与相切于时, 的值最大， 作于, 交于,连接.设， ，， ， ，，， ，， 整理得：，， 或 (舍弃),， ，，， ，． 【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了三角形外角的性质，同弧所对的圆周角的性质，解直角三角形，构造出直角三角形是解本题的关键. 1．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作，且使，连接，则长的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、两圆的位置关系；作，使得，，则，，，由，推出，即（定长），由点是定点，是定长，点在半径为1的上，由此即可解决问题． 【详解】解：如图，作，使得，，则，，， ，，，，， ，即（定长），点是定点，是定长，点在半径为1的上， ，的最大值为，故选：C． 2．（2023上·江苏苏州·九年级校考阶段练习）如图，以为圆心，半径为2的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，点E为上一动点，作于点F．当点E从点B出发，顺时针旋转到点D时，点F所经过的路径长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，，先由圆周角定理得到点F的运动轨迹是以为直径的圆上，且点O在圆上，进而得到当点E从点B出发，顺时针旋转到点D时，点F所经过的路径长为的长；根据勾股定理和锐角三角函数求得，，则所对的圆心角的度数为，利用弧长公式求得的长即可求解． 【详解】解：连接，，，∵，∴，    ∴点F的运动轨迹是以为直径的圆上，且点O在圆上，当点E在点B处时，，点F与O重合； 当点E在点D处时，∵以为圆心，半径为2的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点， ∴即，点F与A重合， ∴当点E从点B出发，顺时针旋转到点D时，点F所经过的路径长为的长； ∵，，，∴， ∵，∴，， ∴，则所对的圆心角的度数为， ∴的长为，即点F所经过的路径长为，故选：B． 【点睛】本题考查圆周角定理、解直角三角形、弧长公式、坐标与图形等知识，正确得到点F的运动轨迹以及点F所经过的路径长为的长是解答的关键． 3.（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，分别经过原点和点的动直线，夹角，点是中点，连接，则的最大值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件，，得出的轨迹是圆，取点，则是的中位线，则求得的正弦的最大值即可求解，当与相切时，最大，则正弦值最大，据此即可求解． 【详解】解：如图所示，以为边向上作等边，过点作轴于点，则， 则的横坐标为，纵坐标为，∴， 取点，则是的中位线，∴， ∵，∴点在半径为的上运动，∵是的中位线，∴， ∴，当与相切时，最大，则正弦值最大， 在中，， 过点作轴，过点作于点，过点作于点， 则 ∵与相切，∴，∴， ∴，∴，∴ 设，,则∴∴ ∴解得：∴ ∴的最大值为，故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，求正弦，等边三角形的性质。圆周角定理，得出点的轨迹是解题的关键． 4．（2024·广东·模拟预测）如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_______． 【答案】 【解析】当P点运动到BC边上时，此时PC=3，根据题意要求构造，在BC上取M使得此时PM=，则在点P运动的任意时刻，均有PM=，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．连接PD，对于△PDM，PD-PM＜DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值． 5．（2024·山东·模拟预测）如图，在中，，，，在以为圆心3为半径的圆上，则的最小值为 　　． 【解答】解：在上取点，使，，， ，，，， 在延长线上取，，则， 又，，，， ， 当为和圆的交点时最小，即最小，且值为， ，的最小值为，故答案为：． 6.（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，是上任意一点，点在外，已知，是等边三角形，则的面积的最大值为    【答案】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，三角形面积的计算，找出点的位置变换是解题的关键． 