辽宁省抚顺市六校协作体2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷

数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上 2.可答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选桥题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：人牧B版必修第四册11.4，选择性必修第一册至选择性 必修第二册第三章。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1,已知点A(3,一1,1)关于：轴的对称点为.点B,则1A A.2/10 B.2 C.10 D.6 2,小沉从5瓶不同香味的香水中选择2瓶进行试香，则小沉的选择共有 A,5种 B.10种 C,20种 D.25种 已知双线C亡。(-一受m<)的焦距为则双街线C的新近技方程为 A.y=土3x B.y=士2x Cy=土3 Dy2 4.已知(1十3x)”的展开式共有9项，则该展开式中含x的项的系数为 A.36 B.28 C.252 D.324 5,将5名党员志愿者分到3个不同的社区进行知识宣讲，要求每个社区都要有党员志愿者前 往，且每个党员志愿者都只安排去1个社区，则不问的安排方法种数有 A.120 B.300 C.180 D.150 6.已知A(0,2),抛物线Ty=2px(>0)的焦点为F,B(4ya)为T上一点，若AB⊥AF,则 BF= A.2 B.4 C.5 D.6 7.已知直线：x一y+t=0与圆C:x+(y一1)'一9相离，过直线1上的点H作圆C的两条切 线，切点为A,B.若四边形HACB的面积的最小值为9，则1= A.-7或-5 B-5或7 C.一7或5 D.5或7 &.已知直四棱柱ABCD-A,B,C,D,的底面是边长为6的菱形，AA,=8,∠ADC-牙，点P满 足AP=mAi+nAD+AA,其中m,m∈[0,1].若m+n2=1-mn,则AP+PC1的最小 值为 A.12+25 B.4+63 C.14 D.16 【高二数学第1页（共4页】 .Bl. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知(2-x)=a十ax十agx十…十anx",则 A.a。=2" B.aa十a1+a:十十at=0 1一39 C.a:十a,十a十u,+a,tai-2 D.a1+2×a:十22×a3+…+210×a1=-2 10.已知在四棱台ABCD-A,B,C,D1中，AA1⊥平面ABCD,底面ABCD为菱形，则下列结论 正确的是 A.平面ACC1A:⊥平面ABCD BAC⊥平面BDD,B C.平面ACC1A1⊥平面BDD,B: D.若向量A,C与CC在向量AC上的投影向量分别为m,n,则m十n-A心 11数学中有许多形状优美的曲线，曲线E:3x+3y2一2xy=8就是其中之一，则下列四个 结论正确的是 A曲线E关于原点对称，且关于直线y=x对称 B.曲线E上任意一点到原点的距离都不超过2 C.若M(xy)是曲线E上的任意一点，则3y一x的最大值为√35 D.已知P(1,1),直线y=kx(>0)与曲线E交于A,B两点，则|PA十PB引为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知直线l1:mx+y一2=0与直线1：(2一m)x十y一5=0平行，则直线l1的倾斜角为 ▲ 13.已知平面a的个法向量为a=(x,1,2-x),直线1的一个方向向量为b=(0,11,0),则直 线（与平而α所成角的正弦值的最大值为▲， 14.由字母A,B构成的一个6位的序列，含有连续子序列ABA的序列有▲个.（例如 ABAAAA,BAABAB符合题意) 四、解答题：本题共5小题，共7？分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知圆C:x2+y2-6x-2y+6=0,直线l:x十ay一2-a=0. (1)证明直线（恒过定点，并求定点的坐标， (2)当a=一1时，求直线1被圆C所截得的弦长， 【高二数学第2页（共4页】 。·B阴· 16.