专题01 实数-【数学文化】中考数学考点与数学文化的融合（全国通用）

专题01 数学文化背景下的中考数学之实数 背景1：关于《九章算术》：中国古代的数学专著，成书于公元一世纪,作者不详，西汉早期丞相张苍、耿寿昌等增补删订，三国曹魏时期刘徽注释，唐初李淳风注。全书分方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股等九个章节。“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数及其加减运算法则，并给出名为“正负术”的算法. 魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的计数工具）分别表示正数和负数（红色为正，黑色为负）。 《九章算术》中关于“开方”还指出“若开之不尽者为不可开，当以面命之”，作者给这种开方开不尽的数起了一个专门的名词“面”． 《九章算术注》是由魏晋时期数学家刘徽所创作的。刘徽（约公元225年—295年），魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，他的杰作主要有《九章算术注》和《海岛算经》。 背景2：关于三个重要常数：自然常数，符号e，是一个无限不循环小数，其值约为2.71828。有时称它为欧拉数，以瑞士数学家欧拉命名；或叫纳皮尔常数，以纪念苏格兰数学家约翰·纳皮尔。 圆周率，符号，中国古算书《周髀算经》（约公元前2世纪）的中有“径一而周三”的记载，意即取3。汉朝时，张衡得出约为3.162。公元263年，中国数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，得到圆周率。 公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之进一步得出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927，还得到两个近似分数值，密率和约率。 黄金分割，符号。其值约为0.618。黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。其比值是一个无理数为。 背景5：关于秦九韶：秦九韶，南宋著名数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。1247年完成著作《数书九章》，其中的大衍求一术（一次同余方程组问题的解法，也就是所称的中国剩余定理）、三斜求积术和秦九韶算法（高次方程正根的数值求法）是有世界意义的重要贡献。 考点1、相反数、绝对值的概念 1.相反数：绝对值相同而符号不同的两个数称为相反数； 2.绝对值：一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。 考点2、有理数、无理数概念 1.有理数：整数和分数统称为有理数，即能写成分数形式的数。 有理数的四种表现形式：整数、分数、有限小数、无限循环小数。 2.无理数：无限不循环小数，无理数的四种常见表现形式： （1）开方开不尽的数，如等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（注意省略号） （4）某些三角函数，如sin60o等 考点3.平方根、算术平方根和立方根 1．平方根 如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。 一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 正数a的平方根记做“”。 2.算术平方根 正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 ； 3.立方根 如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根（或a的三次方根）。 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 考点4：实数的大小比较常用方法 方法一：数轴比较法：左<右 方法二: 作差比较法 方法三: 作商比较法 设a、b是两正实数，， 方法四: 平方法 设a、b是两负实数，则。 设a、b是两正实数，则。 考点5、无理数的大小估计方法:先找到离a最近的两个平方数m, n,即m<a<n,则。 1——借助数学文化考查正负数表示相反意义的量 （2024·海南·中考真题）负数的概念最早记载于我国古代著作《九章算术》．若零上记作，则零下应记作（    ） A． B． C． D． 1．（2024·云南·中考真题）中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若向北运动米记作米，则向南运动米可记作（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（2024·贵州遵义·模拟预测）有关正负数的概念和运算法则的系统论述，记载于我国古代数学名著《九章算术》一书中，书中明确提出“正负数”，这是世界上至今发现的最早详细的记载．如果水位上升5米记作米，那么水位下降8米记作（    ） A． B．3 C．13 D． 3．（2024·广东东莞·模拟预测）刘徽在《九章算术注》中有“今两算得失相反，要令正负以名之．”可翻译为“今有两数若 其意义相反，则分别叫做正数和负数．”如果气温为“零上”记作，那么气温为“零下”应表示为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·湖南长沙·模拟预测）《九章算术》记载的余和不足等概念体现了中国是最早采用正负数表示相反意义量的国家，若收入10元记作元，则支出136元记作（    ） A．