专题01 集合与常用逻辑用语-【数学文化】高考数学考点与数学文化的融合（新高考通用）

专题01 数学文化背景下的高考数学之集合与常用逻辑用语 背景1：中国古代重要的数学著作孙子算经下卷有题：今有物，不知其数三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二问：物几何？ 背景2：1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机.将有理数集划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称为戴德金分割 背景3：群论是代数学的分支学科，在抽象代数中具有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明.群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“· ”是G上的一个代数运算，即对所有的a、b∈G，有a·b∈G，如果G的运算还满足：①a、b、c∈G，有（a·b）·c=a·（b·c）；②，使得，有，③，，使a·b=b·a=e，则称G关于“·”构成一个群. 背景4：祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面面积恒相等，则体积相等. 背景5：利用名人所做诗词为背景判别充分条件与必要条件 集合知识归纳总结： 1.集合与元素 1、集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． 2、元素与集合的关系：属于或不属于，用符号或表示． 3、集合的表示法：列举法、描述法、图示法． 4、常见数集的记法与关系图 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 2.集合间的基本关系 表示 关系 文字语言 符号语言 图形语言 基本关系 子集 集合A的所有元素都是集合B的元素（则） 或 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A 或 相等 集合A，B的元素完全相同 空集 不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集 3.集合的基本运算 集合交并补运算的表示 集合的并集 集合的交集 集合的补集 图形语言 符号语言 注：常用二级结论 （1）并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A． （2）交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B． （3）补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅．∁U(∁UA)＝A； ∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)． （4）若集合中含有个元素，则它的子集个数为，真子集个数为，非空真子集个数为． 常用逻辑用语知识归纳总结： 4.充分条件与必要条件： 若p⇒q，则p是q的充分条件q是p的必要条件。 若p⇔q，则p是q充要条件。 若p⇒q，q⇏p,p是q的充分不必要条件。 若p⇏q，q⇒p,p是q的必要不充分条件。 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， 则由A⊆B可得，p是q的充分条件，q是p的必要条件 ①若AB，则p是q的充分不必要条件； ②若AB，则p是q的必要不充分条件； ③若A＝B，则p是q的充要条件； ④若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件． 充分必要条件判断精髓： 小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系； 5.全称量词： 一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述句中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“”表示， 一般地，“存在”“有的”“有一个”在陈述句中表示所述事物的部分，称为存在量词，用符号“”表示， 全称量词命题的否定： 一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词命题： ． 存在量词命题的否定： 一般地，存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题： ． 1 借助数学文化考查集合的概念及表示 中国古代重要的数学著作孙子算经下卷有题：今有物，不知其数三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二问：物几何？现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中符合题意的整数为（  ） A． B． C． D． 变式1.中国古代数学专著《孙子算经》中有一问题“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归，问：三女几何日相会？”，则此三女前三次相会经过的天数组成的集合用列举法可表示为______，此三女相会经过的天数组成的集合用描述法可表示为______. 2 借助数学文化考查集合的运算 （多选）1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机.将有理数集划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称为戴德金分割.试判断下列选项中，可能成立的是（  ） A．满足戴德金分割 B．M没有最大元素，N有一个最小元素 C．M没有最大元素，N没有最小元素 D．M有一个最大元素，N有一个最小元素 变式1.由无理数引发的数学危机一直延续到世纪，直到年，德国数学家戴金德提出了“戴金德分割”才结束了持续多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴金德分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴金德分割.试判断，对于任一戴金德分割，下列选项中一定不成立的是（  ） A．没有最大元素，有一个最小元素 B．没有最大元素，也没有最小元素 C．有一个最大元素，有一个最小元素 D．有一个最大元素，没有最小元素 变式2.戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空子集A与B，且满足Q，，A中的每一个元素都小于B中的每一个元素．请给出一组满足A中无最大元素且B中无最小元素的戴德金分割______． 3 借助数学文化考查高等数学与集合的联系 （多选）群论是代数学的分支学科，在抽象代数中具有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明.群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“· ”是G上的一个代数运算，即对所有的a、b∈G，有a·b∈G，如果G的运算还满足：①a、b、c∈G，有（a·b）·c=a·（b·c）；②，使得，有，③，，使a·b=b·a=e，则称G关于“·”构成一个群.则下列说法正确的有（  ） A．关于数的乘法构成群 B．G={x|x=，k∈Z，k≠0}∪{x|x=m，m∈Z，m≠0}关于数的乘法构成群 C．实数集关于数的加法构成群 D．关于数的加法构成群 变式1.（多选）当一个非空数集G满足“如果a、，则、、，且时，”时，我们称G是一个数域．以下四个关于数域的命题中真命题的个数是（  ） A.0是任何数域中的元素；B.若数域G中有非零元素，则； C.集合是一个数域；D.有理数集Q是一个数域． 4 借助数学文化考查古诗词与充分条件、必要条件的联系 杜甫在《奉赠韦左丞丈二十二韵》中有诗句：“读书破万卷，下笔如有神.”对此诗句的理解是读书只有读透书，博览群书，这样落实到笔下，运用起来才有可能得心应手，如有神助一般，由此可得，“读书破万卷”是“下笔如有神”的（  ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 变式1.毛泽东同志在《清平乐●六盘山》中的两句诗为“不到长城非好汉，屈指行程二万”，假设诗句的前一句为真命题，则“到长城”是“好汉”的__________条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”） 变式2.必修一课本有一段话：当命题“若，则”为真命题，则“由可以推出”，即一旦成立，就成立，是成立的充分条件.也可以这样说，若不成立，那么一定不成立，对成立也是很必要的.王安石在《游褒禅山记》中也说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的（  ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式2.王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5 借助数学文化考查数学背景与充分条件、必要条件的联系 祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面面积恒相等，则体积相等.设A，B为两个同高的几何体，p：A，B的体积相等，q：A，B在等高处的截面面积恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式1.在我国南北朝时期，数学家祖暅在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”．其意思是，用一组平行平面截两个几何体，若在任意等高处的截面面积都对应相等，则两个几何体的体积必然相等．根据祖暅原理，“两几何体A、B的体积不相等”是“A、B在等高处的截面面积不恒相等”的条件（  ） A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 1．集合论是德国数学家康托尔（G.Cantor）于19世纪末创立的.在他的集合理论中，用表示有限集合中元素的个数，例如：，则.若对于任意两个有限集合，有.某校举办运动会，高三（1）班参加田赛的学生有14人，参加径赛的学生有9人，两项都参加的有5人，那么高三（1）班参加本次运动会的人数共有（  ） A．28 B．23 C．18 D．16 2．在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象．数学黑洞：无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样．目前已经发现的数字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等．定义：若一个n位正整数的所有数位上数字的n次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数．已知所有一位正整数的自恋数组成集合A，集合，则的子集个数为（  ） A．3 B．4 C．7 D．8 3．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”意思是说两个同高的几何体，若在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设为两个同高的几何体，在等高处的截面积不恒相等，的体积不相等，根据祖暅原理可知，是的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．给定整数，有个实数元素的集合，定义其相伴数集，如果，则称集合为一个元规范数集．（注：表示数集中的最小数）．对于集合，则（  ） A．是规范数集，不是规范数集 B．是规范数集，是规范数集 C．不是规范数集，是规范数集 D．不是规范数集，不是规范数集 5.《墨经》上说：“小故，有之不必然，无之必不然体也，若有端.大故，有之必然，若见之成见也.”则“有之必然”表述的数学关系一定是（  ） A．充分条件 B．必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．不能确定 6．数学家康托尔创立了集合论，集合论的产生丰富了现代计数方法.记为集合的元素个数，为集合的子集个数，若集合满足：①，；②，则的最大值是（  ） A. B. C. D. 7．（多选）中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二问：物几何?”现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中符合题意的整数为（  ） A．8 B．128 C．37 D．23 8.（多选）在整数集中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为，，则下列结论正确的为（  ） A． B． C． D．整数属于同一“类”的充要条件是“” 9.若一个非空数集满足：对任意，有，，，且当时，有，则称为一个数域，以下命题中： （1）0是任何数域的元素；（2）若数域有非零元素，则； （3）集合为数域；（4）有理数集为数域； 真命题的个数为________ 10．