专题07 圆-【数学文化】中考数学考点与数学文化的融合（全国通用）

专题07 数学文化背景下的中考数学之圆 背景1：关于《梦溪笔谈》：《梦溪笔谈》，北宋科学家、政治家沈括（1031年—1095年）撰，是一部涉及古代中国自然科学、工艺技术及社会历史现象的综合性笔记体著作。《梦溪笔谈》一共分30卷，其中《笔谈》26卷，《补笔谈》3卷，《续笔谈》1卷。内容涉及天文、数学、物理、化学、生物等各个门类学科，其价值非凡。《梦溪笔谈》是百科全书式的著作，尤以其科学技术价值闻名于世。英国科学史家李约瑟评价为“中国科学史上的里程碑”。《梦溪笔谈》具有世界性影响。 背景2：关于《九章算术》：中国古代的数学专著，成书于公元一世纪,作者不详，西汉早期丞相张苍、耿寿昌等增补删订，三国曹魏时期刘徽注释，唐初李淳风注。全书分方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股等九个章节。“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数及其加减运算法则，并给出名为“正负术”的算法. 背景3：关于徐光启与《农政全书》：《农政全书》是明代徐光启创作的农书。《农政全书》成书于明朝万历年间，基本上囊括了中国明代农业生产和人民生活的各个方面，而其中又贯穿着一个基本思想，即徐光启的治国治民的“农政”思想。《农政全书》是“中国古代五大农书”之一，集前人农业科学之大成，总结了清代之前的农业科学技术。 背景4：关于“司南”：指南针，古代叫司南，主要组成部分是一根装在轴上的磁针，磁针在天然地磁场的作用下可以自由转动并保持在磁子午线的切线方向上，磁针的南极指向地理南极(磁场北极)，利用这一性能可以辨别方向。常用于航海、大地测量、旅行及军事等方面。物理上指示方向的指南针的发明有三类部件，分别是司南、罗盘和磁针，均属于中国的发明。 背景5：关于《几何原本》：《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部数学著作，成书于公元前300年左右。 背景6：关于日晷：日晷，本义是指太阳的影子。现代的“日晷”指的是人类古代利用日影测得时刻的一种计时仪器，又称“日规”。其原理就是利用太阳的投影方向来测定并划分时刻，通常由晷针和晷面组成。利用日晷计时的方法是人类在天文计时领域的重大发明，这项发明被人类沿用达几千年之久。 背景7：关于《尔雅》：《尔雅》是辞书类文学作品，最早收录于《汉书·艺文志》。作品中收集了比较丰富的古中文字辞，是辞书之祖。 考点1：圆心角、弧、弦的关系 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 易错提醒：圆心角、弧和弦之间的关系必须在同圆或等圆中才成立． 考点2：圆周角定理及其推论 1.文字语言：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等． 图形语言： 符号语言： 简记为： 2．推论： （1）直径所对的圆周角是直角． 图形语言： 符号语言： （2）圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的外角等于内对角． 图形语言： 符号语言： 考点3：垂径定理 1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 方法点拨： 关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形． 2．垂径定理推论 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 考点4：点与圆的位置关系 设点到圆心的距离为d． (1)d<r⇔点在⊙O内； (2)d=r⇔点在⊙O上； (3)d>r⇔点在⊙O外． 考点5：直线和圆的位置关系 具体内容见下表 位置关系 相离 相切 相交 图形 公共点个数 0个 1个 2个 数量关系 d>r d=r d<r 由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况． 考点6：切线的性质与判定 1．切线的性质 （1）切线与圆只有一个公共点； （2）切线到圆心的距离等于圆的半径； （3）切线垂直于经过切点的半径． 方法点拨： 利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题． 2．切线的判定 （1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）． （2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线． （3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 图形语言： 符号语言： 方法点拨：切线判定常用的证明方法： 1 知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直； 2 不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径． 考点7：三角形与圆的关系 1．三角形的外接圆相关概念 经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形．外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等． 2．三角形的内切圆 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等． 考点8：正多边形与圆的关系 正多边形中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． 正多边形半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形半径． 正多边形中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形中心角． 正多边形边心距：正多边形中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 方法点拨： 有关正多边形的计算问题，通常都要构造以正多边形的半径、正多边形的边心距、正多边形的半个边围城的直角三角形借助勾股定理和三角函数来解决。 考点9：与圆有关的计算公式 1．弧长和扇形面积的计算：扇形的弧长=；扇形的面积==． 2．圆锥与侧面展开图 (1)圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长． (2)若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr， 圆锥的侧面积为S圆锥侧=．圆锥的表面积：S圆锥表=S圆锥侧+S圆锥底=πrl+πr2=πr(l+r)． 方法点拨： 在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解． 1——借助数学文化考查垂径定理 （2023·四川宜宾·中考真题）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以点O为圆心、为半径的圆弧，N是的中点，．