复习专题09 三角函数图象变换（8考点）-【寒假自学课】2025年高一数学寒假提升精品讲义（苏教版2019）

专题9 三角函数图象变换 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点1：函数y＝Asin（ωx＋φ）图象 1、A、φ、ω的含义 （1）A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅. （2）φ决定了x=0时的函数值，通常称φ为初相，ωx＋φ为相位. （3）ω决定了函数的周期 2、用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示. x － －＋ － ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 知识点2：三角函数图象变换 1、振幅变换：要得到函数y＝Asinx（A＞0，A≠1）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）即可得到． 2、平移变换：要得到函数y＝sin（x＋φ）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点向左（当φ＞0时）或向右（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度即可得到． 3、周期变换：要得到函数y＝sinωx(x∈R)（其中ω＞0且ω≠1）的图象，可以把函数y＝sinx上所有点的横坐标缩短（当时）或伸长（当0＜ω＜1时）到原来的倍（纵坐标不变）即可得到． 4、函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径 5、三角函数图象变换中的三个注意点 （1）变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数； 例如：或 （2）要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数图象，得到的是哪个函数图象，切不可弄错方向； （3）要弄准变换量的大小，特别是平移变换中 函数y＝Asin x到y＝Asin(x＋φ)的变换量是|φ|个单位， 函数y＝Asin ωx到y＝Asin(ωx＋φ)时，变换量是个单位． 知识点3：三角函数的应用 1、三角函数模型问题的几种类型 （1）由图象求解析式：首先由图象确定解析式的基本形式，例如：y＝Asin(ωx＋φ)，然后根据图象特征确定解析式中的字母参数，在求解过程中还要结合函数性质． （2）由图象研究函数的性质：通过观察分析函数图象，能得出函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性． （3）利用三角函数研究实际问题：首先分析、归纳实际问题，抽象概括出数学模型，再利用图象及性质解答数学问题，最后解决实际问题． 2、解三角函数应用问题的基本步骤 （1）审清题意：读懂题目中“文字”“图象”“符号”等语言，理解所反映的实际问题的背景，得出相应的数学问题； （2）建立函数模型：整理数据，引入变量，找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及其他相关知识建立关系，即建立三角函数模性； （3）解答函数模型：利用所学的三角函数知识解答所得到的三角函数模型，求得结果； （4）得出结论：使所得结论翻译成实际问题的答案。 3、建立三角函数拟合模型的注意事项 （1）在由图象确定函数的解析式时，注意运用方程思想和待定系数法来确定参数． （2）在已知解析式作图时要用类比的方法将陌生的问题转化成熟悉的问题． （3）在应用三角函数模型解答应用题时，要善于将符号、图形、文字等各种语言巧妙转化，并充分利用数形结合思想直观地理解问题． 考点剖析 【考点1 根据图象求三角函数解析式】 1．（23-24高一下·山东济宁·月考）函数的部分图象如图所示，则其解析式为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·北京延庆·期末）已知（，）的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江西萍乡·期中）如图是函数的部分图象，则函数的解析式可为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·湖南衡阳·月考）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·四川绵阳·月考）函数的图象如下，则其解析式可能是（     ） A． B． C． D． 【考点2 同名三角函数图象变换过程】 6．（23-24高一下·陕西·月考）为了得到的图象，只需把图象上所有点的（    ） A．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变 B．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 C．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变 D．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 7．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（    ） A．向左平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度 C．向右平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 8．（23-24高一下·江西·月考）为了得到函数的图象，可以将函数图象上所有的点（    ） A．向右平移2个长度单位 B．向右平移1个长度单位 C．向左平移2个长度单位 D．向左平移1个长度单位 9．（23-24高一下·福建福州·月考）要得到函数的图象，只需将的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 10．（23-24高一下·广东佛山·月考）要得到函数的图象，只需要将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【考点3 异名三角函数图象变换过程】 11．（23-24高三下·陕西安康·月考）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 12．（23-24高一下·河北石家庄·月考）要得到函数的图象，只需将的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 13．（23-24高一下·山东临沂·月考）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 14．（23-24高一下·内蒙古赤峰·月考）已知函数，为了得到函数的图像，可把函数的图像（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 15．（23-24高一下·河南·月考）要得到函数的图象，只需将的图象上所有的点（    ） A．横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 B．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向左平移单位长度 C．横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 D．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 【考点4 求图象变换前后的解析式】 16．（23-24高一上·天津·期末）若将函数的图象向左平移个单位，得到函数图象解析式是（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高一下·四川绵阳·期末）将函数的图象先向左平移个单位，纵坐标不变，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 18．（24-25高三上·河北承德·月考）将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标变为原来的2倍，得到的函数的图象的解析式为（    ） A． B． C． D． 19．（23-24高一下·山东青岛·月考）把函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 20．（24-25高一上·浙江宁波·期末）将函数图象向左平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【考点5 图象变换前后的重合问题】 21．（23-24高一下·安徽铜陵·期中）若函数（）的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则的最小值为（    ） A．5 B．3 C．2 D．1 22．（23-24高一下·河南·月考）将函数的图象向右平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（    ） A．7 B．5 C．9 D．11 23．（23-24高一下·广东广州·期末）将函数的图象向左平移个单位后，与函数的图象重合，则的值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 24．（23-24高一下·广东茂名·期中）若函数的图象向左平移个单位长度后，其图象与函数的图象重合，则的最小正数值为 ． 25．（23-24高一上·江苏南京·期末）将函数（且）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标保持不变，若所得函数的图象与函数的图象重合，则 . 【考点6 由图象变换研究函数性质】 26．（23-24高一下·四川泸州·月考）将函数的图象向左平移个单位长度后关于原点对称，则φ的值可能为（    ） A． B． C． D． 27．（24-25高一上·四川眉山·期中）将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象对应的函数在区间上单调递减，则m的最小值为（    ） A． B． C． D． 28．（23-24高一下·福建福州·期中）（多选）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数具有以下哪些性质（    ） A．最大值为，图象关于直线对称 B．图象关于轴对称 C．最小正周期为 D．图象关于点成中心对称 29．（24-25高三上·江苏宿迁·期中）（多选）把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A．的最小正周期为 B． C．在上单调递增 D．关于直线对称 30．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）（多选）将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．在上单调递增 D．当时，的最小值为 【考点7 三角函数图象变换综合应用】 31．（23-24高一下·广东江门·月考）已知函数的图象相邻对称轴之间的距离是，若将的图象向右移个单位，所得函数为奇函数． (1)求的解析式； (2)若函数的零点为，求； (3)若对任意，有解，求a的取值范围． 32．（23-24高一下·辽宁大连·月考）已知函数的图象与直线两相邻交点之间的距离为，且图象关于对称.将函数的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象. (1)求的解析式； (2)求函数图象的对称中心； (3)求不等式的解集. 33．（23-24高一下·广东深圳·月考）函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的最大值和最小值； (3)若关于的方程在上有两个不等实根，求实数的取值范围． 34．（24-25高一上·广西·月考）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 3 0 0 (1)求出实数和函数的解析式； (2)将图象上的所有点向右平移个单位长度，并把图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图象.已知图象的一个对称中心为，求的最小值； (3)在（2）的条件下，当取最小值时，若对，关于的方程恰有两个实数根，求实数的取值范围. 35．（22-23高三上·北京海淀·月考）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 x m n p 1 6 1 1 (1)求出实数m，n，p的值； (2)求出函数的解析式； (3)将图象向左平移个单位，得到的图象．若为偶函数，求t的最小值． 【考点8 三角函数的实际应用】 36．（23-24高一下·辽宁大连·月考）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图1）．假定在水流量稳定的情况下，简车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图2，将筒车抽象为一个半径为4米的圆，筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，当时，筒车上的某个盛水筒M位于点处，经过t秒后运动到点，点P的纵坐标满足．已知筒车的轴心O距离水面的高度为2米，设盛水筒M到水面的距离为h（单位：米）（盛水筒M在水面下时，则h为负数），则筒车在秒的旋转运动过程中，盛水筒M位于水面以下的时间有为 秒． 37．（23-24高一上·江苏南通·期末）（多选）如图，弹簧挂着的小球做上下振动，小球的最高点与最低点间的距离为（单位：），它在（单位：）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度由关系式确定，其中，.