专题11 圆中的八类重要模型（8大题型）-【寒假分层作业】2025年九年级数学寒假培优练（北师大版）

专题11 圆中的八类重要模型 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（8大题型） 题型一 圆弧中点问题 题型二 四点共圆问题 题型三 圆中的翻折问题 题型四 圆幂定理问题 题型五 托勒密定理问题 题型六 阿基米德折弦定理问题 题型七 婆罗摩笈多定理 题型八 内切圆与外接圆问题 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 圆弧中点问题 ⭐技巧积累与运用 当圆中出现弦的中点或弧的中点时，我们联想到的是利用垂径定理以及圆周角定理进行思路的突破，这样的解决方式比较直接，而且能够提高大家解题的效率。 1．（2024·安徽合肥·校考二模）如图，在中，，，，D是的中点，则的长为（    ）． A． B． C．3 D．4 2．（2023·湖南长沙·统考一模）如图，已知是的直径，与相切于点，与相交于点，是弧的中点，现有如下几个结论：，，，，其中正确的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（2023·山东济南·统考中考真题）如图，，为的直径，为上一点，过点的切线与的延长线交于点，，点是的中点，弦，相交于点． (1)求的度数；(2)若，求直径的长． 四点共圆问题 ⭐技巧积累与运用 四点共圆：若在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。 四点共圆模型是一种解题思想，但任何题目里都不会告诉你，亲爱的同学，请用四点共圆思想来解题吧。那么，我们头脑里，就要快速迭代平常积累的一些模型。 四点共圆有三个性质：（1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；（2）圆内接四边形的对角互补；（3）圆内接四边形的外角等于内对角。 1．（2023·安徽合肥·校考一模）如图，O是的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接．下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D．平分 2．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，线段，以为斜边构造等腰直角和直角，、在两侧，平分交于点，则的最小值为 ． 3．（23-24九年级·福建南平·自主招生）如图，在四边形中，且，垂足为，延长线交于，交的延长线于．(1)求证：A，，，四点共圆；(2)求证：为定值．    圆中的翻折问题 ⭐技巧积累与运用 菱形的性质：1）边：①四条边都相等；②对边平行；2）角：对角相等（与平行四边形相同）； 1．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）如图，在中，为直径，为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点（不与点重合），连结．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，是一条弦，将劣弧沿弦翻折，连结并延长交翻折后的弧于点，连结，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级下·上海宝山·期中）已知是半圆O的直径，C是半圆O上不与A、B重合的点，将弧沿直线翻折，翻折所得的弧交直径于点D，E是点D关于直线的对称点． (1)如图，点D恰好落在点O处．①用尺规作图在图中作出点E（保留作图痕迹），连接、、，求证：四边形是菱形；②连接，与、分别交于点F、G，求的值； (2)如果，求折痕的长． 圆幂定理问题 ⭐技巧积累与运用 圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理、割线定理、弦切角定理、托勒密定理以及它们推论的统一与归纳。可能是在19世纪由德国数学家施泰纳（Steiner）或者法国数学家普朗克雷（Poncelet）提出的。圆幂定理的用法：可以利用圆幂定理求解与圆有关的线段比例、角度、面积等问题。 1．（23-24九年级上·山西朔州·期末）阅读与思考 九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等． 已知：如图1，O的两弦，相交于点P．求证：． 证明：如图1，连接，． ∵，．∴，（根据_____________） ∴，∴，∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等． 任务：(1)请将上述证明过程补充完整．根据： ；@： ． (2)小刚又看到一道课后习题，如图2，是O的弦，P是上一点，，，，求的半径． 2．（2023·重庆·统考一模）如图，PAB、PCD为⊙O的两条割线，若PA=5，AB=7，CD=11，则AC：BD= ． 3．（2023春·河南驻马店·校联考三模）复习巩固 切线：直线和圆只有一个公共点，这时这条直线和圆相切，我们把这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点.如图1，直线l1为⊙O的切线 割线：直线和圆有两个公共点，这时这条直线和圆相交，我们把这条直线叫做圆的割线.如图1，直线l2为⊙O的割线 切线长：过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长. 阅读材料 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所普的一部数学著作.它是欧州数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书其中第三卷命题36一2圆幂定理（切割线定理）内容如下：切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.为了说明材料中定理的正确性，需要对其进行证明，下面已经写了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程 已知：如图2，A是⊙O外一点，　　 ．求证：　　 [提示]辅助线可先考虑作⊙O的直径DE． 4．（2023·河南三门峡·统考二模）小锐同学是一个数学学习爱好者，他在一本数学课外读物上看到一个课本上没有的与圆相关的角---弦切角（弦切角的定义：把顶点在圆上，一边与圆相切，另一边和圆相交的角叫做弦切角），并尝试用所学的知识研究弦切角的有关性质． （1）如图，直线与⊙O相切于点，，为⊙O上不同于的两点，连接，，．请你写出图中的两个弦切角______；（不添加新的字母和线段） （2）小锐目测和可能相等，并通过测量的方法验证了他的结论，你能帮小锐用几何推理的方法证明结论的正确性吗？ 已知：如图，直线与⊙O相切于点，，为圆上不同于的两点，连接，，． 求证：． （3）如果我们把上述结论称为弦切角定理，请你用一句话概括弦切角定理______． 托勒密定理问题 ⭐技巧积累与运用 托勒密定理：四边形ABCD内接于圆，结论：． 1．（2024·浙江·模拟预测）某著作讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号．如图，四边形内接于半径为的圆，，，，则四边形的周长为(   ) A． B． C． D． 2．（2023·河南商丘·模拟预测）请阅读下列材料，完成相应的任务：克罗狄斯・托勒密（，约90年-168年），“地心说”的集大成者，生于埃及，著名的天文学家，地理学家，占星学家和光学家． 托勒密定理实出自依巴谷（）之手，托勒密从他的书中摘出并加以完善． 托勒密定理：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积． 已知：如图1，四边形内接于，求证：下面是该结论的证明过程： 证明：如图1，作，交于点.， （依据1），（依据2）， ，，. ，，即， ，， ． 任务：(1)托勒密定理的逆命题是______；上述证明过程中的“依据1”为______；“依据2”为______． (2)当圆内接四边形是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理：______． (3)如图2，以为直径的中，点为上一点，且，的角平分线交于点，连接，，若，求的长． 3．（2023·河南南阳·一模）学习过“圆内接四边形”后，刘老师布置了课后阅读“认识托勒密”，小明读了托勒密的生平、贡献，对“托勒密定理”很感兴趣，并进行了下列的研究，请完成他的研究．托勒密定理：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积． 已知：如图1，______． 求证：______． 证明：如图2，作，交BD于点E，…… ∴∽，∴，…… ∴∽，∴， ∴． (1)请帮小明写出已知和求证，并完成证明过程； (2)如图3，已知正五边形ABCDE内接于，，求对角线BD的长． 阿基米德折弦定理问题 ⭐技巧积累与运用 折弦:从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦。 一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点。 条件：如图1所示，AB和BC是⊙O的两条弦(即ABC是圆的一条折弦)，BC>AB，M是 的中点，则从M向BC所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点，结论：CD=AB+BD。 1．（2023·广东九年级期中）如图，AB和BC是的两条弦（即ABC是圆的一条折弦），，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，若，，则CD的长为（    ）． A． B． C． D． 2．（2024·河南洛阳·校考二模）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 阿基米德折弦定理：阿基米德（Archimedes，公元前287~公元212年，古希腊是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子． 