第04讲 整式方程与分式方程（3个知识点+6种题型+分层练习）- 2025年八年级数学寒假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第04讲 整式方程与分式方程（3个知识点+6种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．高次方程 （1）高次方程的定义：整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程． （2）高次方程的解法思想： 通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解． 对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式（即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解），这称为阿贝尔定理． 换句话说，只有三次和四次的高次方程可用根式求解． 知识点2．分式方程的增根 （1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． （2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根． （3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 知识点3．含字母系数的一元一次方程 一、含有字母系数的一元一次方程的定义 ax＝b（a≠0）中对于未知数x来说a是x的系数，叫做字母系数，字母b是常数项，这个方程就是一个含有字母系数的一元一次方程，今天我们就主要研究这样的方程． 二、含有字母系数的一元一次方程的解法 ax＝b（a≠0）是一元一次方程，而 a、b 是已知数，就可以当成数看，就像解一般的一元一次方程一样． 三、含有字母函数的一元一次方程和过去学过的一元一次方程的解法的区别和联系． 含有字母系数的一元一次方程的解法和学过的含有数字系数的一元一次方程的解法相同．（即仍需要采用去分母、去括号、移项、合并同类项、方程两边同除以未知数的系数等步骤） 特别注意：用含有字母的式子去乘或者除方程的两边，这个式子的值不能为零． 题型强化 题型一、一元整式方程 1．（22-23八年级下·上海浦东新·阶段练习）下列方程中，是关于的一元三次方程的是（　　） A． B． C． D．（为非零常数） 【答案】D 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】根据一元三次方程的定义：一个未知数，含未知数的项的最高次数为3的整式方程，进行判断即可． 【详解】解：A．，整理，得：，当为负数时，不是一元三次方程，不符合题意； B．不是整式方程，不符合题意； C．，整理得：，没有3次项，不符合题意； D．（为非零常数）整理，得：（为非零常数），是一元三次方程，符合题意； 故选． 【点睛】本题考查一元三次方程的识别．熟练掌握一元三次方程的定义，是解题的关键． 2．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）关于x的方程的解是 ． 【答案】 【知识点】一元一次方程解的综合应用 【分析】由，在方程两边都除以即可得到方程的解. 【详解】解：∵， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查的是含参数的一元一次方程的解法，掌握解参数方程的方法是解题的关键. 3．（21-22八年级下·上海奉贤·期中）解关于x的方程： 【答案】 【知识点】一元一次方程解的综合应用 【分析】方程两边都除以b，再移项即可得出答案． 【详解】解：去括号，得bx-3b=4， 移项，得bx=3b +4， 由题意知b≠0， ∴方程两边同除以b得，， 方程的解为． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，把b看作已知数是解题的关键． 题型二、二项方程 4．（21-22八年级下·上海杨浦·阶段练习）已知关于x的方程没有实数根，那么a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二项方程 【分析】本题考查整式方程无解问题，根据二项方程无解，则未知数的系数为0，进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程没有实数根， ∴， ∴； 故选C． 5．（23-24八年级下·上海浦东新·期中）已知关于x的方程是二项方程，那么 ． 【答案】0 【知识点】二项方程 【分析】本题主要考查了二项方程的定义，根据关于x的方程是二项方程，即不含这一项，可得． 【详解】解：∵关于x的方程是二项方程， ∴． 故答案为：0． 6．（22-23八年级下·上海·期末）解关于的方程： 【答案】见解析 【知识点】二项方程 【分析】此题考查解二项方程，正确掌握二项方程的解法是解题的关键． 【详解】解： ， 当时，； 当时，； 当时，方程无解． 题型三、解分式方程 7．（23-24八年级下·上海青浦·期末）用换元法解分式方程时，如果设，并将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解分式方程 【分析】此题考查了分式方程，把原方程变为，把代入后整理即可得到答案. 【详解】解： 由得，， 设， 可化为，， ∴ ∴ 故选：D 8．（23-24八年级下·上海金山·阶段练习）用换元法解分式方程时，如果设将原方程化为关于的整式方程，那么这个整式方程是 ． 【答案】 【知识点】解分式方程 【分析】本题考查了换元法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，体现了整体思想．设，则，进而将原方程变为，再去分母即可． 【详解】解：设，则， 原方程可变为：， 两边都乘以得，， 故答案为：． 9．（23-24八年级下·上海·单元测试）解方程：． 【答案】 【知识点】解分式方程、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，解分式方程时，先去分母，再移项合并同类项，系数化1，注意要验根，即可作答． 