第12章 全等三角形 单元提升题2025-2026学年人教版（2012）八年级数学上册

第12章《全等三角形》单元提升题 一．选择题 1．下列判定直角三角形全等的方法，错误的是（　　） A．两条直角边对应相等 B．斜边和一锐角对应相等 C．斜边和一直角边对应相等 D．两锐角相等 2．如图，BC＝BD，那么添加下列选项中的一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ABD的是（　　） A．AC＝AD B．∠BAC＝∠BAD C．∠ABC＝∠ABD D．∠C＝∠D＝90° 3．如图，已知两个三角形全等，则∠1的度数是（　　） A．38° B．50° C．54° D．76° 4．过射线OP上一点P分别向∠AOB的两边作垂线，得到垂线段PM与PN，若垂线段PM＝PN，则可以得到一对全等三角形，为了证明△OMP≌△ONP，运用到的全等三角形判定定理是（　　） A．ASA B．SAS C．AAS D．HL 5．如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1+∠2＝（　　） A．60° B．90° C．120° D．150° 6．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是（　　） A．3 B．4 C．6 D．5 7．小刚把一块三角形玻璃打碎成了如图所示的三块，现要到玻璃店取配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（　　） A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去 8．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝120°，AB＝8cm，BC＝12cm，CD＝16cm，点P在线段BC上以4cm/s的速度由点B向点C运动，同时点O在线段CD上由点C向点D匀速运动．若△BAP与△PCQ在某一时刻全等，则点Q运动速度为（　　） A． B．或 C．4cm/s或 D．4cm/s或 二．填空题 9．如图，△ABC≌△CDE，若DE＝9，AC＝5，则BE的长为 　 　 ． 10．在△ABC和△DEF中，已知AB＝DE，∠B＝∠E，请补充一组相等的边，使两个三角形全等，可以是　 　 ． 11．如图，在Rt△ABC与Rt△DEF中，∠B＝∠E＝90°，AC＝DF，BF＝CE，若∠A＝65°，则∠DFE的度数为　 　 ． 12．如图，△AOB≌△COD，∠AOB＝110°，OB⊥OC，则∠DOB＝　 　 °． 13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝10，DE＝4，则BD的长为 　 　 ． 14．两个全等的三角形按如图方式摆放，其中∠ABC＝90°，∠BAC＝x°，AB＝5，BC＝2，△ABC≌△DEF．此时B，E重合，B，C，D在同一直线上．现将△DEF沿射线BC向右平移．在平移过程中，直线AB与DF交于点G，∠CAG的平分线与直线EF交于点H，则∠AHE＝ 　 　 °（用含x的代数式表示）． 三．解答题 15．如图，△ABC中，D是BC延长线上一点，CD＝AB，过点C作CE∥AB且CE＝BC，连接DE并延长，分别交AC，AB点F，G． （1）试说明：∠A＝∠D； （2）若∠B＝50°，∠D＝25°，求∠AFG的度数． 16．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABD＝∠CAE，A，D，E三点在同一条直线上，且BD＝AE． （1）求证：△BAD≌△ACE； （2）当∠ADB＝ 　 　 °时，BD∥CE？请说明理由． 17．如图，点A、B、C、D在一条直线上，如果AC＝BD，BE＝CF，且BE∥CF，那么AE＝DF．为什么？（完成以下填空和说理过程） 解：∵BE∥CF（已知）， ∴∠EBC＝∠FCB（①　 　 ）， ∵∠EBC+∠EBA＝180°，∠FCB+∠FCD＝180°（②　 　 ）， ∴∠EBA＝∠FCD（③　 　 ）， ∵AC＝BD（已知）， ∴④　 　 （等式性质），即AB＝CD， 在△ABE和△DCF中， ∴△ABE≌△DCF（SAS）， ∴∠A＝∠D（⑤　 　 ）， ∴AE∥DF（⑥　 　 ）． 18．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的中线，以点A圆心，AD长为半径画弧，与AB，AC分别交于点E，F，连接DE，DF． （1）判断△ADE与△ADF是否全等？并说明理由； （2）若∠B＝56°，求∠BDE的度数． 19．【模型解读】 角平分线在数学中都占据着重要的地位，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法． 【模型证明】 常见模型1 条件：如图1，OC为∠AOB的角平分线，CA⊥OA，垂足为点A，CB⊥OB，垂足为点B． 结论：CA＝CB，△OAC≌△OBC． 常见模型2 条件：如图2．，在△ABC中，∠C＝90°，AD为∠CAB的角平分线，过点D作DE⊥AB，垂足为点E． 