专题03 方程-【数学文化】中考数学考点与数学文化的融合（全国通用）

专题03 数学文化背景下的中考数学之方程 背景1：关于《九章算术》：《九章算术》，算学书。作者不详。西汉早期丞相张苍 、耿寿昌等增补删订，三国曹魏时期刘徽注释，唐初李淳风注，作为通行本。全书分9章，246个例题。全书共有方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股等九个章节。 背景2：关于《四元玉鉴》：《四元玉鉴》是中国元代数学重要著作，元代数学家朱世杰所著。《四元玉鉴》分卷首、上卷、中卷、下卷，24门，收录288问，包括天元术232问，二元术36问，三元术13问，四元术7问。1837年，清代数学家罗士琳补草，刊行《四元玉鉴细草》三卷。所有问题都与方程式或方程组有关。介绍了朱世杰在多元高次方程组的解法─”四元术”、高阶等差级数的计算─”垛积术”以及”招差术”（有限差分）等方面的研究成果。 背景3：关于《算术启蒙》：《算数启蒙》是朱世杰在元成宗大德三年（公元1299年）于扬州刊印的，全书分三卷，二十门，总计二百五十九个问题和相应的解答。内容包括四则运算、开方、天元术等，由浅入深，循序渐进，确实是一本很好的数学启蒙读物，可说是中国古代代数学的通论。书中记载的许多歌诀，其中有一首「九归除法」的歌诀，就成为日后中国民间商业珠算的归除歌诀，全国通行，方便之极；帮助了民间商业的运行，贡献很大，使一般民众也能运用。 背景4：关于《算法统宗》：《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，也叫《原本直指算法统宗》，是中国古代数学名著，程大位著。《算法统宗》17卷，卷1、卷2介绍数学名词、大数、小数和度量衡单位以及珠算盘式图、珠算各种算法口诀等，并举例说明具体用法；卷3至卷12按“九章”次序列举各种应用题及解法；卷13到卷16为“难题”解法汇编；卷17“杂法”，为不能归入前面各类的算法，并列有14个纵横图。书后附录“算经源流”一篇，著录了北宋元丰七年（1084年）以来的数字书目51种。万历二十一年（1593年）刊行。 背景4：关于《增删算法统宗》：《增删算法统宗》清代珠算书.明程大位原编撰，清梅殷成增删.共十卷，成书于1760年。清朝初年，古算书多失传不见，只有程氏《算法统宗》流传民间.梅靓成因《算法统宗》“岁久板多德漫，若不加修整，将不可读，而九章几乎息矣”，“因取其书，重加校勘，删其繁芜，补其缺遗，正其讹谬，增其注解”，以成其书.《增删算法统宗》中删去了“河图洛书”、“孕推男女”等荒诞不经的内容及原杂法内各种方法，并改正了原书的一些错误，也吸收了一些西洋算法.此书流传甚广，清末刻本甚多，至民国尚有各种石印本，其中以光绪三年(1877)江南制造局贾步纬校刻本最善. 背景5：关于《详解九章算法》及杨辉：1261年,中国宋朝的杨辉著《详解九章算法》。杨辉，中国南宋时期杰出的数学家和数学教育家。他著名的数学书共五种二十一卷。著有《详解九章算法》十二卷、《日用算法》二卷、《乘除通变本末》三卷、《田亩比类乘除算法》二卷、《续古摘奇算法》二卷。 杨辉的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面，他对筹算乘除捷算法进行总结和发展，有的还编成了歌决，如九归口决。杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现。在欧洲，帕斯卡（1623----1662）在1654年发现这一规律，所以这个表又叫做帕斯卡三角形。帕斯卡的发现比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年。 背景6：关于《孙子算经》：《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在四、五世纪，也就是大约一千五百年前，作者生平和编写年不详。传本的《孙子算经》共三卷。 背景7：关于谢尔宾斯基地毯：数学家谢尔宾斯基提出的分形图形谢尔宾斯基地毯是数学家谢尔宾斯基提出的一个分形图形，谢尔宾斯基地毯和谢尔宾斯基三角形基本类似，不同之处在于谢尔宾斯基地毯采用的是正方形进行分形构造，而谢尔宾斯基三角形采用的等边三角形进行分形构造。谢尔宾斯基地毯和它本身的一部分完全相似，减掉一块会破坏自相似性。 背景8：关于《张邱建算经》：《张邱建算经》是南北朝张邱建创作的数学著作，共三卷。该书是中国古代《算经十书》之六。其中，讨论了等差级数、最大公约数、最小公倍数等应用问题。卷下最后一题是世界有名的百鸡问题：“今有鸡翁一，直钱五，鸡母一直钱三，鸡雏三直钱一，凡百钱买鸡百只，问鸡翁鸡母鸡雏各几何?”这是中国数学史上最早出现的不定方程问题。现在的传本三卷，是依据南宋刻本辗转翻印的。其中，卷中少了最后几页，失传的算题不知多少；卷下缺少前二页，约计少了两三个问题。现保存的九十二个题目，各有各的意义，是一份珍贵的数学遗产。 背景9：关于《齐物论》：《齐物论》是战国时期哲学家、文学家庄周的作品，为道家经典《庄子》的次篇。文章主旨是“万物齐一”，作者认为万物都是浑然一体的，并且在不断向其对立面转化，因而没有区别。文中有辩证的观点，也常常陷入形而上学观点之中，但在论述中常常表现出深刻的思考和智慧，还涉及很多宇宙观方面和认识论方面的问题，对中国古代哲学研究有重要的意义。全篇由五个相对独立的故事连珠并列组成。 背景10：关于《周髀算经》：《周髀算经》原名《周髀》，算经的十书之一，是古老的天文学和数学著作，主要阐明当时的盖天说和四分历法。唐初规定它为国子监明算科的教材之一，故改名《周髀算经》。《周髀算经》证明了勾股定理。《周髀算经》采用最简便可行的方法确定天文历法，揭示日月星辰的运行规律，囊括四季更替，气候变化，包含南北有极，昼夜相推的道理。给后来者生活作息提供有力的保障，自此以后历代数学家无不以《周髀算经》为参考，在此基础上不断创新和发展。 考点1：一元一次方程的概念、解法、应用 1.等式的性质 （1）等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式． （2）等式两边都乘以（或除以）同一个不等于零的数，所得的结果仍是等式． 2.一元一次方程及其解法 （1）一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数为1，这样的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式为． 注意：x前面的系数不为0． （2）一元一次方程的求解步骤 变形名称 具体做法 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边 合并同类项 把方程化成的形式 系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数，得到方程的解为 注意：解方程时移项容易忘记改变符号而出错，要注意解方程的依据是等式的性质，在等式两边同时加上或减去一个代数式时，等式仍然成立，这也是“移项”的依据．移项本质上就是在方程两边同时减去这一项，此时该项在方程一边是0，而另一边是它改变符号后的项，所以移项必须变号． 3.一元一次方程的应用常用题型及等量关系： 销售问题：利润售价-成本价；利润率=×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价×数量． 工程问题：工作量=工作效率×工作时间． 行程问题：路程=速度×时间． 考点2：二元一次方程（组）的概念、解法、应用 1.二元一次方程（组）及其解法 （1）二元一次方程：含有2个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程． （2）二元一次方程组:由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量，其一般形式为． （3）元一次方程组解法的基本思想和转化思想： 消元思想（代入消元法和加减消元法）．转化思想（二元方程转化成一元方程） 2.二元一次方程（组）的应用 （1）一般步骤 ①审题；②设出未知数；③列出含未知数的等式——方程；④解方程（组）；⑤检验结果；⑥答案． （2）二元一次方程（组）的应用 考点3：一元二次方程的概念、解法、应用 1.一元二次方程的概念 一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 三个条件：①一个未知数；②最高次数为2次；③整式方程。 一般形式：（其中为常数，），其中分别叫做二次项、一次项和常数项，分别称为二次项系数和一次项系数． 2.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法；（2）配方法；（3）公式法：（4）因式分解法； 3.一元二次方程根的情况判断 （1）根的判别式：一元二次方程是否有实数根，由的符号来确定，我们把叫做一元二次方程根的判别式． （2）一元二次方程根的情况与判别式的关系 ①当时，方程有两个不相等的实数根； ②当时，方程有两个相等的实数根； ③当时，方程没有实数根． 4.一元二次方程根与系数关系（韦达定理） 根与系数关系： 设（其中为常数，），两根分别为，， 则，． 5.一元二次方程的应用 （1）增长率问题 ①增长率=增长量÷基础量． ②设为原来量，为平均增长率，为增长次数，为增长后的量，则；当为平均下降率时，则有． （2）销售问题：（1）利润=售价－成本．（2）利润率=×100％． （3）几何图形问题 考点4：分式方程的概念、解法、应用 1．分式方程的概念 分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据． 2.分式方程的解法 （1）基本思路：将分式方程化为整式方程．（转化思想） （2）解分式方程的具体步骤： ①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式； ②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程； ③解整式方程； ④检验． 易错提醒： · 去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项，尤其是常数项； · 忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解． 3.分式方程的增根 增根：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根． 注意：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解． 