“会圆术”给出的弧长的近似值计算公式：．当，时，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知正弦值求边长、利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质 【分析】连接,根据等边三角形的性质，垂径定理，勾股定理，特殊角的三角函数，后代入公式计算即可． 【详解】连接，根据题意，是以点O为圆心、为半径的圆弧，N是的中点，，    得， ∴点M，N，O三点共线， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 故选B． 1．（2024·云南昆明·模拟预测）《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用数学语言可表述为：“如图，为的直径，弦于E，寸，寸，求弦的长．”则弦的长为（    ） A．10寸 B．3寸 C．20寸 D．26寸 【答案】A 【知识点】利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形 【分析】连接，根据题意得,寸，寸，根据勾股定理得寸，即可求得答案，本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握两个定理是解题的关键． 【详解】连接，如图， ∵，寸，寸， ∴,寸， ∴寸， ∴寸， ∴寸， 故选A． 2．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以点O为圆心、为半径的圆弧，N是的中点，．“会圆术”给出的弧长l的近似值计算公式：．当，时，则l的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，连接，根据垂径定理得到，，结合勾股定理求解即可得到答案； 【详解】解：连接， ∵N是的中点，，，， ∴，，，，， ∵， ∴，，三点再同一直线， ∴， ∴， ∴， ， 故选：D． 3．（2024·江苏盐城·三模）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积．弧田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现已知弦米，半径等于5米的弧田，按上述公式计算出弧田的面积为 平方米． 【答案】10 【知识点】求弓形面积、利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形 【分析】由垂径定理知，再由勾股定理得到，求得，然后由弧田面积公式即可得出结果． 本题考查了勾股定理以及垂径定理的应用，熟练掌握垂径定理，勾股定理解直角三角形，新定义——弧田面积公式，是解答本题的关键． 【详解】由题意得：于点D， ∵， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， ∴弧田面积， ∴弧田的面积为10平方米． 故答案为：10． 4．（21-22九年级上·湖南长沙·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是 米． 【答案】 【知识点】利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形 【分析】连接交于，连接，根据垂径定理得到，根据勾股定理求出，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：连接交于，连接， 点为运行轨道的最低点， ， （米， 在中，（米， 点到弦所在直线的距离米， 故答案为：． 2——借助数学文化考查圆心角与圆周角 （2024·陕西宝鸡·三模）如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图2，筒车与水面分别交于点、，筒车上均匀分布着若干盛水筒，表示筒车的一个盛水筒，是的直径，连接、，点在的延长线上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、同弧或等弧所对的圆周角相等、利用邻补角互补求角度 【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，邻补角等知识．熟练掌握直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，邻补角是解题的关键． 如图2，连接，则，，由，可得，根据，求解作答即可． 【详解】解：如图2，连接，    ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 1．（2024·四川成都·模拟预测）我国古代直至世纪六七十年代，民间航海主要依靠海图指引航行，海图上有详尽数据，包括岛屿，灯塔，暗礁，水深等，船长结合灯塔的位置，通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图，表示灯塔，暗礁分布在经过两点的一个圆形区域内，是有触礁危险的临界点，就是“危险角”，船与暗礁在的同侧，若，，，当船位于安全区域时，它与两个灯塔的夹角的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数、圆周角定理、用勾股定理解三角形、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了勾股定理，三角函数，圆周角定理，三角形外角性质，过点作于，设与相交于点，连接，设，则，利用勾股定理可得，进而可得，得到，再根据三角形外角性质可得，据此即可求解，利用勾股定理和三角函数求出是解题的关键． 【详解】解：过点作于，设与相交于点，连接，则， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（2024·四川乐山·模拟预测）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸．欲为方版，令厚七寸，问广几何？”结合如图，其大意是：今有圆形材质，半径为寸，要做成方形板材，使其厚度达到寸．则长方形的长是 ． 【答案】寸 【知识点】圆周角定理、用勾股定理解三角形 【分析】此题主要考查了圆周角定理，勾股定理的应用，解答此题的关键是理解直径所对的圆周角是直角． 首先根据直径所对的圆周角是直角得，然后再中利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：依题意得：为的直径，   ， 在中，寸，寸， 由勾股定理得：． 的长为寸． 故答案为：寸． 3．（2024·河北保定·二模）司南是我国古代辨别方向用的一种仪器．其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖．如图，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点A～H），过点E作的切线与的延长线交于点M，连接． (1)相邻两个方位间所夹的圆心角的度数为______． (2)求的长． (3)求线段与的长，并比较大小． 