第4章 专项巩固训练卷(四-五)三角形“三线”的应用&全等三角形中的常见模型-【勤径学升】2024-2025学年七年级下册数学全程时习测试卷（北师大版2024）

兰忌心雨时外者恒丝和味领农配安资游。无启高效华牙 专项巩固训练卷（四） 5如图，CD是A配的中瓷，E是C边的中点，造获呢，若图中阴·类型四三角形~三线”的综合应用 影常分的童积为8.求△A山的面积 9.如用.在△4C中，AD1C,AE平分∠8G,若∠I=40”,∠2= 三角形“三线“的应用 25“,期∠。 英型一三角瑟离线的应用 1.如附，在△C中，CD.E分别是AB,AC边上的高，CD,E交于 华阳图 点化如果上沉=0，都么∠A= 10.如用，在△中dD是微边上的高，E平分乙若LA =m,∠G=50.求∠AB的度数 1相 2.如图，4D.G3是△4C的再第高=4，G=8m,CE=, 求D的长 类型三三角形角平分线的应用 6.0是△ABC内一点，A0,C0分率分∠C,∠CA,LB=4,期 ∠AG= A.116 B.122 C.16 .152 7,如图，B.CN是△nC的角平分线，∠C=,∠GR=60 E,F相交于点D.荆∠的度数是 11.如图，在△4中AD是角平分战.A5是中线，AF是高线 〔1)如紫BC=1Dcm,求E的长： (21知果∠A8C=40.∠ACB=60”.求∠UD.∠1F的度数 8.如图，在△48C中，∠4配=∠G,∠A=1.W平分∠Am交AC 于点D,E是微边上的一个动点.若凸贴是直角三角形，求 ∠DF的度数 套类型二三角形中线的度用 3.如周，D,B,P分别是△4C的三边的延长线上一点.且=F. =CD4C=A化若8n=5m.期5e=（) A.15 cm B.20 C.30 D.35m 4.为△A申r边上的中线，若-4，C=6,期AM的长的景 雀范围是 我学来狮风七年以下册第 :无之底韩钢外专巨程知品纳探配套资刻，开启高效学习 专项巩固训练卷（五） 类型三角平分线横型 。类型六手拉手援型 学 4.如图，LC=∠r,点P在上，D1,P院上B,套足分舞 7,如图，已知A5⊥.AF⊥AG.AB=A悟，4F=AG,E交5于点D, 全等三角形中的常见模型 为D.五说明：W=PE E交F于点是 试说明：(1》C▣F (2ECIWF. 类型一平移模型 1.如附.已知.AB=0呢AG=球，BE=F.试说期1∠4=∠ 。类型四8字模型 5.如图，已知银.G0,E=DF.A5=F,试说明0C0,0=0 类型二对称权型 2.如图，点》在上，点B在AC上，W伦，∠B。∠C,试说明 D=A易 。类型七一线三第角树型 8.《1)虹期①，在△A8中乙rG=0,AB=AC直线n经过点A, D1e,CB⊥m,垂足分别为D,E.试说明：DE=D+CE: 《2)如2，将(1)中的条件改为：在△ABC中，A因=C,D,A,上三 点福在直线上.且有∠0=∠AC=∠RC=a,其中a为 任意纯角，青问体论DE✉D+CE是秀戒立？请说明理 类型五棱转模型 3.如图.已GD=D.E,F分刷是D.D的中点，∠已4F=∠4E, 6.如图，已知0t=,∠B=∠，LAr。∠D试脱明：△M0m ∠B■∠仁试说明：A5mAF ≌△C0 6国 学来风七年下册第4参考答案及解析 I7.解：DBA DBC BDA BDC BD BD BA BC (2)如容图. I8.解：(I)因为AB=AD,BC=DC,AC=AC 由(I)知△BCE≌△ACD. 所以△ABC≌△ADC. 所以∠CBF=∠CAG (2)因为△ABC≌△ADC. 因为∠ACB=∠ECD=60O 所以∠BAC=∠DAG,∠B=∠D 所以∠ACG=60°=∠BCF 因为∠D=105°，所以∠B=105° 22题答图 又因为BC=AC. 所以∠DAC=∠BAC=180°-∠B-∠BCA=30°， 所以△BCF≌△ACG 所以∠BAD=∠BAC+∠DAC=60°. 所以CF=CG,所以∠CFG=∠CGF 19.解：(1)因为AD是△ABC的中线，BD=10.所以BC=2BD 23.解：(1)(6-t)(8-2) =2×10=20. (2)当x=2,t=2时，△PEC与△QFC全等.理由如下： 因为AF是△ABC的高，△ABC的面积为80， 当x=2,t=2时，CP=4m,CQ=4cm.所以CP=CQ 所以BC·AF=号x20×AF=80. 因为∠ACB=90°，所以∠PCE+∠QCF-90°. 所以AF=8. 因为PE⊥I于点E,QF⊥I于点F, (2)因为∠BED=40°， 所以∠PEC=∠CFQ=90°， 所以∠AEB=180°-∠BED=140, 所以∠PCE+∠CPE=90°，所以∠CPE=∠QCF 在△ABE中，∠AEB=140°，∠BAD=25°， LCPE=∠OCF, 所以∠ABE=180°-140°-25°=15. 在△PEC和△CFQ中， ∠PEC=∠CFQ, 因为BE是△ABD的角平分线， CP =OC. 所以∠ABC=2∠ABE=2×15°=30° 所以△PEC≌△CFQ(AAS). 因为AF是△ABC的高，所以∠AFB=90 (3)符合条件的t值为1或3.5或12. 所以∠BAF=90°-∠ABC=90°-30°=60 [解析]当x=3时，△PEC与△QF℃有可能全等，分三种 20.解：如答图，在AB上截取AF=AD,连接EF 情况：①如答图①，当点P在AC上，点Q在BC上时，易知 P PC=CQ时，△PEC≌△CFQ,此时6-t=8-3,解得t =1 D P(O) 20题答图 因为AE平分∠PAB,所以∠DAE=∠FAE. E(FC 23题答图① 23题答图2 因为AE=AE,所以△DAE≌△FAE 2如答图②，当，点P与，点Q重合时，△PCE与△OCF重 所以∠ADE=∠AFE 合，即△PCE≌△QCF,此时(1+3)1=6+8，解得t=3.5: 因为AP∥BC,所以∠ADE+∠C=180. 因为∠AFE+∠EFB=I8O°， ③如答图③，当点P在BC上，点Q与点A重合时，易知 所以∠EFB=∠C. P℃=QC时，△PEC≌△CFQ,此时t-6=6,解得4=12.综 因为BE平分∠ABC,所以∠EBF=∠EBC 上所述，符合条件的t值为1成3.5或12 因为BE=BE,所以△BEF≌△BEC, () 所以BF=BC.所以AD+BC=AF+BF=AB. 21.解：(1)因为AF平分∠CAB, 所以∠CAF=∠DAF. 因为AC=ADAF=AF, 23题答图③ 所以△ACF≌△ADF, 专项巩固训练卷（四） 所以∠ACF=∠ADF 三角形“三线”的应用 因为CE⊥AB.∠ACB=90 L.50 所以∠ACF+∠CAB=90°，∠CAB+∠B=90°， 2解：因为S应=号4B,CE=BC·A0,AB=4m,BC 所以∠ACF=∠B, 所以∠ADF=∠B=40° 8 em,CE=6 cm, (2)由(I),得∠ADF=∠B,所以DF∥BC 所以 ×4×6=2×8·AD,所以AD=3m 因为∠ACB=90°.所以∠AGF=90° 因为FE⊥AB.所以∠AGF=∠AEF=90°， 3.D 因为∠CAF=∠DAF,AF=AF 4.1<AM<5[解析]如答图，延长AM到点E 所以△AGF≌△AEF,所以FG=FE 使ME=AM,连接EC.因为AM是BC边上的 22.解：(1)△BCE≌△ACD.理由如下： 中线，所以BM=CM.在△ABM和△ECM 因为△ABC与△ECD均是等边三角形 BM CM, 所以BC=AC,CE=CD.∠BCA=∠DCE=60°， 中，{ ∠AMB=∠EMC, 所以∠BCM+∠ACE=∠DCE+∠ACE LAM=EM, 即∠BCE=∠ACD. 所以△ABM≌△ECM(SAS),所以CE=AB= 在△BCE和△ACD中 4.因为AC-CE<AE<AC+CE,所以6-4< 4题答图 因为BC=AC,∠BCE=∠ACD,CE=CD, AE<6+4,即2<AE<10,所以1<AM<5.故 所以△BCE≌△ACD. 答袋为I<AM<5. ·9. 全程时习测试卷·数学·北师版·七年级·下册 5.解：因为E是BC边的中点，CD是△ABC的中线， 3.