阿拉伯Al-Biruni（973年-1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Biruni译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理． 阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，是的中点，则从点向所作垂线的垂足是折弦的中点，即， 下面是运用“补短法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，延长到点F，使得，连接DA，DB，DC和DF． ∵是的中点∴… 任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分：（2）填空：如图3，已知等边内接于，，为上一点，．于点，则的周长是______． 3．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）【了解概念】我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段、组成折线段．若点在折线段上，，则称点是折线段的中点． (1)如图2，的半径为2，是的切线，为切点，点是折线段的中点．若，则　　； (2)【定理证明】阿基米德折弦定理：如图3，和是的两条弦（即折线段是圆的一条折弦），，点是的中点，从向作垂线，垂足为，求证：是折弦的中点； 【变式探究】(3)如图4，若点是的中点，【定理证明】中的其他条件不变，则、、之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论． 【灵活应用】(4)如图5，是的直径，点为上一定点，点为上一动点，且满足，若，，则　　． 婆罗摩笈多定理 ⭐技巧积累与运用 婆罗摩笈多定理：如果一个圆内接四边形（即对角互补的四边形）的对角线互相垂直且相交，那么从交点向某一边所引垂线的反向延长线必经过这条边对边的中点（反之亦能成立）。 1．（2024·河南·校考一模）阅读下列相关材料，并完成相应的任务． 婆罗摩笈多是古印度著名的数学家、天文学家，他编著了《婆罗摩修正体系》，曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，也称“布拉美古塔定理”． 定理的内容是：“若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边”． 按图写出这个定理的已知和求证，并完成这个定理的证明过程； 已知：________________________________________________________________________________， 求证：________________________________________________________________________________， 证明：________________________________________________________________________________． 2．（2024·重庆·校考一模）婆罗摩笈多（Brahmagupta）是古代印度著名数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算术运算规则、二次方程等方面均有建树，他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“古拉美古塔定理”，该定理的内容及部分证明过程如下： 古拉美古塔定理：如图①，四边形ABCD内接于，对角线，垂足为点M，直线，垂足为点E，并且交直线AD于点F．则． 证明：∵，，∴， ∴，，∴，∵，∴． 又∵，∴，∴．… 任务：(1)将上述证明过程补充完整；(2)古拉美古塔定理的逆命题：如图②，四边形ABCD内接于，对角线，垂足为点M，直线FM交BC于点E，交AD于点F．若，则．请证明该命题． 内切圆与外接圆问题 1．（2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）如图，点是的内心，，，，，则的半径为 ．    2．（2024·山东·模拟预测）如图，在直线l：上取一点，使．过点作，交x轴于点；在直线l：上找一点，使，过点作，交x轴于点；在直线l：上找一点，使……以此类推．若的内切圆圆心为，的内切圆圆心为，的内切圆圆心为……以此类推，的内切圆圆心的坐标为 ． 3．（2024·山东济宁·二模）【初步感知】 （1）如图1，点A，B，P均在上，若，则锐角的大小为______度； 【深入探究】（2）如图2，小明遇到这样一个问题：是等边三角形的外接圆，点P在上（点P不与点A，C重合），连接，，．求证：；小明发现，延长至点E，使，连接，通过证明．可推得是等边三角形，进而得证.请根据小明的分析思路完成证明过程． 【启发应用】（3）如图3，是的外接圆，，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连接，，，若，则的值为_____． 1．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，连接，，，，，则阴影部分的面积为（   ）    A． B． C． D． 2．（2023·安徽合肥·统考三模）如图，是半圆的直径，是弦，点是的中点，点是的中点，连接、分别交于点和点，连接，则下列结论中错误的是（    ）      A． B． C． D． 3．（2023·山西临汾·九年级统考期末）如图在四边形中，，若，则的值为（    ）    A． B． C． D． 4．（2024·广东深圳·三模）如图，中，，，，以点C为顶点在外部作，连接，若，则长为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，为的直径，将沿翻折，翻折后的弧交于D．若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．8 D．10 6．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）“托勒密定理”由依巴谷提出，其指出圆的内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．如图，中有圆内接四边形，已知，，，，则（    ）    A． B． C． D． 7．（2023春·河南·九年级专题练习）如图，切于点A，是的割线，若，则 ．    8．（2023·江苏无锡·九年级校考阶段练习）已知等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，则它的外接圆半径R＝ ，内切圆半径r＝ ． 9．（2023·浙江绍兴·模拟预测）四边形内接于圆，对角线交点为E，，若、都是整数，则的值为 ． 10．（2023春·河南洛阳·统考一模）我们知道，直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离．当直线与圆有两个公共点（即直线与圆相交）时，这条直线就叫做圆的割线．割线也有一些相关的定理．比如，割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等．下面给出了不完整的定理“证明一”，请补充完整． 已知：如图①，过外一点作的两条割线，一条交于、点，另一条交于、点． 求证：． 证明一：连接、，∵和为所对的圆周角，∴______． 又∵，∴______，∴______．即． 研究后发现，如图②，如果连接、，即可得到学习过的圆内接四边形．那么或许割线定理也可以用圆内接四边形的性质来证明．请根据提示，独立完成证明二． 证明二：连接、， 11．（2023·河北·统考中考真题）装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆，，如图1和图2所示，为水面截线，为台面截线，． 计算：在图1中，已知，作于点．（1）求的长． 操作：将图1中的水面沿向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当时停止滚动，如图2．其中，半圆的中点为，与半圆的切点为，连接交于点．    探究：在图2中（2）操作后水面高度下降了多少？ （3）连接OQ并延长交GH于点F，求线段与的长度，并比较大小． 12．（2024·山西·模拟预测）阅读与思考 请阅读以下材料并完成相应的任务． 伟大的古希腊数学家、哲学家、物理学家阿基米德提出了有关圆的一个引理．这个引理的作图步骤如下： ①如图，已知，C是弦上一点，作线段的垂直平分线，分别交于点D，于点E，连接． ②以点D为圆心，的长为半径作弧，交于点F（F，A两点不重合），连接． 引理的结论：． (1)任务一：用尺规完成材料中的作图，保留作图痕迹，并标明字母． (2)任务二：请你完成引理结论的证明过程． 1．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）克罗狄斯·托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论．如图，四边形内接于半径为的圆，，，，则四边形的周长为（    ）      A． B． C． D． 2．（2024·浙江·模拟预测）如图，I 为的内心，线段的延长线交的外接四于D， 设 的外接圆半径为5，内切圆半径为2，则（   ） A．20 B．21 C． D． 3．（2023·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，在四边形 中，， 是 的中点， 是 的中点，若 ，，，则 的长为（     ）    A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图， 将上的沿弦翻折交半径于点D， 再将沿 翻折交于点E， 连接. 若， 则 的值 ． 5．（2024·河南新乡·模拟预测）阅读下列材料，完成相应的任务． 婆罗摩笈多定理：如图，四边形内接于，对角线，垂足为M，如果直线，垂足为E，并且交边于点F，那么． 证明：∵，，∴，．∴． 又∵① ，（同弧所对的圆周角相等） ， ∴． ∴② ．