专题01 幂的运算（7大题型+过关训练）-【新教材】2024-2025学年七年级数学下册章节同步实验班培优题型变式训练（北师大版2024）

专题01 幂的运算 目录 【题型一 由幂的运算化简求值】 1 【题型二 由幂的运算进行简便运算】 1 【题型三 由幂的运算进行整体带入求值】 2 【题型四 由幂的运算求字母的值】 2 【题型五 由幂的运算表示代数式】 2 【题型六 由幂的运算比较大小】 3 【题型七 由幂的运算确定字母之间的关系】 3 【题型八 幂的运算中的新定义问题】 4 【题型九 幂的混合运算】 4 【题型一 由幂的运算化简求值】 例题：（22-23七年级下·陕西咸阳·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）若， ，则 的值为 ． 2．（24-25八年级上·辽宁·阶段练习），，则 ． 【题型二 由幂的运算进行简便运算】 例题：（24-25八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）计算：的结果是（   ） A． B． C． D．2 【变式训练】 1．（24-25八年级上·吉林四平·期末）计算： ． 2．（24-25八年级上·山东临沂·阶段练习）计算： ． 【题型三 由幂的运算进行整体带入求值】 例题：（24-25八年级上·贵州黔南·阶段练习）已知，则的值是（   ） A．3 B．9 C．18 D．27 【变式训练】 1．（22-23七年级下·陕西咸阳·期中）已知，则的值为 ． 2．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）已知 那么的值为 ． 【题型四 由幂的运算求字母的值】 例题：（24-25八年级上·四川宜宾·期中）已知，则的值为（    ） A． B．3 C．9 D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·全国·阶段练习）若，则n的值是 ． 2．（24-25八年级上·山西长治·期中）已知，则的值是 ． 【题型五 由幂的运算表示代数式】 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）已知，试用含的式子表示． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·四川巴中·期中）已知：，，． (1)求的值； (2)证明：． 2．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）已知，，，计算下列代数式： (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【题型六 由幂的运算比较大小】 例题：（22-23八年级上·广西梧州·期末）比较与大小，结果是（　　） A．前者大 B．一样大 C．后者大 D．无法确定 【变式训练】 1．（22-23七年级下·江苏连云港·期中）如果，那么三数的大小为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海·阶段练习）比较大小： （填“”、“”或“”）． 【题型七 由幂的运算确定字母之间的关系】 例题：（23-24七年级下·河南驻马店·期中）已知，，，那么、、之间满足的等量关系是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2024·河北唐山·模拟预测）若，则k与m（k，m都为正整数，且）的关系是（    ） A． B． C． D． 2．（2024七年级下·江苏·专题练习）若，，，则a、b、c之间满足的等量关系成立的是 ①；②；③；④ 【题型八 幂的运算中的新定义问题】 例题：（20-21七年级下·福建三明·阶段练习）我们定义一个新运算：，如，那么为（    ） A． B． C． D．32 【变式训练】 1．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）新定义：（均为正整数），例如：．若，，则的值为（　　） A．18 B．24 C．36 D．63 2．（23-24六年级下·山东泰安·期末）新定义一种运算，其法则为，则 ． 【题型九 幂的混合运算】 例题：（23-24七年级下·广东茂名·期末）计算： (1)； (2)． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·全国·阶段练习）解答下列问题： (1)若，求的值； (2)已知为正整数，且，求的值； 2．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）计算： (1) (2) ． 一、单选题 1．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·吉林四平·期末）若，则等于（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 3．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）若，，且，则x的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25七年级上·上海黄浦·期中）的计算结果是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·四川凉山·阶段练习）已知，，则的值为（   ） A．14 B．126 C．24 D．128 二、填空题 6．（24-25七年级上·黑龙江大庆·期中）已知：，则 7．（24-25八年级上·吉林长春·期末）若，，，则a、b、c的大小关系是 ．（用“”连接） 8．（24-25八年级上·河南南阳·期中）已知，，则 ． 9．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）计算： ． 10．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）将分式表示成不含分母的形式 ． 三、解答题 11．（23-24七年级上·贵州黔西·期末）计算： (1)； (2)． 12．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）已知 (1)求的值． (2)若用含x的代数式表示y值． (3)求 13．（2024八年级上·全国·专题练习）在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：“若，，求的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即，所以，所以． (1)若，，请你也利用逆向思考的方法求出的值； (2)下面是小豫用逆向思考的方法完成的一道作业题，请你参考小豫的方法解答下面的问题： 小豫的作业 计算：； 解：． ①小豫的求解方法逆用了幂的一条运算性质，请你用符号(字母)语言直接写出这条性质：___________． ②计算：． 14．（2024八年级上·全国·专题练习）（1）已知，求的值． （2）已知，求x的值． （3）计算． 