元 B．元 C．0元 D．元 2——借助数学文化考查无理数的概念 （2024·广东深圳·二模）公元前500年，古希腊毕达哥拉斯学派的希伯索斯发现了边长为1的正方形的对角线长不能用有理数表示，为了纪念他，人们把这些数取名为无理数．下列各数中，属于无理数的是（　　） A． B． C． D． 1.（2024·广东深圳·模拟预测）在《九章算术》一书中，对开方开不尽的数起了一个名字，叫做“面”，这是中国传统数学对无理数的最早记载下面符合“面”的描述的数是（　　） A． B． C． D． 2．（2024·广东肇庆·一模）在古代，一个国家所算的圆周率的精确程度，可以作为衡量这个国家当时数学与科技发展的水平的主要标志，我国南北朝时期的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第七位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年，以下对圆周率的四个表述：①圆周率是一个有理数；②圆周率是一个无理数；③圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比；④圆周率是一个与圆大小有关的常数，它等于该圆的周长与半径的比；其中正确的是（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 3．（2023·山西大同·模拟预测）公元前世纪古希腊的毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，意思是一切量都可以用整数或整数的比分数表示后来，这一学派的希帕索斯发现，边长为的正方形的对角线的长度不能用整数或整数的比表示，由此引发了第一次数学危机这里“不能用整数或整数的比表示的数”是指（   ） A．质数 B．负数 C．无理数 D．有理数 3——借助数学文化考查无理数的大小估计 （2024·福建厦门·二模）我国清代数学家戴煦在《对数简法》中给出了求正数的算术平方根的公式：设被开方数为x，常数a（a为整数）和r满足，，则，用该公式求87的算术平方根，则公式中的 ， ． 1．（2024·云南楚雄·三模）自然常数e，圆周率π和黄金分割数φ一起被称为“三大数学常数”．自然常数e作为自然对数的底数，它满足，则自然常数e的值(所有近似值保留到小数点后一位)在（    ） A．之间 B．之间 C．之间 D．之间 2．（2024吉林长春·模拟）《九章算术》中指出“若开之不尽者为不可开，当以面命之”，作者给这种开方开不尽的数起了一个专门的名词“面”．例如面积为8的正方形的边长称为8“面”，关于29“面”的值说法正确的是（    ） A．是4和5之间的实数 B．是5和6之间的实数 C．是6和7之间的实数 D．是7和8之间的实数 3．（2024·山东淄博·二模）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，那么面积．若某个三角形的三边长分别为2，3，3，其面积S介于整数和n之间，则n的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4（2024·云南红河·一模）黄金分割被公认为“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，其比值为，通常人们也把这个数叫做黄金分割数．请估计它的分子的值（    ） A．在0和1之间 B．在1和2之间 C．在2和3之间 D．在3和4之间 5．（2023·安徽·模拟预测）大约公元前500年，毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯斯发现了无理数．事实上，我国古代发现并阐述无理数的概念比西方更早，但是没有系统的理论．《九章算术》开方术中指出了存在有开不尽的情形“若开方不尽者，为不可开”．《九章算术》的作者们给这种“不尽根数”起了一个专门名词“面”，“面”就是无理数，无理数里最具有代表性的数就是，与数据最接近的整数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3——借助数学文化考查实数的大小比较 （2024·安徽·中考真题）我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小： （填“>”或“<”）． 1．（2024·吉林·二模）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”的美誉，函数称为取整函数，也称高斯函数，即表示不超过的最大整数，例如，则 ． 2.（2024·云南红河·一模）黄金分割被公认为“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，其比值为，通常人们也把这个数叫做黄金分割数．请估计它的分子的值（    ） A．在0和1之间 B．在1和2之间 C．在2和3之间 D．在3和4之间 5——借助数学文化考查平方根、算术平方根、立方根 （2024·云南昆明·三模）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，记，那么面积．若某个三角形的三边长分别为，其面积介于整数和之间，则的值为（   ） A． B． C． D． 1．（2024·山东淄博·二模）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，那么面积．