【详解】解： ∴ 经检验：是原分式方程的解，不是原分式方程的解， ∴ 题型四、分式方程无解问题 10．（八年级下·上海松江·期中）下列方程中，在实数范围内有解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、分式方程无解问题 【分析】根据分式方程分母不能为零判定A，根据二次根式的性质判断B，根据立方根求解C，根据根的判别式判定D. 【详解】解：A.求解方程得x=1，经检验x=1为分式方程的增根，故原方程无解； B.，得，故原方程无解； C.求解得x=﹣1，故原方程有解； D. ，△＝（﹣1）2﹣4×1×1＝﹣3＜0，故原方程无解. 故选C. 【点睛】本题主要考查分式方程无解，二次根式的性质，一元二次方程根的判别式等，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 11．（23-24八年级下·上海浦东新·期中）如果方程有增根，那么m的值等于 ． 【答案】1 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：. ①让最简公分母为0确定增根；. ②化分式方程为整式方程；. ③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出m的值． 【详解】方程两边都乘，得， ∵原方程有增根，. ∴最简公分母，解得，. 当时，．. 故答案为1. 12．（23-24八年级下·上海浦东新·期中）当m取什么值时，方程无实数解． 【答案】或 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程的解，一元二次方程根的判别式，掌握方程和不等式的解法是解答本题的关键. 把分式方程化为整式方程，根据分式方程无解，得出m的取值范围即可． 【详解】解：， 方程去分母得：， 整理得：， ∵方程无实数解， ∴， 解得：； 当，时分式方程无意义， 把代入得， 把代入得； 综上分析可知：当或时方程无实数解. 题型五、分式方程的实际应用 13．（23-24八年级下·上海·阶段练习）某学生计划每天平均看书若干页，则在预定日期可看完300页的书，读了15天后，改变计划每天多读6页，结果比预定日期提前2天读完，设该学生原计划每天读x页，则可列方程： ． 【答案】 【知识点】分式方程的实际应用 【分析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是找出合适的等量关系，列出方程．设他原计划平均每天读x页书，则他需要天读完，根据改变计划后结果比预定日期提前2天读完可列出关于x的方程． 【详解】解：设他原计划平均每天读x页书，根据题意得： ， 故答案为：． 14．（22-23八年级下·上海静安·期末）某公司先从甲地用9000元购买了一批商品，后发现乙地同一商品每件比甲地便宜，因此又用12000元从乙地补购了一批同样的商品．公司按每件200元售完这两批商品后，共赚了11000元． (1)设该公司从甲地购进x件商品，请用含字母x的代数式表示从乙地购进的商品件数是______； (2)如果乙地同一商品每件比甲地便宜30元，求该公司分别从甲乙两地购进这种商品各多少件． 【答案】(1) (2)该公司从甲地购进这种商品60件商品，从乙地购进这种商品100件． 【知识点】分式方程的实际应用 【分析】（1）设从乙地购进的商品件数是y件，依题意得，据此即可求解； （2）根据“乙地同一商品每件比甲地便宜30元”列分式方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：设从乙地购进的商品件数是y件， 依题意得， 整理得， ∴， 故答案为：； （2）解：根据题意得， 解得或， 经检验，或都是分式方程的解，但不符合题意，舍去， ∴，， 答：该公司从甲地购进这种商品60件商品，从乙地购进这种商品100件． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．注意不要忘记检验． 题型六、根据分式方程解的情况求值 15．（八年级下·上海徐汇·阶段练习）若分式方程有增根，则的值是（    ） A．3 B．-3 C．2 D．0 【答案】A 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】根据分式方程的解法，去分母后将x=3代入即可求出a的值． 【详解】解：去分母得：， ∵分式方程有增根， ∴x=3， 代入中得： 故答案为：A． 【点睛】本题考查了分式方程的增根，解题的关键是熟知分式方程的增根是分式方程无意义时x的值． 16．（21-22八年级下·上海·阶段练习）若关于的分式方程有增根，则的值为 【答案】 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查分式方程有增根的问题，去分母将方程转化为整式方程，将代入整式方程，进行求解即可． 【详解】解：方程去分母，得：， ∵方程有增根， ∴把代入，得：， 解得：； 故答案为：1． 17．（22-23八年级下·上海浦东新·阶段练习）若关于的方程只有一个根，求的值，并直接写出对应的原方程的根． 【答案】当时，；当时，；当时， 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、根据分式方程解的情况求值 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有且仅有一个实数根，分情况讨论，即可确定出k的值即可． 【详解】解： 方程两边同时乘以得：． 整理得：． ∴． ∵原方程只有一个实数根， ∴ ． 即． 解得：． 当时，原方程的根为：． 若整式方程中的，则增根为或， 当时，代入方程可得，， 此时方程，解得：（舍去） 当时，代入方程可得，， 此时方程为，解得：（舍去） 综上所述，当时，；当时，；当时，． 【点睛】本题考查了分式方程含参问题、一元二次方程根的情况，熟练掌握分式方程的计算方法和一元二次方程根的判别式当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，是解题的关键． 分层练习 一、单选题 1．分式方程的解为（ ） A． B． C． D．无解 【答案】B 【详解】解： 两边同乘得： 经检验：是原分式方程的解 故选：B 2．已知公式u＝（u≠0），则公式变形后t等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解分式方程 【分析】先两边都乘以t﹣1，再将左边的﹣u移到右边，最后两边都除以u即可得． 【详解】解：∵u＝（u≠0）， ∴ut﹣u＝S1﹣S2， ∴ut＝S1﹣S2+u， ∵u≠0， 则t＝， 故选择：B． 【点睛】本题主要考查分式的方程的解法，解题的关键是熟练掌握分式方程的解法与步骤． 3．已知p、q为方程的两根，则代数式的值为（ ）. A．16 B．±4 C．4 D．5 【答案】C 【详解】试题分析：根据根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．先根据根与系数的关系得到p+q=2，pq=﹣2，再利用完全平方根式变形得到=，然后利用整体代入：===4．故选C． 考点：根与系数的关系． 4．下列说法中，正确的是(    ) A．方程5x＝－4的解是x＝－ B．把方程5－3x＝2－x移项，得3x＋x＝5－2 C．把方程2－3(x－5)＝2x去括号，得2－3x－5＝2x D．方程18－2x＝3＋2x的解是x＝ 【答案】D 【分析】各项方程变形得到结果，即可作出判断． 【详解】A、方程5x＝－4，同除以5，得x=-，不符合题意； B. 把方程5－3x＝2－x移项，得-3x＋x＝－5+2，不符合题意； C. 把方程2－3(x－5)＝2x去括号，得2－3x+15＝2x，不符合题意； D. 方程18－2x＝3＋2x的解是x＝，正确. 故选D 【点睛】此题考查了解一元一次方程．注意：在去括号和移项时要注意符号问题. 5．直线与的交点在第一象限，则的取值可以是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立两直线解析式，解关于x、y的二元一次方程组，然后根据交点在第一象限，横坐标是正数，纵坐标是正数，列出不等式组求解即可． 【详解】联立， 解得：， ∵交点在第一象限， ∴， 解得：． 只有符合要求． 故选：B． 【点睛】本题考查了两直线相交的问题，第一象限内点的横坐标是正数，纵坐标是正数，以及一元一次不等式组的解法，把a看作常数表示出x、y是解题的关键． 6．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（    ） A．10 B．19 C．16 D．8 【答案】B 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数、根据分式方程解的情况求值 【分析】解不等式组可得，解分式方程可得，且，由此可求整数a的值． 【详解】解： ， 由①得，x＞7， 由②得，， ∵不等式组的解集为x＞7， ∴， ∴a≤9， ， 两边同乘以（y－1）得，y+2a﹣3y+8＝2y﹣2， 整理得，﹣4y＝﹣10﹣2a， ∴， ∵方程的解是非负整数， ∴a+5是2的倍数，且， ∴a≠﹣3， ∴a的取值为﹣5，﹣1，1，3，5，7，9 ∴所有满足条件的整数a的值之和是19， 故选：B． 【点睛】本题考查分式方程的解，一元一次不等式组的解集，熟练掌握一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，注意分式方程增根的情况是解题的关键． 二、填空题 7．若关于x的方程有增根，则n的值为 ． 【答案】2 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】根据题意可得：，然后把代入整式方程中进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， 解得：， ∵方程有增根， ∴， 把代入中得：， 解得：， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了分式方程的增根，根据题目的已知条件求出x的值后代入整式方程中进行计算是解题的关键． 8．若分式与值相等，则x的值为 ． 【答案】-2 【知识点】解分式方程 【分析】根据分式值相等，构造分式方程，求解即可． 【详解】∵分式与值相等， ∴=， 去分母，得 x-4=2(2x+1)， 去括号，得 x-4=4x+2， 移项，得 x-4x=2+4， 合并同类项，得 -3x=6， 系数化为1，得 x=-2, 经检验，x=-2是原方程的根， 故答案为：-2． 【点睛】本题考查了列分式方程 ，解分式方程，熟练解分式方程是解题的关键． 9．直线，直线与轴围成图形的周长是 （结果保留根号）． 【答案】 【详解】如图，过B作BC⊥OA于C， 直线与轴的交点为（-2，0），直线与坐标轴交于原点， 而直线与直线的交点为：解得交点坐标为（-1，1）， 则由（-2，0）、（0，0），（-1，1）三点所围成三角形得底边AO长为2，高BC为1， ∵点B的坐标为（-1，1）， ∴OC=AC=1， ∴BA=BO= ∴直线，直线与轴围成图形的周长是2++=2+2． 10．直线和直线的交点坐标是，则 ， ． 【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】将点分别代入直线和直线，列出二元一次方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：∵直线和直线的交点坐标是， ∴ 解得 故答案为： 【点睛】本题考查了两直线交点与方程组的解的关系，理解两直线交点的坐标是方程组的解是解题的关键． 11．如图，函数y1=ax和y2=-x+b的图象交于点P，则根据图象可得，二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】先根据函数图象确定P点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解． 