模型构建专题(1)全等三角形的基本模型-【名师学案】2024-2025学年八年级上册数学分层进阶学习法（人教版）

基础练综合练素养练 1.A2.43.(1)直角CD ED ED EF Rt△ABC(2)证明：，∠ACB =∠CFE=90°，∴.∠ACB=∠DFE=90°.在Rt△ACB和Rt△DFE中， AB=DE.R△ACB≌R1△DFE(HL),.AC=DF,AC-AF=DF-AF, BC=EF, 即AD=CF.4.D5.证明：.BD⊥AC,∴.∠EDF=90°.∠1=∠2，∠1+ ∠C=90°，∠2+∠E=90°，.∠E=∠C.在△DEF和△BCA中， I∠EDF=∠CBA, DE=BC, ∴.△DEF≌△BCA(ASA),.DF=AB.6.4或87.B ∠E=∠C, 8.49.1210.证明：，AE⊥BD,CF⊥BD,∴.∠AEB=∠CFD=90°.，BF= DE,∴.BF-EF=DE-EF,即BE=DF.在Rt△ABE与Rt△CDF中， ABE,R△ABE≌R△CDF(H),·∠ABG=∠CDG,在△ABG与 ∠AGB=∠CGD, △CDG中，∠ABG=∠CDG,∴.△ABG≌△CDG(AAS),.AG=CG.11.解： AB=CD. (1)过点P作PM⊥x轴于点M,PN⊥y轴于点N,∴.∠PMA=∠PNB=90°. PM=PN,:Rt P(2,2),PM=PN=2.在R△AMP和R△BNP中，PA=PB, △AMP≌Rt△BNP(HL)..∠APM=∠BPN,∴.∠APB=∠APM+∠BPM =∠BPN+∠BPM=∠MPN=90°，∴.PA⊥PB;(2)(0,-4);(3)OA-OB= (OM+MA)-(BN-ON)=OM++ON=4;(4)OA+OB=4. 模型构建专题（一）全等三角形的基本模型 1.解：(1)：AD=BE,.AD+DB=BE+DB,∴.AB=DE.在△ABC和△EDF AC=EF, 中，{AB=ED,∴.△ABC≌△EDF(SSS);(2):△ABC≌△EDF,∴.∠C=∠F= BC=DF. 65°.∠A=60°，∴.∠ABC=180°-∠A-∠C=55°.2.证明：(1)在△ABE和 ∠E=∠F, △ACF中，∠B=∠C,∴.△ABE≌△ACF(AAS).∴.∠EAB=∠FAC.. LAE-AF. ∠EAB-∠CAB=∠FAC-∠CAB,即∠1=∠2；(2)由△ABE≌△ACF,得AC ∠C=∠B, =AB.在△ACN和△ABM中，AC=AB, ..△ACN≌△ABM(ASA). CAB-BAM, 3.(1)证明：①，∠ACB=∠DCE=90°，.∠ACB+∠BCE=∠DCE+ (AC=BC, ∠BCE,即∠ACE=∠BCD.在△ACE和△BCD中，{∠ACE=∠BCD, CE=CD, △ACE≌△BCD(SAS).②.'△ACE≌△BCD,∴.∠CAE=∠CBD.:'∠CAE+ ∠EAB+∠ABC=90°，.∠CBD+∠EAB+∠ABC=90°.∠AFB=90°. AE⊥BD.(2)60°(3)180°-a4.(1)AM+BN=MN(2)解：(1)中结论不 成立，理由如下：∠ACB=∠ACM+∠BCN=90°，∠CAM+∠ACM=90°，∴. ∠CAM=∠BCN, ∠CAM=∠BCN.在△ACM和△CBN中，∠AMC=∠BNC,∴.△ACM≌ AC=CB, △CBN(AAS).∴.AM=CN,CM=BN.MN=CN-CM,∴.MN=AM-BN, (1)中结论不成立.5.解：，∠BMA=∠BAC=∠ANC,∠BMA+∠ABM= ∠BAC+∠CAN,∴.