专题02 直线的方程（8种核心考点+过关测试）-【寒假自学课】2025年高二数学寒假提升精品讲义（沪教版2020）

专题02 直线的方程（8种核心考点+过关测试） 题型聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 知识梳理：知识点和关键点梳理，查漏补缺 核心考点：难点内容标注与讲解，能力提升 过关测试：真题感知+精选专练，全面突破 【题型1 曲线方程与直线方程的概念与性质】 【题型2 直线的点斜式方程】 【题型3 直线的两点式方程】 【题型4 直线的斜截式方程】 【题型5 直线的一般式方程】 【题型6 由两条直线平行求方程】 【题型7 由两条直线垂直求方程】 【题型8 直线过定点问题】 一．直线的点斜式方程 已知直线l经过点，且斜率为k，则直线l的方程为． 这个方程是由直线上一定点及其斜率确定的，因此称为直线的点斜式方程，简称点斜式． 当直线l的倾斜角为0°时（如图1），，即k=0，这时直线l与x轴平行或重合，l的方程就是，或． 当直线l的倾斜角为90°时（如图2），直线没有斜率，这时直线l与y轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示．因为这时l上每一点的横坐标都等于，所以它的方程是，或． 直线的点斜式方程的推导 如图，设点是直线l上不同于点的任意一点，根据经过两点的直线的斜率公式得 （1），即 （2）． 注意：方程（1）与方程（2）的差异：点的坐标不满足方程（1），但满足方程（2），因此，点不在方程（1）表示的图形上，而在方程（2）表示的图形上，方程（1）不能称为直线l的方程． 上述过程可以证明直线上每个点的坐标都是方程（2）的解．对上面的过程逆推，可以证明以方程（2）的解为坐标的点都在直线l上，所以这个方程就是过点，斜率为k的直线l的方程． 二．直线的斜截式方程 我们把直线l与y轴交点的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距． 如果直线l的斜率为k，且在y轴上的截距为b，则方程为，即叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 当b=0时，表示过原点的直线；当k=0且b≠0时，表示与x轴平行的直线；当k=0且b=0时，表示与x轴重合的直线． 三．直线的两点式方程 1．直线的两点式方程的定义 已知直线过两点，当时，直线的方程为．这个方程是由直线上的两点确定的，因此称为直线的两点式方程，简称两点式． 2．直线的两点式方程的推导 已知直线过两点（其中），此时直线的位置是确定的，也就是直线的方程是可求的． 当时，所求直线的斜率． 任取中的一点，例如取，由点斜式方程，得， 当时，可写为． 四．直线的截距式方程 1．直线的截距式方程的定义 已知直线过点，（），则由直线的两点式方程可以得到直线的方程为． 我们把直线与轴的交点的横坐标叫做直线在轴上的截距，此时直线在轴上的截距是． 这个方程由直线在两个坐标轴上的截距和确定，因此叫做直线的截距式方程，简称截距式． 2．直线的截距式方程的推导 已知直线与轴的交点为，与轴的交点为，如图，其中． 将两点，的坐标代入两点式，得，即． 五．中点坐标公式 若点的坐标分别为，且线段的中点的坐标为，则．此公式为线段的中点坐标公式． 六．直线的一般式方程 在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于x，y的二元一次方程（其中A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式． 直线的一般式、斜截式、截距式如下表： 一般式 斜截式 截距式 不同时为0） 都不为0） 直线的一般式方程可以表示坐标平面内任意一条直线．因此在一定条件下，直线的一般式方程可以进行如下转化： （1）当时，可化为，它表示在y轴上的截距为，斜率为的直线． （2）当均不为零时，可化为，它表示在x轴上的截距为，在y轴上的截距为的直线． 七.一般式方程中两直线平行与垂直的条件 若两条直线的方程是用一般式给出的，设直线的方程分别为，，则可以在条件允许时将两方程化为斜截式方程，从而得出两直线平行与垂直的结论如下： （1）若，当斜率存在时，；当斜率不存在时，且． 即，且或． （2）若，当斜率存在时，；当斜率不存在时，或． 即 【题型1 曲线方程与直线方程的概念与性质】 1．（23-24高二上·上海杨浦·期中）关于方程所表示的曲线，下列说法正确的是（    ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．关于原点中心对称 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】由方程研究曲线的性质 【分析】根据题意，由曲线方程，依次分析选项即可得出答案. 【详解】对于A，将方程中换为，则有， 则，与原方程不同，所以方程不关于轴对称； 对于B，将方程中换为，则有， 则，与原方程不同，所以方程不关于轴对称； 对于C，将方程中换为，换为，则有， 与原方程相同，所以方程不关于轴对称； 对于D，将方程中换为，换为，则有， 则，与原方程相同，所以方程关于原点中心对称. 故选：D. 2．（22-23高二下·上海黄浦·阶段练习）若直线上的每一点都在曲线上，但不是曲线的方程，则满足该条件的曲线方程有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】由方程研究曲线的性质 【分析】对于和，等价于；对于D，画出的图象，存在直线上的点不在曲线上，即可得出答案. 【详解】对于和，等价于，即是曲线的方程， 对于D，图象如下图，存在直线上的点不在曲线上，不符合题意. 故选:B 3．（22-23高二下·上海静安·期中）若曲线C 的方程为：，则该曲线（    ） A．曲线关于轴对称 B．曲线的顶点坐标为 C．曲线位于直线的左侧 D．曲线过坐标原点 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】由方程研究曲线的性质 【分析】根据方程的性质，方程的转化，求导探究单调性，即可逐一进行判断. 