复习专题08 三角函数的图象与性质（12考点）-【寒假自学课】2025年高一数学寒假提升精品讲义（苏教版2019）

专题08 三角函数的图象与性质 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点1：三角函数的图象与性质 1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． (2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 2、正弦、余弦、正切函数的图象与性质 图象 定义域 值域 [-1,1] [-1,1] 最值 时， 时， 时， 时， 周期性 奇偶性 奇 偶 奇 单调性 在上单调递增 在上单调递减 在上单调递增 在上单调递减 在上单调递增 对称性 对称轴方程： 对称中心 对称轴方程： 对称中心 对称中心 知识点2：三角函数的定义域与值域 1、三角函数的定义域求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数图象来求解． 【注意】解三角不等式时要注意周期，且k∈Z不可以忽略． 2、三角函数的值域求法 （1）正余弦型：形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后，求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得最值 （2）二次型：形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)，可利用换元思想，设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值，t的范围需要根据定义域来确定． （3）和差积换元型：形如sin xcos x±(sin x±cos x)，利用sin x±cos x和sin xcos x的关系，通过换元法转换成二次函数求值域问题 （4）分式型：①分离常数法：通过分离常数法进行变形，再结合三角函数有界性求值域；②判别式法． 知识点3：三角函数的单调性问题 1、求三角函数的单调区间 （1）代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解； （2）图象法：画出三角函数的正、余弦和正切曲线，结合图象求它的单调区间 求解三角函数的单调区间时，若x的系数为负，应先化为正，同时切莫忽视函数自身的定义域． 2、已知单调性求参数的范围 （1）子集法：求出原函数的单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解； （2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解； （3）周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解． 知识点4：求ω取值范围的常用解题思路 1、依托于三角函数的周期性 因为的最小正周期是，所以，也就是说只要确定了周期T，就可以确定的取值． 2、利用三角函数的对称性 （1）三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究的取值． （2）三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与轴的交点（零点），我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而确定的取值． 3、结合三角函数的单调性 函数的每一“完整”单调区间的长度（即两相邻对称轴的间距）恰好等于，据此可用来求的值或范围． 反之，从函数变换的角度来看的大小变化决定了函数图象的横向伸缩，要使函数在指定区间上具有单调性，我们忘完可以通过调整周期长度来实现，犹如通过弹簧的伸缩来抬举三角函数在区间上的单调性和最值等． 考点剖析 【考点1 三角函数的定义域问题】 1．（24-25高一上·江苏镇江·期末）函数的定义域是 . 【答案】C 【解析】由题意可知需满足,即， 故函数的定义域为.故选：C. 2．（23-24高一下·山东日照·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得，即， 又，故，即定义域为.故选：C. 3．（23-24高一上·广东江门·期末）函数的定义域是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得，即， 所以，，所以，，故B项正确.故选:B. 4．（23-24高一下·湖南长沙·开学考试）已知的定义域是，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为的定义域是， 对于函数，有， 可得，解得， 因此，函数的定义域为.故选：D. 5．（23-24高一上·江苏南通·期中）在内函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由函数，其中有意义， 则满足，其中，即，其中， 解得，即函数的定义域为.故选：C. 【考点2 求三角函数的最值或值域】 6．（24-25高一上·甘肃兰州·月考）函数，的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，则，故.故选：D. 7．（23-24高一上·安徽·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得，则.故选：C. 8．（23-24高一上·广东广州·月考）函数的值域为 . 【答案】 【解析】， 令，因为，所以，所以. 根据二次函数的性质可知，在上单调递增，在上单调递减， 所以，当时，有最大值. 又，， 所以的最小值为，函数的值域为. 9．（23-24高一上·广东江门·期末）函数的值域是 ． 【答案】 【解析】由，可得， 当时等式不成立，∴，则有， ∵，∴，，或， ∴函数的值域是， 故答案为： 10．（23-24高一上·湖南长沙·月考）已知为钝角，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】为钝角,, ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最大值为. 