专题06 特殊四边形及多边形-【数学文化】中考数学考点与数学文化的融合（全国通用）

专题06 数学文化背景下的中考数学之四边形及多边形 背景1：关于《周髀算经》：《周髀算经》原名《周髀》，算经的十书之一，是古老的天文学和数学著作，主要阐明当时的盖天说和四分历法。唐初规定它为国子监明算科的教材之一，故改名《周髀算经》。《周髀算经》证明了勾股定理。《周髀算经》采用最简便可行的方法确定天文历法，揭示日月星辰的运行规律，囊括四季更替，气候变化，包含南北有极，昼夜相推的道理。给后来者生活作息提供有力的保障，自此以后历代数学家无不以《周髀算经》为参考，在此基础上不断创新和发展。 背景2：关于“出入相补原理”：出入相补原理：一个几何图形被分割成若干部分后，面积或体积的总和保持不变。出入相补原理最早由三国时代魏国数学家刘徽创建。 背景3：关于赵爽弦图：最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。 背景4：关于《九章算术》：中国古代的数学专著，成书于公元一世纪,作者不详，西汉早期丞相张苍、耿寿昌等增补删订，三国曹魏时期刘徽注释，唐初李淳风注。全书分方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股等九个章节。“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数及其加减运算法则，并给出名为“正负术”的算法. 背景5：关于“七巧板”：七巧板又称七巧图、智慧板，是中国民间流传的智力玩具。它是由宋代的宴几演变而来的，原为文人的一种室内游戏，后在民间演变为拼图板玩具。利用七巧板可以阐明若干重要几何关系，其原理便是古算术中的“出入相补原理”。 背景6：关于“司南”：指南针，古代叫司南，主要组成部分是一根装在轴上的磁针，磁针在天然地磁场的作用下可以自由转动并保持在磁子午线的切线方向上，磁针的南极指向地理南极(磁场北极)，利用这一性能可以辨别方向。 常用于航海、大地测量、旅行及军事等方面。物理上指示方向的指南针的发明有三类部件，分别是司南、罗盘和磁针，均属于中国的发明。 背景7：关于梅文鼎：梅文鼎（1633—1721），字定九，号勿庵，汉族，宣州（今安徽省宣城市宣州区）人。清初天文学家、数学家，为清代“历算第一名家”和“开山之祖”，被世界科技史界誉为与英国牛顿和日本关孝和齐名的“三大世界科学巨擘”。 背景8：关于《几何原本》：《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部数学著作，成书于公元前300年左右。 背景9：关于《详解九章算法》：1261年,中国宋朝的杨辉著《详解九章算法》。杨辉，中国南宋时期杰出的数学家和数学教育家。他著名的数学书共五种二十一卷。著有《详解九章算法》十二卷、《日用算法》二卷、《乘除通变本末》三卷、《田亩比类乘除算法》二卷、《续古摘奇算法》二卷。 杨辉的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面，他对筹算乘除捷算法进行总结和发展，有的还编成了歌决，如九归口决。杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现。在欧洲，帕斯卡（1623----1662）在1654年发现这一规律，所以这个表又叫做帕斯卡三角形。帕斯卡的发现比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年。 考点1：平行四边形的定义、性质、判定 1．平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 表示方法：□ABCD 2．平行四边形的性质: （1）边：两组对边分别平行且相等． （2）角：对角相等，邻角互补． （3）对角线：互相平分． （4）对称性：中心对称图形但不是轴对称图形． 3．平行四边形中的几个解题模型 （1）如图①，AE平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABE为等腰三角形，即AB=BE． （2）如图②，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE. （3）如图③，根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC=AF·CD． 4、平行四边形的判定方法 判定方法 文字语言 图形语言 符号语言 方法1 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ∵AD//BC,AB//CD ∴四边形ABCD是平行四边形 方法2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. ∵AD=BC,AB=CD ∴四边形ABCD是平行四边形 方法3 有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. ∵AD//BC,AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形 方法4 对角线互相平分的四边形是平行四边形. ∵OA=OC,OB=OD ∴四边形ABCD是平行四边形 考点2：三角形的中位线 (1).定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。（一个三角形共三条中位线） (2).性质定理: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 (3).符号语言： 考点3：矩形的定义、性质、判定 1． 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 2． 矩形的性质： （1） 边：对边平行且相等；邻边垂直； （2） 角：四个角都是直角； （3） 对角线：对角线相等且互相平分； （4） 整体：中心对称图形、轴对称图形； 3．矩形的判定方法： 方法1：有一个角是直角的平行四边形； 方法2：有三个角是直角； 方法3：对角线相等的平行四边形． 考点4：菱形的定义、性质、判定 1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2.菱形的性质： （1）边：对边平行，四边相等； （2）角：对角相等，邻角互补； （3）对角线：对角线互相垂直平分； （4）整体：中心对称图形，轴对称图形； （5）面积=底×高=对角线乘积的一半． 3.菱形的判定方法： 判定方法 文字语言 图形语言 符号语言 方法1 有一组邻边相等的平行四边形 ∵四边形ABCD是平行四边形,AB=BC ∴四边形ABCD是菱形 方法2 四条边都相等的四边形 ∵AB=BC=CD=DA ∴四边形ABCD是菱形 方法3 对角线互相垂直的平行四边形 ∵AC//BD,AO=CO,BO=DO ∴四边形ABCD是菱形 考点5：正方形的定义、性质、判定 1.正方形的定义：有一个角是直角，并且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形。 2.正方形的性质： （1）边：四边相等，邻边垂直； （2）角：四个直角； （3）对角线：对角线互相垂直平分； （4）整体：中心对称图形，轴对称图形。 2．正方形的判定： 判定方法 文字语言 图形语言 符号语言 方法1 有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形是正方形 ∵四边形ABCD是平行四边形, ∠A=90°,AB=BC ∴四边形ABCD是正方形 方法2 一组邻边相等的矩形是正方形 ∵四边形ABCD是矩形,AB=BC ∴四边形ABCD是正方形 方法3 一个角是直角的菱形是正方形 ∵四边形ABCD是菱形,∠A=90° ∴四边形ABCD是正方形 考点6：特殊的平行四边形之间的联系 考点7：中点四边形重要结论 原图形 中点四边形 图形 任意四边形 平行四边形 对角线相等的四边形 矩形 对角线垂直的四边形 菱形 对角线互相垂直且相等的四边形 正方形 方法6：利用菱形或正方形的对角线互相垂直证明。 1——借助数学文化考查矩形的性质与判定 （2024·云南昭通·二模）“准、绳、规、矩”是我国古代使用的测量工具．一个简单结构的“矩”指两条边成直角的曲尺（如图1），它的两条边长分别为a、b．中国古老的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能，如“偃矩以望高”就是把“矩”仰立放置可以测量物体的高度．