湖北省部分市州2024-2025学年高三上学期元月期末联考数学试卷

湖北省部分市州2025年元月高三期末联考数学试题❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知命题，命题，则命题p是命题q的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2.已知单位向量，满足，则与的夹角为(    ) A. B. C. D. 3.若复数是纯虚数，则的值可以为(    ) A. B. C. D. 4.若随机变量的分布列如下表，表中数列为等差数列，则的取值是(    ) 3 4 5 6 7 P A. B. C. D. 5.函数在处的切线与直线垂直，则(    ) A. B. C. D. 6.已知抛物线，O为坐标原点，M是抛物线上任意一点，F为焦点，且，则直线ON的斜率的最大值为(    ) A. B. 1 C. D. 2 7.正方体的棱长为3，平面ABCD内一动点Q满足，当三棱锥的体积取最大值时，该三棱锥外接球的表面积为(    ) A. B. C. D. 8.已知，对恒成立，则的最小值为(    ) A. 4 B. 6 C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.下列说法中正确的是(    ) A. 回归直线恒过样本中心点，且至少过一个样本点 B. 用决定系数刻画回归效果时，越接近1，说明模型的拟合效果越好 C. 将一组数据中的每一个数据都加上同一个正数后，标准差变大 D. 基于小概率值的检验规则是：当时，我们就推断不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过 10.如图所示，已知角，的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为A，B，M为线段AB的中点，射线OM与单位圆交于点C，则下列说法正确的是(    ) A. B. C. D. 点M的坐标为 11.直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线族不包括直线直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.已知直线族，则下列说法正确的是(    ) A. 若，，则该直线族的包络曲线为圆 B. 若，，则该直线族的包络曲线为椭圆 C. 当，时，点可能在直线族上 D. 当时，曲线是直线族的包络曲线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.等比数列的前n项和为，且，，则          . 13.若A，B为曲线上任意两点，则A，B两点间距离的最大值为          . 14.已知，若不等式恒成立，则的最大值为          . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且， 求 若，，求的周长. 16.本小题15分 已知函数 时，求的极值; 若不等式恒成立，求实数a的取值范围. 17.本小题15分 如图，四棱锥中，ABCD是边长为2的正方形，是以P为顶点的等腰直角三角形，O为AB的中点，Q为PD的中点， 证明： 过B，Q两点的平面与直线AP，CP分别交于点M，N，且平面，求平面BNQM与平面PCD夹角的余弦值. 18.本小题17分 已知椭圆的左、右焦点为，，点P是椭圆上任意一点，的最小值是 求椭圆M的方程; 设A，B为椭圆的上、下顶点，C，D为椭圆上异于A，B的两点，记直线AC，BD的斜率分别为，，且 ⅰ证明：直线CD过定点 ⅱ设直线AC与直线BD交于点Q，直线QS的斜率为，试探究，，满足的关系式. 19.本小题17分 某商家推出一个活动：将n件价值各不相同的产品依次展示在参与者面前，参与者可以选择当前展示的这件产品，也可以不选择这件产品，若选择这件产品，该活动立刻结束;若不选择这件产品，则看下一件产品，以此类推.整个过程参与者只能继续前进，不能返回，直至结束.同学甲认为最好的一定留在最后，决定始终选择最后一件，设他取到最大价值产品的概率为同学乙采用了如下策略：不取前件产品，自第件开始，只要发现比他前面见过的每一个产品的价值都大，就选择这件产品，否则就取最后一件，设他取到最大价值产品的概率为 若，，求和 若价值最大的产品是第件，求 当n趋向于无穷大时，从理论的角度即，求的最大值及取最大值时k的值取 答案和解析 1.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查充分条件、充要条件、必要条件的判断，考查指数函数、对数函数等基础知识，是基础题. 推导出命题，命题，从而命题p是命题q的充分不必要条件. 【解答】 解：命题，， 命题，， 命题p是命题q的充分不必要条件. 故选： 2.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查向量的夹角和垂直关系，属于基础题. 设 与 的夹角为 ， ，由向量的垂直关系以及数量积的运算，可得 ，由夹角范围可得答案. 【解答】 解：设 与 的夹角为 ， ， 因为单位向量 、 满足 ， 所以    ， 解得  ， 所以 与 的夹角   故选 3.【答案】C  【解析】【分析】本题考查复数的概念与分类，属于基础题. 根据题意得到   ，将四个选项代入检验，得到答案. 