【考点3 由三角函数的值域求参数】 11．（23-24高一上·浙江温州·月考）函数在的最大值为7，最小值为3，则ab为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，，， 根据函数在的最大值为7,最小值为3， 所以，即，根据正切函数在为单调增函数， 则，在上单调减函数， ，， 则，，，， ，故选：B. 12．已知函数在区间上的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的最小正周期，由题可得， 分别在同一周期内取得最小值的自变量的两侧，且， ， 由得，解得， 由得，或 解得，或， 因为，若，则，所以； 若，则，所以，即的取值范围是．故选：C. 13．（23-24高一下·广西桂林·月考）已知函数在区间上的值域为，则 . 【答案】 【解析】依题意，函数在区间上的值域为， 由于，所以， 此时， 当时取得最小值，符合题意，所以. 14．（23-24高一下·辽宁辽阳·期中）若函数在上的值域是，则m的取值范围是 ． 【答案】 【解析】当，， 由函数的值域为，可知，解得：. 故答案为： 15．（24-25高一上·江苏无锡·月考）函数在区间上的值域为则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】当时，， 由，可得， 函数在区间上的值域为， 根据正弦函数的图象知，，解得， 所以实数a的取值范围是． 【考点4 求三角函数的单调区间】 16．（24-25高一上·河北廊坊·月考）函数 的单调递减区间为 . 【答案】. 【解析】 的单调递减区间即为的单调递增区间. 令，，得,. 故其单调递减区间为. 故答案为：. 17．（23-24高一下·河南驻马店·月考）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得， 要求的递增区间即求的递减区间， 当，，即，时， 单调递减，即单调递增，故B正确.故选：B. 18．（24-25高三上·广东江门·月考）下列函数中，以为周期，且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A：由，可知不是其周期，（也可说明其不是周期函数）故错误； 对于B：，其最小正周期为，故错误； 对于C：满足，以为周期， 当时，， 由正切函数的单调性可知在区间上单调递减，故错误； 对于D，满足，以为周期， 当时，，由余弦函数的单调性可知， 在区间上单调递增，故正确；故选:D 19．（23-24高一上·广东江门·期末）下列四个函数中，以为周期，且在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为的最小正周期为， 当时，，所以它在上单调递增，故A错误； 因为最小正周期为，故B错误； 因为最小正周期为，在区间上单调递减，故C正确； 不是周期函数，故D错误；故选：C. 20．（23-24高一下·河南南阳·月考）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得， 首先有，解得. 故的定义域为， 要使单调递增，则单调递增， 故令，解得. 则的单调递增区间是.故选：B. 【考点5 由三角函数的单调性求参数】 21．（23-24高一下·北京·月考）若函数在上单调递增，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】对于函数，令，，解得，， 所以函数的单调递增区间为，， 当时函数的一个单调递增区间为， 又函数在上单调递增，所以，则的最大值为.故选：B 22．（23-24高一下·辽宁本溪·期中）已知函数在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在上单调递增，又的最小正周期， 则在处取得最小值，在处取得最大值， 所以，即， 又，所以.故选：D 23．（23-24高一上·江苏无锡·月考）已知函数，其中.若在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， ∵函数在区间内单调递增，∴，∴， ∵，∴， 若在区间上单调递增，则，解得， 当时，，又因为，∴.故选：A 24．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）（多选）已知函数在上单调递增，则可能的取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】令，解得， 故的单调递增区间为， 令得，一个单调递增区间为， 要想函数在上单调递增， 故，所以满足要求，不合要求.故选：ABC 25．（23-24高一下·江西南昌·期末）已知函数的单调递增区间是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，解得， 故且，解得，故选：C 【考点6 三角函数的奇偶性及应用】 26．下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，中，，得， ，则为偶函数，A错误； 对于B，函数定义域为R，， 则为奇函数，B正确； 对于C，函数定义域为R，，则为偶函数，C错误； 对于D，函数定义域为R，， 则为非奇非偶函数，D错误．故选：B 27．（24-25高三上·江苏南通·月考）（多选）下列的函数是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】因为函数的定义域为， 对于选项A：因为， 可知不是偶函数，故A错误； 对于选项B：因为，所以是偶函数，故B正确； 对于选项C：因为所以是偶函数，故C正确； 对于选项D：因为，所以是偶函数，故D正确；故选：BCD. 28．（24-25高三上·江苏淮安·期中）已知函数，则“”是“函数为奇函数”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】若，则，则，， 所以，则为奇函数. 若为奇函数，则一定有. 则“”是“函数为奇函数”的充要条件.故选：A. 29．（23-24高一上·广西柳州·期末）已知函数是奇函数，则时， ． 