专题08 图形的变换-【数学文化】中考数学考点与数学文化的融合（全国通用）

专题08 数学文化背景下的中考数学之图形变换 背景1：关于《九章算术》：中国古代的数学专著，成书于公元一世纪,作者不详，西汉早期丞相张苍、耿寿昌等增补删订，三国曹魏时期刘徽注释，唐初李淳风注。全书分方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股等九个章节。“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数及其加减运算法则，并给出名为“正负术”的算法. 背景2：关于赵爽弦图：最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。 背景3：关于《九章算术》：中国古代的数学专著，成书于公元一世纪,作者不详，西汉早期丞相张苍、耿寿昌等增补删订，三国曹魏时期刘徽注释，唐初李淳风注。全书分方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股等九个章节。“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数及其加减运算法则，并给出名为“正负术”的算法. 魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的计数工具）分别表示正数和负数（红色为正，黑色为负）。 《九章算术》中关于“开方”还指出“若开之不尽者为不可开，当以面命之”，作者给这种开方开不尽的数起了一个专门的名词“面”． 《九章算术注》是由魏晋时期数学家刘徽所创作的。刘徽（约公元225年—295年），魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，他的杰作主要有《九章算术注》和《海岛算经》。 背景4：关于《周髀算经》：《周髀算经》原名《周髀》，算经的十书之一，是古老的天文学和数学著作，主要阐明当时的盖天说和四分历法。唐初规定它为国子监明算科的教材之一，故改名《周髀算经》。《周髀算经》证明了勾股定理。《周髀算经》采用最简便可行的方法确定天文历法，揭示日月星辰的运行规律，囊括四季更替，气候变化，包含南北有极，昼夜相推的道理。给后来者生活作息提供有力的保障，自此以后历代数学家无不以《周髀算经》为参考，在此基础上不断创新和发展。 背景5：关于《周易》：《周易》包括《易经》和《易传》，与《连山》《归藏》并为“三易”。 考点1：平移变换 1. 平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小． 名师指点 （1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换； （2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移的依据； （3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据． 2．平移的性质： （1）平移前后的图形中，对应点的连线平行（或共线）且相等，对应角相等； （2）平移前后的图形全等。 考点2：轴对称变换 1．轴对称与轴对称图形 　轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也叫做这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的对应点，叫做对称点. 　轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形. 2．轴对称变换的性质： 　　（1）关于直线对称的两个图形是全等图形； 　　（2）如果两个图形关于某直线对称，对称轴是对应点连线的垂直平分线； 　　（3）两个图形关于某直线对称，如果它们对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上； 　　（4）如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称. 3．轴对称作图步骤 　　（1）找出已知图形的关键点，过关键点作对称轴的垂线，并延长至2倍，得到各点的对称点． 　　（2）按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形. ４．翻折变换：图形翻折问题是近年来中考的一个热点，其实质是轴对称问题，折叠重合部分必全等，折痕所在直线就是这两个全等形的对称轴，互相重合的两点（对称点）连线必被折痕垂直平分. 名师指点 翻折的规律是，折叠部分的图形，折叠前后，关于折痕成轴对称，两图形全等，折叠图形中有相似三角形，常用勾股定理. 考点3：旋转变换 1．旋转概念：把一个图形绕着某一点转动一个角度的图形变换叫做旋转.点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角. ２．旋转变换的性质 　　图形通过旋转，图形中每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等，旋转过程中，图形的形状、大小都没有发生变化. ３．旋转作图步骤 　　(1)分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角. 　　(2)分析所作图形，找出构成图形的关键点. 　　(3)沿一定的方向，按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图形中各关键点的对应点. 　　(4)按原图形连结方式顺次连结各对应点. 