第5章 5.2.2 同角三角函数的基本关系（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

该高中数学课件聚焦同角三角函数的基本关系，通过经典老歌“团结就是力量”类比知识联系导入，结合单位圆交点问题，引导学生从已学三角函数定义出发推导平方关系与商数关系，构建知识支架。 其亮点在于以问题链驱动探究，通过表格观察、单位圆抽象培养数学眼光，例题中分类讨论、弦化切等方法发展数学思维，恒等式证明的多种思路强化数学语言表达。反思感悟与跟踪训练帮助学生形成解题策略，教师可借助结构化内容提升教学效率。

第5章　 §5.2　任意角的三角函数 <<< 5.2.2 同角三角函数的基本关系 1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用. 2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明. 学习目标 “一支竹篙啊，难渡汪洋海，众人划桨哟，开动大帆船，一棵小树呀，弱不禁风雨，百里森林哟，并肩耐岁寒，耐岁寒，一加十，十加百，百加千千万，你加我，我加你，大家心相连，同舟嘛共济海让路，号子嘛一喊浪靠边，百舸嘛争流千帆进，波涛在后岸在前……”一首经典老歌让我们感触很深，歌词中每一句都流露出了“团结就是力量，团结就是胜利”，就像是我们数学中的每一个知识点一样，彼此紧密联系，比如我们刚学过的正弦、余弦和正切函数，它们之间到底有什么样的联系呢，让我们一起去发现. 导 语 一、利用同角三角函数的基本关系求值 二、sin θ±cos θ型求值问题 课时对点练 三、利用同角三角函数的基本关系化简与证明 内容索引 利用同角三角函数的基本关系求值 一 观察下表，你能发现什么？ 问题1 提示　对于表格中的几个角，同一个角的正弦与余弦的比值等于正切(cos α≠0)，正弦与余弦的平方和等于1. α 0 sin α 0 1 cos α 1 0 tan α 0 1 不存在 若P(x，y)是角α的终边与单位圆的交点，则角α的三个三角函数值之间有什么联系？ 问题2 提示　若余弦不为0，则正切等于正弦比余弦，即tan α；因为点P在单位圆上，则由勾股定理得x2＋y2＝1，即sin2α＋cos2α＝1. 同角三角函数的基本关系 平方关系：sin2α＋cos2α＝ ； 商数关系：.  这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切. 1 知识梳理 (1)“同角”的含义，一是角相同，二是对任意一个角关系式都成立. (2)对于sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tan α仅对α∈成立. (3)sin2α是(sin α)2的缩写，不能写成sin α2. 注 意 点 <<< 9 (1)(课本例5)已知sin α＝－求cos α，tan α的值. 例 1 角度1　直接利用基本关系式求值 10 因为sin α<0，sin α≠－1，所以α是第三或第四象限角. 由sin2α＋cos2α＝1得 cos2α＝1－sin2α＝1－. 如果α是第三象限角，那么cos α<0.于是 cos α＝－－ 从而tan α×. 如果α是第四象限角，那么cos αtan α＝－. 解 11 (2)(课本例6)已知tan α＝k，且角α在第三象限，求sin α，cos α. 由角α在第三象限知：sin α<0，cos α<0. 由tan α＝k，得sin α＝kcos α.将上式代入sin2α＋cos2α＝1，得k2cos2α＋cos2α＝1， 即cos2α. 因此cos α＝－ sin α＝tan α·cos α＝－. 解 12 已知cos α＝－求sin α，tan α的值. 例 1 13 ∵cos α＝－<0， ∴α是第二或第三象限角. ①当α是第二象限角时，则 sin α tan α－； ②当α是第三象限角时，则 sin α＝－－tan α. 解 14 (1)已知sin α(或cos α)求tan α常用以下方式求解 反 思 感 悟 (2)已知tan θ求sin θ(或cos θ)常用以下方法求解. (3)若没有给出角α是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限，再分类求解. 15 已知tan α＝2. (1)求的值； 例 2 角度2　利用弦切互化求值 16 方法一　(代入法) ∵tan α＝2，∴2， ∴sin α＝2cos α. ∴－. 方法二　(弦化切) ∵tan α＝2. ∴－. 解 17 (2)求2sin2α－sin αcos α＋cos2α的值. 2sin2α－sin αcos α＋cos2α . 解 18 已知tan α的值，求关于sin α，cos α齐次式的值的方法 (1)已知tan α＝m，可以求或的值，将分子分母同除以cos α或cos2α，化成关于tan α的式子，从而达到求值的目的. (2)对于asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α的求值，可看成分母是1，利用1＝sin2α＋cos2α进行代替后分子分母同时除以cos2α，得到关于tan α的式子，从而可以求值. 