若某个三角形的三边长分别为2，3，3，其面积S介于整数和n之间，则n的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2024·安徽滁州·一模）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，，，记，那么面积．若某个三角形的三边长分别为2，3，3，其面积介于整数和之间，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2023·湖北宜昌·模拟预测）月日是国际数学日，当天李强和张明想玩个数学游戏：“在等号的左边添加适当的运算符号，使等式成立”，下列选项错误的是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·陕西咸阳·模拟预测）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，顾名思义，是由七块板组成的．把一副七巧板按如图所示进行①~⑦编号，由这幅七巧板拼成的“蝴蝶”的面积是16，那么标号为①的正方形板块面积为 ． 5．（2024·陕西宝鸡·二模）如图是“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若大正方形的面积是25，直角三角形的长直角边是4，则小正方形（即图中阴影部分）的面积是 ． 6．（2024·湖北黄冈·模拟预测）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律． 1    ………… 1   1    ………… 1   2   1     1   3   3   1     当代数式的值为8时，则的值为 ． 7.（2023·陕西咸阳·二模）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，根据如图的程序进行计算，当输入的值为64时，输出的值是 ． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 数学文化背景下的中考数学之实数 背景1：关于《九章算术》：中国古代的数学专著，成书于公元一世纪,作者不详，西汉早期丞相张苍、耿寿昌等增补删订，三国曹魏时期刘徽注释，唐初李淳风注。全书分方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股等九个章节。“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数及其加减运算法则，并给出名为“正负术”的算法. 魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的计数工具）分别表示正数和负数（红色为正，黑色为负）。 《九章算术》中关于“开方”还指出“若开之不尽者为不可开，当以面命之”，作者给这种开方开不尽的数起了一个专门的名词“面”． 《九章算术注》是由魏晋时期数学家刘徽所创作的。刘徽（约公元225年—295年），魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，他的杰作主要有《九章算术注》和《海岛算经》。 背景2：关于三个重要常数：自然常数，符号e，是一个无限不循环小数，其值约为2.71828。有时称它为欧拉数，以瑞士数学家欧拉命名；或叫纳皮尔常数，以纪念苏格兰数学家约翰·纳皮尔。 圆周率，符号，中国古算书《周髀算经》（约公元前2世纪）的中有“径一而周三”的记载，意即取3。汉朝时，张衡得出约为3.162。公元263年，中国数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，得到圆周率。 公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之进一步得出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927，还得到两个近似分数值，密率和约率。 黄金分割，符号。其值约为0.618。黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。其比值是一个无理数为。 背景5：关于秦九韶：秦九韶，南宋著名数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。1247年完成著作《数书九章》，其中的大衍求一术（一次同余方程组问题的解法，也就是所称的中国剩余定理）、三斜求积术和秦九韶算法（高次方程正根的数值求法）是有世界意义的重要贡献。 考点1、相反数、绝对值的概念 1.相反数：绝对值相同而符号不同的两个数称为相反数； 2.绝对值：一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。 考点2、有理数、无理数概念 1.有理数：整数和分数统称为有理数，即能写成分数形式的数。 有理数的四种表现形式：整数、分数、有限小数、无限循环小数。 2.无理数：无限不循环小数，无理数的四种常见表现形式： （1）开方开不尽的数，如等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（注意省略号） （4）某些三角函数，如sin60o等 考点3.平方根、算术平方根和立方根 1．平方根 如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。 一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 正数a的平方根记做“”。 2.算术平方根 正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 ； 3.立方根 如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根（或a的三次方根）。 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 考点4：实数的大小比较常用方法 方法一：数轴比较法：左<右 方法二: 作差比较法 方法三: 作商比较法 设a、b是两正实数，， 方法四: 平方法 设a、b是两负实数，则。 设a、b是两正实数，则。 考点5、无理数的大小估计方法:先找到离a最近的两个平方数m, n,即m<a<n,则。 1——借助数学文化考查正负数表示相反意义的量 （2024·海南·中考真题）负数的概念最早记载于我国古代著作《九章算术》．若零上记作，则零下应记作（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，正负数是一对具有相反意义的量，若零上由正数表示，那么零下就用负数表示，据此可得答案． 【详解】解：若若零上记作，那么零下应记作， 故选：A． 1．（2024·云南·中考真题）中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若向北运动米记作米，则向南运动米可记作（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了正负数的意义，根据正负数的意义即可求解，理解正负数的意义是解题的关键． 【详解】解：若向北运动米记作米，则向南运动米可记作米， 故选：． 2．（2024·贵州遵义·模拟预测）有关正负数的概念和运算法则的系统论述，记载于我国古代数学名著《九章算术》一书中，书中明确提出“正负数”，这是世界上至今发现的最早详细的记载．如果水位上升5米记作米，那么水位下降8米记作（    ） A． B．3 C．13 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量． 【详解】解：“正”和“负”相对，所以，如果水位上升5米记作米，那么水位下降8米记作米． 故选：A． 3．（2024·广东东莞·模拟预测）刘徽在《九章算术注》中有“今两算得失相反，要令正负以名之．”可翻译为“今有两数若 其意义相反，则分别叫做正数和负数．”如果气温为“零上”记作，那么气温为“零下”应表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：零上温度记作“”，零下温度记作“”，由此求解． 【详解】解：气温为“零上”记作，那么气温为“零下”应表示为， 故选：C． 4．（2024·湖南长沙·模拟预测）《九章算术》记载的余和不足等概念体现了中国是最早采用正负数表示相反意义量的国家，若收入10元记作元，则支出136元记作（    ） A．元 B．元 C．0元 D．元 【答案】B 【分析】此题考查了正数与负数．根据正数和负数表示相反意义的量，收入记为正，可得支出的表示方法． 【详解】解：收入10元记作元，则支出136元应记作元， 故选：B． 2——借助数学文化考查无理数的概念 （2024·广东深圳·二模）公元前500年，古希腊毕达哥拉斯学派的希伯索斯发现了边长为1的正方形的对角线长不能用有理数表示，为了纪念他，人们把这些数取名为无理数．下列各数中，属于无理数的是（　　） A． B． C． D． 1.（2024·广东深圳·模拟预测）在《九章算术》一书中，对开方开不尽的数起了一个名字，叫做“面”，这是中国传统数学对无理数的最早记载下面符合“面”的描述的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】无理数 【分析】本题考查了无理数的判断，熟悉理解无理数的概念是解题的关键． 根据无理数的概念逐一判断即可． 【详解】解：4，，，均为有理数，故B，C，D不符合；为无理数，故A符合； 故选：A． 2．（2024·广东肇庆·一模）在古代，一个国家所算的圆周率的精确程度，可以作为衡量这个国家当时数学与科技发展的水平的主要标志，我国南北朝时期的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第七位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年，以下对圆周率的四个表述：①圆周率是一个有理数；②圆周率是一个无理数；③圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比；④圆周率是一个与圆大小有关的常数，它等于该圆的周长与半径的比；其中正确的是（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】B 【知识点】无理数 【分析】本题主要考查了对圆周率的理解，圆周率的含义：圆的周长和它直径的比值，叫做圆周率，用字母表示，是一个无限不循环小数；据此进行分析解答即可． 【详解】解：①圆周率是一个无理数，原说法错误； ②圆周率是一个无理数，原说法正确； ③圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比，原说法正确； ④圆周率是一个与圆大小有关的常数，它等于该圆的周长与半径的比，原说法错误； 故选：B． 3．（2023·山西大同·模拟预测）公元前世纪古希腊的毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，意思是一切量都可以用整数或整数的比分数表示后来，这一学派的希帕索斯发现，边长为的正方形的对角线的长度不能用整数或整数的比表示，由此引发了第一次数学危机这里“不能用整数或整数的比表示的数”是指（   ） A．质数 B．负数 C．无理数 D．