专题02 代数式-【数学文化】中考数学考点与数学文化的融合（全国通用）

专题02 数学文化背景下的中考数学之代数式 背景1：关于“铺地锦”：“格子乘法”是15世纪中叶,意大利数学家帕乔利在《算术、几何及比例性质摘要》一书中介绍的一种两个数的相乘的计算方法。格子算法介于画线和算式之间。这种方法传入中国之后，明朝数学家程大位的《算法统宗》一书中被称为'铺地锦”。 背景2：关于兔子数列：斐波那契数列，又称黄金分割数列 ，因数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称“兔子数列”，其数值为：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34…… 背景3：关于赵爽弦图：最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。 背景4：关于三角形数：一定数目的点或圆在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，这样的数被称为三角形数。古希腊著名科学家毕达哥拉斯把数1、3、6、10、15、21……这些数量的（石子），都可以排成三角形，像这样的数称为三角形数。 背景5：关于《详解九章算法》及杨辉：1261年,中国宋朝的杨辉著《详解九章算法》。杨辉，中国南宋时期杰出的数学家和数学教育家。他著名的数学书共五种二十一卷。著有《详解九章算法》十二卷、《日用算法》二卷、《乘除通变本末》三卷、《田亩比类乘除算法》二卷、《续古摘奇算法》二卷。 杨辉的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面，他对筹算乘除捷算法进行总结和发展，有的还编成了歌决，如九归口决。杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现。在欧洲，帕斯卡（1623----1662）在1654年发现这一规律，所以这个表又叫做帕斯卡三角形。帕斯卡的发现比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年。 背景6：关于《孙子算经》：《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在四、五世纪，也就是大约一千五百年前，作者生平和编写年不详。传本的《孙子算经》共三卷。 背景7：关于谢尔宾斯基地毯：数学家谢尔宾斯基提出的分形图形谢尔宾斯基地毯是数学家谢尔宾斯基提出的一个分形图形，谢尔宾斯基地毯和谢尔宾斯基三角形基本类似，不同之处在于谢尔宾斯基地毯采用的是正方形进行分形构造，而谢尔宾斯基三角形采用的等边三角形进行分形构造。谢尔宾斯基地毯和它本身的一部分完全相似，减掉一块会破坏自相似性。 考点1：整式的概念基本概念 1.单项式、多项式、整式 （1）单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和叫做单项式的次数，数字因数叫做单项式的系数. 注：①单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如，这种表示就是错误的，应写成；②一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如是6次单项式。 （2）多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数，其中不含字母的项叫做常数项. （3）整式：单项式和多项式统称为整式. 2.同类项 同类项：多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项. 考点2：整式的运算 1.整式的加减 整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 2.幂的运算 am·an=am+n；（am）n=amn；（ab）n=anbn；am÷an=. 3.整式的乘法和除法 （1）整式的乘法： · 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. · 单项式与多项式相乘：. · 多项式与多项式相乘：. （2）乘法公式： · 平方差公式：. 完全平方公式：. （3）整式的除法： · 单项式除以单项式，把系数、同底数的幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式含有的字母，则连同它的指数作为商的因式. · 多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加. 考点3.因式分解 1．因式分解：把一个多项式化成几个因式积的形式，叫做因式分解，因式分解与整式乘法是互逆运算. 2．因式分解的基本方法： （1）提取公因式法：. （2）公式法：平方差公式：.完全平方公式：. 3．分解因式的一般步骤： （1）如果多项式各项有公因式，应先提取公因式； （2）如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：为两项时，考虑平方差公式；为三项时，考虑完全平方公式；为四项时，考虑利用分组的方法进行分解； （3）检查分解因式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止。 简单记为“一提二套三检查”。 1——借助数学文化考查整式的加减 1．（2024·河北·中考真题）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（    ） A．“20”左边的数是16 B．“20”右边的“□”表示5 C．运算结果小于6000 D．运算结果可以表示为 1．（2024·北京门头沟·一模）“洞门初开，佳景自来”，园林建筑中的门洞设计有很多数学中的图形元素，如图中的门洞造型，由四个相同的半圆构成，且半圆的直径围成了正方形，如果半圆的直径为a米，则该门洞的通过面积为 平方米． 2．（2024·黑龙江大庆·一模）斐波那契数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称“兔子数列”，其数值为：1、1、2、3、5、8、13、21、34…，这个数列从第3项开始 ，每一项都等于前两项之和，若我们把斐波那契数列中第1项表示为，第2项表示为，第3项表示为，以此类推，则 ．（用含a的式子表示） 3．