解：因为CD=BD,E,F分别是CD,BD的中点， 所以DE是△DBC的中线， 所以CE=BF 所以Samt=Sae 因为∠CMF=∠BAE, 因为Sam=8, 所以∠CAF-∠EAF=∠BAE-∠EAF,即∠CAE=∠BAF 所以SaaC=Sa+SAwc=8+8=16. ∠C=∠B. 因为CD是△ABC的中线， 在△ACE和△ABF中， ∠CAE=∠BAF 所以SaAe=Samc, CE BF, 所以S6Ae=SA4c+S6=16+16=32. 所以△ACE≌△ABF(AAS), 6.B7.70° 所以AE=AF. 8.解：因为∠A=100°，∠ABC=∠C 4.解：因为PD⊥OA,PE⊥0B, 所以∠ABC=∠C=I80°-L)=40 所以∠PD0=∠PE0=90 r∠PDO=∠PEO. 因为BD平分∠ABC 在△PDO和△PEO中，∠DOP=∠EOP 所以∠DBE=号LABC=20, OP =OP, 所以∠BDC=180°-∠DBE-∠C=120. 所以△PDO≌△PEO(AAS), 若△BDE是直角三角形.则∠BDE=90或∠BED=90 所以PD=PE ①当∠BDE=90时，∠CDE=∠BDC-∠BDE=30°： 5.解：因为AB=CD,BE=DF,AE=CF ②当∠BED=90°时，∠BDE=180°-∠DBE-∠BED 所以△BAE≌△DCF =70°. 所以∠D=∠B. 所以∠CDE=∠BDC-∠BDE=50 又因为∠DOC=∠BOA,DC=AB. 综上，∠CDE的度数为30°或50°. 所以△DOC≌△BOA, 9.35 所以OD=OB,OC=OA 10.解：因为AD是BC边上的高， 因为DF=BE 所以∠ADC=90 所以OD-DF=OB-BE, 在Rt△ACD中，∠C=90°-∠DAC=90°-50°=40 所以OF=OE 因为BE平分∠ABC 6.解：因为∠AOC=∠B0D 所以∠BC=7∠ABC=7x70°=350。 所以∠AOC-∠AOD=∠BOD-∠AOD. 即∠COD=∠AOB. 所以∠BEC=180°-∠EBC-∠C=180°-35°-40° 又因为0A=OC,∠B=∠D, =1059, 所以△AOB≌△COD. 所以∠AEB=180°-∠BEC=180°-105°=75 7.解：(1)因为AE⊥AB,AF⊥AC, I1.解：(I)因为AE是△ABC的中线，所以BE=CE. 所以∠BAE=∠CMF=90°， 因为BC=10cm,所以BE=5cm. 所以∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC: (2)因为∠ABC=40°，∠ACB=60° 所以∠EAC=∠BAF 所以∠BAC=180°-40°-60°=80° 在△ABF和△AEC中. 因为AD是△ABC的角平分线， 所以∠BAD=∠DAG=40. AB =AE, ∠BAF=∠EAC 因为AF是△ABC的高线， LAF=AC. 所以∠CAF=90°-60°=30° 所以∠DAF=40-30°=10° 所以△ABF≌△AEC(SAS). 专项巩固训练卷（五） 所以EC=BF 全等三角形中的常见模型 (2)由(1)，得△ABF≌△AEC. 1,解：因为BE=CF, 所以∠AEC=∠ABF 所以BE+EC=CF+EC,即BC=EF 因为AE⊥AB, 在△ABC和△DEF中， 所以∠BAE=90°。 AB DE, 所以∠AEC+∠ADE=90 BC EF. 因为∠ADE=∠BDM. LAC =DF. 所以∠ABF+∠BDM=90° 所以△ABC≌△DEF(SSS), 所以∠BMD=180°-（∠ABF+∠BDM)=90°， 所以∠A=∠D 所以EC⊥BF 2.解：在△ABE和△ACD中， 8.解：(1)因为BD⊥m,CE⊥m, r∠A=∠A, 所以∠BDA=∠CEA=90°， AB=AC. 所以∠BAD+∠ABD=90° ∠B=∠C 因为∠BAC=90°， 所以△ABE≌△ACD(ASA). 