【详解】解：由图可得，函数y1=ax和y2=-x+b的图象交于点P（2，3）， ∴二元一次方程组的解是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），解题时注意：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 12．在平面直角坐标系中，，下面有四种说法： ①一次函数的图象与线段有公共点； ②当时，一次函数的图象与线段有公共点； ③当时，一次函数的图象与线段有公共点； ④当时，一次函数的图象与线段有公共点． 上述说法中正确的是 （填序号）． 【答案】②④ 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】根据题意求解交点问题，列出方程组解方程组，求得交点坐标对比，逐项判断即可 【详解】， 线段为： ①一次函数与线段的交点即为： 的解， 解得：（舍去，） 线段无交点， 故此说法不正确 ②一次函数，当 当或者都与有交点时 即或者 解得或者 即交点为点或者点 一次函数，当与线段有公共点 故说法②正确； ③当时 解得： 即点， ，设 则 解得： （舍去，） 所以无交点 故当，一次函数的图象与线段无公共点 故说法③不正确； ④当时，一次函数的图象与线段有公共点 当或者时 或者 解得：或者 即交点为点或者点 当时，一次函数的图象与线段有公共点 故说法④正确 综上所述：说法②④正确 故答案为②④ 【点睛】本题考查了一次函数图像的性质，一次函数交点问题，本质是解方程组求交点，理解题意解方程组是解题的关键． 13．若关于x的分式方程有增根，则a的值为 ． 【答案】5 【知识点】分式方程无解问题 【分析】根据分式方程增根的定义可以得解． 【详解】解：原方程两边同时乘以（x-5）得： x-3（x-5）=a， 由题意，x=5， ∴a=5， 故答案为：5 ． 【点睛】本题考查分式方程无解的问题，熟练掌握分式方程增根的意义及产生根源是解题关键． 14．已知一次函数和，若且，则这两个一次函数的图像的交点在第 象限 【答案】二 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】先判断出两条直线所经过的象限，再联立解方程判断出横坐标的符号，即可求解. 【详解】解：由，的可得这两个函数分别经过第一、二、三象限和第一、二、四象限，故交点可能在第一、二象限，联立方程可得，即，可知x＜0，即交点的横坐标为负，故在第二象限. 故答案是：二. 【点睛】本题主要考查了两条直线相交问题，一次函数的性质，利用数形结合思想是解题的关键． 15．方程x2+4x+k=0的一个根是2，那么k的值是 ；它的另一个根是 ． 【答案】 -12 -6 【知识点】一元二次方程的解、一元二次方程的根与系数的关系 【详解】试题分析：设方程另一根为x1，根据一元二次方程的解的定义把x=2代入方程可求得k=-12，再利用根与系数的关系得到x1+2=-4，解方程即可得到另一根x1． 试题解析：设方程另一根为x1， ∵方程x2+4x+k=0的一个根是2， ∴4+4×2+k=0，解得k=-12， ∵x1+2=-4， ∴x1=-6． 考点：1.根与系数的关系；2.一元二次方程的解． 16．关于x的分式方程的解为正数，且关于y的不等式的解集为，则所有满足条件的整数a的和为 ． 【答案】20 【知识点】根据分式方程解的情况求值、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题主要考查了分式方程的解，根据不等式组的整数解集求字母的取值范围，先根据分式方程的解是正数求出a的取值范围，再根据不等式组的解集求出a的范围，进而得出符合条件的整数，可得答案． 【详解】， 解得． 根据题意，得，且， 解得且． ， 解不等式①，得； 解不等式②，得． ∵不等式组的解集是， ∴， 解得， ∴且， 所以满足条件的整数和． 故答案为：20． 17．新定义[a，b]为一次函数y=ax+b（其中a≠0，且a，b为实数）的“关联数”，若“关联数”[3，m+2]所对应的一次函数是正比例函数，则关于x的方程的解为 ． 【答案】 【知识点】解分式方程、正比例函数的定义 【详解】试题分析：根据“关联数”[3，m+2]所对应的一次函数是正比例函数， 得到y=3x+m+2为正比例函数，即m+2=0， 解得：m=-2， 则分式方程为， 去分母得：2-（x-1）=2（x-1）， 去括号得：2-x+1=2x-2， 解得：x=， 经检验x=是分式方程的解． 考点：1.一次函数的定义；2.解分式方程；3.正比例函数的定义． 18．若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的的值之积为 ． 【答案】35 【知识点】由不等式组解集的情况求参数、根据分式方程解的情况求值 【分析】先解一元一次不等式组得出a的取值范围，再解分式方程得a的范围，最后综合求出满足条件的a的值，即可求得． 【详解】解：解不等式， 去分母得： ， 解得：， 解不等式 移项合并同类项得：， ∵关于的一元一次不䇡式组的解集为 ∴由“同大取大”得：a≤7； 解分式方程：， 分式方程去分母，得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵方程的解为非负整数， ∴， 又∵a≤7， ∴满足条件的整数a可以取7，-1，-5 其积为． 故答案为：35． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，正确掌握解分式方程和一元一次不等式组是解题关键，分式方程有解必须满足公分母不为零，这是本题的易错点． 三、解答题 19．在同一坐标系中分别画出y＝2x+1和y＝﹣x﹣2的图象，它们的交点为A，求点A的坐标． 【答案】（﹣1，﹣1） 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】利用描点法画出直线即可，根据一次函数与二元一次方程组的关系，解方程组求交点坐标即可. 【详解】列表描点画出图象： 列方程组 解方程组得 ∴两直线交点A的坐标是（﹣1，﹣1）． 【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，和画一次函数图像，解题的关键在于明确交点的横纵坐标即二元一次方程组的解. 20．已知关于的方程无解，求的值． 【答案】或 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本此题考查了分式方程的解，分式方程的解即为能使分式方程左右两边相等的未知数的值，且分式方程分母不为0． 方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解可得或，分别求出a值即可． 【详解】解：方程两边同乘，得，即． ①当，即时，原方程无解，由，解得． ②当时，整式方程无解， ∴当时，原方程无解． 综上所述，当或时，原方程无解． 21．哈密瓜是新疆某地特色时令水果，哈密瓜一上市，水果店老板用2160元购进一批哈密瓜，很快售完；老板又用了3700元购进第二批哈密瓜，所购件数是第一批的倍，但进价比第一批每件多了5元． (1)第一批哈密瓜每件进价是多少元？ (2)老板以每件225元的价格销售第二批哈密瓜，售出80%后，为了尽快售完，剩下的决定打六折促销，请问第二批哈密瓜赚了多少钱． 【答案】(1)180元 (2)440元 【知识点】分式方程的其它实际问题 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是根据件数作为等量关系列出方程， （1）设第一批哈密瓜每件进价是x元，则第二批哈密瓜的进价是元，分别计算出第一批和第二批哈密瓜的件数，根据件数建立方程，解方程即可得到答案； （2）先计算出第二批哈密瓜的进价和件数，再分别计算两次销售的利润即可得到答案． 【详解】（1）解：设第一批哈密瓜每件进价是x元，则第二批哈密瓜的进价是元， 根据题意得：第一批哈密瓜的件数为，第二批哈密瓜的件数为， ∴， 解方程得：， 经检验是原方程的根， ∴第一批哈密瓜每件进价是180元； （2）解：根据（1）得第二批哈密瓜的售价为元， 则第二批哈密瓜的件数为：件， ∴第二批哈密瓜的利润为：元． 22．石阡苔茶为贵州十大名茶之一，产自有“中国苔茶之乡”荣誉称号的贵州省石阡县，被誉为“金不换”和“品牌中的品牌”．某商店准备用20000元购进A，B两种品牌的茶叶共，已知购买A种品牌茶叶与购买B种品牌茶叶的费用相同，且A种品牌的茶叶单价是B种品牌茶叶单价的2倍． (1)求A，B两种品牌茶叶的单价各是多少元； (2)若计划用35000元的资金再次购进A，B两种品牌茶叶共，已知A，B两种品牌茶叶的单价不变，求A，B两种品牌茶叶各购进多少． 【答案】(1)A种品牌茶叶的单价为200元，B种品牌茶叶单价为100元 (2)购进A种品牌茶叶，则购进B种品牌茶叶 【知识点】分式方程的经济问题、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元一次方程，分式方程的运用，理解题目数量关系，正确列方程是解题的关键． （1）设B种品牌茶叶的单价为x元，则A种品牌茶叶单价为元，由此列分式方程求解即可； （2）设购进A种品牌茶叶，则购进B种品牌茶叶，由此列方程求解即可． 【详解】（1）解：设B种品牌茶叶的单价为x元，则A种品牌茶叶单价为元， 根据题意，得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：A种品牌茶叶的单价为200元，B种品牌茶叶单价为100元． （2）解：设购进A种品牌茶叶，则购进B种品牌茶叶， 依题意，得：， 解得：， ， 答：购进A种品牌茶叶，则购进B种品牌茶叶． 23．图中有一面墙（可利用的最大长度为），现打算用栅栏沿墙围成一个面积为的长方形花圃．设花圃与墙平行的一边栅栏长，与墙垂直的一边栅栏长为． (1)求关于的函数表达式，并指出自变量的取值范围； (2)若栅栏总长度为122米，求的长； (3)若想使花圃是与墙垂直的一边的7.5倍，则花圃需要栅栏多少米？ 【答案】(1) (2) (3)花圃至少需要围栏米． 【知识点】实际问题与反比例函数、解分式方程、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解一元二次方程和分式方程，根据矩形的面积公式得出y与x的函数关系式是关键，注意结合实际取自变量的取值范围． （1）根据长方形面积公式列式求解即可； （2）根据栅栏总长度为122米列方程求解即可； （3）根据题意得到，然后代入求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵设花圃与墙平行的一边长，与墙垂直的一边长为，面积为， ∴ ∴ ∵可利用的最大长度为 ∴ ∴关于的函数表达式为； （2）解：∵栅栏总长度为122米 ∴ 整理得， 解得或120（舍去） 经检验，符合题意 ∴； （3）解：∵使花圃长是宽的倍 ∴ ∴代入得， ∴ ∴或（舍去） ∴ ∴ ∴花圃至少需要栅栏米． 24．如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染．    商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下： 李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高． 王师傅：甲商品比乙商品的数量多件． 请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单． 【答案】每件元，进货单见解析． 【知识点】分式方程的实际应用 【分析】设乙的进价每件为元，分别表示乙的数量，甲的数量，利用数量关系列方程解方程即可． 【详解】解：设乙的进价每件为元，乙的数量为件， 则甲的进价为每件元，甲的数量为件，所以：     ， 经检验：是原方程的根， 所以：乙商品的进价为每件元． 所以：进货单如下： 商品 进价（元/件） 数量（件） 总金额 甲 乙 【点睛】本题考查的是分式方程的应用，掌握列分式方程解应用题是解题的关键． 25．为响应党的二十大精神，助力乡村振兴．河南某商场设立专柜，在乡村地区直接采购农副产品，架起对口农户与消费者之间的桥梁，实现农副产品直产直销．该专柜负责人欲查询两种商品的进价，发现进货单已被墨水污染． 商品 进价/（元/件） 数量/件 金额/元 焦作铁棍山药 2700 信阳毛尖 3000 商品采购员李经理对采购情况回忆如下：信阳毛尖的进价是焦作铁棍山药的倍，信阳毛尖的数量比焦作铁棍山药少20件． (1)这两种商品的进价分别是多少元？ (2)已知焦作铁棍山药每件的售价为80元，信阳毛尖每件的售价为100元．在进价不变的情况下，由于市场火爆，该专柜负责人再次安排采购这两种商品共100件，若李经理要求信阳毛尖的数量不少于焦作铁棍山药的数量，请问该怎样进货，才能使商场在销售完这些货物时获利最多？此时利润为多少元？ 【答案】(1)焦作铁棍山药每件的进价为45元，则信阳毛尖每件的进价75元； (2)采购焦作铁棍山药和信阳毛尖的数量都是50件时，商场在销售完这些货物时获利最多，此时利润为3000元． 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的实际应用 【分析】（1）设焦作铁棍山药每件的进价为x元，则信阳毛尖每件的进价元，依题意列分式方程，解之即可； （2）设采购焦作铁棍山药m件，则采购信阳毛尖件，利润为w元，根据题意得到一次函数，再根据信阳毛尖的数量不少于焦作铁棍山药的数量，求得m的取值范围，利用一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设焦作铁棍山药每件的进价为x元，则信阳毛尖每件的进价元， 依题意得， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ， 答：焦作铁棍山药每件的进价为45元，则信阳毛尖每件的进价75元； （2）解：设采购焦作铁棍山药m件，则采购信阳毛尖件，利润为w元， 依题意得， ∵信阳毛尖的数量不少于焦作铁棍山药的数量， ∴， 解得， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为3000， 答：采购焦作铁棍山药和信阳毛尖的数量都是50件时，商场在销售完这些货物时获利最多，此时利润为3000元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． 26．阳光合作社在党委政府的精心指导下，大力发展生态水果蓝莓，助推乡村经济发展．在蓝莓上市期间，某水果店第一次用元购进蓝莓销售；由于蓝莓深受人们喜欢，第一次购进的蓝莓很快售完．该水果店又用元购进这种蓝莓，所购数量与第一次购进数量相同，但每千克的价格比第一次购进的贵了元． (1)该水果店第一次购进蓝莓的进价为多少元/千克？ (2)假设该水果店两次购进的蓝莓按相同的售价全部售完，要使总利润不低于元，则每千克蓝莓的售价至少是多少元？ 【答案】(1)元/千克 (2)元 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的实际应用 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）设该水果店第一次购进蓝莓每千克元，则该水果店第二次购进蓝莓每千克元，利用数量＝总价÷单价，结合两次购进蓝莓的数量相同，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． （2）设每千克蓝莓的售价是元，利用利润＝销售单价×销售数量－进货总价，结合利润不低于元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该水果店第一次购进蓝莓每千克元，则该水果店第二次购进蓝莓每千克元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：水果店第一次购进蓝莓的进价为元/千克． （2）设每千克蓝莓的售价是元， 根据题意得：， 解得：， 即y的最小值为． 答：要使总利润不低于元，则每千克蓝莓的售价至少是元． 27．在平面直角坐标系中，点A（0，a），B（b，0），满足b＝++2，P为x轴上一点（与O、B两点不重合），OP＝m，点P关于y轴的对称点为Q，过Q作AP的垂线交直线AP于点H，交直线AB于点M． (1)若＝﹣1，求m的值； (2)若P点在线段OB上，求证：AP＝QM； (3)若P点在x轴上运动，请你画图探究相对应的点M的位置，并求出点M的坐标（用含m的式子表示）． 【答案】(1)m的值为或； (2)见详解； (3)点M的坐标为（2+m，-m）或（2-m，m）． 【知识点】等腰三角形的性质和判定、一次函数与几何综合、解分式方程、二次根式有意义的条件 【分析】（1）根据二次根式有意义求出，b=2，分三种情况，当点P在线段OB上， 根据＝﹣1，得出，当点P在x轴负半轴上，根据＝﹣1，得出，当点P在点B右侧x轴上，根据＝﹣1，得出，解方程即可； （2）过M作MC⊥x轴于C，先证△AOB为等腰直角三角形，再证CM=CB，待定系数法求，设CM=CB=n，MQ的解析式为，AP解析式为：， 根据QM⊥AP，得出即，证得n=m，证明△AOP≌△QCM（ASA）即可； （3）分三种情况当点P在x轴负半轴上运动，点P（-m，0），点A（0，2），由（2）知△BCM为等腰直角三角形，根据QM⊥AP，得出即，解得m=n，点M（2+m，-m），当点P在OB上，0＜m＜2，M（2-n，n）由（2）值m=n，点M（2-m，m），当P在点B右侧x轴上，点P（m，0），点A（0，2），m＞2，M（2-n，n）,根据QM⊥AP，即，m=n，点M（2-m，m）即可． 