如图所示，以为边作等边，连接，可证，可得，点在以点为圆心的圆上，且半径，过点作于点，即是的垂直平分线，当点在上其在点的上方时，的面积的最大值，根据等边三角形，含角的直角三角形的性质可求出，的值，根据三角形的面积即可求解． 【详解】解：如图所示，以为边作等边，连接，    ∵是等边三角形，∴， ∵是等边三角形，∴， ∴，且，，∴，∴， ∴点在以点为圆心的圆上，且半径，过点作于点，即是的垂直平分线，当点在上其在点的上方时，的面积的最大值， ∴在中，，，，∴， ∴，且，∴， ∴，故答案为：． 7．（23-24九年级上·北京房山·期末）在平面直角坐标系中，为轴正半轴上一点．已知点，，是的外接圆．（1）点的横坐标为 ；（2）若最大时，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心、切线的性质、圆周角定理，根据圆周角定理得到当与轴相切于点时，最大是解题的关键． （1）根据点、点的坐标求出的中点，根据外心的概念得到点的横坐标； （2）连接，，，过点作于点，根据垂径定理求出，根据圆周角定理和等腰三角形可得，推出，得到当与轴相切于点时，最大，进而得到四边形是矩形，推出，，，根据勾股定理计算，即可得到答案． 【详解】（1）点，，的中点坐标为， 是的外接圆，点在的垂直平分线上，点的横坐标为，故答案为:； （2）连接，，根据（1）可知点一定在直线上， 是的外接圆，为轴正半轴上，，， 如图，过点作于点，，，， ，，， ，当最小时，最大，即最大，即最大， 当，即当与轴相切于点时，最大，连接， 与轴相切于点，轴，四边形是矩形，，， 在中，， ，点的坐标为，故答案为：． 8．（2022·内蒙古·中考真题）如图，是的外接圆，为直径，若，，点从点出发，在内运动且始终保持，当，两点距离最小时，动点的运动路径长为______． 【答案】 【分析】根据题中的条件可先确定点P的运动轨迹，然后根据三角形三边关系确定CP的长最小时点P的位置，进而求出点P的运动路径长． 【详解】解：为的直径， ∴点P在以AB为直径的圆上运动，且在△ABC的内部， 如图，记以AB为直径的圆的圆心为，连接交于点，连接 ∴当点三点共线时，即点P在点处时，CP有最小值， ∵∴ 在中， ∴∠∴∴两点距离最小时，点P的运动路径长为 【点睛】本题主要考查了直径所对圆周角是直角，弧长公式，由锐角正切值求角度，确定点P的路径是解答本题的关键． 9．（2023·成都市·九年级专题练习）如图所示，在扇形中，，，点是上的动点，以为边作正方形，当点从点移动至点时，求点经过的路径长．    【答案】点经过的路径长为． 【分析】如图，由此BO交⊙O于F，取的中点H，连接FH、HB、BD．易知△FHB是等腰直角三角形，HF＝HB，∠FHB＝90°，由∠FDB＝45°＝∠FHB，推出点D在⊙H上运动，轨迹是（图中红线），易知∠HFG＝∠HGF＝15°，推出∠FHG＝150°，推出∠GHB＝120°，易知HB＝3，利用弧长公式即可解决问题． 【详解】解：如图，由此BO交⊙O于F，取的中点H，连接FH、HB、BD．    易知△FHB是等腰直角三角形，HF＝HB，∠FHB＝90°， ∵∠FDB＝45°＝∠FHB，∴点D在⊙H上运动，轨迹是（图中红线）， 易知∠HFG＝∠HGF＝15°，∴∠FHG＝150°，∴∠GHB＝120°，易知HB＝3， ∴点D的运动轨迹的长为＝2π． 【点睛】本题考查轨迹、弧长公式、圆的有关知识、正方形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找点D的运动轨迹，属于中考填空题中的压轴题． 10．（2024·山东济宁·一模）如图，抛物线与轴交于点、，且经过点． (1)求抛物线的表达式；(2)在轴下方的抛物线上任取一点，射线、分别与抛物线对称轴交于点、，点关于轴的对称点为，求的面积；(3)点是轴上一动点，当最大时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)抛物线的表达式为(2)的面积为(3) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，切线的性质，正确求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．