第08讲 一元一次不等式（组）（讲练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（北京专用）

第二章 方程与不等式 第08讲 一元一次不等式（组）（2~6分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 不等式的性质（高频考点） 考点二 解一元一次不等式（组）（高频考点） 考点三 一元一次不等式（组）的应用（高频考点） 04题型精研·考向洞悉 命题点一 不等式的性质 ►题型01 不等式的性质 命题点二 解一元一次不等式（组） ►题型01 求一元一次不等式的解集 ►题型02 求一元一次不等式的整数解 ►题型03 在数轴上表示不等式的解集 ►题型04 解一元一次不等式组 ►题型05求一元一次不等式组的整数解 ►题型06由一元一次不等式组的解集求参数 ►题型07由不等式组解集的情况求参数 命题点三 一元一次不等式（组）的应用 ►题型01 一元一次不等式解决实际问题 ►题型02 一元一次不等式（组）解决实际问题 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 不等式及不等式的基本性质 结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质 5年5考 近5年中考，一元一次不等式(组) 的解法及应用题年年考考察. 其中不等式性质、解一元一次不等式(组)，通常是以选择题，填空题形式出现，以基础为主．不等式（组）相关的应用题常会和其它考点(如二元一次方程组、二次函数等) 结合考察。学生应在复习过程中扎实掌握 一元一次不等式（组） 能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集 会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集. 不等式（组）的实际应用 能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题. 考点一 不等式的性质（高频考点） 不等式的性质 基本性质1 若a>b，则a±c > b±c 若a<b，则a±c < b±c 基本性质2 若a>b,c>0，则ac>bc（或） 基本性质3 若a>b,c<0，则ac<bc（或） 运用不等式的性质的注意事项： 1）不等式两边都要参与运算，并且是作同一种运算． 2）不等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子． 3）等式两边不能同时除以0，即0不能作除数或分母． 4） 运用不等式的性质进行不等式变形时,要特别注意性质2和性质3的区别,在乘(或除以)同一个数时,必须先弄清楚这个数是正数还是负数,如果是负数,不等号要改变方向. 1．若，则下列不等式中不一定成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：由可得： A．，即，故本选项一定成立，不符合题意； B．不等号两边同时乘以，不等号方向改变，因此，故本选项一定成立，不符合题意； C．，因此不一定成立，符合题意； D．不等号两边同时乘以，再加上2，不等号方向改变，，故本选项一定成立，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 2．关于x的不等式(a－2)x＞a－2的解集是x＞1，则a的取值范围是(　　) A．a＞1 B．a＜1 C．a＞2 D．a＜2 【答案】C 【分析】根据不等式的解法，两边都除以（a－2），不等号的方向不变，则a－2＞0计算即可得解． 【详解】∵（a－2）x＞a－2，两边都除以（a－2）得：x＞1，∴a－2＞0，∴a＞2． 故选C． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质： （1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变． （2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． （3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 考点二 解一元一次不等式（ 组）（高频考点） 1.一元一次不等式的一般形式：或. 步骤 具体做法 依据 注意事项 去分母 在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数 不等式性质2、3 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后要加括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 分配律 去括号法则 1) 去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项; 2) 括号前面是负数时,去掉括号后,括号内各项都要变号； 3）括号前面是正数时,去掉括号后,括号内各项都不变号. 移项 把含有未知数的项移到不等式左边，其它项都移到不等式右边 不等式性质1 1）移项时不要漏项; 2）将不等式中的项从一边移到另一边要变号.而在不等式同一边改变项的位置时不变号. 合并同类项 把不等式变为或的形式 合并同类项法则 1）不要漏项； 2）系数的符号处理要得当. 系数化为1 将不等式两边都除以未知数系数a，得到不等式的解 不等式性质2、3 1)不等式两边都除以未知数系数; 2)当系数为负数，不等号的方向发生改变. 2.一元一次不等式（ 组） 一元一次不等式组的概念：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，组成一元一次不等式组． 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． 不等式组解集的确定有两种方法： 1）数轴法：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 2）口诀法：大大取大，小小取小，大小、小大中间找，大大、小小取不了． 解一元一次不等式组的一般步骤： 1） 求出不等式组中各不等式的解集. 2） 将各不等式的解决在数轴上表示出来. 3） 在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 1.与一元一次不等式的特殊解有关的解题方法： 类型一 求一元一次不等式特殊解的方法 解决此类问题的关键：正确求出不等式的解集，再根据题目要求求出其特殊解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 类型二 已知一元一次不等式解集（整数解）求字母的取值． 解决此类问题的关键：先把题目中除未知数外的字母当作常数看待解不等式，再根据题目中的限制条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 2. 在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来表示不等式组的解集的. 3. 利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分. 1．写出满足不等式组的一个整数解 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法，解题的关键是正确掌握解一元一次不等式组的步骤．先解出一元一次不等式组的解集为，然后即可得出整数解． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的一个整数解为：； 故答案为：（答案不唯一）. 2．若关于的不等式组有整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式组整数解求参数问题，解出不等式的解集，在根据有整数解列不等式即可求解，解题的关键是掌握知识点的应用． 【详解】解：解不等式得，， ∵不等式组有整数解， ∴， 故答案为：． 考点三 一元二次方程的应用（高频考点） 一元一次不等式（组）的应用题的关键语句： 1）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 2）对一些实际问题的分析还要注意结合实际.有些不等关系隐含于生活常识中,如小王用50元去买单价为6元的笔记本.设买x本，求x的取值范围时,其问题中就隐含着所花钱数不能超过50元.由此可得出不等式 6x≤50. 用一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 命题点一 不等式的性质 ►题型01 不等式的性质 1．若，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案． 【详解】解：A、不等式的两边都减去3，不等号的方向不变，故A错误； B、不等式的两边都乘以−2，不等号的方向改变，故B正确； C、不等式的两边都除以4，不等号的方向不变，故C错误； D、当a＝1，b＝-1时，a2=b2，故D错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 2．已知a>b，则下列不等式一定成立的是(     ) A．–5a>–5b B．5ac>5bc C．a–5<b+5 D．a+5>b–5 【答案】D 【分析】根据不等式的性质判断即可. 