【解答】解：由题意得   ， A选项，当   时，  ，A错误. B选项，当   时，     = ，故B错误； C选项，当   时，   ，符合要求，C正确； D选项，当   时，   0 ，故D错误； 故选C 4.【答案】D  【解析】【分析】 本题主要考查分布列的性质，等差数列的性质，属于基础题. 由等差数列的性质求得，结合分布列即可求得结果. 【解答】解：数列为等差数列， 由等差数列性质得，解得， 所以 5.【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查了导数的几何意义，两条直线垂直的判定，属于基础题.  求出函数的导数和在处的切线斜率，再由与直线垂直斜率乘积为可得答案. 【解答】 解：，则， 因为在处的切线与直线垂直， 所以，解得 故选 6.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查抛物线中最值问题，属于中档题. 设点，，结合向量运算可得，再由斜率公式以及基本不等式可求得直线ON的斜率的最大值. 【解答】 解：由题意得， ，设，， 则 ，   ，则，  ， 则 ， ， 直线ON的斜率为， 当时，； 当时，， 当且仅当时，等号成立， 综上可知，直线ON的斜率的最大值为 7.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了棱柱的结构特征，棱锥的体积，球的切、接问题和球的表面积，属于中档题. 利用平面几何知识得点Q在以线段MN为直径，圆心为E的圆上，利用正方体的结构特征，结合棱锥的体积得当点Q与点M重合时，三棱锥的体积最大，再利用球的切、接问题得三棱锥的体积最大时的外接球球心和半径，最后利用球的表面积计算得结论. 【解答】 解：如图： 因为点Q是平面ABCD内一动点，满足， 所以平面ABCD内延长AB到M，使得，在线段AB上取点N，在线段BM上取E，使得， 则由阿氏圆知：点Q在以线段MN为直径，圆心为E的圆上. 因为正方体的棱长为3，所以为定值， 因此由三棱锥体积知：当点Q与点M重合时，三棱锥的体积最大. 连接DM，交BC于因为B是线段AM的中点，，所以点H是线段BC的中点. 连接、因为、平面，且， 所以与必相交于一点G，且G是的中点，因此连接GH，则平面ABCD，且 因为， 所以G是三棱锥的体积最大时的外接球球心，且此时外接球半径为， 因此此时外接球的表面积为 8.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查由基本不等式求最值或取值范围、一元二次方程的解集及其根与系数的关系、求余弦型函数的值域，属于中档题. 分析得与有相同的零点1和7，易知，且1和7是方程的两根，利用根与系数的关系，得出，，求出，利用基本不等式，即可求出结果. 【解答】 解：因为，所以，当时， 当时， 当时， 因为，在上恒成立， 所以和是的两根，且，， 则，解得，， 所以， 当且仅当，即取等号， 所以的最小值为 故选 9.【答案】BD  【解析】【分析】 本题主要考查独立性检验思想，线性回归直线方程的意义，相关系数的性质，标准差的性质，属于基础题． 由线性回归直线方程的意义，判断A；根据相关系数的性质分判断B；由标准差的性质判断C；由独立性检验思想判断 【解答】解：对于A，回归直线  恒过样本中心点，但可以不过任一个样本点，A错误； 对于B，用决定系数刻画回归效果时，越接近1，说明模型的拟合效果越好，故B正确； 对于C，将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，由标准差的性质可得标准差不变，故C错误； 对于D，由独立性检验的基本思想可知其正确，故D正确； 10.【答案】ACD  【解析】【分析】本题主要考查任意角的三角函数的定义、平面向量的数量积、三角形的面积公式、解三角形及其应用等知识，属于中档题． 根据圆的性质证出OC平分，可得，从而判断A；根据平面向量数量积的运算及几何意义，判断B，C；根据M点位置，结合任意角的三角函数的定义求出点M的坐标关于、的表达式，从而判断出D项的正误． 【解答】 解：对于A，在圆O中，M是线段AB的中点， 所以OC平分，可得，故A项正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，在中，， 由前面的分析可知，， 设，由三角函数的定义，可得， 可得， ，可得， 即M的坐标为，故D项正确． 11.【答案】ABD  【解析】【分析】 本题主要考查直线与圆，直线与椭圆，点与直线关系，直线与抛物线关系，属于中档题. 根据直线与圆的位置关系判断A；根据直线与椭圆的位置关系判断B；问题转化为在无零点，判断C；根据直线与抛物线关系以及包络曲线含义判断 【解答】解：对于A，在处的切线方程为，故A正确; 对于B，椭圆在处的切线方程为，故B正确; 对于C，将代入得， 构造，， 可知函数在上单调递减，在上单调递增， 则， 易知在无零点，故C错误; 对于D，由可得，显然， 若不在直线族上，代入直线得， ，所以， 联立和得， 所以， 所以直线和相切， 又不包括直线， 所以是直线族的包络曲线，故D正确. 12.【答案】28  【解析】【分析】 本题考查等比数列的性质的应用，属于基础题． 先求得等比数列的首项和公比，从而求得 解：设等比数列的公比为q，则， 由，可得，即， 所以， 可得 故答案为： . 13.【答案】  【解析】【分析】本题考查了圆的对称性的应用，属于中档题。 