5.2.3.1诱导公式一、二、三、四课件-2024-2025学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

第1课时　诱导公式一、二、三、四 新知初探 课前预习 题型探究 课堂解透 新知初探 课前预习 最新课程标准 借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式(α±，α±π的正弦、余弦、正切)． 学科核心素养 1.能借助单位圆中的三角函数定义推导出诱导公式．(直观想象) 2．会利用诱导公式化简、求值与证明．(逻辑推理、数学运算) 要点一　诱导公式(一) (1)语言表示：终边相同的角的________三角函数的值相等． (2)式子表示其中k∈Z. 同名 sin α cos α tan α 要点二　诱导公式二 终边关系 图示 角－α与角α的终边关于________对称 公式 sin (－α)＝________，cos (－α)＝________， tan (－α)＝－tan α x轴 －sin α cos α 要点三　诱导公式三 终边关系 图示 角π＋α与角α的终边关于________对称 公式 sin (π＋α)＝________，cos (π＋α)＝________， tan (π＋α)＝________ 原点 －sinα －cos α tan α 要点四　诱导公式四 终边关系 图示 角π－α与角α的终边关于________对称 公式 sin (π－α)＝________，cos (π－α)＝________， tan (π－α)＝________ y轴 sin α －cos α －tan α 状元随笔　诱导公式一～四的理解 (1)公式一～四中角α是任意角． (2)公式一概括为：终边相同的角的同名三角函数值相等． (3)公式一、二、三、四都叫诱导公式，它们可概括如下： ①记忆方法：2kπ＋α，－α，π±α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，概括为“函数名不变，符号看象限”． ②解释：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原函数名在本公式中角的终边所在象限是取正值还是负值，如sin (π＋α)，若α看成锐角，则π＋α的终边在第三象限，正弦在第三象限取负值，故sin (π＋α)＝－sin α. 基础自测 1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)诱导公式中的角α一定是锐角．(　　) (2)口诀“符号看象限”指的是把角α看成锐角时变换后的三角函数值的符号．(　　) (3)由公式三知cos [－(α－β)]＝－cos (α－β)．(　　) (4)在△ABC中，sin (A＋B)＝sin C．(　　) × × × √ 2．sin 600°的值是(　　) A． B．－ C． D．－ 答案：D 解析：sin 600°＝sin (600°－720°)＝sin (－120°)＝－sin 120°＝－sin 60°＝－.故选D. 3．若sin (π＋α)＝－，则sin (4π－α)的值是(　　) A．－ B． C．－ D． 答案：A 解析：∵sin (π＋α)＝－，∴sin α＝，sin (4π－α)＝－sin α＝－.故选A. 4．化简：＝________． －1 解析：原式＝＝＝－1. 题型探究 课堂解透 题型1　给角求值问题 例1　(1)sin π·cos π·tan 的值是(　　) A．－ B． C．－ D． (2)sin2120°＋cos180°＋tan 45°－cos2(－330°)＋sin(－210°)＝________． 答案：(1)A　(2) 解析：(1)sin π·cos π·tan ＝sin cos tan ＝－sin tan ＝－··(－)＝－. 故选A. (2)原式＝sin260°＋(－1)＋1－cos230°＋sin30°＝－＋＝. 方法归纳 利用诱导公式解决给角求值问题的方法 (1)“负化正”； (2)“大化小”，用公式一将角化为0°到360°间的角； (3)“小化锐”，用公式二或四将大于90°的角转化为锐角； (4)“锐求值”，得到锐角的三角函数后求值． 跟踪训练1　(1)sin 的值等于(　　) A． B． C．－ D．－ (2)sin 585°cos 1290°＋cos (－30°)cos 135°＋tan 135°＝________． 答案：(1)D　(2)－1 解析：(1)sin ＝sin ＝－sin ＝－.故选D. (2)原式＝sin (360°＋225°)cos (3×360°＋210°)＋cos 30°cos 135°＋tan 135° ＝sin 225°cos 210°＋cos 30°cos 135°＋tan 135° ＝sin (180°＋45°)cos (180°＋30°)＋cos 30°cos (180°－45°)＋tan (180°－45°) ＝sin 45°cos 30°－cos 30°cos 45°－tan 45° ＝－1＝－1. 题型2　给值(或式)求值问题 例2　(1)若sin (π＋α)＝，α∈，则tan (π－α)等于(　　) A．－ B．－ C．－ D． (2)已知cos ＝，求cos －sin2. 答案：(1)D　(2)－ 解析：(1)因为sin (π＋α)＝－sin α，根据条件得sin α＝－， 又α∈，所以cos α＝＝. 所以tanα＝＝－＝－.所以tan (π－α)＝－tan α＝.故选D. (2)cos －sin2 ＝cos－sin2＝－cos ＝－cos－1＋cos2＝－1＋ ＝－. 变式探究　本例(2)中的条件不变，求cos－sin2. 　解析：cos－sin2 ＝cos－sin2 ＝－cos－sin2 ＝－ ＝－. 方法归纳 解决条件求值问题的方法 (1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系． (2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． 跟踪训练2　(1)已知sin(π－α)＝，则sin (π＋α)＝________． (2)已知＝3，求tan (5π－α)的值． 答案：(1)－　(2)见解析 解析：(1)因为sin(π－α)＝sin α＝， 所以sin (π＋α)＝－sin α＝－. (2)∵＝ ＝＝3，∴sin α＝－， ∴当α为第三象限角时，cos α＝－，tan α＝； 当α为第四象限角时， cos α＝，tan α＝－. ∴tan (5π－α)＝tan (π－α)＝－tan α＝±. 题型3　化简求值问题 例3　(1)计算：cos ＋cos ＋cos ＋cos ＋cos ＋cos ＝________． (2)化简： 答案：(1)0　(2)1 解析：(1)原式＝cos ＋cos ＋cos ＋cos ＋cos ＋cos ＝cos ＋cos ＋cos －cos －cos －cos ＝0. (2)原式＝＝·＝1. 方法归纳 三角函数式化简的方法和技巧 方法：三角函数式化简的关键是抓住函数名称之间的关系和角之间的关系，灵活应用相关的公式及变形解决． 技巧：①异名化同名；②异角化同角；③切化弦． 跟踪训练3　的值为(　　) A．1 B．－1 C．sinα D．tan α 答案：B 解析：原式＝＝＝－1.故选B. 易错辨析　不能正确理解“符号看象限”的含义致误 例4　已知cos (π＋α)＝m，α∈，则sin (5π＋α)＝________． 解析：∵cos (π＋α)＝－cos α＝m ∴cos α＝－m ∴sin (5π＋α)＝sin (π＋α)＝－sin α＝－ ＝. 易错警示 易错原因 纠错心得 错误理解“符号看象限”，得到错解： ∵α∈，∴π＋α∈， ∴π＋α是第一象限，∴cos(π＋α)＝cos α＝m ∴sin (5π＋α)＝sin (π＋α)＝sin α＝－＝－. 在利用诱导公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限”判断三角函数符号时，不论角为何值，都应将它看作“锐角”处理． 课堂十分钟 1．cos＝(　　) A．－ B．－ C． D． 答案：A 解析：cos＝cos ＝cos ＝cos ＝－cos ＝－. 故选A. 2．若cos (π＋α)＝－π＜α＜2π，则sin (2π＋α)等于(　　) A． B．± C． D．－ 答案：D 解析：由cos (π＋α)＝－，得cos α＝，故sin (2π＋α)＝sin α＝－＝－(α为第四象限角)．故选D. 3．已知α∈，tan α＝－，则sin (α＋π)＝(　　) A． B．－ C． D．－ 答案：B 解析：由tanα＝－，α∈得sin α＝.又∵sin (α＋π)＝－sin α，∴sin (α＋π)＝－. 4．已知cos ＝，则cos 的值为________． － 解析：cos ＝cos ＝－cos ＝－. 5．化简. 解析：tan(－α－180°)＝tan [－(180°＋α)] ＝－tan (180°＋α)＝－tan α， cos (－180°＋α)＝cos [－(180°－α)] ＝cos (180°－α)＝－cos α， 所以原式＝＝－cos α. $$