【详解】∵a>b，∴–5a<5a，故选项A不合题意； c的值不确定，不能得到5ac>5bc，错误，故选项B不合题意； a–5<b+5错误，故选项C不合题意； a+5>b–5，正确，故本选项符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查不等式的性质，运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意不等式的性质2和性质3的区别，在乘（或除以）同一个数时，必然先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．确定一个式子为正数、0或负数的条件时，通常是把这个式子是正数、0或负数转化为不等或相等关系，构造不等式或方程，通过解不等式或解方程来求解. 3．若实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式成立的是（  ） A．ac＞bc B．ab＞cb C．a+c＞b+c D．a+b＞c+b 【答案】B 【分析】根据数轴判断出a、b、c的正负及大小情况，然后根据不等式的性质解答． 【详解】解：由图可知，a＜b＜0，c＞0， A、ac＜bc，故本选项错误； B、ab＞cb，故本选项正确； C、a+c＜b+c，故本选项错误； D、a+b＜c+b，故本选项错误． 故选B． 【点睛】本题考查数轴、不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解答的关键. 4．已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可得，则，根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：得，则， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了不等式的性质，注意：当不等式两边同时乘以一个负数，则不等式的符号需要改变． 命题点二 解一元一次不等式（ 组） ►题型01 求一元一次不等式的解集 1．解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．    【答案】x≥-3，数轴见解析． 【分析】去分母得：3x-6≤4x-3，移项合并得x≥-3，正确在数轴上表示即可． 【详解】解：3x-6≤4x-3 ∴x≥-3    【点睛】本题考查解一元一次不等式． 2．解不等式：4（x﹣1）＞5x﹣6． 【答案】解：去括号得：4x﹣4＞5x﹣6， 移项得：4x﹣5x＞4﹣6， 合并同类项得：﹣x＞﹣2， 把x的系数化为1得：x＜2， ∴不等式的解集为：x＜2． 【详解】略 3．解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，图见解析 【分析】本题主要考查解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集，根据去分母，去括号，移项，合并同类项可得不等式的解集，然后再在数轴上表示出它的解集即可. 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 解得． 这个不等式的解集在数轴上表示如下：    4．解不等式：． 【答案】 【分析】先去分母，然后去括号，再移项合并同类项，最后将未知数系数化为1即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 未知数系数化为1得：． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式的基本步骤，准确计算，注意不等式两边同乘以或除以一个相同的负数，不等号方向改变． 5．解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．    【答案】，在数轴上表示见解析 【分析】首先解不等式，可求得不等式的解集，再把解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：去分母，得：， 移项、合并同类项，得， 解得， 所以，原不等式的解集为， 把解集在数轴上表示出来如下：    【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键． 6．解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析． 【分析】去分母，去括号再移项，合并最后系数化为1即可得到解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】解：去分母，得 去括号，得 移项，合并同类项，得 系数化1，得 解集在数轴上表示为： 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． ►题型02 求一元一次不等式的整数解 1．解下列不等式： ，并求出满足不等式的非负整数解． 【答案】，． 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的方法求解即可，解题的关键是掌握一元一次不等式的求解方法． 【详解】解： ， ∴不等式的非负整数解为． 2．解不等式，并写出它的所有负整数解． 【答案】不等式的解集是，其中所有负整数解为， 【分析】此题考查一元一次不等式的整数解，解题关键在于掌握运算法则． 先解出不等式的解集，再求其负整数解． 【详解】解：． 移项得，． 合并同类项得，． 系数化为1得，． 所以原不等式的所有负整数解为，． 3．解不等式，并写出所有正整数解． 【答案】，正整数解为：1，2 【分析】先解出不等式的解集，再求其正整数解． 【详解】解： 去括号得：， 移项可得： 合并同类项：， ∴它的所有正整数解为：1，2． 【点睛】此题考查一元一次不等式的整数解，解题关键在于掌握运算法则． 4．解不等式：，并写出它的正整数解． 【答案】x=1，2，3， 【分析】先解不等式，求出不等式解集，再根据解集，写出正整数解即可． 【详解】解：， 5x-2<3x+6， 5x-3x<6+2， 2x<8， x<4， ∵x为正整数， ∴x=1，2，3， 【点睛】本题考查求不等式正整数解，熟练掌握解不等式是解题的关键． ►题型03 在数轴上表示不等式的解集 1．若实数的取值范围在数轴上的表示如图所示，在下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，不等式的性质，化简绝对值，根据绝对值的性质与不等式的性质逐一分析判断即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，故A不符合题意； ∵， ∴，故B符合题意； ∵， ∴，故C不符合题意； ∵， ∴，故D不符合题意； 故选：B 2．不等式组的解集在数轴上表示为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】先解出不等式组的解集，然后将解集表示在数轴上即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示为：    故选：B． 【点睛】此题考查不等式组的解法，解题关键是将解集表示在数轴上时，有等号即为实心点，无等号则为空心点． 3．解不等式，下列在数轴上表示的解集正确的是（    ）． A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】按去分母、去括号、移项、合并同类项，未知数系数化为的步骤求出解集，再把解集在数轴上表示出来，注意包含端点值用实心圆点，不包含端点值用空心圆点，即可求解． 【详解】解： ， 解集在数轴上表示为 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法及解集在数轴上的表示方法，掌握解法及表示方法是解题的关键． 4.不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集即可． 【详解】解：， 由①得， 由②得， 不等式组的解集为． 故选：B． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 5．不等式的解集在数轴上的表示正确的是(    ) A． B．   C．   D．   【答案】D 【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】去分母得，， 系数化为1得，． 在数轴上表示为：    故选D． 【点睛】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此题的关键． 6．将某不等式组的解集表示在数轴上，下列表示正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分析：本题可根据数轴的性质画出数轴：实心圆点包括该点用“≥”，“≤”表示，空心圆点不包括该点用“<”，“>”表示，大于向右小于向左． 点睛：不等式组的解集为−1⩽x<3在数轴表示−1和3以及两者之间的部分： 故选B. 点睛：本题考查在数轴上表示不等式解集:把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画;< ,≤向左画),数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集.有几个就要几个.在表示解集时“≥”,“≤”要用实心圆点表示;“<”,“>”要用空心圆点表示. ►题型04 解一元一次不等式组 1．解不等式组： 【答案】 【分析】先求出每一个不等式的解集，再根据不等式组解集的确定方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”确定不等式组的解集． 