4.分式方程的应用 解题步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答案． 1——借助数学文化考查一元一次方程的解法与应用 （2024·江苏无锡·中考真题）《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题（凫：野鸭），大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相遇？设经过天相遇，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（2024·贵州·中考真题）在元朝朱世杰所著的《算术启蒙》中，记载了一道题，大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，则快马追上慢马需要的天数是 ． 2．（2024·江苏扬州·中考真题）《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，书中第八章内容“方程”里记载了一个有趣的追及问题，可理解为：速度快的人每分钟走米，速度慢的人每分钟走米，现在速度慢的人先走米，速度快的人去追他．问速度快的人追上他需要 分钟． 3．（2024·湖北·模拟预测）中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，则共有 人乘车． 4．（2024·湖南·二模）古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两，今有干丝一十二斤，问生丝几何？”现有一类似问题：今有新鲜冬笋30斤，干燥后会损耗24斤，若干燥后得到的干冬笋是12斤，则原有新鲜冬笋 斤． 5．（2024·湖北黄冈·模拟预测）我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐观．请问客家，大小几船？”其大意为：清明时节出去游园，所有人共坐了8只船，大船每只坐6人，小船每只坐4人，38人刚好坐满，问：大船有 只，小船有 只． 6．（2024·广西·中考真题）《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记载了一个问题，大致意思为：现有田出租，第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三年共得100钱．问：出租的田有多少亩？设出租的田有x亩，可列方程为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·广西贵港·模拟预测）孙权曾致巨象，太祖欲知其斤重，访之群下，咸莫能出其理，冲曰：“置象大船之上，而刻其水痕所至，称物以载之，则校可知矣．”——《三国志》．按照曹冲称象的方法：先将象牵到大船上，并在船的侧面标记水位再将象牵出，然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置；如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记的位置．已知每个搬运工体重为，则每块条形石的重量为（   ） A． B． C． D． 8．（2024·湖南·模拟预测）在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如在…中，“…”代表按规律不断求和，设．则有，解得，故．类似地的结果为（ ） A． B． C． D． 9．（2024·四川成都·模拟预测）我国古代数学专著《九章算术》中记载了一个“盈不足”的问题：“今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足”大概意思是说：现有几个人共同买猪，若每人出钱，则多出钱；若每人出钱，则钱刚刚好设人数为人，则（   ） A． B． C． D． 10．（2024·辽宁·模拟预测）我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”其大意为：有一批客人去住店，如果每一间客房住人，那么就有人没有房住；如果每一间客房住人，那么就会多出来一间房．若设该店有间客房，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 11．（2024·山西·模拟预测）“朝三暮四”是一个源自于《庄子·齐物论》的寓言故事，某数学老师将其情景内容改编成一道数学题：老翁计划早上给猴子的粮食是晚上的，猴子们很不满意，于是老翁进行了调整，从晚上的粮食中取3千克放在早上投食，这样早上的粮食是晚上的，猴子们非常满意．问老翁每天给猴子的食物总量共多少千克？设原计划早上投食千克，那么晚上投食千克，根据这一情景，你认为下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（2024·福建泉州·模拟预测）我国古代数学著作《九章算术》卷七盈不足有题如下：“今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数、琎价各几何？”其大意是：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱．问人数、琎价各是多少？若设人数为，则根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 2——借助数学文化考查二元一次方程组的应用 （2024·江苏徐州·中考真题）中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题；“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？请用二元一次方程组解答上述问题． 1．（2024·吉林长春·模拟预测）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有人共买货，人出八，盈六；人出七，不足三．问人数货价各几何？译文：今有人合伙买货，每人出8钱，会多出6钱；每人出7钱，又差3钱．问人数、买货的钱数各是多少？设人数为，买货的钱数为．可列方程组为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·河北·模拟预测）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？大意：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行，问：人与车各多少？小青根据题意列出方程组小云根据题意列出一元一次方程，则下列说法正确的是（    ） A．小青正确，小云错误 B．小青错误，小云正确 C．小青、小云都正确 D．小青、小云都错误 3．（2024·山东日照·中考真题）我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”设绳长x尺，竿长y尺，根据题意得（    ）（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托尺） A． B． C． D． 4．（2024·湖北·中考真题）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个关于“方程”的问题：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．问牛羊各直金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两．牛2头，羊5头，共值金8两．问牛、羊每头各值金多少？”若设牛每头值金x两，羊每头值金y两，则可列方程组是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·甘肃兰州·中考真题）数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了周果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果，苦果各买了多少个？设买了甜果x个，苦果y个，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·辽宁·中考真题）我国古代数学著作《孙子算经》中有“雉兔同笼”问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”其大意是：鸡兔同笼，共有35个头，94条腿，问鸡兔各多少只？设鸡有只，兔有只，根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·四川·中考真题）我国古代数学名著《九章算术》记载了一道题，大意是：几个人合买一件物品，每人出8元，剩余3元；每人出7元，还差4元．设有x人，该物品价值y元，根据题意，可列出的方程组是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·四川南充·中考真题）在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·天津·中考真题）《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为（    ） A． B． C． D． 10．（2024·湖北·中考真题）《九章算术》中记载这样一个题：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，问牛和羊各值多少金？设每头牛值金，每只羊值金，可列方程为（    ） A． B． C． D． 11．（2024·山东威海·中考真题）《九章算术》是我国古老的数学经典著作，书中提到这样一道题目：以绳测井．若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？题目大意是：用绳子测量水井的深度．如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多尺．绳长、井深各是多少尺？若设绳长尺，井深尺，则符合题意的方程组是（    ） A． B． C． D． 12．（2024·四川成都·中考真题）中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱．问人数，琎价各是多少？