综合与实践(3)探索拼图&第14章整式的乘法与因式分解核心素养专练&考点整合与素养提升-【名师学案】2024-2025学年八年级上册数学分层进阶学习法（人教版）

综合与实践（三） 探索拼图 学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如 活动5：选取1张A型卡片，4张C型卡片按图 图1，A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片 4的方式不重叠地放在长方形MNPQ框架内， 是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别 已知NP的长度固定不变，MN的长度可以变 为a,b的长方形. 化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示 为S1,S,若Q=S1一S,且Q为定值，则a与b 有什么关系？请说明理由， b bC☐b 图1 图2 活动1：选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张 B型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个边 图4 长为(a十b)的大正方形，通过用不同方式表示 大正方形的面积，可得到乘法公式 活动2：若要拼出一个面积为(a十2b)(a十b)的 矩形，则需要A号卡片多少张？B号卡片多少 张？C号卡片多少张？ 活动6【拓展】：正方形ABCD,AEFG如图5摆 放，边长分别为x,y.若x2+y2=34,BE=2,求 图中两个阴影三角形面积和. 活动3：图3是由若干张A,B,C 三种卡片拼成的一个长方形，观 察图形，可将多项式a2+5ab+6 bbb 分解因式为 图3 图5 活动4：应用图1中的卡片，请拼出一个面积是 2a+3ab+2的几何图形. 91八年级数学·上册 第十四章核心素养专练 01运算能力一根据算式特征灵活运算 【素养解读】运算能力是指在明确运算对象的基础上， 依据运算法则来解决数学问避的能力，本章常的运算 与整式的运算中，均体现这一素养。 图1 图2 1.在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法 A.x2-2x+1=(x-1)2 来解决一些问题，例如：“若a"=4,am+"= B.x2-1=(x+1)(x-1) 20,求α”的值.”这道题我们可以这样思考： C.x2+2x+1=(x+1)9 逆向运用同底数幂的乘法公式，即am+=a D.x2-x=x(x-1) ·a",所以20=4·a",所以a"=5. 03应用意识 (1)若a"=2,a2m+"=24,请你也利用逆向思 【素养解读】在净习因式分解时，可利用因式分解的知 考的方法求出a”的值： 识解决生活中的实你问题，养成理论联系实际的习 (2)下面是小贤用逆向思考的方法完成的一 惯，提升实轰能力，培养学生的“应用意识” 道作业题，请你参考小贤的方法解答下面 3.【新中考·解题方法型阅读理解题】阅读题： 的问题： 在现今“互联网十”的时代，密码与我们 小贤的作业 的生活已经紧密相连，密不可分，而诸如 计算：8×(-0.125)° “123456”、生日等简单密码又容易被破解，因 解：8×(-0.125)9=(-8×0.125)9= 此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就 (-1)9=-1. 很有必要了.有一种用因式分解法产生的密 ①小贤的求解方法逆用了哪一条幂的运算性 码，方便记忆，其原理是：将一个多项式因式 质，直接写出该逆向运用的公式 分解，如多项式x3十2x2一x一2因式分解的 结果为(x一1)(x十1)(x十2)，当x=18时，x ②计算：520必3×(-0.2)2022 一1=17，x十1=19，x+2=20,此时可以得 到数字密码171920,191720等. (1)根据上述方法，当x=21,y=7时，求多 项式x3一xy2因式分解后可以形成哪些 数字密码：（写出三个） (2)若当x=27时，多项式x2+(m-3n)x 7n因式分解后可以得到其中一个密码为 02几何直观一数形结合巧解题 2434,求m,n的值. 【素养解读】数形结合包含“以形助数和以数辅形”两 方面，本章常利用数形结合解释乘法公式，使抽象的 问题直观化，复条的问题简单化： 2.如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边 长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部 分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个 长方形拼成图2所示长方形.这两个图能解 释下列哪个等式 助学助款优质高致 92 第十四章考点整合与素养提升 A考点整合 (2)[x(x2y2+xy)-y(x2-x3y)]÷3x2y. 考点一幂的运算 1.(2024·湖北模拟)下列运算正确的是() A.(a2)3=a B.a2·a3=a C.a2÷a3=a D.(-2ab)2=-4a2b 2.计算：(-10+（号”= 考点三乘法公式 10.(2024·佳木斯模拟)下面运算正确的是 3.计算： () (1)若am=8,am+=4,则a"= A.