15．（24-25八年级上·吉林白城·阶段练习）阅读下列材料，回答问题． 下面是底数大于1的数比较大小的两种方法． ①比较和的大小． 当时，，即当底数相同时，指数越大值越大． ②比较和的大小． 解：，，，，． 即指数相同时，底数越大值越大． (1)比较和的大小； (2)已知，，则a___________b．（选填“>”“=”或“<”） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 幂的运算 目录 【题型一 由幂的运算化简求值】 1 【题型二 由幂的运算进行简便运算】 2 【题型三 由幂的运算进行整体带入求值】 4 【题型四 由幂的运算求字母的值】 5 【题型五 由幂的运算表示代数式】 6 【题型六 由幂的运算比较大小】 8 【题型七 由幂的运算确定字母之间的关系】 9 【题型八 幂的运算中的新定义问题】 11 【题型九 幂的混合运算】 12 【题型一 由幂的运算化简求值】 例题：（22-23七年级下·陕西咸阳·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查积的乘方和幂的乘方，同底数幂的乘险滩，分别根据相关运算法则求解即可． 【详解】解：，故选项A计算正确，符合题意； B. ，故选项B计算错误，不符合题意； C. ，故选项C计算错误，不符合题意； D. ，故选项D计算错误，不符合题意； 故选：A 【变式训练】 1．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）若， ，则 的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键，根据幂的乘方，可得同底数幂的除法，根据同底数幂的除法，可得答案． 【详解】解：， ， 故答案为∶1． 2．（24-25八年级上·辽宁·阶段练习），，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了积的乘方，幂的乘方逆用．原式先依据积的乘方计算得，再将，代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 【题型二 由幂的运算进行简便运算】 例题：（24-25八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）计算：的结果是（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查积的乘方的逆运算，由求解即可． 【详解】解： ， 故选：A． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·吉林四平·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方与幂的乘方运算法则，先逆用幂的乘方法则将化成，再逆用积的乘方法则计算即可． 【详解】解：原式 故答案为：． 2．（24-25八年级上·山东临沂·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了积和乘方，根据积的乘方运算法则求解即可，熟记幂的运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 【题型三 由幂的运算进行整体带入求值】 例题：（24-25八年级上·贵州黔南·阶段练习）已知，则的值是（   ） A．3 B．9 C．18 D．27 【答案】D 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂相乘，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 先计算幂的乘方的逆运算，再进行同底数幂相乘，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：D． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·陕西咸阳·期中）已知，则的值为 ． 【答案】16 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法，根据得，将变形为即可求解． 【详解】解：， ， ， 故答案为：16． 2．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）已知 那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方，逆用同底数幂相乘法则，幂的乘方法则计算即可． 【详解】解：∵ ∴ ， 故答案为：． 【题型四 由幂的运算求字母的值】 例题：（24-25八年级上·四川宜宾·期中）已知，则的值为（    ） A． B．3 C．9 D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂乘法及其逆运算以及幂的乘方等知识点，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．根据同底数幂乘法，同底数幂乘法，幂的乘方运算法则进计算即可． 【详解】， ， ， ， ， 解得， 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·全国·阶段练习）若，则n的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查幂的乘方的逆运算及同底数幂相乘的逆运算，根据及求解即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， 即：， ∴，解得：， 故答案为：4． 2．（24-25八年级上·山西长治·期中）已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查幂的运算，解题的关键是掌握，进行解答，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型五 由幂的运算表示代数式】 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）已知，试用含的式子表示． 【答案】 【分析】该题主要考查了积的乘方和幂的乘方逆运用，解题的关键是掌握积的乘方和幂的乘方运算法则． 将转化为，再代入计算即可； 【详解】解：∵， ∴． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·四川巴中·期中）已知：，，． (1)求的值； (2)证明：． 【答案】(1)125 (2)见解析 【分析】（1）逆用同底数幂乘法和同底数幂除法运算的性质进行求解即可； （2）利用，即可求解． 本题考查了同底数幂除法与同底数幂乘法性质的逆向运用，逆向思维是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴． 2．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）已知，，，计算下列代数式： (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)15 (2) (3)400 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． （1）根据幂的乘方运算法则可得，再根据同底数幂的乘法法则计算即可； （2）由，根据同底数幂的除法法则以及幂的乘方运算法则计算即可； （3）根据积的乘方运算法则可得，再根据幂的乘方运算法则计算即可． 【详解】（1）解：，，． ． （2）解：． （3）解：． 【题型六 由幂的运算比较大小】 例题：（22-23八年级上·广西梧州·期末）比较与大小，结果是（　　） A．前者大 B．一样大 C．后者大 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方及同底数幂的乘法，有理数大小比较，先把与变为，再比较底数，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， 故选：A． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·江苏连云港·期中）如果，那么三数的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了零指数幂和负整数指数幂运算，先根据零指数幂，负整数指数幂运算法则，乘方运算法则进行计算，然后再比较大小即可． 【详解】解：， ， ， ∵， ∴， 故选：D． 2．（24-25七年级上·上海·阶段练习）比较大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方以及逆运算，积的乘方，掌握相关运算法则是解题关键．将变形为，将变形为，即可比较大小． 【详解】解：，，且， ， 故答案为：． 【题型七 由幂的运算确定字母之间的关系】 例题：（23-24七年级下·河南驻马店·期中）已知，，，那么、、之间满足的等量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的乘法的应用，解题的关键是掌握：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．据此对已知进行恒等变换即可． 【详解】解：∵，，， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【变式训练】 1．（2024·河北唐山·模拟预测）若，则k与m（k，m都为正整数，且）的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知其运算法则．根据幂的意义得出，然后利用幂的乘方可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．（2024七年级下·江苏·专题练习）若，，，则a、b、c之间满足的等量关系成立的是 ①；②；③；④ 【答案】①②③ 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用、同底数幂的乘法，解答本题的关键是熟练掌握“同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加”． ②可根据同底数幂乘法法则判断；①可根据幂的乘方的逆用，同底数幂除法法则判断；③可根据同底数幂乘法的逆用判断． 【详解】解：，, ， ， ，②关系成立； ， ，①关系成立； ， ，③关系成立； 则①②③成立， 故答案为：①②③． 【题型八 幂的运算中的新定义问题】 例题：（20-21七年级下·福建三明·阶段练习）我们定义一个新运算：，如，那么为（    ） A． B． C． D．32 【答案】A 【分析】根据新定义运算，列出算式，再根据同底数幂的乘法法则，即可求解． 【详解】解：由题意得：=， 故选A． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘方法则，熟练掌握上述法则，是解题的关键． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）新定义：（均为正整数），例如：．若，，则的值为（　　） A．18 B．24 C．36 D．63 【答案】D 【分析】本题主要考查新定义运算，幂的乘方和积的乘方逆运算，根据新运算法则求出，再把变形为，再代入计算即可 【详解】解：∵（均为正整数）， ∴ ∴ ∴， 故选：D 2．（23-24六年级下·山东泰安·期末）新定义一种运算，其法则为，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了新定义下运算，幂的乘方，同底数幂的乘除运算，原式利用题中的新定义计算即可求出值．按照题干定义的运算法则，列出算式，再按照幂的乘方，同底幂除法运算法则计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 【题型九 幂的混合运算】 例题：（23-24七年级下·广东茂名·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，幂的混合运算： （1）先化简乘方、零次幂、负整数指数幂，再运算加减，即可作答． （2）先计算同底数幂相乘，积的乘方，再合并，即可求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·全国·阶段练习）解答下列问题： (1)若，求的值； (2)已知为正整数，且，求的值； 【答案】(1) (2)32 【分析】本题考查幂的混合运算，代数式求值．掌握幂的混合运算法则是解题关键． （1）由题意可求出．根据幂的乘方和同底数幂的乘法逆运算可将所求式子变形为，最后整体代入求值即可； （2）根据幂的乘方和其逆用法则可将所求式子变形为，再将代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解： ． 2．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）计算： (1) (2) ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，整数幂的混合计算： （1）先计算零指数幂，负整数指数幂，再计算乘方，最后计算加减法即可； （2）先计算同底数幂乘除法和积的乘方，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 一、单选题 1．（24-25八年级上·四川凉山·阶段练习）已知，，则的值为（   ） A．14 B．126 C．24 D．128 【答案】D 【分析】本题考查的是同底数幂的逆运算，幂的乘方的逆运算，解题的关键在于熟练掌握幂的公式的逆运算． 根据幂的乘方的逆运算和同底数幂的乘法逆运算即可求解． 【详解】解： ，， ， 故选：D． 2．（24-25七年级上·上海黄浦·期中）的计算结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】逆用幂的乘法，积的乘方计算即可． 