【答案】 【解析】因为函数是奇函数， 所以,即, 又因为，所以令，， 故答案为：. 30．（23-24高一下·辽宁沈阳·月考）已知， . 【答案】 【解析】∵， ∴， ， ， ， ∴. 故答案为： 【考点7 三角函数的周期性及应用】 31．（23-24高一下·广东佛山·期中）函数的最小正周期为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【解析】的最小正周期为.故选：B 32．（23-24高一下·山东日照·期中）函数的最小正周期是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】函数的最小正周期是.故选：D 33．下列函数中，以为最小正周期的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，的图象是 由把轴下方的图象翻折上去、轴上方的图象保持不变得到的， 则最小正周期为，故A错误； 对于B，的最小正周期为，故B错误； 对于C，的最小正周期为，故C错误； 对于D，的图象是 由把轴下方的图象翻折上去、轴上方的图象保持不变得到的， 则最小正周期为，故D正确．故选：D． 34．（23-24高一上·河北石家庄·期末）函数的最小正周期是 ． 【答案】6 【解析】函数的最小正周期为， 显然，即是函数的周期， 在同一坐标系内作出函数的图象，如图， 观察图象知，函数的周期相同，所以函数的最小正周期是6. 故答案为：6 35．（23-24高一下·上海·开学考试）已知，则 . 【答案】2 【解析】易知以6为周期.枚举得，， ，，，， 所以.又， 所以. 故答案为： 【考点8 三角函数的对称性及应用】 36．（23-24高一下·湖北黄冈·月考）函数的图象的一条对称轴方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，由，，得，． 当时，得.故选：A. 37．（23-24高一下·辽宁大连·月考）若函数的最小正周期为1，则函数图象的对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，故， 当时，， 令，解得， 当时，， 令，解得， 故函数图象的对称中心为.故选：B. 38．（23-24高一下·云南·月考）下列函数中，以点为对称中心的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A：函数，令，解得， 所以函数的对称中心为，，故A错误； 对于B：函数，令，解得， 所以函数的对称中心为，，故B错误； 对于C：函数，令，解得， 所以函数的对称中心为，，故C错误； 对于D：函数，令，解得， 所以函数的对称中心为，，故D正确.故选：D 39．（23-24高二下·云南楚雄·期末）已知直线和都是函数图象的对称轴，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可知，当或时，取得最值； 对于A： ， ，符合题意，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D错误.故选：A 40．（23-24高一下·北京海淀·期末）已知，则下列直线中，是函数对称轴的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，，解得，， 对于A，，，则函数的图象关于不对称，A不正确； 对于B，，，则函数的图象关于不对称，B不正确； 对于C，，即，， ，则函数的图象关于对称，C正确； 对于D，，，则函数的图象关于不对称，D不正确.故选：C 【考点9 三角函数的图象识别问题】 41．（24-25高一上·天津·月考）函数（且）的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，，化简得， 根据函数的图象和性质， 可得在内为增函数且为正值， 在内为增函数且为负值，在内为减函数且为负值，故C正确.故选：C. 42．（23-24高一下·广东肇庆·月考）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，，故排除选项C； 当时，，故排除选项B； 令，则在上恒成立， 函数在区间上是奇函数，其函数图象关于原点对称， 故排除选项D，A选项正确.故选：A. 43．（24-25高一上·湖南常德·月考）函数，的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， ，，， 函数是奇函数，排除D， 当时，，则，排除A，B.故选：C. 44．（23-24高一下·陕西渭南·月考）数缺形时少直观，形缺数时难入微.函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以为偶函数，排除B,C； 当为锐角时，，排除D.故选：A 45．（23-24高一下·辽宁大连·月考）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，由已知的定义域为， 又， 所以为偶函数，图象关于轴对称，故排除， 当时，，故排除D.故选：C. 【考点10 比较三角函数值的大小】 46．（23-24高一上·江苏无锡·月考）（多选）下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】因为，且函数在上单调递增，则，故选项A错误； 因为，且函数在上单调递减，则， 即，故选项B正确； 因为，且函数在上单调递减，则，故选项C错误； 因为，且函数在上单调递减，则，故选项D正确.故选：BD 47．（23-24高一上·江苏南通·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为在上单调递增，在上单调递减， 在单调递增， 所以，，， 所以.故选：D 48．（23-24高一上·湖南株洲·月考）若，，，则a，b，c为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由于，故， 而，故， 又，即，故选：B 49．（23-24高一下·四川眉山·月考）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数在上单调递增， 所以， 又，故有，故选：D. 50．（24-25高一上·河北石家庄·月考）已知定义在上的偶函数满足在区间内单调递增．若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 由，则．所以， 又在区间内单调递增，则， 又函数为偶函数，故则，所以．故选：D. 【考点11 三角函数中ω的取值范围】 51．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数在上有且仅有2个零点.则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，. 因为在上有且仅有2个零点， 所以，解得.故选：C 52．（23-24高一上·江苏扬州·期末）已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，因为，则， 因为函数在上存在最值，则，解得， 当时，， 因为函数在上单调，则， 所以其中，解得， 所以，解得， 又因为，则． 当时，；当时，；当时，． 又因为2，因此的取值范围是．故选：C． 53．（24-25高一上·云南保山·月考）已知函数在区间上是增函数，若函数在上的图象与直线有且仅有一个交点，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数的图象关于原点对称，并且在区间上是增函数， 所以，所以， 又，得， 令，得， 所以在上的图象与直线的第一个交点的横坐标为， 第二个交点的横坐标为， 所以，解得， 综上所述，.故选：. 54．（23-24高一下·安徽·期末）函数的图象在区间上恰有一条对称轴和一个对称中心，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，设，则， 由图可知直线在线段之间，不含点， 所以，得． 故选：C. 55．（24-25高一上·浙江杭州·月考）已知函数的图象在上恰有四个对称中心，则的取值范围为 . 【答案】. 【解析】由，则， 因为函数在上恰有四个对称中心， 所以，解得，即的取值范围为. 【考点12 三角函数的零点问题】 56．（23-24高一下·上海·期中）方程的实数解的个数为 个. 【答案】5 【解析】方程的实数解的个数， 即为函数与图象交点个数， 作出两函数的图象，如图所示： 由此可得两函数共有5个交点， 所以方程的实数解的个数为5. 57．（23-24高一下·江苏徐州·期中）函数在区间内的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】由，得，解得， 由，得， 因为，所以， 所以区间内的零点个数为4.故选：C 58．（23-24高一上·江苏南通·月考）函数在上的零点个数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【解析】由题意可得：， 令，解得或， 又因为时，由正、余弦函数可知、分别有两解． 综上所述：函数在上的零点个数为故选：C. 59．（24-25高一上·陕西榆林·月考）当时，函数的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】由，得， 作出，在的图象， 由图可知，两函数的图象的交点有4个， 则曲线在上的零点个数为4.故选：B. 60．（24-25高一上·浙江·月考）已知函数在上有且仅有个零点，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数的定义域为， 因为，所以，函数为偶函数， 因为函数在上有且仅有个零点， 则，解得.故选：A. 过关检测 一、单选题 1．（24-25高一上·吉林白城·期末）的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数的最小正周期，故选:D. 2．（23-24高一下·江西南昌·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意得，解得，即.故选：D． 3．（23-24高一下·北京·月考）下列函数中，是偶函数且其图象关于对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，为奇函数，A错误； 对于B，为偶函数， 因为，所以的图象关于点对称，B正确； 对于C，为偶函数， 因为，所以不是的对称中心，C错误； 对于D，为奇函数，D错误.故选：B 4．（24-25高一上·江苏无锡·月考）函数的部分图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数的定义域，且，所以函数是奇函数，函数图象关于原点对称，排除D， 当，，则函数值，即原点右侧开始的函数值是正数，排除B， 时，，即，存在满足不等式， 所以当时，函数的零点都是变号零点，并不恒为正数，排除C.故选：A 5．（23-24高一下·北京门头沟·期中）比较、、的大小关系（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 因为函数在上单调递增，且， 所以，即.故选：D 6．（23-24高一下·浙江丽水·期末）已知函数，若的图象的任意一条对称轴与轴交点的横坐标均不属于区间，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为的图像的任何一条对称轴与轴交点的横坐标均不属于区间， 所以，所以， 又，且，解得， 又因，所以，解得， 当时，符合题意， 当时，，符合题意， 所以.故选：D. 二、多选题 7．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）下列函数中，在区间上单调递减的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】A选项，对于， 由，得，所以在区间上单调递减的函数，A选项正确. B选项，对于， 由，得，不符合题意. C选项，由，得，且， 所以在区间上单调递减的函数，C选项正确. D选项，对于，由，得，不符合题意.故选：AC 8．（24-25高三上·山东青岛·期中）已知，则（    ） A．为偶函数 B．是的最小正周期 C．在区间上单调递增 D．