5.2.3诱导公式（教学课件）数学湘教版必修第一册

5.2 任意角的三角函数 5.2.3 诱导公式 第5章 三角函数 复习引入 在前面的学习中，为了求得任意角的三角函数值，我们依据三角函数的定义，在角a的终边上找到一点P的坐标，进而求得，还有一个办法，就是将角a转化到0，一)范围内，用我们熟悉的锐角三角函数知识来求解.如何将角进行转化?这就是本节的主要内容. 由三角函数的定义可以知道：终边相同的角的同一三角数值相等. 即有： 新知探索 对任意角可适当选取整数，使，从而角的三角函数值可化为在区间内的角的三角函数值来求. 公式一 其中 例析 例 9 求下列各三角函数值： (1)；(2). 解 (1)； (2). 新知探索 除了探究一些终边相同的角之间的转化，我们还可以利用单位圆的对称性来研究一些角的终边所具有的某些特殊的关系(如两个角的终边关于坐标轴对称、关于原点对称等)，进而将这些角进行转化. 设任意角的终边与单位圆的交点坐标为，则 ，，当时，. (1)如右图，作点关于轴的对称点， 则.由三角函数的定义可得 ，， 当时，. 新知探索 (2)如右图，作点关于点的对称点，也就是将旋转到，则，于是由三角函数的定义可得 ， ， 当时，. (3)利用(1)(2)的结果得 ， ， . 新知探索 为了使用方便，我们将上述探究得到的公式总结如下： 公式二 . 公式三 . 公式四 . 你能借助单位圆的三角函数线来推导公式二至公式四吗？ 新知探索 以上公式一至公式四可以概括为如下法则： 的三角函数值，等于角的同名函数值，前面添上一个把角看成锐角时原函数值的符号. 利用公式一至公式四，就可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数进行计算，转化过程一般按下列步骤进行： 任意角的三角函数 内角的三角函数 锐角三角函数 例析 例 10 求下列各三角函数值： (1)；(2)；(3)；(4). 解 (1)； (2)； (3)； (4). 例析 例 11 化简：. 解 原式. 新知探索 在初中数学中讲锐角三角函数时，曾经根据直角三角形两锐角互余的关系得出了锐角与它的余角的三角函数之间的关系： ，. 这样的关系式是否对任意角成立呢？ 如图，设角的终边交单位圆于点，角 的终边交单位圆于点. 新知探索 由三角函数的定义可知： ，； ，. 由于角与角的平均值为，因此角的终边与角的终边关于的终边所在直线对称，则点与关于直线对称，可以求得点的坐标为. 新知探索 ， . 在此基础上，我们还可以推导出： 由此得出关于与的正、余弦关系式： 公式五 ， . 新知探索 公式五可概括为如下法则： 的正弦(余弦)函数值，等于角的余弦(正弦)函数值，前面添上一个把角看成锐角时原函数值的符号. 利用公式五，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化. 当角的终边不在坐标轴上时，还可以得出以下公式： 新知探索 以上关于角与，，,的三角函数的关系式，都称为诱导公式. 公式六 . 例析 例 12 化简： (1)；(2). 解 (1)； (2). 例析 例 13 化简： . 解 原式. 练习 题型一：直接应用公式求值 例1.求下列三角函数值： (1)(2);(3). 解：(1) (2) (3) 练习 利用诱导公式解决给角求值问题的步骤： 负化正 大化小 小化锐 锐求值 用公式一或三来转化 用公式一将角化为之间的角 用公式二或四将大于90°的角化为锐角 得到锐角的三角函数后求值 变1.求下列各式的值： (1)(2); (3). 练习 答案：(1)(2)；(3). 练习 题型二：条件求值 例2.已知,且为第四象限角，求的值. 解：∵,且为第四象限角, ∴. ∴ 练习 解决条件求值问题的两技巧： 寻找 差异 转化 解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系 可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化 练习 解：∵,且为第四象限角， ∴为第四象限角， 由 解得或(舍去). 所以 变2.已知,且为第四象限角，求的值. 练习 题型三：化简求值问题 例3.化简： (1)(2) 解：(1) (2) 练习 变3.化简下列各式： (1)(2) 解：(1). (2) 练习 题型四：利用诱导公式化简求值 例4.若那么的值为（ ）. A. B.- C. D. 解：∵ ∴ 故选A. 练习 1.求值问题中角的转化方法： 任意负角的三角函数 任意正角的三角函数 0的角的三角函数 锐角的三角函数 公式 一或三 公式 一 公式二或 五或六 2.用诱导公式进行化简的要求： 三角函数的化简是表达式经过某种变形使结果尽可能的简单： (1)化简后项数尽可能的少. (2)函数的种类尽可能的少. (3)分母不含三角函数的符号. (4)能求值的一定要求值. (5)含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等. 练习 变4.已知则等于（ ）. A. B.- C. D. 解： 故选B. 练习 题型五：利用诱导公式证明恒等式 例5.已知求证： 证明：由，得 则原式左边 右边. 所以原等式成立. 练习 证明等式的常见方法： 利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有： (1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简. (2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子. (3)针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消失差异. 变5.求证： 练习 证明：左边 右边. 所以原等式成立. 练习 题型六：诱导公式的综合应用 例6.在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边为轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于A，B两点，A，B两点的纵坐标分别为 (1)求的值； 解：(1)∵的终边与单位圆交于点B，B点的纵坐标为，∴ ∵∴ ∴ 练习 例6.在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边为轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于A，B两点，A，B两点的纵坐标分别为 (2)求的值. 解：(2)∵的终边与单位圆交于点A，A点的纵坐标为，∴ ∵∴ 故 练习 诱导公式综合应用要“三看” 一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系. 二看函数名称：一般是弦切互化. 三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子、分母同乘一个式子变形. 练习 变6.已知是方程的根，是第三象限角， 求的值. 解：方程的两根为， ∵∴ 又是第三象限角， ∴ ∴ 课堂小结&作业 课堂小结： (1)回顾诱导公式； (2)利用诱导公式求值化简的常见处理方法. 作业： (1)整理本节课的题型； (2)课本P168的练习1——3题； (3)课本P170的练习1——3题. 谢谢学习 Thank you for learning $$