反 思 感 悟 19 (1)已知tan α且α是第三象限角，求sin α，cos α的值. 跟踪训练 1 由tan α得sin αcos α. ① 又sin2α＋cos2α＝1， ② 由①②得cos2α＋cos2α＝1，即cos2α. 又α是第三象限角， 则cos α＝－sin αcos α＝－. 解 20 (2)已知tan α＝－4，求. . 解 21 二 sin θ±cos θ型求值问题 　(课本例8)已知sin α＋cos α求sin α·cos α的值. 例 3 因为sin α＋cos α 两边平方，得(sin α＋cos α)2 即sin2α＋cos2α＋2sin α·cos α. 将sin2α＋cos2α＝1代入上式，得 sin α·cos α×－. 解 23 已知sin θ＋cos θθ∈(0，π)，求sin θ－cos θ的值. 例 3 24 方法一　由sin θ＋cos θ 得cos θ－sin θ. 又sin2θ＋cos2θ＝1， 代入得sin2θ＋1， 整理得sin2θ－sin θ－0， 即0，解得sin θ＝－或sin θ. 解 25 又θ∈(0，π)，所以sin θ>0，故sin θ. 所以cos θ－sin θ－ sin θ－cos θ. 方法二　因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0， 又sin θ＋cos θ两边平方， 整理得sin θcos θ＝－<0，所以cos θ<0，所以sin θ－cos θ>0， 又(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1＋所以sin θ－cos θ. 解 26 sin θ±cos θ与sin θcos θ之间的关系 (1)(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ； (sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ， 利用该公式，已知其中一个，能求另外二个，即“知一求二”. (2)求sin θ＋cos θ或sin θ－cos θ的值，要注意判断它们的符号. 反 思 感 悟 27 已知sin α＋cos αα∈(0，π)，则tan α＝　　　　.  跟踪训练 2 － 28 ∵sin α＋cos α ① ∴(sin α＋cos α)2 即2sin αcos α＝－<0， 又α∈(0，π)，则sin α>0，cos α<0，∴α∈ 故sin α－cos α ② 由①②可得sin αcos α＝－tan α＝－. 解析 29 利用同角三角函数的基本关系化简与证明 三 化简： (1)； 例 4 原式1. 解 角度1　化简三角函数式 31 (2)sin2αtan α＋＋2sin αcos α. 原式＝sin2α·＋cos2α·＋2sin αcos α . 解 32 利用同角三角函数基本关系化简的常用方法 (1)化切为弦，减少函数名称. (2)对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，再去掉根号. (3)对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以降幂化简. 反 思 感 悟 33 (课本例7)求证：1＋tan2α. 例 5 1＋tan2α＝1＋. 证明 角度2　三角恒等式的证明 34 求证：. 例 5 35 方法一　左边 右边. 所以原等式成立. 方法二　因为(sin α－cos α＋1)cos α＝sin αcos α－cos2α＋cos α ＝sin αcos α＋cos α－(1－sin2α)＝cos α(sin α＋1)－(1＋sin α)(1－sin α) ＝(1＋sin α)(cos α－1＋sin α)＝(1＋sin α)(sin α＋cos α－1)， 且sin α＋cos α－1≠0，cos α≠0，所以. 证明 36 证明三角恒等式的常用方法 (1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简. (2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子. (3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异. (4)变更命题法，如要证明可证ad＝bc，或证等. (5)比较法，即设法证明“左边－右边＝0”或“1”. 反 思 感 悟 37 (1)化简：＋(1＋tan2α)cos2α. 跟踪训练 3 原式cos2α ·cos2α＝1＋1＝2. 解 38 (2)求证：. 左边 右边. 所以原等式成立. 证明 39 1.知识清单： (1)利用同角三角函数的基本关系求值. (2)sin θ±cos θ型求值问题. (3)利用同角三角函数的基本关系化简与证明. 2.方法归纳：由部分到整体、整体代换法. 3.常见误区：忽视对角所在的象限进行分类讨论. 课堂小结 课时对点练 四 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B C D C B AD －　 题号 8 11 12 13 14 15 答案 A BD A AD 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1) . (2) . 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)因为α是第二象限角， 所以sin α>0，cos α<0. tan α tan α ＝tan α ··－1. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)· · ·1. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)因为t即sin x＋cos x则(sin x＋cos x)2＝1＋2sin xcos x 即sin xcos x＝－所以(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x. 因为x是第四象限角，则sin x<0，cos x>0，所以sin x－cos x<0， 所以sin x－cos x＝－ 所以sin3x－cos3x＝(sin x－cos x)(sin2x＋sin xcos x＋cos2x)＝－× －. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)由(sin x＋cos x)2＝1＋2sin xcos x＝t2，可得sin xcos x(t2－1)， 则方程－sin xcos x＋a(sin x＋cos x)＝1可化为－t2＋at－0，t∈. ①当t＝0时，－≠0，显然方程无解； ②当0<t≤时，方程－t2＋at－0等价于a由基本不等式可得≥×21，当且仅当t＝1时，等号成立， 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又当t→0时，t＋→＋∞， 故a≥1， 所以要使得关于x的方程－sin xcos x＋a(sin x＋cos x)＝1有实数根，则a≥1. 故a的取值范围是[1，＋∞). 基础巩固 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1.已知α是第四象限角，cos α则sin α等于 A. B.－ C. D.－ √ 由条件知α是第四象限角，所以sin α<0， 即sin α＝－－－. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知sin φ＝－且|φ|<则tan φ等于 A.－ B. C.－ D. √ ∵sin φ＝－∴cos2φ＝1－sin2φ＝1－ 又|φ|<即－<φ<∴cos φ>0， ∴cos φ∴tan φ－. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.若tan α＝2，则2sin αcos α等于 A.± B.－ C. D. √ 2sin αcos α. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.化简sin2α＋cos4α＋sin2αcos2α的结果是 A. B. C.1 D. √ 原式＝sin2α＋cos2α(cos2α＋sin2α)＝sin2α＋cos2α＝1. 解析 5.已知sin α＋cos α则tan α＋等于 A.－ B. C.－ D. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为sin α＋cos α 平方得sin2α＋2sin αcos α＋cos2α又sin2α＋cos2α＝1， 故sin αcos α 则tan α＋. 解析 6.(多选)下列计算或化简结果正确的有 A.若sin θcos θ则tan θ＋2 B.若tan x则1 C.若sin α则tan α＝2 D.若α为第一象限角，则2 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A正确，tan θ＋2； B不正确2； C不正确，∵α的范围不确定， ∴tan α的符号不确定； D正确，∵α为第一象限角， ∴原式2. 解析 7.若α是第三象限角且cos α＝－则sin α＝　　　　，tan α＝　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 － ∵α是第三象限角且cos α＝－ ∴sin α＝－－ ∴tan α. 解析 8.若0<θ<π，sin θcos θ＝－则sin θ－cos θ＝　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵0<θ<π，sin θcos θ＝－<0， ∴sin θ>0，cos θ<0. ∴sin θ－cos θ>0. ∴sin θ－cos θ . 解析 9.已知tan α求下列各式的值. (1)； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 . 解 (2). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 . 解 10.