设人数为，琎价为，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 13．（2024·山东泰安·中考真题）我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若…，…，试问买甜苦果各几个？若设买甜果x个，买苦果y个，列出符合题意的二元一次方程组：．根据已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为（    ） A．甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱 B．甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱 C．甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱 D．甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱 3——借助数学文化考查一元二次方程的解法与应用 （2024·内蒙古·中考真题）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 1．（2024·吉林·中考真题）图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中，于点C，尺，尺．设的长度为x尺，可列方程为 ． 2．（2021·江苏无锡·二模）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是（　　） A． B． C． D． 3．（2023·福建厦门·模拟预测）我国古代著作《四元玉鉴》中记载“买椽多少”问题，其大意为：现请人代买一批椽，这批株的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．根据题意可列方程，其中x表示（　　） A．剩余椽的数量 B．这批椽的数量 C．剩余椽的运费 D．每株椽的价钱 4．（2024·四川乐山·模拟预测）《九章算术》中有这样题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙各行几何？”大意是说： 甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．问甲、乙各走了多少步？请问乙走的步数是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·福建莆田·一模）如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．连接，若与的面积相等，，则的长为 ． 6．（2024·四川广元·三模）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明．如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，则 ． 7．（2023·吉林长春·模拟预测）《增删算法统宗》是我国古代数学著作，其中记载“圆中方形”问题：其大意为“有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好平方步，从水池边到圆周，每边最大相距步远，在这个不变图形中，应该能求出正方形的边长和圆的直径．”如图，设正方形的边长是步，则列出的方程是（　　） A． B． C． D． 8．（2024·浙江宁波·三模）如图，在中，为的中点，，交于点，连接，在上取点，过点作，分别交，于点，，过点作AB，分别交，，于点，，．记四边形面积为，四边形面积为，四边形面积为，四边形面积为，欧几里得在《几何原本》中利用该图得出：．若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 9．（2024·辽宁营口·一模）黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形的底边取中点，以为圆心，线段为半径作圆，其与底边的延长线交于点，这样就把正方形延伸为矩形称其为黄金矩形．若，则（    ） A． B． C． D． 10．（2024·山西大同·三模）古今中外，许多数学家曾研究过一元二次方程的几何解法，以方程，即为例．三国时期数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图1，其中，大正方形的面积是，它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，据此易得．公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔·花拉子米采用的方法是：构造图2，其中，大正方形的面积为，它又等于，据此可得．上述求解过程中所用的数学思想方法是（    ） A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．函数方程思想 D．转化思想 11．（2024·山东济南·三模）手卷是国画装裱中横幅的一种体式，以能握在手中顺序展开阅览得名，它主要由“引首”、“画心”、“拖尾”三部分组成（这三部分都是矩形形状），分隔这三部分的其余部分统称为“隔水”．如图，墨涵同学装裱了一幅《雀华秋色图》的手卷，手卷长1000厘米，宽40厘米．引首和拖尾完全相同，其宽度都为100厘米，若隔水的宽度为x 厘米，画心的面积为15200厘米2，根据题意，可列方程是（    ） A． B． C． D． 12．（2024·山东潍坊·三模）在世纪年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，其中为边的黄金分割点，即．已知为米，则线段的长为（     ）． A．米 B．米 C．米 D．米 13．（2024·浙江金华·二模）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式，后人借助此分割方法所得图形证明了勾股定理．如图所示，矩形就是由两个这样的图形拼成（无重叠、无缝隙）．下面给出的条件中，一定能求出矩形面积的是（    ） A．与的积 B．与的积 C．与的积 D．与的积 14．（2024·广东中山·二模）《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是（   ）尺． A．2 B．10 C．8 D．6 4——借助数学文化考查分式方程的解法与应用 （2023·湖南张家界·中考真题）《四元玉鉴》是我国古代的一部数学著作，其中记载了一个“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文钱．如果每株椽的运费是3文钱，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．试问：用6210文能买多少株椽？设用6210文能买x株椽，则符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 1．（2023·湖北武汉·中考真题）我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程（单位：步）关于善行者的行走时间的函数图象，则两图象交点的纵坐标是 ． 2．（2023·浙江绍兴·模拟预测）大数学家欧拉在《代数论》里有一个关于农妇卖鸡蛋的题目：两农妇一共带了个鸡蛋去集市，两人所带鸡蛋数不同，但卖得的钱数一样．于是第一个农妇对第二个农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我可以卖得个铜板．”第二个农妇回答：“但是你的鸡蛋换给我，我只能卖得个铜板．”请问第一个农妇有 个鸡蛋． 3．（2024·湖北武汉·模拟预测）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分元钱，每人分得若干，若再加上6人，平分元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求这两次分钱的人数．答：（1）第一次分钱有 人；（2）第二次分钱有 人． 4．（2024·山西太原·三模）《步辇图》是唐朝画家阎立本的作品，如图是它的局部画面，装裱前是一个长为，宽为的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边框的宽度相等，则边框的宽度应是多少？设边框的宽度为，根据题意，可列方程为 ． 5．（2022·湖北襄阳·中考真题）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（   ） A． B． C． D． 6．（2024·四川南充·一模）我国古代数学名著《四元玉鉴》记载“买椽”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：“现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？” 设6210文能买x株椽，则据题意可列方程为（    ）． A． B． C． D． 7．（2024·上海宝山·一模）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为；把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍．根据题意列方程为，其中x表示（ ） A．快马的速度 B．慢马的速度 C．规定的时间 D．以上都不对 8．（2024·湖南长沙·模拟预测）九章算术是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 9．（2024·贵州安顺·二模）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则所列出的分式方程正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（2024·福建泉州·模拟预测）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为把一份文件用慢马送到900里外的城市需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍．根据题意列方程为，其中x表示（   ） A．快马的速度 B．慢马的速度 C．