(15分) 如图，在三棱柱ABCA,B,C中，四边形ABB,A1和CAAC:均为矩形，AB⊥A,C. (1)证明：AB⊥AC. (2)若AB=AC=1,AA1=2,求平面A,BC与平面BCC,B1夹角的余弦值 17.(15分) 在2名指导老师的带领下，4名大学生(2名男大学生，2名女大学生)志愿者深人乡村，开启 了支教之旅他们为乡村的孩子们精心设计了阅读，绘画、心理辅导等多元化课程，并组织了 丰富多彩的文体游戏。支教结束后，现让这6名师生站成一排进行合影，在下列情况下，各有 多少种不同的站法？ (1)2名指导老师相邻且站正中间，2名女大学生相邻： (2)2名男大学生互不相邻，且男大学生甲不站最左侧： (3)2名指导老师之间恰有1名女大学生和1名男大学生 【高二数学第3页（共4页）】 18.(17分) 已知双曲线C,二-1(a>0)经过点H(2,0),直线1与双曲线C相交于A,B两点 (1)求双曲线C的离心率； (2)若线段AB的中点坐标为(3,3)，求直线1的斜率： (3)直线1经过双曲线C的右焦点，若以线段AB为直径的圆经过坐标原点O,求直线1的 方程. 19.(17分) 若椭圆八号+ x =1(a>b>0),B1(0,b),B,(0,-b),P为椭圆T上异于点B1,B2的任 6=1(a>6>0) PB<B1B恒成立，则称椭圆T为“内含椭圆，已知椭圆T 的左右焦点分别为，(-c,0.,c,0c>0),分+名-号 C=2,四边形BF,B,F的面积为4 (1)求椭圆Γ的标准方程： (2)若椭圆下为“内含椭圆”，求椭圆Γ的标准方程： （3)若椭圆T为内含椭圆”，H为椭圆r上一点，M(气o）,且存在实数X,使得1HE,十 HFz|=入HM,求A的取值范围. 【高二数学第4页（共4页）】 ·B1数学试卷参考答案 1.A易得点B(-3,1,1),则1AB1=√3-(-3)]+(-1-1)2+(1-1)7=2√10」 2.B根据题意可得小沉的选择种数为C心-4 2X1-10. 3.C根据题意可得2m十1十3一m=4,解得m=0,则双曲线C的渐近线方程为y=土√3x. 4.C根据题意易得n=8,则这个展开式中含x2的项为C·1°·(3.x)=252x2,故这个展开 式中含x2的项的系数为252. 5.D将5名党员志愿者分成三组，各组人数分别为1,1,3或1,2,2.当各组人数为1,1,3时， 共有CCC×A=60种安排方法：当各组人数为1.2,2时，共有CSCC×A=90种安排方 A A 法.故不同的安排方法有60十90=150种. 6.C由题可知F(,0),A店=(4-2)，A市=(2，-2），因为AB⊥AF,所以A店·A庐- (4。一2)·（台-2）=0，又)8=8p,解得p=2,所以BF=4+号=5. 7,B易得圆C的圆心为C(0,1),半径为3.根据题意可得四边形HACB的面积为2×号× 3HA≥9，则|HA≥3，因为|HC|=9+HA≥3√2，所以点C到直线l的距离为 10-1+=32,解得1=7或-5， √1+I 8.B易得点P在平面A,B,C,D1上，且AP=mAB+nAD,则A户2=mAB+nAD+ 2mmAB.AD=36(m2+n2+mm)=36,得A1户1=6.由直四棱柱ABCD-A,B,C1D1的性 质可得AA1⊥平面ABCD,所以AA1⊥A1P,则AP=√64+36=10.因为PC,=A,P+ PC1-A,P≥A1C1-6=63-6,所以AP+PC1的最小值为10+6W3-6=4+63. 9.ACD令x=0,得ao=2",A正确.令x=1,得a。十a1十a2+…十an=1①，B错误.令x -1,得a。-a十a:--an=3"@,由①-②得a1十a3十a,十a,十a,十ai=1-,3型 2,C正 确.令x=2,得a。十2×a1十2×a2十…+2×a1=0,则2×a1十22×a2十…+21×a11= -ao=-21,得a1+2×a2十22Xa3十…十210×an=-20,D正确. 10.ACD因为AA1⊥平面ABCD,AA1C平面ACC1A1,所以平面ACC1A1⊥平面ABCD,A 正确.若AC⊥平面BDD,B1,则AC⊥BB1,因为AA1⊥平面ABCD,ACC平面ABCD,所 以AA1⊥AC,所以AC⊥平面ABB1A1,则AC⊥AB,显然不成立，B错误.