本题考查了幂的乘法，积的乘方公式的逆应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：D． 3．（24-25八年级上·吉林四平·期末）若，则等于（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和除法，掌握同底数幂的运算法则是解答本题的关键． 根据同底数幂的乘除法法则求解即可． 【详解】∵ ∴ ∴． 故选：C． 4．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法法则逐项计算即可求解． 【详解】解：A．，正确，符合题意；     B．与不是同类项，不能合并，不符合题意；     C．，故不正确，不符合题意； D．，故不正确，不符合题意． 故选A． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 5．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）若，，且，则x的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法的逆用，幂的乘方的逆用等知识点，根据同底数幂的乘除法和幂的乘方运算法则进行计算即可得解，熟练掌握同底数幂的乘除法和幂的乘方运算法则是解决此题的关键． 【详解】解：∵， 又∵，， ∴， ∴， 化简得， ∴， 故选：C． 二、填空题 6．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）将分式表示成不含分母的形式 ． 【答案】 【分析】本题主要考查负指数幂的运算，根据负指数幂的意义进行变形即可． 【详解】解：． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了零次幂和负整数指数幂，据此相关运算法则进行计算，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·吉林长春·期末）若，，，则a、b、c的大小关系是 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方逆用，根据幂的乘方的计算方法得到即可． 【详解】解：∵，，，而， ∴， 即， 故答案为：． 9．（24-25七年级上·黑龙江大庆·期中）已知：，则 【答案】3 【分析】本题考查了同底数幂相乘的逆用，根据题意，得，解答即可． 【详解】解：， ∴， ∴ ∴， ∴， 解答． 故答案为：3． 10．（24-25八年级上·河南南阳·期中）已知，，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法，先根据同底数幂的乘法法则计算得出，再根据同底数幂的除法法则计算即可得解． 【详解】.解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 三、解答题 11．（2024八年级上·全国·专题练习）（1）已知，求的值． （2）已知，求x的值． （3）计算． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）由可得，再根据幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法法则可得，再把代入计算即可； （2）根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则求解即可． （3）先整理原式等于，再运算括号内，即可作答． 本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，积的乘方的逆运算，熟记相关定义与运算法则是解答本题的关键． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴解得． （3） ． 12．（24-25八年级上·吉林白城·阶段练习）阅读下列材料，回答问题． 下面是底数大于1的数比较大小的两种方法． ①比较和的大小． 当时，，即当底数相同时，指数越大值越大． ②比较和的大小． 解：，，，，． 即指数相同时，底数越大值越大． (1)比较和的大小； (2)已知，，则a___________b．（选填“>”“=”或“<”） 【答案】(1) (2)> 【分析】本题主要考查了实数的大小比较以及乘方的运用，解题关键是熟练掌握幂的乘方法则． （1）先把底数9写成底数是3的幂，然后比较指数的大小，从而比较这两个数的大小； （2）先逆用幂的乘方法则，把幂写成指数相同的幂，然后根据底数越大，幂就越大，进行比较即可． 【详解】（1）解：（1）∵， ∴， ∴； （2）解：∵， 又， ∴， 即 ∴， 故答案为：． 13．（2024八年级上·全国·专题练习）在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：“若，，求的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即，所以，所以． (1)若，，请你也利用逆向思考的方法求出的值； (2)下面是小豫用逆向思考的方法完成的一道作业题，请你参考小豫的方法解答下面的问题： 小豫的作业 计算：； 解：． ①小豫的求解方法逆用了幂的一条运算性质，请你用符号(字母)语言直接写出这条性质：___________． ②计算：． 【答案】(1)4 (2)①，② 【分析】本题考查了积的乘方运算，同底数幂的除法运算，熟练掌握积的乘方运算，同底数幂的除法运算法则是解题的关键． （1）逆向运用幂的乘方运算法则，同底数幂的除法运算法则，即可得出答案； （2）①逆向运算积的乘方运算法则填空即可； ②逆向运用积的乘方公式和同底数幂公式计算即可． 【详解】（1）解： ， ． ， ， ； （2）①小豫的求解方法逆用了积的乘方运算性质，即， 故答案为：； ② ． 14．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）已知 (1)求的值． (2)若用含x的代数式表示y值． (3)求 【答案】(1)1 (2) (3)2 【分析】本题考查了同底数幂相除的逆运用，幂的乘方，积的乘方，同底数幂相乘等运算法则，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理，再分别代入进行计算，即可作答． （2）运用幂的乘方得出，再代入，进行化简，即可作答． （3）先整理出，，然后得出，即，再结合，把代入求值，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴ ． （2）解：∵ ∴ （3）解：∵ ∴， 即， ∵ ∴ 即， ∴，得， 即， ∴， ． 15．（23-24七年级上·贵州黔西·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查了有理数混合运算和幂的运算，解题关键是熟练掌握相关法则； （1）先算乘方，再算绝对值，然后算乘除，最后算减法即可； （2）利用幂的乘方法则及同底数幂除法法则计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$