名师指点 · 图形变换与图案设计的基本步骤 ①确定图案的设计主题及要求； ②分析设计图案所给定的基本图案； ③利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换，实现由基本图案到各部分图案的有机组合； ④对图案进行修饰，完成图案. · 平移、旋转和轴对称之间的联系 　　一个图形沿两条平行直线翻折（轴对称）两次相当于一次平移，沿不平行的两条直线翻折两次相当于一次旋转，其旋转角等于两直线交角的2倍. 考点4：比例的相关概念及性质 1．线段的比：两条线段的比是两条线段的长度之比． 2．比例中项：如果=，即b2=ac，我们就把b叫做a，c的比例中项． 3．比例的基本性质：=⇔ad=bc（a，b，c，d≠0） 考点5：黄金分割 黄金分割定义：如果点C把线段AB分成两条线段，使，那么点C叫做线段AC的黄金分割点，AC是BC与AB的比例中项，AC与AB的比叫做黄金比． 考点6：相似三角形的概念、性质及判定方法 1．定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比． 2．性质： （1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例； （2）相似三角形的对应线段（高、中线、角平分线）成比例； （3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 3．判定方法： （1）有两角对应相等，两三角形相似； （2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； （3）三边对应成比例，两三角形相似； （4）平行线分线段成比例推论． 考点7：相似多边形的概念及性质 1．定义：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的相似比． 2．性质： （1）相似多边形的对应边成比例； （2）相似多边形的对应角相等； （3）相似多边形周长的比等于相似比，相似多边形面积的比等于相似比的平方． 考点8：位似图形的概念及性质 1．定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比． 2．性质： （1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k； （2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或相似比． 3．位似图形作图的步骤： （1）确定位似中心； （2）确定原图形的关键点； （3）确定位似比，即要将图形放大或缩小的倍数； （4）作出原图形中各关键点的对应点； （5）按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点． 考点9：投影的概念及作用 1.平行投影：在平行光的照射下，物体所产生的影成为平行投影。平行投影下：物高与影长成比例。 2.中心投影：在点光源的照射下,物体所产生的影称为中心投影。 3.平行投影、中心投影的作用：可以借助两种投影结合相似三角形的知识求物体的高度或者距离。 1——借助数学文化考查轴对称图形、中心对称图形识别 （2024·四川自贡·中考真题）我国汉代数学家赵爽在他所著《勾股圆方图注》中，运用弦图（如图所示）巧妙地证明了勾股定理．“赵爽弦图”曾作为2002年第24届国际数学家大会的会徽图案．下列关于“赵爽弦图”说法正确的是（    ） A．是轴对称图形 B．是中心对称图形 C．既是轴对称图形又是中心对称图形 D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形 【答案】B 【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别 【分析】本题考查了轴对称图形的定义、中心对称图形的定义；平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这个图形就叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，即可作答． 【详解】 解：是中心对称图形，但不是轴对称图形 故选：B 1.（2023·贵州六盘水·二模）我国古代典籍《周易》中的“八卦”思想对我国建筑有一定的影响．如图是受“八卦”的启示，创作的正八边形窗户平面图，则对该图的对称性表述正确的是（    ） A．只是轴对称图形 B．只是中心对称图形 C．既是轴对称图形，又是中心对称图形 D．既不是轴对称图形，又不是中心对称图形 【答案】C 【知识点】中心对称图形的识别、轴对称图形的识别 【分析】直接利用中心对称和轴对称图形的定义得到答案． 【详解】创作的正八边形窗户平面图，是轴对称图形，也只中心对称图形， 故选C． 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）我国古代典籍《周易》用“卦”描述世间万象的变化．下图为部分“卦”的符号，其中是中心对称图形的是（    ） A．  B．   C．   D．   【答案】B 【知识点】中心对称图形的识别 【分析】本题考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；根据中心对称图形的定义解答即可． 【详解】解：A.该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B.该图形是中心对称图形，故本选项符合题意； C.该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D.该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意， 故选：B． 3．（2024·山西朔州·模拟预测）我国古代数学的许多创新与发明都在世界上具有重要影响，下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（    ） A．