结论：DC＝DE，且△DAC≌△DAE（当△ABC是等腰直角三角形时，有AB＝AC+CD）． 常见模型3 条件：如图3，OC是∠AOB的角平分线，∠OAC＝∠CBN． 结论：AC＝BC． 根据模型3的条件，请证明上述结论：AC＝BC． 【模型运用】 如图4，BE，CE分别为∠ABC和∠BCE的平分线，AB∥CD，则AB，CD，BC的数量关系是 　 　 ． 【解决问题】 如图5，ABCD是一个四边形人工湖，AB＝AD，BC＝80米，CD＝60米，甲、乙两人同时从点C出发，甲沿CB方向以2米/秒的速度前进，乙沿CD方向以1米/秒的速度前进，30秒后，甲、乙分别到达E，F处，此时测得，∠B+∠D＝180°，此时甲、乙两人的距离为 　 　 米． 20．特殊化是重要的数学策略，即研究一般性问题，经常先从特殊情形进行研究，再通过归纳与猜想，验证并得出一般性的结论． 【问题提出】如图①，△OAB和△OCD是等腰三角形，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，且点A、C、D在同一直线上，AC和DB有怎样的关系？ 【问题解决】 （1）在图②中，若∠α＝90°，点A、C、D在同一直线上，则AC和DB的数量关系是 　 　 ，位置关系是 　 　 ； （2）在图③中，若∠α＝60°，点A、C、D在同一直线上，判断说明AC和DB数量关系，并求∠ADB的度数； （3）在图④中，若∠α＝30°，点A、C、D在同一直线上，则AC和DB的数量关系是 　 　 ，∠ADB＝ 　 　 ． （4）通过上述特殊化研究，解决在【问题提出】中，AC与DB有怎样的关系．（写出两条） 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B B D B A C D 二．填空题 9．解：∵△ABC≌△CDE， ∴BC＝DE＝9，CE＝AC＝5， ∴BE＝BC﹣CE＝4， 故答案为：4． 10．解：添加BC＝EF，证明如下： 在△ABC与△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， 故答案为：BC＝EF． 11．解：∵BF＝CE，∠A＝65°， ∴BF+FC＝CE+FC， ∴BC＝EF， ∵AC＝DF， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）， ∴∠A＝∠D＝65°， ∵∠D+∠DFE+∠E＝180°， ∴65°+∠DFE+90°＝180°， ∴∠DFE＝25°， 故答案为：25°． 12．解：∵△AOB≌△COD， ∴∠COD＝∠AOB＝110°， ∵OB⊥OC， ∴∠BOC＝90°， ∴∠DOB＝∠COD﹣∠BOC＝110°﹣90°＝20°， 故答案为：20． 13．解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°， ∴CD＝DE， ∵DE＝4， ∴CD＝4， ∵BC＝10， ∴BD＝BC﹣CD＝10﹣4＝6． 故答案为：6． 14．解：当交点H在线段EF上时， ∵AH平分∠CAG， ∴， ∵△ABC≌△DEF， ∴∠B＝∠FED＝90°， ∴AB∥EF， ∴∠HAG+∠AHE＝180°， ∴， 当交点H在直线EF上且在点E下方时， ∵AB∥EF， ∴， 当交点H在直线EF上且在点F上方时， ∵∠BAC＝x°， ∴∠CAG＝180°﹣x°， ∵AH平分∠CAG， ∴， ∵AB∥EF， ∴， 综上，∠HAG的度数为°或°或°． 故答案为：或或． 三．解答题 15．解：（1）∵D是BC延长线上一点，CE∥AB， ∴∠DCE＝∠B， 在△ABC和△DCE中， ， ∴△ABC≌△DCE（SAS）， ∴∠A＝∠D． （2）解：∵∠B＝50°，∠D＝25°， ∴∠A＝∠D＝25°，∠AGF＝∠B+∠D＝75°， ∴∠AFG＝180°﹣∠A﹣∠AGF＝80°， ∴∠AFG的度数是80°． 16．（1）证明：在△BAD和△ACE中， ， ∴△BAD≌△ACE（SAS）， （2）解：当∠ADB＝90°时，BD∥CE，理由如下： 当∠ADB＝90°时，∠BDE＝180°﹣∠ADB＝90°， 由（1）可知：△BAD≌△ACE， ∴∠ADB＝∠E＝90°， ∴∠BDE＝∠E＝90°， ∴BD∥CE． 故答案为：90． 17．解：∵BE∥CF（已知）， ∴∠EBC＝∠FCB（①两直线平行，内错角相等）， ∵∠EBC+∠EBA＝180°，∠FCB+∠FCD＝180°（②邻补角定义）， ∴∠EBA＝∠FCD（③等角的补角相等）， ∵AC＝BD（已知）， ∴④AC﹣BC＝BD﹣BC（等式性质），即AB＝CD， 在△ABE和△DCF中， ， ∴△ABE≌△DCF（SAS）， ∴∠A＝∠D（⑤全等三角形的对应角相等）， ∴AE∥DF（⑥内错角相等，两直线平行）． 故答案为：①两直线平行，内错角相等；②邻补角定义；③等角的补角相等；④AC﹣BC＝BD﹣BC；⑤全等三角形的对应角相等；⑥内错角相等，两直线平行． 18．