有理数 【答案】C 【知识点】无理数 【分析】根据无理数的概念求解即可． 【详解】解：不能用整数或整数的比表示的数”是指无理数． 故选：C． 3——借助数学文化考查无理数的大小估计 （2024·福建厦门·二模）我国清代数学家戴煦在《对数简法》中给出了求正数的算术平方根的公式：设被开方数为x，常数a（a为整数）和r满足，，则，用该公式求87的算术平方根，则公式中的 ， ． 【答案】 10 13 【知识点】估计算术平方根的取值范围 【分析】本题考查了无理数的估算．估算得出常数a的值，再代入计算即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：10，13． 1．（2024·云南楚雄·三模）自然常数e，圆周率π和黄金分割数φ一起被称为“三大数学常数”．自然常数e作为自然对数的底数，它满足，则自然常数e的值(所有近似值保留到小数点后一位)在（    ） A．之间 B．之间 C．之间 D．之间 【答案】B 【知识点】无理数的大小估算、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查无理数的估算，求一个数的算术平方根，根据代入运算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．（2024吉林长春·模拟）《九章算术》中指出“若开之不尽者为不可开，当以面命之”，作者给这种开方开不尽的数起了一个专门的名词“面”．例如面积为8的正方形的边长称为8“面”，关于29“面”的值说法正确的是（    ） A．是4和5之间的实数 B．是5和6之间的实数 C．是6和7之间的实数 D．是7和8之间的实数 3．（2024·山东淄博·二模）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，那么面积．若某个三角形的三边长分别为2，3，3，其面积S介于整数和n之间，则n的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】无理数整数部分的有关计算、算术平方根的实际应用 【分析】本题主要考查了算术平方根的含义以及无理数的估算．首先计算三角形的面积为，再估算的范围可得，从而可得答案． 【详解】解：根据题意，三角形的三边长分别为2，3，3， 所以其面积 ， ∵， ∴， ∴， ∴的值为3． 故选：B． 4（2024·云南红河·一模）黄金分割被公认为“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，其比值为，通常人们也把这个数叫做黄金分割数．请估计它的分子的值（    ） A．在0和1之间 B．在1和2之间 C．在2和3之间 D．在3和4之间 【答案】B 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查了估算无理数的大小，是解题关键．根据算术平方根运算得出，可得答案． 【详解】解：， ， ， ， 故选：B． 5．（2023·安徽·模拟预测）大约公元前500年，毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯斯发现了无理数．事实上，我国古代发现并阐述无理数的概念比西方更早，但是没有系统的理论．《九章算术》开方术中指出了存在有开不尽的情形“若开方不尽者，为不可开”．《九章算术》的作者们给这种“不尽根数”起了一个专门名词“面”，“面”就是无理数，无理数里最具有代表性的数就是，与数据最接近的整数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查的是无理数的估算，理解算术平方根的概念正确估算是解题关键． 根据进行估算求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴数据最接近的整数是2， 故选：B． 3——借助数学文化考查实数的大小比较 （2024·安徽·中考真题）我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小： （填“>”或“<”）． 1．（2024·吉林·二模）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”的美誉，函数称为取整函数，也称高斯函数，即表示不超过的最大整数，例如，则 ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、新定义下的实数运算、无理数的大小估算 【分析】本题考查无理数的估算，先估算出的范围，即可求解． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴即， ∴ 故答案为：． 2.（2024·云南红河·一模）黄金分割被公认为“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，其比值为，通常人们也把这个数叫做黄金分割数．请估计它的分子的值（    ） A．在0和1之间 B．在1和2之间 C．在2和3之间 D．在3和4之间 【答案】B 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查了估算无理数的大小，是解题关键．根据算术平方根运算得出，可得答案． 【详解】解：， ， ， ， 故选：B． 5——借助数学文化考查平方根、算术平方根、立方根 （2024·云南昆明·三模）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，记，那么面积．