精品解析：河南省驻马店市新蔡县第一高级中学2024-2025学年高二上学期1月数学期末模拟试题

新蔡县第一高级中学高二2025年1月份期末模拟数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知直线：，直线：，则“”是“”的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 2. 袜子由袜口､袜筒､脚趾三部分组成，现有四种不同颜色的布料，设计袜子的颜色配比，要求相连的部分颜色不同，共可以设计出不同颜色类型的袜子种数为（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 3. 如图，在四面体中，，，，，，且（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 若直线截得圆的弦长为2，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 12 D. 16 6. 已知离散型随机变量X的分布列如下，若，则＝（ ） X －1 0 a 2 P b A. B. 1 C. D. 7. 如图，在平行六面体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 椭圆的左，右焦点分别为，，若椭圆上存在点，使，则椭圆离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，则下列关于“杨辉三角”的性质中正确的是（ ） A. B. 第8行所有数字之和为256 C. D. 记第20，21行数字的最大值分别为，则 10. 如图，在棱长为的正方体中，分别为棱的中点，点为线段上的一点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面平面 B. 直线与所成角的余弦值为 C. 平面与平面夹角的余弦值为 D. 点到直线的距离的最小值为 11. 已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，抛物线上一点到点的距离为，点，是抛物线上的两点，点是的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则点到轴的距离为 C. 若延长线交轴于，且是的中点，则 D. 当取最小值时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，且共面，则_____________. 13. 已知双曲线的离心率为，则_____． 14. 杨辉三角（帕斯卡三角）是我国南宋数学家杨辉用三角形来直观解释二项式系数规律的一种方法，如图，记第行的第个数为，则______，______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 现有甲，乙两个箱子，两个箱子中装有除颜色外其他都相同的小球若干．其中甲箱中有个红球，个黑球，个绿球；乙箱中有个红球，个黑球，个绿球． （1）若从甲箱中任取出两个球，求这两个球颜色不同的概率． （2）若从乙箱中任取个球，记取出的黑球的个数为随机变量，求的分布列与数学期望． （3）若先从甲箱中随机取出一个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出一个球，求从乙箱取出的球是绿球的概率． 16. 在平行四边形中（如图1），为的中点，将等边沿折起，连接，且（如图2）. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）点在线段上，若点到平面的距离为，求平面与平面所成角的余弦值. 17. 已知椭圆的方程为，其右顶点，离心率． （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆交于不同的两点，（，不与左、右顶点重合），且．求证：直线过定点，并求出定点的坐标． 18. 已知函数的图象与直线均过定点. （1）若直线在，轴上的截距相等，求直线的方程； （2）若点是圆：上的动点，点满足，求的最大值. 19. 定义：由椭圆的一个焦点和长轴的一个顶点（焦点与顶点在同一边）和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“焦顶三角形”，如果两个椭圆的”焦顶三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比，下列问题中（ 对应图1，对应图2）. （1）判断椭圆与椭圆是否是“相似椭圆”? 若是，求出相似比；若不是，请说明理由； （2）证明：两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等； （3）已知椭圆椭圆的离心率为，与是“相似椭圆”，且与的相似比为，若的面积为，求的面积（用，，表示）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新蔡县第一高级中学高二2025年1月份期末模拟数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知直线：，直线：，则“”是“”的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】先利用两直线平行的公式求出，再确定充分性和必要性即可. 【详解】当时，，所以或， 当时，直线：，直线：，两直线不重合， 当时，直线：，即， 直线：，两直线不重合， 所以当或时，， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：. 2. 袜子由袜口､袜筒､脚趾三部分组成，现有四种不同颜色的布料，设计袜子的颜色配比，要求相连的部分颜色不同，共可以设计出不同颜色类型的袜子种数为（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】根据袜口和脚趾颜色是否相同进行分类讨论，由此求得正确答案. 【详解】若袜口和脚趾颜色相同，则有种， 若袜口和脚趾颜色不同，则有种， 共有种． 故选:C 3. 如图，在四面体中，，，，，，且（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算法则，即可求解． 【详解】，， ， 即. 故选：D. 4. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将题中抛物线的方程转化为标准方程，从而得解. 【详解】由，可得， 所以准线方程为， 故选：C 5. 若直线截得圆的弦长为2，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】由直线过圆心确定，再由基本不等式即可求解； 【详解】由圆的方程知：圆心坐标为，半径为1， 因直线截圆的弦长为2，故该直线过圆心， 即，则有，因, 则由， 当且仅当时取等号，即时，取得最小值为6. 故选：B. 6. 已知离散型随机变量X的分布列如下，若，则＝（ ） X －1 0 a 2 P b A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据概率之和等于建立等式求解出，再利用期望的性质及算法建立等式求解，即可求解． 【详解】由题意知， 解得， 因为，所以，即， 则， 解得，所以， 故选：C． 7. 如图，在平行六面体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，利用空间向量的夹角公式可求异面直线与所成角的余弦值. 【详解】设， ， . ，. ， 异面直线与所成角的余弦值. 故选：D. 8. 椭圆的左，右焦点分别为，，若椭圆上存在点，使，则椭圆离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设椭圆与轴正半轴的交点为，椭圆上存在点，使得，则需，再结合椭圆的性质，即可求解. 【详解】设椭圆的上顶点为，连接、，如图所示： 则，， 椭圆上存在点，使得，则需， 则，显然，所以， 所以，所以，又， 所以，即椭圆离心率的取值范围为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，则下列关于“杨辉三角”的性质中正确的是（ ） A. B. 第8行所有数字之和为256 C. D. 记第20，21行数字的最大值分别为，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据“杨辉三角”，利用组合数的计算可判断A和C；利用二项式系数的性质可判断B和D. 【详解】对于A，， 所以，故A错误； 对于B，由二项式系数的性质知，第行各数的和为， 所以第8行所有数字之和为，故B正确； 对于C， ，故C正确； 对于D，第20行数字的最大值为，第21行数字的最大值为， 所以，故D错误. 故选：BC. 10. 如图，在棱长为的正方体中，分别为棱的中点，点为线段上的一点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面平面 B. 直线与所成角的余弦值为 C. 平面与平面夹角的余弦值为 D. 点到直线的距离的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据面面垂直、异面直线成角、面面角和点线距离的向量求法依次判断各个选项即可. 【详解】以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立如图空间直角坐标系， 则，，，，，，，，； 对于A，，，， ，，，， 又，平面，平面， 平面，平面平面，A正确； 对于B，，，， 即直线与所成角的余弦值为，B错误； 对于C，，， 设平面的法向量， 则，令，解得：，，， 平面，平面的一个法向量为， ， 平面与平面所成角的余弦值为，C正确； 对于D，，设，则， ，又， ， 到直线的距离， 当时，， 即点到直线距离的最小值为，D错误. 故选：AC. 11. 已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，抛物线上一点到点的距离为，点，是抛物线上的两点，点是的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则点到轴的距离为 C. 若延长线交轴于，且是的中点，则 D. 当取最小值时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据抛物线的定义可求出的值可判断A；利用抛物线的定义转化为梯形中边之间的关系可判断B；根据是的中点求出的横坐标，结合抛物线的定义可判断C；利用抛物线的定义将取最小值转化为最大，即直线与抛物线相切，联立直线方程和抛物线方程，令，求解即可判断D. 【详解】过点分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为， 连接，如图： 对于A，由题知，，所以，，故A正确； 对于B，因为点是的中点，所以是梯形的中位线， 所以， 所以点到轴的距离为，故B错误； 对于C， ，设，， 因为是的中点，则， 所以，故C正确； 对于D，， 所以当最大时，即直线与抛物线相切时，取最小值， 易知直线的斜率不为0，， 设直线：， 则，消去得， 则，解得，， 所以当直线为或时，取最小值， 此时，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，且共面，则_____________. 【答案】5 【解析】 【分析】利用向量共面的性质求解即可. 【详解】由题可知，， 故答案为：5 13. 已知双曲线的离心率为，则_____． 【答案】或 【解析】 【分析】直接利用双曲线的方程，求出，，，利用离心率公式求解即可． 【详解】解：双曲线， 当焦点在轴时，，， 可得， 双曲线的离心率为， ，即，解得， 当焦点在轴时，，， 可得， 双曲线的离心率为， ， 可得，即，可得． 故答案为：或． 14. 杨辉三角（帕斯卡三角）是我国南宋数学家杨辉用三角形来直观解释二项式系数规律的一种方法，如图，记第行的第个数为，则______，______. 【答案】 ①. 45 ②. 1 【解析】 【分析】根据题意，通过观察分析即可求出；根据两侧展开式中的系数相等得，即可得解. 【详解】根据题意分析可得，； 由，且左侧展开式中的系数为， 而右侧展开式中的系数为 ， 所以， 则. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 现有甲，乙两个箱子，两个箱子中装有除颜色外其他都相同的小球若干．其中甲箱中有个红球，个黑球，个绿球；乙箱中有个红球，个黑球，个绿球． （1）若从甲箱中任取出两个球，求这两个球颜色不同的概率． （2）若从乙箱中任取个球，记取出的黑球的个数为随机变量，求的分布列与数学期望． （3）若先从甲箱中随机取出一个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出一个球，求从乙箱取出的球是绿球的概率． 