的值域为 【答案】ACD 【解析】由可知，，定义域为， 故定义域关于原点对称，又，所以函数为偶函数，故A正确； 取，则，，即， 所以不是函数的周期，故B错误； 当时，，令且为减函数， 而在时单调递减，所以由复合函数的单调性知， 单调递增，故C正确； 由为偶函数，只需研究时的值域，当时，， 因为，即时，是函数的一个周期， 当时，， 当且仅当，即时取等号，当时，， 令，则在上是增函数，所以， 当时，，所以，综上的值域为，故D正确.故选：ACD 9．（22-23高一上·广东深圳·期末）已知函数，下列选项正确的有（     ） A．的最小正周期为 B．函数的单调递增区间为 C．在区间上只有一个零点 D．函数在区间的值域为 【答案】AC 【解析】对于A选项，函数的最小正周期为，A对； 对于B选项，由得， 所以，函数的单调递增区间为，B错； 对于C选项，当时，， 由可得，所以，函数在区间上只有一个零点，C对； 对于D选项，当时，，则， 则函数在区间的值域为，D错.故选：AC. 三、填空题 10．（23-24高一下·山东威海·月考）已知函数，的图象的对称中心是 ． 【答案】 【解析】由函数可得，，解得：， 即的图象的对称中心是. 11．（23-24高一下·四川眉山·月考）已知，且，则 【答案】 【解析】由题意可知：的定义域为，关于原点对称， 且 ， 即， 显然，则， 即，解得. 故答案为：. 12．（23-24高一上·福建厦门·月考）不等式在上有解，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【解析】， 其中， 故在上有解， 令，则， 其中在上单调递增， 故当时，取得最小值， 最小值为， 故，实数m的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 13．（23-24高一下·河南驻马店·月考）已知的图象关于点对称，且在区间上单调递减，在区间上单调递增，. (1)求的解析式； (2)若，求满足不等式的解集. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）根据题意，且在区间上单调递减， 在区间上单调递增，则为函数的对称轴， 又函数图象关于点对称，且， 所以，则，， 且，又，所以， 再由，即，所以， 所以； （2）由，得， 而，则，， 则，则或， 解得或， 所以满足不等式的解集为. 14．（24-25高一上·江苏南京·月考）已知函数． (1)求的值； (2)求的单调增区间； (3)求在区间上的值域． 【答案】(1)；(2)单调增区间为；(3) 【解析】（1） （2）由得，， 的单调增区间为. （3）当时，， ，∴， 故在区间上的值域为. 15．（23-24高一下·辽宁大连·月考）设函数，其中，已知，且. (1)求的解析式； (2)求的单调递增区间； (3)将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若存在，使得，求的取值范围. 【答案】(1)；(2)；(3). 【解析】（1）由知，，则， 又已知，所以， 故中恰有一个取最大值，而另一个取最小值. 所以有，则， 故，则. 因为，且，所以，，则. （2）令，解得， 故的单调递增区间为. （3）由题意可得. ∵，∴， 此时，， 由题意，要使有解，可得， 即，解得， 故所求的取值范围是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 三角函数的图象与性质 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点1：三角函数的图象与性质 1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． (2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 2、正弦、余弦、正切函数的图象与性质 图象 定义域 值域 [-1,1] [-1,1] 最值 时， 时， 时， 时， 周期性 奇偶性 奇 偶 奇 单调性 在上单调递增 在上单调递减 在上单调递增 在上单调递减 在上单调递增 对称性 对称轴方程： 对称中心 对称轴方程： 对称中心 对称中心 知识点2：三角函数的定义域与值域 1、三角函数的定义域求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数图象来求解． 【注意】解三角不等式时要注意周期，且k∈Z不可以忽略． 2、三角函数的值域求法 （1）正余弦型：形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后，求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得最值 （2）二次型：形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)，可利用换元思想，设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值，t的范围需要根据定义域来确定． （3）和差积换元型：形如sin xcos x±(sin x±cos x)，利用sin x±cos x和sin xcos x的关系，通过换元法转换成二次函数求值域问题 （4）分式型：①分离常数法：通过分离常数法进行变形，再结合三角函数有界性求值域；②判别式法． 知识点3：三角函数的单调性问题 1、求三角函数的单调区间 （1）代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解； （2）图象法：画出三角函数的正、余弦和正切曲线，结合图象求它的单调区间 求解三角函数的单调区间时，若x的系数为负，应先化为正，同时切莫忽视函数自身的定义域． 2、已知单调性求参数的范围 （1）子集法：求出原函数的单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解； （2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解； （3）周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解． 