精品解析：山西吕梁市方山县高级中学2025-2026学年高二下学期6月阶段检测数学试题

高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4.本卷命题范围：人教A版集合与常用逻辑用语，不等式，选择性必修第二册，选择性必修第三册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在数列中，，，则（ ） A. 2 B. C. D. 3. 若，，则（ ） A. B. C. D. 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知的二项式系数之和为32，则展开式中的系数为（ ） A. B. C. 40 D. 80 6. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知等差数列的前项和为，，．若表示不超过的最大整数，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知变量x和y满足经验回归方程，且变量x和y之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法正确的是（ ） x 5 6 9 12 y 8 7 m 2.4 A. m＝5 B. 当x＝13时， C. 变量x和y呈负相关 D. 该经验回归直线必过点（9,5） 10. 已知，设，，则以下四个命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则有最大值8 C. 若，则有最小值 D. 若，则有最大值2 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 当且时， B. 若，则 C. 若只有1个零点，则 D. 若的一个极值点为，且，其中，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若直线是曲线的切线，则实数___________. 13. 已知命题“，”为真命题，则实数m的取值范围是__________． 14. 机床是工业母机，是一切制造之母，五轴联动数控机床是最高端的数控机床之一．某企业用五轴联动数控机床生产的高精密零件的壁厚d（单位：）近似的服从正态分布，若时，高精密零件合格，从该企业生产的此高精密零件中随机抽取1个，则此高精密零件合格的概率约是____________，该企业某月生产了1999个此高精密零件，其中有k个合格品的概率是，则最大时，____________． （参考数据：若，则，，） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某大学想了解本校学生对食堂的满意度情况，对该大学的100名学生进行食堂满意度调查，调查结果如表所示： 满意 不满意 合计 大一或大二 20 20 40 大三或大四 40 20 60 合计 60 40 100 （1）根据小概率值的独立性检验，分析该大学的学生对食堂的满意度是否与年级有关联； （2）从样本中对食堂满意的学生中随机抽取2人，求这2人均是大三或大四学生的概率. 附：，. 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 16. （1）名女生和名男生排成一排，若女生不相邻，有多少种排法？ （2）用、、、、、可以组成多少个无重复数字的四位数且是偶数？ 17. 已知函数的极小值为. （1）求的值； （2）若对恒成立，求实数的取值范围. 18. 已知数列的前项和为，且，． （1）求证：数列是等差数列； （2）求； （3）已知数列的前项和，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 19. 某校在高中三个年级中抽取个学生进行体能测试，且这人中高一年级的学生有人，将这个学生编号为，，，，并按照编号从小到大进行测试，直到所有学生测试完毕. （1）求2号学生为高一学生的概率（用与表示）； （2）若，，记随机变量为最后一个被测试的高一学生的编号，求； （3）若个学生中高二学生和高三学生的人数分别为，，求高二学生先于高一学生和高三学生被测试完（高二学生被全部测试完时，高一学生和高三学生都有剩余）的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4.本卷命题范围：人教A版集合与常用逻辑用语，不等式，选择性必修第二册，选择性必修第三册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题意用列举法表示出集合；再根据集合的交集运算即可求解. 【详解】由题意， 所以. 故选：C. 2. 在数列中，，，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分别求得，得到数列的周期，结合周期性，即可求解. 【详解】由数列满足，，可得，，， 可得该数列的周期为，所以． 3. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质可判断D，取特殊值可判断A，B，C. 【详解】A选项，当时，，A错误； B选项，当时，，B错误； C选项，当时，，C错误； D选项，因为，所以，又因为，所以，D正确； 故选：D. 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 根据充分性和必要性的定义，结合比较法和特例法进行判断即可. 【详解】当时，即， ， 因此由能推出， 当时，显然当时成立，但是不成立， 因此由不一定能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 5. 已知的二项式系数之和为32，则展开式中的系数为（ ） A. B. C. 40 D. 80 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，再利用二项展开式的通项公式即可求解. 【详解】由题知，，解得， 所以的展开式的通项为， 令，得，所以的系数为. 故选：B. 6. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】问题化为在上恒成立，即，根据二次函数的性质求最值即可得. 【详解】由，得， 因为在上单调递增， 所以，在上恒成立，即， 又在上的最小值为，所以， 即实数的取值范围是. 7. 已知，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，将转化为，化简后利用基本不等式即可得求最小值. 【详解】∵，令，则 当且仅当时等号成立. 故选：C. 8. 已知等差数列的前项和为，，．若表示不超过的最大整数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由等差数列的基本量的计算可得，进而可得，再由取整函数的性质可得. 【详解】设的公差为，由得，解得. 所以，，， 故当时，，当时，， 所以． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知变量x和y满足经验回归方程，且变量x和y之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法正确的是（ ） x 5 6 9 12 y 8 7 m 2.4 A. m＝5 B. 当x＝13时， C. 变量x和y呈负相关 D. 该经验回归直线必过点（9,5） 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于A，因为变量x和y满足经验回归方程， 又，，所以，解得m＝5，故A正确； 对于B，因为变量x和y满足经验回归方程，当x＝13时，，故B正确； 对于C，因为变量x和y满足经验回归方程，k＝－0.78＜0，所以变量x和y呈负相关，故C正确； 对于D，由选项A知，，该经验回归直线必过点，不一定过样本点（9，5），故D错误． 10. 已知，设，，则以下四个命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则有最大值8 C. 若，则有最小值 D. 若，则有最大值2 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，利用基本不等式，结合选项，逐项求解，即可得到答案. 【详解】由题意知，实数，，， 对于A，当时，可得， 当且仅当，即，时等号成立，所以， 可得，所以，所以A正确； 对于B，当时，可得， 所以， 当且仅当，即时取等号，即有最小值8，所以B错误； 对于C，当时，， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为，所以C错误； 对于D，当时，， 当且仅当时等号成立， 令，则，且，解得，即， 解得，所以，即有最大值2，当且仅当时取等号，所以D正确． 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 当且时， B. 若，则 C. 若只有1个零点，则 D. 若的一个极值点为，且，其中，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，求导确定函数单调区间，即可判断，对于B，由解析式代入化简即可判断，对于C，通过取，可判断，对于D，由，确定，再结合列出等式化简即可. 【详解】， 令，得或． 对于A，因为，所以，当时，单调递增， 因为，所以，，故A正确； 对于B，因为， 所以，所以，故B正确； 对于C，， 当时，单调递增，只有1个零点， 此时， 当时，，故C错误； 对于D，因为的一个极值点为，所以，即， 由，得， 即，因为，所以，即，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若直线是曲线的切线，则实数___________. 【答案】0 【解析】 【分析】设曲线在点处的切线为，利用导数的意义求解即可. 【详解】设曲线在点处的切线为， 求导得，所以，所以， 解得，，所以切点坐标为， 所以，所以. 故答案为：. 13. 已知命题“，”为真命题，则实数m的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【详解】当时，不等式化为，对任意恒成立，符合题意； 当时，对任意恒成立，需满足： ，解得， 综上可得． 14. 机床是工业母机，是一切制造之母，五轴联动数控机床是最高端的数控机床之一．某企业用五轴联动数控机床生产的高精密零件的壁厚d（单位：）近似的服从正态分布，若时，高精密零件合格，从该企业生产的此高精密零件中随机抽取1个，则此高精密零件合格的概率约是____________，该企业某月生产了1999个此高精密零件，其中有k个合格品的概率是，则最大时，____________． （参考数据：若，则，，） 【答案】 ①. 0.954 ②. 1907或1908 【解析】 【分析】根据正态分布的性质，结合题目所给的参考数据，可求出第1空的概率；易判断合格品数服从二项分布，进而求出合格品的概率，列出最大的不等式组，即可求出第2空的值. 【详解】解：因为，则，， 所以，，， 因此，此高精密零件合格的概率约是0.954． 由该企业某月生产了1999个此高精密零件，其中有k个合格品的概率是， 设生产1999个零件，合格品数为，则， 则，若最大，则， 即， 即，解得， 又，所以或1908． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某大学想了解本校学生对食堂的满意度情况，对该大学的100名学生进行食堂满意度调查，调查结果如表所示： 满意 不满意 合计 大一或大二 20 20 40 大三或大四 40 20 60 合计 60 40 100 （1）根据小概率值的独立性检验，分析该大学的学生对食堂的满意度是否与年级有关联； （2）从样本中对食堂满意的学生中随机抽取2人，求这2人均是大三或大四学生的概率. 附：，. 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）有关 （2） 【解析】 【分析】（1）根据零假设，结合所给卡方公式进行运算判断即可； （2）根据古典概型运算公式，结合组合的定义进行求解即可. 【小问1详解】 零假设：该校学生对食堂的满意度与年级无关. 经计算得， 依据小概率值的独立性检验，推断零假设不成立，即该校学生对食堂的满意度与年级有关联，此推断犯错误的概率不大于0.1. 【小问2详解】 对食堂满意的学生共60人，其中大一或大二学生：20人，大三或大四学生：40人， 抽取2人均为大三或大四学生的概率：. 16. （1）名女生和名男生排成一排，若女生不相邻，有多少种排法？ （2）用、、、、、可以组成多少个无重复数字的四位数且是偶数？ 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）直接用插空法可得； （2）分两类完成：第一类：个位数为，第二类：个位数为或，然后分别计算可得. 【详解】（1）用插空法：先排名男生，有种排法， 再从这名男生之间及两端共有个位置，从中选取个位置排女生，有种排法， 因此共有种不同排法． （2）分两类完成： 第一类：若个位数为，则可以组成个无重复数字的四位偶数； 第二类：若个位数为或，则千位数有种不同选法，中间两位则有种不同选法， 因此可以组成个无重复数字的四位偶数． 根据分类加法计数原理，组成无重复数字的四位数且是偶数的个数为． 17. 已知函数的极小值为. （1）求的值； （2）若对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由，得， 又，令，得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 所以有极小值，解得. 【小问2详解】 由，，得， 又，所以， 因为对恒成立，所以，. 令，，则， 令，得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以有极大值，也是最大值，即. 所以，即的取值范围是. 18. 已知数列的前项和为，且，． （1）求证：数列是等差数列； （2）求； （3）已知数列的前项和，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）由，得，即， 所以数列是公差为1的等差数列； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据递推式得，结合等差数列的定义即可证； （2）由（1）写出的通项公式，应用错位相减法、等比数列的前n项和公式求； （3）根据已知求得，再由数列不等式恒成立得对任意的恒成立，结合右侧的单调性确定参数范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1），得，所以，又， 所以，解得，则． ， ， 以上两式相减，得 ， 所以． 【小问3详解】 因为数列的前项和，当时， 以上两式相减，得， 又，满足上式，所以． 因为不等式对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立． 令， 所以， 当时，，即， 当时，，即， 所以，所以， 所以，即实数的取值范围是. 19. 某校在高中三个年级中抽取个学生进行体能测试，且这人中高一年级的学生有人，将这个学生编号为，，，，并按照编号从小到大进行测试，直到所有学生测试完毕. （1）求2号学生为高一学生的概率（用与表示）； （2）若，，记随机变量为最后一个被测试的高一学生的编号，求； （3）若个学生中高二学生和高三学生的人数分别为，，求高二学生先于高一学生和高三学生被测试完（高二学生被全部测试完时，高一学生和高三学生都有剩余）的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式即可求解； （2）随机变量的取值为，，，，，，，分别计算概率，利用期望公式即可求解； （3）分为最后一个学生为高一学生和最后一个学生为高三学生两种情况，分别求出符合题意的排序情况，再求出总的排序情况，根据古典概率公式即可求解. 【小问1详解】 设事件：第号学生为高一学生， 则 . 【小问2详解】 根据题意，随机变量的取值为，，，，，，， 则，， ，， ，， ， 所以的分布列为： 4 5 6 7 8 9 10 所以. 【小问3详解】 ①若最后一个学生为高一学生，有种方法， 先将全部高三学生排在此高一学生前面，共种方法， 再将全部的高二学生一个一个地排入，确保最后一个高二学生后面有高一学生和高三学生，共有种方法， 最后将剩余的个高一学生一个一个地排入，共有种方法. 综上所述， 共有种方法； ②若最后一个学生为高三学生，有种方法， 先将全部高一学生排在此高三学生前面，共种方法， 再将全部的高二学生一个一个地排入，确保最后一个高二学生后面有高一学生和高三学生，共有种方法， 最后将剩余的个高三学生一个一个地排入，共有种方法， 综上所述，共有种方法. 综合①②，得高二学生先于高一学生和高三学生被测试完（高二学生被全部测试完时，高一学生和高三学生都有剩余）有种方法， 所以所要求的概率为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $