专题05 三角形及几何图形初步-【数学文化】中考数学考点与数学文化的融合（全国通用）

专题05 数学文化背景下的中考数学之三角形及几何图形初步 背景1：关于赵爽弦图：三国时期吴国的数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时，创制了一幅“勾股圆方图”， 以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成。“赵爽弦图”证法的基本思想：图形经过割补后，面积不变，这就是中国古代数学中重要的面积“出入相补”原理.是我国古代数学的特色之一. 背景2：关于《算法统宗》：《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，也叫《原本直指算法统宗》，是中国古代数学名著，程大位著。《算法统宗》17卷，卷1、卷2介绍数学名词、大数、小数和度量衡单位以及珠算盘式图、珠算各种算法口诀等，并举例说明具体用法；卷3至卷12按“九章”次序列举各种应用题及解法；卷13到卷16为“难题”解法汇编；卷17“杂法”，为不能归入前面各类的算法，并列有14个纵横图。书后附录“算经源流”一篇，著录了北宋元丰七年（1084年）以来的数字书目51种。万历二十一年（1593年）刊行。 背景3：关于《九章算术》：中国古代的数学专著，成书于公元一世纪,作者不详，西汉早期丞相张苍、耿寿昌等增补删订，三国曹魏时期刘徽注释，唐初李淳风注。全书分方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股等九个章节。“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数及其加减运算法则，并给出名为“正负术”的算法. 背景4：关于“七巧板”：七巧板又称七巧图、智慧板，是中国民间流传的智力玩具。它是由宋代的宴几演变而来的，原为文人的一种室内游戏，后在民间演变为拼图板玩具。利用七巧板可以阐明若干重要几何关系，其原理便是古算术中的“出入相补原理”。 背景5：关于“出入相补原理”：出入相补原理：一个几何图形被分割成若干部分后，面积或体积的总和保持不变。出入相补原理最早由三国时代魏国数学家刘徽创建。 背景6：关于“日晷”：日晷，本义是指太阳的影子。现代的“日晷”指的是人类古代利用日影测得时刻的一种计时仪器。其原理就是利用太阳的投影方向来测定并划分时刻，通常由晷针（表）和晷面（带刻度的表座）组成。利用日晷计时的方法是人类在天文计时领域的重大发明，这项发明被人类沿用达几千年之久。 背景7：关于“太极”：太极，中国古代哲学用以说明世界本原的范畴，“太极”一词出于《系辞上》。“太极”有多重意义：一为生生之源；生生之源的生产方式犹如细胞裂变：一分为二，二分为四，四分为八，八八六十四；生生之源的生生是一个自然过程。 背景8：关于《淮南子》：《淮南子》是西汉前期出现的一部博大精深、气势恢宏的理论巨著。全书共有二十一篇。除第二十一篇《要略》作为介绍著书目的及各篇的内容提要外，其它各篇均冠以“训”，意为各种理论观点的阐释、解说。就涉及内容来看，可谓当时的百科全书。“道论”是全书的理论总纲，在此基础上，阐述了宇宙发生论、天文学、地理学、人性论、道德论、政治论、军事论等等。 背景9：关于《几何原本》：《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部数学著作，成书于公元前300年左右。 背景10：关于婆罗摩笈多：婆罗摩笈多约公元598年生，约660年卒．在数学、天文学方面有所成就．他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位。 背景11：关于《淮南万毕术》：《淮南万毕术》大约成书于公元前2世纪。作者是西汉淮南王刘安（公元前179年—公元前122年）所招致的淮南学派。《淮南万毕术》主要是谈论各种各样的变化，包括人为的和自然的变化。《淮南万毕术》是我国古代有关物理、化学的重要文献。 考点1：三角形的三边关系及作用 1.三角形的三边关系： 文字语言：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 符号语言： 图形语言:见右图。 2.三角形三边关系的作用： 1 判断三条已知线段能否组成三角形；②当已知两边时，可确定第三边的范围；③解决线段的最值问题． 考点2：三角形内角和定理及推论（见下表） 考点3：三角形中的四线：角平分线、中线、高线、中位线 1. 三角形的中线性质：三角形的中线平分三角形的面积。 2. 三角形的中位线定理： （1）文字语言：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 （2）图形语言： （3）符号语言：见图右侧 考点4：三角形中的四心：重心、垂心、内心、外心 考点5：等腰三角形的定义、性质、判定 1. 等腰三角形的定义 文字语言：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 符号语言：AB=AC,则△ABC叫做等腰三角形 2. 等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两腰相等。 性质2：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）。 ∵AB=AC,∴∠B=∠C 性质3：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．（简称：三线合一） 符号语言：（三种不同形式） 形式① 形式② 形式③ ∵AB=AC,∠BAD=∠CAD ∴BD=CD,AD⊥BC ∵AB=AC, BD=CD ∴∠BAD=∠CAD,AD⊥BC ∵AB=AC, AD⊥BC ∴BD=CD, ∠BAD=∠CAD 性质4：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在直线． 3．等腰三角形的两个判定方法 方法1：有两条边相等的三角形是等腰三角形（定义）。 符号语言：∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形 方法2：有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简称：等角对等边） 符号语言：∵∠B=∠C ,∴△ABC是等腰三角形 考点6：等边三角形的定义、性质、判定 1．等边三角形的定义： 三条边都相等的三角形是等边三角形． AB=AC=BC,则△ABC叫做等边三角形 2．等边三角形的性质： 性质1：等边三角形的三边相等。 性质2：等边三角形的三角相等，且都等于60°。 性质3：三线合一 性质4：等边三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在直线，有三条对称轴． 3．等边三角形的三个判定方法： 方法1：三条边都相等的三角形是等边三角形； 方法2：三个角都相等的三角形是等边三角形； 方法3：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形． 考点7：直角三角形的定义、性质、判定 1. 直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． 2. 直角三角形的性质： 性质1：（边关系）勾股定理：（如图①） 性质2：（角关系）直角三角形两锐角互余： 性质3：（边角关系）三角函数 性质4：在直角三角形中， 30°角所对的直角边等于斜边的一半（如图③）； 符号语言： 性质5：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（如图②）． 符号语言： 3.直角三角形的判定方法： 方法1：通过计算证明一个角为90°； 方法2：证明三角形中有两个角的和互余； 方法3：勾股定理的逆定理； 如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。 方法4：利用圆的知识（直径对的圆周角是直角）证明； 方法5：利用等腰三角形三线合一证明垂直（即90°）； 符号语言： (如右图) 方法6：利用菱形或正方形的对角线互相垂直证明。 1——借助数学文化考查勾股定理 （2024·四川眉山·中考真题）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（    ） A．24 B．36 C．40 D．44 【答案】D 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理，设直角三角形的两直角边为 ， ，斜边为 ，根据图1，结合已知条件得到，，进而求出的值，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，直角三角形的两直角边为，，斜边为， 图1中大正方形的面积是24， ， 小正方形的面积是4， ， ， 图2中最大的正方形的面积； 故选：D． 1．（2024·内蒙古赤峰·三模）汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边之比均为．则围成的小正方形与大正方形面积的比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】以弦图为背景的计算题 【分析】本题主要考查了勾股定理，设直角三角形短直角边长为，长直角边长为，则中间空白部分的正方形面积为，由勾股定理可得大正方形边长的平方为，即大正方形的面积为，据此可得答案． 【详解】解：设直角三角形短直角边长为，长直角边长为， ∴中间空白部分的正方形边长为， ∴中间空白部分的正方形面积为， 由勾股定理得大正方形边长的平方为，即大正方形的面积为， ∴围成的小正方形与大正方形面积的比为， 故选：A． 2．（2024·福建厦门·二模）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．主要内容为“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”．如图，在等腰中，，，点为边上一动点，过作，，则根据出入相补原理，我们可发现，一定为定值，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的定义 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，等面积法的应用，解题的关键是学会应用面积法解决问题． 先连接，过作于，求解及，再利用等面积法可得答案． 【详解】解：连接，过作于， 等腰，，， ， ， ； ，， ， ， 故选：C． 3．（2024·辽宁抚顺·一模）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几?”译文：“秋千静止的时候，踏板高地1尺，将它往前推送两步(两步＝10尺)时，此时踏板升高到离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长?”如图，若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】此题主要考查了考差了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出 的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．设秋千的绳索长为 尺，根据题意可得尺，利用勾股定理可得方程． 【详解】解：设秋千的绳索长为 尺，根据题意可列方程为：即． 故选：C 4．（2023·四川泸州·中考真题）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数，，的计算公式：，，，其中，，是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（　　） A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，25 【答案】C 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】首先证明出，得到a，b是直角三角形的直角边然后由，，是互质的奇数逐项求解即可． 【详解】∵， ∴． ∵， ∴． ∴a，b是直角三角形的直角边， ∵，是互质的奇数， ∴A．， ∴当，时，，，， ∴3，4，5能由该勾股数计算公式直接得出； B．， ∴当，时，，，， ∴5，12，13能由该勾股数计算公式直接得出； C．，， ∵，是互质的奇数， ∴6，8，10不能由该勾股数计算公式直接得出； D．， ∴当，时，，，， ∴7，24，25能由该勾股数计算公式直接得出． 故选：C． 5．（2023·江苏南通·二模）《九章算术》是我国古代数学名著，记载着“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何?”意思是：一根笔直生长的竹子，高一丈（一丈=10尺），因虫害有病，一阵风吹来将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，求折断处离地面的高度是多少尺?设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】竹子折断后刚好构成一个直角三角形，设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，利用勾股定理解题即可； 【详解】设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺， 根据勾股定理得到：； 故选A． 6．（2024·山东潍坊·二模）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数a，b，c的计算公式：，其中是互质的奇数．下列四组勾股数中，可以由该勾股数计算公式直接得出的是（   ） A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，25 【答案】ABD 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查了整式乘法运算和勾股数的应用，根据题目要求逐一代入符合条件的m，n进行验证、辨别． 【详解】解：∵当时，，，， ∴选项A符合题意； ∵当时，，，， ∴选项B符合题意； ∵当时，，，， ∴选项D符合题意； ∵没有符合条件的m，n使a，b，c各为6，8，10， ∴选项C不符合题意， 故选：ABD． 7．（2024·四川乐山·模拟预测）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸．欲为方版，令厚七寸，问广几何？”结合如图，其大意是：今有圆形材质，半径为寸，要做成方形板材，使其厚度达到寸．则长方形的长是 ． 【答案】寸 【知识点】用勾股定理解三角形、圆周角定理 【分析】此题主要考查了圆周角定理，勾股定理的应用，解答此题的关键是理解直径所对的圆周角是直角． 首先根据直径所对的圆周角是直角得，然后再中利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：依题意得：为的直径，   ， 在中，寸，寸， 由勾股定理得：． 的长为寸． 故答案为：寸． 8．（2024·宁夏银川·二模）七巧板是我国古代劳动人民的一项发明，被誉为“东方魔板”，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形组成，图1是由边长为的正方形薄板分为7块制作而成的“七巧板”，某同学利用这个七巧板拼成图2所示的一只“小猫”，则图中阴影正方形的边长为 ．（结果保留根号） 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查七巧板相关的计算，勾股定理，在中，运用解题即可． 【详解】解：如图1： 设，则， 在中，， ∴， ∴（负值已舍）， 即， ∴图中阴影正方形的边长为， 故答案为：． 9．（2024·江苏苏州·二模）“七巧板”是古代中国劳动人民的发明，被誉为“东方魔板”．图①是由该图形组成的正方形，图2是用该七巧板拼成的“和平鸽”图形，则飞镖落在和平鸽头部（阴影部分）的概率是 ． 【答案】 【知识点】用七巧板拼图形、用勾股定理解三角形、几何概率 【分析】本题主要考查几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．根据七巧板对应图形的面积，计算出和平鸽头部（阴影部分）与正方形面积比，结合简单概率公式求解即可得到结论．熟练掌握几何概率的求法是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示：    设阴影部分的等腰直角三角形的直角边为，则由七巧板的特征可知，， 在等腰中，， ，，则阴影部分的面积是七巧板面积的，故飞镖落在和平鸽头部（阴影部分）的概率是， 故答案为：． 10．（2024·四川资阳·中考真题）第届国际数学教育大会（）会标如图所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】全等三角形的性质、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、求角的正弦值 【分析】设，则，根据全等三角形，正方形的性质可得，再根据勾股定理可得，即可求出的值． 【详解】解：根据题意，设，则， ∵，四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 11．（2024·江西吉安·一模）我国古代数学名著《九章算术》卷九记载了一个有关“勾股”的问题：今有户不知高广，杆不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户高几何．其大意是：今有门，不知其高宽，有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺，斜放，竿与门对角线恰好相等，问门高是多少？若设门高为x尺，则可列关于x的方程为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键．根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高、宽、对角线长． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 12．（2024·四川成都·模拟预测）“赵爽弦图”利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图，在正方形中，，，假设可在弦图区域内随机取点，则这个点落在阴影部分的概率为 ． 【答案】 【知识点】以弦图为背景的计算题、几何概率 【分析】 本题考查了勾股定理的运用，几何概率，设，则，根据，求出，得到正方形的面积，利用概率公式代入计算即可． 【详解】解：设，则， ， ， ， 解得：， ， ， ， ， 这个点落在阴影部分的概率为， 故答案为：． 13．（2024·湖北孝感·模拟预测）图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若直角三角形的一个锐角为，将各三角形较短的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”．已知，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】2 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查勾股定理以及直角三角形的性质，本题关键在于用表示出的长度． 设，则，再利用直角三角形性质以及勾股定理可得出 ，进而列方程求解计算即可． 【详解】解：如图，设，则， ∵， ∴， 由勾股定理可得，， ∴， 解得， ∵将各三角形较短的直角边分别向外延长一倍， ∴， ∴阴影部分面积． 故答案为：2． 14．（2024·陕西西安·三模）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题．大意是：有一个水池，纵截面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇径直拉向岸边，如图．设芦苇长为x尺，那么可以列出方程为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据，代入数值，进行计算，即可作答． 【详解】解：如图：依题意：    ∵ ∴中， ∴ 故答案为： 15．（2023·江西九江·模拟预测）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目，大致意思是：有一竖立着的木杆，在木杆的上端系有绳索，绳索从木杆上端顺着木杆下垂后，堆在地面上的部分有3尺，牵着绳索头（绳索头与地面接触）退行，在离木杆底部8尺处时，绳索用尽．问绳索长为多少．绳索长为 尺． 【答案】 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】设绳索的长为x尺，则木柱的长为尺，在中，根据勾股定理即可列出方程解答即可． 【详解】解：设绳索的长为x尺，则木柱的长为尺， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， 答：绳索长为尺． 故答案为：． 16．（2024·山东潍坊·模拟预测）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形中，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，垂足分别为点F，G，求的长． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】此题考查了矩形的性质、勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 连接，根据矩形的性质得到，根据勾股定理得到，求得，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 2——借助数学文化考查三角形的性质 （2023·湖南·中考真题）《周礼考工记》中记载有：“……半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣矩，1欘宣（其中，1矩），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若矩，欘，则 度． 【答案】 【知识点】与余角、补角有关的计算、直角三角形的两个锐角互余 【分析】根据矩、宣、欘的概念计算即可． 【详解】解：由题意可知， 矩， 欘宣矩， ， 故答案为：． 1．（2024·湖南株洲·二模）我国古代名著《九章数学》中，将底面是直角三角形的直三棱锥称之为“堑堵”．“堑堵”的实物图与左视图如图所示，根据图中的数据可得该“堑堵”的高h的值为 ． 【答案】4 【知识点】含30度角的直角三角形、判断简单几何体的三视图 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，含30度角的直角三角形的性质，根据含30度角的直角三角形中30度角所对的直角边的长是斜边长的一半进行求解即可． 【详解】解：如图所示，在中，， ∴，即， 故答案为：4． 2．（2023·浙江·一模）日晷是我国古代利用日影测定时刻的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组成，古人常用的日晷有水平式日晷（图1）和赤道式日晷（图2）．其中水平式日晷的“晷针”与“晷面”的夹角就是其所在位置的地理纬度且“晷面”与地面平行；赤道式日晷的“晷面”与赤道面平行当太阳光照在日晷上时，晷针的影子就会投向晷面．随着时间的推移，晷针的影子在晷面上慢慢地移动，以此来显示时刻．此外，水平式日晷的“晷面”刻度不均匀，赤道式日晷的“晷面”刻度则是均匀的．    （1）如图1，当水平式日晷放在纬度为 （即）位置时，晷针与晷面的夹角为 °． （2）如图3，将两种日晷的“晷针”重合，n小时后，两种日晷对应的时刻一致，即两种晷“晷针”的影子所在的直线相交于点．此时与满足的关系式 ． 【答案】 【知识点】平行投影、同(等)角的余(补)角相等的应用、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）根据水平式日晷的“晷针”与“晷面”的夹角就是其所在位置的地理纬度求解即可； （2）过点作于点，证明，根据平行投影证明，根据，得出即可． 