（1）待定系数法求函数解析式即可；（2）设抛物线的对称轴交轴于，设，求出的解析式求出点坐标，同法求出点坐标，再根据对称性求出坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可；（3）当过三点的圆与轴相切时，最大，设，根据切线的性质，结合勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：把、、代入得： ，解得，抛物线的表达式为； （2）设抛物线的对称轴交轴于，如图： 抛物线与轴交于点、，抛物线的对称轴为直线， ，，设， 设的函数表达式为，把，， 代入得：，解得，的函数表达式为， 在中，令得，，同理可得， 关于轴的对称点坐标为，， ；的面积为； （3）当的外接圆与轴相切时，切点即为使最大的点，如图： 轴，设，则，，，， ，，， ，，解得（不符合题意，舍去）或， ，． 1．（2024·重庆·模拟预测）正方形ABCD中，AB＝2，点M是BC中点，点P是正方形内一点，连接PC，PM，当点P移动时，始终保持∠MPC＝45°，连接BP，点E，F分别是AB，BP中点，求3BP＋2EF的最小值为 ．    【答案】2 【分析】根据题意连接AP可得EF为中位线，将所求3BP＋2EF转化为3（PB+PA），始终保持∠MPC为45°，可知P轨迹是圆弧，并找到圆心为O，连接OA，在OA上取N使得ON=OP，构造出△OPN∽△OAP，由此可将3（PB+PA）转化为3（PB+PN），利用两点之间线段最短，计算出3BN的值即可． 【详解】根据条件始终保持∠MPC＝45°，所以点P的轨迹为圆弧，设圆心为O，如图1：        ∵正方形ABCD中AB=，M为中点∴CM=BM=，∵∠MPC＝45°∴半径为1 作辅助线：连接OA，在OA上取N使得ON=OP，连接AP，OP，PN，如图2： 根据题意正方形对角线AC=4，所以OA=3=3OP，∴，∠NOP=∠AOP∴△OPN∽△OAP ∴即PN=PA∴3BP＋2EF=3BP+AP=3（BP+AP）=3（BP+PN） 连接BN，交圆弧于P点，此时B、P、N三点共线，即BP+PN取得最小值，过G作NG⊥BC交BC于G，如图所示：∵CN=OC+CN=1+=，∴NG=CG=，∴BG=，根据勾股定理可得，BN=, ∴3BP＋2EF=3（BP+PN）=3BN=．故答案为：． 【点睛】本题属于圆的综合题，结合了相似三角形，动点轨迹，最短距离以及圆的相关知识，属于压轴题，学生必须熟练掌握构造相似三角形的方法，并找到动点轨迹为圆弧，再结合最短距离求解本题． 2.（2024.江苏九年级期中）如下图，在正方形中，，点是以为直径的圆上的点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，则线段的最大值与最小值的和 ．    【答案】 【分析】连接、，将绕点逆时针旋转，得到线段，连接，根据旋转的性质得出，进而可得点在以为圆心，为半径的圆上运动，则线段的最大值与最小值的和为，进而勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接、，将绕点逆时针旋转，得到线段，连接，      ∵线段绕点逆时针旋转，绕点逆时针旋转， ∴，，∴， ∴， ∴∴则点在以为圆心，为半径的圆上运动， ∴线段的最大值与最小值的和为 在中， ∴， 如图所示，过点作交的延长线于点，过点作于点， 则四边形是矩形，∴， 在与中，，∴ ∴，，在中，， ∴线段的最大值与最小值的和为 3．（2023·广东清远·统考三模）如图，在，，E为边上的任意一点，把沿折叠，得到，连接．若，，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查翻折变换，最短路线问题，勾股定理，先确定点的运动路线，并确定最小时点所在位置，再求出的长度即可．确定点的运动路线是解题的关键． 【详解】解：∵沿折叠，得到，∴， ∴点F在以B为圆心6为半径的圆上，设以B为圆心6为半径的圆与交于点， 则，的最小值为的长； 在中，∵，，∴， ∴，∴的最小值为4，故答案为：4． 4．（2023·陕西西安·校考二模）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝4，AD∥BC，∠B＝60°，点E、F分别为边BC、CD上的两个动点，且∠EAF＝60°，则△AEF的面积的最小值是 ． 