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）利用组合计数原理、古典概型的概率公式以及对立事件的概率公式可求得所求事件的概率； （2）分析可知，随机变量的可能取值有、、，求出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值； （3）用事件、、分别表示从甲箱中取出红球、黑球、绿球，表示从乙箱子中取出绿球，利用全概率公式可求得的值. 【小问1详解】 由题意可知，从甲箱中任取出两个球， 这两个球的颜色不同的概率为. 【小问2详解】 由题意可知，随机变量的可能取值有、、， 则，，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 所以，. 【小问3详解】 用事件、、分别表示从甲箱中取出红球、黑球、绿球，表示从乙箱子中取出绿球， 则，，， ，， 由全概率公式可得. 16. 在平行四边形中（如图1），为的中点，将等边沿折起，连接，且（如图2）. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）点在线段上，若点到平面的距离为，求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理以及勾股定理可得，，即可根据线面垂直的判断求证， （2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，根据向量的夹角公式求解， （3）根据点到平面的向量法求解是线段上靠近点的三等分点，即可求解法向量，利用法向量的夹角求解. 【小问1详解】 连接， 在中，， ， 在中，， 同理可得：， 平面 【小问2详解】 设为的中点，， 平面平面， 平面平面， 又平面平面平面， 平面以点为坐标原点，为轴，为轴，过点且平行于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， ， ， 设平面的法向量为， ，， 取， 设直线与平面所成角为， 【小问3详解】 设， ，， 设点到平面的距离为， ， ， 是线段上靠近点的三等分点，易求平面的法向量为， 设平面的法向量为， ， . 取， 设平面与平面所成的角为， . 17. 已知椭圆的方程为，其右顶点，离心率． （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆交于不同的两点，（，不与左、右顶点重合），且．求证：直线过定点，并求出定点的坐标． 【答案】（1） （2）证明见解析，． 【解析】 【分析】（1）由焦点坐标及离心率求出，得出方程； （2）设M，N的坐标，联立直线和椭圆的方程，消去，化简得关于的一元二次方程，由韦达定理可得，的值，利用得出m与k的关系式，最后检验直线所经过的定点，求出坐标． 【小问1详解】 右顶点是，离心率为， 所以，， ，则， 椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 直线方程与椭圆方程联立， 得， 设，， ，， 即，，， ， ，则， 即， 整理得， 或， 均满足 直线或， 直线过定点或（与题意矛盾，舍去） 综上知直线过定点． 18. 已知函数的图象与直线均过定点. （1）若直线在，轴上的截距相等，求直线的方程； （2）若点是圆：上的动点，点满足，求的最大值. 【答案】（1）或； （2） 【解析】 【分析】（1）对直线在，轴上的截距是否为零进行分类讨论，可得结果； （2）求得点的轨迹方程，再由圆上点到直线距离的最值计算即可. 【小问1详解】 因为，所以定点. 因为直线在，轴上的截距相等，设截距分别为，， 当时，直线经过原点，设直线方程为，又经过点， 则有，直线的方程为； 当时，设直线的方程为，代入点，解得， 所以直线的方程为. 综上可得，直线的方程为或. 【小问2详解】 设，，由， 可得，代入， 得即为点的轨迹方程，如下图所示： 圆心，半径，点在圆外，点到圆心的距离为 ， 所以的最大值为. 19. 定义：由椭圆的一个焦点和长轴的一个顶点（焦点与顶点在同一边）和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“焦顶三角形”，如果两个椭圆的”焦顶三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比，下列问题中（ 对应图1，对应图2）. （1）判断椭圆与椭圆是否是“相似椭圆”? 若是，求出相似比；若不是，请说明理由； （2）证明：两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等； （3）已知椭圆椭圆的离心率为，与是“相似椭圆”，且与的相似比为，若的面积为，求的面积（用，，表示）. 【答案】（1）这两个椭圆是“相似椭圆”，相似比为； （2）证明：必要性： 若两个椭圆是“相似椭圆”，则其焦顶三角形的三个对应角相等. 如图，若， 则， ， 所以， 又因为 ， 所以； 充分性： 若离心率相等，则，所以， 则，， 则； 同理，，， 则， 所以； 所以两个椭圆的”焦顶三角形”相似， 所以两个椭圆是“相似椭圆”. 故两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等； （3） 【解析】 【分析】（1）根据“相似椭圆”的定义判断即可； （2）根据充要条件的定义及“相似椭圆”的定义证明即可； （3）由题意可求得的面积为，再根据的面积与的面积的比为，求解即可. 【小问1详解】 这两个椭圆是“相似椭圆”，相似比为，理由如下： 椭圆中， 椭圆中， ， 则 所以两个椭圆的”焦顶三角形”相似， 则这两个椭圆是“相似椭圆”，且相似比为 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设椭圆的半焦距为， 因为椭圆的离心率为，椭圆与相似， 所以椭圆的离心率也为， 若的面积为， 又，， 所以的面积与的面积之比为， 所以的面积为 因为与的相似比为， 所以的面积与的面积的比为， 所以的面积为 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是理解“相似椭圆”的定义. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $