椭圆专练-2024-2025学年高三数学一轮复习

椭圆专题训练-2025年高考数学一轮复习卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知曲线，则“”是“曲线表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知椭圆的一个焦点坐标为，则实数m的值为（   ） A．1 B．4 C．7 D．9 3．椭圆的离心率为，则（    ） A． B． C． D．2 4．已知是椭圆的两个焦点，点在上，且的最大值是它的最小值的2倍，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．已知椭圆的右焦点为，点是上的一点，点是线段的中点，为坐标原点，若，则（   ） A． B． C． D． 6．椭圆的两个焦点为，椭圆上有一点，则的周长为（    ） A． B．12 C． D．20 7．已知点为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，设线段的中点为，且，则的面积为（   ） A． B． C． D． 8．椭圆的左，右焦点分别为，，若椭圆上存在点，使，则椭圆离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．在平面直角坐标系中，已知，，为原点，为平面内的动点，且垂直于轴，垂足为，则满足下列条件的动点的轨迹为椭圆的是（   ） A． B． C． D． 10．已知椭圆的左，右焦点分别为，点在上，且的最大值为3，最小值为1，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．的周长为4 C．若，则的面积为3 D．若，则 11．如图所示，用一个与圆柱底面成角的平面截圆柱，截面是一个椭圆．若圆柱的底面圆半径为2，，则（    ）    A．椭圆的长轴长等于4 B．椭圆的离心率为 C．椭圆的标准方程可以是 D．椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为 三、填空题 12．已知曲线且.若为双曲线，则的一个取值为 ；若为椭圆，则的所有可能取值为 . 13．，是椭圆的两个焦点，是椭圆上任意一点，从任一焦点向中的的外角平分线引垂线，垂足为，则点的轨迹为 ． 14．已知，分别为椭圆的左，右焦点，点在椭圆上，是的中点，是椭圆的中心，.（i） ；（ii） . 四、解答题 15．已知椭圆的右顶点为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点.在轴上是否存在点使得直线与直线的斜率之和为0？若存在，求出点的坐标：若不存在.说明理由. 16．已知椭圆经过，两点． (1)求椭圆的方程； (2)斜率不为0的直线与椭圆交于，两点，且点不在上，，过点作轴的垂线，交直线于点，与椭圆的另一个交点为，记的面积为，的面积为，求． 17．设椭圆，离心率为，长轴长为4.过点的直线l与椭圆交于，两点，直线l与轴不重合. (1)求椭圆的方程； (2)已知点，直线与轴交于，与轴交于，直线与轴交于，与轴交于，若，求直线的斜率. 18．已知椭圆的离心率为分别是椭圆的左右焦点，过点的直线交椭圆于两点，且的周长为. (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率为的直线与椭圆交于两点，判断在轴上是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，求点横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由. 19．已知椭圆：的左右顶点分别为，，上下顶点分别为，，且四边形的周长为，过点且斜率为的直线交于两点，当直线过的左焦点时，． (1)求的标准方程； (2)若为坐标原点，的面积为，求直线的方程； (3)记直线与直线的交点为，求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A A A B A D ABD AD 题号 11 答案 BCD 1．B 【分析】由曲线表示椭圆得到，即可得到结果. 【详解】曲线表示椭圆，则，解得， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 2．D 【分析】先确定焦点位置，再根据计算即可. 【详解】由已知可得椭圆的焦点在轴上， 故， 则，得. 故选：D. 3．A 【分析】利用椭圆的标准方程与离心率公式列式即可得解. 【详解】对于，其长半轴为，半焦距为， 所以，解得. 故选：A. 4．A 【分析】应用椭圆的定义结合二次函数的最值的求法得出最大值及最小值，再结合计算即可得出离心率. 【详解】因为，所以， 所以当时，取得最大值， 因为，所以的最小值为， 因为的最大值是它的最小值的2倍，所以， 所以，所以， 所以椭圆的离心率为. 故选：A. 5．A 【分析】记椭圆的左焦点为，连接，利用中位线的性质求出，再利用椭圆的定义可求得. 【详解】记椭圆的左焦点为，连接， 又点是线段的中点，为的中点，所以， 又，所以， 在椭圆中，， 又点是上的一点，所以，所以． 故选：A． 6．B 【分析】根据椭圆的定义直接求解即可. 【详解】由题意，所以， 故的周长为. 故选：B 7．A 【分析】根据题意，由椭圆的定义可分别得到的值，然后由余弦定理可得，从而可得，再由三角形的面积公式即可得到结果. 【详解】由题可知，，， 因为、分别为和的中点， 所以，所以， 且， 在中，由余弦定理可得 ， 则， 所以. 故选：A. 8．D 【分析】设椭圆与轴正半轴的交点为，椭圆上存在点，使得，则需，再结合椭圆的性质，即可求解. 【详解】设椭圆的上顶点为，连接、，如图所示： 则，， 椭圆上存在点，使得，则需， 则，显然，所以， 所以，所以，又， 所以，即椭圆离心率的取值范围为. 故选：D. 9．ABD 【分析】根据椭圆的定义，利用两点距离公式，逐项整理等式，可得答案. 