【答案】(1) (2) (3)，的长为，的长 【知识点】圆周角定理、切线的性质定理、求弧长、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查圆的切线性质、圆周角定理、弧长公式、三角形的内角和定理、解直角三角形等知识，熟练掌握圆中相关性质是解答的关键． （1）根据八个方位将圆形八等分直接求解即可； （2）根据圆周角定理和三角形的内角和定理可求得，然后解直角三角形即可求解； （3）根据切线性质得到，再根据等腰直角三角形的判定与性质可求得；连接，根据圆周角定理得到，然后利用弧长公式求得的长，然后比较大小即可． 【详解】（1）解：∵八个方位将圆形八等分， ∴相邻两个方位间所夹的圆心角的度数为， 故答案为： ． （2）解：∵为的直径， ∴． 由题意知， ∴， ∴． （3）解：∵为的切线， ∴． 由（2）知， ∴． 如图，连接，则． ∵， ∴，则的长为． ∵， ∴的长． 3——借助数学文化考查直线与圆的位置关系 （2024·内蒙古通辽·模拟预测）阅读与思考 直线与圆的位置关系学完后，圆的切线的特殊性引起了小王的重视，下面是他的数学笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 欧几里得最早在《几何原本》中，把切线定义为和圆相交，但恰好只有一个交点的直线．切线：几何上，切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线．平面几何中，将和圆只有一个公共交点的直线叫做圆的切线… 证明切线的常用方法：定义法；距离法（运用圆心到直线的距离等于半径）；利用切线的判定定理来证明． 添加辅助线常见方法：见切点连圆心，没有切点作垂直． 图是古代的“石磨”，其原理是在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”然后带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．图2是一个“双连杆”，两个固定长度的“连杆”，的连接点在上，，垂足为，当点在上转动时，带动点，分别在射线，上滑动，当点恰好落在上时，，请判断此时与的位置关系并说明理由． 小王的解题思路如下：与相切． 理由：连接， ∵点恰好落在上， ∴，（依据） ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，（依据） ∴， ∴与相切． 任务： (1)依据：________________________________． 依据：________________________________． (2)在图中，的半径为，，求的长． 【答案】(1)同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；三角形内角和是 (2) 【知识点】圆周角定理、切线的性质定理、证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（）结合圆周角定理及三角形内角和定理求出 ，根据切线的判定定理即可得解； （）过点作于点，根据直角三角形的性质及角的和差求出，根据“两角对应相等的两个三角形相似”求出，根据相似三角形的性质求出，结合勾股定理及相似三角形的性质求出，， ，再根据勾股定理求解即可； 此题考查了相似三角形的判定与性质、切线的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质、切线的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：连接， ∵点恰好落在上， ∴，（同弧所对的圆周角等于圆心角的一半） ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，（三角形内角和是） ∴， ∴与相切． 故答案为：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，三角形内角和是； （2）解：如图，过点P作于点，    ∴， ∵与相切， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴ ∴， ∴，， ∴， ∴． 1．（2024·河北保定·二模）司南是我国古代辨别方向用的一种仪器．其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖．如图，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点A～H），过点E作的切线与的延长线交于点M，连接． (1)相邻两个方位间所夹的圆心角的度数为______． (2)求的长． (3)求线段与的长，并比较大小． 【答案】(1) (2) (3)，的长为，的长 【知识点】圆周角定理、切线的性质定理、求弧长、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查圆的切线性质、圆周角定理、弧长公式、三角形的内角和定理、解直角三角形等知识，熟练掌握圆中相关性质是解答的关键． （1）根据八个方位将圆形八等分直接求解即可； （2）根据圆周角定理和三角形的内角和定理可求得，然后解直角三角形即可求解； （3）根据切线性质得到，再根据等腰直角三角形的判定与性质可求得；连接，根据圆周角定理得到，然后利用弧长公式求得的长，然后比较大小即可． 【详解】（1）解：∵八个方位将圆形八等分， ∴相邻两个方位间所夹的圆心角的度数为， 故答案为： ． （2）解：∵为的直径， ∴． 由题意知， ∴， ∴． （3）解：∵为的切线， ∴． 由（2）知， ∴． 如图，连接，则． ∵， ∴，则的长为． ∵， ∴的长． 2．（2024·河南驻马店·模拟预测）在古代西方，智慧的美索不达米亚人做出了世界上第一个木轮车，其原理是将圆的木轮固定在木架上，就形成了最初的车子．如图，一辆木轮车放置在地面上，小明想利用三角形的稳定性将小车固定住，他准备分别从点A，O，F处拉三根绳子，拉紧固定在地面上点C处，已知木轮与水平地面相切于点E，推杆与交于点F，交于点A，与相切于点A，与交于点D． (1)求证：； (2)若木轮的半径为0.5米，米，求点A到绳的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、切线的性质定理、用勾股定理解三角形、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】（1）连接，根据证明，即可解题； （2）先根据勾股定理求出长，然后得到，求出长，再根据勾股定理求出长。然后连接，根据求出长即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵，是的切线， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）∵米，米， ∴米， ∴米，米， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：， 又∵， ∴， 连接， 则， ∵， ∴． 3．（2024·江苏南通·一模）日晷是我国古代较为普遍使用的计时仪器．