（2024·安徽池州·一模）【观察思考】 毕达哥拉斯常在沙滩上摆小石子表示数，产生了一系列的形数．如图1，当小石子的数是1，3，6，…时，小石子能摆成三角形，这些数叫三角形数．如图2，当小石子的数是1，4，9，…时，小石子能摆成正方形，这些数叫正方形数． 【规律发现】 （1）图1中，第个三角形数是______；图2中，第个正方形数是______；（请用含的式子表示） 【猜想验证】 （2）毕达哥拉斯进一步发现了三角形数和正方形数之间的内在联系：，，请证明：任意两个相邻三角形数之和是正方形数． 2——借助数学文化考查乘法公式的应用 （2024·四川眉山·中考真题）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（    ） A．24 B．36 C．40 D．44 1．（2024·江苏南通·中考真题）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 2．（2024·四川眉山·中考真题）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（    ） A．24 B．36 C．40 D．44 3．（2024·福建龙岩·模拟预测）勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”．如图所示，弦图由四个边长分别为a，b，c的全等的直角三角形围成一个中间镂空的大正方形，若弦图中小正方形和大正方形的面积分别是1和9，则的值等于（    ） A．4 B．2 C． D． 4．（2024·贵州·模拟预测）意大利著名画家达芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，图2是将图1沿直线剪开，将右半部分上下翻转得到的图形，其中四边形，四边形与四边形均为正方形，若图1中空白部分面积为37，线段的长为7，则图2中两个直角三角形的面积和为（    ） A．6 B．12 C．15 D．25 3——借助数学文化考查整式的乘法运算 （2024·湖北武汉·模拟预测）杨辉是我国南宋数学家，他著作的《详解九章算法》中有一道计算问题：已知，，①由，可得；②由，可得依此方法计算的值是（   ） A．29 B．30 C．31 D．32 1．（2024·浙江杭州·模拟预测）《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万日亿，万万亿日兆．”说明了大数之间的关系：1亿1万1万，1兆1万1万1亿．若1兆，则m的值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 2．（2024·山东潍坊·三模）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律． 当代数式的值为1时，则x的值为（ ） A．2 B． C． D． 3．（2024·广东河源·一模）公公元1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，（n为非负整数）展开的多项式中各项系数之和为 ． 4．（2024·湖北黄冈·模拟预测）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律．       1    …………     1   1    …………   1   2   1     1   3   3   1     当代数式的值为8时，则的值为 ． 5．（2024·陕西西安·模拟预测）如图是我国南宋时期杰出的数学家杨辉在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”．此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数之间的规律． 请仔细观察，填出的展开式中所缺的项： ． 6．（2024·四川广安·一模）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按n的次数由大到小的顺序）： 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是 ．      1  1      1  2  1      1  3  3  1     1  4  6  4  1         ……    …… 7．（2024·安徽安庆·二模）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”． 观察“杨辉三角”与右侧的等式图，记第一个展开式中各项系数的和为，第二个展开式 中各项系数的和为，第三个展开式中各项系数的和为，第四个展开式中各项系数的和为，… 第n个展开式中各项系数的和为，根据图中各式的规律． (1) ； (2)求：的值． 8．（2024·山东临沂·模拟预测）我围古代数学的许多发现都曾位居世界接前列，其中南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中“杨辉三角”就是一例（如图），这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方(左右)两数之和，这个三角形给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数高低顺次排列）的系数规律，例如：各项系数即为第二行中三个数1，2，1；各项系数即为第三行中四个数1，3，3，1，根据以上规律，展开式的含有这一项的系数为（   ） A．1 B．6 C．15 D．20 4——借助数学文化考查代数式的值 （2024·湖北·一模）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律． 当代数式的值为8时，则的值为 ． 1．（2024·江苏南通·一模）图1是我国古代传说中的洛书，图2是其数字表示．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．如图3是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，的值等于 ． 2．（2024·黑龙江大庆·一模）我国南宋数学家杨辉用如图所示的三角形解释二项和的乘方规律，比欧洲的相同发现要早三百多年，我们把这个三角形称为“杨辉三角”．请观察图中的数的排列规律，则的值为 ． 