利用曲线关于x轴、y轴，坐标原点均对称，即可求解。 【解答】 解：当，时，曲线为， 即圆，在第一象限的部分， 曲线曲线关于x轴、y轴，坐标原点均对称， 根据对称性可得曲线如下图中实线部分，   则A，B距离的最大值为2个圆的直径的和， 即则A，B两点间距离的最大值为  14.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查利用导数研究恒成立问题，属于中档题. 方法一：令，求最大值，令，利用函数单调性可证； 方法二：问题转化为，令，令，利用单调性可得，令，利用函数单调性可证 【解答】 解：方法一：，不等式恒成立， 令，则， 则在上单调递增，在上单调递减， 当时，，且， ，不等式恒成立， 即为在上恒成立， 可得， ， 当时，； 当时， 令，， 则在上单调递增，在上单调递减， 当时，， ， 即的最大值为 方法二：，不等式恒成立， 即， 令，，， 在上恒成立， 令，， 则在上单调递增，在上单调递减， 当时，， ， 当时，； 当时， 令，， 则在上单调递增，在上单调递减， 当时，， ， 即的最大值为 15.【答案】解：由正弦定理得， ，，，， ， 又， ， ， 又，所以，， 由正弦定理及二倍角公式得， ， 又，， ， 由正弦定理， ，， 周长  【解析】本题考查了利用正余弦定理解三角形和三角恒等变换，是中档题. 由正弦定理得，再由三角恒等变换得，可得A的值； 由正弦定理及二倍角公式得，得，再得出，由正弦定理得a和c，进而得出的周长. 16.【答案】解：时，， ， 令，所以，当，，当， 所以时，有极大值，无极小值. 依题意，恒成立，分离常量可得： 恒成立， 令， 则， 当时，，，，单调递减; 当时，，，，单调递增. ，   【解析】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是较难题． 对求导得到，再根据极值的定义即可求出结果； 根据条件，分离常量得到，构造，将问题转化成求的最大值，即可求解． 17.【答案】证明：，O为AB中点，，， 在中，， 又，即， ， ，AB，平面ABCD， 平面ABCD， 平面ABCD， 解：取CD中点H，则， 由可知，平面ABCD，又OB、平面ABCD， ，， 以O为坐标原点， OB，OH，OP分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， ，，，，，，， ，， 设平面PCD法向量为， 则，可取， 平面，平面PAC，平面平面， ， ，， 设平面BNQM法向量为， ，， 则，可取， ，， 故平面BNQM与平面PCD夹角的余弦值为  【解析】本题主要考查线面垂直的判定与性质，二面角的求解，属于中档题. 由题意可证，，由线面垂直的判定定理可证平面ABCD，有线面垂直的性质可证 建立空间直角坐标系，求得两半平面的法向量，根据向量的夹角公式可得平面BNQM与平面PCD夹角的余弦值. 18.【答案】解：因为 ， 而在椭圆M中，，当且仅当点P与椭圆M的上、下顶点重合时，等号成立， 所以， 而的最小值是，因此，解得， 所以由得， 因此椭圆M的方程为 ⅰ证明：若直线CD斜率不存在，则，不符合题意： 当直线CD斜率存在时， 设直线CD的方程为：，且， 由得， 因此， 且， 因为A，B为椭圆的上、下顶点，所以， 即 因为当时，， 所以，因此 因为，所以，而， 因此， 所以由得， 即， 因此， 而，所以，解得， 即直线CD的方程为：， 因此直线CD恒过定点 ⅱ解：由ⅰ知：直线AC的方程：， 直线BD的方程为：， 因此，解得， 所以Q点在直线上. 如图： 令直线与y轴的交点为， 因为，， 所以， ，， 因为，，同号， 所以  【解析】本题考查椭圆的方程与性质，椭圆中的定点、定值、定直线问题和直线斜率与倾斜角的关系，属于较难题. 利用向量的数量积运算，结合椭圆的顶点、长短轴，计算得结论； ⅰ设直线CD的方程为：，且，，利用椭圆中的定点问题，计算得结论； ⅱ利用直线斜率的定义，结合平面几何知识，计算得结论. 19.【答案】解： 依题意，4个产品的位置从第1个到第4个排序，有种情况， 同学B要取到最贵价值产品，有以下两种情况：最贵价值产品是第3个，其它的随意在哪个位置，有种情况; 最贵价值产品是第4个，第二贵价值产品是第1个或第2个，其它的随意在哪个位置，有种情况， 所以所求概率 考虑全部产品排序，价值最大的产品是第件，共有!种排法， 先从件产品中挑件产品出来，其中价值最大的产品放在前 k件，剩下的全排列，共!种排法，剩下的件产品全排列， 即 记事件A表示最贵价值产品被乙同学取到， 事件表示最贵价值产品排在第i个，则， 由全概率公式知：， 当时，最贵价值产品在前k个中，不会被取到，此时 当时，最贵价值产品被取到，当且仅当前件产品中最贵的一个在前k个之中， 此时， 因此， 令，求导得，由，得， 当时，；当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 则， 于是当时，取得最大值， 所以的最大值为，此时k的值为  【解析】本题考查古典概型概率公式，全概率公式，利用导数求函数的最值，分类讨论思想，属较难题. 利用古典概型概率公式结合分类讨论即可求得概率； 利用古典概型概率公式结合组合计数公式即可； 利用全概率公式及导数研究函数单调性求得最大值及获得最值的条件. 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$