因为底面ABCD 【高二数学·参考答案第1页（共6页）】 ·B1· 为菱形，所以AC⊥BD,因为AA1⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,所以AA,⊥BD,AA ∩AC=A,所以BD⊥平面ACCA1,BDC平面BDD,B,所以平面ACC1A,⊥平面 BDD,B1,C正确.因为AA1⊥平面ABCD,且A,A1,C,C,四点共面，所以m+n=AC,D 正确， 11,ABD若点(x,y)在曲线E上，则点（一x,一y),(y,x)都满足曲线E的方程，所以曲线E 关于原点对称，且关于直线y一x对称，A选项正确： 易知曲线E关于原点对称，令点(x,y)在曲线E上，且该点在第一象限，则3x2十3y2一2xy =8,因为x+y,所以x千≤2之，解得x十y≤4，当且仅当x=y时， 2 等号成立，所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过2，B选项正确： 由曲线E的对称性可知，当M(x,y)位于第二象限时，3y一x取得最大值，所以3.x2+3y +2.xy=8,令t=3y-x,将x=3y-1代入3.x2+3y2+2.xy=8,可得36y2-20y+312-8 =0,故△=(201)2一4×36×(312-8)≥0，解得1≤36，即3y-x的最大值为6，C选项 错误： 由题可知A,B两点关于原点对称，不妨设A(x,y)且位于第一象限，则B(一x,一y),3x +3w-2y=8,则1PA1=-+-可-√②+号-2x+).PB1= 3 +(y-√受++2+.(1PA1+1PB1P=智+器+ 3 3 2学+-4+=号++2g智w+g-++ 9 3 3 2√（受T-号+婴9号=16，所以1PA+1PB=4为定值，D选项正确 12. 根据题意可得m=2一m,解得m=1,则直线1的斜率为一1，故直线1的倾斜角 为 13.3 设直线1与平面。所成的角为0，则sim0=1cos(a,b)1=日分 111 11√x2+1+4-4x+x2√2x2-4x+5 二当x=1时，in0取得最大值，最大值为， 14.27考虑出现子序列ABA时，可能出现的位置有4个，把依次对应的序列放人集合A1, A2,A,A,(ABA×××,×ABA×X,××ABA×,×××ABA)中，记引A,I为集合A:中 元素的个数，则A|=2=8(i=1,2,3,4),再考虑重复的序列，|A:∩A+1=0(i=1,2, 【高二数学·参考答案第2页（共6页）】 ·B1· 3),A,∩A,+|=2(i=1,2),A,∩A=1,任意多于2个集合的交集均为空集，所以含有 连续子序列ABA的序列有4×8一2×2一1=27个. 15.解：(1)直线1的方程可化为x一2十a(y一1)=0，…1分 x-2=0,x=2, 由 得 3分 y-1=0,y=1, 所以直线1恒过定点(2,1). 5分 (2)圆C:x2+y2一6.x一2y十6=0的标准方程为(x一3)2十(y一1)2=4，…6分 圆心C(3,1),半径r=2.… …8分 当a=-1时，直线1的方程为x一y一1=0，则圆心C到直线1的距离d=13-1-1_- /1+I 2 …10分 所以直线1被圆C所截得的弦长为2一d=2,4-=√4 …13分 16.(1)证明：因为四边形ABB1A,为矩形，所以AB⊥AA1,…2分 因为AB⊥A1C,AA1∩AC=A1,所以AB⊥平面CAA,C1.… …4分 因为ACC平面CAA,C1,所以AB⊥AC.…6分 (2)解：以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1,0,0), C(0,1,0),B1(1,0,2),A1(0,0,2).BC=(-1,1,0),BA=(-1,0, 2),BB=(0,0,2).…8分 B n·BC=0. 设平面BCC1B,的法向量为n=(x1·y1,1),则 n·BB=0, -x1十y1=0, 即 取x1=y1=1,1=0,则n=(1,1,0),…10分 2x1=0, m·BC=0, 设平面ABC的法向量为m=(x2,y2,z2),则 m·BA=0, -x2十y2=0, 即 取x2=y2=2,2=1,则m=(2,2,1).…12分 一x2十2x2=0, 设平面A,BC与平面BCC,B1的夹角为0，则cos0=|cos〈m,n)= m·n 2+2 22 2×√/22+22+12 3 【高二数学·参考答案第3页（共6页）】 ·B1· 故平面ABC与平面BCCB,夹角的余弦值为2 …15分 17.