(1)化简：tan α(其中α为第二象限角)； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为α是第二象限角， 所以sin α>0，cos α<0. tan α tan α ＝tan α ··－1. 解 (2)求证：·1. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 · · ·1. 证明 11.化简(1－cos α)的结果是 A.sin α B.cos α C.1＋sin α D.1＋cos α 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 原式(1－cos α) (1－cos α)sin α. 解析 12.(多选)已知α∈R，sin α＋2cos α则tan α的值为 A.－3 B.－ C. D.3 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为sin α＋2cos α 又sin2α＋cos2α＝1， 联立解得或 故tan α－或3. 解析 13.若θ∈(0，π)，tan θ＋6，则sin θ＋cos θ等于 A. B.－ C.± D. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为tan θ＋6，所以sin θcos θ 所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ又θ∈(0，π)，sin θcos θ>0，sin θ>0，则cos θ>0， 所以sin θ＋cos θ. 解析 14.已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两个根分别为sin θ和cos θ，θ ∈则的值为　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得 所以 sin θ＋cos θ. 解析 15.(多选)在平面直角坐标系xOy中，角θ以坐标原点O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，其终边经过点M(a，b)，OM＝m(m>0)，定义f(θ)g(θ)则 A.f ＋g1 B.f(θ)g(θ)是奇函数 C.若2，则tan θ D.[f(θ)]2＋[g(θ)]2＝2 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据条件及三角函数的定义知，f(θ)sin θ＋cos θ，g(θ)sin θ－cos θ， 对于选项A，f ＋gsin＋cos ＋sin －cos 2sin 1，故选项A正确； 对于选项B，f(θ)g(θ)＝(sin θ＋cos θ)(sin θ－cos θ)＝sin2θ－cos2θ，且定义域为R， 所以f(－θ)g(－θ)＝sin2(－θ)－cos2(－θ)＝sin2θ－cos2θ＝f(θ)g(θ)，所以f(θ)g(θ)为偶函数，故选项B错误； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于选项C，因为2，解得tan θ＝3，故选项C错误； 对于选项D，[f(θ)]2＋[g(θ)]2＝(sin θ＋cos θ)2＋(sin θ－cos θ)2＝2sin2θ＋2cos2θ＝2，故选项D正确. 解析 16.已知sin x＋cos x＝t，t∈[0]. (1)当t且x是第四象限角时，求sin3x－cos3x的值； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为t即sin x＋cos x则(sin x＋cos x)2＝1＋2sin xcos x 即sin xcos x＝－ 所以(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x. 因为x是第四象限角，则sin x<0，cos x>0，所以sin x－cos x<0，所以sin x－cos x＝－ 所以sin3x－cos3x＝(sin x－cos x)(sin2x＋sin xcos x＋cos2x)＝－× －. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若关于x的方程－sin xcos x＋a(sin x＋cos x)＝1有实数根，求a的取值范围. 参考公式：a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(sin x＋cos x)2＝1＋2sin xcos x＝t2，可得sin xcos x(t2－1)， 则方程－sin xcos x＋a(sin x＋cos x)＝1可化为－t2＋at－0，t∈. ①当t＝0时，－≠0，显然方程无解； ②当0<t≤时，方程－t2＋at－0等价于a由基本不等式可得≥×21，当且仅当t＝1时，等号成立， 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又当t→0时，t＋→＋∞， 故a≥1， 所以要使得关于x的方程－sin xcos x＋a(sin x＋cos x)＝1有实数根，则a≥1. 故a的取值范围是[1，＋∞). 解 第5章　 §5.2　任意角的三角函数 <<< $