【详解】（1）解：根据二次根式有意义得， 解不等式组得，， ∴，b=2， 当点P在线段OB上，OP=m，OB=2， ∴PB=2-m， ∵＝﹣1， ∴， 解得，经检验符合题意， 当点P在x轴负半轴上， ∴PB=2+m， ∵＝﹣1， ∴， 解得＜0舍去， 当点P在点B右侧x轴上， ∴PB=m-2， ∵＝﹣1， ∴， ∴，经检验符合题意， 综合m的值为或； （2）证明：过M作MC⊥x轴于C， ∵OA=OB=2，∠AOB=90°， ∴△AOB为等腰直角三角形， ∴∠ABO=∠BAO=45°， ∵MC⊥x轴， ∴∠MCB=90°， ∴∠CMB=90°-∠ABC=90°-45°=45°=∠MBC, ∴CM=CB， 设CM=CB=n，MQ的解析式为 ∴点M（2-n,n），点Q（-m，0） ∴ 解得： 设AP解析式为：，点A（0,2），点P（m，0） ∴ 解得 ∵QM⊥AP， 即 解得n=m ∴QC=2+m-n=2=AO , ∵∠QHP=90°， ∴∠MQC+∠APO=90°， ∵∠OAP+∠APO=90°， ∴∠OAP=∠CQM， ∵∠AOP=∠QCM=90°， 在△AOP和△QCM中， ∴△AOP≌△QCM（ASA）， ∴AP=QM； （3）解：分三种情况： 当点P在x轴负半轴上运动，点P（-m，0），点A（0，2），由（2）知△BCM为等腰直角三角形，BC=CM=n，点M（2+n，-n） 设AP解析式为代入坐标得 ， 解得， 设QM解析式为， ∴点M（2+n,-n），点Q（m，0）， ∴， 解得：， ∵QM⊥AP， 即， 解得m=n， 点M（2+m，-m）， 当点P在OB上，0＜m＜2，M（2-n，n）， 由（2）值m=n， ∴点M（2-m，m）， 当P在点B右侧x轴上，点P（m，0），点A（0，2），m＞2，M（2-n，n）， 设AP解析式为代入坐标得： ， 解得， 设QM解析式为， ∴点M（2+n,-n），点Q（-m，0）， ∴， 解得：， ∵QM⊥AP， 即， 解得m=n， 点M（2-m，m）； 综合得点M的坐标为（2+m，-m）或（2-m，m）． 【点睛】本题考查，二次根式有意义条件，等腰直角三角形判定与性质，分式方程，待定系数法求一次方程解析式，两直线垂直性质，三角形全等判定与性质，图形与坐标，本题难度角度，应用知识多，图形复杂，动点问题要画出准确图形，利用分类思想使问题得以全面解决是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 整式方程与分式方程（3个知识点+6种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．高次方程 （1）高次方程的定义：整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程． （2）高次方程的解法思想： 通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解． 对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式（即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解），这称为阿贝尔定理． 换句话说，只有三次和四次的高次方程可用根式求解． 知识点2．分式方程的增根 （1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． （2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根． （3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 知识点3．含字母系数的一元一次方程 一、含有字母系数的一元一次方程的定义 ax＝b（a≠0）中对于未知数x来说a是x的系数，叫做字母系数，字母b是常数项，这个方程就是一个含有字母系数的一元一次方程，今天我们就主要研究这样的方程． 二、含有字母系数的一元一次方程的解法 ax＝b（a≠0）是一元一次方程，而 a、b 是已知数，就可以当成数看，就像解一般的一元一次方程一样． 三、含有字母函数的一元一次方程和过去学过的一元一次方程的解法的区别和联系． 含有字母系数的一元一次方程的解法和学过的含有数字系数的一元一次方程的解法相同．（即仍需要采用去分母、去括号、移项、合并同类项、方程两边同除以未知数的系数等步骤） 特别注意：用含有字母的式子去乘或者除方程的两边，这个式子的值不能为零． 题型强化 题型一、一元整式方程 1．（22-23八年级下·上海浦东新·阶段练习）下列方程中，是关于的一元三次方程的是（　　） A． B． C． D．（为非零常数） 2．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）关于x的方程的解是 ． 3．（21-22八年级下·上海奉贤·期中）解关于x的方程： 题型二、二项方程 4．（21-22八年级下·上海杨浦·阶段练习）已知关于x的方程没有实数根，那么a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·上海浦东新·期中）已知关于x的方程是二项方程，那么 ． 6．（22-23八年级下·上海·期末）解关于的方程： 题型三、解分式方程 7．（23-24八年级下·上海青浦·期末）用换元法解分式方程时，如果设，并将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·上海金山·阶段练习）用换元法解分式方程时，如果设将原方程化为关于的整式方程，那么这个整式方程是 ． 9．（23-24八年级下·上海·单元测试）解方程：． 题型四、分式方程无解问题 10．（八年级下·上海松江·期中）下列方程中，在实数范围内有解的是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24八年级下·上海浦东新·期中）如果方程有增根，那么m的值等于 ． 12．（23-24八年级下·上海浦东新·期中）当m取什么值时，方程无实数解． 题型五、分式方程的实际应用 13．（23-24八年级下·上海·阶段练习）某学生计划每天平均看书若干页，则在预定日期可看完300页的书，读了15天后，改变计划每天多读6页，结果比预定日期提前2天读完，设该学生原计划每天读x页，则可列方程： ． 14．（22-23八年级下·上海静安·期末）某公司先从甲地用9000元购买了一批商品，后发现乙地同一商品每件比甲地便宜，因此又用12000元从乙地补购了一批同样的商品．公司按每件200元售完这两批商品后，共赚了11000元． (1)设该公司从甲地购进x件商品，请用含字母x的代数式表示从乙地购进的商品件数是______； (2)如果乙地同一商品每件比甲地便宜30元，求该公司分别从甲乙两地购进这种商品各多少件． 题型六、根据分式方程解的情况求值 15．（八年级下·上海徐汇·阶段练习）若分式方程有增根，则的值是（    ） A．3 B．-3 C．2 D．0 16．（21-22八年级下·上海·阶段练习）若关于的分式方程有增根，则的值为 17．（22-23八年级下·上海浦东新·阶段练习）若关于的方程只有一个根，求的值，并直接写出对应的原方程的根． 分层练习 一、单选题 1．分式方程的解为（ ） A． B． C． D．无解 2．已知公式u＝（u≠0），则公式变形后t等于（　　） A． B． C． D． 3．已知p、q为方程的两根，则代数式的值为（ ）. A．16 B．±4 C．4 D．5 4．下列说法中，正确的是(    ) A．方程5x＝－4的解是x＝－ B．把方程5－3x＝2－x移项，得3x＋x＝5－2 C．把方程2－3(x－5)＝2x去括号，得2－3x－5＝2x D．方程18－2x＝3＋2x的解是x＝ 5．直线与的交点在第一象限，则的取值可以是（  ） A． B． C． D． 6．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（    ） A．10 B．19 C．16 D．8 二、填空题 7．若关于x的方程有增根，则n的值为 ． 8．若分式与值相等，则x的值为 ． 9．直线，直线与轴围成图形的周长是 （结果保留根号）． 10．直线和直线的交点坐标是，则 ， ． 11．如图，函数y1=ax和y2=-x+b的图象交于点P，则根据图象可得，二元一次方程组的解是 ． 12．在平面直角坐标系中，，下面有四种说法： ①一次函数的图象与线段有公共点； ②当时，一次函数的图象与线段有公共点； ③当时，一次函数的图象与线段有公共点； ④当时，一次函数的图象与线段有公共点． 上述说法中正确的是 （填序号）． 13．若关于x的分式方程有增根，则a的值为 ． 14．已知一次函数和，若且，则这两个一次函数的图像的交点在第 象限 15．方程x2+4x+k=0的一个根是2，那么k的值是 ；它的另一个根是 ． 16．关于x的分式方程的解为正数，且关于y的不等式的解集为，则所有满足条件的整数a的和为 ． 17．新定义[a，b]为一次函数y=ax+b（其中a≠0，且a，b为实数）的“关联数”，若“关联数”[3，m+2]所对应的一次函数是正比例函数，则关于x的方程的解为 ． 18．若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的的值之积为 ． 三、解答题 19．在同一坐标系中分别画出y＝2x+1和y＝﹣x﹣2的图象，它们的交点为A，求点A的坐标． 20．已知关于的方程无解，求的值． 21．哈密瓜是新疆某地特色时令水果，哈密瓜一上市，水果店老板用2160元购进一批哈密瓜，很快售完；老板又用了3700元购进第二批哈密瓜，所购件数是第一批的倍，但进价比第一批每件多了5元． (1)第一批哈密瓜每件进价是多少元？ (2)老板以每件225元的价格销售第二批哈密瓜，售出80%后，为了尽快售完，剩下的决定打六折促销，请问第二批哈密瓜赚了多少钱． 22．石阡苔茶为贵州十大名茶之一，产自有“中国苔茶之乡”荣誉称号的贵州省石阡县，被誉为“金不换”和“品牌中的品牌”．某商店准备用20000元购进A，B两种品牌的茶叶共，已知购买A种品牌茶叶与购买B种品牌茶叶的费用相同，且A种品牌的茶叶单价是B种品牌茶叶单价的2倍． (1)求A，B两种品牌茶叶的单价各是多少元； (2)若计划用35000元的资金再次购进A，B两种品牌茶叶共，已知A，B两种品牌茶叶的单价不变，求A，B两种品牌茶叶各购进多少． 23．图中有一面墙（可利用的最大长度为），现打算用栅栏沿墙围成一个面积为的长方形花圃．设花圃与墙平行的一边栅栏长，与墙垂直的一边栅栏长为． (1)求关于的函数表达式，并指出自变量的取值范围； (2)若栅栏总长度为122米，求的长； (3)若想使花圃是与墙垂直的一边的7.5倍，则花圃需要栅栏多少米？ 24．如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染．    商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下： 李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高． 王师傅：甲商品比乙商品的数量多件． 请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单． 25．为响应党的二十大精神，助力乡村振兴．河南某商场设立专柜，在乡村地区直接采购农副产品，架起对口农户与消费者之间的桥梁，实现农副产品直产直销．该专柜负责人欲查询两种商品的进价，发现进货单已被墨水污染． 商品 进价/（元/件） 数量/件 金额/元 焦作铁棍山药 2700 信阳毛尖 3000 商品采购员李经理对采购情况回忆如下：信阳毛尖的进价是焦作铁棍山药的倍，信阳毛尖的数量比焦作铁棍山药少20件． (1)这两种商品的进价分别是多少元？ (2)已知焦作铁棍山药每件的售价为80元，信阳毛尖每件的售价为100元．在进价不变的情况下，由于市场火爆，该专柜负责人再次安排采购这两种商品共100件，若李经理要求信阳毛尖的数量不少于焦作铁棍山药的数量，请问该怎样进货，才能使商场在销售完这些货物时获利最多？此时利润为多少元？ 26．阳光合作社在党委政府的精心指导下，大力发展生态水果蓝莓，助推乡村经济发展．在蓝莓上市期间，某水果店第一次用元购进蓝莓销售；由于蓝莓深受人们喜欢，第一次购进的蓝莓很快售完．该水果店又用元购进这种蓝莓，所购数量与第一次购进数量相同，但每千克的价格比第一次购进的贵了元． (1)该水果店第一次购进蓝莓的进价为多少元/千克？ (2)假设该水果店两次购进的蓝莓按相同的售价全部售完，要使总利润不低于元，则每千克蓝莓的售价至少是多少元？ 27．在平面直角坐标系中，点A（0，a），B（b，0），满足b＝++2，P为x轴上一点（与O、B两点不重合），OP＝m，点P关于y轴的对称点为Q，过Q作AP的垂线交直线AP于点H，交直线AB于点M． (1)若＝﹣1，求m的值； (2)若P点在线段OB上，求证：AP＝QM； (3)若P点在x轴上运动，请你画图探究相对应的点M的位置，并求出点M的坐标（用含m的式子表示）． 学科网（北京）股份有限公司 $$