本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练进行不等式求解是解题的关键． 【详解】 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 2．解不等式组：． 【答案】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】 解不等式①得： 解不等式②得： 不等式的解集为： 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键． 3．解不等式组： 【答案】 【分析】分别解两个一元一次不等式，再求交集即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， 故所给不等式组的解集为：． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组，属于基础题，正确计算是解题的关键． 4．解不等式组： 【答案】 【分析】根据一元一次不等式组的解法可直接进行求解． 【详解】解： 由①可得：， 由②可得：， ∴原不等式组的解集为． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． 5．解不等式组： 【答案】不等式组的解集为. 【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集． 【详解】解：解不等式①得：，∴ 解不等式②得：，∴ ∴不等式组的解集为 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 6．解不等式组： 【答案】 【分析】分别解每一个不等式，然后即可得出解集． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴此不等式组的解集为． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，掌握不等式的解法是解题关键． ►题型05求一元一次不等式组的整数解 1．解不等式组：，并求该不等式组的非负整数解． 【答案】，和和 【分析】考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集解不等式组时要注意解集的确定原则：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解了． 首先分别解出两个不等式的解集，再求其公共解集即可． 【详解】解： 解不等式 即； 解不等式 即， 该不等式的解集为：， 该不等式组的非负整数解为和和 2．解不等式组，写出它的所有整数解． 【答案】，，0，1，2 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”的原则是解答此题的关键．先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后求出不等式组的整数解即可． 【详解】解： 解不等式①， 得：， 解不等式②， 得：， 所以不等式组的解集是， 所以不等式组的整数解是，0，1，2． 3．解不等式组，并写出满足条件的非正整数解． 【答案】不等式组的解集为，不等式组的非正整数解为． 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分确定不等式组的解集，最后写出满足条件的非正整数解即可． 【详解】解： 解不等式①得，； 解不等式②得，， 所以，不等式组的解集为， 所以，不等式组的非正整数解为． 4．解不等式组并写出其整数解． 【答案】不等式组的解集为：，整数解为： 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为：， ∴整数解为： 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键． ►题型06由一元一次不等式组的解集求参数 1．如果不等式组 的解集是，那么n的取值范围是（　 　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组：一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到． 先解两个不等式得到和，然后根据同小取小可确定n的范围． 【详解】解：由，得， 根据已知条件，不等式组的解集为， ∴， 故选：A． 2．不等式组的解集为，则a满足的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求不等式组解集，先解不等式组，根据不等式组的解集为，以及“同小取较小”的原则，求得a取值范围即可． 【详解】解不等式组得， ． 故选：D． 3．若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是非负整数解，则所有满足条件的整数的值之和是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算不等式组的解集，根据“同小取小”原则，得到解得，再解分式方程得到，根据分式方程的解是非负整数解，得到，且是3的倍数，据此解得所有符合条件的整数a的值，最后求和． 【详解】解不等式得，， 不等式组的解集为： 解分式方程得 整理得， 则 分式方程的解是非负整数解， ，且是3的倍数， ，且是3的倍数， 整数a的值为 故选：C． 【点睛】本题考查解含参数的一元一次不等式、解分式方程等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 4．若关于x的一元一次不等式组的解为，且关于y的方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了解一元一次不等式组与解分式方程，掌握一元一次不等式组与分式方程的解法是解题的关键．解出一元一次不等式组的解集，根据不等式组的解集为，列出不等式，求出a的范围；解出分式方程的解，根据方程的解是正整数，列出不等式，求得a的范围；检验分式方程，列出不等式，求得a的范围；综上所述，得到a的范围，最后根据方程的解是正整数求得满足条件的整数a的值，求和即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴； 分式方程两边都乘得：， 解得：， ∵方程的解是正整数， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，且， ∴能使是正整数的a是：或0或2或4或6， ∴和为8， 故答案为：8． ►题型07由不等式组解集的情况求参数 1．若不等式组的整数解只有四个，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，先对不等式进行求解，再根据不等式组的整数解有个即可解决问题，能根据不等式组整数解的个数建立关于的不等式组是解题的关键． 【详解】解：由不等式得，； ∵不等式组的整数解有四个， ∴， 故答案为：． 2．若关于x的不等式组有2个整数解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得每个不等式的解集，再根据不等式组的解得到关于m的不等式组即可求解． 【详解】解：解不等式组得， ∴不等式组的解集为， ∵原不等式组有2个整数解， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，正确得出m的取值范围是解答的关键，注意边界值的取舍． 3．若不等式组无解，则的取值范围是 ． 【答案】k≥2 【分析】根据不等式组的解集口诀：大大小小没有解得出k的取值范围即可． 【详解】解：∵不等式组无解， ∴k≥2， 故答案为：k≥2． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的解集，解答的关键是熟知不等式组的解集口诀：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小没有解，注意端点值的取舍． 4．已知关于x的不等式组有解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】主要考查了解一元一次不等式组，先分别求出不等式①②的解，再根据不等式组有解进行解答即可． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， ∵关于x的不等式组有解， ． 故答案为：． 5．关于x的不等式组恰好有2个整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先解不等式组得到其解集为，再根据不等式组只有两个整数解求解即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∵关于x的不等式组恰好有2个整数解， ∴， 故答案为：． 命题点三 一元一次不等式（组）的应用 ►题型01 一元一次不等式解决实际问题 1．为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下： 信息一 工程队 每天施工面积（单位：） 每天施工费用（单位：元） 甲 乙 信息二 甲工程队施工 所需天数与乙工程队施工 所需天数相等． (1)求x的值； (2)该工程计划先由乙工程队单独施工若干天，再由甲工程队单独继续施工，两队共施工20天，体育中心需要支付施工费用不超过45000元，则乙工程队至少施工多少天． 【答案】(1)的值是 (2)乙工程队至少施工天 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用； （1）根据甲工程队施工 所需天数与乙工程队施工 所需天数相等，列出分式方程，解方程并检验，即可求解； （2）设乙工程队单独施工m天，根据题意列出不等式，解不等式即可求解． 【详解】（1）根据题意得： 解得：， 经检验，是所列方程的解， ∴的值是300； （2）解：设乙工程队单独施工m天， 解得：, 答：乙工程队至少施工15天. 2．阅读可以有丰富知识、拓展视野、充实生活等诸多益处．为了解学生的课外阅读情况，某校随机抽查了部分学生阅读课外书册数的情况，并绘制出如下条形和扇形统计图． (1)补全条形图，并写出阅读课外书册数的众数和中位数； (2)根据随机抽查的这个结果，请估计该校1200名学生中课外阅读5册书的学生人数； (3)学校又补查了部分同学的课外阅读情况，得知这部分同学中课外阅读最少的是6册，将补查的情况与之前的数据合并后发现中位数并没有改变，直接写出最多补查的人数． 【答案】(1)丢失的数据是14，阅读书册数的众数是5，中位数是5； (2)420人； (3)3人． 【分析】本题考查条形统计图，扇形统计图等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）设阅读5册书的人数为，由统计中的信息列式计算即可； （2）该校1200名学生数课外阅读5册书的学生人数占抽查了学生的百分比即可得到结论； （3）设补查了人，根据题意列不等式即可得到结论． 【详解】（1）解：设阅读5册书的人数为，由统计图可知：， ， 条形统计图中丢失的数据是14，阅读课书册数的众数是5，中位数是5； （2）解：该校1200名学生中课外阅读5册书的学生人数为（人）， 答：该校1200名学生中课外阅读5册书的学生人数是420人； （3）解：设补查了人， 根据题意得，， ， 最多补查了3人． 3．为落实“双减”政策，某校让学生每天体育锻炼1小时，同时购买了甲、乙两种不同的足球．已知购买甲种足球共花费2500元，购买乙种足球共花费2000元，购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花30元． (1)求两种足球的单价； (2)为进一步推进课外活动，学校再次购买甲、乙两种足球共50个，若学校此次购买两种足球总费用不超过3000元，则学校至多购买乙种足球多少个？ 【答案】(1)甲种足球单价为50元，乙种足球单价为80元 (2)16个 【分析】（1）设甲种足球单价为x元，则乙种足球单价为元，由题意可得列出关于x的分式方程，进行求解即可； （2）设至多购买乙种足球a个，根据题意列出关于a的一元一次不等式，进行求解即可． 【详解】（1）解：设甲种足球单价为x元，则乙种足球单价为元，由题意可得： 解得， 经检验是原方程的解， ∴（元）， 答：甲种足球单价为50元，乙种足球单价为80元． （2）设至多购买乙种足球a个，由题意得： ∴ 解得： ∵a为整数， ∴a最大值为16， 答：最多购买乙种足球16个． 【点睛】本题考查分式方程和一元一次不等式的实际应用，明确题意列出方程和不等式是解题的关键． ►题型02 一元一次不等式（组）解决实际问题 1．某书店为了迎接“读书节”决定购进两种新书，相关信息如下： 种别 种 种 进价（元） 18 12 备注 1.用不超过16800元购进两种图书共1000； 2.种图书不少于600本； （1）已知种图书的标价是种图书标价的1.5倍，若顾客用540元购买图书，能单独购买种图书的数量恰好比单独购买种图书的数量少10本，请求出两种图书的标价； （2）经市场调查后，陈经理发现他们高估了“读书节”对图书销售的影响，便调整了销售方案，种图书每本标价降低元销售，种图书价格不变，那么书店应如何进货才能获得最大利润？ 【答案】（1）种图书的标价为27元，种图书的标价为18元；（2）当时，A种图书购进800本，种图书购进200本时，利润最大；当时，购进A、B两种图书共1000本，A种图书在600到800本之间，总利润不变，均为6000元；当时，A种图书购进600本，种图书购进400本时，利润最大． 【分析】（1）先设出两种图书的标价，再根据购买A种图书的数量恰好比单独购买B种图书的数量少10本，建立分式方程，解方程并检验即可； （2）先设出购进每种图书的数量，通过题中“备注”中的条件列出一元一次不等式组求出A种图书的数量应不少于600，不多于800本，再通过其利润表达式建立其关于m的关系式，利用一次函数的性质分类讨论得出如何进货才能获得最大利润． 【详解】解：（1）设种图书的标价为元，则A种图书的标价为元， 根据题意可得， 化简得：，解得：， 经检验：是原分式方程的解，且符合题意， 则A种图书的标价为：（元）， 答：A种图书的标价为27元，种图书的标价为18元； （2）设购进A种图书本，种图书本，总利润为元，A种图书的标价为元， 由题意得：解得：， 则总利润 故当时，时，总利润最大， 即A种图书购进800本，种图书购进200本时，利润最大； 当时，，无论值如何变化，总利润均为6000元， 即购进A、B两种图书共1000本，A种图书在600到800本之间，总利润不变，均为6000元； 当时，时，总利润最大， 即A种图书购进600本，种图书购进400本时，利润最大． 【点睛】本题综合考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用等知识，要求学生能正确理解题意，找出题中的数量关系，建立方程或不等式求出未知的量或得到其取值范围，本题涉及到了分类讨论的思想方法等． 2．2024年3月14日是第五个“国际数学日”，也叫“日”．为了营造良好的数学学习氛围，弘扬数学文化，传承数学精神．某校决定购买A，B两种数学类图书共50本．若购买9本A种图书和6本B种图书共需390元；若购买5本A种图书和8本B种图书共需310元． (1)A，B两种图书的单价分别为多少元？ (2)若学校决定购买A种图书比B种的数量至少多5本，又不超过B种的2倍，怎样购买才能使花费最少？并求出最少花费． 【答案】(1)A种图书每本30元，B种图书每本20元 (2)购买A种图书28本，购买B种图书22本时，总花费最小，为1280元 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用： （1）设A种图书每本x元，B种图书每本y元，根据购买9本A种图书和6本B种图书共需390元；购买5本A种图书和8本B种图书共需310元，列出方程组进行求解即可； （2）设该校购买A种图书m本，根据购买A种图书比B种的数量至少多5本，又不超过B种的2倍，列出不等式组，进行求解即可． 【详解】（1）解：设A种图书每本x元，B种图书每本y元． 根据题意，得 解得 答：A种图书每本30元，B种图书每本20元． （2）设该校购买A种图书m本，则购买B种图书本． 根据题意，得， 解得，且m为正整数． A种图书单价高， 购买A种图书越少越省钱． m取最小值28时，总费用最少， 最少费用为元． 答：购买A种图书28本，购买B种图书22本时，总花费最小，为1280元． 基础巩固 1．已知a＞b，下列不等式中，不正确的是（　　） A．a+4＞b+4 B．a﹣8＞b﹣8 C．5a＞5b D．﹣6a＞﹣6b 【答案】D 【分析】根据不等式的性质逐一判断，判断出不正确的不等式是哪个即可． 【详解】解：∵a＞b， ∴a＋4＞b＋4， ∴选项A正确； ∵a＞b， ∴a−8＞b−8， ∴选项B正确； ∵a＞b， ∴5a＞5b， ∴选项C正确； ∵a＞b， ∴−6a＜−6b， ∴选项D不正确． 故选D． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，要注意在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变． 2．小明一家在自驾游时，发现某高速路对行驶汽车的速度在正常情况下有如图规定．设小客车的速度为v千米/小时，则在行车道①行驶速度v应满足的条件是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查不等式的性质．根据题意已知小客车在行车道①行驶的最高限速和最低限速，即可得速度范围． 【详解】解：由题意在行车道①行驶小客车的最高限速为每小时120千米小时，而最低限速为每小时90千米小时，则， 故选：D． 3．不等式的解集在数轴上可以表示为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】此题考查了解一元一次不等式，将不等式的解集表示在数轴上，先解一元一次不等式，根据解集判断即可，正确理解数轴与不等式解集的关系是解题的关键． 【详解】解：由得， 解集表示在数轴上，只有C符合， 故选：C． 4．若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是不等式的性质．根据，可得，即可得出答案． 【详解】解：， ， ，故选项A符合题意． 故选：A． 5．已知 ，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的基本性质和解一元一次不等式，根据不等式的基本性质进行解答即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 6．如果关于x的不等式组有解，那么m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式组有解，利用取解集的方法即可确定出m的范围． 【详解】解：由有解， 解得：． 故选：D． 【点睛】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键． 7．实数在数轴上的位置如图所示，则中最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，实数与数轴，由数轴可得，再根据不等式的性质判断即可求解，掌握不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴最大的数是， 故选：． 