则下列说法正确的是（    ） A．小球在往复振动一次的过程中，从最高点运动至最低点用时 B．小球在往复振动一次的过程中，经过的路程为 C．小球从初始位置开始振动，重新回到初始位置时所用的最短时间为 D．小球从初始位置开始振动，若经过最高点和最低点的次数均为次，则所用时间的范围是 38．（23-24高一下·江西新余·月考）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y(m)和时间t(s)的函数关系为，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续四次到达同一位置的时间分别为，且，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的距离大于0.5m的总时间为（    ） A． B． C． D． 39．（23-24高一下·广东佛山·月考）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋下表是某港口某天的时刻与水深关系的预报. 时刻 水深m 时刻 水深/m 时刻 水深m 0:00 5.0 9：18 2.6 18：:36 5.0 3:06 7.4 12：24 5.0 21：:42 2.6 6:12 5.0 15：:30 7.4 24：00 4.0 (1)根据以上数据，可以用函数来近似描述这一天该港口的水深与时间的关系，请写出这段曲线的函数解析式. (2)一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为，安全条例规定至少要有的安全间隙（船底与洋底的距离），请结合图像说明货船进港的必要条件，并求该船这一天何时能进入港口？在港口能呆多久？ 40．（24-25高一上·江苏常州·月考）与江苏省首批高品质示范高中江苏省常州高级中学毗邻的天宁宝塔，是世界第一高佛塔，是常州标志性建筑之一，也是该校师生喜欢的摄影取景胜地.该校高一某研究性学习小组去测量天宁宝塔的高度，该小组同学在塔底的东南方向上选取两个测量点与，测得米，在、两处测得塔顶的仰角分别为，（如左图），已知. (1)请计算天宁宝塔的高度（四舍五入保留整数）； (2)为庆祝某重大节日，在塔上A到处设计特殊的“灯光秀”以烘托节日气氛.知米，塔高直接取（1）的整数结果，市民在塔底B的东南方向的处欣赏“灯光秀”（如右图），请问当为多少米时，欣赏“灯光秀”的视角最大?（结果保留根式） 【注】可能用到的基本事实有：对于锐角越大，则越大，反之亦然；对任意两个锐角，总有成立. 过关检测 一、单选题 1．（23-24高一下·河北承德·月考）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·广东湛江·期末）将函数的图象平移后所得的图象对应的函数为，则进行的平移是（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 3．（23-24高一下·广东韶关·月考）函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（    ）    A． B． C． D． 4．（23-24高一上·陕西西安·期末）函数的部分图象如图所示，若，则可能为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·四川成都·月考）已知将函数（）的图象仅向左平移个单位长度和仅向右平移个单位长度都能得到同一个函数的图象，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·重庆沙坪坝·月考）明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心O到水面的距离h为1.5m，筒车的半径r为2.5m，筒转动的角速度为，如图所示，盛水桶M（视为质点）的初始位置距水面的距离为3m，则3s后盛水桶M到水面的距离近似为（    ）（，）． A．4.5m B．4.0m C．3.5m D．3.0m 二、多选题 7．（23-24高一上·福建漳州·期末）为了得到函数的图象，只需（    ） A．将函数的图象向左平移个单位长度 B．将函数的图象向左平移个单位长度 C．将函数的图象向左平移个单位长度 D．将函数的图象向右平移个单位长度 8．（23-24高一上·江苏扬州·期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有（    ） A．的最小正周期为 B． 是的最小值 C．在区间上的值域为 D．把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象 9．（23-24高一下·四川泸州·月考）如图所示，点M，N是函数的图象与x轴的交点，点P在M，N之间的图象上运动，若，且当的面积最大时，则（    ） A． B． C．， D．的单调增区间为 三、填空题 10．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于轴对称，则 ． 11．（23-24高一下·北京顺义·月考）函数图像上的点向右平移个单位后得到，若落在函数上，则的最小值为 . 12．（23-24高一下·辽宁沈阳·期中）函数在上单调递减，且的图象向左平移个单位后与原来的图象重合.若方程在上的解为，则 . 四、解答题 13．（23-24高一下·辽宁大连·月考）已知点是函数图象上的任意两点，，且当时，. (1)求当时，的单调递增区间； (2)将图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标也变为原来的倍，再将所得函数图象上的所有点向左平移个单位得到的图象，若在区间上有最大值没有最小值，求实数的取值范围. 14．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）某同学用“五点法”画函数（，，）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 2 0 0 (1)根据以上表格中的数据求函数的解析式； (2)将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象．当时，关于的方程恰有两个实数根，求实数的取值范围． 15．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知函数的一段图象过点，如图所示． (1)求函数的表达式； (2)将函数的图象向右平移个单位，得函数的图象，求在区间上的值域； (3)若，求的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题9 三角函数图象变换 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点1：函数y＝Asin（ωx＋φ）图象 1、A、φ、ω的含义 （1）A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅. （2）φ决定了x=0时的函数值，通常称φ为初相，ωx＋φ为相位. （3）ω决定了函数的周期 2、用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示. x － －＋ － ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 知识点2：三角函数图象变换 1、振幅变换：要得到函数y＝Asinx（A＞0，A≠1）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）即可得到． 