刘徽的割圆术 B．中国七巧板 C．杨辉三角 D．赵爽弦图 【答案】D 【知识点】中心对称图形的识别 【分析】本题考查了中心对称图形的定义；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，故该选项是错误的； B、该图形不是中心对称图形，故该选项是错误的； C、该图形不是中心对称图形，故该选项是错误的； D、该图形是中心对称图形，故该选项是正确的； 故选：D 4．（2024·山东德州·二模）我国古代数学的许多创新和发展都曾位居世界前列，如杨辉三角、赵爽弦图、刘徽的割圆术、李冶天元术图就是其中四例．在这四个图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（     ） A．  B．   C．   D．   【答案】B 【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别 【分析】本题考查中心对称图形与轴对称图形，熟练掌握中心对称图形与轴对称图形的定义是解决问题的关键．中心对称图形定义：把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；轴对称图形定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，根据定义逐项判断即可得出结论． 【详解】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故选项不符合题意； B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故选项符合题意； C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故选项不符合题意； D、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故选项不符合题意； 故选：B． 5．（2023·湖北宜昌·中考真题）我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（    ）． A．   B．   C．   D．   【答案】D 【知识点】中心对称图形的识别 【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．不是中心对称图形，故此选项不合题意； C. 不是中心对称图形，故此选项不合题意； D. 是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 2——借助数学文化考查利用相似变换求解 （2024·湖北武汉·模拟预测）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为20，现用一个半径为的圆形纸片将阴影部分完全覆盖，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】以弦图为背景的计算题、90度的圆周角所对的弦是直径、由平行判断成比例的线段、四点共圆 【分析】延长交于点M，连接，求出，，得出，，证明C、D、E、M四点共圆，且此圆正好将阴影部分完全覆盖，半径r最小，根据，得出，求出，根据勾股定理得出，即可求出结果． 【详解】解：延长交于点M，连接，如图所示： ∵大正方形的面积为20， ∴正方形的边长为， ∵直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，， ∴， 即， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，负值舍去， ∴， ∴，， ∵， ∴C、D、E、M四点共圆，且此圆正好将阴影部分完全覆盖，半径r最小， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为直径， ∴， 故选：B． 1．（2024·江苏镇江·二模）我国古代数学专著《九章算术》中记载了这样一个问题：今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？其大意为：如图，今有，其勾（）长为5步，股（）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形的边长是（    ） A．步 B．步 C．步 D．步 【答案】D 【知识点】根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，证明根据题意列出方程，即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为步， ∵四边形是正方形， ∴，， 设，则， ∵ ∴ ∴ ∴， ∴； 故选D 2．（2024·河北唐山·二模）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，，，则树高为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 由，推出，利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：, ， ， ． 故选：C． 3．（2024·江苏南通·二模）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的），“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，E在同一水平线上，，与相交于点D．测得，，，则树高是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查相似三角形判定与性质的应用，证明，可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，即， ∴， 故选：B． 4．（2024·江苏徐州·一模）如图1，“矩”在古代指两条边成直角的曲尺，它的两边长分别为，．中国古老的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能，如“偃矩以望高”的意思就是把“矩”仰立放可测物体的高度如图2，从“矩”的一端望向树顶端的点．使视线通过“矩”的另一端，测得， ．若“矩”的边 ．，边，则树高为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由已知易证明，得到，代入已知数据即可求解，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 故选：B． 5．（2024·吉林四平·一模）我国古代数学著作《九章算术》中有一道几何问题，其译文为：今有小城，东西7里，南北9里，各方中央开有城门．出东门15里有树．问出南门多少里见到树？如图，设AH为x里，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查相似三角形的实际应用．根据题意证明出是解答本题的关键．由题意易证，即得出结论，即，从而得解． 【详解】解：如图，由题意得，里，里，里， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即 故选：B 6．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点．    (1)【观察感知】如图2，通过观察，线段与的数量关系是______； (2)【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点，若，，求的面积； (3)【类比迁移】在(2)的条件下，连接交于点，则______； (4)【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线上找点，使，请直接写出线段的长度． 【答案】(1) (2)10 (3) (4)或 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，进而证明，即可求解； （2）根据（1）的方法证明，进而证明，求得，则，然后根据三角形的面积公式，即可求解． （3）过点作于点，证明得出，证明，设，则，代入比例式，得出，进而即可求解； （4）当在点的左侧时，过点作于点，当在点的右侧时，过点作交的延长线于点，分别解直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点．   ， ， ， ， ， 又且 ， ； （2）解：， ， ， ， ， 又且， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图所示，过点作于点，    ∵， ∴ ∴， 即，即， 又∵ ∴ ∴， 设，则， 解得： ∴； （4）解：如图所示，当在点的左侧时，过点作于点    ∵ ∴，设，则， 又∵， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴， 解得： 在中， ∴ ∴ 如图所示，当在点的右侧时，过点作交的延长线于点，    ∵ ∴ ∵ ∴ 设，则，， ∵， ∴ 解得： ∴ ∴ 综上所述，或． 7．（2024·山东德州·一模）综合与实践 【阅读经典】2002年国际数学家大会在北京召开，如图①，大会的会徽是我国古代数学家赵爽画的“弦图”，体现了数学研究中的继承和发展． “弦图”在三国时期被赵爽发明，是证明______的几何方法（填序号）． ①勾股定理　②完全平方公式　③平方差公式 【动手操作】 如图②，某数学兴趣小组发现，用四个大小、形状完全相同的直角三角形就可以拼接得到一个“赵爽弦图”．组员小明自制了四个大小形状一样，且两直角边的边长分别为5和12的三角板拼成了一个“赵爽弦图”，则中间四边形的面积为______； 【问题探究】 兴趣小组组员小红发现，通过旋转某个三角形得到一些美妙的结论：如图③，为正方形内一点，满足，将绕点顺时针旋转，得到． （1）连接，若点为的中点，则四边形为______（填形状）； 【问题解决】 （2）若的延长线交于点，连接，点分别为的中点，请仅就图④的情形解决下列问题： ①请判断和的数量关系，并说明理由； ②若，求的长． 【答案】阅读经典：①；动手操作：49；问题探究：（1）正方形；（2）①，②的长为3或4 【知识点】以弦图为背景的计算题、根据正方形的性质与判定证明、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】阅读经典：根据“赵爽弦图”是证明勾股定理的方法，直接得出答案； 动手操作：先根据正方形的边长为直角三角形较长直角边与较短直角边的差求得正方形边长为7，再运用正方形面积公式即可求得答案； 问题探究：（1）先证得、均为等腰直角三角形，再结合旋转的性质可证得四边形是矩形，由，即可证得四边形是正方形． （2）①连接，，延长、交于点，设交于，由正方形性质可得：，，，进而可得，再利用直角三角形性质即可得出； ②分两种情况：当点在上方时，当点在下方时，设，利用勾股定理建立方程求解即可得出答案． 【详解】阅读经典：“赵爽弦图”是证明勾股定理的方法， 故答案为：①． 动手操作：正方形的边长， ， 故答案为：49． 问题探究：（1）如图，点为正方形对角线的中点， 、均为等腰直角三角形， ，，， 由旋转得：，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形． 