专题04 函数-【数学文化】中考数学考点与数学文化的融合（全国通用）

专题04 数学文化背景下的中考数学之函数 背景1：关于漏壶“”：水钟在中国又叫作“刻漏”、“漏壶”。根据等时性原理滴水记时有两种方法，一种是利用特殊容器记录把水漏完的时间（泄水型），另一种是底部不开口的容器，记录它用多少时间把水装满（受水型）。中国的水钟，最先是泄水型，后来泄水型与受水型同时并用或两者合一。 背景2：关于《九章算术》：中国古代的数学专著，成书于公元一世纪,作者不详，西汉早期丞相张苍、耿寿昌等增补删订，三国曹魏时期刘徽注释，唐初李淳风注。全书分方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股等九个章节。“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数及其加减运算法则，并给出名为“正负术”的算法. 魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的计数工具）分别表示正数和负数（红色为正，黑色为负）。 《九章算术》中关于“开方”还指出“若开之不尽者为不可开，当以面命之”，作者给这种开方开不尽的数起了一个专门的名词“面”． 《九章算术注》是由魏晋时期数学家刘徽所创作的。刘徽（约公元225年—295年），魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，他的杰作主要有《九章算术注》和《海岛算经》。 背景3：关于祖暅原理：祖暅原理也称祖氏原理，一个涉及几何求积的著名命题。公元656年，唐代李淳风注《九章算术》时提到祖暅的开立圆术。祖暅在求球体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”。“幂”是截面积，“势”是立体的高。意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积相等，则体积相等。更详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个立体的体积相等。上述原理在中国被称为祖暅原理，国外则一般称之为卡瓦列利原理。 背景4：关于烽火台：“烽火”，古代边防报警的两种信号，白天放烟叫“燧”，夜间举火叫“烽”。烽火台在汉代称作烽堠（烽候）、亭燧，唐宋称作烽台，并把“烽燧”一词也引申为烽火台，明代则一般称作烟墩或墩台（西北明代墩台，大的还有御敌之功能，小的则只有望而无点烽火之功能）。 背景5：关于投壶：投壶，源于射礼，是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏，也是一种礼仪。投壶，顾名思义，就是由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分的游戏。 背景6：关于“三等分角”：三等分角是古希腊三大几何问题之一。三等分角是古希腊几何尺规作图当中的名题，和化圆为方、倍立方问题被并列为古代数学的三大难题之一，而如今数学上已证实了这个问题无解。该问题的完整叙述为：在只用圆规及一把没有刻度的直尺将一个给定角三等分。在尺规作图（尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图）的前提下，此题无解。若将条件放宽，例如允许使用有刻度的直尺，或者可以配合其他曲线使用，可以将一给定角分为三等分。 背景7：关于华罗庚：华罗庚（1910年11月12日—1985年6月12日），出生于江苏常州金坛区，祖籍江苏丹阳，数学家，中国科学院院士，美国国家科学院外籍院士。国际上以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”、“华氏不等式”、“华—王方法”等。 背景8：关于《周髀算经》：《周髀算经》原名《周髀》，算经的十书之一，是古老的天文学和数学著作，主要阐明当时的盖天说和四分历法。唐初规定它为国子监明算科的教材之一，故改名《周髀算经》。《周髀算经》证明了勾股定理。《周髀算经》采用最简便可行的方法确定天文历法，揭示日月星辰的运行规律，囊括四季更替，气候变化，包含南北有极，昼夜相推的道理。给后来者生活作息提供有力的保障，自此以后历代数学家无不以《周髀算经》为参考，在此基础上不断创新和发展。 考点1：一次函数、正比例函数的概念 1．一次函数的定义：一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做x的一次函数. 特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时，y=kx（k是常数，k≠0）．这时， y叫做x的正比例函数． 2．一次函数的一般形式 一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k，b为常数，k≠0． 考点2：一次函数的图象及性质 1．正比例函数的图象特征与性质 正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过原点（0，0）的一条直线． k的符号 函数图象 图象的位置 性质 k>0 图象经过第一、三象限 y随x的增大而增大 k <0 图象经过第二、四象限 y随x的增大而减小 2．一次函数的图象特征与性质 （1）一次函数的图象 一次函数的图象 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和(-，0)的一条直线 图象关系 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到；b>0，向上平移b个单位长度；b<0，向下平移|b|个单位长度 图象确定 两点确定一条直线，可知画一次函数图象时，只要取两点即可 （2）一次函数的性质 函数 字母取值 图象 经过的象限 函数性质 y=kx+b (k≠0) k>0，b>0 一、二、三 y随x的增大而增大 k>0，b<0 一、三、四 y=kx+b (k≠0) k<0，b>0 一、二、四 y随x的增大而减小 k<0，b<0 二、三、四 （3）k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系 在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=- ，即直线y=kx+b与x轴交于（–，0）． ①当–>0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴． ②当–=0，即b=0时，直线经过原点．③当–<0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴． （4）两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系： ①当k1=k2，b1≠b2，两直线平行；②当k1=k2，b1=b2，两直线重合； ③当k1≠k2，b1=b2，两直线交于y轴上一点；④当k1·k2=–1时，两直线垂直． 考点3：一次函数与方程（组）、不等式的关系 1．一次函数与一元一次方程的关系 直线y=kx+b与x轴的交点A的横坐标xA就是对应方程kx+b=0的解． 简记：交点的横坐标就是对应方程的解 2．一次函数与一元一次不等式的关系 任何一个一元一次不等式都能写成ax+b>0（或ax+b<0）（a，b为常数，且a≠0）的形式． 从函数的角度看，解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件． 3．一次函数与二元一次方程组的关系 从数的角度看，解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值； 从形的角度看，解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标： 一般地，一次函数与一次函数交点的坐标就是对应方程组的解。 牢记：交点的坐标就是对应方程组的解 考点4：一次函数的实际应用 1．主要题型： （1）求相应的一次函数表达式；（2）结合一次函数图象求相关量、求实际问题的最值等． 2．用一次函数解决实际问题的一般步骤为： （1）设定实际问题中的自变量与因变量； （2）通过列方程(组)与待定系数法求一次函数关系式； （3）确定自变量的取值范围； （4）利用函数性质解决问题； （5）检验所求解是否符合实际意义； （6）答案． 考点5：二次函数的概念和三种形式 1、二次函数的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数． 2、二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）． （2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）． （3）两根式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0． 考点6：二次函数的图象及性质 解析式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 对称轴 x=– 顶点 （–，） a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 向上 向下 最值 当x=–时，y最小值= 当x=–时，y最大值= 最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点 增减性 当x<–时，y随x的增大而减小 当x>–时，y随x的增大而增大 当x<–时，y随x的增大而增大当x>–时，y随x的增大而减小 考点7：二次函数图象（抛物线）的平移 平移方法：上加下减，左加右减。 考点8：二次函数与一元二次方程的关系 1．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），当y＝0时，就变成了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）． 2．ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解是抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标． 3．（1）b2–4ac＞0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； （2）b2–4ac＝0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点； （3）b2–4ac＜0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点． 总之，抛物线与横轴交点的个数与对应一元二次方程解的个数是相同的。 考点9：二次函数的应用题常见类型及解题步骤： 1. 常见类型：（1）拱桥问题；（2）面积问题；（3）利润问题；（4）增长率问题。 2. 解题步骤：（1）审题；（2）设变量和解析式；（3）待定系数法求解析式；（4）利用二次函数性质解决问题；（5）答案。 考点10：反比例函数的概念 反比例函数：一般地，函数（k是常数，k≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成的形式．自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数． 自变量x和函数值y的取值范围都是不等于0的任意实数． 考点11：反比例函数的图象和性质 1. 反比例函数的图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴． 2．反比例函数的性质： 表达式 （k是常数，k≠0） k k＞0 k＜0 大致图象 所在象限 第一、三象限 第二、四象限 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 轴对称图形（对称轴为直线y＝x和y＝－x），中心对称图形（对称中心为原点） 注意：反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况． 当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 考点12：反比例函数解析式的确定 1．待定系数法：确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式． 2．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤 （1）设反比例函数解析式为（k≠0）； （2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； （3）解这个方程求出待定系数k； （4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式． 考点13：反比例函数中k的几何意义 1． 反比例函数中k的几何意义 2．解决面积问题常用结论： 当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解． （1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积．如图①，S△ABC＝2S△ACO＝|k|； （2）如图②，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝＋＝； 3．如图③，已知反比例函数的图象上的两点，其坐标分别为，，C为AB延长线与x轴的交点，则S△AOB＝S△AOC–S△BOC＝–＝． 考点14：反比例函数与一次函数的综合 1．取值范围：当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标。针对时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围．例如，如下图，当时，x的取值范围为或；同理，当时，x的取值范围为或． 2.求交点坐标 （1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定. ①k值同号，两个函数必有两个交点； ②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点； （2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况． 考点15：反比例函数的实际应用 解决反比例函数的实际问题步骤： （1）设出解析式；（2）用待定系数法确定函数解析式；（3）再利用反比例函数的性质和图象解决问题（特别注意自变量的取值范围）（4）写出答案． 1——借助数学文化考查一次函数的图象与性质 （2024·江苏扬州·一模）漏刻（如图）是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．李明依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位h（）是时间t（）的一次函数，下表是李明记录的部分数据，其中有一个h的值记录错误，错误的h值为（    ） t（min） … 2 4 7 12 … h（cm） … 1.8 2.6 4.2 5.8 … A．1.8 B．2.6 C．4.2 D．5.8 【答案】C 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式．不妨设过点和点的函数解析式为，然后求出函数解析式，再将和代入求出相应的函数解析式，看是否符合题意，即可解答本题． 【详解】解：设过点和点的函数解析式为， 则， 解得， 即， 当时，， 当时，， 由上可得，点不在该函数图象上，与题目中有一个的值记录错误相符合， 故选：． 1．（2023·湖北武汉·中考真题）我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程（单位：步）关于善行者的行走时间的函数图象，则两图象交点的纵坐标是 ． 【答案】 【知识点】分式方程的实际应用、从函数的图象获取信息 【分析】设图象交点的纵坐标是m，由“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”可知不善行者的速度是善行者速度的．根据速度关系列出方程，解方程并检验即可得到答案． 【详解】解：设图象交点的纵坐标是m，由“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”可知不善行者的速度是善行者速度的． ∴， 解得， 经检验是方程的根且符合题意， ∴两图象交点的纵坐标是． 故答案为： 2．（2023·吉林长春·模拟预测）“漏壶”是一种古代计时器，在社会实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图①所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体． ​ (1)表是实验记录的圆柱体容器液面高度y（厘米）与时间x（小时）的数据： 时间x（小时） 1 2 3 4 5 圆柱体容器液面高度y（厘米） 6 10 14 18 22 在如图②所示的直角坐标系中描出上表的各点，用光滑的线连接． (2)请根据（1）中的数据确定y与x之间的函数表达式． (3)如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那么当圆柱体容器液面高度达到12厘米时是 ．（填写时间） 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】求一次函数解析式、画一次函数图象、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，理解题意是解本题的关键； （1）先描点，再连线即可； （2）利用待定系数法求解函数解析式即可； （3）把代入函数解析式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：描出各点，并连接，如图所示： ． （2）由（1）中图象可知该函数为一次函数，设该函数的表达式为， ∵点，在该函数上， ∴， 解得：， ∴y与x的函数表达式为； （3）当时，即， 解得：， ， 即圆柱体容器液面高度达到12厘米时是上午． 3．（2022·陕西西安·三模）漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位h（cm）是时间t（min）的一次函数，如下表是小明记录的部分数据，其中有一个h的值记录错误． t（min） 1 2 3 4 5 … h（cm） 2.4 2.7 3.1 3.3 3.6 … (1)错误的h的值是______cm； (2)求水位h（cm）与时间t（min）的一次函数关系式； (3)当h为10cm时，对应的时间t为多少分钟？ 【答案】(1)3.1 (2)水位h（cm）与时间t（min）的一次函数关系式为h=0.3t+2.1 (3) 【知识点】求自变量的值或函数值、求一次函数解析式、用表格表示变量间的关系 【分析】（1）由表格中数据知，时间每增加1分钟，h增加0.4，据此可知h=3.4是错误的值； （2）设水位h（cm）与时间t（min）的一次函数关系式为h=kt+b，再用待定系数法求解析式即可； （3）利用（2）的关系式求解t值即可． 【详解】（1）解：由表格中数据知，时间每增加1分钟，h增加0.3， ∴h=3.1是错误的值， 故答案为：3.1； （2）解：设水位h（cm）与时间t（min）的一次函数关系式为h=kt+b， 代入表中数据得， 解得， ∴水位h（cm）与时间t（min）的一次函数关系式为h=0.3t+2.1； （3）解：由（2）知h=0.3t+2.1， 当h=10时，10=0.3t+2.1， 解得t=． 4．（2024·广西·三模）【综合与实践】 【问题背景】 如图①，“漏刻”是我国古代一种利用水流计时的工具，古诗“金炉香尽漏声残，翦翦轻风阵阵寒”，描绘了“漏刻”不断漏水的情景． 如图②，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根装有节流阀（控制水的流速）的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置． 【实验操作】上午，综合实践小组在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后，每隔记录一次甲容器中的水面高度，相关数据如表： 记录时间 流水时间 0 10 20 30 40 水面高度 30 29 28.1 27 25.8 【建立模型】小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，每隔水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系． 【问题解决】 (1)利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式； (2)利用（1）中所求解析式，计算当甲容器中的水面高度为时是几点钟？ (3)经检验，发现有两组表中观察值不满足（1）中求出的函数解析式，存在偏差，小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据（1）中解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．请根据表中数据计算出（1）中得到的函数解析式的w值； 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式、新定义下的实数运算 【分析】本题主要考查一次函数、新定义偏差w的计算，熟练掌握待定系数法求解析式及一次函数的函数值是解题的关键． （1）水面高度h与流水时间t的是一次函数关系，由待定系数法求解； （2）令（1）解析式中，代入求解即可； （3）根据w的定义代入计算. 【详解】（1）设水面高度h与流水时间t的函数解析式为， 时，；时，； ， 解得：， 水面高度h与流水时间t的函数解析式为； （2）将代入解析式得： 解得：    又初始时间为                                                      水面高度为时的时间是 （3）根据（1）中解析式求出所对应的函数值 t 0 10 20 30 40 30 29 28 27 26 根据w的定义得： ． 5．（2024·广西梧州·二模）【问题情境】水钟也叫漏刻，是古代的计时器，今天看起来依然很哇塞．水钟分为泄水型和受水型两类，如图①是泄水型水钟．水钟是根据流水的等时性原理来计时的，小红根据这个原理制作了一个简易的泄水型水钟模型，记录了在一次实验中不同时间的水位读数，整理成下面的表格： 泄水时间 … 水位读数 … 【探索发现】 （1）小红尝试从函数的角度进行探究，用横轴表示泄水时间，纵轴表示水位读数，建立如图②的平面直角坐标系，请你将上表中的数据为点的坐标，在图②中描出相应的点． （2）观察上述各点的分布规律，猜想与之间满足哪种函数关系，并求出与的函数表达式，验证这些点的坐标是否满足函数表达式． 【问题解决】 （3）若观察时间为，水位读数是多少厘米？ （4）小红本次实验开始的时间为下午时分，当水位读数为时，是几点？ 【答案】（1）见解析（2）猜测与之间满足一次函数关系，，这些点的坐标满足函数表达式，验证见解析（3）若观察时间为，水位读数是厘米（4）下午时分 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、求一次函数自变量或函数值、求一次函数解析式 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、求一次函数的解析式，求一次函数的函数值和自变量，理解题意、熟练掌握一次函数的应用是解题的关键． （1）由表中数据得：、、、、、、，描出各个点即可； （2）猜测与之间满足一次函数关系，把、代入求出完整表达式，把其余的点的横坐标代入计算，验证是否满足函数表达式即可； （3）根据“观察时间为”，把代入求解即可； （4）根据“水位读数为”，把代入求解得出泄水时间，再根据“小红本次实验开始的时间为下午时分”，计算出当水位读数为时的时间即可． 【详解】解：（1）由表中数据得：、、、、、、，如图，描出各个点， （2）猜测与之间满足一次函数关系， 设，把、代入得：， 解得：， ∴与的函数表达式为， 这些点的坐标满足函数表达式，验证如下， ∵由、得出表达式，这两点符合， 当时，，符合， 当时，，符合， 当时，，符合， 当时，，符合， 当时，，符合， ∴这些点的坐标满足函数表达式； （3）∵观察时间为， ∴把代入得：， 答：若观察时间为，水位读数是厘米； （4）∵水位读数为， ∴把代入得：， 解得：， ∴泄水时间为分， ∵小红本次实验开始的时间为下午时分， ∴时分分时分， 答：当水位读数为时，是下午时分． 6．（2024·河南驻马店·一模）围棋起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，围棋距今已有四千多年的历史. 中国象棋也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂.国家“双减”政策实施后，某校为参加社团的同学去商场购买中国象棋和围棋. 其中购买40副象棋和20副围棋共花费2600元，已知购买1副象棋比1副围棋少花10元. (1)求每副象棋和围棋的单价； (2)随着社团活动的开展和同学们对棋类运动的热爱，学校决定再次购买40副围棋和副中国象棋，在购买时，恰逢商场推出了优惠活动，活动的方案如下： 方案一：购买围棋超过20副时，超过部分每购买1副围棋赠送1副中国象棋； 方案二：按购买总金额的八折付款． 分别求出按照方案一、二购买的总费用、关于m的函数关系式； (3)若选择方案二购买更合算，求m的取值范围． 【答案】(1)每副象棋的价格是40元，每副围棋的价格是50元 (2)见解析 (3) 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了二元一次方程、一元一次不等式和列函数解析式，解题关键是准确把握题目中的数量关系，正确列出方程或不等式． （1）设每副象棋的价格是元，每副围棋的价格是元，列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据题目给出的优惠方案，列出关系式即可； （3）根据题意列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设每副象棋的价格是元，每副围棋的价格是元， 根据题意得：， 解得：． 答：每副象棋的价格是40元，每副围棋的价格是50元； （2）解：根据购买围棋超过20副时，超过部分每购买1副围棋赠送1副中国象棋， 可得； 根据按购买总金额的八折付款， 可得． （3）解：根据题意得， ， 解得，， 所以，m的取值范围． 3——借助数学文化考查二次函数的图象与性质 （2024·浙江杭州·三模）“幂势既同，则积不容异”是我国古代数学家祖暅提出的体积计算原理，称作祖暅原理．利用祖暅原理可以得到一种求面积的方法：“夹在两条平行直线之间的两个平面图形，被平行于这两条平行线的任意直线所截，如果被截得的两条线段长总相等，那么这两个平面图形的面积相等”． （1）如图1，夹在直线与之间的矩形与曲边形满足：，．一平行于的直线交矩形于M，N，交曲边形的曲边于，，且无论在何位置都有，则曲边形的面积为 ． （2）如图2，记函数的图象在第一象限围成的曲边形（阴影部分）为Ω，则Ω的面积为 ． 【答案】 4 3 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了祖暅原理，正确理解祖暅原理，利用祖暅原理将不规则图形的面积转化为规则图形的面积是解题的关键． （1）根据祖暅原理，得出曲变形的面积等于矩形的面积； （2）根据祖暅原理，将阴影部分面积转化为三角形面积进行求解． 【详解】解：（1）∵祖暅原理， ∴曲变形的面积＝矩形的面积， ∴曲变形的面积， 故答案为：4； （2）如图， 联立方程组， 解得，， ∴, 同理可得，， ∴, 由祖暅原理得，如图，将二次函数的图象向上平移2个单位， ，，,， ， ∵平行于，平行于的直线在平移前后图象上截得的线段长是2， ∴平移前后抛物线与线段、所围成的图形的面积等于矩形的面积，阴影部分面积， 故答案为：3． 1．（2024·河北石家庄·二模）杆秤是古代的一种度盘工具，由木制的带有秤星的秤杆、金属秤锤、秤纽等组成（如图1）．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为时，秤钩所挂重物为，则是的一次函数． 【记录数据】 表中为若干次称重时，某数学兴趣小组所记录的一些数据． 【探索发现】 （1）在如表的数据中，发现有一对数据记录错误，在图2平面直角坐标系中，通过描点法，观察判断哪一对数据是错误的； （2）求与之间的函数关系式，并推测秤盘的质量； 【结论应用】 （3）已知秤杆上秤砣到秤纽的最大水平距离为，现有的重物，该秤是否能一次性称出此物体的重量？请说明理由． 【答案】（1）作图见解析；根据图像可知，这对数据是错误的；（2），秤盘的质量是；（3）不能一次性称出此物体的重量． 【知识点】用描点法画函数图象、求一次函数解析式、求一次函数自变量或函数值、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用， （1）画出函数图像即可得出结论； （2）设与之间的函数关系式为，再把，和，代入解析式得到关于、的二元一次方程组，解方程组后得到、的值即可得到与之间的函数关系式，然后再令求出的值即可得到秤盘的质量； （3）把代入解析式求出的值，再与比较即可； 掌握待定系数法确定一次函数解析式是解题关键． 【详解】解：（1）图像如图2所示： 根据图像可知：，这对数据是错误的； （2）设与之间的函数关系式为， ∵，和，， ∴， 解得：， ∴与之间的函数关系式为， 当时，， ∴秤盘的质量是； （3）当时，， ∴可称物体的最大质量为， ∵， ∴不能一次性称出此物体的重量． 2．（2023·浙江宁波·三模）【背景介绍】 烽火台是古代军情报警的一种措施，若敌人白天侵犯就燃烟，夜间来犯就点火以可见的烟气和光亮向各方与上级报警．古时期人们用火种点燃箭头，然后准确地射向烽火台以点燃烟或点火． 【问题情境】 距离此处70米远，有一个20米高的烽火台，烽火台上面的点火区域是一个边长为4米的正方形．这只箭飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分，记这只箭飞行的水平距离为d（单位：m）．