2、平移变换：要得到函数y＝sin（x＋φ）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点向左（当φ＞0时）或向右（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度即可得到． 3、周期变换：要得到函数y＝sinωx(x∈R)（其中ω＞0且ω≠1）的图象，可以把函数y＝sinx上所有点的横坐标缩短（当时）或伸长（当0＜ω＜1时）到原来的倍（纵坐标不变）即可得到． 4、函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径 5、三角函数图象变换中的三个注意点 （1）变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数； 例如：或 （2）要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数图象，得到的是哪个函数图象，切不可弄错方向； （3）要弄准变换量的大小，特别是平移变换中 函数y＝Asin x到y＝Asin(x＋φ)的变换量是|φ|个单位， 函数y＝Asin ωx到y＝Asin(ωx＋φ)时，变换量是个单位． 知识点3：三角函数的应用 1、三角函数模型问题的几种类型 （1）由图象求解析式：首先由图象确定解析式的基本形式，例如：y＝Asin(ωx＋φ)，然后根据图象特征确定解析式中的字母参数，在求解过程中还要结合函数性质． （2）由图象研究函数的性质：通过观察分析函数图象，能得出函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性． （3）利用三角函数研究实际问题：首先分析、归纳实际问题，抽象概括出数学模型，再利用图象及性质解答数学问题，最后解决实际问题． 2、解三角函数应用问题的基本步骤 （1）审清题意：读懂题目中“文字”“图象”“符号”等语言，理解所反映的实际问题的背景，得出相应的数学问题； （2）建立函数模型：整理数据，引入变量，找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及其他相关知识建立关系，即建立三角函数模性； （3）解答函数模型：利用所学的三角函数知识解答所得到的三角函数模型，求得结果； （4）得出结论：使所得结论翻译成实际问题的答案。 3、建立三角函数拟合模型的注意事项 （1）在由图象确定函数的解析式时，注意运用方程思想和待定系数法来确定参数． （2）在已知解析式作图时要用类比的方法将陌生的问题转化成熟悉的问题． （3）在应用三角函数模型解答应用题时，要善于将符号、图形、文字等各种语言巧妙转化，并充分利用数形结合思想直观地理解问题． 考点剖析 【考点1 根据图象求三角函数解析式】 1．（23-24高一下·山东济宁·月考）函数的部分图象如图所示，则其解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由图可得：函数的最大值为2，最小值为，故， ，故，解得，故. 将代入可得：， 则，解得. ∵，∴，∴.故选:B. 2．（23-24高一下·北京延庆·期末）已知（，）的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为的周期为，所以，所以, 因为过,所以, 又因为,所以所以， 所以.故选:B. 3．（24-25高一上·江西萍乡·期中）如图是函数的部分图象，则函数的解析式可为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】观察图象可得函数的最小正周期为， 所以，故或，排除B； 观察图象可得当时，函数取最小值， 当时，可得，，所以，，排除C； 当时，可得，，所以，， 取可得，，故函数的解析式可能为，A正确； ，D错误，故选：A. 4．（23-24高一下·湖南衡阳·月考）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据图象可得，，解得，所以，即， 将点代入的解析式，得， 则，解得，，又， ，所以.故选：D. 5．（24-25高三上·四川绵阳·月考）函数的图象如下，则其解析式可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】结合题意以及各选项可知A可为2，结合图象可知， 则对于B，，由此可判断B中解析式不可能； 对于C，，由此可判断C中解析式不可能； 对于D，，由此可判断D中解析式不可能； 对于 A，由于，即可取2； 由，则，由于，可取， 此时，A可能，故选：A 【考点2 同名三角函数图象变换过程】 6．（23-24高一下·陕西·月考）为了得到的图象，只需把图象上所有点的（    ） A．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变 B．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 C．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变 D．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 【答案】D 【解析】将图象上所有的点的横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变， 即可得到函数的图象.故选：D. 7．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（    ） A．向左平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度 C．向右平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 【答案】D 【解析】A选项，把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度 得到，A错误； B选项，把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度 得到，B错误； C选项，把函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度 得到，C错误； D选项，把函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度 得到，D正确.故选：D 8．（23-24高一下·江西·月考）为了得到函数的图象，可以将函数图象上所有的点（    ） A．向右平移2个长度单位 B．向右平移1个长度单位 C．向左平移2个长度单位 D．向左平移1个长度单位 【答案】D 【解析】显然， 因此函数的图象可由的图象向左平移1个长度单位而得，D正确，ABC错误.故选：D 9．（23-24高一下·福建福州·月考）要得到函数的图象，只需将的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】D 【解析】由，将向右平移个单位即可得到. 故选：D. 10．（23-24高一下·广东佛山·月考）要得到函数的图象，只需要将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】B 【解析】函数，所以函数的图象， 可由函数的图象向左平移个单位长度而得.故选：B 【考点3 异名三角函数图象变换过程】 11．（23-24高三下·陕西安康·月考）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】B 【解析】因为， 则向左平移个单位后得，故选：B. 12．（23-24高一下·河北石家庄·月考）要得到函数的图象，只需将的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】B 【解析】由题意: 故要得到函数的图象， 只需将的图象向左平移个单位,故选：B 13．（23-24高一下·山东临沂·月考）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】A 【解析】因为， 所以将函数向左平移个单位长度得到： ，故A符合题意； 将函数向左平移个单位长度得到： ，故B不符合题意； 将函数向右平移个单位长度得到： ，故C不符合题意； 将函数向右平移个单位长度得到： ，故D不符合题意；故选：A 14．（23-24高一下·内蒙古赤峰·月考）已知函数，为了得到函数的图像，可把函数的图像（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】D 【解析】A选项，向左平移个单位长度， 得到，A错误； B选项，向右平移个单位长度， 得到，B错误； C选项，向左平移个单位长度， 得到，C错误； D选项，向右平移个单位长度， 得到，D正确.故选：D 15．（23-24高一下·河南·月考）要得到函数的图象，只需将的图象上所有的点（    ） A．横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 B．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向左平移单位长度 C．横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 D．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 【答案】C 【解析】对于A，横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到的图象，再向左平移个单位长度 得到，故A错误； 对于B，横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到的图象， 显然不对，同理D也不对； 对于C，将的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）， 得到，再向左平移个单位长度， 得到.故选：C. 【考点4 求图象变换前后的解析式】 16．（23-24高一上·天津·期末）若将函数的图象向左平移个单位，得到函数图象解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将函数的图象向左平移个单位后所得到的函数图象对应的解析式为： ．故答案为：C． 17．（23-24高一下·四川绵阳·期末）将函数的图象先向左平移个单位，纵坐标不变，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】的图象先向左平移可得, 纵坐标不变，再将横坐标伸长为原来的2倍可得.故选：C. 18．（24-25高三上·河北承德·月考）将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标变为原来的2倍，得到的函数的图象的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于经过如题所示变换后，缩小4倍，扩大2倍， 则．故选：C 19．（23-24高一下·山东青岛·月考）把函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知，要得到，要将向左平移个单位长度， 得到， 再将图象上所有点的横坐标扩大为原来的倍，得到，故选：B 20．（24-25高一上·浙江宁波·期末）将函数图象向左平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得，将函数横坐标变为到原来的倍，纵坐标不变， 可得，再将其向右平移个单位长度， 即，即.故选：B. 【考点5 图象变换前后的重合问题】 21．（23-24高一下·安徽铜陵·期中）若函数（）的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则的最小值为（    ） A．5 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解析】将函数的图象向右平移个单位长度后， 所得图象对应的函数为． 因为平移后的图象与原图象重合，所以有（），即（）， 又，所以的最小值为3．故选：B 22．（23-24高一下·河南·月考）将函数的图象向右平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（    ） A．7 B．5 C．9 D．11 【答案】D 【解析】， ，， 由题可知，，，解得，， 又，当时，取得最小值11．故选：D． 23．（23-24高一下·广东广州·期末）将函数的图象向左平移个单位后，与函数的图象重合，则的值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】将的图象向左平移个单位长度， 得，其图象与的图象重合， 则，解得，的值不可能为1，3，4，可以为2.故选：B 24．（23-24高一下·广东茂名·期中）若函数的图象向左平移个单位长度后，其图象与函数的图象重合，则的最小正数值为 ． 【答案】/ 【解析】因为， 将函数的图象向左平移个单位长度 得到的图象， 依题意得，所以， 所以的最小正数值为. 25．（23-24高一上·江苏南京·期末）将函数（且）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标保持不变，若所得函数的图象与函数的图象重合，则 . 【答案】 【解析】将函数（且）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍， 纵坐标保持不变，所得图象的函数为， 所以与为同一函数， 故，即 所以 故答案为： 【考点6 由图象变换研究函数性质】 26．（23-24高一下·四川泸州·月考）将函数的图象向左平移个单位长度后关于原点对称，则φ的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象， 因为的图象关于原点对称，可得，则， 又，结合选项，取，得.故选：D. 27．（24-25高一上·四川眉山·期中）将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象对应的函数在区间上单调递减，则m的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，将函数的图象向右平移个单位长度， 得到的图象对应的函数的图象， 因为在区间上单调递减， 所以且， 解得，即， 令，可得的最小值为.故选：D. 28．（23-24高一下·福建福州·期中）（多选）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数具有以下哪些性质（    ） A．最大值为，图象关于直线对称 B．图象关于轴对称 C．最小正周期为 D．图象关于点成中心对称 【答案】AC 【解析】将函数的图象向右平移个单位长度， 得到函数的图象， 则，即的最大值为， 又，所以的图象关于直线对称，故A正确； 由于不是偶函数，故它的图象不关于轴对称，故B错误； 的最小正周期，故C正确； 因为，所以的图象不关于点成中心对称，故D错误， 故选：AC. 29．（24-25高三上·江苏宿迁·期中）（多选）把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A．的最小正周期为 B． C．在上单调递增 D．关于直线对称 【答案】BCD 【解析】易知， 显然的最小正周期为，故A错误； 而，故B正确； 当时，，显然此时单调递增，故C正确； 当时，，此时取得最大值，即关于直线对称，故D正确.故选：BCD. 30．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）（多选）将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．在上单调递增 D．当时，的最小值为 【答案】AD 【解析】依题意，将函数的图象向左平移个单位长度，即得的图象. 对于A，由,可知A正确； 对于B，因，故的图象关于直线不对称，即B错误； 对于C，当时，，此时，函数先增后减，故C错误； 对于D，当时，， 因时，函数单调递增， 当时，函数单调递减， 且时，即时，；时，即时，， 故的最小值为，故D正确.故选：AD. 【考点7 三角函数图象变换综合应用】 31．（23-24高一下·广东江门·月考）已知函数的图象相邻对称轴之间的距离是，若将的图象向右移个单位，所得函数为奇函数． (1)求的解析式； (2)若函数的零点为，求； (3)若对任意，有解，求a的取值范围． 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）因为相邻对称轴之间的距离是，所以，， 所以，解得，， 将的图像向右移个单位，可得函数， 因为函数为奇函数，所以，， 因为，所以， 所以， （2）因为函数的零点为， 所以，， 因为， 所以. （3）令， 因为，所以，， 则有解，即有解， 当时，无解，当时，即有解， 因为在上单调递增，所以当时，， 因为有解，所以的取值范围为. 32．（23-24高一下·辽宁大连·月考）已知函数的图象与直线两相邻交点之间的距离为，且图象关于对称.将函数的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象. (1)求的解析式； (2)求函数图象的对称中心； (3)求不等式的解集. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）因为，所以，即， 又函数的图象与直线两相邻交点之间的距离为， 所以的最小正周期，又，解得， 又图象关于对称，所以，解得， 又，所以， 所以. （2）将函数的图象向左平移个单位得到， 将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到， 令，解得， 所以的对称中心为. （3）不等式，即， 即， 所以， 解得， 所以不等式的解集为. 33．（23-24高一下·广东深圳·月考）函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的最大值和最小值； (3)若关于的方程在上有两个不等实根，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2)，；(3)． 【解析】（1）由函数的部分图象可知， ，，，又， ，解得，由可得， ； （2）将向右平移个单位，得到， 再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到， 令，由，可得， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 可得，； （3）因为关于的方程在上有两个不等实根， 即与的图象在有两个交点.    由图象可知符合题意的的取值范围为. 34．（24-25高一上·广西·月考）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 3 0 0 (1)求出实数和函数的解析式； (2)将图象上的所有点向右平移个单位长度，并把图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图象.已知图象的一个对称中心为，求的最小值； (3)在（2）的条件下，当取最小值时，若对，关于的方程恰有两个实数根，求实数的取值范围. 【答案】(1)，；(2)；(3). 【解析】（1）由题意得，所以，且， 所以，且，所以， 故，. （2）的图象向右平移个单位， 得到的图象， 再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）， 可得的图象， 因为图象的一个对称中心为， 则，得， 因为，所以当时，此时取得最小值为. （3）当取最小值时，， 当时，， 此时，如图： 恰有两个实数根， 结合图象可知，即， . 35．（22-23高三上·北京海淀·月考）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 x m n p 1 6 1 1 (1)求出实数m，n，p的值； (2)求出函数的解析式； (3)将图象向左平移个单位，得到的图象．若为偶函数，求t的最小值． 【答案】(1)，，；(2)；(3) 【解析】（1）由题意得，解得，所以，，. （2）由题意得，解得，所以. （3）由题意得， 因为为偶函数，所以或，即， 即，解得， 因为，所以当时，最小，最小为. 【考点8 三角函数的实际应用】 36．