… 任务：(1)材料中①处缺少的条件为______，②处缺少的条件为______； (2)根据材料，应用婆罗摩笈多定理解决下面试题： 如图，已知中，，，分别交于点D，E，连接交于点P．过点P作，分别交于点M，N．若，求的长． 6．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）综合与实践 “善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． 提出问题：如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接，如果，那么A，B，C，D四点在同一个圆上． 探究展示：求证：点A，B，C，D四点在同一个圆上 如图2，作经过点A，C，D的，在劣弧上取一点E（不与A，C重合），连接，，则． (1)请完善探究展示;(2)如图3，在四边形中，，则∠4的度数为 ． (3)拓展探究：如图4，已知是等腰三角形，，点D在上（不与的中点重合），连接．作点C关于的对称点E，连接并延长交的延长线于F，连接．①求证：A，D，B，E四点共圆；②若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由 7．（2023春·山西大同·九年级校联考期中）阅读与思考 阅读下面内容并完成任务：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角． 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 如图1，直线与相切于点，为的弦，叫弦切角，叫做弦切角所夹的弧，是所对的圆周角，为直径时，很容易证明． 小华同学认为这是一种特殊情况，若不是直径会如何呢？即在图2中吗？她连接并延长，交于点，连接…问题得到了解决． 小颖同学利用图3证明了当弦切角为直角时，弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 小亮积极思考，提出当弦切角为钝角时，能证明（如图4）吗？ 任务：(1)请按照小华的思路，利用图2证明；(2)结合小华、小颖的思路或结论，利用图4解答小亮提出的问题；(3)写出在上面解决问题的过程中体现的数学思想：______（写出两种）； (4)解决问题：如图5，点为的弦延长线上一点，切于点，连接，，，，则______° 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 圆中的八类重要模型 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（8大题型） 题型一 圆弧中点问题 题型二 四点共圆问题 题型三 圆中的翻折问题 题型四 圆幂定理问题 题型五 托勒密定理问题 题型六 阿基米德折弦定理问题 题型七 婆罗摩笈多定理 题型八 内切圆与外接圆问题 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 圆弧中点问题 ⭐技巧积累与运用 当圆中出现弦的中点或弧的中点时，我们联想到的是利用垂径定理以及圆周角定理进行思路的突破，这样的解决方式比较直接，而且能够提高大家解题的效率。 1．（2024·安徽合肥·校考二模）如图，在中，，，，D是的中点，则的长为（    ）． A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】如图：连接交点H，由圆周角定理可得为的直径，在中运用勾股定理可得，则半径；然后由点点D为的中点可得，进而得到，在中运用勾股定理可得，进而得到，最后在中，运用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图：连接，连接交点H ∵即∴为的直径 在中，，则∴ ∵点D为的中点∴∴ 在中，，则∴ 在中，，则．故选：A． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识点，灵活运用勾股定理和垂径定理是解答本题的关键． 2．（2023·湖南长沙·统考一模）如图，已知是的直径，与相切于点，与相交于点，是弧的中点，现有如下几个结论：，，，，其中正确的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据圆的切线定理，同弧或者等弧所对的圆周角相等，同弧或者等弧所对的圆周角是圆心角的一半等依次判断，即可． 【详解】解：∵是的直径，与相切于点，∴，∴正确； ∵是弧的中点、∴ ∴，， ∵所对的圆周角是，∴，∴∴，∴正确； ∵所对的圆心角是，所对的圆周角是， ∴，∴正确；∵，， 但无法证明与的等量关系，∴，∴错误； 综上所述，正确的为：共3个．故选：C． 【点睛】本题考查圆的知识，解题关键是掌握圆的基本性质，圆的切线定理，圆周角，圆心角，弦的关系． 3．（2023·山东济南·统考中考真题）如图，，为的直径，为上一点，过点的切线与的延长线交于点，，点是的中点，弦，相交于点． (1)求的度数；(2)若，求直径的长． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据切线的性质，得出，再根据直角三角形两锐角互余，得出，再根据等边对等角，得出，再根据等量代换，得出，再根据，得出，即，得出，进而计算即可得出答案；（2）连接，根据圆周角定理，得出，再根据中点的定义，得出，再根据同弧或同弦所对的圆周角相等，得出，再根据正切的定义，得出，再根据角所对的直角边等于斜边的一半，得出，进而即可得出答案． 【详解】（1）解：∵与相切于点，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，即，∴，∴； （2）解：如图，连接，∵是直径，∴，    ∵点是的中点，∴，∴， 在中，∵，，∴， 在中，∵，∴，∴的直径的长为． 【点睛】本题考查了切线的性质、直角三角形两锐角互余、等边对等角、圆周角定理及其推论、锐角三角函数、含角的直角三角形的性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理． 四点共圆问题 ⭐技巧积累与运用 四点共圆：若在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。 四点共圆模型是一种解题思想，但任何题目里都不会告诉你，亲爱的同学，请用四点共圆思想来解题吧。那么，我们头脑里，就要快速迭代平常积累的一些模型。 四点共圆有三个性质：（1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；（2）圆内接四边形的对角互补；（3）圆内接四边形的外角等于内对角。 1．（2023·安徽合肥·校考一模）如图，O是的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接．下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D．平分 【答案】D 【分析】以点O为圆心，长为半径作圆．再根据圆内接四边形的性质，圆周角定理逐项判断即可． 【详解】如图，以点O为圆心，长为半径作圆． 由题意可知：．即点A、B、C、D都在圆O上． A．∵，∴，故A不符合题意；B．∵，∴，故B不符合题意； C．∵四边形是的内接四边形，∴，故C不符合题意； D．∵和不一定相等，∴和不一定相等， ∴不一定平分，故D符合题意．故选：D． 【点睛】本题考查圆周角定理及其推论，充分理解圆周角定理是解答本题的关键． 2．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，线段，以为斜边构造等腰直角和直角，、在两侧，平分交于点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形的内心、等腰直角三角形的性质、四点共圆、圆周角定理、等腰三角形的判定等知识；证出，，，共圆，为的内心，则，故当为该圆直径时，最大，即可得出答案． 【详解】解：以为斜边构造等腰直角和直角， ，，，，，，共圆， ，，，平分， 平分，为的内心，， ，， ，，当为该圆直径时，最大， 的最小值为，故答案为：． 3．（23-24九年级·福建南平·自主招生）如图，在四边形中，且，垂足为，延长线交于，交的延长线于．(1)求证：A，，，四点共圆；(2)求证：为定值．    【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出为中点，求出，证明，得出为等腰三角形，得出，求出，即可证明结论； （2）先证明，再根据，证明，得出，即可证明结论． 【详解】（1）证明：连接，如图所示：    ，为等腰三角形，，又∵，∴为中点，∴垂直平分， ，∴，， 又，为等腰三角形，，∴， ∴A，，，四点共圆；（若共底边的两个三角形的顶角相等，且在底边的同侧，则四点共圆） （2）证明：由（1）知：A，，，四点共圆，（同弧所对的圆周角相等） 又，为等腰三角形，∴， 又（公共角），，，． 【点睛】本题主要考查了四点共圆，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，三角形相似的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质和判定，数形结合． 圆中的翻折问题 ⭐技巧积累与运用 菱形的性质：1）边：①四条边都相等；②对边平行；2）角：对角相等（与平行四边形相同）； 1．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）如图，在中，为直径，为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点（不与点重合），连结．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆的基本性质与折叠的性质，掌握圆周角定理及其推论以及折叠的性质，是解题的关键．先连接，由是直径，可求得，则可求得的度数，然后由翻折的性质和圆内接四边形的对角互补可得，，继而求得答案． 【详解】解：连接，∵是直径，∴，∵，∴，    根据翻折的性质，所对的圆周角为，所对的圆周角为，∴， 又∵，∴，∴．故选D． 2．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，是一条弦，将劣弧沿弦翻折，连结并延长交翻折后的弧于点，连结，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理的推论，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握相关定理及性质是解答本题的关键．延长交于点D，过点B作于点H，连结，先根据“在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等”，得到，即，然后根据直径所对的圆周角是直角，得到，利用勾股定理求出的长，进一步求出和的长，再根据等腰三角形三线合一性质，得到，由此即得答案． 【详解】延长交于点D，过点B作于点H，连结， 和是圆周角所对的弧，，， 是直径，，， ，， ，，， ，．故选：C． 3．（23-24九年级下·上海宝山·期中）已知是半圆O的直径，C是半圆O上不与A、B重合的点，将弧沿直线翻折，翻折所得的弧交直径于点D，E是点D关于直线的对称点． (1)如图，点D恰好落在点O处．①用尺规作图在图中作出点E（保留作图痕迹），连接、、，求证：四边形是菱形；②连接，与、分别交于点F、G，求的值； (2)如果，求折痕的长． 【答案】(1)①作图见解析，证明见解析；②(2)或 【分析】（1）①过D作的垂线，交半圆于点E即可．利用轴对称性得出，，结合半径，得出，即可得证；②证明，求出，同理得出，，则可求，即可求解；（3）①当D在O的右侧时，作D关于的对称点，连接，，过O作于G，过C作于H，证明，可证明，得出，，利用垂径定理求出，利用勾股定理求出，即可求出，，然后在中利用勾股定理求解即可；②当D在O的左侧时，作D关于的对称点，连接，，过O作于G，过C作于H，类似①求解即可． 【详解】（1）解：①如图，证明：∵E是D关于直线的对称点，∴，， ∵点D恰好落在点O处，∴，∴，∴四边形是菱形； ②如图，∵四边形是菱形，∴，∴， ∴，同理，，∴，，∴，∴，∴； （2）解：①当D在O的右侧时，作D关于的对称点，连接，，过O作于G，过C作于H， ∵E是D关于直线的对称点，∴，，∴，即， ∵，∴，∴，∴，∴， 又，，∴，∴， ∵，，∴，∵，∴，∴， ∴，，∴，∴； ②当D在O的左侧时，作D关于的对称点，连接，，过O作于G，过C作于H，同理可求，，， ∴，∴，综上，折痕长为或． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，垂径定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，菱形的判定，以及复杂作图等知识，明确题意，添加合适辅助线，合理分类讨论，构造全等三角形是解题的关键． 圆幂定理问题 ⭐技巧积累与运用 圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理、割线定理、弦切角定理、托勒密定理以及它们推论的统一与归纳。可能是在19世纪由德国数学家施泰纳（Steiner）或者法国数学家普朗克雷（Poncelet）提出的。圆幂定理的用法：可以利用圆幂定理求解与圆有关的线段比例、角度、面积等问题。 1．（23-24九年级上·山西朔州·期末）阅读与思考 九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等． 已知：如图1，O的两弦，相交于点P．求证：． 证明：如图1，连接，． ∵，．∴，（根据_____________） ∴，∴，∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等． 任务：(1)请将上述证明过程补充完整．根据： ；@： ． (2)小刚又看到一道课后习题，如图2，是O的弦，P是上一点，，，，求的半径． 【答案】(1)有两个角对应相等的两个三角形相似，；(2)的半径为． 【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质求解即可； （2）延长交圆O于点D，延长交圆O于点F，设圆O的半径为，则，，根据（1）中结论代入求解即可． 【详解】（1）证明：如图1，连接，． ∵，．∴，（根据有两个角对应相等的两个三角形相似） ∴，∴，∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等． 故答案为：有两个角对应相等的两个三角形相似；； （2）延长交圆O于点D，延长交圆O于点F， 设圆O的半径为，而，，， ，， ， 根据（1）中结论得，即为， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去），⊙O的半径为． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，圆的相交弦定理，圆周角定理，理解题意，熟练掌握运用圆的相交弦定理是解题关键． 2．（2023·重庆·统考一模）如图，PAB、PCD为⊙O的两条割线，若PA=5，AB=7，CD=11，则AC：BD= ． 【答案】 【分析】根据切割线定理可求得∠D=∠PAC，即可求证△PAC∽△PDB，根据对应边比值相等的性质和CD的长求得PC与PB的比值，即可求解． 【详解】解：∵PAB、PCD为⊙O的两条割线，∴∠BAC+∠BDC=180°，∠PAC+∠BAC=180°，∴∠BDC=∠PAC， 又∵∠P=∠P，∴△PAC∽△PDB，∴=， 设PC=x，PD=y，且y﹣x=11，解得：x=4，y=15，∴===，故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，考查了切割线定理，考查了相似三角形对应边比值相等的性质，本题中根据CD和对应边比值相等的性质求AC∶BD的值是解题的关键． 3．（2023春·河南驻马店·校联考三模）复习巩固 切线：直线和圆只有一个公共点，这时这条直线和圆相切，我们把这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点.如图1，直线l1为⊙O的切线 割线：直线和圆有两个公共点，这时这条直线和圆相交，我们把这条直线叫做圆的割线.如图1，直线l2为⊙O的割线 切线长：过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长. 阅读材料 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所普的一部数学著作.它是欧州数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书其中第三卷命题36一2圆幂定理（切割线定理）内容如下：切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.为了说明材料中定理的正确性，需要对其进行证明，下面已经写了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程 已知：如图2，A是⊙O外一点，　　 ．求证：　　 [提示]辅助线可先考虑作⊙O的直径DE． 【答案】AD是⊙O的切线，直线ABC为⊙O的割线；；证明见解析． 【分析】按照题设要求，写出“已知”和“求证”，然后证明△ABD∽△ADC，即可求解． 【详解】解：（已知：如图，A是⊙O外一点，）AD是⊙O的切线，直线ABC为⊙O的割线． 求证：．故答案为：AB是⊙O的切线，直线ACD为⊙O的割线，． 证明：连接BD，连接DO并延长交⊙O于点E，连接BE， ∵AD是⊙O的切线，∴， ∵DE是圆的直径，∴，∴，又∵，∴， ∵，∴△ABD∽△ADC，∴，∴． 【点睛】本题主要考查了切线的性质、同弧或等弧所对的圆周角相等以及相似三角形的判定和性质等知识，正确作出辅助线是解决本题的关键． 4．（2023·河南三门峡·统考二模）小锐同学是一个数学学习爱好者，他在一本数学课外读物上看到一个课本上没有的与圆相关的角---弦切角（弦切角的定义：把顶点在圆上，一边与圆相切，另一边和圆相交的角叫做弦切角），并尝试用所学的知识研究弦切角的有关性质． （1）如图，直线与⊙O相切于点，，为⊙O上不同于的两点，连接，，．请你写出图中的两个弦切角______；（不添加新的字母和线段） （2）小锐目测和可能相等，并通过测量的方法验证了他的结论，你能帮小锐用几何推理的方法证明结论的正确性吗？ 已知：如图，直线与⊙O相切于点，，为圆上不同于的两点，连接，，． 求证：． （3）如果我们把上述结论称为弦切角定理，请你用一句话概括弦切角定理______． 【答案】（1），，，（任意写出两个即可）；（2）见解析；（3）弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角 【分析】（1）根据弦切角的定义加以识别即可；（2）过点C作直径CF，连接DF，借助于同弧所对的圆周角相等，将∠DEC转化为∠F，所以只需证∠DCB=∠F即可．（3）由题意可归纳：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 【详解】解：（1）弦CD、CE分别与切线CB构成的弦切角为：∠DCB，∠ECB； 弦CD、CE分别与切线CA构成的弦切角为：∠DCA，∠ECA． 故答案为：，，，（任意写2个即可） （2）证明：过作直径，连接． ∵是直径，∴．∴． 又∵与相切于点，∴．∴．∴． ∴．∴． （3）弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质、圆周角定理及推论、直角三角形的两锐角互余等知识点，熟知上述图形的相关性质是解题的基础，对新定义的理解及问题的概括能力是关键. 托勒密定理问题 ⭐技巧积累与运用 托勒密定理：四边形ABCD内接于圆，结论：． 1．（2024·浙江·模拟预测）某著作讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号．如图，四边形内接于半径为的圆，，，，则四边形的周长为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本考查了圆的相关性质，勾股定理，含度角的直角三角形的性质，连接，，设圆心为，连接并延长交于，连接，过作交延长线于，由，，得，即得，可得，，由，得是等腰直角三角形，，在中，，由托勒密定理的推论知有，故，从而可得四边形的周长为． 