(-2a)2=-4a2 (2)(2023·乐山)若m,n满足3n-n-4=0, B.(a-b)2=a2-b 则8m÷2”的值是 C.(-m+2)(-m-2)=m2-4 (3)42024×(-0.25)2025= D.(a+b)(a-2b)=a2-2b 4.计算：x·x8+x5·(一x3)2十(2x)3 11.【整体思想】已知(x十2)(x一2)一2x=1,则 2x2-4x+3的值是 () A.13 B.8 C.-3 D.5 12.若a+b=3,a2+b=7,则ab= 13.运用乘法公式计算： 考点二整式的乘除法 (1)998×1002; 5.(2023·金昌)计算a(a+2)-2a=() A.2 B.a2 C.a2+2a D.a2-2a 6.(2024·临沂模拟)计算（一2a3)2÷a2的结果 是 () A.-2a B.-2a (2)(2023·兰州)(x+2y)(x-2y)-y(3 C.4a3 D.4a 4y). 7.若5c26÷号a62=25ab,则m=m 8.(2023·嘉兴)已知a2十3ab=5,则(a十b)(a 14.先化简，再求值：(a十3)2一(a+1)(a-1) +2b)一2的值是 9.计算：(1)5x(2x+1)-(2x+3)(5x1): 22a+40,其中a=- 93 八年级数学·上册 考点四因式分解 24.【新中考·新定义型阅读理解题】如果一个 15.(2023·益阳)下列因式分解正确的是() 正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那 A.2a2-4a+2=2(a-1)2 么称这个正整数为“神秘数”，如：4=22 B.a2+ab+a-a(a+b) 02,12=42-22,20=62-42,因此4,12,20 C.4a2-b2=(4a+b)(4a-b) 都是“神秘数” D.ab-ab=ab(a-b)2 (1)36 (填“是”或“不是”)“神秘数”： 16.(2023·河北)若k是任意整数，则(2k十3) (2)证明：“神秘数”一定是4的倍数； (3)2000是“神秘数”吗？请说明理由. 一4k2的值总能 () A.被2整除 B.被3整除 C.被5整除 D.被7整除 17.(2023·深圳)已知实数a,b满足a+b=6, ab=7,则ab十ab2的值是 18.把下列各式分解因式： (1)x2-x; (2)-a3+2a2-a. 25.将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块， 其中两块均是边长为m的大正方形，两块 B易错专攻 均是边长为n的小正方形，五块是长为m, 19.(2023·凉山州)已知y2-my+1是完全平 宽为n的全等小长方形，且m>n(长度单 方式，则m的值是 位：cm). (1)用含m,n的式子表示所有裁剪线（图中 20.(2023·大庆)若x满足(x-2)+1=1,则整 虚线部分)的长度之和： 数x的值是 (2)观察图形，发现式子2m2十5mn十2n2可 21.分解因式： 以分解因式为 (1)16.x-1= (3)若每块小长方形的面积为10cm2,四个 (2)a-8a2+16= 正方形的面积和为58cm,试求(m+ C素养提升 n)2的值. 22.(2023·南充)关于x,y的方程组 (3x+y=2m-1, 的解满足x+y=1,则4 x-y=n ÷2”的值是 () A.1 B.2 C.4 D.8 23.已知m2十n2+10=6m一2n,则m-n的值 是 助学助教优质高数94数；综上所述，任意两个奇数的平方差等于8的倍数. 第2课时运用完全平方公式分解因式 知识储备 (a十b)2(a-b)2和（或差）的平方 基础练综合练素养练 1.C2.(1)16(2)±63.D4.(1)2x2xyy2.x+y(2)①解：原式 (分+10.@解：原式=-(x-2xy+y)=-(x-；③解：原式=(x y)2-4(x-y)+4=(x-y)2-2×2(x-y)+2=(x-y-2)2.5.B6.(1)解： 原式=3m(d-2a6叶6)=3m(a-)(2)解：原式=2(x+2x十1)=合（x+ 10.7.解：原式=7(3.72-2×3.7×2.7+2.7)=2(3.7-2.7)=28. B9.B10.(1)解：原式=(2a-b-c)2(2)解：原式=(x2+1+2x)(.x2+1- 2.x)=(x+1)(x-1)2;(3)解：原式=(-1)(a2-6a+9)=(b-1)(a-3)2 =(b十1)(b-1)(a-3)2.11.解：(1)不彻底，结果是(x-2);(2)设x2-2x= y,则原式变形为y(y十2)十1=y2十2y十1=(y十1)=(.x2-2x十1)=(x-1). 12.①(x+1)(x+4)②(x-4)(x-2)③(x+3)(3x-4) 综合与实践（三）探索拼图 活动1：(a+b)2=a2+2ab十b活动2：解：(a十2b)(a十b)=a2+ab十2ab+2b =a2+3ab+2b,∴.需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张.活动3： (a十3b)(a十2b)活动4：解：拼图如下：a a ab 活动5：解：设MN 长为x..S1=a[x-(a+b)]=a.x-a2-ab,S2=3b(x-a)=3bx-3ab,∴.Q=S 一S2=(a一3b)x-a2十2ab,由题意得，若Q为定值，则Q将不随x的变化而变 化，可知当a一3b=0时，即a=3b时，Q=一a2十2ab为定值.