如图，日晷的平面是以点为圆心的圆，线段是日晷的底座，点为日晷与底座的接触点（即与相切于点．点在上，为某一时刻晷针的影长，的延长线与相交于点，与相交于点，连接，，，． (1)求的度数； (2)连接，求的长． 【答案】(1) (2)的长为 【知识点】平行投影、解直角三角形的相关计算、切线的性质定理 【分析】本题考查平行投影，切线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意， （1）证明，再利用切线的性质证明，再利用三角形内角和定理求解； （2）求出，，利用勾股定理求解． 【详解】（1）解：如图，连接． 与相切于点， ， ， ， ． ，为半径， 与相切于点． 而与相切于点， ， ， ， ； （2）解：由（1）知，， ，与相切， ． ， ， 在 中，． 4．（2024九年级下·全国·专题练习）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车与水面分别交于点A、B，筒车的轴心O距离水面的高度长为，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间．（参考数据：，，） (1)经过多长时间，盛水筒P首次到达最高点？ (2)浮出水面3.4秒后，盛水筒P距离水面多高？ (3)若接水槽所在直线是的切线，且与直线交于点M，．求盛水筒P从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线上． 【答案】(1)1.5 (2)0.7 (3)至少经过7.6秒恰好在直线上 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、切线的性质定理 【分析】本题考查了切线的性质，解直角三角形的应用，找对相应直角三角形是解决问题的关键． （1）连接，根据，得，可得答案； （2）根据题意知，，得，过点P作于D，利用三角函数求出的长； （3）由题意知，利用，得，在中，根据，得，从而得出答案． 【详解】（1）解：如图，连接， 由题意知，筒车每秒旋转， 在中，， ， 盛水筒P首次到达最高点的时间：（秒）； （2）解：如图， 盛水筒P浮出水面秒后，， ， 过点P作于D， 在中， （米）， 盛水筒P距离水面距离为：（米）； （3）解：如图， 点P在上，且与相切， 当点P在上时，此时点P是切点，连接，则， 在中，， ， 在中，， ， ， （秒）， 至少经过秒恰好在直线上． 4——借助数学文化考查弧长与扇形面积 （2024九年级下·云南·学业考试）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中记载了这样一个问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其大意为：“在屋内墙角处堆放米，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”请你根据所学知识计算米堆的体积为 立方尺．（注：如图，米堆为一个圆锥的四分之一）． 【答案】 【知识点】求弧长 【分析】本题主要考查了弧长公式，圆锥的体积计算，设米堆所在圆锥的底面圆半径为尺，根据弧长公式建立方程求出尺，再根据圆锥体积计算公式求解即可． 【详解】解：设米堆所在圆锥的底面圆半径为尺， 由题意得，， 解得尺， ∴米堆的体积为立方尺， 故答案为：． 1．（2024·河南周口·模拟预测）马面裙(图1)叉名马面褶裙，是我国古代女子穿着的主要裙式之一．如图2，一条马面裙裙面可以近似地看作扇环（和的圆心为点O），A，D分别为，的中点，，则该马面裙裙面的周长为 ． 【答案】 【知识点】求弧长、等边三角形的判定和性质 【分析】本题主要考查了弧长计算公式，等边三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定定理是解题的关键．根据等边三角形的判定和性质以及弧长公式进行计算即可． 【详解】解：，， 为等边三角形， ， ∵点A为的中点，点D为的中点， ∴， （）， （）， 该马面裙裙面的周长为， 故答案为：． 2．（2024·江西南昌·一模）日晷仪也称日晷，是我国古代较为普遍使用的计时仪器，内圈被分为十二个全等的图形，分别标示着“十二地支”（子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥），如图所示．通过测量得到晷面内圈的半径为．若晷针投影的长度不变，且都在晷面的内圈上，则晷针投影在晷面上从“巳”时开始到“申”时结束（从旋转到）划过的图形面积（图中阴影部分）是 ． 【答案】 【知识点】求扇形面积 【分析】本题主要考查扇形面积的计算． 先求出夹角，再根据扇形面积公式即可求解． 【详解】解：由题意可知，一个地支的夹角为， 从“巳”时开始到“申”时结束走过的图形是扇形，且圆心角为， 晷面内圈的半径为， ， 晷针投影在晷面上划过的图形面积是 故答案为：． 3．（2024九年级·河北·学业考试）日晷是我国古代使用的一种计时仪器，某日晷底座的正面与晷面在同一平面上．如图，表示日晷的晷面圆周，日晷底座的底边在水平线l上，为等边三角形，， 与分别交于P，Q两点．点C，D是上两点，，过O作于点E，交于点F，交于点M．已知，，． (1)求的半径； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】求其他不规则图形的面积、垂径定理的实际应用 【分析】本题考查垂径定理的实际应用，与圆有关的阴影部分面积； （1）连接，先证明，再由垂径定理得到，然后设的半径，在中，利用勾股定理得到，列方程计算即可； （2）由，求出等边三角形的边长，再分别求出，，最后根据计算即可． 【详解】（1）解∶∵，， ∴， ∴， ， ， 如图，连接， 设的半径， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得， 即的半径为； （2）解∶∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， ， ， ． 4．（2024·浙江杭州·一模）如图1，投石机是古代威力巨大的武器，是现代大炮的鼻祖，我国在汉朝时期就被大量运用于战场．它由杠杆、支架、弹袋和重锤等部件组成．其原理是通过弹力使杠杆绕着支点A旋转把石头甩出，以达到伤敌的效果．如图2是投石机的示意图，杠杆米，杠杆初始位置与地面成角，即．当杠杆甩出石头停止旋转时． 求： (1)弹袋B转过的路程． (2)杠杆旋转停止时弹袋B距离地面多少米． （参考数据：） 【答案】(1)弹袋B转过的路程为米 (2)杠杆旋转停止时弹袋B距离地面米 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、求某点的弧形运动路径长度 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，求弧长： （1）根据弧长公式求解即可； （2）过点A作于点F，过点作，交的延长线于点E，先解得到米，再求出，进而解得到米，最后求出的长即可． 【详解】（1）解：∵米， ∴弹袋B转过的路程（米）， 答：弹袋B转过的路程为米； （2）解：过点A作于点F，过点作，交的延长线于点E， 在中，∵米， ∴（米）， ， 在中， ∵，米， ∴（米）， ∴（米）， 即杠杆旋转停止时弹袋B距离地面米． 5——借助数学文化考查有关圆的作图问题 （2023·江苏徐州·中考真题）两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到；玉璧，玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扇圆型器物，据《尔雅·释器》记载：“肉倍好，谓之璧；肉好若一，调之环．”如图1，“肉”指边（阴影部分），“好”指孔，其比例关系见图示，以考古发现看，这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系． (1)若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为 ； (2)利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）． ①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”？ ②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔． 【答案】(1) (2)①符合，图见详解；②图见详解 【知识点】由平行判断成比例的线段、确定圆心(尺规作图)、作垂线(尺规作图) 【分析】（1）根据圆环面积可进行求解； （2）①先确定该圆环的圆心，然后利用圆规确定其比例关系即可；②先确定好圆的圆心，然后根据平行线所截线段成比例可进行作图． 【详解】（1）解：由图1可知：璧的“肉”的面积为；环的“肉”的面积为， ∴它们的面积之比为； 故答案为； （2）解：①在该圆环任意画两条相交的线，且交点在外圆的圆上，且与外圆的交点分别为A、B、C，则分别以A、B为圆心，大于长为半径画弧，交于两点，连接这两点，同理可画出线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的交点即为圆心O，过圆心O画一条直径，以O为圆心，内圆半径为半径画弧，看是否满足“肉好若一”的比例关系即可    由作图可知满足比例关系为的关系； ②按照①中作出圆的圆心O，过圆心画一条直径，过点A作一条射线，然后以A为圆心，适当长为半径画弧，把射线三等分，交点分别为C、D、E，连接，然后分别过点C、D作的平行线，交于点F、G，进而以为直径画圆，则问题得解；如图所示：    1．（2024·甘肃金昌·模拟预测）课上我们学习了应用尺规作“平分任意一个已知角”，小明对此问题展开进一步探究学习． 【材料阅读】 如图①，鼓楼是我国西南民族地区侗族的特色建筑，它的平面图通常是正方形、正六边形和正八边形．工匠在制作底座和支撑木柱的连接结构时，需要多次作角平分线以实现对称，从而使得结构受力均衡，充分体现侗族工匠的数学应用能力．例如古代侗族没有量角器，仅凭一把“角尺”（如图②所示），即可将任意角进行平分，下面是应用“角尺”作角平分线的一种方法： 已知， 第一步：分别在的和边上，用带有刻度的“角尺”测量得到点和，使得；第二步：连接，得到线段； 第三步：用“角尺”作出过点与垂直的线段就是的平分线． 【探究与应用】 (1)请参阅上述材料，借助“角尺”，作出图③木料中的平分线； (2)小明对作图原理进一步探究，第二步作图完成后，可得为______三角形；第三步作图完成后，平分的依据是：______． 【答案】(1)见解析 (2)等腰，等腰三角形底边上的高也是顶角平分线． 【知识点】三线合一、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查作图应用与设计作图，等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据要求画出图形即可； （2）利用等腰三角形的三线合一的思想解决问题． 【详解】（1）解：如图③中，射线即为所求； （2）解：由作图可知是等腰三角形，平分的理由是等腰三角形底边上的高也是顶角平分线． 故答案为：等腰，等腰三角形底边上的高也是顶角平分线． 2．（2024·甘肃·中考真题）马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩共用，彩绘线条流畅细致，图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品，体现了古代劳动人民的智慧．如图1的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通．如图2，已知和圆上一点M．作法如下： ①以点M为圆心，长为半径，作弧交于A，B两点； ②延长交于点C； 即点A，B，C将的圆周三等分． (1)请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中将的圆周三等分（保留作图痕迹，不写作法）； (2)根据（1）画出的图形，连接，，，若的半径为，则的周长为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】解直角三角形的相关计算、画圆(尺规作图)、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】（1）根据尺规作图的基本步骤解答即可； （2）连接，设的交点为D，得到，根据的半径为，是直径，是等边三角形，计算即可． 本题考查了尺规作图，圆的性质，等边三角形的性质，熟练掌握尺规作图的方法和圆的性质是解题的关键． 【详解】（1）根据基本作图的步骤，作图如下： 则点A，B，C是求作的的圆周三等分点． （2）连接，设的交点为D， 根据垂径定理得到， ∵的半径为，是直径，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴的周长为， 故答案为：． 3．（2022·山西长治·二模）阅读下列材料，并按要求完成相应的任务． 人们常说“不以规矩，不能成方圆”，在中国古代，“规”和“矩”是最为重要的两件绘图工具，“圆曰规，方曰矩”“规”“矩”在中国古代既是天文测量工具，又是地理测量工具，同时还是木工测量工具．“规”就是圆规，是用来画圆的工具，在我国古代甲骨文中就有“规”这个字．“矩”由长短两尺合成，相交成直角，尺上有刻度，短尺叫勾，长尺叫股． 下面是某数学兴趣小组针对尺规作图三大难题中“化圆为方”提出的“化三角形为正方形”，其过程如下： 已知：如图1，在△ABC中，CD为边AB上的高线． 求作：正方形EFGH，使． 作法：①如图2，作线段，NF＝CD； ②作线段MN的垂直平分线，交MN于点O，以点O为圆心，OM的长为半径画圆； ③过点F作直线l⊥MN，在线段MN的上方交⊙O于点E； ④以EF为边向直线l右侧作正方形EFGH． 则正方形EFGH即为所求． 任务一：①根据作法过程，补全图形；（要求：尺规作图，保留作图痕迹） ②请说明这一作法的合理性，推理过程如下： 连接ME，NE． ∵MN是⊙O的直径， ∴∠MEN＝90°．（依据：__________________） …… 请填写依据并将推理过程补充完整． 任务二：如①中补全的图形，若△ABC的边，，则OE的长为______． 