8．如果关于的方程的解为负数，那么的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式，先解方程得出，再结合题意得出，解不等式即可得出答案． 【详解】解： ， ， ∵关于的方程的解为负数， ， 解得：， 故答案为：． 9．为增强学生体质，丰富学生课余活动，学校决定添置一批篮球和足球．已知篮球价格为元/个，足球价格为元/个．若学校计划用不超过元的总费用购买这款篮球和足球共个，且购买篮球的数量多于购买足球的数量，则学校购买篮球 个． 【答案】 【分析】本题主要考查了元一次不等式组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系．设学校购买篮球个，购买足球个，根据“学校计划用不超过元的总费用购买”和“购买篮球的数量多于购买足球的数量”列出不等式组，求解即可． 【详解】解：设学校购买篮球个，购买足球个， 根据题意得：， 解得：， 是整数， ， 故答案为：． 10．若不等式的解集是，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的性质是解答本题的关键．根据系数化为1时不等号方向改变列式求解即可． 【详解】解：∵不等式的解集是， ∴， ∴， 故答案为：． 11．以下是一位同学求解不等式时的过程： 发现有错后，请你修改正确答案. 他在分析错因时写道：单独一个数或字母，在“去分母”时，容易漏乘，应该在“1”下面标注“”或另作标记，提醒自己注意． ① “”内应修改的正确答案是 ② “去分母”这步，依据的不等式基本性质是 （请写明基本性质的具体内容） 【答案】 12 不等式两边同时乘或除以一个正数，不等号开口方向不变 【分析】本题主要考查了不等式的性质，解题的关键在于能够熟练掌握不等式的性质． ①根据去分母的方法进行求解即可； ②根据不等式的性质2：不等式的两边同时乘以或除以一个正数，不等号的方向不变，求解即可． 【详解】 解：①“”内应修改的正确答案是12； ②“去分母”这步，依据的不等式基本性质是不等式两边同时乘或除以一个正数，不等号开口方向不变． 故答案为：①12；②不等式的两边同时乘以或除以一个正数，不等号的方向不变． 12．解下列不等式，并把解在数轴上表示出来． (1)5x﹣5＜2（2+x）； (2)＞1； (3)； (4)x（x+4）≤（x+1）2+9． 【答案】(1)x＞3，数轴见解析 (2)x＞4，数轴见解析 (3)x≤4.5，数轴见解析 (4)x≤5，数轴见解析 【分析】（1）根据去括号、移项、合并同类项和系数化为1即可求出不等式的解集； （2）根据去分母、移项、合并同类项和系数化为1即可求出不等式的解集． （3）根据去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1即可求出不等式的解集． （4）去括号、移项、合并同类项和系数化为1即可求出不等式的解集． 【详解】（1）解：5x﹣5＜2（2+x） 去括号得，5x﹣5＜4+2x， 移项得，5x﹣2x＞4+5， 合并同类项，3x＞9， ∴x＞3． 在数轴上表示此不等式的解集如下： （2）解：＞1 去分母，得4x﹣1﹣3x＞3， 移项，得4x﹣3x＞3+1， 合并同类项，得x＞4， ∴x＞4． 在数轴上表示此不等式的解集如下： （3）解： 去分母，得12≥4x﹣（2x﹣3）， 去括号，得12≥4x﹣2x+3， 移项，得﹣4x+2x≥3﹣12， 合并同类项，得﹣2x≥﹣9， ∴x≤4.5． 在数轴上表示此不等式的解集如下： （4）解：x（x+4）≤（x+1）2+9 去括号，得x2+4x≤x2+2x+1+9， 移项，得x2﹣x2+4x﹣2x≤1+9， 合并同类项，得2x≤10， ∴x≤5． 在数轴上表示此不等式的解集如下： 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，能正确运用不等式的基本性质进行计算是解此题的关键． 13．解不等式组：． 【答案】1＜x＜8． 【详解】试题分析：根据不等式性质分别求出每一个不等式的解集，再根据口诀：大小小大中间找可得不等式组的解集． 试题解析：解不等式2x+5＞3（x﹣1），得：x＜8，解不等式，得：x＞1，∴不等式组的解集为：1＜x＜8． 考点：解一元一次不等式组． 14．端午节前夕，小明和小华相约一起去超市购买粽子．小明购买A品牌和B品牌的粽子各1袋，共花费55元；小华购买A品牌粽子3袋和B品牌粽子2袋，共花费135元． (1)求A、B两种品牌粽子每袋各是多少元； (2)端午假期，小明一家回老家探亲，小明妈妈想要再买一些粽子送给亲戚，于是拿出500元交给小明，让他去超市购买A、B两种品牌粽子共18袋，且想要尽量多购入B品牌粽子，请问小明最多购买B品牌粽子多少袋？ 【答案】(1)A品牌粽子每袋是25元，B品牌粽子每袋是30元 (2)小明最多购买B品牌粽子10袋 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，正确列出方程组和不等式． （1）设A品牌粽子每袋是x元，B品牌粽子每袋是y元，根据题意建立方程组，解方程组即可得到答案； （2）设购买B品牌粽子m袋，则购买A品牌的粽子为袋，根据总费用小于等于500建立不等式，解不等式即可得到答案； 【详解】（1）解：设A品牌粽子每袋是x元，B品牌粽子每袋是y元， 根据题意得， 解方程组得， 答：A品牌粽子每袋是25元，B品牌粽子每袋是30元； （2）解：设购买B品牌粽子m袋，则购买A品牌的粽子为袋，总费用为n元， 根据题意得， 整理得， ∵， ∴， ∴小明最多购买B品牌粽子10袋． 15．根据《北京市教育委员会关于印发义务教育体育与健康考核评价方案的通知》要求，自2024年起，本市初三年级体育与健康考核评价现场考试内容进行调整，其中运动能力Ⅰ中新增：乒乓球—左推右攻发球、羽毛球—正反手挑球和发高远球两项． 某学校为此在体育大课间中专门开设乒乓球和羽毛球课程，需要购买相应的体育器材上课使用，其中羽毛球拍25套，乒乓球拍50套，共花费4500元，已知一套羽毛球拍的单价比一套乒乓球拍的单价高30元． (1)求羽毛球拍和乒乓球拍一套的单价各是多少元？ (2)根据需要，学校决定再次购进乒乓球拍和羽毛球拍共50套，恰逢体育用品商店搞“优惠促销”活动，羽毛球拍一套单价打8折，乒乓球拍一套单价优惠4元．若此次学校购买两种球拍的总费用不超过2750元，且购买羽毛球拍数量不少于23套，请通过计算，设计一种符合购买要求且节约资金的购买方案． 【答案】(1)羽毛球拍一套80元，乒乓球拍一套50元 (2)羽毛球23套，乒乓球27套 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出二元一次方程组以及一元一次不等式是解此题的关键． （1）设羽毛球拍一套价格为元，乒乓球拍一套价格为元，根据“羽毛球拍25套，乒乓球拍50套，共花费4500元，一套羽毛球拍的单价比一套乒乓球拍的单价高30元”列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案； （2）设购买羽毛球拍套，则购买乒乓球拍套，根据“学校购买两种球拍的总费用不超过2750元，购买羽毛球拍数量不少于23套”求出的取值范围，即可得出购买方案，分别求出每种购买方案所花费的资金，比较即可得出答案． 【详解】（1）解：设羽毛球拍一套价格为元，乒乓球拍一套价格为元， 由题意得：， 解得：， ∴羽毛球拍一套价格为元，乒乓球拍一套价格为元； （2）解：设购买羽毛球拍套，则购买乒乓球拍套， 由题意得：， 解得：， ∵羽毛球拍数量不少于23套， ∴， ∵为整数， ∴的取值可以为、、， ∴共有种方案：方案一：羽毛球23套，乒乓球27套；方案二：羽毛球24套，乒乓球26套；方案三：羽毛球25套，乒乓球25套， 方案一所花资金为：（元）， 方案二所花资金为：（元）， 方案三所花资金为：（元）， ∵， ∴购买方案为：羽毛球23套，乒乓球27套，此时最节约资金． 能力提升 1．若关于的不等式组的整数解共有4个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次不等式组的整数解，列出关于的不等式组，再借助数轴做出正确的取舍．首先确定不等式组的解集，先利用含的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于的不等式，从而求出的范围． 【详解】解：由得，， ， 故原不等式组的解集为：， 不等式组的正整数解有4个， 其整数解应为：3、4、5、6， 的取值范围是． 故选：D 2．若数a使关于x的分式方程的解为非负数，且使关于y的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数a的和为 ． 【答案】 【分析】分别根据关于的分式方程的解为非负数和关于的不等式组的解集为，求出整数的取值范围，进而求出满足条件的的值，然后相加即可． 【详解】解：原分式方程可化为： ， 等式两边同乘得：， 解得：， 由题意可知：，且， 解得：且； 解不等式组：得：， ∵关于的不等式组的解集为， ∴， 解得：， ∴，且； ∵为整数， ∴为、、、， ∴符合条件的所有整数的和为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式方程、不等式组等知识点；综合运用上述知识求出整数的取值范围是解题的关键． 3 3．一个33人的旅游团到一家酒店住宿，酒店的客房只剩下4间一人间和若干间三人间，住宿价格是一人间每晚100元，三人间每晚130元（说明：男士只能与男士同住，女士只能与女士同住，三人间客房可以不住满，但每间每晚仍需支付130元）． （1）若该旅游团一晚的住宿房费为1530元，则他们租住了 间一人间； （2）若该旅游团租住了3间一人间，且共有19名男士，则租住一晚的住宿房费最少为 元． 