设S、T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数满足：（ⅰ）；（ⅱ）对任意，当时，恒有．那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下3对集合： ①，B为正整数集； ②，； ③，． 其中，“保序同构”的集合对的序号______．（写出所有“保序同构”的集合对的序号） 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 数学文化背景下的中考数学之集合与常用逻辑用语 背景1：中国古代重要的数学著作孙子算经下卷有题：今有物，不知其数三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二问：物几何？ 背景2：1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机.将有理数集划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称为戴德金分割 背景3：群论是代数学的分支学科，在抽象代数中具有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明.群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“· ”是G上的一个代数运算，即对所有的a、b∈G，有a·b∈G，如果G的运算还满足：①a、b、c∈G，有（a·b）·c=a·（b·c）；②，使得，有，③，，使a·b=b·a=e，则称G关于“·”构成一个群. 背景4：祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面面积恒相等，则体积相等. 背景5：利用名人所做诗词为背景判别充分条件与必要条件 集合知识归纳总结： 1.集合与元素 1、集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． 2、元素与集合的关系：属于或不属于，用符号或表示． 3、集合的表示法：列举法、描述法、图示法． 4、常见数集的记法与关系图 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 2.集合间的基本关系 表示 关系 文字语言 符号语言 图形语言 基本关系 子集 集合A的所有元素都是集合B的元素（则） 或 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A 或 相等 集合A，B的元素完全相同 空集 不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集 3.集合的基本运算 集合交并补运算的表示 集合的并集 集合的交集 集合的补集 图形语言 符号语言 注：常用二级结论 （1）并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A． （2）交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B． （3）补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅．∁U(∁UA)＝A； ∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)． （4）若集合中含有个元素，则它的子集个数为，真子集个数为，非空真子集个数为． 常用逻辑用语知识归纳总结： 4.充分条件与必要条件： 若p⇒q，则p是q的充分条件q是p的必要条件。 若p⇔q，则p是q充要条件。 若p⇒q，q⇏p,p是q的充分不必要条件。 若p⇏q，q⇒p,p是q的必要不充分条件。 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， 则由A⊆B可得，p是q的充分条件，q是p的必要条件 ①若AB，则p是q的充分不必要条件； ②若AB，则p是q的必要不充分条件； ③若A＝B，则p是q的充要条件； ④若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件． 充分必要条件判断精髓： 小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系； 5.全称量词： 一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述句中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“”表示， 一般地，“存在”“有的”“有一个”在陈述句中表示所述事物的部分，称为存在量词，用符号“”表示， 全称量词命题的否定： 一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词命题： ． 存在量词命题的否定： 一般地，存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题： ． 1 借助数学文化考查集合的概念及表示 中国古代重要的数学著作孙子算经下卷有题：今有物，不知其数三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二问：物几何？现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中符合题意的整数为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，则，选项A错误； ，则，选项B错误； ，则，选项C错误； ，故；，故；，故，则，选项D正确. 故选：D． 变式1.中国古代数学专著《孙子算经》中有一问题“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归，问：三女几何日相会？”，则此三女前三次相会经过的天数组成的集合用列举法可表示为______，此三女相会经过的天数组成的集合用描述法可表示为______. 【答案】          【解析】因为三女相会经过的天数是5，4，3的公倍数，且它们的最小公倍数为60， 所以三女前三次相会经过的天数组成的集合用列举法可表示为. 此三女相会经过的天数组成的集合用描述法可表示为. 故答案为：， 2 借助数学文化考查集合的运算 （多选）1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机.将有理数集划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称为戴德金分割.试判断下列选项中，可能成立的是（  ） A．满足戴德金分割 B．M没有最大元素，N有一个最小元素 C．M没有最大元素，N没有最小元素 D．M有一个最大元素，N有一个最小元素 【答案】ABC 【解析】对于A，满足戴德金分割的定义，A正确； 对于B,取，符合戴德金分割， M没有最大元素，N有一个最小元素，B正确； 对于C，取满足戴德金分割的定义， M没有最大元素，N没有最小元素，C正确； 对于D，假设M有一个最大元素m，N有一个最小元素n,根据戴德金分割定义， 必有，则无法满足，D错误， 故选： . 变式1.由无理数引发的数学危机一直延续到世纪，直到年，德国数学家戴金德提出了“戴金德分割”才结束了持续多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴金德分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴金德分割.试判断，对于任一戴金德分割，下列选项中一定不成立的是（  ） A．没有最大元素，有一个最小元素 B．没有最大元素，也没有最小元素 C．有一个最大元素，有一个最小元素 D．有一个最大元素，没有最小元素 【答案】C 【解析】若，；则没有最大元素，有一个最小元素；故A正确； 若，；则没有最大元素，也没有最小元素；故B正确； 若，；有一个最大元素，没有最小元素，故D正确； 有一个最大元素，有一个最小元素不可能，故C不正确. 故选：C 变式2.戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空子集A与B，且满足Q，，A中的每一个元素都小于B中的每一个元素．请给出一组满足A中无最大元素且B中无最小元素的戴德金分割______． 【答案】，（答案不唯一） 【解析】以无理数分界写出一组即可，如，．（答案不唯一）； 故答案为：，．（答案不唯一） 3 借助数学文化考查高等数学与集合的联系 （多选）群论是代数学的分支学科，在抽象代数中具有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明.群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“· ”是G上的一个代数运算，即对所有的a、b∈G，有a·b∈G，如果G的运算还满足：①a、b、c∈G，有（a·b）·c=a·（b·c）；②，使得，有，③，，使a·b=b·a=e，则称G关于“·”构成一个群.则下列说法正确的有（  ） A．关于数的乘法构成群 B．G={x|x=，k∈Z，k≠0}∪{x|x=m，m∈Z，m≠0}关于数的乘法构成群 C．实数集关于数的加法构成群 D．关于数的加法构成群 【答案】CD 【解析】对于A：若，对所有的a、，有， 满足乘法结合律，即①成立，满足②的为1， 但当时，不存在，使得，即③不成立， 即选项A错误； 对于B：因为，且，但， 所以选项B错误； 对于C：若，对所有的a、，有， 满足加法结合律，即①成立，满足②的为0， ，，使，即③成立； 即选项C正确； 对于D：若，所有的、， 有，成立， 即①成立；当时，，满足的，即②成立； ，，使，即③成立； 即选项D正确. 故选：CD. 变式1.（多选）当一个非空数集G满足“如果a、，则、、，且时，”时，我们称G是一个数域．以下四个关于数域的命题中真命题的个数是（  ） A.0是任何数域中的元素；B.若数域G中有非零元素，则； C.集合是一个数域；D.有理数集Q是一个数域． 【答案】ABD 【解析】由定义可知，，即0是任何数域中的元素，A正确； 若域G中有非零元素a，则，所以，，…，，B正确； 记则，但，故C错误； 易知任意两个有理数的和差积仍是有理数，当分母不为0时，两个有理数的商仍为有理数，故D正确. 故选：ABD 4 借助数学文化考查古诗词与充分条件、必要条件的联系 杜甫在《奉赠韦左丞丈二十二韵》中有诗句：“读书破万卷，下笔如有神.”对此诗句的理解是读书只有读透书，博览群书，这样落实到笔下，运用起来才有可能得心应手，如有神助一般，由此可得，“读书破万卷”是“下笔如有神”的（  ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】杜甫的诗句表明书读得越多，文章未必就写得越好，但不可否认的是，一般写作较好的人，他的阅读量一定不会少，而且所涉猎的文章范畴也会比一般读书人广泛. 因此“读书破万卷”是“下笔如有神”的必要不充分条件. 故选：C 变式1.毛泽东同志在《清平乐●六盘山》中的两句诗为“不到长城非好汉，屈指行程二万”，假设诗句的前一句为真命题，则“到长城”是“好汉”的__________条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”） 【答案】必要不充分 【解析】“好汉”“到长城”， “到长城”“好汉”， 所以“到长城”是“好汉”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分 变式2.必修一课本有一段话：当命题“若，则”为真命题，则“由可以推出”，即一旦成立，就成立，是成立的充分条件.也可以这样说，若不成立，那么一定不成立，对成立也是很必要的.王安石在《游褒禅山记》中也说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的（  ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】因为“非有志者不能至也”即“有志”不成立时“能至”一定不成立， 所以“能至”是“有志”的充分条件，“有志”是“能至”的必要条件， 故选：B. 变式2.王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，故充分不成立， 但“返回家乡”一定是“攻破楼兰”，故必要性成立， 所以“攻破楼兰”是“返回家乡”必要不充分条件， 故选：B． 5 借助数学文化考查数学背景与充分条件、必要条件的联系 祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面面积恒相等，则体积相等.设A，B为两个同高的几何体，p：A，B的体积相等，q：A，B在等高处的截面面积恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由，反之不成立． 是的必要不充分条件． 故选：B. 变式1.在我国南北朝时期，数学家祖暅在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”．其意思是，用一组平行平面截两个几何体，若在任意等高处的截面面积都对应相等，则两个几何体的体积必然相等．根据祖暅原理，“两几何体A、B的体积不相等”是“A、B在等高处的截面面积不恒相等”的条件（  ） A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【解析】由已知有”在任意等高处的截面面积都对应相等”是“两个几何体的体积必然相等“的充分条件不必要条件，结合原命题与其逆否命题的真假可得： “两几何体A、B的体积不相等”是“A、B在等高处的截面面积不恒相等”的充分不必要条件， 故选：A． 