规定的时间 D．以上都不对 11．（2024·河北秦皇岛·一模）秦始皇统一度量衡意义重大，这一举措极大地方便了生产与生活．如图1和2，欣欣通过两把不同刻度的直尺说明了其中的原因，并进行如下探究：将两把尺子有刻度的一侧紧贴，则由两幅图可得方程（    ） A． B． C． D． 2 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 数学文化背景下的中考数学之方程 背景1：关于《九章算术》：《九章算术》，算学书。作者不详。西汉早期丞相张苍 、耿寿昌等增补删订，三国曹魏时期刘徽注释，唐初李淳风注，作为通行本。全书分9章，246个例题。全书共有方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股等九个章节。 背景2：关于《四元玉鉴》：《四元玉鉴》是中国元代数学重要著作，元代数学家朱世杰所著。《四元玉鉴》分卷首、上卷、中卷、下卷，24门，收录288问，包括天元术232问，二元术36问，三元术13问，四元术7问。1837年，清代数学家罗士琳补草，刊行《四元玉鉴细草》三卷。所有问题都与方程式或方程组有关。介绍了朱世杰在多元高次方程组的解法─”四元术”、高阶等差级数的计算─”垛积术”以及”招差术”（有限差分）等方面的研究成果。 背景3：关于《算术启蒙》：《算数启蒙》是朱世杰在元成宗大德三年（公元1299年）于扬州刊印的，全书分三卷，二十门，总计二百五十九个问题和相应的解答。内容包括四则运算、开方、天元术等，由浅入深，循序渐进，确实是一本很好的数学启蒙读物，可说是中国古代代数学的通论。书中记载的许多歌诀，其中有一首「九归除法」的歌诀，就成为日后中国民间商业珠算的归除歌诀，全国通行，方便之极；帮助了民间商业的运行，贡献很大，使一般民众也能运用。 背景4：关于《算法统宗》：《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，也叫《原本直指算法统宗》，是中国古代数学名著，程大位著。《算法统宗》17卷，卷1、卷2介绍数学名词、大数、小数和度量衡单位以及珠算盘式图、珠算各种算法口诀等，并举例说明具体用法；卷3至卷12按“九章”次序列举各种应用题及解法；卷13到卷16为“难题”解法汇编；卷17“杂法”，为不能归入前面各类的算法，并列有14个纵横图。书后附录“算经源流”一篇，著录了北宋元丰七年（1084年）以来的数字书目51种。万历二十一年（1593年）刊行。 背景4：关于《增删算法统宗》：《增删算法统宗》清代珠算书.明程大位原编撰，清梅殷成增删.共十卷，成书于1760年。清朝初年，古算书多失传不见，只有程氏《算法统宗》流传民间.梅靓成因《算法统宗》“岁久板多德漫，若不加修整，将不可读，而九章几乎息矣”，“因取其书，重加校勘，删其繁芜，补其缺遗，正其讹谬，增其注解”，以成其书.《增删算法统宗》中删去了“河图洛书”、“孕推男女”等荒诞不经的内容及原杂法内各种方法，并改正了原书的一些错误，也吸收了一些西洋算法.此书流传甚广，清末刻本甚多，至民国尚有各种石印本，其中以光绪三年(1877)江南制造局贾步纬校刻本最善. 背景5：关于《详解九章算法》及杨辉：1261年,中国宋朝的杨辉著《详解九章算法》。杨辉，中国南宋时期杰出的数学家和数学教育家。他著名的数学书共五种二十一卷。著有《详解九章算法》十二卷、《日用算法》二卷、《乘除通变本末》三卷、《田亩比类乘除算法》二卷、《续古摘奇算法》二卷。 杨辉的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面，他对筹算乘除捷算法进行总结和发展，有的还编成了歌决，如九归口决。杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现。在欧洲，帕斯卡（1623----1662）在1654年发现这一规律，所以这个表又叫做帕斯卡三角形。帕斯卡的发现比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年。 背景6：关于《孙子算经》：《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在四、五世纪，也就是大约一千五百年前，作者生平和编写年不详。传本的《孙子算经》共三卷。 背景7：关于谢尔宾斯基地毯：数学家谢尔宾斯基提出的分形图形谢尔宾斯基地毯是数学家谢尔宾斯基提出的一个分形图形，谢尔宾斯基地毯和谢尔宾斯基三角形基本类似，不同之处在于谢尔宾斯基地毯采用的是正方形进行分形构造，而谢尔宾斯基三角形采用的等边三角形进行分形构造。谢尔宾斯基地毯和它本身的一部分完全相似，减掉一块会破坏自相似性。 背景8：关于《张邱建算经》：《张邱建算经》是南北朝张邱建创作的数学著作，共三卷。该书是中国古代《算经十书》之六。其中，讨论了等差级数、最大公约数、最小公倍数等应用问题。卷下最后一题是世界有名的百鸡问题：“今有鸡翁一，直钱五，鸡母一直钱三，鸡雏三直钱一，凡百钱买鸡百只，问鸡翁鸡母鸡雏各几何?”这是中国数学史上最早出现的不定方程问题。现在的传本三卷，是依据南宋刻本辗转翻印的。其中，卷中少了最后几页，失传的算题不知多少；卷下缺少前二页，约计少了两三个问题。现保存的九十二个题目，各有各的意义，是一份珍贵的数学遗产。 背景9：关于《齐物论》：《齐物论》是战国时期哲学家、文学家庄周的作品，为道家经典《庄子》的次篇。文章主旨是“万物齐一”，作者认为万物都是浑然一体的，并且在不断向其对立面转化，因而没有区别。文中有辩证的观点，也常常陷入形而上学观点之中，但在论述中常常表现出深刻的思考和智慧，还涉及很多宇宙观方面和认识论方面的问题，对中国古代哲学研究有重要的意义。全篇由五个相对独立的故事连珠并列组成。 背景10：关于《周髀算经》：《周髀算经》原名《周髀》，算经的十书之一，是古老的天文学和数学著作，主要阐明当时的盖天说和四分历法。唐初规定它为国子监明算科的教材之一，故改名《周髀算经》。《周髀算经》证明了勾股定理。《周髀算经》采用最简便可行的方法确定天文历法，揭示日月星辰的运行规律，囊括四季更替，气候变化，包含南北有极，昼夜相推的道理。给后来者生活作息提供有力的保障，自此以后历代数学家无不以《周髀算经》为参考，在此基础上不断创新和发展。 考点1：一元一次方程的概念、解法、应用 1.等式的性质 （1）等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式． （2）等式两边都乘以（或除以）同一个不等于零的数，所得的结果仍是等式． 2.一元一次方程及其解法 （1）一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数为1，这样的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式为． 注意：x前面的系数不为0． （2）一元一次方程的求解步骤 变形名称 具体做法 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边 合并同类项 把方程化成的形式 系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数，得到方程的解为 注意：解方程时移项容易忘记改变符号而出错，要注意解方程的依据是等式的性质，在等式两边同时加上或减去一个代数式时，等式仍然成立，这也是“移项”的依据．移项本质上就是在方程两边同时减去这一项，此时该项在方程一边是0，而另一边是它改变符号后的项，所以移项必须变号． 3.一元一次方程的应用常用题型及等量关系： 销售问题：利润售价-成本价；利润率=×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价×数量． 工程问题：工作量=工作效率×工作时间． 行程问题：路程=速度×时间． 考点2：二元一次方程（组）的概念、解法、应用 1.二元一次方程（组）及其解法 （1）二元一次方程：含有2个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程． （2）二元一次方程组:由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量，其一般形式为． （3）元一次方程组解法的基本思想和转化思想： 消元思想（代入消元法和加减消元法）．转化思想（二元方程转化成一元方程） 2.二元一次方程（组）的应用 （1）一般步骤 ①审题；②设出未知数；③列出含未知数的等式——方程；④解方程（组）；⑤检验结果；⑥答案． （2）二元一次方程（组）的应用 考点3：一元二次方程的概念、解法、应用 1.一元二次方程的概念 一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 三个条件：①一个未知数；②最高次数为2次；③整式方程。 一般形式：（其中为常数，），其中分别叫做二次项、一次项和常数项，分别称为二次项系数和一次项系数． 2.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法；（2）配方法；（3）公式法：（4）因式分解法； 3.一元二次方程根的情况判断 （1）根的判别式：一元二次方程是否有实数根，由的符号来确定，我们把叫做一元二次方程根的判别式． （2）一元二次方程根的情况与判别式的关系 ①当时，方程有两个不相等的实数根； ②当时，方程有两个相等的实数根； ③当时，方程没有实数根． 4.一元二次方程根与系数关系（韦达定理） 根与系数关系： 设（其中为常数，），两根分别为，， 则，． 5.一元二次方程的应用 （1）增长率问题 ①增长率=增长量÷基础量． ②设为原来量，为平均增长率，为增长次数，为增长后的量，则；当为平均下降率时，则有． （2）销售问题：（1）利润=售价－成本．（2）利润率=×100％． （3）几何图形问题 考点4：分式方程的概念、解法、应用 1．分式方程的概念 分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据． 2.分式方程的解法 （1）基本思路：将分式方程化为整式方程．（转化思想） （2）解分式方程的具体步骤： ①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式； ②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程； ③解整式方程； ④检验． 易错提醒： · 去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项，尤其是常数项； · 忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解． 