【详解】解：连接，，设圆心为，连接并延长交于，连接，过作交延长线于，如图：，，， ，是的直径，，， 半径为，，，， ，，是等腰直角三角形，， ，，，在中，， 由托勒密定理任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号．，， ，， 四边形的周长为，故选：A． 2．（2023·河南商丘·模拟预测）请阅读下列材料，完成相应的任务：克罗狄斯・托勒密（，约90年-168年），“地心说”的集大成者，生于埃及，著名的天文学家，地理学家，占星学家和光学家． 托勒密定理实出自依巴谷（）之手，托勒密从他的书中摘出并加以完善． 托勒密定理：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积． 已知：如图1，四边形内接于，求证：下面是该结论的证明过程： 证明：如图1，作，交于点.， （依据1），（依据2）， ，，. ，，即， ，， ． 任务：(1)托勒密定理的逆命题是______；上述证明过程中的“依据1”为______；“依据2”为______． (2)当圆内接四边形是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理：______． (3)如图2，以为直径的中，点为上一点，且，的角平分线交于点，连接，，若，求的长． 【答案】(1)如果一个四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，那么这个四边形是圆的内接四边形；同弧所对的圆周角相等；两个角分别对应相等的两个三角形相似 (2)勾股定理 (3) 【分析】（1）利用逆命题的意义，矩形的性质，勾股定理，圆的有关性质和相似三角形的判定定理解答即可；（2）利用相似三角形的判定定理和性质定理，矩形的性质及勾股定理解答即可；（3）利用圆的有关性质，等腰直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质分别求得四边形的边长，再利用（2）的结论解答即可得出结论． 【详解】（1）解：托勒密定理的逆命题是如果一个四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，那么这个四边形是圆的内接四边形．证明过程中的“依据1”为：同弧所对的圆周角相等；依据2”为：两个角分别对应相等的两个三角形相似．故答案为：如果一个四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，那么这个四边形是圆的内接四边形；同弧所对的圆周角相等；两个角分别对应相等的两个三角形相似； （2）解：如图，作，交于点， ，，，，， ，，，， 即．，，． ．， 四边形是矩形，， ，故答案为：勾股定理； （3）解：为直径，， ，，，． 的角平分线交于点，，， 为等腰直角三角形，． 四边形为圆的内接四边形，．，． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，含交的直角三角形的性质，逆命题的意义，本题是阅读型题目，理解并熟练应用新结论是解题的关键． 3．（2023·河南南阳·一模）学习过“圆内接四边形”后，刘老师布置了课后阅读“认识托勒密”，小明读了托勒密的生平、贡献，对“托勒密定理”很感兴趣，并进行了下列的研究，请完成他的研究．托勒密定理：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积． 已知：如图1，______． 求证：______． 证明：如图2，作，交BD于点E，…… ∴∽，∴，…… ∴∽，∴， ∴． (1)请帮小明写出已知和求证，并完成证明过程； (2)如图3，已知正五边形ABCDE内接于，，求对角线BD的长． 【答案】(1)已知：如图1，四边形ABCD内接于；求证：；证明见解析． (2) 【分析】（1）理解题意，再根据同弧所对的圆周角相等证明．（2）连接AD、AC，正五边形分割出的三个三角形全等，再由托勒密定理即可求出． 【详解】（1）已知：如图1，四边形ABCD内接于，求证：， 证明：如图2，作，交BD于点E， ∵∴，∴∴．∵∴． ∵∴即，∴∴，∴． （2）在图3中，连接AD、AC．∵五边形ABCDE是正五边形∴∴设． 在圆内接四边形ABCD中，由托勒密定理可得： 即，解得，（舍去）∴对角线BD的长为． 【点睛】本题考查了圆和四边形的性质，解题的关键在于理解题意，明确同弧所对的圆周角相等即可证明． 阿基米德折弦定理问题 ⭐技巧积累与运用 折弦:从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦。 一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点。 条件：如图1所示，AB和BC是⊙O的两条弦(即ABC是圆的一条折弦)，BC>AB，M是 的中点，则从M向BC所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点，结论：CD=AB+BD。 1．（2023·广东九年级期中）如图，AB和BC是的两条弦（即ABC是圆的一条折弦），，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，若，，则CD的长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作辅助线在CD上截取DG=BD，连接BM，MC，MA，使AB和CG在△MBA和△MGC中，通过证明△MBA≌△MGC（SAS），得出CD=AB+BD； 【详解】解：如图，在CD上截取DG=BD，连接BM，MC，MA，AC； ∵BD=DG，MD⊥BG，∴MB=MG，∠MBG=∠MGB，∵M是的中点，∴∠MAC=∠MCA，∴MA=MC， ∵∠CMG＋∠MCG=∠MGB=∠MBG=∠MAC=∠MCA=∠ACB＋∠MCG，∴∠CMG=∠ACB=∠AMB， ∵MB=MG，MA=MC，∠BMA=∠GMC，∴△MBA≌△MGC（SAS）， ∴BA=GC，CD=AB+BD=，故选：D． 【点睛】本题考查圆周角定理，全等三角形性质和判定，等腰三角形的性质和判定；熟练掌握圆周角定理及其推论：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键． 2．（2024·河南洛阳·校考二模）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 阿基米德折弦定理：阿基米德（Archimedes，公元前287~公元212年，古希腊是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子． 阿拉伯Al-Biruni（973年-1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Biruni译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理． 阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，是的中点，则从点向所作垂线的垂足是折弦的中点，即， 下面是运用“补短法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，延长到点F，使得，连接DA，DB，DC和DF． ∵是的中点∴… 任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分：（2）填空：如图3，已知等边内接于，，为上一点，．于点，则的周长是______． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）根据题意证明，得，再证明得。进一步可得结论；（2）在BD上截取BF=CD，连接AF，AD，结合已知即可证明△ABF≌△ACD，可得AF=AD，再根据等腰三角形的性质可得CD+DE=BE，进而由求出BE的长，再求的周长即可． 【详解】解：（1）证明：∵是的中点∴ ∵，AE=CF∴∴ 在和中 ∴ ∴∴ （2）如图，在BD上截取BF=CD，连接AF，AD， 根据题意得，AB=AC，,在△ABF和△ACD中， ∴△ABF≌△ACD∴AF=AD ∵AE⊥BD∴FE=DE∴CD+DE=BF+FE=BE ∵ ∴ ∴BD+CD=2BE= ∵是等边三角形，且AB=BC=6∴的周长为： 故答案为： 【点睛】此题主要考查了圆的有关知识的综合运用，涉及了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质的知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来． 3．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）【了解概念】我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段、组成折线段．若点在折线段上，，则称点是折线段的中点． (1)如图2，的半径为2，是的切线，为切点，点是折线段的中点．若，则　　； (2)【定理证明】阿基米德折弦定理：如图3，和是的两条弦（即折线段是圆的一条折弦），，点是的中点，从向作垂线，垂足为，求证：是折弦的中点； 【变式探究】(3)如图4，若点是的中点，【定理证明】中的其他条件不变，则、、之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论． 【灵活应用】(4)如图5，是的直径，点为上一定点，点为上一动点，且满足，若，，则　　． 【答案】(1)3(2)见解析(3)(4)或 【分析】（1）根据角所对的直角边等于斜边的一半，求出，再由所给的定义求出的长即可； （2）在上截取，连接、、、，可证明，得到，再由垂径定理得到，则有，即可证明是折弦的中点；（3）仿照（2）的方法，在上截取，连接、、、，证明，可得到； （4）分两种情况讨论：当点在上时，过点作交于点，由，求出，再由勾股定理求出；当点在上时，如图6，，过点作交于点，由，求出，再由勾股定理求出． 