【答案】任务一：①见解析②直径所对的圆周角是直角，见解析  任务二 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、半圆（直径）所对的圆周角是直角、作垂线(尺规作图) 【分析】任务一：①根据作法过程，运用尺规作图完善即可． ②证明△FME∽△FEN即可． 任务二：求得直径MN的长即可． 【详解】任务一：①根据作法过程，补全图形如下： ②这一作法合理，推理过程如下： 连接ME，NE． ∵MN是⊙O的直径， ∴∠MEN＝90°．（依据：直径所对的圆周角是直角）， ∵EF⊥MN， ∴∠MFE＝∠EFN =90°． ∵∠FEN =90°-∠AEF，∠M =90°-∠AEF， ∴∠M＝∠FEN， ∴△FME∽△FEN， ∴， ∴， ∴， ∴， 故作法是合理的． 任务二：∵，， ∴MF=，FN=CD=， ∴MN=FM+FN=+=， ∴OE=， 故答案为：． 36 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 数学文化背景下的中考数学之圆 背景1：关于《梦溪笔谈》：《梦溪笔谈》，北宋科学家、政治家沈括（1031年—1095年）撰，是一部涉及古代中国自然科学、工艺技术及社会历史现象的综合性笔记体著作。《梦溪笔谈》一共分30卷，其中《笔谈》26卷，《补笔谈》3卷，《续笔谈》1卷。内容涉及天文、数学、物理、化学、生物等各个门类学科，其价值非凡。《梦溪笔谈》是百科全书式的著作，尤以其科学技术价值闻名于世。英国科学史家李约瑟评价为“中国科学史上的里程碑”。《梦溪笔谈》具有世界性影响。 背景2：关于《九章算术》：中国古代的数学专著，成书于公元一世纪,作者不详，西汉早期丞相张苍、耿寿昌等增补删订，三国曹魏时期刘徽注释，唐初李淳风注。全书分方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股等九个章节。“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数及其加减运算法则，并给出名为“正负术”的算法. 背景3：关于徐光启与《农政全书》：《农政全书》是明代徐光启创作的农书。《农政全书》成书于明朝万历年间，基本上囊括了中国明代农业生产和人民生活的各个方面，而其中又贯穿着一个基本思想，即徐光启的治国治民的“农政”思想。《农政全书》是“中国古代五大农书”之一，集前人农业科学之大成，总结了清代之前的农业科学技术。 背景4：关于“司南”：指南针，古代叫司南，主要组成部分是一根装在轴上的磁针，磁针在天然地磁场的作用下可以自由转动并保持在磁子午线的切线方向上，磁针的南极指向地理南极(磁场北极)，利用这一性能可以辨别方向。常用于航海、大地测量、旅行及军事等方面。物理上指示方向的指南针的发明有三类部件，分别是司南、罗盘和磁针，均属于中国的发明。 背景5：关于《几何原本》：《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部数学著作，成书于公元前300年左右。 背景6：关于日晷：日晷，本义是指太阳的影子。现代的“日晷”指的是人类古代利用日影测得时刻的一种计时仪器，又称“日规”。其原理就是利用太阳的投影方向来测定并划分时刻，通常由晷针和晷面组成。利用日晷计时的方法是人类在天文计时领域的重大发明，这项发明被人类沿用达几千年之久。 背景7：关于《尔雅》：《尔雅》是辞书类文学作品，最早收录于《汉书·艺文志》。作品中收集了比较丰富的古中文字辞，是辞书之祖。 考点1：圆心角、弧、弦的关系 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 易错提醒：圆心角、弧和弦之间的关系必须在同圆或等圆中才成立． 考点2：圆周角定理及其推论 1.文字语言：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等． 图形语言： 符号语言： 简记为： 2．推论： （1）直径所对的圆周角是直角． 图形语言： 符号语言： （2）圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的外角等于内对角． 图形语言： 符号语言： 考点3：垂径定理 1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 方法点拨： 关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形． 2．垂径定理推论 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 考点4：点与圆的位置关系 设点到圆心的距离为d． (1)d<r⇔点在⊙O内； (2)d=r⇔点在⊙O上； (3)d>r⇔点在⊙O外． 考点5：直线和圆的位置关系 具体内容见下表 位置关系 相离 相切 相交 图形 公共点个数 0个 1个 2个 数量关系 d>r d=r d<r 由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况． 考点6：切线的性质与判定 1．切线的性质 （1）切线与圆只有一个公共点； （2）切线到圆心的距离等于圆的半径； （3）切线垂直于经过切点的半径． 方法点拨： 利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题． 2．切线的判定 （1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）． （2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线． （3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 图形语言： 符号语言： 方法点拨：切线判定常用的证明方法： 1 知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直； 2 不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径． 考点7：三角形与圆的关系 1．三角形的外接圆相关概念 经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形．外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等． 2．三角形的内切圆 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等． 考点8：正多边形与圆的关系 正多边形中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． 正多边形半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形半径． 正多边形中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形中心角． 正多边形边心距：正多边形中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 方法点拨： 有关正多边形的计算问题，通常都要构造以正多边形的半径、正多边形的边心距、正多边形的半个边围城的直角三角形借助勾股定理和三角函数来解决。 