【详解】因， 则，代入不等于代入，所以不关于y轴对称，故A错； 又，得，C正确； 将代入不成立，故D错误； 又， 若， ， 则在上单调递减， 当时，，则， 若， ， 则在上单调递增， 又时，， 故此时， 因此的顶点只有一个，且为，B错. 故选：C 4．（24-25高二上·上海）在一个平面直角坐标系中给定一条直线和一个关于x与y的二元一次方程，它们之间具备怎样的关系，使得这个给定的方程就是给定直线的方程？ 【答案】答案见解析 【难度】0.65 【知识点】直线的方程的概念 【详解】如果给定直线上的每一个点的坐标都是给定方程的解，而且以给定方程的解为坐标的点都在给定的直线上，那么称这个给定的方程是给定直线的方程． 【题型2 直线的点斜式方程】 1．（22-23高二上·上海浦东新·期末）过点，倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】直线斜率的定义、直线的点斜式方程及辨析 【分析】根据给定条件，利用直线的点斜式方程求解作答. 【详解】依题意，直线的斜率， 所以直线方程为：，即. 故选：B 2．（24-25高二上·上海）斜率为k且过点的直线的点斜式方程为 ． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】直线的点斜式方程及辨析 【分析】略 【详解】略 3．（24-25高二上·上海）直线绕点逆时针旋转90°后得直线l，则直线l的点斜式方程为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析 【分析】根据直线互相垂直求直线的斜率，再代入点斜式方程，即可求解. 【详解】由两直线互相垂直，可知，直线的斜率为， 所以直线的点斜式方程为. 故答案为： 4．（21-22高二下·上海徐汇·期中）已知直线经过点，并且与直线的夹角为，求直线的方程． 【答案】或． 【难度】0.45 【知识点】直线的倾斜角、直线的点斜式方程及辨析 【分析】先求出的倾斜角，根据两直线的夹角，求得的倾斜角，结合直线过点，可求得直线方程. 【详解】由于直线的斜率为，故它的倾斜角为， 由于直线和直线的夹角为，故直线的倾斜角为或， 故直线的斜率不存在或斜率为． 再根据直线经过点，得直线的方程为或， 即或． 【题型3 直线的两点式方程】 1．（24-25高二上·上海·随堂练习）下列四个命题：其中正确命题的个数是（    ） ①经过定点的直线都可以用方程表示； ②经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示； ③两点式适用于不垂直于x轴和y轴的直线； ④经过定点的直线都可以用方程表示． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】直线两点式方程及辨析、直线的点斜式方程及辨析、直线的斜截式方程及辨析 【分析】由直线方程的四种特殊形式的适用范围逐一核对四个命题得答案. 【详解】①经过定点的直线当斜率存在时可以用方程表示，当斜率不存在时用方程，①错误； ②经过任意两个不同的点，白的直线都可以用方程表示，②错误； ③两点式适用于不垂直于x轴和y轴的直线；③正确； ④经过定点且垂直于轴的直线不能用方程表示，④错误； 故选：B. 2．（24-25高二上·上海·课前预习）过点，且，的直线的两点式方程为 ． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】直线两点式方程及辨析 【分析】略. 【详解】略. 故答案为： 3．（24-25高二上·上海·期中）某房地产公司要在荒地（如图）上划出一块矩形地块（不改变方位）建造一幢公寓（、、分别在线段、、上），若米，米，米，米，且，则该矩形地块的面积最大值为 平方米.（结果精确到1平方米） 【答案】6017 【难度】0.65 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题、直线截距式方程及辨析 【分析】以BC，EA所在的直线为x，y轴，建立直角坐标系，通过坐标运算得，进而可得最值. 【详解】在线段AB上任取一点P，分别向CD、DE作垂线划出一块长方形土地，以BC，EA的交点为原点，以BC，EA所在的直线为x，y轴，建立直角坐标系， 则AB的方程为，设P， 则长方形的面积． 化简得． 当时，最大，其最大值为． 故答案为：6017. 4．（23-24高二上·上海·期中）已知直线过点. (1)若直线过点，求直线的方程； (2)若直线在轴和轴上的截距相等求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【难度】0.45 【知识点】直线两点式方程及辨析、直线截距式方程及辨析 【分析】（1）根据直线过两点即可求出直线方程； （2）分类讨论直线截距是否为，即可得出直线方程. 【详解】（1）由题意， 直线过点，， ∴直线方程：，即. （2）由题意， 直线过点，且在轴和轴上的截距相等 当直线过原点时，截距为，方程为 当直线不过原点时，设直线， ∴，解得：，、 ∴直线方程为 综上，直线的方程为：或. 【题型4 直线的斜截式方程】 1．（高二上·上海·期中）直线经过第一、二、四象限，则a，b，c应满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】直线的斜截式方程及辨析 【分析】写成斜截式，由斜率和与轴交点纵坐标确定直线经过的象限. 【详解】若，则直线不会经过三个象限，所以， 所以， 因为直线经过第一、二、四象限， 所以斜率，与轴交点纵坐标， 解得， 故选：A 2．（24-25高二上·上海）若直线在y轴上的截距为-1，且它的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、直线的倾斜角 【分析】则，求出的值，再设直线的倾斜角为 ，则， 求出，即可求解． 【详解】解：，则，得， 得， 设直线的倾斜角为 ，则， 得， 得，得， 故选：D 3．（24-25高二上·上海松江·期中）过点斜率为的直线的斜截式方程是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】直线的斜截式方程及辨析 【分析】根据直线的斜截式方程的表达式直接求解即可. 【详解】由题知，该直线在轴上截距为， 则该直线斜截式方程为. 故答案为： 4．（24-25高二上·上海·期中）已知直线经过点，倾斜角为，则该直线的方程为 【答案】 【难度】0.45 【知识点】直线的斜截式方程及辨析 【分析】根据倾斜角可得斜率，即可根据斜截式求解方程. 【详解】由于倾斜角为，故斜率为， 故直线方程为， 故答案为： 5．（24-25高二上·上海）已知直线经过点，且倾斜角等于直线的倾斜角的一半，则直线的点斜式方程为 ． 【答案】 【难度】0.45 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线斜率的定义、直线的倾斜角 【分析】由直线可知该直线的斜率，由斜率计算出倾斜角，可得直线的倾斜角，继而可得直线的斜率，即可得出直线的点斜式方程. 【详解】设直线的倾斜角为， 则斜率，又，故， 设直线的倾斜角为，则， 直线的斜率， 又直线经过点， 则直线的点斜式方程为：. 故答案为：. 【题型5 直线的一般式方程】 1．（24-25高二上·上海）直线过第一、二、四象限的充要条件是（    ） A．， B． C．， D．， 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】直线的一般式方程及辨析、充要条件的证明 【分析】由直线过第一、二、四象限的充要条件是直线斜率小于0且在y轴上的截距大于0，列不等式求解，即得答案. 【详解】由题意直线过第一、二、四象限的充要条件是直线斜率小于0且在y轴上的截距大于0， 即，即，， 故选：A 2．（22-23高二下·上海宝山·期末）若，，则直线不经过第象限（    ） A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】直线一般式方程与其他形式之间的互化 【分析】将直线方程化为，由斜率以及纵截距的正负判断即可. 【详解】依题意、、均不为，所以直线可化为， 因为，，所以，， 所以直线的斜率为正，纵截距为正， 即直线通过第一、二、三象限，不通过第四象限. 故选：D 3．（23-24高二上·上海·期末）已知直线，直线，则是直线的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】由一般式方程判断直线的垂直、判断命题的充分不必要条件 【分析】充分性与必要性分析即可. 【详解】充分性：若，则，则直线，充分性满足； 必要性：若直线，则， 当时，不成立，则必要性不满足, 所以是直线的充分不必要条件. 故选：A 4．（22-23高二下·上海浦东新·期中）若直线l经过点、，则以下不是直线l的方程的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.75 【知识点】直线的一般式方程及辨析、直线两点式方程及辨析 【分析】先求直线l的一般方程，逐项分析判断. 【详解】直线l的方程为，整理得，故C正确； 对于A：由整理得，故A正确； 对于B：由整理得，故B正确； 对于D：由整理得，故D错误； 故选：D. 5．（22-23高二下·上海杨浦·期中）已知，，设直线，其中，给出下列结论： ①直线的法向量与向量垂直； ②若，则直线与直线的夹角为； ③直线与直线平行；上述结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】B 【难度】0.45 【知识点】由一般式方程判断直线的平行、求直线的法向量、求直线的方向向量 【分析】 对①，写出方向向量，由向量共线与坐标的关系即可判断；对②，由斜率及倾斜角的关系求得两直线倾斜角，即可求得夹角；对③，两直线平行需进一步判断是否存在重合. 【详解】对于①，直线的方向向量是，则， 所以向量与向量共线， 故直线的法向量与向量垂直，即①正确； 对于②，当时，直线的斜率是，倾斜角是， 直线的斜率是，㑔斜角是，两直线的夹角为，故②正确； 对于③，直线的斜率是，在轴上的截距是， 直线的斜率是，且在轴上的截距是， 当时，两直线重合，不平行，故③错误； 综上，是真命题的序号是①②； 故选：B. 【题型6 由两条直线平行求方程】 1．（23-24高二上·上海·期中）过点且与直线平行的直线方程为 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】由两条直线平行求方程 【分析】设所求直线方程为，将点的坐标代入方程，求出的值，即可得解. 【详解】设所求直线方程为，又直线过点， 所以，解得， 所以所求直线方程为. 故答案为： 2．（22-23高二下·上海浦东新·期末）过点且与直线平行的直线方程是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由两条直线平行求方程 【分析】根据给定条件，设出所求直线的方程，利用待定系数法求解作答. 【详解】设与直线平行的直线方程是， 依题意，，解得， 所以所求直线方程是. 故答案为： 3．（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）已知直线l经过两条直线和的交点. (1)若直线l与直线平行，求直线l的方程； (2)若直线l与夹角为，求直线l的方程. 【答案】(1)； (2)，另一个是. 【难度】0.75 【知识点】由两条直线平行求方程、根据直线的方向向量求直线方程、求直线交点坐标、点法向式方程 【分析】（1）联立直线的方程可得交点为，再设直线l的方程为，代入求解即可； （2）设l的点法式方程为，再根据夹角的余弦公式化简求解即可. 【详解】（1）由，可得，即直线和的交点为， 因为直线l平行于直线，可设直线l的方程为， 把点代入方程得， 解得，所以直线l的方程为； （2）设l的点法式方程为（a和b不同时为零）， 根据夹角的余弦公式得，化简为. 所以或，此时. 所以直线l的方程有两个，一个是，另一个是. 【题型7 由两条直线垂直求方程】 1．（24-25高二上·上海·单元测试）已知点，和，则经过点A且与BC垂直的直线l的点法式方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】点法向式方程、由两条直线垂直求方程 【分析】运用直线的点法式可解. 【详解】根据题意知道直线l的法向量可取，则直线l的点法式方程为. 故选：D． 2．（23-24高二上·上海奉贤·阶段练习）过点且与直线垂直的直线的斜截式方程是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】直线的斜截式方程及辨析、由两条直线垂直求方程 【分析】根据题意，由两直线垂直可得，再由点斜式方程，即可得到结果. 【详解】因为直线与直线垂直，所以，解得，所以直线的方程为，化简可得. 故答案为： 3．（2023·上海青浦·二模）过点与直线垂直的直线方程为 . 【答案】 【难度】0.75 【知识点】由两条直线垂直求方程 【分析】设所求直线方程为，将点的坐标代入所求直线方程，求出的值，即可得出所求直线的方程. 【详解】设所求直线方程为，将点的坐标代入所求直线方程可得， 解得， 故所求直线方程为. 故答案为：. 4．（23-24高二下·上海·期中）（1）求过点且与直线平行的直线的方程； （2）求与直线垂直，且与两坐标轴围成的面积为的直线方程. 【答案】（1）；（2） 【难度】0.75 【知识点】由两条直线平行求方程、由两条直线垂直求方程 【分析】（1）设直线的方程为，代入求出，得到答案； （2）设与直线垂直的直线，表达出与两坐标轴的交点坐标，表达出三角形面积，得到方程，求出答案. 【详解】（1）设直线的方程为， 将代入得，，解得， 故直线的方程为； （2）与直线垂直的直线设为， 中，令得，令得， 故，所以， 解得， 故直线方程为. 【题型8 直线过定点问题】 1．（24-25高二上·上海松江·期中）已知直线的方程是，则对任意的实数，直线一定经过第（   ）象限. A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】直线过定点问题 【分析】求出直线过的定点，即可得答案. 【详解】解：因为线的方程是， 即为， 令，解得， 即直线过定点, 所以直线一定经过第三象限. 故选：C. 2．（24-25高二上·上海）已知直线l：，则下列说法不正确的是（    ） A．直线l恒过点 B．若直线l与y轴的夹角为30°，则或 C．直线l的斜率可以等于0 D．若直线l在两坐标轴上的截距相等，则或 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】直线过定点问题、直线的倾斜角 【分析】将方程化为判断直线过定点，判断A的正误；利用倾斜角和斜率的关系判断B的正误；讨论和时直线的斜率和截距情况，判断CD的正误. 【详解】直线的方程可化为， 所以直线过定点，故A正确； 因为直线与轴的夹角为， 所以直线的倾斜角为或， 而直线的斜率为，所以或， 所以或，故B正确； 当时，直线，斜率不存在， 当时，直线的斜率为， 不可能等于，故C错误； 当时，直线在轴上的截距不存在， 当时，令，得， 令，得，令， 得，故D选项正确. 故选：C. 3．（24-25高二·上海·课堂例题）若直线必过一定点，则该定点坐标是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题 【分析】将直线变形成为，令参数的系数为0,剩余部分为0,解出关于的二元一次方程组,即可得定点. 【详解】由得， 要是恒成立，只需，解之得， 所以过定点. 故答案为： 4．（23-24高二下·上海宝山·期末）若无论实数取何值，直线都经过一个定点，则该定点坐标为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题 【分析】变形得到方程组，求出定点坐标. 【详解】令，解得，故经过的定点坐标为. 故答案为： 5．（23-24高二上·上海嘉定·期末）已知方程（）． (1)求该方程表示直线的条件； (2)当为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出此时的直线方程； (3)直线是否过定点，若存在直线过定点，求出此定点，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不过定点，证明见解析 【难度】0.45 【知识点】直线过定点问题、直线的一般式方程及辨析 【分析】（1）先令，的系数同时为时得到，即得时方程表示一条直线； （2）由（1）知时的系数为，方程表示的直线的斜率不存在，即得结果； （3）分别求出斜率不存在和斜率为时的直线方程，再求出交点坐标，若存在定点，则定点一定是此交点，将交点坐标代入原方程，若方程恒成立，则此点是定点，反之则不是定点. 【详解】（1）当，的系数不同时为时，方程表示一条直线， 令，解得或； 令，解得或， 所以，的系数同时为零时， 故若方程表示一条直线，则， 即实数的取值范围为； （2）当的系数不为，的系数为时斜率不存在， 由（1）知当时，且，方程表示的直线的斜率不存在， 此时直线方程为； （3）不过定点，证明如下： 证明：当的系数为，的系数不为时斜率为， 由（1）知当时，且，方程表示的直线的斜率为， 此时直线方程为， 由（2）知，直线的斜率不存在时直线方程为， 由得交点为， 若直线过定点，则定点为， 将代入方程， 得， 整理得，解得或， 只有当或时，直线过， 直线不过定点. 一、单选题 1．（22-23高二上·上海·阶段练习）已知,若过定点的动直线:和过定点的动直线:交于点(与,不重合),则的最大值为（    ） A． B． C． D．5 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】由一般式方程判断直线的垂直、直线过定点问题、辅助角公式 【分析】首先确定定点和定点的坐标,再判定两条直线是垂直关系,从而得到为定值,利用三角函数求解最值即可. 【详解】根据题意: 动直线:过定点, 动直线:过定点, , 直线:和直线:满足:, , 直线与直线交于点, , , 为直角三角形,且, 设,则,, , , , 当即时,的最大值为. 故选:C. 2．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线方程为，绕点顺时针旋转，得到直线，则不过第（    ）象限. A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、直线的倾斜角、直线过定点问题、直线的斜截式方程及辨析 【分析】显然直线依然过定点，故只需得出只需的倾斜角，以此来判断斜率即可得解. 【详解】直线方程为，它的倾斜角为，绕点顺时针旋转，即绕点顺时针旋转，得到直线， 则直线依然过定点，且直线与轴负半轴夹角为，这意味着的倾斜角为，这表明的斜率小于0， 所以不过第三象限. 故选：C. 3．（23-24高二上·上海·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是4 B．直线的横截距为1 C．过，两点的直线方程为 D．若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l的斜率为 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】直线与坐标轴围成图形的面积问题、直线两点式方程及辨析、直线的斜截式方程及辨析 【分析】 利用代入法，结合截距的意义、直线平移的特征、直线两点式的特征逐一判断即可. 【详解】对选项A，直线，当时，，当时，， 所以与两坐标轴围成的三角形的面积，故A错误. 对选项B，令，得，则横截距为，故B错误. 对选项C，当或时，直线方程无意义，故C错误. 对选项D，由题知：直线方程斜率存在，设直线方程为， 直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后， 回到原来的位置，则， 所以，解得，故D正确. 故选：D 4．（21-22高二·全国·课后作业）已知，，则下列直线的方程不可能是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】直线图象的辨析、直线的点斜式方程及辨析 【分析】根据直线斜率与轴上的截距的关系判断选项即可得解. 【详解】， 直线的方程在轴上的截距不小于2，且当时，轴上的截距为2， 故D正确，当时，, 故B不正确，当时，或，由图象知AC正确. 故选：B 二、填空题 5．（24-25高二上·上海·期中）过点且平行于向量的直线的点法式方程是 【答案】 【难度】0.85 【知识点】点法向式方程 【分析】根据给定条件，求出直线的一个法向量，再求出点法式方程. 【详解】依题意，直线的方向向量为，则该直线的法向量为， 所以该直线的点法式方程是. 故答案为： 6．（24-25高二上·上海·阶段练习）若直线经过点、倾斜角为，则直线的点斜式方程是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】直线斜率的定义、直线的点斜式方程及辨析 【分析】根据给定条件，求出直线的斜率，进而求出直线的点斜式方程. 【详解】由直线的倾斜角为，得直线的斜率，又直线过点， 所以直线的点斜式方程是. 故答案为： 7．（21-22高二上·上海松江·期末）过点，且法向量是的直线的点法向式方程是 . 【答案】 【难度】0.75 【知识点】点法向式方程 【分析】利用直线的点法式方程写出即可. 【详解】根据直线的点法式方程可得直线的点法式方程：. 故答案为： 8．（22-23高二下·上海宝山·期末）直线过点，且与向量垂直，则直线的方程为 . 【答案】 【难度】0.75 【知识点】直线的点斜式方程及辨析 【分析】依题意可得直线的斜率，再由点斜式求出直线方程. 【详解】因为直线过点，且与向量垂直， 所以直线的斜率，所以直线的方程为， 即. 故答案为： 9．（2023·上海徐汇·一模）已知直线经过点，则直线倾斜角的大小为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线的倾斜角 【分析】先求得直线的斜率，进而求得直线倾斜角的大小. 【详解】由直线经过点，可得，解之得， 设直线倾斜角为，则， 又，则 则直线倾斜角的大小为 故答案为： 10．（21-22高二下·上海宝山·期末）已知直线过直线和的交点，且与直线垂直，则直线在轴上的截距为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求直线交点坐标、由两条直线垂直求方程 【分析】先求出直线和的交点，再根据直线与垂直，设出所求直线方程，将交点坐标代入可求出直线方程，从而可求出直线在轴上的截距. 【详解】由，得， 所以直线过点， 因为直线与直线垂直， 所以设直线为，则 ，解得， 所以直线的方程为， 当时，， 所以直线在轴上的截距为， 故答案为：. 11．（22-23高二上·上海嘉定·期末）过点且与直线平行的直线方程为 ．（用一般式表示） 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由两条直线平行求方程 【分析】根据平行关系可设直线方程为，将点代入求得，即得. 【详解】设与直线平行的直线为, 又在直线上, 所以，即， 所以所求直线方程为. 故答案为：. 12．（21-22高二上·上海浦东新·期末）已知点到直线的距离为d，则d的最大值是 ． 【答案】5 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题 【分析】先求出直线过定点，得到d的最大值为，利用两点间的距离公式即可求解. 【详解】直线即， 令得，故直线过定点. 所以d的最大值为． 因为，， 所以. 故答案为：5 13．（20-21高二上·上海宝山·阶段练习）在平面直角坐标系中，如果与都是整数，就称点为整点，下列命题中正确的是 （写出所有正确命题的编号） ①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点； ②如果与都是无理数，则直线不经过任何整点； ③如果直线经过两个不同的整点，则直线必经过无穷多个整点； ④直线经过无穷多个整点的充分必要条件是：与都是有理数； ⑤存在恰经过一个整点的直线. 【答案】①③⑤ 【难度】0.45 【知识点】直线两点式方程及辨析、直线的斜截式方程及辨析、直线过定点问题、直线图象的辨析 【分析】逐项分析判断即可，或举例说明或举反例判断或直接证明. 【详解】对于①，令，则该直线既不与坐标轴平行又不经过任何整点，故①正确； 对于②，取，，直线经过整点，故②错误； 对于③，设直线经过整点，，， 当时，直线方程为，经过无穷多个整点； 当时，则直线斜率，不妨设为，则直线，它经过无数个整点，故③正确； 对于④，当k，b都为有理数时，可能不经过整点，例如，，故④错误； 对于⑤，直线只经过一个整点，故⑤正确. 故答案为：①③⑤ 14．（21-22高二上·上海浦东新·期末）设直线l的方程为，则直线l的倾斜角的范围是 . 【答案】 【难度】0.45 【知识点】直线一般式方程与其他形式之间的互化、斜率与倾斜角的变化关系、直线的倾斜角 【分析】根据斜率和倾斜角的关系即可求解. 【详解】当时，此时直线方程为，故倾斜角 当时，直线的斜率为， 由于，所以或，所以倾斜角的范围， 综上的范围是， 故答案为： 15．（22-23高二上·广东广州·期末）经过点，且与直线平行的直线的方程为 . 【答案】 【难度】0.45 【知识点】由两条直线平行求方程 【分析】根据直线平行得到，得到，整理得到答案. 【详解】直线与直线平行，则，直线方程为， 即. 故答案为： 16．（23-24高二上·上海·期末）已知直线：恒过定点，则定点坐标是 . 【答案】 【难度】0.45 【知识点】直线过定点问题 【分析】根据题意令，运算求解即可. 【详解】令，即，可得， 所以直线：恒过定点. 故答案为：. 三、解答题 17．（24-25高二上·上海·课前预习）请验证：如果点的坐标满足关系式，那么点与点、共线． 【答案】答案见解析. 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析 【分析】把点代入直线方程可得答案. 【详解】、满足方程，所以三点共线. 18．（24-25高二上·上海·课后作业）设点，，若斜截式方程为的直线与线段AB相交，求b的取值范围． 【答案】． 【难度】0.65 【知识点】直线的斜截式方程及辨析 【分析】根据的几何意义，利用数形结合，即可求解. 【详解】由题意知为直线在轴上的截距． 如图，当直线过点和点时，分别取得最小值和最大值． 所以的取值范围是．    19．（24-25高二上·上海·课后作业）设直线l的方程为． (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程； (2)是否存在实数a，使直线l不经过第二象限？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或． (2)存在，． 【难度】0.65 【知识点】直线的一般式方程及辨析、直线的点斜式方程及辨析 【分析】（1）确定，再分别求出直线在轴上的截距，列出方程求解即得. （2）化直线方程为点斜式，由直线不过第二象限，列出不等式组并求解即得. 【详解】（1）当时，直线平行于轴，在轴上无截距，不合题意， 则，直线在轴上的截距分别为， 依题意，，解得或， 当时，直线的方程为，当时，直线的方程为， 所以直线的方程为或． （2）假设存在实数，使直线不经过第二象限， 而直线的方程化为， 则有，解得， 所以存在实数使直线不经过第二象限，的取值范围为． 20．（23-24高二上·全国·期末）设直线的方程为． (1)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)若不经过第二象限，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或； (2). 【难度】0.45 【知识点】直线过定点问题、直线截距式方程及辨析、直线的点斜式方程及辨析 【分析】（1）根据给定条件，求出直线在x轴、y轴上的截距，再列式求解即得. （2）直线过的定点在第四象限，由直线的斜率大于等于0，求出a的范围． 【详解】（1）直线：在y上的截距为， 由在两坐标轴上的截距相等，知，且直线在x轴上的截距为， 于是，解得或， 所以直线的方程为或. （2）直线：，由，得，即直线过定点， 显然点P在第四象限，要使直线不经过第二象限，而直线的斜率存在， 因此直线的斜率不小于0，即，解得， 所以实数a的取值范围是. 21．（24-25高二上·上海奉贤·期中）已知直线， (1)求该直线的斜率； (2)若点的坐标为，求过点且垂直于直线的直线方程． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【难度】0.45 【知识点】由两条直线垂直求方程、直线斜率的定义 【分析】（1）分、两种情况讨论，结合直线的方程可得结果； （2）设所求直线的方程为，将点的坐标代入所求直线的方程，求出的值，即可得出所求直线的方程. 【详解】（1）当时，即当时，直线的方程为，此时，直线的斜率不存在； 当时，即当时，此时，直线的斜率为. 综上所述，当时，直线的斜率不存在； 当时，直线的斜率为. （2）过点且垂直于直线的直线的方程为， 将点的坐标代入所求直线的方程可得，解得， 因此，所求直线的方程为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 直线的方程（8种核心考点+过关测试） 题型聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 知识梳理：知识点和关键点梳理，查漏补缺 核心考点：难点内容标注与讲解，能力提升 过关测试：真题感知+精选专练，全面突破 【题型1 曲线方程与直线方程的概念与性质】 【题型2 直线的点斜式方程】 【题型3 直线的两点式方程】 【题型4 直线的斜截式方程】 【题型5 直线的一般式方程】 【题型6 由两条直线平行求方程】 【题型7 由两条直线垂直求方程】 【题型8 直线过定点问题】 【学习目标】 一．直线的点斜式方程 已知直线l经过点，且斜率为k，则直线l的方程为． 这个方程是由直线上一定点及其斜率确定的，因此称为直线的点斜式方程，简称点斜式． 当直线l的倾斜角为0°时（如图1），，即k=0，这时直线l与x轴平行或重合，l的方程就是，或． 当直线l的倾斜角为90°时（如图2），直线没有斜率，这时直线l与y轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示．因为这时l上每一点的横坐标都等于，所以它的方程是，或． 直线的点斜式方程的推导 如图，设点是直线l上不同于点的任意一点，根据经过两点的直线的斜率公式得 （1），即 （2）． 注意：方程（1）与方程（2）的差异：点的坐标不满足方程（1），但满足方程（2），因此，点不在方程（1）表示的图形上，而在方程（2）表示的图形上，方程（1）不能称为直线l的方程． 上述过程可以证明直线上每个点的坐标都是方程（2）的解．对上面的过程逆推，可以证明以方程（2）的解为坐标的点都在直线l上，所以这个方程就是过点，斜率为k的直线l的方程． 二．直线的斜截式方程 我们把直线l与y轴交点的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距． 如果直线l的斜率为k，且在y轴上的截距为b，则方程为，即叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 当b=0时，表示过原点的直线；当k=0且b≠0时，表示与x轴平行的直线；当k=0且b=0时，表示与x轴重合的直线． 三．直线的两点式方程 1．直线的两点式方程的定义 已知直线过两点，当时，直线的方程为．这个方程是由直线上的两点确定的，因此称为直线的两点式方程，简称两点式． 2．直线的两点式方程的推导 已知直线过两点（其中），此时直线的位置是确定的，也就是直线的方程是可求的． 当时，所求直线的斜率． 任取中的一点，例如取，由点斜式方程，得， 当时，可写为． 四．直线的截距式方程 1．直线的截距式方程的定义 已知直线过点，（），则由直线的两点式方程可以得到直线的方程为． 我们把直线与轴的交点的横坐标叫做直线在轴上的截距，此时直线在轴上的截距是． 这个方程由直线在两个坐标轴上的截距和确定，因此叫做直线的截距式方程，简称截距式． 2．直线的截距式方程的推导 已知直线与轴的交点为，与轴的交点为，如图，其中． 将两点，的坐标代入两点式，得，即． 五．中点坐标公式 若点的坐标分别为，且线段的中点的坐标为，则．此公式为线段的中点坐标公式． 六．直线的一般式方程 在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于x，y的二元一次方程（其中A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式． 直线的一般式、斜截式、截距式如下表： 一般式 斜截式 截距式 不同时为0） 都不为0） 直线的一般式方程可以表示坐标平面内任意一条直线．因此在一定条件下，直线的一般式方程可以进行如下转化： （1）当时，可化为，它表示在y轴上的截距为，斜率为的直线． （2）当均不为零时，可化为，它表示在x轴上的截距为，在y轴上的截距为的直线． 七.一般式方程中两直线平行与垂直的条件 若两条直线的方程是用一般式给出的，设直线的方程分别为，，则可以在条件允许时将两方程化为斜截式方程，从而得出两直线平行与垂直的结论如下： （1）若，当斜率存在时，；当斜率不存在时，且． 即，且或． （2）若，当斜率存在时，；当斜率不存在时，或． 即 【题型1 曲线方程与直线方程的概念与性质】 1．（23-24高二上·上海杨浦·期中）关于方程所表示的曲线，下列说法正确的是（    ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．关于原点中心对称 2．（22-23高二下·上海黄浦·阶段练习）若直线上的每一点都在曲线上，但不是曲线的方程，则满足该条件的曲线方程有（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二下·上海静安·期中）若曲线C 的方程为：，则该曲线（    ） A．曲线关于轴对称 B．曲线的顶点坐标为 C．曲线位于直线的左侧 D．曲线过坐标原点 4．（24-25高二上·上海）在一个平面直角坐标系中给定一条直线和一个关于x与y的二元一次方程，它们之间具备怎样的关系，使得这个给定的方程就是给定直线的方程？ 【题型2 直线的点斜式方程】 1．（22-23高二上·上海浦东新·期末）过点，倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·上海）斜率为k且过点的直线的点斜式方程为 ． 3．（24-25高二上·上海）直线绕点逆时针旋转90°后得直线l，则直线l的点斜式方程为 ． 4．（21-22高二下·上海徐汇·期中）已知直线经过点，并且与直线的夹角为，求直线的方程． 【题型3 直线的两点式方程】 1．（24-25高二上·上海·随堂练习）下列四个命题：其中正确命题的个数是（    ） ①经过定点的直线都可以用方程表示； ②经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示； ③两点式适用于不垂直于x轴和y轴的直线； ④经过定点的直线都可以用方程表示． A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25高二上·上海·课前预习）过点，且，的直线的两点式方程为 ． 3．（24-25高二上·上海·期中）某房地产公司要在荒地（如图）上划出一块矩形地块（不改变方位）建造一幢公寓（、、分别在线段、、上），若米，米，米，米，且，则该矩形地块的面积最大值为 平方米.（结果精确到1平方米） 4．（23-24高二上·上海·期中）已知直线过点. (1)若直线过点，求直线的方程； (2)若直线在轴和轴上的截距相等求直线的方程． 【题型4 直线的斜截式方程】 1．（高二上·上海·期中）直线经过第一、二、四象限，则a，b，c应满足（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·上海）若直线在y轴上的截距为-1，且它的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（24-25高二上·上海松江·期中）过点斜率为的直线的斜截式方程是 . 4．（24-25高二上·上海·期中）已知直线经过点，倾斜角为，则该直线的方程为 5．（24-25高二上·上海）已知直线经过点，且倾斜角等于直线的倾斜角的一半，则直线的点斜式方程为 ． 【题型5 直线的一般式方程】 1．（24-25高二上·上海）直线过第一、二、四象限的充要条件是（    ） A．， B． C．， D．， 2．（22-23高二下·上海宝山·期末）若，，则直线不经过第象限（    ） A．一 B．二 C．三 D．四 3．（23-24高二上·上海·期末）已知直线，直线，则是直线的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件 4．（22-23高二下·上海浦东新·期中）若直线l经过点、，则以下不是直线l的方程的为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高二下·上海杨浦·期中）已知，，设直线，其中，给出下列结论： ①直线的法向量与向量垂直； ②若，则直线与直线的夹角为； ③直线与直线平行；上述结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【题型6 由两条直线平行求方程】 1．（23-24高二上·上海·期中）过点且与直线平行的直线方程为 ． 2．（22-23高二下·上海浦东新·期末）过点且与直线平行的直线方程是 ． 3．（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）已知直线l经过两条直线和的交点. (1)若直线l与直线平行，求直线l的方程； (2)若直线l与夹角为，求直线l的方程. 【题型7 由两条直线垂直求方程】 1．（24-25高二上·上海·单元测试）已知点，和，则经过点A且与BC垂直的直线l的点法式方程（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·上海奉贤·阶段练习）过点且与直线垂直的直线的斜截式方程是 . 3．（2023·上海青浦·二模）过点与直线垂直的直线方程为 . 故答案为：. 4．（23-24高二下·上海·期中）（1）求过点且与直线平行的直线的方程； （2）求与直线垂直，且与两坐标轴围成的面积为的直线方程. 【题型8 直线过定点问题】 1．（24-25高二上·上海松江·期中）已知直线的方程是，则对任意的实数，直线一定经过第（   ）象限. A．一 B．二 C．三 D．四 2．（24-25高二上·上海）已知直线l：，则下列说法不正确的是（    ） A．直线l恒过点 B．若直线l与y轴的夹角为30°，则或 C．直线l的斜率可以等于0 D．若直线l在两坐标轴上的截距相等，则或 3．（24-25高二·上海·课堂例题）若直线必过一定点，则该定点坐标是 ． 4．（23-24高二下·上海宝山·期末）若无论实数取何值，直线都经过一个定点，则该定点坐标为 . 5．（23-24高二上·上海嘉定·期末）已知方程（）． (1)求该方程表示直线的条件； (2)当为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出此时的直线方程； (3)直线是否过定点，若存在直线过定点，求出此定点，若不存在，说明理由． 一、单选题 1．（22-23高二上·上海·阶段练习）已知,若过定点的动直线:和过定点的动直线:交于点(与,不重合),则的最大值为（    ） A． B． C． D．5 2．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线方程为，绕点顺时针旋转，得到直线，则不过第（    ）象限. A．一 B．二 C．三 D．四 3．（23-24高二上·上海·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是4 B．直线的横截距为1 C．过，两点的直线方程为 D．若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l的斜率为 4．（21-22高二·全国·课后作业）已知，，则下列直线的方程不可能是的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25高二上·上海·期中）过点且平行于向量的直线的点法式方程是 6．（24-25高二上·上海·阶段练习）若直线经过点、倾斜角为，则直线的点斜式方程是 . 7．（21-22高二上·上海松江·期末）过点，且法向量是的直线的点法向式方程是 . 8．（22-23高二下·上海宝山·期末）直线过点，且与向量垂直，则直线的方程为 . 9．（2023·上海徐汇·一模）已知直线经过点，则直线倾斜角的大小为 ． 10．（21-22高二下·上海宝山·期末）已知直线过直线和的交点，且与直线垂直，则直线在轴上的截距为 . 11．（22-23高二上·上海嘉定·期末）过点且与直线平行的直线方程为 ．（用一般式表示） 12．（21-22高二上·上海浦东新·期末）已知点到直线的距离为d，则d的最大值是 ． 13．（20-21高二上·上海宝山·阶段练习）在平面直角坐标系中，如果与都是整数，就称点为整点，下列命题中正确的是 （写出所有正确命题的编号） ①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点； ②如果与都是无理数，则直线不经过任何整点； ③如果直线经过两个不同的整点，则直线必经过无穷多个整点； ④直线经过无穷多个整点的充分必要条件是：与都是有理数； ⑤存在恰经过一个整点的直线. 14．（21-22高二上·上海浦东新·期末）设直线l的方程为，则直线l的倾斜角的范围是 . 15．（22-23高二上·广东广州·期末）经过点，且与直线平行的直线的方程为 . 16．（23-24高二上·上海·期末）已知直线：恒过定点，则定点坐标是 . 三、解答题 17．（24-25高二上·上海·课前预习）请验证：如果点的坐标满足关系式，那么点与点、共线． 18．（24-25高二上·上海·课后作业）设点，，若斜截式方程为的直线与线段AB相交，求b的取值范围． 19．（24-25高二上·上海·课后作业）设直线l的方程为． (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程； (2)是否存在实数a，使直线l不经过第二象限？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 20．（23-24高二上·全国·期末）设直线的方程为． (1)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)若不经过第二象限，求实数a的取值范围． 21．（24-25高二上·上海奉贤·期中）已知直线， (1)求该直线的斜率； (2)若点的坐标为，求过点且垂直于直线的直线方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$