解：（1）△ADE与△ADF全等，理由如下： 在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的中线， ∴∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC， 由作图可知：AE＝AF＝AD， 在△ADE与△ADF中， ， ∴△ADE≌△ADF（SAS）； （2）∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， 在Rt△ABD中，∠B＝56°， ∴∠BAD＝90°﹣∠B＝34°， ∵AE＝AD， ∴∠AED＝∠ADE， 在△ADE中，∠AED+∠ADE+∠BAD＝180°， ∴2∠ADE+34°＝180°， ∴∠ADE＝73°， ∴∠BDE＝∠ADB﹣∠ADE＝90°﹣73°＝17°． 19．解：【模型证明】证明：如图， ∵CD⊥OA于D，CE⊥OB于E， ∴∠CAO＝∠CBO＝90°， ∵OC是∠AOB的角平分线， ∴∠AOC＝∠BOC， 又∵OC＝OC， ∴△CAD≌△CBE（AAS）， ∴CA＝CB； 【模型运用】如图，在BC上截取点F，使得CD＝CF，连接EF， ∵CE平分∠BCE， ∴∠ECF＝∠ECD， ∵CE＝CE，CD＝CF， ∴△CED≌△CEF（SAS）， ∴∠CFE＝∠D， ∵AB∥CD， ∴∠A+∠D＝180°，∠BFE+∠CFE＝180°， ∴∠BFE＝∠A， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠FBE， ∵BE＝BE， ∴△ABE≌△FBE（AAS）， ∴AB＝BF， ∵BF+CF＝BC， ∴AB+CD＝BC； 故答案为：AB+CD＝BC； 【解决问题】由题意可得：CE＝60米，CF＝30米，BC＝80米，CD＝60米， ∴BE＝BC﹣CE＝80﹣60＝20米，DF＝CD﹣CF＝60﹣30＝30米， 如图，延长CD至点G，使得DG＝BE，连接AG， ∵∠B+∠ADF＝180°，∠ADG+∠ADF＝180°， ∴∠B＝∠ADG， ∵AB＝AD，DG＝BE， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴DG＝BE＝20米，∠BAE＝∠DAG，AE＝AG， ∵∠EAF，∠BAD＝∠BAE+∠EAF+∠DAF＝∠DAG+∠EAF+∠DAF＝∠EAF+∠GAF， ∴（∠EAF+∠GAF）， ∴∠EAF＝∠GAF， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF＝GF＝GD+DF＝20+30＝50米， 即此时甲、乙两人的距离为50米． 故答案为：50． 20．（1）当∠α＝90°时，则∠AOB＝∠COD＝α＝90°， ∵OA＝OB，OC＝OD， ∴△OAB和△OCD都是等腰直角三角形， ∴∠OCD＝∠ODC＝45°， ∴∠ACO＝180°﹣∠OCD＝135°， ∵∠AOB＝∠COD＝α＝90°， ∴∠AOB﹣∠COB＝∠COD﹣∠COB， ∴∠AOC＝∠BOD， 在△AOC和△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD（SAS）， ∴AC＝BD，∠ACO＝∠BDO＝135°， ∴∠ADB＝∠BDO﹣∠ODC＝135°﹣45°＝90°， ∴AD⊥DB， 即AC⊥DB， ∴AC和DB的数量关系是：AC＝DB，位置关系是：AC⊥DB， 故答案为：AC＝DB；AC⊥DB； （2）当∠α＝60°时，则∠AOB＝∠COD＝α＝60°， ∵OA＝OB，OC＝OD， ∴△OAB和△OCD都是等边三角形， ∴∠OCD＝∠ODC＝60°， ∴∠ACO＝180°﹣∠OCD＝120°， 同（1）证明：△AOC≌△BOD（SAS）， ∴∠ACO＝∠BDO＝120°， ∴∠ADB﹣∠BDO﹣∠ODC＝120°﹣60°＝60°， 故答案为：60°； （3）当∠α＝30°时，则∠AOB＝∠COD＝α＝30°， ∵OA＝OB，OC＝OD， ∴△OAB和△OCD都是等腰三角形， ∴∠OCD＝∠ODC（180°﹣∠COD）（180°﹣30°）＝75°， ∴∠ACO＝180°﹣∠OCD＝105°， ∵∠AOB＝∠COD＝α＝30°， ∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC， 即∠AOC＝∠BOD， 同（1）证明：△AOC≌△BOD（SAS）， ∴AC＝DB，∠ACO＝∠BDO＝105°， ∴∠ADB﹣∠BDO﹣∠ODC＝105°﹣75°＝30°， 故答案为：30°； （4）【问题提出】中，AC与DB有的关系：①AC＝BG，②∠ADB＝α，理由如下： ∵OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α， ∴△OAB和△OCD都是等腰三角形， ∴∠OCD＝∠ODC（180°﹣∠COD）（180°﹣α， ∴∠ACO＝180°﹣∠OCD＝180°﹣（）， 同（1）证明：△AOC≌△BOD（SAS）， ∴AC＝BD，∠ACO＝∠BDO， ∴∠ADB＝∠BDO﹣∠ODCα． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/9/4 22:58:25；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 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