解：(1)先排2名指导老师，有A种站法，… …1分 再排2名女大学生，有C2A号种站法，… 2分 最后排剩余的2名男大学生，有A经种站法，…3分 所以共有ACA号A号=2X2×2X2=16种不同的站法.…5分 (2)先排2名指导老师和2名女大学生，有A种站法， …6分 再排男大学生甲，有C种站法，… …7分 最后排剩余的1名男大学生，有C种站法，… …8分 所以共有ACC=24X4X4=384种不同的站法.…10分 (3)先选1名女大学生和1名男大学生站2名指导老师中间，有CC3A号种站法，…11分 再排2名指导老师，有A好种站法，…12分 最后将选中的1名女大学生、1名男大学生及2名指导老师视为一个整体，与剩余的2名大 学生全排列，有A种站法， 13分 所以共有CCA号A号A=2×2×2×2×6=96种不同的站法.…15分 18.解：1)将点H(2,0)的坐标代人C:。21(@>0),得1，解得a=2,…2分 y 故双曲线C的离心率e= =2 …4分 (2)根据题意易得直线1的斜率存在，设A(x1,y1),B(x2,y2), (ri_yi=1, 412 则 两式相减，得_听正=0. x yi 4 12 412 =1 整理得1一-12×十x x1一xg4y1十y2 6分 因为线段AB的中点坐标为(3,3)，所以x1十t2=6,y1十y2=6,…7分 所以直线1的斜率k-兰-子×十号-3×号 x1-x24y1+y2 =3,…8分 故直线1的方程为y-3=3(x-3),即3.x一y一6=0. …9分 经检验，直线l与双曲线C相交，所以直线l的斜率为3.…10分 (3)由题意得双曲线C的右焦点为F(4,0).若以线段AB为直径的圆经过坐标原点O,则 OA.OB=0.当直线1的斜率不存在时，直线1的方程为x=4 【高二数学·参考答案第4页（共6页）】 ·B1· 根据对称性不妨设A(4,6),B(4,一6)，则OA=(4,6),O店=(4，一6). 因为OA·OB≠0，所以直线1的斜率存在， …11分 则可设直线l的方程为y=k(x一4)(k≠士√3)，A(x1,y1),B(x2,y2). y=k(x-4), 得(3-k2).x2+8k2x-(16k2+12)=0,…12分 (412-1, 8k 16k2+12 所以x1十x2 b2-321xg k2-3 …13分 因为OA=(x1y),OB=(x2y2), 所以Oi·OB=x1x2十y1y2=x1x2+k”(x1-4)(x2-4)=(1+k2)x1xg-4h2(x1十x2） +1602=(1+6).162+12-62.82 k2-3 k3十16k2=12-20k2 k2-3 =0, …15分 解得k=土⑤ 5,使△>0，， …16分 所以直线1的方程为y=士压(x一4).即3x一后，一45=0或5r+5y一4G=0 **中****”17分分 19.解：(1)根据题意可得 +c2= ,即6+c2= 5 bc. …1分 因为四边形B,F:B,F,的面积为2X2×2c=2bc=4,所以6c=2. …2分 b2+c2= a=5,a=5, 由bc=2, 解得b=2,或b=1, …4分 b2+c2=a2, c=1 c=2, 圆厂的标准方程为+义1或十y21.… 6分 (2)若椭圆r的标准方程为号+2=1，则B,(0,1,B,(0,-),设椭圆T的左顶点为 A1(5,0),…7分 则|AB1=√5+T=√6,1BB,=2,A1B>B1B2,不符合题意，舍去.…8分 若椭圆T的标准方程为+立=1，则B1(0,2),B,(0,一2)，设P(工0y)(一2<<2)， 则|PB1=√x6+(y。一2)= 4(y%+8)2+25< 4(-2+8)2+25=4=1B1B2, 【高二数学·参考答案第5页（共6页）】 ·B1· 符合题意.…9分 故椭圆下的标准方程为5十 =1. 10分 (3由（2得椭圆r的方程为号+誉-1.设Hx,则x∈[一551， 若存在实数入，使得HF,+|HF:|=|HM,则λHM=25, …11分 25 25 得入= 25 25 HM -8)+)+4--)+胃 [-5,w5]. 13分 因为函数f)=(女一)+[-5，]上单调递减，在（气v后]上单调递增。 所以fu)=f受)-号c)=f-5)=9+9 4 F520 15分 2√5 则入 (-+9 [,0],放的取值范为器，10] …17分 ▣▣ 【高二数学·参考答案第6页（共6页）】