5——借助数学文化考查数字规律探索问题 （2024·江苏扬州·中考真题）1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，……，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2024个数中，奇数的个数为（    ） A．676 B．674 C．1348 D．1350 1．（2024·湖南·模拟预测）在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如在…中，“…”代表按规律不断求和，设．则有，解得，故．类似地的结果为（ ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南长沙·模拟预测）天干地支纪年法是指中国传统纪年历法，自上古以来就一直使用的纪年方法．天干有十，即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．2078年是改革开放100周年，使用天干地支纪年法（天干地支纪年法对应的规律如下表），已知2024年是甲辰年，可以推知2078年是什么年（    ） 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 甲 乙 丙 … 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 子 … 干支纪年 甲乙年 乙丑年 丙寅年 丁卯年 戊辰年 己巳年 庚午年 辛未年 壬申年 癸酉年 甲戌年 乙亥年 丙子年 … A．戊辰 B．丁卯 C．己巳 D．戊戌 3．（2024·湖南娄底·模拟预测）杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，它揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数有关规律，如下： 则展开式中所有项的系数和是（    ） A．2048 B．1024 C．0 D． 4．（2024·江西南昌·模拟预测）杨辉三角形，又称贾宪三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图是杨辉三角形的部分排列规律，则第八行从左数第三个数为（    ） A．十五 B．二十一 C．二十五 D．三十五 5．（2024·湖北武汉·模拟预测）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图所示的三角形数阵解释二项式展开式的各项系数，这一数学发现比欧洲早近年，此三角形被后人称为“杨辉三角”．在“杨辉三角”中，两边上的数都是，其余每个数是它上方的（左右）两数之和．如，，．．．，若从第三行的“”开始，按箭头所指依次构成一列数：，，，，，，，，，，，则这列数中第个数是（    ） A．56 B．42 C．28 D．8 6——借助数学文化考查图形规律探索问题 （2024·贵州黔东南·二模）无字证明是数学证明中的一道亮丽的风景线，这种亮丽甚至不需要用语言来描述，这种证明方式被认为比严格的数学证明更优雅、更有条理．借助形的几何直观性来表示数之间的关系，这种证明方法被称为数形结合．如图，请利用数形结合思想猜测，的值最接近的有理数为（   ） A． B． C． D． 1．（2023·浙江温州·模拟预测）等角螺线在自然界中很常见．如图，连接大正六边形六条边的中点，形成一个小的正六边形，再连接小正六边形六条边的中点，形成一个更小的正六边形，重复多次，可形成以逆时针方向环绕的等腰三角形串（如阴影部分所示），这个三角形串就是一个简单的等角螺线．若大正六边形的边长为1，则该等角螺线中第8个等腰三角形的顶角顶点与大正六边形中心的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东惠州·模拟预测）谢尔宾斯基三角形是一种具有非凡美学和分形特性的数学图形，它在几何、数学和计算机图形学等领域都有广泛应用．如图1叫做谢尔宾斯基地毯，是这样制作出来的：把一个正三角形分为全等的4小正三角形，挖去中间的一个小三角形：对剩下的3个小正三角形再分别重复以上做法……如2图是谢尔宾斯基三角形的一部分，已知，则为 ． 3．（2024·陕西西安·模拟预测）莫高窟坐落于河西走廊西部的尽头——敦煌，是我国古代文明的璀璨艺术宝库．莫高窟保存壁画4.5万多平方米，具有独特的形式美感和艺术魅力．如图，为莫高窟壁画纹样，小明发现，壁画纹样中还蕴藏着数学知识，其中第①个图案中有5个花朵图案，第②个图案中有8个花朵图案，第③个图案中有11个花朵图案，．．．．．．．，按此规律排列下去，则第⑨个图案中花朵图案的个数为 ． 4．（2024·广东广州·一模）公元前世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究数的概念时，常常把数描绘成沙滩上的小石子，用它们进行各式各样的排列和分类，叫做“形数”．如图为正方形数，根据图中点的数量规律，第个图形中的点数为 ． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 数学文化背景下的中考数学之代数式 背景1：关于“铺地锦”：“格子乘法”是15世纪中叶,意大利数学家帕乔利在《算术、几何及比例性质摘要》一书中介绍的一种两个数的相乘的计算方法。格子算法介于画线和算式之间。这种方法传入中国之后，明朝数学家程大位的《算法统宗》一书中被称为'铺地锦”。 背景2：关于兔子数列：斐波那契数列，又称黄金分割数列 ，因数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称“兔子数列”，其数值为：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34…… 背景3：关于赵爽弦图：最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。 背景4：关于三角形数：一定数目的点或圆在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，这样的数被称为三角形数。古希腊著名科学家毕达哥拉斯把数1、3、6、10、15、21……这些数量的（石子），都可以排成三角形，像这样的数称为三角形数。 背景5：关于《详解九章算法》及杨辉：1261年,中国宋朝的杨辉著《详解九章算法》。杨辉，中国南宋时期杰出的数学家和数学教育家。他著名的数学书共五种二十一卷。