∠ABM=∠CAN,在△ABM与△CAN中， I∠BMA=∠ANC, ∠ABM=∠CAN,..△ABM2△CAN(AAS),..BM=AN=6,AM=CN=2, AB=CA, .MN=AM+AN=8. 12.3角的平分线的性质 第1课时角的平分线的作法和性质 知识储备 1.距离2.已知求证画出图形 基础练综合练素养练 1.A2.解：图略.3.34.105.证明：，CF,CE分别是△ABC和△ACD的 —180模型构建专题（一）》 全等三角形的基本模型 模型一 平移模型【针对教材P44习题T9】 2.如图，∠E=∠F=90°，∠B=∠C,AE=AF, 模型 BE交AC于M,CF交AB于N.求证： 展示 (1)∠1=∠2： 模型 沿某一直线(BC)平移，其中一个三角形 (2)△ACN≌△ABM. 特点 可与另一个三角形完全重合(BE=CF) 证明两三角形全等的关键： 解题 (1)加（减）共线部分，得对应边相等； 思路 (2)利用平行线性质找对应角相等 1.如图，点A,D,B,E在一条直线上，AC=EF, AD=BE.BC=DF. (1)求证：△ABC≌△EDF: (2)若∠A=60°，∠F=65°，求∠ABC的度数， D B 模型三 旋转模型【针对教材P55复习题T3】 模型 模型二对称模型【针对教材P44习题T6、P45 展示 习题T13】 模型 绕公共的顶点旋转两个三角形全等 特点 有公 解题 加（减）共顶，点的公共角得一组对应角 共边 模型 思路 相等 展示 有公共 3.在△ABC和△CDE中，CA=CB,CD=CE, 顶点 ∠ACB=∠DCE=a,AE与BD相交于点F. (1)如图1，当a=90时，求证： 所给图形沿公共边所在直线或者经过公 ①△ACE≌△BCD: 模型 共顶点的某条直线折叠，两个三角形能 特点 ②AE⊥BD. 完全重合 (2)如图2，当a=60°时，直接写出∠AFB的 证明三角形全等的关键：(1)找公共角、 度数为 解题 垂直、对顶角等条件得对应角相等：(2) (3)如图3，直接写出∠AFD的度数为 思路 找公共边、中点、相等边、线段的和差等 条件得对应边相等. (用含a的式子表示). 31 八年级数学·上册 图 图2 图3 模型五一线三等角（不含直角）】 模型解读 一般通过一线三等角找等角或进行角度转换，证 三角形全等时必须满足一组边相等这个条件.常见基 本图形如下： (1)两个三角形在直线同侧：如图，点P在线段AB 上，已知：∠1=∠2=∠3，AP=BD, 锐角一线三等角 纯角一线三等角 结论：△CAP≌△PBD. 模型四三垂直模型【针对教材P56复习题T9】 (2)两个三角形在直线异侧：如图，点P在AB(或BA)的 模型解块 延长线上，已知：∠1=∠2=∠3，CP=PD 在三垂直模型中，利用余角的性质寻求两个直角 三角形中一组角相等，再加上一组对应边相等，证两 个三角形全等 锐角一线三等角 钝角一线三等角 结论：△CAP≌△PBD, 4.如图①所示，在△ABC中，∠ACB=90°， 5.如图，在△ABC中，AB=AC,点A在线段 AC=BC,过点C在△ABC外作直线MN, MN上，连接MB,VC并延长交于点P.已知 AM⊥MN于点M,BN⊥MN于点N. ∠BMA=∠BAC=∠ANC,若BM=6,CN (1)线段AM,BN与MN的关系是 =2,求MN的长. (2)如图②，若过点C作直线MN与线段AB 相交，AM⊥MN于点M,BN⊥MN于点 N.(1)中的结论是否仍然成立？请说明 理由。 请完成进阶测评（二） 助学助款 优质高数32