若某个三角形的三边长分别为，其面积介于整数和之间，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平方根、算术平方根、二次根式的应用、无理数的大小估算 【分析】本题主要考查了算术平方根的含义以及无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解本题的关键． 首先计算三角形的面积为，再估算的范围可得，从而可得答案． 【详解】解：根据题意，三角形的三边长分别为， 则， 所以其面积， 的值为． 故选：A． 1．（2024·山东淄博·二模）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，那么面积．若某个三角形的三边长分别为2，3，3，其面积S介于整数和n之间，则n的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】无理数整数部分的有关计算、算术平方根的实际应用 【分析】本题主要考查了算术平方根的含义以及无理数的估算．首先计算三角形的面积为，再估算的范围可得，从而可得答案． 【详解】解：根据题意，三角形的三边长分别为2，3，3， 所以其面积 ， ∵， ∴， ∴， ∴的值为3． 故选：B． 2．（2024·安徽滁州·一模）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，，，记，那么面积．若某个三角形的三边长分别为2，3，3，其面积介于整数和之间，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】无理数的大小估算、算术平方根的实际应用 【分析】本题主要考查了算术平方根的含义以及无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解本题的关键．首先计算三角形的面积为，再估算的范围可得，从而可得答案． 【详解】解：根据题意，三角形的三边长分别为2，3，3， 则， 所以其面积， ∵， ∴， ∴， ∴的值为3． 故选：B． 3．（2023·湖北宜昌·模拟预测）月日是国际数学日，当天李强和张明想玩个数学游戏：“在等号的左边添加适当的运算符号，使等式成立”，下列选项错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】负整数指数幂、零指数幂、实数的混合运算 【分析】分别计算每一个选项式子的值，逐一判断即可解答． 【详解】解：、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D符合题意； 故选：D． 4．（2024·陕西咸阳·模拟预测）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，顾名思义，是由七块板组成的．把一副七巧板按如图所示进行①~⑦编号，由这幅七巧板拼成的“蝴蝶”的面积是16，那么标号为①的正方形板块面积为 ． 【答案】2 【知识点】根据正方形的性质求面积、用勾股定理解三角形、用七巧板拼图形、算术平方根的实际应用 【分析】本题考查七巧板，根据“蝴蝶”的面积是16，得到大正方形的面积为，得到大正方形的边长为4，标号为①的正方形的边长为，进行求解即可． 【详解】解：∵“蝴蝶”的面积是16， ∴大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为4， ∴标号为②的等腰直角三角形的腰为， ∴标号为①的正方形的边长为， ∴标号为①的正方形板块面积为； 故答案为：2． 5．（2024·陕西宝鸡·二模）如图是“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若大正方形的面积是25，直角三角形的长直角边是4，则小正方形（即图中阴影部分）的面积是 ． 【答案】1 【知识点】求一个数的算术平方根、用勾股定理解三角形、以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据题意和题目中的数据，可以计算出小正方形的边长，即可得到小正方形的面积． 【详解】解：由题意可得：大正方形的边长为， ∵直角三角形的长直角边为4， ∴直角三角形的短直角边为， ∴小正方形的边长为， 小正方形的面积为， 故答案为：1． 6．（2024·湖北黄冈·模拟预测）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律．       1    …………     1   1    …………   1   2   1     1   3   3   1     当代数式的值为8时，则的值为 ． 【答案】5 【知识点】求一个数的立方根、多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律性问题，立方根的定义等知识，灵活的应用规律解题是关键．由规律可得：，令，，可得，再解方程即可． 【详解】解：由规律可得：， 令，，， ∴， ∵x的值为8 ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 7.（2023·陕西咸阳·二模）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，根据如图的程序进行计算，当输入的值为64时，输出的值是 ． 【答案】 【知识点】程序设计与实数运算、无理数、求一个数的算术平方根 【分析】根据程序框图进行运算求解即可． 【详解】解：由题意知，，取算术平方根为， 8是有理数，取立方根， 2是有理数，取算术平方根， 是无理数，输出， 故答案为：． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$