故答案为：正方形． （2）①， 是直角三角形，， 由旋转得：，，， 四边形是正方形， ， 连接，，延长、交于点，设交于，如图， 四边形和是正方形， ，，， ， 即， ， ， ， ，， 点，分别为，的中点， ，， ； ②当点在上方时，如图， 设，则， ，， ，， 在中，， ， 解得：（舍去）或， ； 当点在下方时，如图， 设，则， ，， ，， 在中，， ， 解得：（舍去）或， ； 综上所述，的长为3或4． 8．（2024·广东珠海·一模）【背景阅读】我国古代著名数学著作《周髀算经》记载了“勾三、股四、弦五”，直观地证明了勾股定理，我们把三边的比为的三角形称为型三角形，例如：三边长分别为9，12，15的三角形就是型三角形． 【实践操作】如图1，在正方形纸片中，，点E为边上的中点，将沿折叠得，延长交于点G，交的延长线于点H． 【问题解决】（1）证明是型三角形； （2）在不添加字母的情况下，直接写出图1中还有哪些三角形是型三角形； 【拓展探究】（3）如图2，在矩形纸片中，，，E是上的一点，将沿折叠得到，延长交于点G．其中是型三角形，请求出的面积． 【答案】（1）见解析；（2），是型三角形；（3）或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）先证明，然后在中，利用勾股定理可求出，，证明可求出，利用勾股定理求出，即可得证； （2）由可得，即可判断是型三角形，由（1）中所求各边可知是型三角形； 【详解】解：（1）∵在正方形纸片中，， ∴，，， ∵点E为边上的中点， ∴， ∵翻折， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴是型三角形； （2）∵， ∴， ∴是型三角形， ∵，，， ∴ ∴是型三角形， ∴图中还有，是型三角形； （3）∵翻折， ∴，，， ∵是型三角形， ∴或， 当时， 设，则，， ∴，， ∵， ∴， 解得，舍去）， ∴，， ∴； 当时， 设，则，， ∴，， ∵， ∴， 解得，（舍去）， ∴，， ∴； 综上，的面积或． 2 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 数学文化背景下的中考数学之图形变换 背景1：关于《九章算术》：中国古代的数学专著，成书于公元一世纪,作者不详，西汉早期丞相张苍、耿寿昌等增补删订，三国曹魏时期刘徽注释，唐初李淳风注。全书分方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股等九个章节。“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数及其加减运算法则，并给出名为“正负术”的算法. 背景2：关于赵爽弦图：最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。 背景3：关于《九章算术》：中国古代的数学专著，成书于公元一世纪,作者不详，西汉早期丞相张苍、耿寿昌等增补删订，三国曹魏时期刘徽注释，唐初李淳风注。全书分方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股等九个章节。“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数及其加减运算法则，并给出名为“正负术”的算法. 魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的计数工具）分别表示正数和负数（红色为正，黑色为负）。 《九章算术》中关于“开方”还指出“若开之不尽者为不可开，当以面命之”，作者给这种开方开不尽的数起了一个专门的名词“面”． 《九章算术注》是由魏晋时期数学家刘徽所创作的。刘徽（约公元225年—295年），魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，他的杰作主要有《九章算术注》和《海岛算经》。 背景4：关于《周髀算经》：《周髀算经》原名《周髀》，算经的十书之一，是古老的天文学和数学著作，主要阐明当时的盖天说和四分历法。唐初规定它为国子监明算科的教材之一，故改名《周髀算经》。《周髀算经》证明了勾股定理。《周髀算经》采用最简便可行的方法确定天文历法，揭示日月星辰的运行规律，囊括四季更替，气候变化，包含南北有极，昼夜相推的道理。给后来者生活作息提供有力的保障，自此以后历代数学家无不以《周髀算经》为参考，在此基础上不断创新和发展。 背景5：关于《周易》：《周易》包括《易经》和《易传》，与《连山》《归藏》并为“三易”。 考点1：平移变换 1. 平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小． 名师指点 （1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换； （2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移的依据； （3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据． 2．平移的性质： （1）平移前后的图形中，对应点的连线平行（或共线）且相等，对应角相等； （2）平移前后的图形全等。 考点2：轴对称变换 1．轴对称与轴对称图形 　轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也叫做这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的对应点，叫做对称点. 　轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形. 2．