知识点4：求ω取值范围的常用解题思路 1、依托于三角函数的周期性 因为的最小正周期是，所以，也就是说只要确定了周期T，就可以确定的取值． 2、利用三角函数的对称性 （1）三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究的取值． （2）三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与轴的交点（零点），我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而确定的取值． 3、结合三角函数的单调性 函数的每一“完整”单调区间的长度（即两相邻对称轴的间距）恰好等于，据此可用来求的值或范围． 反之，从函数变换的角度来看的大小变化决定了函数图象的横向伸缩，要使函数在指定区间上具有单调性，我们忘完可以通过调整周期长度来实现，犹如通过弹簧的伸缩来抬举三角函数在区间上的单调性和最值等． 考点剖析 【考点1 三角函数的定义域问题】 1．（24-25高一上·江苏镇江·期末）函数的定义域是 . 2．（23-24高一下·山东日照·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·广东江门·期末）函数的定义域是(    ) A． B． C． D． 4．（23-24高一下·湖南长沙·开学考试）已知的定义域是，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·江苏南通·期中）在内函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【考点2 求三角函数的最值或值域】 6．（24-25高一上·甘肃兰州·月考）函数，的值域是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·安徽·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·广东广州·月考）函数的值域为 . 9．（23-24高一上·广东江门·期末）函数的值域是 ． 10．（23-24高一上·湖南长沙·月考）已知为钝角，则的最大值为 ． 【考点3 由三角函数的值域求参数】 11．（23-24高一上·浙江温州·月考）函数在的最大值为7，最小值为3，则ab为（    ） A． B． C． D． 12．已知函数在区间上的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高一下·广西桂林·月考）已知函数在区间上的值域为，则 . 14．（23-24高一下·辽宁辽阳·期中）若函数在上的值域是，则m的取值范围是 ． 15．（24-25高一上·江苏无锡·月考）函数在区间上的值域为则实数a的取值范围是 ． 【考点4 求三角函数的单调区间】 16．（24-25高一上·河北廊坊·月考）函数 的单调递减区间为 . 17．（23-24高一下·河南驻马店·月考）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 18．（24-25高三上·广东江门·月考）下列函数中，以为周期，且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 19．（23-24高一上·广东江门·期末）下列四个函数中，以为周期，且在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高一下·河南南阳·月考）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【考点5 由三角函数的单调性求参数】 21．（23-24高一下·北京·月考）若函数在上单调递增，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 22．（23-24高一下·辽宁本溪·期中）已知函数在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高一上·江苏无锡·月考）已知函数，其中.若在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）（多选）已知函数在上单调递增，则可能的取值为（    ） A． B． C． D． 25．（23-24高一下·江西南昌·期末）已知函数的单调递增区间是，则（    ） A． B． C． D． 【考点6 三角函数的奇偶性及应用】 26．下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 27．（24-25高三上·江苏南通·月考）（多选）下列的函数是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 28．（24-25高三上·江苏淮安·期中）已知函数，则“”是“函数为奇函数”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 29．（23-24高一上·广西柳州·期末）已知函数是奇函数，则时， ． 30．（23-24高一下·辽宁沈阳·月考）已知， . 【考点7 三角函数的周期性及应用】 31．（23-24高一下·广东佛山·期中）函数的最小正周期为（    ） A．2 B．1 C． D． 32．（23-24高一下·山东日照·期中）函数的最小正周期是（    ） A． B． C．1 D．2 33．下列函数中，以为最小正周期的是（    ） A． B． C． D． 34．（23-24高一上·河北石家庄·期末）函数的最小正周期是 ． 35．（23-24高一下·上海·开学考试）已知，则 . 【考点8 三角函数的对称性及应用】 36．（23-24高一下·湖北黄冈·月考）函数的图象的一条对称轴方程是（    ） A． B． C． D． 37．（23-24高一下·辽宁大连·月考）若函数的最小正周期为1，则函数图象的对称中心为（    ） A． B． C． D． 38．（23-24高一下·云南·月考）下列函数中，以点为对称中心的函数是（    ） A． B． C． D． 39．（23-24高二下·云南楚雄·期末）已知直线和都是函数图象的对称轴，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 40．