（23-24高一下·辽宁大连·月考）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图1）．假定在水流量稳定的情况下，简车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图2，将筒车抽象为一个半径为4米的圆，筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，当时，筒车上的某个盛水筒M位于点处，经过t秒后运动到点，点P的纵坐标满足．已知筒车的轴心O距离水面的高度为2米，设盛水筒M到水面的距离为h（单位：米）（盛水筒M在水面下时，则h为负数），则筒车在秒的旋转运动过程中，盛水筒M位于水面以下的时间有为 秒． 【答案】80 【解析】由题意可知，由于，所以得.     因为时，，所以. 由，可求得，从而.    所以，其中. 当盛水筒位于水面以下时，应满足，即. 可列不等式， 解得.      因为，所以当时，； 当时，； 当时，. 由， 可得盛水筒位于水面以下的时间有80秒钟. 故答案为：80. 37．（23-24高一上·江苏南通·期末）（多选）如图，弹簧挂着的小球做上下振动，小球的最高点与最低点间的距离为（单位：），它在（单位：）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度由关系式确定，其中，.则下列说法正确的是（    ） A．小球在往复振动一次的过程中，从最高点运动至最低点用时 B．小球在往复振动一次的过程中，经过的路程为 C．小球从初始位置开始振动，重新回到初始位置时所用的最短时间为 D．小球从初始位置开始振动，若经过最高点和最低点的次数均为次，则所用时间的范围是 【答案】BC 【解析】由题意可知，，则， 对于A选项，函数的最小正周期为， 所以，小球在往复振动一次的过程中，从最高点运动至最低点用时，A错； 对于B选项，小球在往复振动一次的过程中，经过的路程为，B对； 对于C选项，因为当时，， 由可得或， 解得或， 易知，，则的可能取值有：、、、、、、， 小球从初始位置开始振动，重新回到初始位置时所用的最短时间为，C对； 对于D选项，由可得，则当时，小球第一次到达最高点， 以后每隔一个周期都出现一次最高点， 因为小球在内经过最高点和最低点的次数恰好是次， 所以，，因为，则， 所以，小球从初始位置开始振动，若经过最高点和最低点的次数均为次， 则所用时间的范围是，D错.故选：BC. 38．（23-24高一下·江西新余·月考）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y(m)和时间t(s)的函数关系为，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续四次到达同一位置的时间分别为，且，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的距离大于0.5m的总时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设的周期为，， 根据， 可知， 所以，，所以， 令，则， 所以，可得， 所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的距离大于0.5m的总时间 为.故选：B 39．（23-24高一下·广东佛山·月考）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋下表是某港口某天的时刻与水深关系的预报. 时刻 水深m 时刻 水深/m 时刻 水深m 0:00 5.0 9：18 2.6 18：:36 5.0 3:06 7.4 12：24 5.0 21：:42 2.6 6:12 5.0 15：:30 7.4 24：00 4.0 (1)根据以上数据，可以用函数来近似描述这一天该港口的水深与时间的关系，请写出这段曲线的函数解析式. (2)一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为，安全条例规定至少要有的安全间隙（船底与洋底的距离），请结合图像说明货船进港的必要条件，并求该船这一天何时能进入港口？在港口能呆多久？ 【答案】(1)，；(2)图象见解析，答案见解析 【解析】（1）从数据和图形可以得出： 由题意可知，，得，， ，；由，得， 所以这段曲线的函数解析式为，． （2）货船需要的安全水深为米，所以，进港条件为. 如上图所示，在点后或点后可以进港. ，与在区间有四个交点. 令，即， 因此，由，及得（时）时2分，（时）时10分. 由函数的周期性得：时2分+12时24分=13时26分，时10分+12时24分=17时34分. 因此，货船可以在1时10分左右进港，早晨5时20分左右出港； 或在下午13时30分左右进港，下午17时40分左右出港．每次可以在港口停留约5小时． 40．（24-25高一上·江苏常州·月考）与江苏省首批高品质示范高中江苏省常州高级中学毗邻的天宁宝塔，是世界第一高佛塔，是常州标志性建筑之一，也是该校师生喜欢的摄影取景胜地.该校高一某研究性学习小组去测量天宁宝塔的高度，该小组同学在塔底的东南方向上选取两个测量点与，测得米，在、两处测得塔顶的仰角分别为，（如左图），已知. (1)请计算天宁宝塔的高度（四舍五入保留整数）； (2)为庆祝某重大节日，在塔上A到处设计特殊的“灯光秀”以烘托节日气氛.知米，塔高直接取（1）的整数结果，市民在塔底B的东南方向的处欣赏“灯光秀”（如右图），请问当为多少米时，欣赏“灯光秀”的视角最大?（结果保留根式） 【注】可能用到的基本事实有：对于锐角越大，则越大，反之亦然；对任意两个锐角，总有成立. 【答案】(1)159米；(2)米 【解析】（1）在中，，得， 在中，，得， 因为， 所以， 解得米. （2）由图可知，设米， 则，， ， 当且仅当，即时等号成立. 根据题意，对于锐角越大，则越大，反之亦然， 显然，可得最大时最大. 答：当为米时，欣赏“灯光秀”的视角最大. 过关检测 一、单选题 1．（23-24高一下·河北承德·月考）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象， 所以.故选：B 2．（23-24高一上·广东湛江·期末）将函数的图象平移后所得的图象对应的函数为，则进行的平移是（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 【答案】D 【解析】设平移距离为，将函数图象上的各点的横坐标平移个单位， 可得， 因为，则， 即，当时，可得，所以D正确.故选：D． 3．（23-24高一下·广东韶关·月考）函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图知： 解得， 因为，所以，则，即 因为，所以，即. 因为，得，所以 所以故选：C. 4．（23-24高一上·陕西西安·期末）函数的部分图象如图所示，若，则可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由图象可得，，，则， 又，得，即，， 又，所以，则， 因为，即，即， 或，，解得或，， 所以符合题意.故选：D. 5．