轴对称变换的性质： 　　（1）关于直线对称的两个图形是全等图形； 　　（2）如果两个图形关于某直线对称，对称轴是对应点连线的垂直平分线； 　　（3）两个图形关于某直线对称，如果它们对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上； 　　（4）如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称. 3．轴对称作图步骤 　　（1）找出已知图形的关键点，过关键点作对称轴的垂线，并延长至2倍，得到各点的对称点． 　　（2）按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形. ４．翻折变换：图形翻折问题是近年来中考的一个热点，其实质是轴对称问题，折叠重合部分必全等，折痕所在直线就是这两个全等形的对称轴，互相重合的两点（对称点）连线必被折痕垂直平分. 名师指点 翻折的规律是，折叠部分的图形，折叠前后，关于折痕成轴对称，两图形全等，折叠图形中有相似三角形，常用勾股定理. 考点3：旋转变换 1．旋转概念：把一个图形绕着某一点转动一个角度的图形变换叫做旋转.点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角. ２．旋转变换的性质 　　图形通过旋转，图形中每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等，旋转过程中，图形的形状、大小都没有发生变化. ３．旋转作图步骤 　　(1)分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角. 　　(2)分析所作图形，找出构成图形的关键点. 　　(3)沿一定的方向，按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图形中各关键点的对应点. 　　(4)按原图形连结方式顺次连结各对应点. 名师指点 · 图形变换与图案设计的基本步骤 ①确定图案的设计主题及要求； ②分析设计图案所给定的基本图案； ③利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换，实现由基本图案到各部分图案的有机组合； ④对图案进行修饰，完成图案. · 平移、旋转和轴对称之间的联系 　　一个图形沿两条平行直线翻折（轴对称）两次相当于一次平移，沿不平行的两条直线翻折两次相当于一次旋转，其旋转角等于两直线交角的2倍. 考点4：比例的相关概念及性质 1．线段的比：两条线段的比是两条线段的长度之比． 2．比例中项：如果=，即b2=ac，我们就把b叫做a，c的比例中项． 3．比例的基本性质：=⇔ad=bc（a，b，c，d≠0） 考点5：黄金分割 黄金分割定义：如果点C把线段AB分成两条线段，使，那么点C叫做线段AC的黄金分割点，AC是BC与AB的比例中项，AC与AB的比叫做黄金比． 考点6：相似三角形的概念、性质及判定方法 1．定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比． 2．性质： （1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例； （2）相似三角形的对应线段（高、中线、角平分线）成比例； （3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 3．判定方法： （1）有两角对应相等，两三角形相似； （2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； （3）三边对应成比例，两三角形相似； （4）平行线分线段成比例推论． 考点7：相似多边形的概念及性质 1．定义：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的相似比． 2．性质： （1）相似多边形的对应边成比例； （2）相似多边形的对应角相等； （3）相似多边形周长的比等于相似比，相似多边形面积的比等于相似比的平方． 考点8：位似图形的概念及性质 1．定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比． 2．性质： （1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k； （2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或相似比． 3．位似图形作图的步骤： （1）确定位似中心； （2）确定原图形的关键点； （3）确定位似比，即要将图形放大或缩小的倍数； （4）作出原图形中各关键点的对应点； （5）按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点． 考点9：投影的概念及作用 1.平行投影：在平行光的照射下，物体所产生的影成为平行投影。平行投影下：物高与影长成比例。 2.中心投影：在点光源的照射下,物体所产生的影称为中心投影。 3.平行投影、中心投影的作用：可以借助两种投影结合相似三角形的知识求物体的高度或者距离。 1——借助数学文化考查轴对称图形、中心对称图形识别 （2024·四川自贡·中考真题）我国汉代数学家赵爽在他所著《勾股圆方图注》中，运用弦图（如图所示）巧妙地证明了勾股定理．“赵爽弦图”曾作为2002年第24届国际数学家大会的会徽图案．下列关于“赵爽弦图”说法正确的是（    ） A．是轴对称图形 B．是中心对称图形 C．既是轴对称图形又是中心对称图形 D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形 1.（2023·贵州六盘水·二模）我国古代典籍《周易》中的“八卦”思想对我国建筑有一定的影响．如图是受“八卦”的启示，创作的正八边形窗户平面图，则对该图的对称性表述正确的是（    ） A．只是轴对称图形 B．只是中心对称图形 C．既是轴对称图形，又是中心对称图形 D．