【详解】（1）解：是的切线，为切点，，， ，，，，是折线段的中点，，故答案为：3； （2）证明：在上截取，连接、、、， 点是的中点，，，（SAS），， ，，，是折弦的中点； （3）解：，理由如下： 如图，在上截取，连接、、、，点是的中点，， ，（SAS），，， ，，； （4）解：是的直径，，，，，当点在上时，如图， ，，过点作交于点， ，，； 当点在上时，如图，，过点作交于点， ，，；综上所述：的长为或，故答案为：或． 【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，垂径定理，三角形全等的判定及性质，理解阿基米德折弦定理是解题的关键． 婆罗摩笈多定理 ⭐技巧积累与运用 婆罗摩笈多定理：如果一个圆内接四边形（即对角互补的四边形）的对角线互相垂直且相交，那么从交点向某一边所引垂线的反向延长线必经过这条边对边的中点（反之亦能成立）。 1．（2024·河南·校考一模）阅读下列相关材料，并完成相应的任务． 婆罗摩笈多是古印度著名的数学家、天文学家，他编著了《婆罗摩修正体系》，曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，也称“布拉美古塔定理”． 定理的内容是：“若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边”． 按图写出这个定理的已知和求证，并完成这个定理的证明过程； 已知：________________________________________________________________________________， 求证：________________________________________________________________________________， 证明：________________________________________________________________________________． 【答案】见解析 【分析】由AC⊥BD，EF⊥AB，即可得出∠BMF＝∠MAF，进而证得∠EDM＝∠EMD，得出DE＝ME，同理可证ME＝CE，即可证得结论． 【详解】解：已知：如图，在圆内接四边形ABCD中，对角线AC⊥BD于点M，过点M作AB的垂线分别交AB、DC于点F，E． 求证：点E是DC的中点． 证明：∵AC⊥BD，EF⊥AB， ∴∠BMF＋∠AMF＝90°，∠MAF＋∠AMF＝90°，∴∠BMF＝∠MAF， ∵∠EDM＝∠MAF，∠EMD＝∠BMF，∴∠EDM＝∠EMD，∴DE＝ME，同理可证ME＝CE， ∴DE＝CE，∴点E是DC的中点．点E是DC的中点． ∵AC⊥BD，EF⊥AB，∴∠BMF＋∠AMF＝90°，∠MAF＋∠AMF＝90°， ∴∠BMF＝∠MAF，∵∠EDM＝∠MAF，∠EMD＝∠BMF， ∴∠EDM＝∠EMD，∴DE＝ME，同理可证ME＝CE，∴DE＝CE； 【点睛】本题考查圆的综合问题，同弧所对的圆周角相等，对顶角相等，等角的余角相等，掌握以上知识是解题的关键． 2．（2024·重庆·校考一模）婆罗摩笈多（Brahmagupta）是古代印度著名数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算术运算规则、二次方程等方面均有建树，他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“古拉美古塔定理”，该定理的内容及部分证明过程如下： 古拉美古塔定理：如图①，四边形ABCD内接于，对角线，垂足为点M，直线，垂足为点E，并且交直线AD于点F．则． 证明：∵，，∴， ∴，，∴，∵，∴． 又∵，∴，∴．… 任务：(1)将上述证明过程补充完整；(2)古拉美古塔定理的逆命题：如图②，四边形ABCD内接于，对角线，垂足为点M，直线FM交BC于点E，交AD于点F．若，则．请证明该命题． 【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析 【分析】（1）可推出∠DMF＝∠ADM，进而得证； （2）先推出FM＝AF＝FD，进而可推出∠CBD+∠BME＝90°即可得证． 【详解】（1）在Rt△ADM中，∠ADM＝90°， ∴∠DMF＝90°﹣∠AMF，∠ADM＝90°﹣∠CAD， 又∠AMF＝∠CAD，∴∠DMF＝∠ADM，∴FM＝FD，∴AF＝FD （2）在Rt△AMD中，AF＝FD，∴FM＝AF＝FD，∴∠MAD＝∠AMF，∠ADM＝∠FMD， ∵，∴∠MAD＝∠CBD，∵∠BME＝∠FMD，∴∠BME＝∠ADM， ∴∠CBD+∠BME＝∠MAD+∠ADM＝90°，∴∠BEM＝90°，∴FE⊥BC． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，圆周角定理及等腰三角形的判定和性质，解决问题的关键是熟练掌握相关图形的性质和判定． 内切圆与外接圆问题 1．（2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）如图，点是的内心，，，，，则的半径为 ．    【答案】 【分析】过O作交于E，设，在和中，运用勾股定理即可解答； 【详解】过O作交于E，设 点是的内心，，，    在中，由勾股定理可得： 在中，由勾股定理可得： 故解得故故答案为 【点睛】该题考查了角平分线的性质，勾股定理，圆的基本性质，解答该题的关键是掌握该部分知识点． 2．（2024·山东·模拟预测）如图，在直线l：上取一点，使．过点作，交x轴于点；在直线l：上找一点，使，过点作，交x轴于点；在直线l：上找一点，使……以此类推．若的内切圆圆心为，的内切圆圆心为，的内切圆圆心为……以此类推，的内切圆圆心的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据直线l：，可得，做于点，于点，于点，设半径为，根据内接圆的性质和角平分线的性质易求得的值，从而得到的坐标，再根据以及内角度数易证和为等边三角形，从而可得与的相似比为，进而可得的坐标是的坐标的两倍，同理的坐标是的坐标的两倍，即可得出的内切圆圆心的坐标． 【详解】解：直线l：，，，，， 的内切圆圆心为，在的角平分线上， 如图，做于点，于点，于点，设半径为， 由作图可得四边形为正方形，，， ，解得：，，的坐标为， ，，，，， ，，，，为等边三角形， ，与的相似比为， 又的内切圆圆心为，的内切圆圆心为，连接，，，， 在的角平分线上，即，都在的角平分线上， ，，， ，则同理可得横、纵坐标的相似比，的坐标为， 同理：的坐标为，的坐标为， 的内切圆圆心的坐标为，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了内接圆的性质，相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，角平分线的性质，一次函数的应用，解题的关键是理解运用角平分线的性质和相似三角形的性质与判定． 3．（2024·山东济宁·二模）【初步感知】 （1）如图1，点A，B，P均在上，若，则锐角的大小为______度； 【深入探究】（2）如图2，小明遇到这样一个问题：是等边三角形的外接圆，点P在上（点P不与点A，C重合），连接，，．求证：；小明发现，延长至点E，使，连接，通过证明．可推得是等边三角形，进而得证.请根据小明的分析思路完成证明过程． 【启发应用】（3）如图3，是的外接圆，，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连接，，，若，则的值为_____． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可直接得出答案；（2）延长至点E，使，连接，根据圆内接四边形的性质得出，再证，推出，，进而证明是等边三角形，可得；（3）延长至点E，使，连接，通过证明，可推得是等腰直角三角形，结合与可得，代入即可求解． 【详解】解：（1），故答案为：； （2）证明过程如下：如图，延长至点E，使，连接，    四边形是的内接四边形，，是等边三角形，， 在和中，，， ，，， 是等边三角形，，即； （3）如图，延长至点E，使，连接，  四边形是的内接四边形，， 在和中，，， ，，， 是等腰直角三角形，，， ，， ，，， ，故答案为：． 【点睛】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形、等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形；解题的关键是做辅助线构造，进行转换求解． 1．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，连接，，，，，则阴影部分的面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理、三角形内切圆、面积法求内切圆半径、扇形面积等知识点，求出内切圆半径是解题的关键． 连结、、，，设半径为，利用面积公式求出内切圆半径，，再说明四边形是正方形，再根据求解即可． 【详解】解：如图：连接、、，，设半径为，    ，，，， 的内切圆与，，分别相切于点，，， ，，，且， ，四边形是正方形，， ， ，．故选：C． 2．（2023·安徽合肥·统考三模）如图，是半圆的直径，是弦，点是的中点，点是的中点，连接、分别交于点和点，连接，则下列结论中错误的是（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂径定理可证选项；根据垂径地理，中位线的性质可证选项；根据圆周角的性质可证，由此即可求解． 【详解】解：点是弧的中点，是半径，，∴正确；连接交于，           点是弧的中点，，，，是的中位线， ，即，且，∴错误，正确； 连接，点是弧的中点，，， ，，∴正确．故选：． 【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握圆的基础知识，相似三角形的判定和性质，垂径定理，中位线的性质等知识是解题的关键． 3．（2023·山西临汾·九年级统考期末）如图在四边形中，，若，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据题意得到点A，B，C，D四点共圆，然后证明出，进而得到，然后利用直角三角形的性质得到，进而求解即可． 【详解】如图所示，∵ ∴点A，B，C，D四点共圆，    ∵∴∵∴∴ ∵，∴ ∴∴．