如图2，从“矩”的一端E处望向一根杆子的顶端B处，使视线通过“矩”的另一端G处，测得米，米，若“矩”的边米，米，则这根杆子的长为（　　） A．4米 B．3米 C．2米 D．1米 1．（2024·安徽池州·一模）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一．如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，点是边上一点，过点作于点，于点，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东潍坊·模拟预测）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形中，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，垂足分别为点F，G，求的长． 3．（2024·广东珠海·一模）【背景阅读】我国古代著名数学著作《周髀算经》记载了“勾三、股四、弦五”，直观地证明了勾股定理，我们把三边的比为的三角形称为型三角形，例如：三边长分别为9，12，15的三角形就是型三角形． 【实践操作】如图1，在正方形纸片中，，点E为边上的中点，将沿折叠得，延长交于点G，交的延长线于点H． 【问题解决】（1）证明是型三角形； （2）在不添加字母的情况下，直接写出图1中还有哪些三角形是型三角形； 【拓展探究】（3）如图2，在矩形纸片中，，，E是上的一点，将沿折叠得到，延长交于点G．其中是型三角形，请求出的面积． 4．（2024·福建南平·模拟预测）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形中，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，垂足分别为F，G． (1)当E为的中点时，求证：； (2)当E为边上任意一点时，求的值． 2——借助数学文化考查正方形的性质与判定 （2024·四川资阳·中考真题）第届国际数学教育大会（）会标如图所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若，则（   ） A． B． C． D． 1．（2024·江苏镇江·二模）我国古代数学专著《九章算术》中记载了这样一个问题：今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？其大意为：如图，今有，其勾（）长为5步，股（）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形的边长是（    ） A．步 B．步 C．步 D．步 2．（2023·山东淄博·中考真题）勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱．小亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连接，．若正方形与的边长之比为，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（2024·河北保定·二模）我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补的方法证明了勾股定理．如图，直角三角形的三边a，b，c满足，分别以a、b、c为边作三个正方形：正方形、正方形、正方形，把它们拼成如图所示形状，使E、F、G三点在一条直线上，若，四边形与面积之和为7，则正方形的面积为（    ） A．49 B．28 C．21 D．14 4．（2024·陕西咸阳·模拟预测）《九章算术》是中国古代的数学专著，书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何．”其大意是：如图，的两条直角边的长分别为5和12，正方形的顶点C与的直角顶点C重合，顶点D、E、F分别在线段上，则正方形的边长为 ． 5．（2024·宁夏银川·二模）七巧板是我国古代劳动人民的一项发明，被誉为“东方魔板”，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形组成，图1是由边长为的正方形薄板分为7块制作而成的“七巧板”，某同学利用这个七巧板拼成图2所示的一只“小猫”，则图中阴影正方形的边长为 ．（结果保留根号） 6．（2024·安徽合肥·二模）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图，在中，，四边形为正方形，，，，，则 ． 7．（22-23九年级上·陕西西安·阶段练习）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点之间的距离为 ． 8．（2024·甘肃天水·二模）我国是最早了解勾股定理的国家之一，早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三、股四、弦五”这一结论．勾股定理与图形的面积存在密切的关系，如图，这是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，若的面积为6，则阴影部分的周长为 ． 9．（2024·江西·二模）七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板．图1 是用边长为4的正方形分割制作而成的七巧板，图2 是由该七巧板拼摆成的“叶问蹬”图，其中点C，D分别为①②两个等腰直角三角形斜边的中点，则图2 中抬起的“腿”的高度(点 A到的距离)是 ． 10．（2024·山东德州·一模）综合与实践 【阅读经典】2002年国际数学家大会在北京召开，如图①，大会的会徽是我国古代数学家赵爽画的“弦图”，体现了数学研究中的继承和发展． “弦图”在三国时期被赵爽发明，是证明______的几何方法（填序号）． ①勾股定理　②完全平方公式　③平方差公式 【动手操作】 如图②，某数学兴趣小组发现，用四个大小、形状完全相同的直角三角形就可以拼接得到一个“赵爽弦图”．组员小明自制了四个大小形状一样，且两直角边的边长分别为5和12的三角板拼成了一个“赵爽弦图”，则中间四边形的面积为______； 【问题探究】 兴趣小组组员小红发现，通过旋转某个三角形得到一些美妙的结论：如图③，为正方形内一点，满足，将绕点顺时针旋转，得到． （1）连接，若点为的中点，则四边形为______（填形状）； 【问题解决】 （2）若的延长线交于点，连接，点分别为的中点，请仅就图④的情形解决下列问题： ①请判断和的数量关系，并说明理由； ②若，求的长． 11．（2024·河南周口·三模）司南是最早的磁性指向器，我国著名专家王振铎曾成功复原了汉代的司南如图①所示．小红受此启发，设计了如图②所示的简易司南装置．她首先取来一个正方形纸板，取对角线的中点O，再连接，取的中点E，然后以点O为圆心，长为半径作．再用一根铁丝将纸板竖直悬挂在水平支架上的点P处（），此时，长度固定不变，然后在P，E两点之间挂上一条橡皮筋．当纸板绕点O转动时，的长也随之变化．如图③，当与相切时，回答下列问题： (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求点P和点D之间的距离． 12．（2024·山西长治·二模）请认真阅读下列材料，并完成相应的任务． 从毕达哥拉斯到帕普斯毕达哥拉斯从地板的结构中发现了直角三角形的三边关系——勾股定理，之后相继有很多数学家及数学爱好者都用面积割补法给出了验证．如我国三国时期的数学家赵爽，美国第二十任总统加菲尔德等． 欧几里得在《几何原本》中第一次在公理体系下给出了以三角形为“桥梁”证明勾股定理的方法：如图（1），过点A作，交于点M，连接． 先证明，所以． 又因为，， 所以． 同理得，则， 即． 之后，我国清代数学家梅文鼎在欧几里得证法的基础上，进行了“改进”，以平行四边形作为“桥梁”进行了证明．如图（2），延长交于点P，连接并延长分别交于点M，N，延长交于点Q． 梅文鼎的证法如下：由题可知，四边形为矩形，∴． ∵四边形，四边形都是正方形， ∴，，． ∴． ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵四边形为正方形， ∴，， ∵． ∴． ∴． ∴． ∵四边形为正方形， ∴． ∴四边形为平行四边形（依据______） ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，． ∴．…… (1)材料中的依据为______； (2)把材料中的证明过程补充完整； (3)古希腊数学家帕普斯在梅文鼎证法的基础上进行了改进，如图（3），中，，，以为边作和，且中边的高为2，的面积为6，延长交于点R，连接并延长，过点B作，且，再以为边作．请直接写出中边的高． 3——借助数学文化考查菱形的性质与判定 （2024·广东深圳·三模）黄金分割比被称之为比例之王，在艺术创作和建筑设计上有很多例子．不过，事实上黄金分割符合的是西方美学，而东方美学更钟爱于白银分割．其中爱国品牌红旗汽车的设计中应用了白银分割（图；福州华林寺大殿——现存最古老木构建筑物中也大量运用了白银比例．东方人之所以喜欢白银分割比，因为在日常生活中随处都可以见到白银分割的身影，比如常用到的纸，对折后得到两个全等的纸、纸折叠后得到两个全等的纸等等（图，纸，纸、纸等的长与宽的比都等于白银比，这样的矩形称为白银矩形． 如图3，若菱形的边长与高之比为白银比，则称这个菱形为白银菱形，以白银菱形作为平面镶嵌图形从而构造出具有对称美的图形，则这个矩形地毯的长宽比为　　 A． B． C． D． 1．（2024·湖北黄冈·模拟预测）如图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽，图2由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．作菱形，使点，，分别在边，，上，过点作于点．当，，时，的长为（    ） A． B． C． D．3 2．（2024·安徽亳州·二模）中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．如图，晓进家有一个菱形中国结装饰，对角线相交于点，测得，，过点作于点，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·河南驻马店·期中）图1是第63 届国际数学奥林匹克竞赛会标，图2是其主体的中间部分图案，它是一个 轴对称图形．已知，作菱形，使点H，F，G分别在上，且点E 在 上．若，则整个图形的面积为（     ） A． B． C．20 D．25 4．（2023·江苏扬州·一模）下图中，图是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果，图是一个菱形，将图截去一个边长为原来一半的菱形得到图，用图镶嵌得到图，将图着色后，再次镶嵌便得到图，则图中的度数是（  ） A． B． C． D． 5．（2024·陕西西安·模拟预测）小方在学习菱形时，发现可以利用菱形纸片拼出著名的“赵爽弦图”：把如图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，这四个直角三角形可以拼出如图2所示的面积为7的正方形，和如图3所示的边长为1的正方形，则图1中菱形的边长为 ． 6．（2024·贵州毕节·一模）如图1是清代方胜纹暗花缎袄，如图2是缎袄上面方胜纹示意图，菱形与菱形是完全相同的两个菱形，中间四边形也是菱形，、相交于点M，若，，则菱形的周长为 ． 7．（2024·福建泉州·模拟预测）《九章算术》勾股章一五问“勾股容方”描述了关于图形之间关系的问题∶知道一个直角三角形较短直角边（“勾”）与较长直角边（“股”）的长度，那么，以该三角形的直角顶点为一个顶点、另外三个顶点分别在该三角形三边上的正方形的边长就可以求得．（我们不妨称这个正方形为该直角三角形的“勾容正方形”） 其文如下： 题：今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？ 答：方三步，十七分步之九． 术：并勾、股为法，勾股相乘为实，实如法而一，得方一步． “题”、“答”、“术”的意思大致如下∶ 问题：一个直角三角形的两直角边的长分别为5和12，它的“勾容正方形”的边长是多少？ 答案： 解法： （1）问题探究 根据“勾股容方”中描述的直角三角形与其“勾容正方形”之间的关系，请提出一个数学命题，并证明； （2）类比探究 “勾股容圆”：一个直角三角形的两直角边的长分别为5和12，它的内切圆的半径是多少？ （3）拓展运用 某市去年举办中小学校园文化展览，举办方在某广场搭建了一个展馆（平面示意图为正方形），并综合考虑参展主题、参展单位等因素将展馆划分为四个展区，规划方案如图所示，其中，是的中点，点，在边上，垂直平分，垂足为，． 今年，为了让更多人参与，举办方拟在北湖公园的一块菱形场地上搭建展馆，该菱形场地面积为，且两条对角线长度之和为，考虑到展览安全、公园环境等各方面的因素，若举办方希望沿用去年展馆及展区的规划方案，则展馆的建设需满足以下要求：①展馆平面示意图中的A，B，C，D四个点分别落在菱形场地的四条边上；②展馆主入口的宽度为，去年的规划方案是否可行？请说明理由． 8．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图1，是我国古代著名的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形围成，即 ，其中四边形是正方形，四边形是正方形，如图2，将图1中的线段和线段分别延长到点和点，使，，连接，，，，得到四边形． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的面积． 4——借助数学文化考查多边形的性质 （2024·江苏连云港·中考真题）图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城的边长为，南门设立在边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路，在上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路，C处有一座雕塑．在处测得雕塑在北偏东方向上，在处测得雕塑在北偏东方向上． (1)__________，__________； (2)求点到道路的距离； (3)若该小组成员小李出南门O后沿道路向东行走，求她离处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响？（结果精确到，参考数据：，，，，） 1．（2024·云南昆明·一模）中国古代建筑具有悠久的历史传统和光辉的成就，其建筑艺术也是美术鉴赏的重要对象．如图是中国古代建筑中的一个正八边形的窗户，则它的内角和为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·北京丰台·一模）我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．图2是八角形窗户的示意图，它的一个外角的大小为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·云南昆明·一模）中国古代建筑具有悠久的历史传统和光辉的成就，其建筑艺术也是美术鉴赏的重要对象．如图是中国古代建筑中的一个正八边形的窗户，则它的内角和为（    ） A． B． C． D． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 数学文化背景下的中考数学之四边形及多边形 背景1：关于《周髀算经》：《周髀算经》原名《周髀》，算经的十书之一，是古老的天文学和数学著作，主要阐明当时的盖天说和四分历法。唐初规定它为国子监明算科的教材之一，故改名《周髀算经》。《周髀算经》证明了勾股定理。《周髀算经》采用最简便可行的方法确定天文历法，揭示日月星辰的运行规律，囊括四季更替，气候变化，包含南北有极，昼夜相推的道理。给后来者生活作息提供有力的保障，自此以后历代数学家无不以《周髀算经》为参考，在此基础上不断创新和发展。 背景2：关于“出入相补原理”：出入相补原理：一个几何图形被分割成若干部分后，面积或体积的总和保持不变。出入相补原理最早由三国时代魏国数学家刘徽创建。 背景3：关于赵爽弦图：最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。 背景4：关于《九章算术》：中国古代的数学专著，成书于公元一世纪,作者不详，西汉早期丞相张苍、耿寿昌等增补删订，三国曹魏时期刘徽注释，唐初李淳风注。全书分方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股等九个章节。“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数及其加减运算法则，并给出名为“正负术”的算法. 背景5：关于“七巧板”：七巧板又称七巧图、智慧板，是中国民间流传的智力玩具。它是由宋代的宴几演变而来的，原为文人的一种室内游戏，后在民间演变为拼图板玩具。利用七巧板可以阐明若干重要几何关系，其原理便是古算术中的“出入相补原理”。 背景6：关于“司南”：指南针，古代叫司南，主要组成部分是一根装在轴上的磁针，磁针在天然地磁场的作用下可以自由转动并保持在磁子午线的切线方向上，磁针的南极指向地理南极(磁场北极)，利用这一性能可以辨别方向。 常用于航海、大地测量、旅行及军事等方面。物理上指示方向的指南针的发明有三类部件，分别是司南、罗盘和磁针，均属于中国的发明。 背景7：关于梅文鼎：梅文鼎（1633—1721），字定九，号勿庵，汉族，宣州（今安徽省宣城市宣州区）人。清初天文学家、数学家，为清代“历算第一名家”和“开山之祖”，被世界科技史界誉为与英国牛顿和日本关孝和齐名的“三大世界科学巨擘”。 背景8：关于《几何原本》：《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部数学著作，成书于公元前300年左右。 背景9：关于《详解九章算法》：1261年,中国宋朝的杨辉著《详解九章算法》。杨辉，中国南宋时期杰出的数学家和数学教育家。他著名的数学书共五种二十一卷。著有《详解九章算法》十二卷、《日用算法》二卷、《乘除通变本末》三卷、《田亩比类乘除算法》二卷、《续古摘奇算法》二卷。 杨辉的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面，他对筹算乘除捷算法进行总结和发展，有的还编成了歌决，如九归口决。杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现。在欧洲，帕斯卡（1623----1662）在1654年发现这一规律，所以这个表又叫做帕斯卡三角形。帕斯卡的发现比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年。 考点1：平行四边形的定义、性质、判定 1．平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 表示方法：□ABCD 2．平行四边形的性质: （1）边：两组对边分别平行且相等． （2）角：对角相等，邻角互补． （3）对角线：互相平分． （4）对称性：中心对称图形但不是轴对称图形． 3．平行四边形中的几个解题模型 （1）如图①，AE平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABE为等腰三角形，即AB=BE． （2）如图②，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE. （3）如图③，根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC=AF·CD． 4、平行四边形的判定方法 判定方法 文字语言 图形语言 符号语言 方法1 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ∵AD//BC,AB//CD ∴四边形ABCD是平行四边形 方法2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. ∵AD=BC,AB=CD ∴四边形ABCD是平行四边形 方法3 有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. ∵AD//BC,AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形 方法4 对角线互相平分的四边形是平行四边形. ∵OA=OC,OB=OD ∴四边形ABCD是平行四边形 考点2：三角形的中位线 (1).定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。（一个三角形共三条中位线） (2).性质定理: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 (3).符号语言： 考点3：矩形的定义、性质、判定 1． 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 2． 矩形的性质： （1） 边：对边平行且相等；邻边垂直； （2） 角：四个角都是直角； （3） 对角线：对角线相等且互相平分； （4） 整体：中心对称图形、轴对称图形； 3．矩形的判定方法： 方法1：有一个角是直角的平行四边形； 方法2：有三个角是直角； 方法3：对角线相等的平行四边形． 考点4：菱形的定义、性质、判定 1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2.菱形的性质： （1）边：对边平行，四边相等； （2）角：对角相等，邻角互补； （3）对角线：对角线互相垂直平分； （4）整体：中心对称图形，轴对称图形； （5）面积=底×高=对角线乘积的一半． 3.菱形的判定方法： 判定方法 文字语言 图形语言 符号语言 方法1 有一组邻边相等的平行四边形 ∵四边形ABCD是平行四边形,AB=BC ∴四边形ABCD是菱形 方法2 四条边都相等的四边形 ∵AB=BC=CD=DA ∴四边形ABCD是菱形 方法3 对角线互相垂直的平行四边形 ∵AC//BD,AO=CO,BO=DO ∴四边形ABCD是菱形 考点5：正方形的定义、性质、判定 1.正方形的定义：有一个角是直角，并且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形。 2.正方形的性质： （1）边：四边相等，邻边垂直； （2）角：四个直角； （3）对角线：对角线互相垂直平分； （4）整体：中心对称图形，轴对称图形。 2．正方形的判定： 判定方法 文字语言 图形语言 符号语言 方法1 有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形是正方形 ∵四边形ABCD是平行四边形, ∠A=90°,AB=BC ∴四边形ABCD是正方形 方法2 一组邻边相等的矩形是正方形 ∵四边形ABCD是矩形,AB=BC ∴四边形ABCD是正方形 方法3 一个角是直角的菱形是正方形 ∵四边形ABCD是菱形,∠A=90° ∴四边形ABCD是正方形 考点6：特殊的平行四边形之间的联系 考点7：中点四边形重要结论 原图形 中点四边形 图形 任意四边形 平行四边形 对角线相等的四边形 矩形 对角线垂直的四边形 菱形 对角线互相垂直且相等的四边形 正方形 方法6：利用菱形或正方形的对角线互相垂直证明。 1——借助数学文化考查矩形的性质与判定 （2024·云南昭通·二模）“准、绳、规、矩”是我国古代使用的测量工具．一个简单结构的“矩”指两条边成直角的曲尺（如图1），它的两条边长分别为a、b．中国古老的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能，如“偃矩以望高”就是把“矩”仰立放置可以测量物体的高度．如图2，从“矩”的一端E处望向一根杆子的顶端B处，使视线通过“矩”的另一端G处，测得米，米，若“矩”的边米，米，则这根杆子的长为（　　） A．4米 B．3米 C．2米 D．1米 【答案】B 【知识点】根据矩形的性质求线段长、已知正切值求边长 【分析】本题主要考查了矩形的性质，以及正切的定义，由矩形的性质可得出，，由正切的定义可得出，即，即可求出答案． 【详解】解：由题意可得：为矩形， ∴，， ∵在中，， ∴， 又∵在中，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 1．（2024·安徽池州·一模）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一．如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，点是边上一点，过点作于点，于点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据矩形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】此题考查了矩形的性质、勾股定理，连接，根据矩形的性质得到，，，根据勾股定理得到，求得，根据三角形的面积公式即可得到结论，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 2．（2024·山东潍坊·模拟预测）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形中，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，垂足分别为点F，G，求的长． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】此题考查了矩形的性质、勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 连接，根据矩形的性质得到，根据勾股定理得到，求得，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（2024·广东珠海·一模）【背景阅读】我国古代著名数学著作《周髀算经》记载了“勾三、股四、弦五”，直观地证明了勾股定理，我们把三边的比为的三角形称为型三角形，例如：三边长分别为9，12，15的三角形就是型三角形． 【实践操作】如图1，在正方形纸片中，，点E为边上的中点，将沿折叠得，延长交于点G，交的延长线于点H． 【问题解决】（1）证明是型三角形； （2）在不添加字母的情况下，直接写出图1中还有哪些三角形是型三角形； 【拓展探究】（3）如图2，在矩形纸片中，，，E是上的一点，将沿折叠得到，延长交于点G．其中是型三角形，请求出的面积． 【答案】（1）见解析；（2），是型三角形；（3）或 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】（1）先证明，然后在中，利用勾股定理可求出，，证明可求出，利用勾股定理求出，即可得证； （2）由可得，即可判断是型三角形，由（1）中所求各边可知是型三角形； 【详解】解：（1）∵在正方形纸片中，， ∴，，， ∵点E为边上的中点， ∴， ∵翻折， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴是型三角形； （2）∵， ∴， ∴是型三角形， ∵，，， ∴ ∴是型三角形， ∴图中还有，是型三角形； （3）∵翻折， ∴，，， ∵是型三角形， ∴或， 当时， 设，则，， ∴，， ∵， ∴， 解得，舍去）， ∴，， ∴； 当时， 设，则，， ∴，， ∵， ∴， 解得，（舍去）， ∴，， ∴； 综上，的面积或． 4．（2024·福建南平·模拟预测）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形中，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，垂足分别为F，G． (1)当E为的中点时，求证：； (2)当E为边上任意一点时，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【知识点】根据矩形的性质求线段长、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形 【分析】（1）由矩形的性质得，得到，由，得到，由点E为的中点，得到，证明即可求证； （2）连接，根据勾股定理求出，再根据三角形面积即可求解； 本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵ 四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ 点E为的中点， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，如图： ∵ 四边形是矩形，， ∴， ∴ ， 又， ∵ ， ∴ ，     ∴ ． 2——借助数学文化考查正方形的性质与判定 （2024·四川资阳·中考真题）第届国际数学教育大会（）会标如图所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求角的正弦值、全等三角形的性质、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】设，则，根据全等三角形，正方形的性质可得，再根据勾股定理可得，即可求出的值． 【详解】解：根据题意，设，则， ∵，四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 1．（2024·江苏镇江·二模）我国古代数学专著《九章算术》中记载了这样一个问题：今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？其大意为：如图，今有，其勾（）长为5步，股（）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形的边长是（    ） A．步 B．步 C．步 D．步 【答案】D 【知识点】根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，证明根据题意列出方程，即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为步， ∵四边形是正方形， ∴，， 设，则， ∵ ∴ ∴ ∴， ∴； 故选D 2．（2023·山东淄博·中考真题）勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱．小亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连接，．若正方形与的边长之比为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算、根据正方形的性质求线段长 【分析】设的长直角边为a，短直角边为b，大正方形的边长为，小正方形的边长为x，由题意得，解得，即可求解． 【详解】解：过点D作交的延长线于点N， 由题意可得，两个正方形之间是4个相等的三角形， 设的长直角边为a，短直角边为b，大正方形的边长为，小正方形的边长为x， 即，，， 由题意得，，解得， 在中，，则， ， 则， ∴， 故选：A．    3．（2024·河北保定·二模）我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补的方法证明了勾股定理．如图，直角三角形的三边a，b，c满足，分别以a、b、c为边作三个正方形：正方形、正方形、正方形，把它们拼成如图所示形状，使E、F、G三点在一条直线上，若，四边形与面积之和为7，则正方形的面积为（    ） A．49 B．28 C．21 D．14 【答案】C 【知识点】以弦图为背景的计算题、根据正方形的性质证明、全等三角形综合问题 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是证明三角形全等，根据图形面积得到相应等式，从而进行计算．证明，得到，再证明，从而推出，化简得到，再根据，得到，结合两式可得，从而计算结果． 【详解】解：在与中， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 即， 化简得：①， ∵， ∴②， ，得：， ∴． 故选：C． 4．（2024·陕西咸阳·模拟预测）《九章算术》是中国古代的数学专著，书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何．”其大意是：如图，的两条直角边的长分别为5和12，正方形的顶点C与的直角顶点C重合，顶点D、E、F分别在线段上，则正方形的边长为 ． 【答案】/ 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质证明 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，相似三角形的对应边成比例是求线段长的常用方法．先设正方形的边长为x，再表示出，，然后说明，并根据对应边成比例得出答案． 【详解】根据题意可知，． 设正方形的边长为x，则，． ∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 所以正方形的边长为． 故答案为：． 5．（2024·宁夏银川·二模）七巧板是我国古代劳动人民的一项发明，被誉为“东方魔板”，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形组成，图1是由边长为的正方形薄板分为7块制作而成的“七巧板”，某同学利用这个七巧板拼成图2所示的一只“小猫”，则图中阴影正方形的边长为 ．（结果保留根号） 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查七巧板相关的计算，勾股定理，在中，运用解题即可． 【详解】解：如图1： 设，则， 在中，， ∴， ∴（负值已舍）， 即， ∴图中阴影正方形的边长为， 故答案为：． 6．（2024·安徽合肥·二模）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图，在中，，四边形为正方形，，，，，则 ． 【答案】1 【知识点】全等三角形的性质、根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 设正方形的边长为，则，，根据全等三角形的性质得到，根据即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为，则，， ∵，， ， ，， ， ， ， 解得：， ∴正方形的边长等于1， 故答案为：1． 7．（22-23九年级上·陕西西安·阶段练习）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点之间的距离为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、利用平移的性质求解 【分析】根据正方形的性质、勾股定理求出BD，根据平移的性质求出，计算即可． 【详解】解：根据题意得：，，， ∴， ∴， 即点D，之间的距离为． 故答案为：． 8．（2024·甘肃天水·二模）我国是最早了解勾股定理的国家之一，早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三、股四、弦五”这一结论．勾股定理与图形的面积存在密切的关系，如图，这是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，若的面积为6，则阴影部分的周长为 ． 【答案】28 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积、根据正方形的性质求面积、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，根据根据勾股定理得，则正方形AEFB的面积是25，因为的面积为6，所以，即可算出阴影部分的周长为． 【详解】解：依题意，， ， 正方形AEFB的面积是25， ． 的面积为6， ， ， ． 即． 阴影部分的周长为． 故答案为： ． 9．（2024·江西·二模）七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板．图1 是用边长为4的正方形分割制作而成的七巧板，图2 是由该七巧板拼摆成的“叶问蹬”图，其中点C，D分别为①②两个等腰直角三角形斜边的中点，则图2 中抬起的“腿”的高度(点 A到的距离)是 ． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用七巧板拼图形、根据正方形的性质求线段长 【分析】此题考查了七巧板中的图形的构成和等腰直角三角形的性质，熟悉七巧板中图形的分类是解题的关键． 过点G作，过点C作，根据等腰直角三角形的性质分别求出，，，的长度，然后相加即可． 【详解】如图所示，过点G作，过点C作 ∵图1中正方形的边长为4 ∴ ∵是等腰直角三角形 ∴ ∵点D是的中点 ∴ ∵ ∴ ∵是等腰直角三角形 ∴ ∵图1中正方形的边长为4 ∴， ∵点C是的中点 ∴ ∵， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴点 A到的距离 ∴图2 中抬起的“腿”的高度(点 A到的距离)是． 故答案为：． 10．（2024·山东德州·一模）综合与实践 【阅读经典】2002年国际数学家大会在北京召开，如图①，大会的会徽是我国古代数学家赵爽画的“弦图”，体现了数学研究中的继承和发展． “弦图”在三国时期被赵爽发明，是证明______的几何方法（填序号）． ①勾股定理　②完全平方公式　③平方差公式 【动手操作】 如图②，某数学兴趣小组发现，用四个大小、形状完全相同的直角三角形就可以拼接得到一个“赵爽弦图”．组员小明自制了四个大小形状一样，且两直角边的边长分别为5和12的三角板拼成了一个“赵爽弦图”，则中间四边形的面积为______； 【问题探究】 兴趣小组组员小红发现，通过旋转某个三角形得到一些美妙的结论：如图③，为正方形内一点，满足，将绕点顺时针旋转，得到． （1）连接，若点为的中点，则四边形为______（填形状）； 【问题解决】 （2）若的延长线交于点，连接，点分别为的中点，请仅就图④的情形解决下列问题： ①请判断和的数量关系，并说明理由； ②若，求的长． 【答案】阅读经典：①；动手操作：49；问题探究：（1）正方形；（2）①，②的长为3或4 【知识点】根据正方形的性质与判定证明、相似三角形的判定与性质综合、以弦图为背景的计算题、根据旋转的性质求解 【分析】阅读经典：根据“赵爽弦图”是证明勾股定理的方法，直接得出答案； 动手操作：先根据正方形的边长为直角三角形较长直角边与较短直角边的差求得正方形边长为7，再运用正方形面积公式即可求得答案； 问题探究：（1）先证得、均为等腰直角三角形，再结合旋转的性质可证得四边形是矩形，由，即可证得四边形是正方形． （2）①连接，，延长、交于点，设交于，由正方形性质可得：，，，进而可得，再利用直角三角形性质即可得出； ②分两种情况：当点在上方时，当点在下方时，设，利用勾股定理建立方程求解即可得出答案． 【详解】阅读经典：“赵爽弦图”是证明勾股定理的方法， 故答案为：①． 动手操作：正方形的边长， ， 故答案为：49． 问题探究：（1）如图，点为正方形对角线的中点， 、均为等腰直角三角形， ，，， 由旋转得：，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形． 故答案为：正方形． （2）①， 是直角三角形，， 由旋转得：，，， 四边形是正方形， ， 连接，，延长、交于点，设交于，如图， 四边形和是正方形， ，，， ， 即， ， ， ， ，， 点，分别为，的中点， ，， ； ②当点在上方时，如图， 设，则， ，， ，， 在中，， ， 解得：（舍去）或， ； 当点在下方时，如图， 设，则， ，， ，， 在中，， ， 解得：（舍去）或， ； 综上所述，的长为3或4． 11．（2024·河南周口·三模）司南是最早的磁性指向器，我国著名专家王振铎曾成功复原了汉代的司南如图①所示．小红受此启发，设计了如图②所示的简易司南装置．她首先取来一个正方形纸板，取对角线的中点O，再连接，取的中点E，然后以点O为圆心，长为半径作．再用一根铁丝将纸板竖直悬挂在水平支架上的点P处（），此时，长度固定不变，然后在P，E两点之间挂上一条橡皮筋．当纸板绕点O转动时，的长也随之变化．如图③，当与相切时，回答下列问题： (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求点P和点D之间的距离． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【知识点】切线的性质定理、解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形、正方形性质理解 【分析】本题考查切线的性质，正方形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）根据切线性质及正方形的性质可知，，进而可得结论； （2）根据正方形的性质及垂直定义可知，进而可知，即可求得，，，如图，连接，，由正方形的性质可知，E，O，D三点共线，得，在中，，，由勾股定理得即可求解． 【详解】（1）解：，理由： ∵与相切， ∴， ∴， ∵四边形为正方形，是的中点， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得，（不合题意，舍去）， ∴，． ∵点E是OB的中点， ∴， 如图，连接，，    由正方形的性质可知，E，O，D三点共线， ∴， 在中，，， 由勾股定理得． 12．（2024·山西长治·二模）请认真阅读下列材料，并完成相应的任务． 从毕达哥拉斯到帕普斯毕达哥拉斯从地板的结构中发现了直角三角形的三边关系——勾股定理，之后相继有很多数学家及数学爱好者都用面积割补法给出了验证．如我国三国时期的数学家赵爽，美国第二十任总统加菲尔德等． 欧几里得在《几何原本》中第一次在公理体系下给出了以三角形为“桥梁”证明勾股定理的方法：如图（1），过点A作，交于点M，连接． 先证明，所以． 又因为，， 所以． 同理得，则， 即． 