【答案】 1 1600 【分析】（1）设它们租住了x间1人间，y间三人间，且x、y均为自然数，根据题意列出不等式组求解即可； （2）33人中共有19名男士，则女士有14名，根据，，再结合该团已经租住了3间1人间，可得：安排2名女士和1名男士住1人间，剩下的18名男士和12名女士住三人间，即可最节省，据此解答即可． 【详解】解：（1）设它们租住了x间1人间，y间三人间，且x、y均为自然数， 根据题意有：，解得：， ∵且x、y均为自然数， ∴可以取0和1， 当时，，不为自然数，舍去， 当时，，即他们租住了1间一人间． 故答案为：1． （2）33人中共有19名男士，则女士有14名， ∵，，该团已经租住了3间1人间， ∴安排2名女士和1名男士住1人间，剩下的18名男士和12名女士住三人间，即可最节省， 即：（元）． 故答案为：1600． 【点睛】本题主要考查不等式组的应用、有理数的运算的应用，明确题意列出不等式组是解答本题的关键． 4．阅读下列材料： 解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解：，， 又， ， ， 又，①， 同理得：②， 由①②得， 的取值范围是． 请按照上述方法，完成下列问题． (1)已知，且，，则的取值范围是　 　． (2)已知，，若成立，求的取值范围．（结果用含的式子表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查不等式，掌握不等式的应用，整体思想是解题关键． （1）先把，化为，再根据，，求出，①同理得，②①②得，进而求出的取值范围； （2）解题方法同（1）类似，不同就是当，即，注意的取值范围． 【详解】（1）， ， ， ， ， ， ，① 同理得，② ①②得， ； 故答案为：； （2）， ， ， ， ， ， ， ①， 同理得②， ②得． 5．对x，y定义一种新的运算T，规定：，其中．例如：，． (1)计算：______（用含a的代数式表示）； (2)若，关于x的不等式组恰有4个整数解，求m的取值范围； (3)若，求a的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查定义新运算，由不等式组的解集的情况求参数的范围，解一元一次方程，掌握新定义的运算法则，是解题的关键； （1）根据新运算的法则，进行计算即可； （2）根据，求出的值，进而确定x的不等式组，求解后根据不等式组有4个整数解，得到关于的不等式组，求解即可； （3）分，三种情况，分别列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴关于x的不等式组转化为：， 解得：， ∵不等式组恰有4个整数解， ∴，整数解为：1，2，3，4， ∴， ∴； （3）， 当时，则：，解得：（舍去）； 当时，则：，解得：； 当时，则：，解得：（舍去）； 故． 6．若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“友好方程”，例如：方程的解为．不等式组的解集为．因为．所以称方程为不等式组的“友好方程”． (1)请你写出一个方程，使它为不等式组的“友好方程”； (2)若关于x的方程是不等式组的“友好方程”，求k的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“友好方程”，且此时不等式组有3个整数解，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程、解不等式组，熟练掌握一元一次方程及不等式组的解法，读懂题意，理解“友好方程”的定义，是解题的关键． （1）分别解每一个不等式，得到不等式组的解集，再根据“友好方程”的定义即可得到答案； （2）分别解每一个不等式，得到不等式组的解集，再求出方程的解，根据“友好方程”的定义即可得到关于的不等式组，解不等式组即可得到答案； （3）分别解每一个不等式，得到不等式组的解集，再求出方程的解，最后根据不等式组有3个整数解，以及“友好方程”的定义进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：解不等式， 得， 解不等式， 得， 不等式组的解集为：， 的解为，且， 是不等式组的“友好方程”， 故答案为：（答案不唯一）； （2）解：解不等式， 得， 解不等式， 得， ∴的解集为：， 关于的方程的解为：， ∵关于的方程是不等式组的“友好方程”， ∴在范围内， ∴， 解得：； （3）解：解不等式， 得， 解不等式， 得， ∴的解集为：， ∵此时不等式组有3个整数解， ∴， 解得： 关于的方程的解为， ∵关于的方程是不等式组的“友好方程”， ∴在范围内， ∴， 解得：， 综上所述，． 7．阅读理解，回答问题：对于三个数a、b、c的平均数，最小的数都可以给出符号来表示，我们规定表示a，b，c这三个数的平均数，表示a，b，c这三个数中最小的数，表示a，b，c这三个数中最大的数．例如：，；，． (1)请填空： ；若，， (2)若，求x的取值范围； (3)若，求x的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据所给的新定义即可求出的值；先求出，再根据所给的新定义即可得到答案； （2）根据所给的新定义得到，解不等式组即可得到答案； （3）分当时，当时，当时，三种情况分别求出x的取值范围，再根据进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，； ∵，， ∴，，， ∴， ∴； 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：由题意得，； 当时， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴； 当时， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴； 当时， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴； 综上所述，． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用．解题的关键是弄清新定义运算的法则． 8．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的《北上》（徐则臣著）和《牵风记》（徐怀中著）两种书共50本．已知购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元；购买6本《北上》与购买7本《牵风记》的价格相同．若购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半，且购买两种书的总价不超过1600元．请问有哪几种购买方案？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少元？ 【答案】共有4种购买方案，分别为：购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和33本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为18本和32本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为19本和31本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为20本和30本；其中购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和33本费用最低，最低费用为1585元 【分析】设购买《北上》的单价分别为x元，则购买《牵风记》为元，根据 “ 购买6本《北上》与7本《牵风记》的价格相同”建立方程，求出两种书的单价；设购买《北上》的数量n本，则购买《牵风记》的数量为本，根据“购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半”和“购买两种书的总价不超过1600元”两个不等关系列不等式组解答并确定整数解即可． 【详解】解：设购买《北上》的单价分别为x元，则购买《牵风记》为元，根据题意得： ， 解得： 则（元）， 设购买《北上》的数量n本，则购买《牵风记》的数量为本，根据题意得： ， 解得： 则n可以取17、18、19、20， 当时，，共花费（元）； 当时，，共花费（元）； 当时，，共花费（元）； 当时，，共花费（元）； 又∵1585＜1590＜1595＜1600， ∴购买方案1的费用最低，最低费用为1585元． 答：共有4种购买方案分别为：购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和33本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为18本和32本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为19本和31本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为20本和30本；其中购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和33本费用最低，最低费用为1585元． 