1．集合论是德国数学家康托尔（G.Cantor）于19世纪末创立的.在他的集合理论中，用表示有限集合中元素的个数，例如：，则.若对于任意两个有限集合，有.某校举办运动会，高三（1）班参加田赛的学生有14人，参加径赛的学生有9人，两项都参加的有5人，那么高三（1）班参加本次运动会的人数共有（  ） A．28 B．23 C．18 D．16 【答案】C 【解析】设参加田赛的学生组成集合A，则， 参加径赛的学生组成集合B，则， 由题意得， 所以， 所以高三（1）班参加本次运动会的人数共有. 故选：C. 2．在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象．数学黑洞：无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样．目前已经发现的数字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等．定义：若一个n位正整数的所有数位上数字的n次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数．已知所有一位正整数的自恋数组成集合A，集合，则的子集个数为（  ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】D 【解析】依题意，，， 故，故的子集个数为8． 故选：D． 3．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”意思是说两个同高的几何体，若在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设为两个同高的几何体，在等高处的截面积不恒相等，的体积不相等，根据祖暅原理可知，是的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】“两个同高的几何体，等高处的截面积恒相等，则体积相等”的等价命题是“两个同高的几何体，体积不相等，则等高处的截面积不恒相等”，所以； 反之“两个同高的几何体，体积相等，则等高处的截面积恒相等”不成立，即由推不出， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 4．给定整数，有个实数元素的集合，定义其相伴数集，如果，则称集合为一个元规范数集．（注：表示数集中的最小数）．对于集合，则（  ） A．是规范数集，不是规范数集 B．是规范数集，是规范数集 C．不是规范数集，是规范数集 D．不是规范数集，不是规范数集 【答案】C 【解析】集合中，，则， 即的相伴数集中的最小数不是1，因此不是规范数集； 集合，， ， 即的相伴数集中的最小数是1，因此是规范数集. 故选：C 5.《墨经》上说：“小故，有之不必然，无之必不然体也，若有端.大故，有之必然，若见之成见也.”则“有之必然”表述的数学关系一定是（  ） A．充分条件 B．必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．不能确定 【答案】A 【解析】由“小故，有之不必然，无之必不然体也，若有端.大故，有之必然，若见之成见也” 知“大故”必然有其原因，有其原因必然会发生， 所以“有之必然”所表述的数学关系一定是充分条件. 故选：A. 6．数学家康托尔创立了集合论，集合论的产生丰富了现代计数方法.记为集合的元素个数，为集合的子集个数，若集合满足：①，；②，则的最大值是（  ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设， 则，即， 所以, 若,则，即左边为奇数，右边为偶数，不成立， 若，则，即左边为奇数，右边为偶数，不成立， 所以,即， 因为， 且满足， 所以包含了的个元素外， 还包含个属于而不属于的元素， 当时，则, 如，符合题意. 当时，则, 如，符合题意. 所以的最大值为， 故选：B. 7．（多选）中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二问：物几何?”现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中符合题意的整数为（  ） A．8 B．128 C．37 D．23 【答案】BD 【解析】对于A，因，则，选项A错误； 对于B，，即；又，即；而，即，因此，，选项B正确； 对于C，因，则，选项C错误； 对于D，，即；又，即；而，即，因此，，选项D正确. 故选：BD 8.（多选）在整数集中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为，，则下列结论正确的为（  ） A． B． C． D．整数属于同一“类”的充要条件是“” 【答案】BCD 【解析】对于A，由得，故A错误； 对于B，由得，故B正确； 对于C，所有整数被4除所得的余数只有四种情况，即刚好分成共4类，故，故C正确. 对于D，若整数属于同一“类”，则， 故，所以； 反之，不妨设，则， 若，则，即，所以整数属于同一“类”； 故整数属于同一“类”的充要条件是“”，即D正确. 故选：BCD. 9.若一个非空数集满足：对任意，有，，，且当时，有，则称为一个数域，以下命题中： （1）0是任何数域的元素；（2）若数域有非零元素，则； （3）集合为数域；（4）有理数集为数域； 真命题的个数为________ 【答案】3 【解析】（1）当时，属于数域，故（1）正确， （2）若数域有非零元素，则， 从而，故（2）正确； （3）由集合的表示可知得是3的倍数，当时，，故（3）错误， （4）若是有理数集，则当，，则，，，且当时，”都成立，故（4）正确， 故真命题的个数是3. 故答案为：3 10．设S、T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数满足：（ⅰ）；（ⅱ）对任意，当时，恒有．那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下3对集合： ①，B为正整数集； ②，； ③，． 其中，“保序同构”的集合对的序号______．（写出所有“保序同构”的集合对的序号） 【答案】①②③ 【解析】条件（ⅰ）（ⅱ）说明到是一个一一映射，且函数为单调递增函数. 对于①，可拟合函数满足上述两个条件，故是保序同构； 对于②，可拟合函数满足上述两个条件，故是保序同构； 对于③，可考虑经过平移压缩的正切函数也满足上述两个条件，故都是保序同构； 故答案为：①②③ 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$