既不是轴对称图形，又不是中心对称图形 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）我国古代典籍《周易》用“卦”描述世间万象的变化．下图为部分“卦”的符号，其中是中心对称图形的是（    ） A．  B．   C．   D．   3．（2024·山西朔州·模拟预测）我国古代数学的许多创新与发明都在世界上具有重要影响，下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（    ） A．刘徽的割圆术 B．中国七巧板 C．杨辉三角 D．赵爽弦图 4．（2024·山东德州·二模）我国古代数学的许多创新和发展都曾位居世界前列，如杨辉三角、赵爽弦图、刘徽的割圆术、李冶天元术图就是其中四例．在这四个图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（     ） A．  B．   C．   D．   5．（2023·湖北宜昌·中考真题）我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（    ）． A．   B．   C．   D．   2——借助数学文化考查利用相似变换求解 （2024·湖北武汉·模拟预测）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为20，现用一个半径为的圆形纸片将阴影部分完全覆盖，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 1．（2024·江苏镇江·二模）我国古代数学专著《九章算术》中记载了这样一个问题：今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？其大意为：如图，今有，其勾（）长为5步，股（）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形的边长是（    ） A．步 B．步 C．步 D．步 2．（2024·河北唐山·二模）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，，，则树高为（     ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏南通·二模）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的），“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，E在同一水平线上，，与相交于点D．测得，，，则树高是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·江苏徐州·一模）如图1，“矩”在古代指两条边成直角的曲尺，它的两边长分别为，．中国古老的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能，如“偃矩以望高”的意思就是把“矩”仰立放可测物体的高度如图2，从“矩”的一端望向树顶端的点．使视线通过“矩”的另一端，测得， ．若“矩”的边 ．，边，则树高为(    ) A． B． C． D． 5．（2024·吉林四平·一模）我国古代数学著作《九章算术》中有一道几何问题，其译文为：今有小城，东西7里，南北9里，各方中央开有城门．出东门15里有树．问出南门多少里见到树？如图，设AH为x里，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点．    (1)【观察感知】如图2，通过观察，线段与的数量关系是______； (2)【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点，若，，求的面积； (3)【类比迁移】在(2)的条件下，连接交于点，则______； (4)【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线上找点，使，请直接写出线段的长度． 7．（2024·山东德州·一模）综合与实践 【阅读经典】2002年国际数学家大会在北京召开，如图①，大会的会徽是我国古代数学家赵爽画的“弦图”，体现了数学研究中的继承和发展． “弦图”在三国时期被赵爽发明，是证明______的几何方法（填序号）． ①勾股定理　②完全平方公式　③平方差公式 【动手操作】 如图②，某数学兴趣小组发现，用四个大小、形状完全相同的直角三角形就可以拼接得到一个“赵爽弦图”．组员小明自制了四个大小形状一样，且两直角边的边长分别为5和12的三角板拼成了一个“赵爽弦图”，则中间四边形的面积为______； 【问题探究】 兴趣小组组员小红发现，通过旋转某个三角形得到一些美妙的结论：如图③，为正方形内一点，满足，将绕点顺时针旋转，得到． （1）连接，若点为的中点，则四边形为______（填形状）； 【问题解决】 （2）若的延长线交于点，连接，点分别为的中点，请仅就图④的情形解决下列问题： ①请判断和的数量关系，并说明理由； ②若，求的长． 8．（2024·广东珠海·一模）【背景阅读】我国古代著名数学著作《周髀算经》记载了“勾三、股四、弦五”，直观地证明了勾股定理，我们把三边的比为的三角形称为型三角形，例如：三边长分别为9，12，15的三角形就是型三角形． 【实践操作】如图1，在正方形纸片中，，点E为边上的中点，将沿折叠得，延长交于点G，交的延长线于点H． 【问题解决】（1）证明是型三角形； （2）在不添加字母的情况下，直接写出图1中还有哪些三角形是型三角形； 【拓展探究】（3）如图2，在矩形纸片中，，，E是上的一点，将沿折叠得到，延长交于点G．其中是型三角形，请求出的面积． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$