【详解】对于A，，由椭圆定义可知动点的轨迹为椭圆，故A正确； 对于B，设，则 ， ∴，∴动点的轨迹为椭圆，故B正确； 对于C，设， 则， ∴，即，这样的点的轨迹不存在，故C错误； 对于D，设， 则， ∴，即，动点的轨迹为椭圆，故D正确． 故选：ABD. 10．AD 【分析】对A，根据题意可得 ， 即可求解；对B，根据椭圆的定义判断即可；对C，根据余弦定理结合椭圆的定义判断即可；对D，根据余弦定理与椭圆的定义求解即可． 【详解】对A，由题意，，故，，所以，故A正确； 对B，的周长为，故B错误； 对C，， ， 当且仅当时，等号成立， 因为在上递减，所以此时最大，的最大值为，不成立，故C错误； 对D，由余弦定理 ，即， 解得，故，故D正确； 故选：AD 11．BCD 【分析】根据给定图形，求出椭圆长半长、短半轴长，再逐项计算、判断作答． 【详解】设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为， 因为椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆直径， 则由截面与圆柱底面成锐二面角，得，解得，故A错误； 显然，则，离心率，故B正确； 当以椭圆短轴所在直线为轴，长轴所在直线为轴建立平面直角坐标系时， 则椭圆的标准方程为，故C正确； 椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，故D正确. 故选：BCD. 12． 3（答案不唯一） 【分析】由双曲线和椭圆的方程性质结合题意列不等式组可得； 【详解】若为双曲线，则，解得或， 又，所以的一个取值可能为3； 若为椭圆，则，解得且， 又，所以的所有可能取值为； 故答案为：3（答案不唯一）；. 13．去掉与x轴两个交点的圆 【分析】根据垂直平分线的性质以及椭圆的定义，结合三角形中位线可得，即可求解. 【详解】延长与的延长线于点,连接, 由于垂直平分，故,故， 由于是的中位线，所以, 又点不在x轴上，所以点不在x轴上， 因此的轨迹为以为圆心，半径为4，去掉与x轴两个交点的圆， 故答案为：去掉与x轴两个交点的圆    14． 【详解】 根据椭圆方程，可得，又因为点在椭圆上， 根据椭圆定义：， 在中，是的中点，是的中点， 所以为的中位线，所以， 又因为，所以 故答案为：； 15．(1) (2)存在，. 【分析】（1）由右顶点及离心率可得a，c，然后可得椭圆方程. （2）设直线l，，，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理可化简直线与直线的斜率之和的表达式，即可得答案. 【详解】（1）因椭圆右顶点为，离心率为， 则，故椭圆方程为：； （2）由题，设直线方程为，将直线方程与椭圆方程联立， 可得. 因直线与椭圆交于不同的两点，则. 设，由韦达定理. 又设，则，又， 则 . 则. 故轴上存在点使得直线与直线的斜率之和为0. 16．(1)； (2). 【分析】（1）根据椭圆上点列方程求椭圆参数，即可得方程； （2）根据题设，分析知直线的斜率存在，设直线为，，，，联立椭圆并应用韦达定理及的坐标表示求得，确定直线所过定点，结合坐标及三角形面积公式求. 【详解】（1）将，代入椭圆方程中，解得， 则椭圆的方程为． （2）当直线轴时，为钝角三角形，且，不满足题意． 所以直线的斜率存在，设直线的方程为，因为点不在上，所以， 设，，由，可得，    所以． 由，化简得， ． ，， 所以 ， 则， 整理得，因为，所以， 所以直线的方程为，恒过点． 由题意和对称性可知，， 设点到直线的距离为，点到直线的距离为， ． 17．(1) (2). 【分析】（1）根据根据椭圆的离心率和长轴求得即可； （2）设直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理表示，，，，由可得，表示点，建立方程，解之即可求解. 【详解】（1）因为椭圆的长轴长为4，所以，解得； 又，所以，得， 所以. （2）因为过点的直线l与椭圆交于两点，直线l与轴不重合，所以直线l的斜率不为0. 设直线， ， ，即，即或，； ，； ，； ， 直线，直线， 令，，， 令，，， 则， 即 也即 则，，斜率为； 综上，直线的斜率为.    18．(1) (2)存在， 【分析】（1）结合椭圆的定义及离心率求解即可； （2）设直线的方程为，，设的中点为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理得到，进而结合一元二次方程的判别式求解即可. 【详解】（1）由题意，的周长为，则，所以， 又因为，所以，由，得， 所以椭圆的方程为. （2）设直线的方程为，， 设的中点为. 假设存在点，使得为以为底边的等腰三角形，则. 由得， 由题意有，解得， 故， 所以c， 因为，所以，即， 所以，整理得， 则方程有根，整理得，即， 又因为，所以， 综上：在轴上存在点，使得是以为底边的等腰三角形， 点横坐标的取值范围是. 19．(1) (2)或或或 (3) 【分析】（1）根据题中条件得到关于的等量关系，再结合的关系进行求解即可； （2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系将的面积表示出来，结合的面积为，求出直线的斜率，即可得到直线的方程； （3）设直线的方程为，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，利用，，在同一条直线上得到，利用，，在同一条直线上，所以，结合根与系数的关系得到，即，所以点在直线上，即可求出的最小值． 【详解】（1） 由题意知， 解得，，， 所以椭圆的标准方程为； （2） 由题意知直线的方程为，设，， 由，得， 所以，解得， 所以，， 所以， 又点到直线的距离， 所以的面积， 解得或，所以或或或， 所以直线的方程为或或或； （3） 由题意知直线的方程为，设，， 由，得， 所以，解得， 所以，， 设，因为，，在同一条直线上，所以， 又，，在同一条直线上，所以， 所以， 所以，所以点在直线上， 所以． 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$