（23-24高一下·四川成都·月考）已知将函数（）的图象仅向左平移个单位长度和仅向右平移个单位长度都能得到同一个函数的图象，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】法一： 函数（）的图象仅向左平移个单位长度 得到函数的图象， 函数（）的图象仅向右平移个单位长度 得到的图象， 则（），即（），即（）， 由于，所以当时，取得最小值，故选：C． 法二： 函数的最小正周期为， 依题意有（），则（）， 由于，所以当时取得最小值，故选：C． 6．（23-24高一下·重庆沙坪坝·月考）明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心O到水面的距离h为1.5m，筒车的半径r为2.5m，筒转动的角速度为，如图所示，盛水桶M（视为质点）的初始位置距水面的距离为3m，则3s后盛水桶M到水面的距离近似为（    ）（，）． A．4.5m B．4.0m C．3.5m D．3.0m 【答案】B 【解析】根据题意，建立如下所示平面直角坐标系： 根据题意，盛水桶M到水面的距离与时间满足：； 因为筒转动的角速度为，故； 又；，解得，则； 又当时，，则，，则； 故当时，. 故选：B. 二、多选题 7．（23-24高一上·福建漳州·期末）为了得到函数的图象，只需（    ） A．将函数的图象向左平移个单位长度 B．将函数的图象向左平移个单位长度 C．将函数的图象向左平移个单位长度 D．将函数的图象向右平移个单位长度 【答案】ACD 【解析】对于选项A，向左平移个单位长度， 可得,故A正确; 对于选项B，向左平移个单位长度， 可得，故B错误； 对于选项C，向左平移个单位长度， 可得，故C正确； 对于选项D，向右平移个单位长度， 可得，故D正确.故选：ACD 8．（23-24高一上·江苏扬州·期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有（    ） A．的最小正周期为 B． 是的最小值 C．在区间上的值域为 D．把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象 【答案】ABD 【解析】函数的周期，当时，则， 由，得，即， 因此函数解析式为； 当时，则， 由，得，即， 因此函数解析式为； 对于A，函数的最小正周期为，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，当时，，利用正弦函数的性质知， ，得，C错误； 对于D，函数的图象上所有点向右平移个单位长度， 得到函数的图象，D正确.故选：ABD 9．（23-24高一下·四川泸州·月考）如图所示，点M，N是函数的图象与x轴的交点，点P在M，N之间的图象上运动，若，且当的面积最大时，则（    ） A． B． C．， D．的单调增区间为 【答案】BCD 【解析】因为当的面积最大时在最高点，此时在中，， 所以，，即，， 因为函数经过，则， 即，又，所以取. 所以函数表达式为.B正确. 对于A，，错误； 对于C，取得函数最小值， 所以的图象关于直线对称，即，，正确； 对于D，令，解得， 所以的单调增区间为，正确；故选：BCD. 三、填空题 10．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于轴对称，则 ． 【答案】 【解析】将函数的图象向左平移个单位长度后的图象对应的解析式为 ， 其图象关于轴对称，所以为偶函数， 所以，解得，因为， 所以. 故答案为：. 11．（23-24高一下·北京顺义·月考）函数图像上的点向右平移个单位后得到，若落在函数上，则的最小值为 . 【答案】/ 【解析】因为点在函数图像上，所以， 由题意可知，又落在函数上， 所以， 解得或，即或， 又，所以，即的最小值为. 故答案为：. 12．（23-24高一下·辽宁沈阳·期中）函数在上单调递减，且的图象向左平移个单位后与原来的图象重合.若方程在上的解为，则 . 【答案】/0.5 【解析】设的最小正周期为T，则，故， 又的图象向左平移个单位后与原来的图象重合， 故为函数的一个周期，故最小正周期，即，解得， 若，则，时，， 此时满足在上单调递增，不满足要求， 若，则， 时，，令， 由于在上单调递减，故在上单调递减，符合要求， ，，， 由对称性可得，即，所以. 故答案为： 四、解答题 13．（23-24高一下·辽宁大连·月考）已知点是函数图象上的任意两点，，且当时，. (1)求当时，的单调递增区间； (2)将图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标也变为原来的倍，再将所得函数图象上的所有点向左平移个单位得到的图象，若在区间上有最大值没有最小值，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为，且，所以， 依题意可得得， 又当时，，所以， 又，即，所以， 令得， 则在的单调递增区间为， 又，所以的单调递增区间为. （2）将图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标变为原来的倍得到， 再向左平移个单位得到， 当，所以， 因为在区间上有最大值没有最小值，所以， 解得，所以实数的取值范围为. 14．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）某同学用“五点法”画函数（，，）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 2 0 0 (1)根据以上表格中的数据求函数的解析式； (2)将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象．当时，关于的方程恰有两个实数根，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）表中数据可得，， 因为，所以，又，则， 当时，，即，解得， 所以． （2）将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）得到， 再将图象向左平移个单位长度得到函数的图象， 则， 又在上单调递增，在上单调递减， 且，，， 如图，当时，方程恰有两个实数根， 等价于函数，的图象与直线有两个交点， 所以，即． 15．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知函数的一段图象过点，如图所示． (1)求函数的表达式； (2)将函数的图象向右平移个单位，得函数的图象，求在区间上的值域； (3)若，求的值. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）由图知，，则. 由图可得，在处最大值， 又因为图象经过，故， 所以，故， 又因为，所以， 函数又经过，故，得. 所以函数的表达式为． （2）由题意得，， 因为，所以， 则，所以， 所以在区间上的值域为. （3）因为， 所以，即， 又因为，所以， 由，所以. 所以， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$