（23-24高一下·北京海淀·期末）已知，则下列直线中，是函数对称轴的为（    ） A． B． C． D． 【考点9 三角函数的图象识别问题】 41．（24-25高一上·天津·月考）函数（且）的大致图象是（    ） A． B． C． D． 42．（23-24高一下·广东肇庆·月考）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 43．（24-25高一上·湖南常德·月考）函数，的图象大致是（    ） A． B． C． D． 44．（23-24高一下·陕西渭南·月考）数缺形时少直观，形缺数时难入微.函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 45．（23-24高一下·辽宁大连·月考）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【考点10 比较三角函数值的大小】 46．（23-24高一上·江苏无锡·月考）（多选）下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 47．（23-24高一上·江苏南通·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 48．（23-24高一上·湖南株洲·月考）若，，，则a，b，c为（    ） A． B． C． D． 49．（23-24高一下·四川眉山·月考）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 50．（24-25高一上·河北石家庄·月考）已知定义在上的偶函数满足在区间内单调递增．若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【考点11 三角函数中ω的取值范围】 51．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数在上有且仅有2个零点.则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 52．（23-24高一上·江苏扬州·期末）已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 53．（24-25高一上·云南保山·月考）已知函数在区间上是增函数，若函数在上的图象与直线有且仅有一个交点，则的范围为（    ） A． B． C． D． 54．（23-24高一下·安徽·期末）函数的图象在区间上恰有一条对称轴和一个对称中心，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 55．（24-25高一上·浙江杭州·月考）已知函数的图象在上恰有四个对称中心，则的取值范围为 . 【考点12 三角函数的零点问题】 56．（23-24高一下·上海·期中）方程的实数解的个数为 个. 57．（23-24高一下·江苏徐州·期中）函数在区间内的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 58．（23-24高一上·江苏南通·月考）函数在上的零点个数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 59．（24-25高一上·陕西榆林·月考）当时，函数的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 60．（24-25高一上·浙江·月考）已知函数在上有且仅有个零点，则实数（    ） A． B． C． D． 过关检测 一、单选题 1．（24-25高一上·吉林白城·期末）的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·江西南昌·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·北京·月考）下列函数中，是偶函数且其图象关于对称的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·江苏无锡·月考）函数的部分图象大致是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·北京门头沟·期中）比较、、的大小关系（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·浙江丽水·期末）已知函数，若的图象的任意一条对称轴与轴交点的横坐标均不属于区间，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）下列函数中，在区间上单调递减的函数是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·山东青岛·期中）已知，则（    ） A．为偶函数 B．是的最小正周期 C．在区间上单调递增 D．的值域为 9．（22-23高一上·广东深圳·期末）已知函数，下列选项正确的有（     ） A．的最小正周期为 B．函数的单调递增区间为 C．在区间上只有一个零点 D．函数在区间的值域为 三、填空题 10．（23-24高一下·山东威海·月考）已知函数，的图象的对称中心是 ． 11．（23-24高一下·四川眉山·月考）已知，且，则 12．（23-24高一上·福建厦门·月考）不等式在上有解，则实数m的取值范围是 . 四、解答题 13．（23-24高一下·河南驻马店·月考）已知的图象关于点对称，且在区间上单调递减，在区间上单调递增，. (1)求的解析式； (2)若，求满足不等式的解集. 14．（24-25高一上·江苏南京·月考）已知函数． (1)求的值； (2)求的单调增区间； (3)求在区间上的值域． 15．（23-24高一下·辽宁大连·月考）设函数，其中，已知，且. (1)求的解析式； (2)求的单调递增区间； (3)将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若存在，使得，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$