【答案】 【分析】作辅助线，构建△AME≌△AFE，将△ADF绕点A顺时针旋转120°到△ABM，根据角的关系证明M、B、E共线，再证明△FAE≌△MAE，则∠MEA＝∠FEA，过A作AH⊥BC于H，作AK⊥EF于K，根据角平分线的性质可知：AH＝AK＝2，作△AEF的外接圆⊙O，由同弧所对的圆心角是圆周角的二倍得：∠NOF＝60°，设EF＝2x，则NF＝x，根据OA+ON≥AK，列式为x≥2，则x≥2，可得△AEF面积的最小值是4． 【详解】如图，将△ADF绕点A顺时针旋转120°到△ABM， 由旋转得：BM＝DF，AM＝AF，∠ABM＝∠D＝120°，∠MAB＝∠FAD， ∵∠ABC＝60°，∴∠ABM+∠ABC＝180°，∴M、B、E共线， ∵∠MAE＝∠MAB+∠BAE＝∠FAD+∠BAE＝60°， ∠EAF＝60°，AE＝AE，∴△FAE≌△MAE（SAS），∴∠MEA＝∠FEA， 过A作AH⊥BC于H，作AK⊥EF于K，∴AH＝AK＝AB•sin60°＝2， 作△AEF的外接圆⊙O，连接OA、OE、OF，过O作ON⊥EF于N， ∵∠EAF＝60°，∴∠EOF＝120°，∴∠NOF＝60°，设EF＝2x，则NF＝x， Rt△ONF中，ON＝x，OF＝x，∴ON+OA＝OF+ON＝x， ∵OA+ON≥AK，∴x≥2，∴x≥2， ∴S△AEF＝=2x≥4，∴△AEF面积的最小值是4． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了角平分线的性质、等边三角形、三角形和四边形的面积、三角形全等的性质和判定、直角三角形的性质、轴对称的最短路径问题等知识，确定其最值时动点的位置是解题的关键． 5．（2023·重庆·校考三模）问题探究：（1）如图①，已知在△ABC中，∠B＝∠C＝30°，BC＝6，则S△ABC＝　 　．（2）如图②，已知四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，AD＝DC，BD＝4，请求出四边形ABCD面积的最大值． 问题解决（3）如图③，某小区有一个四边形花坛ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝CD＝15m，∠B＝∠C＝60°．为迎接“十四运”，园艺师将花坛设计成由两种花卉构成的新造型，根据造型设计要求，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝60°，现需要在△AEF的区域内种植甲种花卉，其余区域种植乙种花卉．已知种植甲种花卉每平方米需200元，乙种花卉每平方米需160元．试求按设计要求，完成花卉种植至少需费用多少元？（结果保留整数，参考数据：≈1.7） 【答案】（1）；（2）16；（3）． 【分析】（1）过点A作于点D，根据等腰三角形的性质求出，利用正弦求出，再根据三角形面积公式即可求解； （2）因为， 四点共圆，所以当BD是直径时，四边形ABCD的面积最大，此时，由勾股定理可得 ，因为四边形 ，所以，当 时，四边形ABCD是正方形，由不难求出，进而求得四边形ABCD的最大面积；（3） 因为甲种花卉贵，所以若费用最少，则甲种花卉种植面积最小，最小时，将绕A顺时针旋转到，可证得三点共线，通过证明，得，过点A作过点A作于K，求得，作的外接圆，连接 ，过点作于点N，通过过得 面积的最小值为， 再通过求求得乙种花卉的种植面积为 ，最后根据甲乙两种花卉每平方米的价格求出至少种植两种花卉的费. 【详解】解：（1）如图①，过点作于点D， ，是等腰三角形，， ，，故答案为： （2），四点共圆， 当为直径时，最大，此时 ，， ，由勾股定理， ， 时，四边形是正方形，最大，， ， 的最大值=， （3）如图③ 甲种花卉贵，若费用最少，则甲种花卉种植面积最小，最小时，将绕A顺时针旋转到，由旋转可得 三点共线， ，， 过点A作过点A作于K，， 作的外接圆，连接 ，过点作于点N， 设 在中，，， ， ，， ，面积的最小值为 且 ， 乙种花卉的种植面积为 种四花卉花费：元，种乙花卉花费：元， 至少花费元． 【点睛】本题是一道四边形的综合题，考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角函数，正方形的性质和判定，直径所对的圆周角是直角，三角形和四边形的面积问题等知识，利用四点共圆及图形的旋转变换是解决本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！36 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$