之后，我国清代数学家梅文鼎在欧几里得证法的基础上，进行了“改进”，以平行四边形作为“桥梁”进行了证明．如图（2），延长交于点P，连接并延长分别交于点M，N，延长交于点Q． 梅文鼎的证法如下：由题可知，四边形为矩形，∴． ∵四边形，四边形都是正方形， ∴，，． ∴． ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵四边形为正方形， ∴，， ∵． ∴． ∴． ∴． ∵四边形为正方形， ∴． ∴四边形为平行四边形（依据______） ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，． ∴．…… (1)材料中的依据为______； (2)把材料中的证明过程补充完整； (3)古希腊数学家帕普斯在梅文鼎证法的基础上进行了改进，如图（3），中，，，以为边作和，且中边的高为2，的面积为6，延长交于点R，连接并延长，过点B作，且，再以为边作．请直接写出中边的高． 【答案】(1)两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 (2)见解析 (3) 【知识点】四边形其他综合问题、利用平行四边形性质和判定证明、根据矩形的性质与判定求面积、根据正方形的性质与判定证明 【分析】本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确地找出辅助线是解题的关键． （1）根据证明过程即可确定依据； （2）根据题干思路证明即可； （3）设中边上的高为，延长交于点，与交于点，过点作于点过点作于点过点作于点，过点作于点．根据，，，，证明四边形是平行四边形，再根据，证明，列出等式解答即可； 【详解】（1）根据，， 得出四边形APQB为平行四边形， 故依据为：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形； （2）证明：， ， 同理， ， 即． （3）解：设中边上的高为， 如图，延长交于点，与交于点，过点作于点过点作于点过点作于点，过点作于点． ∵，，，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故中边的高为． 3——借助数学文化考查菱形的性质与判定 （2024·广东深圳·三模）黄金分割比被称之为比例之王，在艺术创作和建筑设计上有很多例子．不过，事实上黄金分割符合的是西方美学，而东方美学更钟爱于白银分割．其中爱国品牌红旗汽车的设计中应用了白银分割（图；福州华林寺大殿——现存最古老木构建筑物中也大量运用了白银比例．东方人之所以喜欢白银分割比，因为在日常生活中随处都可以见到白银分割的身影，比如常用到的纸，对折后得到两个全等的纸、纸折叠后得到两个全等的纸等等（图，纸，纸、纸等的长与宽的比都等于白银比，这样的矩形称为白银矩形． 如图3，若菱形的边长与高之比为白银比，则称这个菱形为白银菱形，以白银菱形作为平面镶嵌图形从而构造出具有对称美的图形，则这个矩形地毯的长宽比为　　 A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】黄金分割、相似三角形的判定与性质综合、利用菱形的性质证明 【详解】解：由题意得，白银矩形四边形白银矩形四边形， ， 即， ， ， ， （负值舍去） 即白银矩形的长与宽的比为． 故选：． 1．（2024·湖北黄冈·模拟预测）如图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽，图2由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．作菱形，使点，，分别在边，，上，过点作于点．当，，时，的长为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【知识点】解直角三角形的相关计算、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了解直角三角形、菱形的性质，根据菱形性质和解直角三角形求出，，继而求出再根据，即可求． 【详解】解：∵在菱形中，，， ∴， 又∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ∵， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， 故选B． 2．（2024·安徽亳州·二模）中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．如图，晓进家有一个菱形中国结装饰，对角线相交于点，测得，，过点作于点，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用菱形的性质求线段长、斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，根据菱形的性质得到，，根据勾股定理得到，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求． 【详解】四边形是菱形 故选：A． 3．（23-24八年级下·河南驻马店·期中）图1是第63 届国际数学奥林匹克竞赛会标，图2是其主体的中间部分图案，它是一个 轴对称图形．已知，作菱形，使点H，F，G分别在上，且点E 在 上．若，则整个图形的面积为（     ） A． B． C．20 D．25 【答案】A 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，轴对称图形的定义等等，如图所示，连接，由菱形的性质可得，有轴对称图形的定义可得点E为的中点，且，据此证明是等边三角形，求出，则；再证明都是等边三角形，如图所示，过点D作，求出，则，可得整个图形的面积为． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵整个图形是一个轴对称图形， ∴点E为的中点，且， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， 由菱形的性质可得， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴都是等边三角形， 如图所示，过点D作， ∴， ∴， ∴， ∴整个图形的面积为， 故选：A． 4．（2023·江苏扬州·一模）下图中，图是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果，图是一个菱形，将图截去一个边长为原来一半的菱形得到图，用图镶嵌得到图，将图着色后，再次镶嵌便得到图，则图中的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】两直线平行同旁内角互补、利用菱形的性质求角度 【分析】先确定的度数，再利用菱形的对边平行，平行线的性质即可求出的度数． 【详解】解：如图所示： ， 又∵， ， ∵， ∴， ，故C正确． 故选：C． 5．（2024·陕西西安·模拟预测）小方在学习菱形时，发现可以利用菱形纸片拼出著名的“赵爽弦图”：把如图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，这四个直角三角形可以拼出如图2所示的面积为7的正方形，和如图3所示的边长为1的正方形，则图1中菱形的边长为 ． 【答案】2 【知识点】根据正方形的性质求线段长、利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查完全平方公式应用，二次根式求值，菱形和正方形性质等．根据题意设菱形中的直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，列出关于a和b的式子解出即可． 【详解】解：设菱形中的直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b， 则：， 化简得：， ∴， ∴菱形的边长：， 故答案为：2． 6．（2024·贵州毕节·一模）如图1是清代方胜纹暗花缎袄，如图2是缎袄上面方胜纹示意图，菱形与菱形是完全相同的两个菱形，中间四边形也是菱形，、相交于点M，若，，则菱形的周长为 ． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求线段长 【分析】本题主要考查菱形的性质，根据菱形的性质求出的长，再由勾股定理救出的长，最后求出菱形的周长即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，且，， ∴， 在中，， ∴菱形的周长， 故答案为：． 