所以∠BAD+∠CME=90° 所以AD=AE 所以∠CAE=∠ABD. ·10· 参考答案及解析 在△ADB和△CEA中， I8.解：EF⊥BC.理由：因为AB=AC,AD⊥BC,所以∠BAD= T∠ABD=∠CAE, ∠CAD.因为AE=AF,所以∠E=∠EFA.易知∠BAC= ∠BDA=∠AEC. I8O°-∠BAE=∠E+∠EFA=2∠EFA.所以∠EFA= AB =CA. ∠BAD,所以EF∥AD.因为AD⊥BC,所以EF⊥BC 所以△ADB兰△CEA(AAS), 19.解：因为△ABC是等边三角形， 所以AE=BD,AD=CE, 所以AB=BC,∠ABC=∠ACB=60 所以DE=AE+AD=BD+CE. AB =BC. (2)成立.理由：因为∠BDA=∠BAC=, 在△ABM和△BCN中， ∠ABM=∠BCN. 所以∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=18O°-&， BM =CN. 所以∠CAE=∠ABD. 所以△ABM≌△BCV(SAS),所以∠BAM=∠CBN 在△ADB和△CEA中， 所以∠BAM+∠ABN=∠CBN+∠ABN=∠ABC=60 T∠ABD=∠CAE, 20.解：因为DE是AB边上的垂直平分线，∠A=30°，所以AD ∠BDA=∠AEC. =BD,所以∠ABD=∠A=30°因为∠C=90°，所以∠ABC LAB=CA. =90°-∠A=90°-30°=60°，所以∠CBD=∠ABC- 所以△ADB≌△CEA(AAS), ∠ABD=60°-30°=30°，所以∠ABD=∠CBD.所以BD 所以AE=BD,AD=CE, 平分∠CBA. 所以DE=AE+AD=BD+CE. 21.解：(1)如答图因为DM是AB的垂直平分线， 第五章图形的轴对称 所以ANM=BM 基础过关检测卷 所以∠1=∠B. 1.A2.B3.A4.A5.D6.A7.B8.C9.B 同理可得∠2=∠C 10.B[解析]如答图，连接PB.图为AD是△ABC的中线，所 因为∠BAC+∠B+∠C=180°，∠BAC=120°， 以BD=CD.因为AB=AC,所以AD⊥BC,所以PB=PC 所以∠C+∠B=60 所以PC+PE=PB+PE.因为PE+PB≥BE,所以当P,B, 所以∠2+∠1=60° E三点共线时，PB+PE的值最小，最小值为BE的长度 所以∠MAN=∠BAC-(∠2+∠1)=60° 故选B. 21题答图 (2)由(1)可知AM=BM,AN=CN 10题答图 所以△AMN的周长=AM+MN+AN=BM+AMN+NC= 11.一（答案不唯一）12.30 BC=10. 13.36°14.415.13 22.解：(1)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 16.解：根据轴对称图形的意义可知，除了第二个和最后一个 (2)如答图，过点D作DE⊥BA交BA的延长线于点E,过 图形不是轴对称图形，其余都是轴对称图形.画对称轴如 点D作DF⊥BC于点F. 答图. 22题客图 因为BD平分∠EBF,DE⊥BE, 16题答图 DF⊥BF,所以DE=DF, 17.解：(1)所作△A,B,C,如答图所示 因为∠BAD=a,∠BCD=180°-& (2)如答图，点P即为所求 所以∠BAD+∠BCD=180°. 又因为∠BAD+∠EAD=18O°，所以∠EAD=∠BCD r∠DEA=∠DFC=90°， 在△DEM和△DFC中， ∠DAE=∠DCF, DE =DF. 所以△DEA≌△DFC(AAS).所以AD=CD 23.解：(1)11525大 (2)当DC=2时，△ABD≌△DCE, 17题答图 理由如下：因为DC=2,AB=2,所以DC=AB. (3)swc=3x5-7×1x2-3x1x5- 2×4×3= 因为AB=AC,∠B=40°，所以∠C=∠B=40° 因为∠ADB+∠ADE+∠EDC=180°， 15-1-2.5-6=5.5. ∠ADB+∠B+∠BAD=180°，且∠B=40°，∠ADE=40° ·11-