距地面的竖直高度为（单位：m），获得数据如表： d/m 0 10 20 30 40 50 60 70 h/m k 【探究过程】 小勇根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了研究．下面是小勇的探究过程，请补充完整； (1)k的值为______， (2)在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连结． (3)请结合函数图像分析，士兵射出的箭是否掉进了烽火台里？ (4)烽火台较小，士兵将火种箭射进台内较为困难．于是，利用烽火台的上空的可燃气体，只要士兵射出的箭能够进入烽火台上方离4米的范围内，都可以顺利点燃烽火台．小勇在研究这个问题的过程中还发现．如果射箭的初始角度和力量不变的情况下，射手还可以通过调整与烽火台的距离米改变这只箭的飞行轨迹，如果保证烽火台被点燃，请结合函数图象分析，射手向后移动的最大距离与向前移动的最大距离分别为多少？ 【答案】(1) (2)见解析 (3)士兵射出的箭没有掉进圣火台里． (4)射手向后移动的最大距离为，向前移动的最大距离为． 【知识点】二次函数图象的平移、待定系数法求二次函数解析式、用描点法画函数图象、从函数的图象获取信息 【分析】本题考查二次函数的实际应用，考查抛物线的对称性，描点法画函数图像，二次函数图像的平移．根据函数图像获取信息解题的关键． （1）根据抛物线的对称性结合表格数据可知当与时的函数值相等，据此即可求解； （2）先根据表格中的数据在直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线连接即可； （3）先求得抛物线的解析式，再求出当时所对应的的值，再和作比较即可； （4）利用已求得抛物线的解析式，根据题意，先求得正方形左下角的点的坐标和右上角的点的坐标，再根据抛物线的平移列出方程，求得平移的距离，即可求解． 【详解】（1）解：∵这只箭飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分， 根据表格数据和二次函数图像的对称的性质可得：对称轴为直线， ∴与时的函数值相等， ∵当时，， ∴当时，． 故答案为：． （2）解：先根据表格中的数据在直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线连接如下图： （3）解：设二次函数的解析式为：， 当时，， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为， 当时， ， ∴士兵射出的箭没有掉进圣火台里． （4）解：由（3）可知：二次函数的解析式为， ∵圣火台上方高4米的范围内，都可以顺利点燃主火炬，且射箭的初始角度和力量不变的情况下，射手可以通过调整与火炬塔的距离来改变这只箭的飞行轨迹，即相当于将图像左右平移可以保证圣火被点燃， 依题意，正方形左下角的点的坐标为，右上角的点的坐标为， 设后退米，即抛物线向左平移米，当抛物线经过正方形的左下角的点时，   ∴， 解得：，（不合题意，舍去）； 设前进米，即抛物线向右平移米，当抛物线经过正方形的右上角的点时， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴射手向后移动的最大距离为，向前移动的最大距离为． 3．（2024·陕西西安·模拟预测）如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为28米、垂直距离为6米．已知发射石块在空中飞行的最大高度为10米 (1)求抛物线的解析式； (2)试通过计算说明石块能否飞越防御墙； 【答案】(1) (2)石块能飞越防御墙 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数)、已知二次函数的函数值求自变量的值、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了二次函数的实际应用．熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，根据函数值求函数值，是解题的关键． （1）根据石块在空中飞行的最大高度为10米，得到抛物线解析式为，将点代入，求得，即得抛物线解析式为，化为顶点式为； （2）根据墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为28米、垂直距离为6米，得到，当时，，得到石块能飞越防御墙． 【详解】（1）∵发射石块在空中飞行的最大高度为10米， ∴抛物线解析式为：， 将点代入， 得， 解得：， ∴抛物线解析式为，， 即； （2）∵墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为28米、垂直距离为6米， ∴点C与点的水平距离为30米、垂直距离为6米， ∴， 当时， ， ∴石块能飞越防御墙． 4．（2024·河南驻马店·模拟预测）投壶是中国古代士大夫宴饮时做的一种投掷游戏，是把箭向壶里投，投中多的为胜．小明与小颖一起玩投壶游戏，使用底面边长为0.2米的正方形、高0.5米的长方体木桶做壶，投掷点O到壶中心的水平距离4米．下图抛物线是小明投出箭头的运动轨迹，已知箭离手时箭头的位置点A距离地面1.5米，飞行到离小明水平距离1米处达到最高点，箭头恰好穿过壶中心进入壶中． (1)求出小明投掷时，箭头运动路线的表达式； (2)小颖投掷时，箭头运动路线的表达式为，请判断小颖此次投掷能否成功进壶？并说明理由；如果不能，小颖想把壶的位置移动一下，你帮助小颖计算一下这次投掷如果成功进壶，那么壶需要移动的方向以及移动距离d的范围． 【答案】(1) (2)小颖此次投掷不能成功进壶，移动距离的范围是 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的实际问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）运用待定系数法求函数解析式即可； （2）令，则解方程，求出x值比较即可解题． 【详解】（1）由题可得抛物线的对称轴为直线经过点, ， 设小明投掷时箭头运动路线的表达式为,由题意可得： ，解得 ， 而由题意可知箭飞行的范围是到，即 ∴小明投掷时箭头运动路线的表达式为； （2）小颖此次投掷不能成功进壶，理由： ， ∴当时, 即， 解得：(不符合题意，舍去)， ， ∴小颖此次投掷不能成功进壶， 小颖这次投掷如果成功进壶，那么壶需要移动的方向是向小颖方向移动，移动距离的范围是． 5．（2024·广东深圳·三模）【项目式学习】 项目主题：建筑学中“拱”的建造及装饰 项目背景：拱结构由于其美观且坚固的特点，在古代建筑中得到了广泛的应用，并在现代建筑中也有不少应用．目前已知对拱最早的使用是公元前年美索不达米亚地区的砖拱，公园前年两河流域（现在伊拉克中部）王朝的近似抛物线型砖拱已经横跨近米、高米了（如图）．（注：抛物线拱，就是由截面均为抛物线形状弧构成的拱．） 项目素材： 素材：某地在进行景观改造过程中模拟建设了一座与王朝的砖拱同样跨度（即图中的地面米）和高度（最高点离地面米）的抛物线拱（图（）为其中一处抛物线拱截面）． 在图（）的抛物线拱截面距离地面米高的墙面上安装有一根用于灯光布置的横梁． 素材：图（）为另一处抛物线拱截面．景点要求工人师傅在抛物线拱上做一个正方形（）装饰品，要求两点在抛物线上（在的左侧），是抛物线的顶点，且与地面垂直． 素材：如图（），景点管理公司利用素材1中的横梁安装了一个半径为米的圆形灯光饰品，后来为了美观，公司要求安装灯光的师傅将圆形灯光饰品改装成月牙形的灯光饰品，安装师傅于是将原圆形灯光饰品的一段劣弧沿一条直线翻折，交于点． 项目任务： 任务：素材中横梁的长度是多少米?（结果若有根号则保留根号） 任务：素材中工人师傅的安装计划若能实现，那么点距离地面的高度是 米． 任务：在素材中，经测量发现，．请直接写出两月牙尖的距离． 【答案】任务：（米）；任务：；任务：两月牙尖的距离为米 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、根据正方形的性质求线段长、拱桥问题(实际问题与二次函数)、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、求函数解析式、正方形的性质、圆周角定理等知识点，正确建立直角坐标系成为解题的关键． 任务：如图（a）建立直角坐标系：则，然后运用待定系数法求出函数解析式，再令求得，进而确定即可解答； 任务2：如图连接交y轴于E，根据正方形的性质可得，设，则，然后将代入计算求出点C的坐标即可； 任务3：如图：设圆的圆心为O，连接,作于I，先说明为圆O的直径，再根据圆周角定理可得，再根据等腰三角形的性质可得，进而可得、，先用勾股定理可得，最后再运用勾股定理即可解答． 【详解】解：任务：如图（a）建立直角坐标系：则， 设抛物线的解析式为：， ∴，解得：， ∴， 令，则有，解得：, ∴， ∴（米）． 任务2：如图连接交y轴于E， 由题意可得：， 设，则， ∵抛物线解析式为， ∴，解得：或0（舍弃） ∴， ∴点距离地面的高度是米． 故答案为． 任务3：如图：设圆的圆心为O，连接,作于I， ∵，， ∴， ∵半径为米的圆形灯光饰品， ∴为圆O的直径， ∴, ∵所对的圆周角相等，即等于， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴, ∵， ∴（米）． 4——借助数学文化考查反比例函数的性质与应用 （2024·河南驻马店·二模）项目式学习． 用固定双曲线三等分锐角 文化背景 三等分角大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，它和“立方倍积问题”“化圆为方问题”一起被称为“古代三大几何难题”．古希腊数学家帕普斯(，约)在他有独创性的名著中曾证明用一固定双曲线能解“三等分角问题”． 任务设定 用直尺和圆规三等分锐角∠AOB 解决途径 （1）以点O为坐标原点， 所在的直线为x轴建立平面直角坐标系； （2）在平面直角坐标系中，绘制反比例函的图象，图象与的边交于点C； （3）以点 C为圆心，的长为半径作弧，交函数的图象于点E； （4）分别过点 C 和 E 作 x轴和y轴的平行线，两线交于点 D，F； （5）作射线，交于点 G，得到． 问题解决 任务1 四边形的形状为_______； 任务2 请证明．． 【答案】任务1∶矩形；任务2：见解析 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、等腰三角形的性质和判定、反比例函数与几何综合、求一次函数解析式 【分析】（1）由平行线的传递性得，，从而四边形是平行四边形，再证明，可证四边形是矩形； （2）设点 点 ，则点 点 ，求出直线的解析式为，可证点 F在直线上，由矩形的性质得，从而，由三角形外角的性质得，再证明，可证． 【详解】解∶任务1∶ ∵轴，轴，轴，轴， ∴，， ∴四边形是平行四边形． ∵x轴轴，轴，轴， ∴， ∴四边形是矩形． 故答案为：矩形； 任务2：设点 点 ， ∴点 点 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为． 当时， ∴点 F在直线上． ∵四边形是矩形， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 1.（2023·浙江温州·一模）根据以下素材，探索完成任务. 如何拟定计时器的计时方案？ 问题背景 “漏刻”是我国古代的一种计时工具（如图1），它是中国古代人民对函数思想的创造性应用.    素材1 为了提高计时的准确度，需稳定“漏水壶”的水位，如图2，若打开出水口B，水位就稳定在位置，随着“受水壶”内的水逐渐增加，读出“受水壶”的刻度，就可以确定时间，小明想根据“漏刻”的原理制作一个简易计时器. 素材2 实验发现，当打开不同的出水口时，水位可以稳定在相应的高度，从而调节计时时 长T（即“受水壶”到达最高位200mm的总时间）.右表是记录“漏水壶”水位高度h（mm）与“受水壶”每分钟上升高度x（mm）的部分数据，已知h关于x的函数表达式为：. 【答案】；；符合要求的方案有两种，方案一，“漏水壶”水位高度为128mm，计时器计时时长15min，方案二，“漏水壶”水位高度为200mm，计时器计时时长12min 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、实际问题与反比例函数 【分析】（1）用待定系数法求解即可． （2）由题意得出T关于x的函数关系式，把对应x值代入即可． （3）根据题意求出x和T的取值范围，h和T都是整数，可以得出符合要求的只有两种方案． 【详解】解：[任务1] 把，和，分别代入， 得， 解这个方程组，得， 所以h关于x的函数关系式为． [任务2] 解：由任务一得h关于x的函数关系式为， 当时， 即， 解得：， 由于，得， 由题意得：T关于x的函数关系式为， ∴当时，． [任务3] 由题意得：漏水壶水位在， ∴， 解得， ∵， ∴， ∵h和T都是整数， ∴把分别代入和， 当时，，， 当时，，， ∴符合要求的方案有两种， 方案一，“漏水壶”水位高度为128mm，计时器计时时长15min． 方案二，“漏水壶”水位高度为200mm，计时器计时时长12min． 2．（22-23九年级上·江苏盐城·期末）公元前三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时，给出“赵爽弦图”，如图，数学课上数学老师把该图放置在在平面直角坐标系中，如图，此时正方形的顶点A的坐标为，顶点B的横坐标为3，若反比例函数的图像经过B，C两点，则的值为（   ） A．12 B．15 C．18 D．21 【答案】C 【分析】此题考查了正方形性质、反比例函数的图象和性质等知识，设点B的坐标为，其中，则点C的坐标为，把两点的坐标代入得到，解方程即可得到答案 【详解】解：∵正方形的顶点A的坐标为，顶点B的横坐标为3， ∴可设点B的坐标为，其中，则点C的坐标为， ∵反比例函数的图像经过B，C两点， ∴， 则 解得或（不合题意，舍去）， ∴， 故选：C 3．（2023·河南周口·一模）我国传统的计重工具叫秤杆，也称杆秤，杆秤的木杆上面镶有计量的金属秤星，如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O将其吊起来，在中点O的左侧，距离中点处挂一个重的物体，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，如果把弹簧秤与中点O的距离L（单位：）记作x，弹簧秤的示数F（单位：）记作y，如表几对数值中不能满足y与x的函数关系式的是（　　） 序号 A B C D 5 10 35 40 49 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察表格中的数据可知，，由此确定对应的函数关系式，再分别代入四个选项中的数值求解判断即可． 【详解】解：根据题中数据得：， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴四个选项中只有C选项中的数值不满足对应的函数关系式， 故选：C． 4．（2023·宁夏银川·二模）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题．在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷． 请用等面积法的思想解决下列问题： (1)在直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为______． (2)如图1，反比例函数的图像上有一点P，轴于点A，点B在y轴上，则的面积为______． (3)如图2，P是边长为a的正内任意一点，点O为的中心，设点P到各边距离分别为，，，连接，由等面积法，易知，可得；如图3，若P是边长为4的正五边形内任意一点，设点P到五边形各边距离分别为，，，，，参照上面的探索过程，求的值．（参考数据：，） (4)如图4，已知的半径为1，点A为外一点，，切于点B，弦，连接，求图中阴影部分的面积．（结果保留） (5)我国数学家祖暅，提出了一个祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．如图所示，某帐篷的造型是两个全等圆柱垂直相交的公共部分的一半（这个公共部分叫做牟合方盖），其中曲线和均是以1为半径的半圆．用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形，且该正方形的面积恰好等于与帐篷同底等高的正四棱柱中挖去一个倒放的同底等高的正四棱锥后同高度截面的面积（图8中阴影部分的面积），因此该帐篷的体积为______．（正棱锥的体积底面积高） 【答案】(1)；(2)； (3)； (4)； (5)． 【分析】 本题考查三角形的综合应用，熟练掌握正五边形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，圆的切线性质，扇形的面积公式，棱柱的体积，棱锥的体积公式是解题的关键． （1）先求斜边，再利用等面积法，求出斜边上的高； （2）轴，则结合反比例函数的重要性质可得； （3）由题可知，连接，过作交于，根据正五边形的性质可求在 中，即求出则， 再由方程，可得 ； （4）过点作交延长线于，可证得是等边三角形，再由 ，即可求解； （5）连接，则再由四边形是正方形，求出根据 求解即可． 【详解】（1） 解：根据勾股定理，斜边长为： 设斜边上的高为，根据等面积法： 解得：． （2） 解：连接，如图： ∵轴， ∴轴， ， 的面积为：． （3） ， 如图3，连接，过作交于， ∵五边形是正五边形， ∴正五边形的每一内角为 在中， ， ， ． （4） 解：如图4，过点作交延长线于， ∵是圆的切线， ， 是等边三角形， 过点作于点，如图： ∵， ∴是的高， ∴， ． （5） 解：如图7，连接， ∵是圆的直径， ∵四边形是正方形， ． 5．（2023·广东深圳·二模）在平面直角坐标系中，对于点和点，给出如下定义：若，则称点Q为点P的限变点，例如：点的限变点的坐标是，点的限变点的坐标是． (1)①点的限变点的坐标是________； ②以下三个选项中的点是反比例函数图象上某一个点的限变点的是（    ） A．    B．    C． (2)若点P在一次函数的图象上，请在下图平面直角坐标系中，画出点P的限变点Q的函数图象，并根据图象点Q的纵坐标的取值范围为________． (3)我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．若点P在关于x的二次函数的图象上，其限变点Q的纵坐标的取值范围是或，其中，令，求s关于t的函数解析式． 【答案】(1)①；②B (2)图象见解析， (3) 【分析】（1）①由题意知，，中，则，进而可得限变点坐标； ②分别求出各选项点坐标的限变点，然后代入反比例函数中进行判断即可； （2）由题意知，Q的函数表达式为，然后在坐标系中画函数图象，进而可确定的取值范围； （3）根据限变点的定义进行分情况求解：若，如图2所示，的取值范围是或，与题意不符；若，如图3所示，当时，y的最小值为t，即；当时，的值小于，即，进而可得． 【详解】（1）①解：， ∵， ∴， ∴点的限变点的坐标是， 故答案为：； ②解：由题意知，的限变点坐标为； 的限变点坐标为； 的限变点坐标为； 将代入得，，则不在反比例函数图象上，故A不符合要求； 在反比例函数图象上，故B符合要求； 将代入得，，则不在反比例函数图象上，故C不符合要求； 故选：B； （2）解：由题意知，Q的函数表达式为，画图象如下：    由图象可得，的取值范围为； 故答案为：； （3）解：由题意知，分情况求解： 若，如图2所示，的取值范围是或，与题意不符； 若，如图3所示，当时，y的最小值为t，即；    当时，的值小于，即， ∴， ∴s关于t的函数解析式为． 43 / 43 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 数学文化背景下的中考数学之函数 背景1：关于漏壶“”：水钟在中国又叫作“刻漏”、“漏壶”。根据等时性原理滴水记时有两种方法，一种是利用特殊容器记录把水漏完的时间（泄水型），另一种是底部不开口的容器，记录它用多少时间把水装满（受水型）。中国的水钟，最先是泄水型，后来泄水型与受水型同时并用或两者合一。 背景2：关于《九章算术》：中国古代的数学专著，成书于公元一世纪,作者不详，西汉早期丞相张苍、耿寿昌等增补删订，三国曹魏时期刘徽注释，唐初李淳风注。全书分方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股等九个章节。“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数及其加减运算法则，并给出名为“正负术”的算法. 魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的计数工具）分别表示正数和负数（红色为正，黑色为负）。 《九章算术》中关于“开方”还指出“若开之不尽者为不可开，当以面命之”，作者给这种开方开不尽的数起了一个专门的名词“面”． 《九章算术注》是由魏晋时期数学家刘徽所创作的。刘徽（约公元225年—295年），魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，他的杰作主要有《九章算术注》和《海岛算经》。 背景3：关于祖暅原理：祖暅原理也称祖氏原理，一个涉及几何求积的著名命题。公元656年，唐代李淳风注《九章算术》时提到祖暅的开立圆术。祖暅在求球体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”。“幂”是截面积，“势”是立体的高。意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积相等，则体积相等。更详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个立体的体积相等。上述原理在中国被称为祖暅原理，国外则一般称之为卡瓦列利原理。 背景4：关于烽火台：“烽火”，古代边防报警的两种信号，白天放烟叫“燧”，夜间举火叫“烽”。烽火台在汉代称作烽堠（烽候）、亭燧，唐宋称作烽台，并把“烽燧”一词也引申为烽火台，明代则一般称作烟墩或墩台（西北明代墩台，大的还有御敌之功能，小的则只有望而无点烽火之功能）。 背景5：关于投壶：投壶，源于射礼，是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏，也是一种礼仪。投壶，顾名思义，就是由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分的游戏。 背景6：关于“三等分角”：三等分角是古希腊三大几何问题之一。三等分角是古希腊几何尺规作图当中的名题，和化圆为方、倍立方问题被并列为古代数学的三大难题之一，而如今数学上已证实了这个问题无解。该问题的完整叙述为：在只用圆规及一把没有刻度的直尺将一个给定角三等分。在尺规作图（尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图）的前提下，此题无解。若将条件放宽，例如允许使用有刻度的直尺，或者可以配合其他曲线使用，可以将一给定角分为三等分。 背景7：关于华罗庚：华罗庚（1910年11月12日—1985年6月12日），出生于江苏常州金坛区，祖籍江苏丹阳，数学家，中国科学院院士，美国国家科学院外籍院士。国际上以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”、“华氏不等式”、“华—王方法”等。 背景8：关于《周髀算经》：《周髀算经》原名《周髀》，算经的十书之一，是古老的天文学和数学著作，主要阐明当时的盖天说和四分历法。唐初规定它为国子监明算科的教材之一，故改名《周髀算经》。《周髀算经》证明了勾股定理。《周髀算经》采用最简便可行的方法确定天文历法，揭示日月星辰的运行规律，囊括四季更替，气候变化，包含南北有极，昼夜相推的道理。给后来者生活作息提供有力的保障，自此以后历代数学家无不以《周髀算经》为参考，在此基础上不断创新和发展。 考点1：一次函数、正比例函数的概念 1．一次函数的定义：一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做x的一次函数. 特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时，y=kx（k是常数，k≠0）．这时， y叫做x的正比例函数． 2．一次函数的一般形式 一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k，b为常数，k≠0． 考点2：一次函数的图象及性质 1．正比例函数的图象特征与性质 正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过原点（0，0）的一条直线． k的符号 函数图象 图象的位置 性质 k>0 图象经过第一、三象限 y随x的增大而增大 k <0 图象经过第二、四象限 y随x的增大而减小 2．一次函数的图象特征与性质 （1）一次函数的图象 一次函数的图象 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和(-，0)的一条直线 图象关系 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到；b>0，向上平移b个单位长度；b<0，向下平移|b|个单位长度 图象确定 两点确定一条直线，可知画一次函数图象时，只要取两点即可 （2）一次函数的性质 函数 字母取值 图象 经过的象限 函数性质 y=kx+b (k≠0) k>0，b>0 一、二、三 y随x的增大而增大 k>0，b<0 一、三、四 y=kx+b (k≠0) k<0，b>0 一、二、四 y随x的增大而减小 k<0，b<0 二、三、四 （3）k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系 在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=- ，即直线y=kx+b与x轴交于（–，0）． ①当–>0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴． ②当–=0，即b=0时，直线经过原点．③当–<0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴． （4）两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系： ①当k1=k2，b1≠b2，两直线平行；②当k1=k2，b1=b2，两直线重合； ③当k1≠k2，b1=b2，两直线交于y轴上一点；④当k1·k2=–1时，两直线垂直． 考点3：一次函数与方程（组）、不等式的关系 1．一次函数与一元一次方程的关系 直线y=kx+b与x轴的交点A的横坐标xA就是对应方程kx+b=0的解． 简记：交点的横坐标就是对应方程的解 2．一次函数与一元一次不等式的关系 任何一个一元一次不等式都能写成ax+b>0（或ax+b<0）（a，b为常数，且a≠0）的形式． 从函数的角度看，解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件． 3．一次函数与二元一次方程组的关系 从数的角度看，解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值； 从形的角度看，解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标： 一般地，一次函数与一次函数交点的坐标就是对应方程组的解。 牢记：交点的坐标就是对应方程组的解 考点4：一次函数的实际应用 1．主要题型： （1）求相应的一次函数表达式；（2）结合一次函数图象求相关量、求实际问题的最值等． 2．用一次函数解决实际问题的一般步骤为： （1）设定实际问题中的自变量与因变量； （2）通过列方程(组)与待定系数法求一次函数关系式； （3）确定自变量的取值范围； （4）利用函数性质解决问题； （5）检验所求解是否符合实际意义； （6）答案． 考点5：二次函数的概念和三种形式 1、二次函数的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数． 2、二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）． （2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）． （3）两根式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0． 考点6：二次函数的图象及性质 解析式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 对称轴 x=– 顶点 （–，） a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 向上 向下 最值 当x=–时，y最小值= 当x=–时，y最大值= 最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点 增减性 当x<–时，y随x的增大而减小 当x>–时，y随x的增大而增大 当x<–时，y随x的增大而增大当x>–时，y随x的增大而减小 考点7：二次函数图象（抛物线）的平移 平移方法：上加下减，左加右减。 考点8：二次函数与一元二次方程的关系 1．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），当y＝0时，就变成了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）． 2．ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解是抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标． 3．（1）b2–4ac＞0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； （2）b2–4ac＝0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点； （3）b2–4ac＜0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点． 总之，抛物线与横轴交点的个数与对应一元二次方程解的个数是相同的。 考点9：二次函数的应用题常见类型及解题步骤： 1. 常见类型：（1）拱桥问题；（2）面积问题；（3）利润问题；（4）增长率问题。 2. 解题步骤：（1）审题；（2）设变量和解析式；（3）待定系数法求解析式；（4）利用二次函数性质解决问题；（5）答案。 考点10：反比例函数的概念 反比例函数：一般地，函数（k是常数，k≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成的形式．自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数． 自变量x和函数值y的取值范围都是不等于0的任意实数． 考点11：反比例函数的图象和性质 1. 反比例函数的图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴． 2．反比例函数的性质： 表达式 （k是常数，k≠0） k k＞0 k＜0 大致图象 所在象限 第一、三象限 第二、四象限 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 轴对称图形（对称轴为直线y＝x和y＝－x），中心对称图形（对称中心为原点） 注意：反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况． 当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 考点12：反比例函数解析式的确定 1．待定系数法：确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式． 2．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤 （1）设反比例函数解析式为（k≠0）； （2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； （3）解这个方程求出待定系数k； （4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式． 考点13：反比例函数中k的几何意义 1． 反比例函数中k的几何意义 2．解决面积问题常用结论： 当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解． （1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积．如图①，S△ABC＝2S△ACO＝|k|； （2）如图②，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝＋＝； 3．如图③，已知反比例函数的图象上的两点，其坐标分别为，，C为AB延长线与x轴的交点，则S△AOB＝S△AOC–S△BOC＝–＝． 考点14：反比例函数与一次函数的综合 1．取值范围：当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标。针对时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围．例如，如下图，当时，x的取值范围为或；同理，当时，x的取值范围为或． 2.求交点坐标 （1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定. ①k值同号，两个函数必有两个交点； ②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点； （2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况． 考点15：反比例函数的实际应用 解决反比例函数的实际问题步骤： （1）设出解析式；（2）用待定系数法确定函数解析式；（3）再利用反比例函数的性质和图象解决问题（特别注意自变量的取值范围）（4）写出答案． 1——借助数学文化考查一次函数的图象与性质 （2024·江苏扬州·一模）漏刻（如图）是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．李明依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位h（）是时间t（）的一次函数，下表是李明记录的部分数据，其中有一个h的值记录错误，错误的h值为（    ） t（min） … 2 4 7 12 … h（cm） … 1.8 2.6 4.2 5.8 … A．1.8 B．2.6 C．4.2 D．5.8 1．（2023·湖北武汉·中考真题）我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程（单位：步）关于善行者的行走时间的函数图象，则两图象交点的纵坐标是 ． 2．（2023·吉林长春·模拟预测）“漏壶”是一种古代计时器，在社会实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图①所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体． ​ (1)表是实验记录的圆柱体容器液面高度y（厘米）与时间x（小时）的数据： 时间x（小时） 1 2 3 4 5 圆柱体容器液面高度y（厘米） 6 10 14 18 22 在如图②所示的直角坐标系中描出上表的各点，用光滑的线连接． (2)请根据（1）中的数据确定y与x之间的函数表达式． (3)如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那么当圆柱体容器液面高度达到12厘米时是 ．（填写时间） 3．（2022·陕西西安·三模）漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位h（cm）是时间t（min）的一次函数，如下表是小明记录的部分数据，其中有一个h的值记录错误． t（min） 1 2 3 4 5 … h（cm） 2.4 2.7 3.1 3.3 3.6 … (1)错误的h的值是______cm； (2)求水位h（cm）与时间t（min）的一次函数关系式； (3)当h为10cm时，对应的时间t为多少分钟？ 4．（2024·广西·三模）【综合与实践】 【问题背景】 如图①，“漏刻”是我国古代一种利用水流计时的工具，古诗“金炉香尽漏声残，翦翦轻风阵阵寒”，描绘了“漏刻”不断漏水的情景． 如图②，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根装有节流阀（控制水的流速）的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置． 【实验操作】上午，综合实践小组在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后，每隔记录一次甲容器中的水面高度，相关数据如表： 记录时间 流水时间 0 10 20 30 40 水面高度 30 29 28.1 27 25.8 【建立模型】小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，每隔水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系． 【问题解决】 (1)利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式； (2)利用（1）中所求解析式，计算当甲容器中的水面高度为时是几点钟？ (3)经检验，发现有两组表中观察值不满足（1）中求出的函数解析式，存在偏差，小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据（1）中解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．请根据表中数据计算出（1）中得到的函数解析式的w值； 5．（2024·广西梧州·二模）【问题情境】水钟也叫漏刻，是古代的计时器，今天看起来依然很哇塞．水钟分为泄水型和受水型两类，如图①是泄水型水钟．水钟是根据流水的等时性原理来计时的，小红根据这个原理制作了一个简易的泄水型水钟模型，记录了在一次实验中不同时间的水位读数，整理成下面的表格： 泄水时间 … 水位读数 … 【探索发现】 （1）小红尝试从函数的角度进行探究，用横轴表示泄水时间，纵轴表示水位读数，建立如图②的平面直角坐标系，请你将上表中的数据为点的坐标，在图②中描出相应的点． （2）观察上述各点的分布规律，猜想与之间满足哪种函数关系，并求出与的函数表达式，验证这些点的坐标是否满足函数表达式． 【问题解决】 （3）若观察时间为，水位读数是多少厘米？ （4）小红本次实验开始的时间为下午时分，当水位读数为时，是几点？ 6．（2024·河南驻马店·一模）围棋起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，围棋距今已有四千多年的历史. 中国象棋也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂.国家“双减”政策实施后，某校为参加社团的同学去商场购买中国象棋和围棋. 其中购买40副象棋和20副围棋共花费2600元，已知购买1副象棋比1副围棋少花10元. (1)求每副象棋和围棋的单价； (2)随着社团活动的开展和同学们对棋类运动的热爱，学校决定再次购买40副围棋和副中国象棋，在购买时，恰逢商场推出了优惠活动，活动的方案如下： 方案一：购买围棋超过20副时，超过部分每购买1副围棋赠送1副中国象棋； 方案二：按购买总金额的八折付款． 分别求出按照方案一、二购买的总费用、关于m的函数关系式； (3)若选择方案二购买更合算，求m的取值范围． 3——借助数学文化考查二次函数的图象与性质 （2024·浙江杭州·三模）“幂势既同，则积不容异”是我国古代数学家祖暅提出的体积计算原理，称作祖暅原理．利用祖暅原理可以得到一种求面积的方法：“夹在两条平行直线之间的两个平面图形，被平行于这两条平行线的任意直线所截，如果被截得的两条线段长总相等，那么这两个平面图形的面积相等”． （1）如图1，夹在直线与之间的矩形与曲边形满足：，．