著有《详解九章算法》十二卷、《日用算法》二卷、《乘除通变本末》三卷、《田亩比类乘除算法》二卷、《续古摘奇算法》二卷。 杨辉的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面，他对筹算乘除捷算法进行总结和发展，有的还编成了歌决，如九归口决。杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现。在欧洲，帕斯卡（1623----1662）在1654年发现这一规律，所以这个表又叫做帕斯卡三角形。帕斯卡的发现比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年。 背景6：关于《孙子算经》：《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在四、五世纪，也就是大约一千五百年前，作者生平和编写年不详。传本的《孙子算经》共三卷。 背景7：关于谢尔宾斯基地毯：数学家谢尔宾斯基提出的分形图形谢尔宾斯基地毯是数学家谢尔宾斯基提出的一个分形图形，谢尔宾斯基地毯和谢尔宾斯基三角形基本类似，不同之处在于谢尔宾斯基地毯采用的是正方形进行分形构造，而谢尔宾斯基三角形采用的等边三角形进行分形构造。谢尔宾斯基地毯和它本身的一部分完全相似，减掉一块会破坏自相似性。 考点1：整式的概念基本概念 1.单项式、多项式、整式 （1）单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和叫做单项式的次数，数字因数叫做单项式的系数. 注：①单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如，这种表示就是错误的，应写成；②一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如是6次单项式。 （2）多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数，其中不含字母的项叫做常数项. （3）整式：单项式和多项式统称为整式. 2.同类项 同类项：多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项. 考点2：整式的运算 1.整式的加减 整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 2.幂的运算 am·an=am+n；（am）n=amn；（ab）n=anbn；am÷an=. 3.整式的乘法和除法 （1）整式的乘法： · 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. · 单项式与多项式相乘：. · 多项式与多项式相乘：. （2）乘法公式： · 平方差公式：. 完全平方公式：. （3）整式的除法： · 单项式除以单项式，把系数、同底数的幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式含有的字母，则连同它的指数作为商的因式. · 多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加. 考点3.因式分解 1．因式分解：把一个多项式化成几个因式积的形式，叫做因式分解，因式分解与整式乘法是互逆运算. 2．因式分解的基本方法： （1）提取公因式法：. （2）公式法：平方差公式：.完全平方公式：. 3．分解因式的一般步骤： （1）如果多项式各项有公因式，应先提取公因式； （2）如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：为两项时，考虑平方差公式；为三项时，考虑完全平方公式；为四项时，考虑利用分组的方法进行分解； （3）检查分解因式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止。 简单记为“一提二套三检查”。 1——借助数学文化考查整式的加减 1．（2024·河北·中考真题）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（    ） A．“20”左边的数是16 B．“20”右边的“□”表示5 C．运算结果小于6000 D．运算结果可以表示为 【答案】D 【知识点】数字类规律探索、整式加减的应用、单项式乘多项式的应用 【分析】本题考查了整式的加法运算，整式的乘法运算，理解题意，正确的逻辑推理时解决本题的关键． 设一个三位数与一个两位数分别为和，则，即，可确定时，则，由题意可判断A、B选项，根据题意可得运算结果可以表示为：，故可判断C、D选项． 【详解】解：设一个三位数与一个两位数分别为和 如图： 则由题意得： ， ∴，即， ∴当时，不是正整数，不符合题意，故舍； 当时，则，如图： ， ∴A、“20”左边的数是，故本选项不符合题意； B、“20”右边的“□”表示4，故本选项不符合题意； ∴上面的数应为，如图： ∴运算结果可以表示为：， ∴D选项符合题意， 当时，计算的结果大于6000，故C选项不符合题意， 故选：D． 1．（2024·北京门头沟·一模）“洞门初开，佳景自来”，园林建筑中的门洞设计有很多数学中的图形元素，如图中的门洞造型，由四个相同的半圆构成，且半圆的直径围成了正方形，如果半圆的直径为a米，则该门洞的通过面积为 平方米． 【答案】 【知识点】列代数式、 圆的面积 【分析】本题考查了圆的面积，代数式表示式，正方形面积，由门洞的通过面积等于正方形的面积加两个圆的面积即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：该门洞的通过面积为 (平方米)， 故答案为：． 2．（2024·黑龙江大庆·一模）斐波那契数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称“兔子数列”，其数值为：1、1、2、3、5、8、13、21、34…，这个数列从第3项开始 ，每一项都等于前两项之和，若我们把斐波那契数列中第1项表示为，第2项表示为，第3项表示为，以此类推，则 ．（用含a的式子表示） 【答案】/ 【知识点】数字类规律探索、整式加减的应用、计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题考查了数字变化的规律，单项式乘以多项式，合并同类项，准确找出数字变化的规律是解题的关键．