【详解】解：（1）∵水平式日晷的“晷针”与“晷面”的夹角就是其所在位置的地理纬度， ∴当水平式日晷放在纬度为 （即）位置时，晷针与晷面的夹角为； 故答案为：； （2）过点作于点，如图所示：    则， ∴， 根据题意可知，赤道日晷的晷面与晷针垂直， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据平行投影可知，当12点时，点在水平方向的投影为点E，经过n小时后，的投影在上，因此， ∵，   ∴． 故答案为：． 3——借助数学文化考查等腰三角形 （2024·甘肃金昌·模拟预测）课上我们学习了应用尺规作“平分任意一个已知角”，小明对此问题展开进一步探究学习． 【材料阅读】 如图①，鼓楼是我国西南民族地区侗族的特色建筑，它的平面图通常是正方形、正六边形和正八边形．工匠在制作底座和支撑木柱的连接结构时，需要多次作角平分线以实现对称，从而使得结构受力均衡，充分体现侗族工匠的数学应用能力．例如古代侗族没有量角器，仅凭一把“角尺”（如图②所示），即可将任意角进行平分，下面是应用“角尺”作角平分线的一种方法： 已知， 第一步：分别在的和边上，用带有刻度的“角尺”测量得到点和，使得；第二步：连接，得到线段； 第三步：用“角尺”作出过点与垂直的线段就是的平分线． 【探究与应用】 (1)请参阅上述材料，借助“角尺”，作出图③木料中的平分线； (2)小明对作图原理进一步探究，第二步作图完成后，可得为______三角形；第三步作图完成后，平分的依据是：______． 【答案】(1)见解析 (2)等腰，等腰三角形底边上的高也是顶角平分线． 【知识点】作垂线(尺规作图)、三线合一 【分析】本题考查作图应用与设计作图，等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据要求画出图形即可； （2）利用等腰三角形的三线合一的思想解决问题． 【详解】（1）解：如图③中，射线即为所求； （2）解：由作图可知是等腰三角形，平分的理由是等腰三角形底边上的高也是顶角平分线． 故答案为：等腰，等腰三角形底边上的高也是顶角平分线． 1．（2024·河南驻马店·二模）项目式学习． 用固定双曲线三等分锐角 文化背景 三等分角大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，它和“立方倍积问题”“化圆为方问题”一起被称为“古代三大几何难题”．古希腊数学家帕普斯(，约)在他有独创性的名著中曾证明用一固定双曲线能解“三等分角问题”． 任务设定 用直尺和圆规三等分锐角∠AOB 解决途径 （1）以点O为坐标原点， 所在的直线为x轴建立平面直角坐标系； （2）在平面直角坐标系中，绘制反比例函的图象，图象与的边交于点C； （3）以点 C为圆心，的长为半径作弧，交函数的图象于点E； （4）分别过点 C 和 E 作 x轴和y轴的平行线，两线交于点 D，F； （5）作射线，交于点 G，得到． 问题解决 任务1 四边形的形状为_______； 任务2 请证明．． 【答案】任务1∶矩形；任务2：见解析 【知识点】求一次函数解析式、反比例函数与几何综合、等腰三角形的性质和判定、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】（1）由平行线的传递性得，，从而四边形是平行四边形，再证明，可证四边形是矩形； （2）设点 点 ，则点 点 ，求出直线的解析式为，可证点 F在直线上，由矩形的性质得，从而，由三角形外角的性质得，再证明，可证． 【详解】解∶任务1∶ ∵轴，轴，轴，轴， ∴，， ∴四边形是平行四边形． ∵x轴轴，轴，轴， ∴， ∴四边形是矩形． 故答案为：矩形； 任务2：设点 点 ， ∴点 点 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为． 当时， ∴点 F在直线上． ∵四边形是矩形， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 2．（2024·广东珠海·一模）【背景阅读】我国古代著名数学著作《周髀算经》记载了“勾三、股四、弦五”，直观地证明了勾股定理，我们把三边的比为的三角形称为型三角形，例如：三边长分别为9，12，15的三角形就是型三角形． 【实践操作】如图1，在正方形纸片中，，点E为边上的中点，将沿折叠得，延长交于点G，交的延长线于点H． 【问题解决】（1）证明是型三角形； （2）在不添加字母的情况下，直接写出图1中还有哪些三角形是型三角形； 【拓展探究】（3）如图2，在矩形纸片中，，，E是上的一点，将沿折叠得到，延长交于点G．其中是型三角形，请求出的面积． 【答案】（1）见解析；（2），是型三角形；（3）或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）先证明，然后在中，利用勾股定理可求出，，证明可求出，利用勾股定理求出，即可得证； （2）由可得，即可判断是型三角形，由（1）中所求各边可知是型三角形； 【详解】解：（1）∵在正方形纸片中，， ∴，，， ∵点E为边上的中点， ∴， ∵翻折， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴是型三角形； （2）∵， ∴， ∴是型三角形， ∵，，， ∴ ∴是型三角形， ∴图中还有，是型三角形； （3）∵翻折， ∴，，， ∵是型三角形， ∴或， 当时， 设，则，， ∴，， ∵， ∴， 解得，舍去）， ∴，， ∴； 当时， 设，则，， ∴，， ∵， ∴， 解得，（舍去）， ∴，， ∴； 综上，的面积或． 3．（2023·山东烟台·二模）七巧板是古代中国劳动人民的发明，是一种古老的中国传统智力游戏，其历史至少可以追溯到公元前一世纪．小明将一个边长为4的正方形制作成一副如图1所示的七巧板，取出其中的六块，拼成了一个（如图2），则的对角线AC的长度为 ． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据正方形的性质求线段长、用七巧板拼图形、用勾股定理解三角形 【分析】延长，过点A作于点E，根据七巧板的特点得到，，根据勾股定理求出即可． 【详解】如图所示，延长，过点A作于点E， 根据七巧板的特点可得，，是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（2022·湖南娄底·中考真题）如图，等边内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与的面积之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知正切值求边长、直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系、用勾股定理解三角形、等边三角形的性质 【分析】由题意，得圆中黑色部分的面积是圆面积的一半，令BC=2a，则BD=a，根据勾股定理，得出AD=，同时在Rt△BOD中，OD=，进而求出黑色部分的面积以及等边三角形的面积，最后求出答案． 【详解】解：令内切圆与BC交于点D，内切圆的圆心为O，连接AD，OB， 由题可知，圆中黑色部分的面积是圆面积的一半， 令BC=2a，则BD=a， 在等边三角形ABC中 AD⊥BC，OB平分∠ABC， ∴∠OBD=∠ABC=30°， 由勾股定理，得AD=， 在Rt△BOD中，OD=tan30°×BD=， ∴圆中的黑色部分的面积与的面积之比为． 故选：A． 5．（2024·山东潍坊·三模）我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康．则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线和直线外一定点，过点作直线与平行． （1）以为圆心，单位长为半径作圆，交直线于点，； （2）分别在的延长线及上取点，，使； （3）连接，取其中点，过，两点确定直线，则直线． 按以上作图顺序，若，则 ． 【答案】/40度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三线合一、等边对等角 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质．先根据等边对等角可得，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得，根据等腰三角形底边上的中线与顶角的角平分线重合即可求解． 【详解】解析：∵，， ∴， ∴， ∵，为的中点， ∴． 故答案为：． 6．（2024·山西·模拟预测）阅读与思考： 阅读以下材料，并按要求完成相应任务： 婆罗摩笈多（）是古代印度著名数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算术运算规则、二次方程等方面均有建树，他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“古拉美古塔定理”，该定理的内容及部分证明过程如下：古拉美古塔定理，如图，四边形内接于，对角线，垂足为点M，直线，垂足为点E，并且交直线于点F，则． ，证明：，， ， ，， ． ， ∴_____________________（同弧所对的圆周角相等）． 又∵， ． ． … 任务： (1)材料中横线部分缺少的内容为：______； (2)古拉美古塔定理的逆命题：如图，四边形内接于，对角线，垂足为点M，直线交于点E，交于点F．若，则．请证明该命题． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、同弧或等弧所对的圆周角相等、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查圆周角定理，斜边上的中线，等角对等边： （1）根据圆周角定理，作答即可； （2）斜边上的中线，得到，得到，， 圆周角定理，得到，推出，即可得证． 【详解】（1）证明：，， ， ，， ． ， ∴（同弧所对的圆周角相等）． 又∵， ． ． 故答案为：； （2）证明：在中，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 4——借助数学文化考查全等三角形的性质与判定 （2023·甘肃兰州·中考真题）综合与实践 问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在和上分别取点C和D，使得，连接，以为边作等边三角形，则就是的平分线． 请写出平分的依据：____________； 类比迁移： （2）小明根据以上信息研究发现：不一定必须是等边三角形，只需即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线是的平分线，请说明此做法的理由； 拓展实践： （3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路和，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）作图见解析； 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图) 【分析】（1）先证明，可得，从而可得答案； （2）先证明，可得，可得是的角平分线； （3）先作的角平分线，再在角平分线上截取即可． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∴， ∴是的角平分线； 故答案为： （2）∵，，， ∴， ∴， ∴是的角平分线； （3）如图，点即为所求作的点；   ． 1．（2022·江西赣州·三模）七巧板是由可以错综分合的几何图案演化而来，它是一种拼板玩具，体现了我国古代劳动人民的智慧，如图1，将一块正方形薄板分为7块，其中包括5块大小不等的三角形，1块正方形和1块平行四边形，图2是由图1拼成的风车形状，则下列等式错误的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用七巧板拼图形 【分析】根据7块薄板的边长间的关系，结合面积公式逐项分析即可． 【详解】解：由题图可知，2与7都是等腰直角三角形，且7的斜边等于2的直角边， ∴， ∵5的边长等于2的直角边的一半， ∴，，A正确； ∵3相邻的两边分别与4的直角边和斜边相等，且3中的锐角为 ∴3与4同底等高，， ∵4与6是两个全等的三角形，∴， ∴，B正确； ∵1与7都是等腰直角三角形，且7的斜边等于1的直角边， ∴，C错误； ∵6也是等腰直角三角形，且6的斜边等于7的直角边， ∴， ∵， ∴，D正确． 故选C． 2．（2024·安徽合肥·二模）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图，在中，，四边形为正方形，，，，，则 ． 【答案】1 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、全等三角形的性质 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 设正方形的边长为，则，，根据全等三角形的性质得到，根据即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为，则，， ∵，， ， ，， ， ， ， 解得：， ∴正方形的边长等于1， 故答案为：1． 3．（2023·陕西西安·一模）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，．如图所示，已知，正方形的边长是2，，则的长为 ． 【答案】4 【知识点】全等三角形的性质、根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】设，正方形的边长为2，则，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：正方形的边长为2，则， 设， ∵，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 5——借助数学文化考查几何图形初步知识 （2024·湖南长沙·模拟预测）汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关科技的重要文献，书中记载了我国古代学者在科技领域做过的一些探索及成就．如图1中记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即“反射光线与入射光线、法线在同一平面上；反射光线和入射光线位于法线的两侧；反射角等于入射角”．为了探清一口深井的底部情况，运用此原理，在如图2所示的井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】几何图形中角度计算问题、垂线的定义理解 【分析】本题考查的是垂直的定义，角的和差运算，角平分线的含义，属于跨学科题，熟记基础概念是解本题的关键． 根据，得，所以，再根据，得，即可得． 【详解】解：如图，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 1．（2024·广东·三模）潮州市的广济桥是中国古代著名桥梁之一，如图中的照片是某处栏杆的拐角，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的外角的定义及性质、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质，掌握两直线平行，同位角相等和三角形外角性质是解题的关键． 根据平行线的性质和三角形外角性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵，， ∴． 故选：C． 2．（2022·江西赣州·三模）七巧板是由可以错综分合的几何图案演化而来，它是一种拼板玩具，体现了我国古代劳动人民的智慧，如图1，将一块正方形薄板分为7块，其中包括5块大小不等的三角形，1块正方形和1块平行四边形，图2是由图1拼成的风车形状，则下列等式错误的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用七巧板拼图形 【分析】根据7块薄板的边长间的关系，结合面积公式逐项分析即可． 【详解】解：由题图可知，2与7都是等腰直角三角形，且7的斜边等于2的直角边， ∴， ∵5的边长等于2的直角边的一半， ∴，，A正确； ∵3相邻的两边分别与4的直角边和斜边相等，且3中的锐角为 ∴3与4同底等高，， ∵4与6是两个全等的三角形，∴， ∴，B正确； ∵1与7都是等腰直角三角形，且7的斜边等于1的直角边， ∴，C错误； ∵6也是等腰直角三角形，且6的斜边等于7的直角边， ∴， ∵， ∴，D正确． 故选C． 3．（2024·陕西·模拟预测）七巧板是一种拼图玩具，体现了我国古代劳动人民的智慧．如图，整个七巧板拼图是个正方形，若七巧板中标有“3”的平行四边形的面积 ，则标有“5”的正方形的面积S₅的值为 ． 【答案】3 【知识点】用七巧板拼图形 【分析】本题考查了七巧板拼接图形，根据，，结合题意，即可求解． 【详解】解：设标有4和6的三角形面积分别为， 根据题意可得，又， ∴， 故答案为：3． 2 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 数学文化背景下的中考数学之三角形及几何图形初步 背景1：关于赵爽弦图：三国时期吴国的数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时，创制了一幅“勾股圆方图”， 以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成。“赵爽弦图”证法的基本思想：图形经过割补后，面积不变，这就是中国古代数学中重要的面积“出入相补”原理.是我国古代数学的特色之一. 背景2：关于《算法统宗》：《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，也叫《原本直指算法统宗》，是中国古代数学名著，程大位著。《算法统宗》17卷，卷1、卷2介绍数学名词、大数、小数和度量衡单位以及珠算盘式图、珠算各种算法口诀等，并举例说明具体用法；卷3至卷12按“九章”次序列举各种应用题及解法；卷13到卷16为“难题”解法汇编；卷17“杂法”，为不能归入前面各类的算法，并列有14个纵横图。书后附录“算经源流”一篇，著录了北宋元丰七年（1084年）以来的数字书目51种。万历二十一年（1593年）刊行。 背景3：关于《九章算术》：中国古代的数学专著，成书于公元一世纪,作者不详，西汉早期丞相张苍、耿寿昌等增补删订，三国曹魏时期刘徽注释，唐初李淳风注。全书分方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股等九个章节。“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数及其加减运算法则，并给出名为“正负术”的算法. 背景4：关于“七巧板”：七巧板又称七巧图、智慧板，是中国民间流传的智力玩具。它是由宋代的宴几演变而来的，原为文人的一种室内游戏，后在民间演变为拼图板玩具。利用七巧板可以阐明若干重要几何关系，其原理便是古算术中的“出入相补原理”。 背景5：关于“出入相补原理”：出入相补原理：一个几何图形被分割成若干部分后，面积或体积的总和保持不变。出入相补原理最早由三国时代魏国数学家刘徽创建。 背景6：关于“日晷”：日晷，本义是指太阳的影子。现代的“日晷”指的是人类古代利用日影测得时刻的一种计时仪器。其原理就是利用太阳的投影方向来测定并划分时刻，通常由晷针（表）和晷面（带刻度的表座）组成。利用日晷计时的方法是人类在天文计时领域的重大发明，这项发明被人类沿用达几千年之久。 背景7：关于“太极”：太极，中国古代哲学用以说明世界本原的范畴，“太极”一词出于《系辞上》。“太极”有多重意义：一为生生之源；生生之源的生产方式犹如细胞裂变：一分为二，二分为四，四分为八，八八六十四；生生之源的生生是一个自然过程。 背景8：关于《淮南子》：《淮南子》是西汉前期出现的一部博大精深、气势恢宏的理论巨著。全书共有二十一篇。除第二十一篇《要略》作为介绍著书目的及各篇的内容提要外，其它各篇均冠以“训”，意为各种理论观点的阐释、解说。就涉及内容来看，可谓当时的百科全书。“道论”是全书的理论总纲，在此基础上，阐述了宇宙发生论、天文学、地理学、人性论、道德论、政治论、军事论等等。 背景9：关于《几何原本》：《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部数学著作，成书于公元前300年左右。 背景10：关于婆罗摩笈多：婆罗摩笈多约公元598年生，约660年卒．在数学、天文学方面有所成就．他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位。 背景11：关于《淮南万毕术》：《淮南万毕术》大约成书于公元前2世纪。作者是西汉淮南王刘安（公元前179年—公元前122年）所招致的淮南学派。《淮南万毕术》主要是谈论各种各样的变化，包括人为的和自然的变化。《淮南万毕术》是我国古代有关物理、化学的重要文献。 考点1：三角形的三边关系及作用 1.三角形的三边关系： 文字语言：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 符号语言： 图形语言:见右图。 2.三角形三边关系的作用： 1 判断三条已知线段能否组成三角形；②当已知两边时，可确定第三边的范围；③解决线段的最值问题． 考点2：三角形内角和定理及推论（见下表） 考点3：三角形中的四线：角平分线、中线、高线、中位线 1. 三角形的中线性质：三角形的中线平分三角形的面积。 2. 三角形的中位线定理： （1）文字语言：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 （2）图形语言： （3）符号语言：见图右侧 考点4：三角形中的四心：重心、垂心、内心、外心 考点5：等腰三角形的定义、性质、判定 1. 等腰三角形的定义 文字语言：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 符号语言：AB=AC,则△ABC叫做等腰三角形 2. 等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两腰相等。 性质2：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）。 ∵AB=AC,∴∠B=∠C 性质3：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．（简称：三线合一） 符号语言：（三种不同形式） 形式① 形式② 形式③ ∵AB=AC,∠BAD=∠CAD ∴BD=CD,AD⊥BC ∵AB=AC, BD=CD ∴∠BAD=∠CAD,AD⊥BC ∵AB=AC, AD⊥BC ∴BD=CD, ∠BAD=∠CAD 性质4：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在直线． 3．等腰三角形的两个判定方法 方法1：有两条边相等的三角形是等腰三角形（定义）。 符号语言：∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形 方法2：有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简称：等角对等边） 符号语言：∵∠B=∠C ,∴△ABC是等腰三角形 考点6：等边三角形的定义、性质、判定 1．等边三角形的定义： 三条边都相等的三角形是等边三角形． AB=AC=BC,则△ABC叫做等边三角形 2．等边三角形的性质： 性质1：等边三角形的三边相等。 性质2：等边三角形的三角相等，且都等于60°。 性质3：三线合一 性质4：等边三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在直线，有三条对称轴． 3．等边三角形的三个判定方法： 方法1：三条边都相等的三角形是等边三角形； 方法2：三个角都相等的三角形是等边三角形； 方法3：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形． 考点7：直角三角形的定义、性质、判定 1. 直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． 2. 直角三角形的性质： 性质1：（边关系）勾股定理：（如图①） 性质2：（角关系）直角三角形两锐角互余： 性质3：（边角关系）三角函数 性质4：在直角三角形中， 30°角所对的直角边等于斜边的一半（如图③）； 符号语言： 性质5：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（如图②）． 