一平行于的直线交矩形于M，N，交曲边形的曲边于，，且无论在何位置都有，则曲边形的面积为 ． （2）如图2，记函数的图象在第一象限围成的曲边形（阴影部分）为Ω，则Ω的面积为 ． 1．（2024·河北石家庄·二模）杆秤是古代的一种度盘工具，由木制的带有秤星的秤杆、金属秤锤、秤纽等组成（如图1）．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为时，秤钩所挂重物为，则是的一次函数． 【记录数据】 表中为若干次称重时，某数学兴趣小组所记录的一些数据． 【探索发现】 （1）在如表的数据中，发现有一对数据记录错误，在图2平面直角坐标系中，通过描点法，观察判断哪一对数据是错误的； （2）求与之间的函数关系式，并推测秤盘的质量； 【结论应用】 （3）已知秤杆上秤砣到秤纽的最大水平距离为，现有的重物，该秤是否能一次性称出此物体的重量？请说明理由． 2．（2023·浙江宁波·三模）【背景介绍】 烽火台是古代军情报警的一种措施，若敌人白天侵犯就燃烟，夜间来犯就点火以可见的烟气和光亮向各方与上级报警．古时期人们用火种点燃箭头，然后准确地射向烽火台以点燃烟或点火． 【问题情境】 距离此处70米远，有一个20米高的烽火台，烽火台上面的点火区域是一个边长为4米的正方形．这只箭飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分，记这只箭飞行的水平距离为d（单位：m）．距地面的竖直高度为（单位：m），获得数据如表： d/m 0 10 20 30 40 50 60 70 h/m k 【探究过程】 小勇根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了研究．下面是小勇的探究过程，请补充完整； (1)k的值为______， (2)在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连结． (3)请结合函数图像分析，士兵射出的箭是否掉进了烽火台里？ (4)烽火台较小，士兵将火种箭射进台内较为困难．于是，利用烽火台的上空的可燃气体，只要士兵射出的箭能够进入烽火台上方离4米的范围内，都可以顺利点燃烽火台．小勇在研究这个问题的过程中还发现．如果射箭的初始角度和力量不变的情况下，射手还可以通过调整与烽火台的距离米改变这只箭的飞行轨迹，如果保证烽火台被点燃，请结合函数图象分析，射手向后移动的最大距离与向前移动的最大距离分别为多少？ 3．（2024·陕西西安·模拟预测）如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为28米、垂直距离为6米．已知发射石块在空中飞行的最大高度为10米 (1)求抛物线的解析式； (2)试通过计算说明石块能否飞越防御墙； 4．（2024·河南驻马店·模拟预测）投壶是中国古代士大夫宴饮时做的一种投掷游戏，是把箭向壶里投，投中多的为胜．小明与小颖一起玩投壶游戏，使用底面边长为0.2米的正方形、高0.5米的长方体木桶做壶，投掷点O到壶中心的水平距离4米．下图抛物线是小明投出箭头的运动轨迹，已知箭离手时箭头的位置点A距离地面1.5米，飞行到离小明水平距离1米处达到最高点，箭头恰好穿过壶中心进入壶中． (1)求出小明投掷时，箭头运动路线的表达式； (2)小颖投掷时，箭头运动路线的表达式为，请判断小颖此次投掷能否成功进壶？并说明理由；如果不能，小颖想把壶的位置移动一下，你帮助小颖计算一下这次投掷如果成功进壶，那么壶需要移动的方向以及移动距离d的范围． 5．（2024·广东深圳·三模）【项目式学习】 项目主题：建筑学中“拱”的建造及装饰 项目背景：拱结构由于其美观且坚固的特点，在古代建筑中得到了广泛的应用，并在现代建筑中也有不少应用．目前已知对拱最早的使用是公元前年美索不达米亚地区的砖拱，公园前年两河流域（现在伊拉克中部）王朝的近似抛物线型砖拱已经横跨近米、高米了（如图）．（注：抛物线拱，就是由截面均为抛物线形状弧构成的拱．） 项目素材： 素材：某地在进行景观改造过程中模拟建设了一座与王朝的砖拱同样跨度（即图中的地面米）和高度（最高点离地面米）的抛物线拱（图（）为其中一处抛物线拱截面）． 在图（）的抛物线拱截面距离地面米高的墙面上安装有一根用于灯光布置的横梁． 素材：图（）为另一处抛物线拱截面．景点要求工人师傅在抛物线拱上做一个正方形（）装饰品，要求两点在抛物线上（在的左侧），是抛物线的顶点，且与地面垂直． 素材：如图（），景点管理公司利用素材1中的横梁安装了一个半径为米的圆形灯光饰品，后来为了美观，公司要求安装灯光的师傅将圆形灯光饰品改装成月牙形的灯光饰品，安装师傅于是将原圆形灯光饰品的一段劣弧沿一条直线翻折，交于点． 项目任务： 任务：素材中横梁的长度是多少米?（结果若有根号则保留根号） 任务：素材中工人师傅的安装计划若能实现，那么点距离地面的高度是 米． 任务：在素材中，经测量发现，．请直接写出两月牙尖的距离． 4——借助数学文化考查反比例函数的性质与应用 （2024·河南驻马店·二模）项目式学习． 用固定双曲线三等分锐角 文化背景 三等分角大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，它和“立方倍积问题”“化圆为方问题”一起被称为“古代三大几何难题”．古希腊数学家帕普斯(，约)在他有独创性的名著中曾证明用一固定双曲线能解“三等分角问题”． 任务设定 用直尺和圆规三等分锐角∠AOB 解决途径 （1）以点O为坐标原点， 所在的直线为x轴建立平面直角坐标系； （2）在平面直角坐标系中，绘制反比例函的图象，图象与的边交于点C； （3）以点 C为圆心，的长为半径作弧，交函数的图象于点E； （4）分别过点 C 和 E 作 x轴和y轴的平行线，两线交于点 D，F； （5）作射线，交于点 G，得到． 问题解决 任务1 四边形的形状为_______； 任务2 请证明．． 1.（2023·浙江温州·一模）根据以下素材，探索完成任务. 如何拟定计时器的计时方案？ 问题背景 “漏刻”是我国古代的一种计时工具（如图1），它是中国古代人民对函数思想的创造性应用.    素材1 为了提高计时的准确度，需稳定“漏水壶”的水位，如图2，若打开出水口B，水位就稳定在位置，随着“受水壶”内的水逐渐增加，读出“受水壶”的刻度，就可以确定时间，小明想根据“漏刻”的原理制作一个简易计时器. 素材2 实验发现，当打开不同的出水口时，水位可以稳定在相应的高度，从而调节计时时 长T（即“受水壶”到达最高位200mm的总时间）.右表是记录“漏水壶”水位高度h（mm）与“受水壶”每分钟上升高度x（mm）的部分数据，已知h关于x的函数表达式为：. 2．（22-23九年级上·江苏盐城·期末）公元前三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时，给出“赵爽弦图”，如图，数学课上数学老师把该图放置在在平面直角坐标系中，如图，此时正方形的顶点A的坐标为，顶点B的横坐标为3，若反比例函数的图像经过B，C两点，则的值为（   ） A．12 B．15 C．18 D．21 3．（2023·河南周口·一模）我国传统的计重工具叫秤杆，也称杆秤，杆秤的木杆上面镶有计量的金属秤星，如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O将其吊起来，在中点O的左侧，距离中点处挂一个重的物体，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，如果把弹簧秤与中点O的距离L（单位：）记作x，弹簧秤的示数F（单位：）记作y，如表几对数值中不能满足y与x的函数关系式的是（　　） 序号 A B C D 5 10 35 40 49 A． B． C． D． 4．（2023·宁夏银川·二模）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题．在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷． 请用等面积法的思想解决下列问题： (1)在直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为______． (2)如图1，反比例函数的图像上有一点P，轴于点A，点B在y轴上，则的面积为______． (3)如图2，P是边长为a的正内任意一点，点O为的中心，设点P到各边距离分别为，，，连接，由等面积法，易知，可得；如图3，若P是边长为4的正五边形内任意一点，设点P到五边形各边距离分别为，，，，，参照上面的探索过程，求的值．（参考数据：，） (4)如图4，已知的半径为1，点A为外一点，，切于点B，弦，连接，求图中阴影部分的面积．（结果保留） (5)我国数学家祖暅，提出了一个祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．如图所示，某帐篷的造型是两个全等圆柱垂直相交的公共部分的一半（这个公共部分叫做牟合方盖），其中曲线和均是以1为半径的半圆．用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形，且该正方形的面积恰好等于与帐篷同底等高的正四棱柱中挖去一个倒放的同底等高的正四棱锥后同高度截面的面积（图8中阴影部分的面积），因此该帐篷的体积为______．（正棱锥的体积底面积高） 5．（2023·广东深圳·二模）在平面直角坐标系中，对于点和点，给出如下定义：若，则称点Q为点P的限变点，例如：点的限变点的坐标是，点的限变点的坐标是． (1)①点的限变点的坐标是________； ②以下三个选项中的点是反比例函数图象上某一个点的限变点的是（    ） A．    B．    C． (2)若点P在一次函数的图象上，请在下图平面直角坐标系中，画出点P的限变点Q的函数图象，并根据图象点Q的纵坐标的取值范围为________． (3)我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．若点P在关于x的二次函数的图象上，其限变点Q的纵坐标的取值范围是或，其中，令，求s关于t的函数解析式． 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$