从第3项开始 ，每一项都等于前两项之和，可知，，…，，代入所给代数式即可求解． 【详解】解：∵从第3项开始 ，每一项都等于前两项之和， ∴，，…，， ∴原式 ， ∵， ∴原式． 故答案为：． 3．（2024·安徽池州·一模）【观察思考】 毕达哥拉斯常在沙滩上摆小石子表示数，产生了一系列的形数．如图1，当小石子的数是1，3，6，…时，小石子能摆成三角形，这些数叫三角形数．如图2，当小石子的数是1，4，9，…时，小石子能摆成正方形，这些数叫正方形数． 【规律发现】 （1）图1中，第个三角形数是______；图2中，第个正方形数是______；（请用含的式子表示） 【猜想验证】 （2）毕达哥拉斯进一步发现了三角形数和正方形数之间的内在联系：，，请证明：任意两个相邻三角形数之和是正方形数． 【答案】（1），；（2）见解析 【知识点】图形类规律探索、整式乘法混合运算、提公因式法分解因式 【分析】本题主要考查图形的变化规律，整式的乘法，因式分解,正确找出图形的规律是解题的关键． （1）根据题意得出第n个三角形数为，第n个正方形数为，据此可得答案； （2）设任意两个三角形数为第k个数和第个数，列出代数式并应用因式分解，即得答案． 【详解】（1）由题意知第n个三角形数为， 第n个正方形数为； 故答案为：，． （2）设任意两个三角形数为第k个数和第个数， 则 ， 所以任意第k个数和第个三角形数之和恰等于第个正方形数； 即任意两个相邻三角形数之和是正方形数． 2——借助数学文化考查乘法公式的应用 （2024·四川眉山·中考真题）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（    ） A．24 B．36 C．40 D．44 【答案】D 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理，设直角三角形的两直角边为 ， ，斜边为 ，根据图1，结合已知条件得到，，进而求出的值，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，直角三角形的两直角边为，，斜边为， 图1中大正方形的面积是24， ， 小正方形的面积是4， ， ， 图2中最大的正方形的面积； 故选：D． 1．（2024·江苏南通·中考真题）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．由题意可知，中间小正方形的边长为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的面积为． 【详解】解：由题意可知，中间小正方形的边长为， ∴，即①， ∵， ∴②， ①②得， ∴大正方形的面积， 故选：B． 2．（2024·四川眉山·中考真题）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（    ） A．24 B．36 C．40 D．44 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查勾股定理，设直角三角形的两直角边为 ， ，斜边为 ，根据图1，结合已知条件得到，，进而求出的值，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，直角三角形的两直角边为，，斜边为， 图1中大正方形的面积是24， ， 小正方形的面积是4， ， ， 图2中最大的正方形的面积； 故选：D． 3．（2024·福建龙岩·模拟预测）勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”．如图所示，弦图由四个边长分别为a，b，c的全等的直角三角形围成一个中间镂空的大正方形，若弦图中小正方形和大正方形的面积分别是1和9，则的值等于（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【知识点】以弦图为背景的计算题、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查完全平方公式和勾股定理的结合，根据正方形的面积求出，再根据直角三角形的面积和完全平方公式求出即可． 【详解】解：小正方形和大正方形的面积分别是1和9， 个直角三角形的面积和为， ， ， ∵， ， ． 故选：B． 4．（2024·贵州·模拟预测）意大利著名画家达芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，图2是将图1沿直线剪开，将右半部分上下翻转得到的图形，其中四边形，四边形与四边形均为正方形，若图1中空白部分面积为37，线段的长为7，则图2中两个直角三角形的面积和为（    ） A．6 B．12 C．15 D．25 【答案】B 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】由题意可设正方形的边长为，正方形的边长为，读懂题意，确定图2中两个直角三角形的直角边是，由题中条件列出等式，进而得到由空白图形面积得到，两式相减即可得到答案． 【详解】解：由题意可设正方形的边长为，正方形的边长为， 图2是将图1沿直线剪开，将右半部分上下翻转得到的图形， ，即图2中两个直角三角形的直角边是， 线段的长为7， ，则①， 图1中空白部分面积为37， ，即②， 由①②得， 图2中两个直角三角形的面积和为， 故选：B． 3——借助数学文化考查整式的乘法运算 （2024·湖北武汉·模拟预测）杨辉是我国南宋数学家，他著作的《详解九章算法》中有一道计算问题：已知，，①由，可得；②由，可得依此方法计算的值是（   ） A．29 B．30 C．31 D．32 【答案】A 【知识点】提公因式法分解因式、多项式乘法中的规律性问题、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查多项式乘多项式，因式分解，掌握多项式乘多项式法则是正确解答的关键． 根据题目所提供的方法进行计算即可． 【详解】解：已知， ①由，可得； ②由，可得； ③由，可得； ④由，可得； ⑤由，可得； ⑥由，可得； 故选：A． 1．（2024·浙江杭州·模拟预测）《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万日亿，万万亿日兆．”说明了大数之间的关系：1亿1万1万，1兆1万1万1亿．若1兆，则m的值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查同底数幂的乘法，根据“1兆1万1万1亿”列式计算，即可解题． 【详解】解：1兆1万1万1亿， 则， 故选：D． 2．（2024·山东潍坊·三模）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律． 当代数式的值为1时，则x的值为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】AB 【知识点】多项式乘法中的规律性问题、运用完全平方公式进行运算 【分析】此题考查了完全平方公式．观察题中的图表，表示出，根据已知代数式的值为1，确定出的值即可． 【详解】解：根据题意得：， ， ， 开四次方得：或， 解得：或4． 故选：AB． 3．（2024·广东河源·一模）公公元1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，（n为非负整数）展开的多项式中各项系数之和为 ． 【答案】2n 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题考查了完全平方公式的延伸应用，属于规律性探究题型，从特殊到一般规律的推出是数学探究的常用方法．根据图示可得出一般规律，利用规律计算即可． 【详解】解：，系数之和是； ，系数之和是； ，系数之和是； ， ，展开各项系数之和是． 故答案为：． 4．（2024·湖北黄冈·模拟预测）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律．       1    …………     1   1    …………   1   2   1     1   3   3   1     当代数式的值为8时，则的值为 ． 【答案】5 【知识点】多项式乘法中的规律性问题、求一个数的立方根 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律性问题，立方根的定义等知识，灵活的应用规律解题是关键．由规律可得：，令，，可得，再解方程即可． 【详解】解：由规律可得：， 令，，， ∴， ∵x的值为8 ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 5．（2024·陕西西安·模拟预测）如图是我国南宋时期杰出的数学家杨辉在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”．此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数之间的规律． 请仔细观察，填出的展开式中所缺的项： ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了规律型：数字的变化类，解题关键是根据题意，找出字母和系数存在的规律． 观察图形可知：杨辉三角，各项是按照的降幂和的升幂排列，下一行的系数是上一行相邻两系数的和，按照此规律进行解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 6．（2024·四川广安·一模）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按n的次数由大到小的顺序）： 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是 ．      1  1      1  2  1      1  3  3  1     1  4  6  4  1         ……    …… 【答案】 【知识点】多项式乘法中的规律性问题、分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查分式的混合运算、杨辉三角等知识．首先确定是展开式中第几项，根据杨辉三角即可解决问题． 【详解】解：展开式中含项的系数， 由可知， 展开式中第二项为 ∴展开式中含项的系数是. 故答案为：． 7．（2024·安徽安庆·二模）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”． 观察“杨辉三角”与右侧的等式图，记第一个展开式中各项系数的和为，第二个展开式 中各项系数的和为，第三个展开式中各项系数的和为，第四个展开式中各项系数的和为，… 第n个展开式中各项系数的和为，根据图中各式的规律． (1) ； (2)求：的值． 【答案】(1) (2)2 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题考查多项式的乘法运算，以及规律型：数字的变化类，解题的关键是弄清系数中的规律． （1）利用所给的“杨辉三角”中各项系数间的关系展开即可解题； （2）根据规律得，即可求出和，然后求出比值即可． 【详解】（1）解：根据“杨辉三角”可知各项系数为， 即， 故答案为：； （2）解：根据前几项得规律：，则，， ∴． 8．（2024·山东临沂·模拟预测）我围古代数学的许多发现都曾位居世界接前列，其中南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中“杨辉三角”就是一例（如图），这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方(左右)两数之和，这个三角形给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数高低顺次排列）的系数规律，例如：各项系数即为第二行中三个数1，2，1；各项系数即为第三行中四个数1，3，3，1，根据以上规律，展开式的含有这一项的系数为（   ） A．1 B．6 C．15 D．20 【答案】B 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题考查了数字类规律型问题，解题的关键是正确理解题中给出的规律．根据规律求出的展开式中的系数，以进行降幂排列，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得： 展开式中各项系数为：1，4，6，4，1， 展开式中各项系数为：1，5，10，10，5，1， 展开式中各项系数为：1，6，15，20，15，6，1，其中位于第二项， ∴含有这一项的系数为； 故选B． 4——借助数学文化考查代数式的值 （2024·湖北·一模）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律． 当代数式的值为8时，则的值为 ． 【答案】5 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【分析】此题考查了多项式中乘法规律问题．观察题中的图表，表示出，根据已知代数式的值为8，确定出的值即可． 【详解】解：根据题意得：， ， ， 开立方得：， 解得：． 故答案为：5． 1．（2024·江苏南通·一模）图1是我国古代传说中的洛书，图2是其数字表示．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．如图3是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，的值等于 ． 【答案】 【知识点】二元一次方程的定义、数字类规律探索 【分析】本题考查了数字的变化类，根据题意列出等式，即可求得答案，解答本题的关键是理解题意，准确进行计算． 【详解】解：由题可得：， ∴， 故答案为：． 2．（2024·黑龙江大庆·一模）我国南宋数学家杨辉用如图所示的三角形解释二项和的乘方规律，比欧洲的相同发现要早三百多年，我们把这个三角形称为“杨辉三角”．请观察图中的数的排列规律，则的值为 ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字的变化类，通过观察，发现每一项的数据变号有规律，找出每一项的规律，即可求出每一项的系数，解题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，求出、、的值． 【详解】解：观察图中的数字排列规律，可得，， ∴， 故答案为：． 5——借助数学文化考查数字规律探索问题 （2024·江苏扬州·中考真题）1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，……，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2024个数中，奇数的个数为（    ） A．676 B．674 C．1348 D．1350 【答案】D 【知识点】数字类规律探索 【分析】将这一列数继续写下去，发现这列数的变化规律即可解答． 本题主要考查的是数字规律类问题，发现这列数的变化规律是解题的关键． 【详解】这一列数为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，… 可以发现每3个数为一组，每一组前2个数为奇数，第3个数为偶数． 由于， 即前2024个数共有674组，且余2个数， ∴奇数有个． 故选：D 1．（2024·湖南·模拟预测）在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如在…中，“…”代表按规律不断求和，设．则有，解得，故．类似地的结果为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数字类规律探索、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查解一元一次方程和数字的变化规律，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．设，知，据此可得，再进一步求解可得． 【详解】解：设， 则， ， 解得， ， ， 故选：A 2．（2024·湖南长沙·模拟预测）天干地支纪年法是指中国传统纪年历法，自上古以来就一直使用的纪年方法．天干有十，即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．2078年是改革开放100周年，使用天干地支纪年法（天干地支纪年法对应的规律如下表），已知2024年是甲辰年，可以推知2078年是什么年（    ） 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 甲 乙 丙 … 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 子 … 干支纪年 甲乙年 乙丑年 丙寅年 丁卯年 戊辰年 己巳年 庚午年 辛未年 壬申年 癸酉年 甲戌年 乙亥年 丙子年 … A．戊辰 B．丁卯 C．己巳 D．戊戌 【答案】D 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了图形类规律探索，正确发现规律是解题关键．根据表格得出天干是以10年为一个周期，地支是以12年为一个周期，据此求解即可得． 【详解】解：由题意得：天干是以10年为一个周期，地支是以12年为一个周期， ∵2078年和2024年相差54年，，，且2024年是甲辰年， ∴2078年对应的天干是戊，地支是戌，即2078年是戊戌年， 故选：D． 3．（2024·湖南娄底·模拟预测）杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，它揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数有关规律，如下： 则展开式中所有项的系数和是（    ） A．2048 B．1024 C．0 D． 【答案】C 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字的变化类，根据已知算式得出规律，再求出即可，找到变化规律是解题的关键． 【详解】解：（n为非负整数）展开式的项数及各项系数有关规律，如下：             1                     1                    1     1                 1     3                1     6       1          1     10     5         ……                                           …… 由上可知，展开式的各项系数之和为0， ∴展开式中所有项的系数和是0， 故选：C． 4．（2024·江西南昌·模拟预测）杨辉三角形，又称贾宪三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图是杨辉三角形的部分排列规律，则第八行从左数第三个数为（    ） A．十五 B．二十一 C．二十五 D．三十五 【答案】B 【知识点】图形类规律探索、完全平方式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式，各项是按a的降幂排列的，它的两端都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和． 从第3行开始依次确定第三个数，即是完全平方公式中的第三项的系数，找到规律即可确定第八行第三个数． 【详解】解：依据规律可得到：的展开式的系数是杨辉三角第8行的数， 第3行第三个数为1， 第4行第三个数为， 第5行第三个数为， … 第8行第三个数为：． 故选：B． 5．（2024·湖北武汉·模拟预测）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图所示的三角形数阵解释二项式展开式的各项系数，这一数学发现比欧洲早近年，此三角形被后人称为“杨辉三角”．在“杨辉三角”中，两边上的数都是，其余每个数是它上方的（左右）两数之和．如，，．．．，若从第三行的“”开始，按箭头所指依次构成一列数：，，，，，，，，，，，则这列数中第个数是（    ） A．56 B．42 C．28 D．8 【答案】A 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类变化规律，由题意得出第24个数在从开始的第行的第个数，观察可得由从开始的第行的数依次为，，，，，，，由此即可得出答案． 【详解】解：，， 第24个数在从开始的第行的第个数， 观察可得：由从开始的第行的数依次为：，，，，， 由从开始的第行的数依次为：，，，，，， 由从开始的第行的数依次为，，，，，，， 第24个数为， 故选：A． 6——借助数学文化考查图形规律探索问题 （2024·贵州黔东南·二模）无字证明是数学证明中的一道亮丽的风景线，这种亮丽甚至不需要用语言来描述，这种证明方式被认为比严格的数学证明更优雅、更有条理．借助形的几何直观性来表示数之间的关系，这种证明方法被称为数形结合．如图，请利用数形结合思想猜测，的值最接近的有理数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现阴影部分面积变化的规律是解题的关键．根据所给图形，发现阴影部分面积变化的规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 当n越来越大时，阴影部分的面积越来越接近正方形面积的， 所以当n无穷大时，的值最接近． 故选：A． 1．（2023·浙江温州·模拟预测）等角螺线在自然界中很常见．如图，连接大正六边形六条边的中点，形成一个小的正六边形，再连接小正六边形六条边的中点，形成一个更小的正六边形，重复多次，可形成以逆时针方向环绕的等腰三角形串（如阴影部分所示），这个三角形串就是一个简单的等角螺线．若大正六边形的边长为1，则该等角螺线中第8个等腰三角形的顶角顶点与大正六边形中心的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】图形类规律探索、等边三角形的判定和性质、求正多边形的中心角、解直角三角形的相关计算 【分析】根据正六边形的性质，得到等角螺线中等腰三角形顶点到中心的距离等于正六边形的边长，由此规律可得第8个等腰三角形的顶角顶点与大正六边形中心的距离为即可得出结果． 【详解】解：如图，正六边形，中心为O，点分别是正六边形各边的中点， 六边形是正六边形，边长为1， ， ， 是等边三角形， ， 点是的中点， ， ， 六边形是正六边形， ， 是等边三角形， 同理得：由正六边形各边中点连接形成的正六边形，顶点到中心O点的距离为， 同理可得：第8个等腰三角形的顶角顶点与大正六边形中心的距离为， 故选：C． 2．（2024·广东惠州·模拟预测）谢尔宾斯基三角形是一种具有非凡美学和分形特性的数学图形，它在几何、数学和计算机图形学等领域都有广泛应用．如图1叫做谢尔宾斯基地毯，是这样制作出来的：把一个正三角形分为全等的4小正三角形，挖去中间的一个小三角形：对剩下的3个小正三角形再分别重复以上做法……如2图是谢尔宾斯基三角形的一部分，已知，则为 ． 【答案】 【知识点】图形类规律探索、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形 【分析】本题重视与国家大政方针及中华优良传统文化相结合，比如关于经济生活、文化与数学建模、数据分析结合起来，源于教材，科技、生态等问题且综合考查学生的几何直观、抽象能力和运算能力．本题涉及等边三角形的性质、勾股定理，根据等边三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，取的中点E，连接， 根据题意，，，，， 在中，， 在中，， 故答案为：． 3．（2024·陕西西安·模拟预测）莫高窟坐落于河西走廊西部的尽头——敦煌，是我国古代文明的璀璨艺术宝库．莫高窟保存壁画4.5万多平方米，具有独特的形式美感和艺术魅力．如图，为莫高窟壁画纹样，小明发现，壁画纹样中还蕴藏着数学知识，其中第①个图案中有5个花朵图案，第②个图案中有8个花朵图案，第③个图案中有11个花朵图案，．．．．．．．，按此规律排列下去，则第⑨个图案中花朵图案的个数为 ． 【答案】 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查了图形的变化规律，根据图形的变化得出第个图形中有个花朵图案是解题的关键．根据图形变化的规律得出第个图形中有有个花朵图案即可解答． 【详解】解：由题知，第①个图案中有个花朵图案， 第②个图案中有个花朵图案， 第③个图案中有个花朵图案， 第④个图案中有个花朵图案，…， 第n个图案中有个花朵图案， ∴第⑨个图案中花朵图案的个数为， 故答案为：． 4．（2024·广东广州·一模）公元前世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究数的概念时，常常把数描绘成沙滩上的小石子，用它们进行各式各样的排列和分类，叫做“形数”．如图为正方形数，根据图中点的数量规律，第个图形中的点数为 ． 【答案】 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查了图形的规律型问题，根据图形找到点的数量的变化规律即可求解，根据已知图形找到点的数量的变化规律是解题的关键． 【详解】解：第个图有个点； 第个图有个点； 第个图有个点； 第个图有个点； ； ∴第个图有个点； 故答案为：． 1 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$