活动6：解：由题 知：xy=DG=BE=2,x2+y=34,则(x-y)2=4=x2+y2-2xy,则2xy=30, ∴.(x+y)=x2+y2+2xy=34+30=64,x+y=8(负值舍去)，图中阴影部分 面积为：7×2y+2(x-0=)叶xX2=+1=8, 1 第十四章核心素养专练 1.解：(1)(am)2·a”=24,4·a”=24,a”=6.(2)①a”·b=(ab)”②5223X(- 0.2)222=5X52022X(-0.2)2022=5×(-0.2X5)222=5X1=5.2.B3.解： (1)x-xy=x(x-y)(x十y),当x=21,y=7时，x-y=14,x十y=28.可得数 字密码为211428,212814,142128,142821,282114,281421（写出三个即可）.(2) ,密码为2434，∴.当x=27时，x2十(m-3n)x-7n=(x-3)(x+7),即x2+(m 3mx=7m文牛42.7”-2，解得03， 1n=3. 第十四章考点整合与素养提升 1.B2.23.1)2(2)16(3)-0.254.解：原式=x+x+8x=10x 5.B6.D7.428.59.(1)解：原式=10x2+5x-10x2+2x-15.x+3= 8x十3；(2)解：原式=(xy+ty-xy+ty)÷3xy=2x)y÷3x)y=3y 2 10.C11.A2.113.(1)解：原式=(1000-2)(1000+2)=1000-22= 999996;(2)解：原式=x2-4y2-3y+4y2=x2-3y14.解：原式=a2+6a+9 -a+1-4a-8=2a+2,当a=-2时，原式=2a+2=1.15.A16.B17. 4218.(1)解：原式=x(1-x2)=x(1十x)(1-x);(2)解：原式=-a(a2- 2a+1)=-a(a-1)2.19.±220.-1或3或121.(1)(4x2+1)(2x十1) (2x-1)(2)(a-2)(a十2)22.D23.424.(1)是(2)证明：设较小的偶 数为2k,则较大的偶数为2k十2.∴.(2k十2)2-(2k)=8k十4=4(2k十1)..k为 正整数，∴.2k十1为正整数.∴.“神秘数”一定是4的倍数.(3)解：2000不是“神秘 数”.理由：假设2000是“神秘数”，由(2)得4(2k十1)=2000.解得：k=249.5.,k 不是整数，.假设不成立..2000不是“神秘数”.25.解：(1)(6m十6n)cm:(2) (2m十n)(m+2n);(3)由题意，得，2m2+2n2=58,m1=10,.m2+n2=29,.(m -192 +n)2=m2十n2+2mn=29+20=49. 第十五章分式 15.1分式 15.1.1从分数到分式 知识储备 1.整式字母2.不等于等于3.等于不等于 基础练综合练素养练 1.A2.①③⑤⑥②④03.600是4.1)A(2)C5.解：1)r≠0：(2) x≠-2：(3)a≠b:(4)x≠2且x≠-2.6.B7.(1)A(2)C8.A9.C10. 1500. 2x+35 分式11，(1).x<5(2)任意实数(3)3或212.解：(1)由题意，得 (x十2)2≠0，解得x≠一2，.当x≠一2时，分式有意义；(2)由题意，得(x十2)2 =0,解得x=一2，当x=一2时，分式无意义：(3)由题意，得4-2x=0,解得 x=士2.又x≠-2，∴x=2,∴.当x=2时，分式值为0.13.解：由题意，得一4十 =0,2-b=0且2+a≠0.解得Q=4,b=2.∴a-b=4-2=2,14.{60 a0, 1b>0 标：由题中规徐得中8或8“解得1长 15.1.2分式的基本性质 第1课时分式的基本性质与约分 知识储备 1.不等于02.公因式公因式 基础练综合练素养练 L,A2.C3.D①=②+2①8®+①zw2)a8③ /23\ ab2(4)x+y5.解：(1)原式= （3x-2y)·6 _4x一9y:(2)原式= (6x+y·6 5.x+6y (0.3a-2b)·10 3a-20b （a+0.7b)·10 10a+7b 6.D7.C8.(1)(x+1)(x-1)(x-1) 有2)①解：原式-器 1 ②解：原式=ab十2③解：原式=二2④解：原 y 289,A0,DA(2)A山.=12.解：原 (x-1)2 (x-1)2 1 (x+1+2x)(x+1-2.x)(x+1)(x-1)=(x+1)·13.(1)解：原式 (x-y)2 当=2=3时，原式=-吉，(2)解：原式 (x+y)(x-y)+y' x十y 1 2(x士0(x2-2x卫.当十y=2x-y=2时，原式=22 14. (x+y) x十y 0e-0n=a1+片 第2课时分式的通分 知识储备 同分母公分母 基础练综合练素养练 1.B2.(1)3(x+2)(x-2)(2)x(x+1)(x-1)3.4xy22y2,x4.(1)解： x=x·3.xy_3x2y2_2X2 4 最简公分母是6xV·云2y-3633xX26x:（2)解：最 x(x十4) x2十4x 4 简公分母是2(x-4)(x+4),2(x-4)一2(x-4)(x+4)-2(x-16)'x+4 8(x-4)8.x-32 2(x-4)(x+4)2(.x2-16) 5.6x6.(1)解：x-y=x-)x+2 x十y y 2v2y x+y'x十yx+y (2)解：最简公分母是3(a-3)(a+3)3a-9 2 -193