符号语言： 3.直角三角形的判定方法： 方法1：通过计算证明一个角为90°； 方法2：证明三角形中有两个角的和互余； 方法3：勾股定理的逆定理； 如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。 方法4：利用圆的知识（直径对的圆周角是直角）证明； 方法5：利用等腰三角形三线合一证明垂直（即90°）； 符号语言： (如右图) 方法6：利用菱形或正方形的对角线互相垂直证明。 1——借助数学文化考查勾股定理 （2024·四川眉山·中考真题）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（    ） A．24 B．36 C．40 D．44 1．（2024·内蒙古赤峰·三模）汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边之比均为．则围成的小正方形与大正方形面积的比为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·福建厦门·二模）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．主要内容为“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”．如图，在等腰中，，，点为边上一动点，过作，，则根据出入相补原理，我们可发现，一定为定值，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·辽宁抚顺·一模）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几?”译文：“秋千静止的时候，踏板高地1尺，将它往前推送两步(两步＝10尺)时，此时踏板升高到离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长?”如图，若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 4．（2023·四川泸州·中考真题）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数，，的计算公式：，，，其中，，是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（　　） A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，25 5．（2023·江苏南通·二模）《九章算术》是我国古代数学名著，记载着“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何?”意思是：一根笔直生长的竹子，高一丈（一丈=10尺），因虫害有病，一阵风吹来将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，求折断处离地面的高度是多少尺?设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·山东潍坊·二模）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数a，b，c的计算公式：，其中是互质的奇数．下列四组勾股数中，可以由该勾股数计算公式直接得出的是（   ） A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，25 7．（2024·四川乐山·模拟预测）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸．欲为方版，令厚七寸，问广几何？”结合如图，其大意是：今有圆形材质，半径为寸，要做成方形板材，使其厚度达到寸．则长方形的长是 ． 8．（2024·宁夏银川·二模）七巧板是我国古代劳动人民的一项发明，被誉为“东方魔板”，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形组成，图1是由边长为的正方形薄板分为7块制作而成的“七巧板”，某同学利用这个七巧板拼成图2所示的一只“小猫”，则图中阴影正方形的边长为 ．（结果保留根号） 9．（2024·江苏苏州·二模）“七巧板”是古代中国劳动人民的发明，被誉为“东方魔板”．图①是由该图形组成的正方形，图2是用该七巧板拼成的“和平鸽”图形，则飞镖落在和平鸽头部（阴影部分）的概率是 ． 10．（2024·四川资阳·中考真题）第届国际数学教育大会（）会标如图所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若，则（   ） A． B． C． D． 11．（2024·江西吉安·一模）我国古代数学名著《九章算术》卷九记载了一个有关“勾股”的问题：今有户不知高广，杆不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户高几何．其大意是：今有门，不知其高宽，有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺，斜放，竿与门对角线恰好相等，问门高是多少？若设门高为x尺，则可列关于x的方程为 ． 12．（2024·四川成都·模拟预测）“赵爽弦图”利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图，在正方形中，，，假设可在弦图区域内随机取点，则这个点落在阴影部分的概率为 ． 13．（2024·湖北孝感·模拟预测）图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若直角三角形的一个锐角为，将各三角形较短的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”．已知，则图中阴影部分的面积为 ． 14．（2024·陕西西安·三模）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题．大意是：有一个水池，纵截面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇径直拉向岸边，如图．设芦苇长为x尺，那么可以列出方程为 ． 15．（2023·江西九江·模拟预测）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目，大致意思是：有一竖立着的木杆，在木杆的上端系有绳索，绳索从木杆上端顺着木杆下垂后，堆在地面上的部分有3尺，牵着绳索头（绳索头与地面接触）退行，在离木杆底部8尺处时，绳索用尽．问绳索长为多少．绳索长为 尺． 16．（2024·山东潍坊·模拟预测）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形中，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，垂足分别为点F，G，求的长． 2——借助数学文化考查三角形的性质 （2023·湖南·中考真题）《周礼考工记》中记载有：“……半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣矩，1欘宣（其中，1矩），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若矩，欘，则 度． 1．（2024·湖南株洲·二模）我国古代名著《九章数学》中，将底面是直角三角形的直三棱锥称之为“堑堵”．“堑堵”的实物图与左视图如图所示，根据图中的数据可得该“堑堵”的高h的值为 ． 2．（2023·浙江·一模）日晷是我国古代利用日影测定时刻的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组成，古人常用的日晷有水平式日晷（图1）和赤道式日晷（图2）．其中水平式日晷的“晷针”与“晷面”的夹角就是其所在位置的地理纬度且“晷面”与地面平行；赤道式日晷的“晷面”与赤道面平行当太阳光照在日晷上时，晷针的影子就会投向晷面．随着时间的推移，晷针的影子在晷面上慢慢地移动，以此来显示时刻．