【点睛】本题考查了一元一次方程和不等式组的应用，弄清题意、确定等量关系和不等关系是解答本题的关键． $$第二章 方程与不等式 第08讲 一元一次不等式（组）（2~6分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 不等式的性质（高频考点） 考点二 解一元一次不等式（组）（高频考点） 考点三 一元一次不等式（组）的应用（高频考点） 04题型精研·考向洞悉 命题点一 不等式的性质 ►题型01 不等式的性质 命题点二 解一元一次不等式（组） ►题型01 求一元一次不等式的解集 ►题型02 求一元一次不等式的整数解 ►题型03 在数轴上表示不等式的解集 ►题型04 解一元一次不等式组 ►题型05求一元一次不等式组的整数解 ►题型06由一元一次不等式组的解集求参数 ►题型07由不等式组解集的情况求参数 命题点三 一元一次不等式（组）的应用 ►题型01 一元一次不等式解决实际问题 ►题型02 一元一次不等式（组）解决实际问题 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 不等式及不等式的基本性质 结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质 5年5考 近5年中考，一元一次不等式(组) 的解法及应用题年年考考察. 其中不等式性质、解一元一次不等式(组)，通常是以选择题，填空题形式出现，以基础为主．不等式（组）相关的应用题常会和其它考点(如二元一次方程组、二次函数等) 结合考察。学生应在复习过程中扎实掌握 一元一次不等式（组） 能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集 会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集. 不等式（组）的实际应用 能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题. 考点一 不等式的性质（高频考点） 不等式的性质 基本性质1 若a>b，则a±c > b±c 若a<b，则a±c < b±c 基本性质2 若a>b,c>0，则ac>bc（或） 基本性质3 若a>b,c<0，则ac<bc（或） 运用不等式的性质的注意事项： 1）不等式两边都要参与运算，并且是作同一种运算． 2）不等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子． 3）等式两边不能同时除以0，即0不能作除数或分母． 4） 运用不等式的性质进行不等式变形时,要特别注意性质2和性质3的区别,在乘(或除以)同一个数时,必须先弄清楚这个数是正数还是负数,如果是负数,不等号要改变方向. 1．若，则下列不等式中不一定成立的是（  ） A． B． C． D． 2．关于x的不等式(a－2)x＞a－2的解集是x＞1，则a的取值范围是(　　) A．a＞1 B．a＜1 C．a＞2 D．a＜2 考点二 解一元一次不等式（ 组）（高频考点） 1.一元一次不等式的一般形式：或. 步骤 具体做法 依据 注意事项 去分母 在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数 不等式性质2、3 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后要加括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 分配律 去括号法则 1) 去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项; 2) 括号前面是负数时,去掉括号后,括号内各项都要变号； 3）括号前面是正数时,去掉括号后,括号内各项都不变号. 移项 把含有未知数的项移到不等式左边，其它项都移到不等式右边 不等式性质1 1）移项时不要漏项; 2）将不等式中的项从一边移到另一边要变号.而在不等式同一边改变项的位置时不变号. 合并同类项 把不等式变为或的形式 合并同类项法则 1）不要漏项； 2）系数的符号处理要得当. 系数化为1 将不等式两边都除以未知数系数a，得到不等式的解 不等式性质2、3 1)不等式两边都除以未知数系数; 2)当系数为负数，不等号的方向发生改变. 2.一元一次不等式（ 组） 一元一次不等式组的概念：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，组成一元一次不等式组． 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． 不等式组解集的确定有两种方法： 1）数轴法：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 2）口诀法：大大取大，小小取小，大小、小大中间找，大大、小小取不了． 解一元一次不等式组的一般步骤： 1） 求出不等式组中各不等式的解集. 2） 将各不等式的解决在数轴上表示出来. 3） 在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 1.与一元一次不等式的特殊解有关的解题方法： 类型一 求一元一次不等式特殊解的方法 解决此类问题的关键：正确求出不等式的解集，再根据题目要求求出其特殊解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 类型二 已知一元一次不等式解集（整数解）求字母的取值． 解决此类问题的关键：先把题目中除未知数外的字母当作常数看待解不等式，再根据题目中的限制条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 2. 在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来表示不等式组的解集的. 3. 利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分. 1．写出满足不等式组的一个整数解 ． 2．若关于的不等式组有整数解，则的取值范围是 ． 考点三 一元二次方程的应用（高频考点） 一元一次不等式（组）的应用题的关键语句： 1）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 2）对一些实际问题的分析还要注意结合实际.有些不等关系隐含于生活常识中,如小王用50元去买单价为6元的笔记本.设买x本，求x的取值范围时,其问题中就隐含着所花钱数不能超过50元.由此可得出不等式 6x≤50. 用一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 命题点一 不等式的性质 ►题型01 不等式的性质 1．若，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 2．已知a>b，则下列不等式一定成立的是(     ) A．–5a>–5b B．5ac>5bc C．a–5<b+5 D．a+5>b–5 3．若实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式成立的是（  ） A．ac＞bc B．ab＞cb C．a+c＞b+c D．a+b＞c+b 4．已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 命题点二 解一元一次不等式（ 组） ►题型01 求一元一次不等式的解集 1．解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．    2．解不等式：4（x﹣1）＞5x﹣6． 3．解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 4．解不等式：． 5．解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．    6．解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． ►题型02 求一元一次不等式的整数解 1．解下列不等式： ，并求出满足不等式的非负整数解． 2．解不等式，并写出它的所有负整数解． 3．解不等式，并写出所有正整数解． 4．解不等式：，并写出它的正整数解． ►题型03 在数轴上表示不等式的解集 1．若实数的取值范围在数轴上的表示如图所示，在下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．不等式组的解集在数轴上表示为（    ） A．   B．   C．   D．   3．解不等式，下列在数轴上表示的解集正确的是（    ）． A．   B．   C．   D．   4.不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 5．不等式的解集在数轴上的表示正确的是(    ) A． B．   C．   D．   6．将某不等式组的解集表示在数轴上，下列表示正确的是（      ） A． B． C． D． ►题型04 解一元一次不等式组 1．解不等式组： 2．解不等式组：． 3．解不等式组： 4．解不等式组： 5．解不等式组： 6．解不等式组： ►题型05求一元一次不等式组的整数解 1．解不等式组：，并求该不等式组的非负整数解． 2．解不等式组，写出它的所有整数解． 3．解不等式组，并写出满足条件的非正整数解． 4．解不等式组并写出其整数解． ►题型06由一元一次不等式组的解集求参数 1．如果不等式组 的解集是，那么n的取值范围是（　 　） A． B． C． D． 2．不等式组的解集为，则a满足的条件是（　　） A． B． C． D． 3．