故选：D． 【点睛】此题考查了四点共圆，同弧所对的圆周角相等，相似三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 4．（2024·广东深圳·三模）如图，中，，，，以点C为顶点在外部作，连接，若，则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查判断圆的内接四边形的性质和相似三角形的判定和性质，根据已知求得，即可判定A、B、C和D四点共圆，且以中点为圆心，连接，求得，，进一步可证明，有，设，则，求得x和y，再证明，有，即可求得． 【详解】解：∵，，∴，∴， ∵，∴A、B、C和D四点共圆，且以中点为圆心，连接，如图， ∵，，，∴，， ∵，∴， ∴，设，则， 则，解得，∵，∴， ∴，即，解得，故选：A． 5．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，为的直径，将沿翻折，翻折后的弧交于D．若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．8 D．10 【答案】C 【分析】连结AC，DC，过点C作CE⊥AB与E，点D关于BC的对称点D′，连结CD′，BD，设AC=x，根据直径时圆周角性质得出∠ACB=90°，利用三角函数求出，然后利用勾股定理构建方程，即，求出，，利用面积桥求出斜边上高CE与AE，根据BC为折痕，点D与点D′对称，得出∠ABC=∠D′BC， ，可得AC=CD，利用等腰三角形性质求出AE=DE=2，利用弓形AC=弓形DC进行面积转化求即即可． 【详解】解：连接AC，DC，过点C作CE⊥AB与E，点D关于BC的对称点D′，连接CD′，BD′ 设AC=x，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∵，∴， ∴，即，解得，， ∴，∴，∴AE=， ∵BC为折痕，点D与点D′对称，∴∠ABC=∠D′BC，，∴，∴AC=CD， ∵CE⊥AD，∴AE=DE=2，AD=4，∴弓形AC=弓形DC，∴S阴影=S△ACD=．故选：C． 【点睛】本题考查圆周角的性质综合，折叠性质，等腰三角形三线合一性质，不规则图形的面积，掌握圆周角的性质综合，折叠性质，等腰三角形三线合一性质，不规则图形的面积是解题关键． 6．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）“托勒密定理”由依巴谷提出，其指出圆的内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．如图，中有圆内接四边形，已知，，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据同弧所对的圆周角相等可得，在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而求出的长，再在中，利用勾股定理求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而在中，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，最后利用托勒密定理，进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，    ，， 在中，，，， ，，在中，， 在中，，， 在中，，， 四边形是的内接四边形，， ，解得：，故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 7．（2023春·河南·九年级专题练习）如图，切于点A，是的割线，若，则 ．    【答案】 【分析】连接，连接并延长交于点D，连接，利用余角的性质证明，推出，进而得到，利用等式即可求出． 【详解】解：连接，连接并延长交于点D，连接，    ∵切于点A，∴，∴， ∵为的直径，∴，∴，∴ 又∵，∴，∴，∴， 而，∴，∴（负值舍去）．故填空答案：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，圆的切线的性质定理，圆周角定理，正确利用定理是解决本题的关键． 8．（2023·江苏无锡·九年级校考阶段练习）已知等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，则它的外接圆半径R＝ ，内切圆半径r＝ ． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质得出内心和外心都在底边的高AD上，根据勾股定理得出方程，即可求出外接圆的半径，根据三角形的面积公式即可求出内切圆的半径． 【详解】解：如图， ∵在△ABC中，AB=AC=10，BC=16， ∴过A作AD⊥BC于D，则外接圆的圆心O在AD上，连接OB、OC， ∴BD=CD=BC=8，AD==6，∵在Rt△OBD中，由勾股定理得：OB2=OD2+BD2， ∴R2=（6-R）2+82，∴R=；如图，过A作AD⊥BC于D，∵△ABC中，AB=AC， ∴△ABC的外心I在AD上，过I作IE⊥AC于E，IF⊥AB于F，连接OA、OB、OC， 则IF=IE=ID=r，∵S△ABC=S△BIC+S△AIC+S△ABI， ∴由三角形的面积公式得：BC×AD=BC×r+AC×r+AB×r，∴16×6=16r+10r+10r，∴r=， 即三角形ABC的外接圆半径R=，内切圆半径r=，故答案为：，． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，三角形的外接圆和内切圆等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 9．（2023·浙江绍兴·模拟预测）四边形内接于圆，对角线交点为E，，若、都是整数，则的值为 ． 【答案】3或4 【分析】证明△ABD∽△AEB，求出AD，从而得到DE，再证明△AEC∽△BED，得到BE·CE=12，根据BE，CE都是整数可得所有可能的取值，再根据三角形三边关系可得BE，CE都是整数，从而得到DE的取值． 【详解】解：∵AB=AC=4，AE=2，∴∠ADB=∠ADC， ∵∠ABC=∠ADC，∴∠ADB=∠ABC，又∠BAD=∠BAE， ∴△ABD∽△AEB， ∴，即，∴AD=8，∴DE=6， ∵∠CAE=∠DBE，∠ACE=∠BDE，∴△AEC∽△BED， ∴，即，∴BE·CE=12，∵BE，CE都是整数， 则BE和CE可取的值为3，4或2，6或1，12； ∵AB=AC=4，∴BC＜AB+AC=8，∴BC=3+4=7， ∴BE的值为3或4，故答案为：3或4． 【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，以及三角形三边关系，解题的关键是找出适当的相似三角形得到线段关系． 10．（2023春·河南洛阳·统考一模）我们知道，直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离．当直线与圆有两个公共点（即直线与圆相交）时，这条直线就叫做圆的割线．割线也有一些相关的定理．比如，割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等．下面给出了不完整的定理“证明一”，请补充完整． 已知：如图①，过外一点作的两条割线，一条交于、点，另一条交于、点． 求证：． 证明一：连接、，∵和为所对的圆周角，∴______． 又∵，∴______，∴______．即． 研究后发现，如图②，如果连接、，即可得到学习过的圆内接四边形．那么或许割线定理也可以用圆内接四边形的性质来证明．请根据提示，独立完成证明二． 证明二：连接、， 【答案】证明一：，∽，；证明二见解析 【分析】（1）证明∽即可得到结论； （2）根据圆内接四边形的性质可得，进一步证明∽ 【详解】解：证明一：连接、，∵和为所对的圆周角，∴． 又∵，∴∽，∴．即． 故答案为：，∽，， 证明二：连接、，∵四边形为圆内接四边形，∴， 又∵，∴， 又∵，∴∽，∴，即． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 11．（2023·河北·统考中考真题）装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆，，如图1和图2所示，为水面截线，为台面截线，． 计算：在图1中，已知，作于点．（1）求的长． 操作：将图1中的水面沿向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当时停止滚动，如图2．其中，半圆的中点为，与半圆的切点为，连接交于点．    探究：在图2中（2）操作后水面高度下降了多少？ （3）连接OQ并延长交GH于点F，求线段与的长度，并比较大小． 【答案】（1）；（2）；（3），，． 【分析】（1）连接，利用垂径定理计算即可；（2）由切线的性质证明进而得到，利用锐角三角函数求，再与（1）中相减即可；（3）由半圆的中点为得到，得到分别求出线段与的长度，再相减比较即可． 【详解】解：（1）连接， ∵为圆心，于点，，∴， ∵，∴， ∴在中，．    （2）∵与半圆的切点为，∴∵∴于点， ∵，，∴， ∴操作后水面高度下降高度为：． （3）∵于点，∴， ∵半圆的中点为，∴，∴，∴， ∴，， ∵，∴． 【点睛】本题考查了垂径定理、圆的切线的性质、求弧长和解直角三角形的知识，解答过程中根据相关性质构造直角三角形是解题关键． 12．（2024·山西·模拟预测）阅读与思考 请阅读以下材料并完成相应的任务． 伟大的古希腊数学家、哲学家、物理学家阿基米德提出了有关圆的一个引理．这个引理的作图步骤如下： ①如图，已知，C是弦上一点，作线段的垂直平分线，分别交于点D，于点E，连接． ②以点D为圆心，的长为半径作弧，交于点F（F，A两点不重合），连接． 引理的结论：． (1)任务一：用尺规完成材料中的作图，保留作图痕迹，并标明字母． (2)任务二：请你完成引理结论的证明过程． 【答案】(1)图见解析；(2)证明见解析． 【分析】（1）根据线段和线段垂直平分线的尺规作图方法结合题意作图即可； （2）先由线段垂直平分线的性质得到，则由等边对等角得到，再由圆内接四边形对角互补和平角的定义得到，再根据弦与圆周角的关系推出，则可证明，得到． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：垂直且平分，，． ，． ，，，． 【点睛】本题主要考查了线段和线段垂直平分线的尺规作图，圆内接四边形的性质，弦与圆周角之间的关系，全等三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键. 1．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）克罗狄斯·托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论．如图，四边形内接于半径为的圆，，，，则四边形的周长为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了圆内接四边形，圆周角定理，勾股定理，角所对直角边是斜边的一半和托勒密定理，连接，，过作交延长线于点，过作于点，作圆的直径，连接，根据知识求出，，，再根据托勒密定理求解即可，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，连接，，过作交延长线于点，过作于点，作圆的直径，连接，    ∴，，， ∵，，∴，， ∴，∴，∴， 在中，由勾股定理得，∴， ∵，，，∴，∴， 在中，由勾股定理得，∴， 在中，，∴，由托勒密定理得：， ∴，∴， ∴四边形的周长为，故选：． 2．（2024·浙江·模拟预测）如图，I 为的内心，线段的延长线交的外接四于D， 设 的外接圆半径为5，内切圆半径为2，则（   ） A．20 B．21 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的内心和三角形的外接圆，相似三角形的判定与性质等知识，连接，作于E，记外接圆圆心为，连接交圆O于F，连接，先证明，再证明，得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：连接，作于E，记外接圆圆心为，连接交圆O于F，连接，如图： ∵I为的内心，∵平分，∴， 又∵I为的内心，∴，∴，∴， ∵，∴，∵为直径，∴． ∵，∴，， ∴，即，故选：A． 3．（2023·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，在四边形 中，， 是 的中点， 是 的中点，若 ，，，则 的长为（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，，根据且为中点，求证是等腰三角形，再利用等腰三角形的高，中线，角平分线三线合一的性质得到，根据圆周角定理得到，求得，，于是得出结论． 【详解】连接，，如图，        ∵且为中点，∴，，∴， ∵为中点，∴，∵∠，∴，，，四点共圆， ∵，，∴，∴， ∴，∴，在中，，， ∴，∴，由勾股定理得：， ∴，∴，故选：． 【点睛】此题主要考查圆内接四边形，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等腰三角形的性质等知识点，解答此题的关键是添加辅助线构造特殊三角形，求出线段． 4．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图， 将上的沿弦翻折交半径于点D， 再将沿 翻折交于点E， 连接. 若， 则 的值 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查折叠的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理及弧，弦，圆心角之间的关系，勾股定理．连接、、，作于F，设，则，，，先利用折叠的性质和圆周角定理得到 ，再利用弧、弦、圆心角的关系得到，然后利用勾股定理计算出，接着再计算出即可． 【详解】解：连接、、，作于F，如图所示， 设，则，，∴， ∵上的沿弦翻折交半径于点D，再将沿 翻折交于点E， ∴为等圆中的弧，∵它们所对的圆周角为，∴， ∴，∴，∴， 在中，， 在中，， ，∴．故答案为：． 5．（2024·河南新乡·模拟预测）阅读下列材料，完成相应的任务． 婆罗摩笈多定理：如图，四边形内接于，对角线，垂足为M，如果直线，垂足为E，并且交边于点F，那么． 证明：∵，，∴，．∴． 又∵① ，（同弧所对的圆周角相等） ， ∴． ∴② ．… 任务：(1)材料中①处缺少的条件为______，②处缺少的条件为______； (2)根据材料，应用婆罗摩笈多定理解决下面试题： 如图，已知中，，，分别交于点D，E，连接交于点P．过点P作，分别交于点M，N．若，求的长． 【答案】(1)①；②(2)1 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边的性质，关键是能熟练应用圆的有关性质，掌握相应角的定义和计算是关键．（1）根据圆周角定理和等角对等边的性质可得结论；（2）应用（1）的结论，圆内接四边形的性质，可求解．． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，．∴． 又∵，（同弧所对的圆周角相等）， ∴．∴．…故答案为：①；②； （2）解：四边形是内接四边形，， ，，即， ，，，，． 6．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）综合与实践 “善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． 提出问题：如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接，如果，那么A，B，C，D四点在同一个圆上． 探究展示：求证：点A，B，C，D四点在同一个圆上 如图2，作经过点A，C，D的，在劣弧上取一点E（不与A，C重合），连接，，则． (1)请完善探究展示;(2)如图3，在四边形中，，则∠4的度数为 ． (3)拓展探究：如图4，已知是等腰三角形，，点D在上（不与的中点重合），连接．作点C关于的对称点E，连接并延长交的延长线于F，连接．①求证：A，D，B，E四点共圆；②若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由 【答案】(1)圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆(2)45° (3)①见解析；②的值不会发生变化，值为8 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质、过三点的圆解答即可；（2）根据四点共圆、圆周角定理解答； （3）①根据轴对称的性质得到，，，，进而得到，证明结论；②连接，证明，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 【详解】（1）解：如图2，作经过点A，C，D的，在劣弧AC上取一点E（不与A，C重合），连接，，则， ∵，∴， ∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）， ∴点B，D在点A，C，E所确定的上，∴点A，B，C，D四点在同一个圆上； （2）解：∵，∴点四点在同一个圆上，∴， ∵，∴，故答案为：； （3）①证明：∵，∴， ∵点与点关于的对称，∴，， ∴，，∴， ∴，∴A，D，B，E四点共圆； ②解：的值不会发生变化，理由如下：如图4，连接， ∵点与点关于的对称，∴，∴，∴， ∵A，D，B，E四点共圆，∴，∴， ∴A，B，F，C四点共圆，∴， ∵，∴，∴，∴． 【点睛】本题考查的是四点共圆、相似三角形的判定和性质、轴对称的性质，正确理解四点共圆的条件是解题的关键． 7．（2023春·山西大同·九年级校联考期中）阅读与思考 阅读下面内容并完成任务：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角． 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 如图1，直线与相切于点，为的弦，叫弦切角，叫做弦切角所夹的弧，是所对的圆周角，为直径时，很容易证明． 小华同学认为这是一种特殊情况，若不是直径会如何呢？即在图2中吗？她连接并延长，交于点，连接…问题得到了解决． 小颖同学利用图3证明了当弦切角为直角时，弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 小亮积极思考，提出当弦切角为钝角时，能证明（如图4）吗？ 任务：(1)请按照小华的思路，利用图2证明； (2)结合小华、小颖的思路或结论，利用图4解答小亮提出的问题； (3)写出在上面解决问题的过程中体现的数学思想：______（写出两种）； (4)解决问题：如图5，点为的弦延长线上一点，切于点，连接，，，，则______° 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)转化思想和类比思想(4) 【分析】（1）连接并延长，交于点，连接，则，根据是的直径，可得，再根据切线的性质可得，即可； （2）连接并延长，交于点，连接，根据是的直径，可得，再根据切线的性质可得，从而得到，再由圆内接四边形的性质，可得，即可；（3）上面解决问题的过程中体现的数学思想为：转化思想和类比思想； （4）接并延长，交于点，连接，则，证明，即可． 【详解】（1）证明：连接并延长，交于点，连接，则， ∵是的直径，∴，∴， ∵直线与相切于点，∴， ∴，∴，∴； （2）证明：连接并延长，交于点，连接， ∵是的直径，∴，∴， ∵直线与相切于点，∴， ∴，∴， ∵四边形是的内接四边形，∴， ∵，∴； （3）解：上面解决问题的过程中体现的数学思想为：转化思想和类比思想； 故答案为：思想转化思想和类比思想 （4）解：如图，接并延长，交于点，连接，则， ∵是的直径，∴，∴， ∵直线与相切于点，∴，∴，∴，∴， ∵，，∴．故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的性质，圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理，切线的性质，圆内接四边形的性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$