3.分式方程的增根 增根：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根． 注意：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解． 4.分式方程的应用 解题步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答案． 1——借助数学文化考查一元一次方程的解法与应用 （2024·江苏无锡·中考真题）《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题（凫：野鸭），大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相遇？设经过天相遇，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，根据题意可得野鸭的速度为，大雁的速度为，设经过天相遇，则相遇时野鸭的路程+大雁的路程=总路程，据此即可列出方程． 【详解】解：设经过天相遇， 可列方程为：， 故选：A． 1．（2024·贵州·中考真题）在元朝朱世杰所著的《算术启蒙》中，记载了一道题，大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，则快马追上慢马需要的天数是 ． 【答案】20 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设快马追上慢马需要x天，根据快马走的路程等于慢马走的总路程，列方程求解即可． 【详解】解∶设快马追上慢马需要x天， 根据题意，得， 解得， 故答案为：20． 2．（2024·江苏扬州·中考真题）《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，书中第八章内容“方程”里记载了一个有趣的追及问题，可理解为：速度快的人每分钟走米，速度慢的人每分钟走米，现在速度慢的人先走米，速度快的人去追他．问速度快的人追上他需要 分钟． 【答案】 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的运用，理解数量关系，列出方程是解题的关键． 根据题意，设需要分钟追上，则速度快的人的路程等于速度慢的人的路程，由此列式求解即可． 【详解】解：根据题意，设分钟追上， ∴， 解得，， ∴速度快的人追上速度慢的人需要分钟， 故答案为： ． 3．（2024·湖北·模拟预测）中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，则共有 人乘车． 【答案】39 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设有x辆车，根据人数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设有x辆车，依题意得： ． 解得，， 人数， 故答案是：39． 4．（2024·湖南·二模）古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两，今有干丝一十二斤，问生丝几何？”现有一类似问题：今有新鲜冬笋30斤，干燥后会损耗24斤，若干燥后得到的干冬笋是12斤，则原有新鲜冬笋 斤． 【答案】60 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确找到等量关系是解题关键．可设原有生丝为斤，根据比值是一定的，列出方程计算即可求解． 【详解】解：设新鲜冬笋为斤， ， 解得． 故新鲜冬笋为斤． 故答案为：． 5．（2024·湖北黄冈·模拟预测）我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐观．请问客家，大小几船？”其大意为：清明时节出去游园，所有人共坐了8只船，大船每只坐6人，小船每只坐4人，38人刚好坐满，问：大船有 只，小船有 只． 【答案】 3 5 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用——鸡兔同笼问题，熟练掌握总人数与每条船坐的人数和船条数的关系，列一元一次方程，是解本题的关键． 设有x只小船，则大船只，根据“共8只船，大船每只坐6人，小船每只坐4人，38人刚好坐满”列方程，解方程求出x值和值，即可． 【详解】解：设有x只小船，则大船只， 依题意得，解得，， ∴， ∴大船有3只，小船有5只 故答案为：3，5． 6．（2024·广西·中考真题）《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记载了一个问题，大致意思为：现有田出租，第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三年共得100钱．问：出租的田有多少亩？设出租的田有x亩，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据“第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三年共得100钱”列方程即可． 【详解】解：根据题意，得， 故选：B． 7．（2024·广西贵港·模拟预测）孙权曾致巨象，太祖欲知其斤重，访之群下，咸莫能出其理，冲曰：“置象大船之上，而刻其水痕所至，称物以载之，则校可知矣．”——《三国志》．按照曹冲称象的方法：先将象牵到大船上，并在船的侧面标记水位再将象牵出，然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置；如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记的位置．已知每个搬运工体重为，则每块条形石的重量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程． 设每块条形石的重量为，根据题意可知：20块条形石的重量个搬运工的重量块条形石的重量个搬运工的重量，然后列出方程求解即可． 【详解】解：设每块条形石的重量为， 由题意可得：， 解得， 即每块条形石的重量为． 故选：D． 8．（2024·湖南·模拟预测）在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如在…中，“…”代表按规律不断求和，设．则有，解得，故．类似地的结果为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数字类规律探索、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查解一元一次方程和数字的变化规律，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．设，知，据此可得，再进一步求解可得． 【详解】解：设， 则， ， 解得， ， ， 故选：A 9．（2024·四川成都·模拟预测）我国古代数学专著《九章算术》中记载了一个“盈不足”的问题：“今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足”大概意思是说：现有几个人共同买猪，若每人出钱，则多出钱；若每人出钱，则钱刚刚好设人数为人，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．先根据每人出90钱，恰好合适，用表示出猪价，再根据“每人出100钱，则会多出100钱”，即可得出关于的一元一次方程，即可得出结论． 【详解】解：每人出90钱，恰好合适， 猪价为钱， 根据题意，可列方程为． 故选：A 10．（2024·辽宁·模拟预测）我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”其大意为：有一批客人去住店，如果每一间客房住人，那么就有人没有房住；如果每一间客房住人，那么就会多出来一间房．若设该店有间客房，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．设有间客房，根据总人数相等列方程即可． 【详解】解：设该店有间客房， “如果每一间客房住人，那么就有人没有居住”， 总人数为人， “如果每一间客房住9人，那么就会多出来一间房”， 总人数为人， 可列方程为， 故选：A． 11．（2024·山西·模拟预测）“朝三暮四”是一个源自于《庄子·齐物论》的寓言故事，某数学老师将其情景内容改编成一道数学题：老翁计划早上给猴子的粮食是晚上的，猴子们很不满意，于是老翁进行了调整，从晚上的粮食中取3千克放在早上投食，这样早上的粮食是晚上的，猴子们非常满意．问老翁每天给猴子的食物总量共多少千克？设原计划早上投食千克，那么晚上投食千克，根据这一情景，你认为下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设原计划早上投食干克，那么晚上投食干克，根据从晚上的粮食中取3千克放在早上投食，这样早上的粮食是晚上的列出方程即可； 【详解】解：设原计划早上投食干克，那么晚上投食干克， 根据题意，得：， 故选：D． 12．（2024·福建泉州·模拟预测）我国古代数学著作《九章算术》卷七盈不足有题如下：“今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数、琎价各几何？”其大意是：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱．问人数、琎价各是多少？若设人数为，则根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了列一元一次方程的应用，根据题意利用总价不变列方程即可． 【详解】解：设人数为， 根据每人出钱，会多出4钱可得出总价为， 每人出钱，又差了3钱．可得出总价为， 则方程为：， 故选：D． 2——借助数学文化考查二元一次方程组的应用 （2024·江苏徐州·中考真题）中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题；“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？请用二元一次方程组解答上述问题． 【答案】甲、乙原来各有38枚、18枚钱币 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找到等量关系列出方程是解决本题的关键． 设甲有钱x枚，乙有钱y枚，根据“甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等”列出方程组，求解即可． 【详解】解：设甲有钱x枚，乙有钱y枚，由题意，得 ， 解这个方程组，得． 答：甲、乙原来各有38枚、18枚钱币． 1．（2024·吉林长春·模拟预测）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有人共买货，人出八，盈六；人出七，不足三．问人数货价各几何？译文：今有人合伙买货，每人出8钱，会多出6钱；每人出7钱，又差3钱．问人数、买货的钱数各是多少？设人数为，买货的钱数为．可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．设人数为，买鸡的钱数为，根据每人出8钱，会多出6钱可得方程，根据每人出7钱，又差3钱可得方程，由此建立方程组即可． 【详解】解：设人数为，买鸡的钱数为，可列方程组为： 故选：B． 2．（2024·河北·模拟预测）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？大意：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行，问：人与车各多少？小青根据题意列出方程组小云根据题意列出一元一次方程，则下列说法正确的是（    ） A．小青正确，小云错误 B．小青错误，小云正确 C．小青、小云都正确 D．小青、小云都错误 【答案】B 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用)、古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程和二元一次方程组，找准等量关系，正确列出一元一次和二元一次方程组是解题的关键，根据“若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行”，即可得出关于，的二元一次方程组，和关于的一元一次方程． 【详解】解：设人数量为个，车的辆数为辆， 若3人坐一辆车，则两辆车是空的， ∴； 若2人坐一辆车，则9人需要步行， ∴， ∴， 根据意可列出方程组为， 即小青错误，小云正确， 故选：B． 3．（2024·山东日照·中考真题）我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”设绳长x尺，竿长y尺，根据题意得（    ）（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托尺） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺列方程组即可． 【详解】解：由题意得 故选A． 4．（2024·湖北·中考真题）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个关于“方程”的问题：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．问牛羊各直金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两．牛2头，羊5头，共值金8两．问牛、羊每头各值金多少？”若设牛每头值金x两，羊每头值金y两，则可列方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用)、根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．因为每头牛值金两，每头羊值金两，根据“牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两”，即可得出关于、的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：A． 5．（2024·甘肃兰州·中考真题）数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了周果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果，苦果各买了多少个？设买了甜果x个，苦果y个，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，根据999文钱买了周果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，列出方程组即可． 【详解】解：设买了甜果x个，苦果y个，由题意，得： ； 故选A． 6．（2024·辽宁·中考真题）我国古代数学著作《孙子算经》中有“雉兔同笼”问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”其大意是：鸡兔同笼，共有35个头，94条腿，问鸡兔各多少只？设鸡有只，兔有只，根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系是解题关键．设鸡有只，兔有只，根据“鸡兔同笼，共有35个头，94条腿”列二元一次方程组即可． 【详解】解：设鸡有只，兔有只， 由题意得：， 故选：D． 7．（2024·四川·中考真题）我国古代数学名著《九章算术》记载了一道题，大意是：几个人合买一件物品，每人出8元，剩余3元；每人出7元，还差4元．设有x人，该物品价值y元，根据题意，可列出的方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题考查二元一次方程组解古代数学问题，读懂题意，找到等量关系列方程是解决问题的关键． 根据“每人出8元，剩余3元；每人出7元，还差4元”，即可求解． 【详解】解：∵ 每人出8元，剩余3元， ∴， ∵每人出7元，还差4元， ∴， 故所列方程组为：． 故选：A． 8．（2024·四川南充·中考真题）在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．设该店有客房x间，房客y人；每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房得出方程组即可． 【详解】解：设该店有客房x间，房客y人；根据题意得： ， 故选：A． 9．（2024·天津·中考真题）《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用.用一根绳子去量一根长木，绳子剩余4.5尺可知：；绳子对折再量长木，长木剩余1尺可知：；从而可得答案. 【详解】解：由题意可得方程组为： ， 故选：A. 10．（2024·湖北·中考真题）《九章算术》中记载这样一个题：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，问牛和羊各值多少金？设每头牛值金，每只羊值金，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．根据未知数，将今有牛5头，羊2头，共值10金；牛2头，羊5头，共值8金，两个等量关系具体化，联立即可． 【详解】解：设每头牛值x金，每头羊值y金， ∵牛5头，羊2头，共值10金；牛2头，羊5头，共值8金， ∴， 故选：A． 11．（2024·山东威海·中考真题）《九章算术》是我国古老的数学经典著作，书中提到这样一道题目：以绳测井．若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？题目大意是：用绳子测量水井的深度．如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多尺．绳长、井深各是多少尺？若设绳长尺，井深尺，则符合题意的方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组、古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，此题中的等量关系有：①将绳三折测之，绳多四尺；②绳四折测之，绳多一尺，不变的是井深，据此即可得方程组．正确理解题意，找准等量关系解题的关键． 【详解】解：设绳长x尺，井深y尺， 依题意，得：． 故选：C． 12．（2024·四川成都·中考真题）中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱．问人数，琎价各是多少？设人数为，琎价为，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组，根据题意列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设人数为，琎价为， 根据每人出钱，会多出4钱可得出， 每人出钱，又差了3钱．可得出， 则方程组为：， 故选：B． 13．（2024·山东泰安·中考真题）我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若…，…，试问买甜苦果各几个？若设买甜果x个，买苦果y个，列出符合题意的二元一次方程组：．根据已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为（    ） A．甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱 B．甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱 C．甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱 D．甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱 【答案】D 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】根据可得甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱， 【详解】解：根据，可得甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱， 故选：D 3——借助数学文化考查一元二次方程的解法与应用 （2024·内蒙古·中考真题）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系是解题关键．先求出宽为步，再利用矩形的面积公式列出方程即可得． 【详解】解：由题意可知，宽为步， 则可列方程为， 故选：C． 1．（2024·吉林·中考真题）图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中，于点C，尺，尺．设的长度为x尺，可列方程为 ． 【答案】 【知识点】列方程、用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意，运用勾股定理建立方程是解题的关键． 设的长度为x尺，则，在中，由勾股定理即可建立方程． 【详解】解：设的长度为x尺，则， ∵， 由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 2．（2021·江苏无锡·二模）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】此题主要考查了正方形的性质以及由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出圆的面积是解题关键．直接利用圆的面积减去正方形面积，进而得出答案． 【详解】解：设正方形的边长是x步，则列出的方程是： 故选：B． 3．（2023·福建厦门·模拟预测）我国古代著作《四元玉鉴》中记载“买椽多少”问题，其大意为：现请人代买一批椽，这批株的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．根据题意可列方程，其中x表示（　　） A．剩余椽的数量 B．这批椽的数量 C．剩余椽的运费 D．每株椽的价钱 【答案】B 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设这批椽的数量为，则每株椽的价格为，利用总价单价数量，即可得出关于的一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：设这批椽的数量为，则每株椽的价格为， 依题意得：． 故x表示这批橡的数量， 故选：B． 4．（2024·四川乐山·模拟预测）《九章算术》中有这样题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙各行几何？”大意是说： 甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．问甲、乙各走了多少步？请问乙走的步数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，利用勾股定理即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t值，将其正值代入中即可求出结论． 【详解】解：设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（舍去）， ， 故选：D 5．（2024·福建莆田·一模）如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．连接，若与的面积相等，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】以弦图为背景的计算题、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、弦图的计算等知识点，明确弦图中的线段关系成为解题的关键． 设,进而得到，然后再根据“与的面积相等”得到方程求解即可． 【详解】解：由“赵爽弦图”可知,设，, ∵， ∴， ∵与的面积相等， ∴， ∴，即：，解得：（舍弃负值） ∴． 故答案为：． 6．（2024·四川广元·三模）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明．如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，则 ． 【答案】2 【知识点】因式分解法解一元二次方程、以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查勾股定理、解一元二次方程，设，，根据题意得到关于b的一元二次方程，然后解方程即可． 【详解】解：由题意，设，，则， ∵大正方形的面积是13，小正方形的面积是1， ∴，，即， ∴，则， 解得或（舍去）， 则， 故答案为：2． 7．（2023·吉林长春·模拟预测）《增删算法统宗》是我国古代数学著作，其中记载“圆中方形”问题：其大意为“有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好平方步，从水池边到圆周，每边最大相距步远，在这个不变图形中，应该能求出正方形的边长和圆的直径．”如图，设正方形的边长是步，则列出的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设正方形的边长是步，根据圆的面积减去正方形的面积即可求解． 【详解】解：设正方形的边长是步，则列出的方程是 ． 故选：C． 8．（2024·浙江宁波·三模）如图，在中，为的中点，，交于点，连接，在上取点，过点作，分别交，于点，，过点作AB，分别交，，于点，，．记四边形面积为，四边形面积为，四边形面积为，四边形面积为，欧几里得在《几何原本》中利用该图得出：．若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】公式法解一元二次方程、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质及一元二次方程的解法，利用平行四边形对边相等，和平行四边形的面积等于底×高，根据题意列出方程组，求出KG的长，掌握平行四边形的性质和面积公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，四边形、四边形、四边形、四边形都是平行四边形，过点作平行四边形的高，过点作平行四边形的高， 设， ∵，点为的中点， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，， ∵不合题意，舍去， ∴， 故选：． 9．（2024·辽宁营口·一模）黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形的底边取中点，以为圆心，线段为半径作圆，其与底边的延长线交于点，这样就把正方形延伸为矩形称其为黄金矩形．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、黄金分割 【分析】本题主要考查了黄金分割点、正方形的性质、勾股定理、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．设，根据题意易得，，在中，由勾股定理，可得，代入数值并求解，即可获得答案． 【详解】解：设， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵点为中点， ∴， 又∵， ∴， ∴在中，由勾股定理，可得， 即，整理可得， 解得，（舍去）， ∴． 故选：C． 10．（2024·山西大同·三模）古今中外，许多数学家曾研究过一元二次方程的几何解法，以方程，即为例．三国时期数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图1，其中，大正方形的面积是，它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，据此易得．公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔·花拉子米采用的方法是：构造图2，其中，大正方形的面积为，它又等于，据此可得．上述求解过程中所用的数学思想方法是（    ） A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．函数方程思想 D．转化思想 【答案】B 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的几何应用，根据题干中给出的信息即可得出答案，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：根据题干中给出的信息可知，所用的思想为数形结合思想， 故选：B． 11．（2024·山东济南·三模）手卷是国画装裱中横幅的一种体式，以能握在手中顺序展开阅览得名，它主要由“引首”、“画心”、“拖尾”三部分组成（这三部分都是矩形形状），分隔这三部分的其余部分统称为“隔水”．如图，墨涵同学装裱了一幅《雀华秋色图》的手卷，手卷长1000厘米，宽40厘米．引首和拖尾完全相同，其宽度都为100厘米，若隔水的宽度为x 厘米，画心的面积为15200厘米2，根据题意，可列方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】此题主要考查一元二次方程的应用，设隔水的宽度为，分别表示出画心的长和宽，根据面积列出方程． 【详解】解：根据题意，得． 故选：D． 12．（2024·山东潍坊·三模）在世纪年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，其中为边的黄金分割点，即．已知为米，则线段的长为（     ）． A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【知识点】黄金分割、解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了解一元二次方程，黄金分割．设，则，根据求出的值，即可求解． 【详解】解析：∵， 设，则， ∵， ∴， 即， 解得：，（舍去）， ∴线段的长为米． 故选：B． 13．（2024·浙江金华·二模）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式，后人借助此分割方法所得图形证明了勾股定理．如图所示，矩形就是由两个这样的图形拼成（无重叠、无缝隙）．下面给出的条件中，一定能求出矩形面积的是（    ） A．与的积 B．与的积 C．与的积 D．与的积 【答案】A 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理的证明，一元二次方程的运用，根据图形得到关于x的方程，并用整体代入思想解答是解题关键．欲求矩形的面积，则求出小正方形的边长即可，可设小正方形的边长为x，在直角三角形中，利用勾股定理建立关于x 的方程，利用整体代入思想解决问题，从而求出矩形的面积． 【详解】解：设小正方形的边长为x，设，则， ∴， 在中，， 即， 整理得，， 矩形的面积为：， ∴该矩形的面积为， ∴矩形的面积是与的积， 故选：A． 14．（2024·广东中山·二模）《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是（   ）尺． A．2 B．10 C．8 D．6 【答案】C 【知识点】求河宽(勾股定理的应用)、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查勾股定理的应用，设未知数建立关于未知数的方程是解题的关键． 利用勾股定理建立方程，解方程得出门高即可． 【详解】解：设竿长为尺，则门宽为尺，门高尺，门对角线是尺，根据勾股定理可得： ， 整理得：， 解得（舍去）或． 则门高：． 故选：C． 4——借助数学文化考查分式方程的解法与应用 （2023·湖南张家界·中考真题）《四元玉鉴》是我国古代的一部数学著作，其中记载了一个“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文钱．如果每株椽的运费是3文钱，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．试问：用6210文能买多少株椽？设用6210文能买x株椽，则符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式方程的实际应用 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，根据单价总价数量结合少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可得出关于x的分式方程． 【详解】解：设用6210文能买x株椽， 由题意得：， 故选：C． 1．（2023·湖北武汉·中考真题）我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程（单位：步）关于善行者的行走时间的函数图象，则两图象交点的纵坐标是 ． 【答案】 【知识点】分式方程的实际应用、从函数的图象获取信息 【分析】设图象交点的纵坐标是m，由“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”可知不善行者的速度是善行者速度的．根据速度关系列出方程，解方程并检验即可得到答案． 【详解】解：设图象交点的纵坐标是m，由“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”可知不善行者的速度是善行者速度的． ∴， 解得， 经检验是方程的根且符合题意， ∴两图象交点的纵坐标是． 故答案为： 2．（2023·浙江绍兴·模拟预测）大数学家欧拉在《代数论》里有一个关于农妇卖鸡蛋的题目：两农妇一共带了个鸡蛋去集市，两人所带鸡蛋数不同，但卖得的钱数一样．于是第一个农妇对第二个农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我可以卖得个铜板．”第二个农妇回答：“但是你的鸡蛋换给我，我只能卖得个铜板．”请问第一个农妇有 个鸡蛋． 【答案】 【知识点】分式方程的实际应用、因式分解法解一元二次方程 【分析】 本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，设第一个农妇有个鸡蛋，则第二个农妇有个鸡蛋，根据题意列出方程即可求解，找到关键描述语，合适的等量关系是解决问题的关键． 【详解】 解：设第一个农妇有个鸡蛋，则第二个农妇有个鸡蛋，则第一个农妇卖鸡蛋能得到 个铜板，第二个农妇卖鸡蛋能得到 个铜板，依题意可得： ， 整理，得， 解得（舍去）， 经检验，是方程的解， ∴第一个农妇有个鸡蛋． 故答案为：． 3．（2024·湖北武汉·模拟预测）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分元钱，每人分得若干，若再加上6人，平分元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求这两次分钱的人数．答：（1）第一次分钱有 人；（2）第二次分钱有 人． 【答案】 2 8 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查分式方程解决应用问题，根据第二次每人所得与第一次相同列方程求解即可得到答案； 【详解】解：设第一次有个人分，则第二次有个人分，由题意可得， ， 解得：，即， 故答案为：2，8． 4．（2024·山西太原·三模）《步辇图》是唐朝画家阎立本的作品，如图是它的局部画面，装裱前是一个长为，宽为的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边框的宽度相等，则边框的宽度应是多少？设边框的宽度为，根据题意，可列方程为 ． 【答案】 【知识点】列分式方程 【分析】本题主要考查了列分式方程，分别表示装裱后的长和宽，再根据比例列出方程即可． 【详解】解：装裱后的长为cm，宽为cm，根据题意，得 ． 故答案为：． 5．（2022·湖北襄阳·中考真题）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查了分式方程的应用，设规定时间为天，则慢马送到所需时间为天，快马送到所需时间为天，根据“快马的速度是慢马的倍，两地间的路程为里”，列出方程即可． 【详解】解：设规定时间为天， 慢马送到所需时间为天，快马送到所需时间为天， 快马的速度是慢马的倍，两地间的路程为里， ， 故选：B． 6．（2024·四川南充·一模）我国古代数学名著《四元玉鉴》记载“买椽”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：“现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？” 设6210文能买x株椽，则据题意可列方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式方程的实际应用 【分析】本题考查了从实际问题中抽象出分式方程，设6210元购买椽的数量为x株，根据单价总价数量，求出一株椽的价钱为，再根据少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可列出分式方程，得到答案． 【详解】解：设6210文能买x株椽，则一株椽的价钱为， 由题意得：， 故选：C． 7．（2024·上海宝山·一模）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为；把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍．根据题意列方程为，其中x表示（ ） A．快马的速度 B．慢马的速度 C．规定的时间 D．以上都不对 【答案】C 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，根据各数量之间的关系及所列的方程，找出的含义是解题的关键．由快、慢马速度间的关系，结合所列的方程，可得出表示慢马的速度，表示快马的速度，结合快、慢马所需时间与规定时间之间的关系，可得出表示规定的时间． 【详解】解：∵快马的速度是慢马的2倍，所列方程为，即， ∴表示慢马的速度，表示快马的速度； ∵把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天， ∴表示规定的时间． 故选：C． 8．（2024·湖南长沙·模拟预测）九章算术是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查列分式方程，设规定时间为x天，根据快马的速度是慢马的2倍列方程即可，理解题意，找到等量关系是解答的关键． 【详解】解：设规定时间为x天， 根据题意得，， 故选：A． 9．（2024·贵州安顺·二模）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则所列出的分式方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，根据题意可知慢马的速度为，快马的速度为，再根据快马的速度是慢马的倍，即可列出相应的方程，本题得以解决． 【详解】解：根据题意：慢马的速度为，快马的速度为：， 则， 故选：A． 10．（2024·福建泉州·模拟预测）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为把一份文件用慢马送到900里外的城市需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍．根据题意列方程为，其中x表示（   ） A．快马的速度 B．慢马的速度 C．规定的时间 D．以上都不对 【答案】C 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，根据各数量之间的关系及所列的方程，找出的含义是解题的关键．由快、慢马速度间的关系，结合所列的方程，可得出表示慢马的速度，表示快马的速度，结合快、慢马所需时间与规定时间之间的关系，可得出表示规定的时间． 【详解】解：快马的速度是慢马的2倍，所列方程为， 表示慢马的速度，表示快马的速度； 把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天， 表示规定的时间． 故选：C 11．（2024·河北秦皇岛·一模）秦始皇统一度量衡意义重大，这一举措极大地方便了生产与生活．如图1和2，欣欣通过两把不同刻度的直尺说明了其中的原因，并进行如下探究：将两把尺子有刻度的一侧紧贴，则由两幅图可得方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列分式方程 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据图中两把刻度尺A刻度尺上长度为24与B刻度尺上长度32相等，A刻度尺长度为9对应B刻度尺上长度为，列出方程即可． 【详解】解：根据图可知：， 即， 故选：A． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$