考点9：与圆有关的计算公式 1．弧长和扇形面积的计算：扇形的弧长=；扇形的面积==． 2．圆锥与侧面展开图 (1)圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长． (2)若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr， 圆锥的侧面积为S圆锥侧=．圆锥的表面积：S圆锥表=S圆锥侧+S圆锥底=πrl+πr2=πr(l+r)． 方法点拨： 在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解． 1——借助数学文化考查垂径定理 （2023·四川宜宾·中考真题）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以点O为圆心、为半径的圆弧，N是的中点，．“会圆术”给出的弧长的近似值计算公式：．当，时，则的值为（　　） A． B． C． D． 1．（2024·云南昆明·模拟预测）《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用数学语言可表述为：“如图，为的直径，弦于E，寸，寸，求弦的长．”则弦的长为（    ） A．10寸 B．3寸 C．20寸 D．26寸 2．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以点O为圆心、为半径的圆弧，N是的中点，．“会圆术”给出的弧长l的近似值计算公式：．当，时，则l的值是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏盐城·三模）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积．弧田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现已知弦米，半径等于5米的弧田，按上述公式计算出弧田的面积为 平方米． 4．（21-22九年级上·湖南长沙·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是 米． 2——借助数学文化考查圆心角与圆周角 （2024·陕西宝鸡·三模）如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图2，筒车与水面分别交于点、，筒车上均匀分布着若干盛水筒，表示筒车的一个盛水筒，是的直径，连接、，点在的延长线上，若，则（    ） A． B． C． D． 1．（2024·四川成都·模拟预测）我国古代直至世纪六七十年代，民间航海主要依靠海图指引航行，海图上有详尽数据，包括岛屿，灯塔，暗礁，水深等，船长结合灯塔的位置，通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图，表示灯塔，暗礁分布在经过两点的一个圆形区域内，是有触礁危险的临界点，就是“危险角”，船与暗礁在的同侧，若，，，当船位于安全区域时，它与两个灯塔的夹角的取值范围是 ． 2．（2024·四川乐山·模拟预测）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸．欲为方版，令厚七寸，问广几何？”结合如图，其大意是：今有圆形材质，半径为寸，要做成方形板材，使其厚度达到寸．则长方形的长是 ． 3．（2024·河北保定·二模）司南是我国古代辨别方向用的一种仪器．其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖．如图，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点A～H），过点E作的切线与的延长线交于点M，连接． (1)相邻两个方位间所夹的圆心角的度数为______． (2)求的长． (3)求线段与的长，并比较大小． 3——借助数学文化考查直线与圆的位置关系 （2024·内蒙古通辽·模拟预测）阅读与思考 直线与圆的位置关系学完后，圆的切线的特殊性引起了小王的重视，下面是他的数学笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 欧几里得最早在《几何原本》中，把切线定义为和圆相交，但恰好只有一个交点的直线．切线：几何上，切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线．平面几何中，将和圆只有一个公共交点的直线叫做圆的切线… 证明切线的常用方法：定义法；距离法（运用圆心到直线的距离等于半径）；利用切线的判定定理来证明． 添加辅助线常见方法：见切点连圆心，没有切点作垂直． 图是古代的“石磨”，其原理是在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”然后带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．图2是一个“双连杆”，两个固定长度的“连杆”，的连接点在上，，垂足为，当点在上转动时，带动点，分别在射线，上滑动，当点恰好落在上时，，请判断此时与的位置关系并说明理由． 小王的解题思路如下：与相切． 理由：连接， ∵点恰好落在上， ∴，（依据） ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，（依据） ∴， ∴与相切． 任务： (1)依据：________________________________． 依据：________________________________． (2)在图中，的半径为，，求的长． 1．（2024·河北保定·二模）司南是我国古代辨别方向用的一种仪器．其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖．如图，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点A～H），过点E作的切线与的延长线交于点M，连接． (1)相邻两个方位间所夹的圆心角的度数为______． (2)求的长． (3)求线段与的长，并比较大小． 2．（2024·河南驻马店·模拟预测）在古代西方，智慧的美索不达米亚人做出了世界上第一个木轮车，其原理是将圆的木轮固定在木架上，就形成了最初的车子．如图，一辆木轮车放置在地面上，小明想利用三角形的稳定性将小车固定住，他准备分别从点A，O，F处拉三根绳子，拉紧固定在地面上点C处，已知木轮与水平地面相切于点E，推杆与交于点F，交于点A，与相切于点A，与交于点D． (1)求证：； (2)若木轮的半径为0.5米，米，求点A到绳的距离． 3．（2024·江苏南通·一模）日晷是我国古代较为普遍使用的计时仪器．如图，日晷的平面是以点为圆心的圆，线段是日晷的底座，点为日晷与底座的接触点（即与相切于点．点在上，为某一时刻晷针的影长，的延长线与相交于点，与相交于点，连接，，，． (1)求的度数； (2)连接，求的长． 4．