若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是非负整数解，则所有满足条件的整数的值之和是（    ） A． B． C． D． 4．若关于x的一元一次不等式组的解为，且关于y的方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． ►题型07由不等式组解集的情况求参数 1．若不等式组的整数解只有四个，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．若关于x的不等式组有2个整数解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．若不等式组无解，则的取值范围是 ． 4．已知关于x的不等式组有解，则m的取值范围是 ． 5．关于x的不等式组恰好有2个整数解，则a的取值范围是 ． 命题点三 一元一次不等式（组）的应用 ►题型01 一元一次不等式解决实际问题 1．为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下： 信息一 工程队 每天施工面积（单位：） 每天施工费用（单位：元） 甲 乙 信息二 甲工程队施工 所需天数与乙工程队施工 所需天数相等． (1)求x的值； (2)该工程计划先由乙工程队单独施工若干天，再由甲工程队单独继续施工，两队共施工20天，体育中心需要支付施工费用不超过45000元，则乙工程队至少施工多少天． 2．阅读可以有丰富知识、拓展视野、充实生活等诸多益处．为了解学生的课外阅读情况，某校随机抽查了部分学生阅读课外书册数的情况，并绘制出如下条形和扇形统计图． (1)补全条形图，并写出阅读课外书册数的众数和中位数； (2)根据随机抽查的这个结果，请估计该校1200名学生中课外阅读5册书的学生人数； (3)学校又补查了部分同学的课外阅读情况，得知这部分同学中课外阅读最少的是6册，将补查的情况与之前的数据合并后发现中位数并没有改变，直接写出最多补查的人数． 3．为落实“双减”政策，某校让学生每天体育锻炼1小时，同时购买了甲、乙两种不同的足球．已知购买甲种足球共花费2500元，购买乙种足球共花费2000元，购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花30元． (1)求两种足球的单价； (2)为进一步推进课外活动，学校再次购买甲、乙两种足球共50个，若学校此次购买两种足球总费用不超过3000元，则学校至多购买乙种足球多少个？ ►题型02 一元一次不等式（组）解决实际问题 1．某书店为了迎接“读书节”决定购进两种新书，相关信息如下： 种别 种 种 进价（元） 18 12 备注 1.用不超过16800元购进两种图书共1000； 2.种图书不少于600本； （1）已知种图书的标价是种图书标价的1.5倍，若顾客用540元购买图书，能单独购买种图书的数量恰好比单独购买种图书的数量少10本，请求出两种图书的标价； （2）经市场调查后，陈经理发现他们高估了“读书节”对图书销售的影响，便调整了销售方案，种图书每本标价降低元销售，种图书价格不变，那么书店应如何进货才能获得最大利润？ 2．2024年3月14日是第五个“国际数学日”，也叫“日”．为了营造良好的数学学习氛围，弘扬数学文化，传承数学精神．某校决定购买A，B两种数学类图书共50本．若购买9本A种图书和6本B种图书共需390元；若购买5本A种图书和8本B种图书共需310元． (1)A，B两种图书的单价分别为多少元？ (2)若学校决定购买A种图书比B种的数量至少多5本，又不超过B种的2倍，怎样购买才能使花费最少？并求出最少花费． 基础巩固 1．已知a＞b，下列不等式中，不正确的是（　　） A．a+4＞b+4 B．a﹣8＞b﹣8 C．5a＞5b D．﹣6a＞﹣6b 2．小明一家在自驾游时，发现某高速路对行驶汽车的速度在正常情况下有如图规定．设小客车的速度为v千米/小时，则在行车道①行驶速度v应满足的条件是（　　）    A． B． C． D． 3．不等式的解集在数轴上可以表示为（    ） A．   B．   C．   D．   4．若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知 ，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 6．如果关于x的不等式组有解，那么m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．实数在数轴上的位置如图所示，则中最大的是（    ） A． B． C． D． 8．如果关于的方程的解为负数，那么的取值范围是 ． 9．为增强学生体质，丰富学生课余活动，学校决定添置一批篮球和足球．已知篮球价格为元/个，足球价格为元/个．若学校计划用不超过元的总费用购买这款篮球和足球共个，且购买篮球的数量多于购买足球的数量，则学校购买篮球 个． 10．若不等式的解集是，则的取值范围是 ． 11．以下是一位同学求解不等式时的过程： 发现有错后，请你修改正确答案. 他在分析错因时写道：单独一个数或字母，在“去分母”时，容易漏乘，应该在“1”下面标注“”或另作标记，提醒自己注意． ① “”内应修改的正确答案是 ② “去分母”这步，依据的不等式基本性质是 （请写明基本性质的具体内容） 12．解下列不等式，并把解在数轴上表示出来． (1)5x﹣5＜2（2+x）； (2)＞1； (3)； (4)x（x+4）≤（x+1）2+9． 13．解不等式组：． 14．端午节前夕，小明和小华相约一起去超市购买粽子．小明购买A品牌和B品牌的粽子各1袋，共花费55元；小华购买A品牌粽子3袋和B品牌粽子2袋，共花费135元． (1)求A、B两种品牌粽子每袋各是多少元； (2)端午假期，小明一家回老家探亲，小明妈妈想要再买一些粽子送给亲戚，于是拿出500元交给小明，让他去超市购买A、B两种品牌粽子共18袋，且想要尽量多购入B品牌粽子，请问小明最多购买B品牌粽子多少袋？ 15．根据《北京市教育委员会关于印发义务教育体育与健康考核评价方案的通知》要求，自2024年起，本市初三年级体育与健康考核评价现场考试内容进行调整，其中运动能力Ⅰ中新增：乒乓球—左推右攻发球、羽毛球—正反手挑球和发高远球两项． 某学校为此在体育大课间中专门开设乒乓球和羽毛球课程，需要购买相应的体育器材上课使用，其中羽毛球拍25套，乒乓球拍50套，共花费4500元，已知一套羽毛球拍的单价比一套乒乓球拍的单价高30元． (1)求羽毛球拍和乒乓球拍一套的单价各是多少元？ (2)根据需要，学校决定再次购进乒乓球拍和羽毛球拍共50套，恰逢体育用品商店搞“优惠促销”活动，羽毛球拍一套单价打8折，乒乓球拍一套单价优惠4元．若此次学校购买两种球拍的总费用不超过2750元，且购买羽毛球拍数量不少于23套，请通过计算，设计一种符合购买要求且节约资金的购买方案． 能力提升 1．若关于的不等式组的整数解共有4个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若数a使关于x的分式方程的解为非负数，且使关于y的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数a的和为 ． 3．一个33人的旅游团到一家酒店住宿，酒店的客房只剩下4间一人间和若干间三人间，住宿价格是一人间每晚100元，三人间每晚130元（说明：男士只能与男士同住，女士只能与女士同住，三人间客房可以不住满，但每间每晚仍需支付130元）． （1）若该旅游团一晚的住宿房费为1530元，则他们租住了 间一人间； （2）若该旅游团租住了3间一人间，且共有19名男士，则租住一晚的住宿房费最少为 元． 4．阅读下列材料： 解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解：，， 又， ， ， 又，①， 同理得：②， 由①②得， 的取值范围是． 请按照上述方法，完成下列问题． (1)已知，且，，则的取值范围是　 　． (2)已知，，若成立，求的取值范围．（结果用含的式子表示） 5．对x，y定义一种新的运算T，规定：，其中．例如：，． (1)计算：______（用含a的代数式表示）； (2)若，关于x的不等式组恰有4个整数解，求m的取值范围； (3)若，求a的值． 6．若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“友好方程”，例如：方程的解为．不等式组的解集为．因为．所以称方程为不等式组的“友好方程”． (1)请你写出一个方程，使它为不等式组的“友好方程”； (2)若关于x的方程是不等式组的“友好方程”，求k的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“友好方程”，且此时不等式组有3个整数解，直接写出m的取值范围． 7．阅读理解，回答问题：对于三个数a、b、c的平均数，最小的数都可以给出符号来表示，我们规定表示a，b，c这三个数的平均数，表示a，b，c这三个数中最小的数，表示a，b，c这三个数中最大的数．例如：，；，． (1)请填空： ；若，， (2)若，求x的取值范围； (3)若，求x的值． 8．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的《北上》（徐则臣著）和《牵风记》（徐怀中著）两种书共50本．已知购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元；购买6本《北上》与购买7本《牵风记》的价格相同．若购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半，且购买两种书的总价不超过1600元．请问有哪几种购买方案？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少元？ $$