此外，水平式日晷的“晷面”刻度不均匀，赤道式日晷的“晷面”刻度则是均匀的．    （1）如图1，当水平式日晷放在纬度为 （即）位置时，晷针与晷面的夹角为 °． （2）如图3，将两种日晷的“晷针”重合，n小时后，两种日晷对应的时刻一致，即两种晷“晷针”的影子所在的直线相交于点．此时与满足的关系式 ． 3——借助数学文化考查等腰三角形 （2024·甘肃金昌·模拟预测）课上我们学习了应用尺规作“平分任意一个已知角”，小明对此问题展开进一步探究学习． 【材料阅读】 如图①，鼓楼是我国西南民族地区侗族的特色建筑，它的平面图通常是正方形、正六边形和正八边形．工匠在制作底座和支撑木柱的连接结构时，需要多次作角平分线以实现对称，从而使得结构受力均衡，充分体现侗族工匠的数学应用能力．例如古代侗族没有量角器，仅凭一把“角尺”（如图②所示），即可将任意角进行平分，下面是应用“角尺”作角平分线的一种方法： 已知， 第一步：分别在的和边上，用带有刻度的“角尺”测量得到点和，使得；第二步：连接，得到线段； 第三步：用“角尺”作出过点与垂直的线段就是的平分线． 【探究与应用】 (1)请参阅上述材料，借助“角尺”，作出图③木料中的平分线； (2)小明对作图原理进一步探究，第二步作图完成后，可得为______三角形；第三步作图完成后，平分的依据是：______． 1．（2024·河南驻马店·二模）项目式学习． 用固定双曲线三等分锐角 文化背景 三等分角大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，它和“立方倍积问题”“化圆为方问题”一起被称为“古代三大几何难题”．古希腊数学家帕普斯(，约)在他有独创性的名著中曾证明用一固定双曲线能解“三等分角问题”． 任务设定 用直尺和圆规三等分锐角∠AOB 解决途径 （1）以点O为坐标原点， 所在的直线为x轴建立平面直角坐标系； （2）在平面直角坐标系中，绘制反比例函的图象，图象与的边交于点C； （3）以点 C为圆心，的长为半径作弧，交函数的图象于点E； （4）分别过点 C 和 E 作 x轴和y轴的平行线，两线交于点 D，F； （5）作射线，交于点 G，得到． 问题解决 任务1 四边形的形状为_______； 任务2 请证明．． 2．（2024·广东珠海·一模）【背景阅读】我国古代著名数学著作《周髀算经》记载了“勾三、股四、弦五”，直观地证明了勾股定理，我们把三边的比为的三角形称为型三角形，例如：三边长分别为9，12，15的三角形就是型三角形． 【实践操作】如图1，在正方形纸片中，，点E为边上的中点，将沿折叠得，延长交于点G，交的延长线于点H． 【问题解决】（1）证明是型三角形； （2）在不添加字母的情况下，直接写出图1中还有哪些三角形是型三角形； 【拓展探究】（3）如图2，在矩形纸片中，，，E是上的一点，将沿折叠得到，延长交于点G．其中是型三角形，请求出的面积． 3．（2023·山东烟台·二模）七巧板是古代中国劳动人民的发明，是一种古老的中国传统智力游戏，其历史至少可以追溯到公元前一世纪．小明将一个边长为4的正方形制作成一副如图1所示的七巧板，取出其中的六块，拼成了一个（如图2），则的对角线AC的长度为 ． 4．（2022·湖南娄底·中考真题）如图，等边内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与的面积之比是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·山东潍坊·三模）我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康．则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线和直线外一定点，过点作直线与平行． （1）以为圆心，单位长为半径作圆，交直线于点，； （2）分别在的延长线及上取点，，使； （3）连接，取其中点，过，两点确定直线，则直线． 按以上作图顺序，若，则 ． 6．（2024·山西·模拟预测）阅读与思考： 阅读以下材料，并按要求完成相应任务： 婆罗摩笈多（）是古代印度著名数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算术运算规则、二次方程等方面均有建树，他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“古拉美古塔定理”，该定理的内容及部分证明过程如下：古拉美古塔定理，如图，四边形内接于，对角线，垂足为点M，直线，垂足为点E，并且交直线于点F，则． ，证明：，， ， ，， ． ， ∴_____________________（同弧所对的圆周角相等）． 又∵， ． ． … 任务： (1)材料中横线部分缺少的内容为：______； (2)古拉美古塔定理的逆命题：如图，四边形内接于，对角线，垂足为点M，直线交于点E，交于点F．若，则．请证明该命题． 4——借助数学文化考查全等三角形的性质与判定 （2023·甘肃兰州·中考真题）综合与实践 问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在和上分别取点C和D，使得，连接，以为边作等边三角形，则就是的平分线． 请写出平分的依据：____________； 类比迁移： （2）小明根据以上信息研究发现：不一定必须是等边三角形，只需即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线是的平分线，请说明此做法的理由； 拓展实践： （3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路和，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 1．（2022·江西赣州·三模）七巧板是由可以错综分合的几何图案演化而来，它是一种拼板玩具，体现了我国古代劳动人民的智慧，如图1，将一块正方形薄板分为7块，其中包括5块大小不等的三角形，1块正方形和1块平行四边形，图2是由图1拼成的风车形状，则下列等式错误的是（       ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽合肥·二模）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图，在中，，四边形为正方形，，，，，则 ． 3．（2023·陕西西安·一模）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，．如图所示，已知，正方形的边长是2，，则的长为 ． 5——借助数学文化考查几何图形初步知识 （2024·湖南长沙·模拟预测）汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关科技的重要文献，书中记载了我国古代学者在科技领域做过的一些探索及成就．如图1中记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即“反射光线与入射光线、法线在同一平面上；反射光线和入射光线位于法线的两侧；反射角等于入射角”．为了探清一口深井的底部情况，运用此原理，在如图2所示的井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角（   ） A． B． C． D． 1．（2024·广东·三模）潮州市的广济桥是中国古代著名桥梁之一，如图中的照片是某处栏杆的拐角，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2022·江西赣州·三模）七巧板是由可以错综分合的几何图案演化而来，它是一种拼板玩具，体现了我国古代劳动人民的智慧，如图1，将一块正方形薄板分为7块，其中包括5块大小不等的三角形，1块正方形和1块平行四边形，图2是由图1拼成的风车形状，则下列等式错误的是（       ） A． B． C． D． 3．（2024·陕西·模拟预测）七巧板是一种拼图玩具，体现了我国古代劳动人民的智慧．如图，整个七巧板拼图是个正方形，若七巧板中标有“3”的平行四边形的面积 ，则标有“5”的正方形的面积S₅的值为 ． 20 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$