（2024九年级下·全国·专题练习）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车与水面分别交于点A、B，筒车的轴心O距离水面的高度长为，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间．（参考数据：，，） (1)经过多长时间，盛水筒P首次到达最高点？ (2)浮出水面3.4秒后，盛水筒P距离水面多高？ (3)若接水槽所在直线是的切线，且与直线交于点M，．求盛水筒P从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线上． 4——借助数学文化考查弧长与扇形面积 （2024九年级下·云南·学业考试）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中记载了这样一个问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其大意为：“在屋内墙角处堆放米，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”请你根据所学知识计算米堆的体积为 立方尺．（注：如图，米堆为一个圆锥的四分之一）． 1．（2024·河南周口·模拟预测）马面裙(图1)叉名马面褶裙，是我国古代女子穿着的主要裙式之一．如图2，一条马面裙裙面可以近似地看作扇环（和的圆心为点O），A，D分别为，的中点，，则该马面裙裙面的周长为 ． 2．（2024·江西南昌·一模）日晷仪也称日晷，是我国古代较为普遍使用的计时仪器，内圈被分为十二个全等的图形，分别标示着“十二地支”（子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥），如图所示．通过测量得到晷面内圈的半径为．若晷针投影的长度不变，且都在晷面的内圈上，则晷针投影在晷面上从“巳”时开始到“申”时结束（从旋转到）划过的图形面积（图中阴影部分）是 ． 3．（2024九年级·河北·学业考试）日晷是我国古代使用的一种计时仪器，某日晷底座的正面与晷面在同一平面上．如图，表示日晷的晷面圆周，日晷底座的底边在水平线l上，为等边三角形，， 与分别交于P，Q两点．点C，D是上两点，，过O作于点E，交于点F，交于点M．已知，，． (1)求的半径； (2)求图中阴影部分的面积． 4．（2024·浙江杭州·一模）如图1，投石机是古代威力巨大的武器，是现代大炮的鼻祖，我国在汉朝时期就被大量运用于战场．它由杠杆、支架、弹袋和重锤等部件组成．其原理是通过弹力使杠杆绕着支点A旋转把石头甩出，以达到伤敌的效果．如图2是投石机的示意图，杠杆米，杠杆初始位置与地面成角，即．当杠杆甩出石头停止旋转时． 求： (1)弹袋B转过的路程． (2)杠杆旋转停止时弹袋B距离地面多少米． （参考数据：） 5——借助数学文化考查有关圆的作图问题 （2023·江苏徐州·中考真题）两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到；玉璧，玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扇圆型器物，据《尔雅·释器》记载：“肉倍好，谓之璧；肉好若一，调之环．”如图1，“肉”指边（阴影部分），“好”指孔，其比例关系见图示，以考古发现看，这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系． (1)若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为 ； (2)利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）． ①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”？ ②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔． 1．（2024·甘肃金昌·模拟预测）课上我们学习了应用尺规作“平分任意一个已知角”，小明对此问题展开进一步探究学习． 【材料阅读】 如图①，鼓楼是我国西南民族地区侗族的特色建筑，它的平面图通常是正方形、正六边形和正八边形．工匠在制作底座和支撑木柱的连接结构时，需要多次作角平分线以实现对称，从而使得结构受力均衡，充分体现侗族工匠的数学应用能力．例如古代侗族没有量角器，仅凭一把“角尺”（如图②所示），即可将任意角进行平分，下面是应用“角尺”作角平分线的一种方法： 已知， 第一步：分别在的和边上，用带有刻度的“角尺”测量得到点和，使得；第二步：连接，得到线段； 第三步：用“角尺”作出过点与垂直的线段就是的平分线． 【探究与应用】 (1)请参阅上述材料，借助“角尺”，作出图③木料中的平分线； (2)小明对作图原理进一步探究，第二步作图完成后，可得为______三角形；第三步作图完成后，平分的依据是：______． 2．（2024·甘肃·中考真题）马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩共用，彩绘线条流畅细致，图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品，体现了古代劳动人民的智慧．如图1的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通．如图2，已知和圆上一点M．作法如下： ①以点M为圆心，长为半径，作弧交于A，B两点； ②延长交于点C； 即点A，B，C将的圆周三等分． (1)请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中将的圆周三等分（保留作图痕迹，不写作法）； (2)根据（1）画出的图形，连接，，，若的半径为，则的周长为______． 3．（2022·山西长治·二模）阅读下列材料，并按要求完成相应的任务． 人们常说“不以规矩，不能成方圆”，在中国古代，“规”和“矩”是最为重要的两件绘图工具，“圆曰规，方曰矩”“规”“矩”在中国古代既是天文测量工具，又是地理测量工具，同时还是木工测量工具．“规”就是圆规，是用来画圆的工具，在我国古代甲骨文中就有“规”这个字．“矩”由长短两尺合成，相交成直角，尺上有刻度，短尺叫勾，长尺叫股． 下面是某数学兴趣小组针对尺规作图三大难题中“化圆为方”提出的“化三角形为正方形”，其过程如下： 已知：如图1，在△ABC中，CD为边AB上的高线． 求作：正方形EFGH，使． 作法：①如图2，作线段，NF＝CD； ②作线段MN的垂直平分线，交MN于点O，以点O为圆心，OM的长为半径画圆； ③过点F作直线l⊥MN，在线段MN的上方交⊙O于点E； ④以EF为边向直线l右侧作正方形EFGH． 则正方形EFGH即为所求． 任务一：①根据作法过程，补全图形；（要求：尺规作图，保留作图痕迹） ②请说明这一作法的合理性，推理过程如下： 连接ME，NE． ∵MN是⊙O的直径， ∴∠MEN＝90°．（依据：__________________） …… 请填写依据并将推理过程补充完整． 任务二：如①中补全的图形，若△ABC的边，，则OE的长为______． 2 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$