7．（2024·福建泉州·模拟预测）《九章算术》勾股章一五问“勾股容方”描述了关于图形之间关系的问题∶知道一个直角三角形较短直角边（“勾”）与较长直角边（“股”）的长度，那么，以该三角形的直角顶点为一个顶点、另外三个顶点分别在该三角形三边上的正方形的边长就可以求得．（我们不妨称这个正方形为该直角三角形的“勾容正方形”） 其文如下： 题：今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？ 答：方三步，十七分步之九． 术：并勾、股为法，勾股相乘为实，实如法而一，得方一步． “题”、“答”、“术”的意思大致如下∶ 问题：一个直角三角形的两直角边的长分别为5和12，它的“勾容正方形”的边长是多少？ 答案： 解法： （1）问题探究 根据“勾股容方”中描述的直角三角形与其“勾容正方形”之间的关系，请提出一个数学命题，并证明； （2）类比探究 “勾股容圆”：一个直角三角形的两直角边的长分别为5和12，它的内切圆的半径是多少？ （3）拓展运用 某市去年举办中小学校园文化展览，举办方在某广场搭建了一个展馆（平面示意图为正方形），并综合考虑参展主题、参展单位等因素将展馆划分为四个展区，规划方案如图所示，其中，是的中点，点，在边上，垂直平分，垂足为，． 今年，为了让更多人参与，举办方拟在北湖公园的一块菱形场地上搭建展馆，该菱形场地面积为，且两条对角线长度之和为，考虑到展览安全、公园环境等各方面的因素，若举办方希望沿用去年展馆及展区的规划方案，则展馆的建设需满足以下要求：①展馆平面示意图中的A，B，C，D四个点分别落在菱形场地的四条边上；②展馆主入口的宽度为，去年的规划方案是否可行？请说明理由． 【答案】（1）命题：如果直角三角形的两条直角边分别为，，那么该直角三角形的“句容正方形”的边长是；证明见详解； （2）2； （3）去年的规划方案可行，理由见详解． 【知识点】解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据材料中的内容确定命题：如果直角三角形的两条直角边分别为，，那么该直角三角形的“勾容正方形”的边长是；正确画图后写出已知和求证，利用相似三角形的判定与性质可得结论； （2）设的半径为r，在中， 运用勾股定理可求得，由，得到，求解即可； （3）设菱形场地的两条对角线长分别为米，米，根据菱形场地面积为，且两条对角线长度之和为列方程组可得：和的值，作辅助线，如图4，延长，交于点，根据三角函数定义计算，，由此可解答． 【详解】（1）解：命题：如果直角三角形的两条直角边分别为，，那么该直角三角形的“勾容正方形”的边长是； 已知：如图，在中，，，，四边形是正方形，且点，，分别在边，，上， 求证：． 证明：如图1， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ； （2）由题意得，在中，，，是的内切圆，求的半径， 解：如图，过点O分别作的垂线，垂足为D、F、E，连接， 设的半径为r， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， 解得； （3）去年的规划方案可行，理由如下： 设菱形场地的两条对角线长分别为米，米， 由题意得：，化简得：， 如图3，若正方形的四个顶点分别在菱形的四条边上，且，点在线段上，则是的“句容正方形”的边长， 由（1）得：米， 如图4，是的中点， 米， 四边形是正方形， 米，， ， 在中，米， ，， 是的中点， 米， 如图4，延长，交于点， ， ， ， ， ，， 在中，， 米， 米， ， ， 在中，， 米， 所以去年的规划方案可行． 8．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图1，是我国古代著名的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形围成，即 ，其中四边形是正方形，四边形是正方形，如图2，将图1中的线段和线段分别延长到点和点，使，，连接，，，，得到四边形． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【知识点】全等三角形综合问题、证明四边形是平行四边形、根据正方形的性质求面积 【分析】（1）由全等三角形的性质得，，，因为，，所以，可推导出，，进而证明及，则，，所以四边形是平行四边形； （2）由，，得，，则，，求得，，，则． 【详解】（1）（1）证明：， ，，， ，， ， ，， ，， 在和中， ， ， ； 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：，， ，， ，， ，， ，， 四边形是正方形， ， ， 四边形的面积是86． 4——借助数学文化考查多边形的性质 （2024·江苏连云港·中考真题）图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城的边长为，南门设立在边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路，在上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路，C处有一座雕塑．在处测得雕塑在北偏东方向上，在处测得雕塑在北偏东方向上． (1)__________，__________； (2)求点到道路的距离； (3)若该小组成员小李出南门O后沿道路向东行走，求她离处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响？（结果精确到，参考数据：，，，，） 【答案】(1)， (2)2.0千米 (3) 【知识点】正多边形的外角问题、相似三角形的判定与性质综合、方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查正多边形的外角，解直角三角形，相似三角形的判定和性质： （1）求出正八边形的一个外角的度数，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）过点作，垂足为，解，求出，解，求出，即可； （3）连接并延长交于点，延长交于点，过点作，垂足为，解，求出，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵正八边形的一个外角的度数为：， ∴，； 故答案为：； （2）过点作，垂足为． 在中，，， ． 在中，， ． 答：点到道路的距离为2.0千米． （3）连接并延长交于点，延长交于点，过点作，垂足为． 正八边形的外角均为， 在中，． ． 又，， ． ∵， ∴， ，即， ， ． 答：小李离点不超过2.4km，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响． 1．（2024·云南昆明·一模）中国古代建筑具有悠久的历史传统和光辉的成就，其建筑艺术也是美术鉴赏的重要对象．如图是中国古代建筑中的一个正八边形的窗户，则它的内角和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】多边形内角和问题 【分析】根据多边形的内角和为，其中n为正多边形的边数，计算即可，此题考查的是求正八边形的内角和，掌握多边形的内角和公式是解决此题的关键． 【详解】解：正八边形的内角和为： 故选A． 2．（2024·北京丰台·一模）我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．图2是八角形窗户的示意图，它的一个外角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正多边形的外角问题 【分析】本题考查了多边形外角和定理，由多边形的外角和定理直接可求出结论． 【详解】解：∵正八边形的每一个外角都相等，外角和为， ∴它的一个外角． 故选：A． 3．（2024·云南昆明·一模）中国古代建筑具有悠久的历史传统和光辉的成就，其建筑艺术也是美术鉴赏的重要对象．如图是中国古代建筑中的一个正八边形的窗户，则它的内角和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】多边形内角和问题 【分析】根据多边形的内角和为，其中n为正多边形的边数，计算即可，此题考查的是求正八边形的内角和，掌握多边形的内角和公式是解决此题的关键． 【详解】解：正八边形的内角和为： 故选A． 2 / 47 学科网（北京）股份有限公司 $$