第07讲 一元二次方程（讲练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（北京专用）

第二章 方程与不等式 第07讲 一元二次方程（2~7分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 一元二次方程的解法（高频考点） 考点二 根据一元二次方程根的情况求参数（高频考点） 考点三 一元二次方程的应用（高频考点） 04题型精研·考向洞悉 命题点一 一元二次方程的解法 ►题型01 解一元二次方程 命题点二 一元二次方程根的情况 ►题型01 判断一元二次方程的根的情况 ►题型02 由方程根确定字母的值 命题点三 一元二次方程的应用 ►题型01 一元二次方程的传播问题 ►题型02 一元二次方程的增长率问题 ►题型03 一元二次方程的与图形有关的问题 ►题型04 一元二次方程的数字问题 ►题型05 一元二次方程的经济问题 ►题型06 一元二次方程的几何动态问题 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 一元二次方程的解法 （1）理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程； （2）会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等； 5年5考 （1）本考点内容以考查解一元二次方程、根的判别式、一元二次方程的应用题为主。 （2）预计2025年北京中考还将继续考查上述的3个题型，复习过程中要多注意各基础考点的巩固，特别是解法中公式法的公式，不要和后续二次函数顶点坐标的纵坐标公式记混了． 一元二次方程的应用 能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性. 近10年连续考查 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 一元二次方程的解法（高频考点） 解一元二次方程的方法 基本思路 通过“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原方程的解. 特征 步骤 解法 直接开平方法 形如ax2=b（a≠0）的一元二次方程 1）方程两边同时除以a，得x2= 2）两边分别开方得x1=，x= - 配方法 可配成 (mx+a) 2=b 形式的 一元二次方程 1）移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项； 2）二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数； 3）配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为 (mx+a)2=b（b≥0）的形式； 4）求解：判断右边等式符号，开平方并求解. 【注意】：①当b <0时，方程无解 ②当b≥0时，方程的根是x= 因式分解法 可化成 (ax+b)(cx+d)=0形式的 一元二次方程 1）将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0； 2）将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式； 3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； 4）求解. 口诀：右化零，左分解，两因式，各求解. 公式法 适用所有 一元二次方程 1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算)； 2）求出b2-4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解； 3）如果b2-4ac≥0, 将a、b、c的值代入求根公式：； 4）最后求出x1，x2。 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解法选择： 1）当a=1，b为偶数，c≠0时，首选配方法； 2）当b=0时，首选直接开平方法； 3）当c=0时，可选因式分解法或配方法； 4）当a=1，b≠0，c≠0时，可选配方法或因式分解法； 5）当a≠1，b≠0，c≠0时，可选公式法或因式分解法. 考点二 一元二次方程的根的情况（高频考点） 根的判别式 一般地，式子叫做一元二次方程 根的判别式，通常. 根的情况与判别式的关系 ＞0 方程有两个不相等的实根: =0 方程有两个相等的实根： ＜0 方程无实根 考点三 一元二次方程的应用（高频考点） 用一元二次方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 与一元二次方程有关应用题的常见类型： 1）变化率问题 解决这类问题的关键是理解“增长了”与“增长到”、“降低了”与“降低到”的区别，尤其要理解第二次变化是在第一次变化的基础上发生的.解决此类问题时，务必要记住公式a(1±x)n=b，其中a为增长(或降低)的基础数，x为增长(或降低)的变化率，n为增长(或降低)的次数，b为增长(或降低)后的数量.即： 2）利润和利润率问题 在日常生活中，经常遇到有关商品利润的问题，解决这类问题的关键是利用其中已知量与未量之间的等量关系建立方程模型，并通过解方程来解决问题.要正确解答利润或利润率问题，首先要理解进价、售价、利润及利润率之间的关系：利润=售价一进价；利润率=利润×100%. 3)面积问题 几何图形的面积问题是中考的热点问题，通常涉及三角形、长方形、正方形等图形的面积，需利用图形面积公式，从中找到等量关系解决问题.有关面积的应用题，均可借助图形加以分析，以便于理解题意. 常见类型1：如图1，矩形ABCD长为a，宽为b，空白“回形”道路的宽为x，则阴影部分的面积为(a−2x)(b−2x)． 常见类型2：如图2，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则空白部分的面积为(a−x)(b−x)． 常见类型3：如图3，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则4块空白部分的面积之和能转化为(a−x)(b−x)． 4)分裂（传播）问题 解决此类问题的关键是原细胞或传染源在不在总数中.其一般思路是先分析问题情境，明确是分裂问题还是传播问题，然后找出问题中的数量关系，再建立适当的数学模型求解. ①传播问题：传染源在传播过程中，原传染源的数量计入传染结果，若传染源数量为1，每一个传染源传染x个个体，则第一轮传染后，感染个体的总数为1+x，第二轮传染后感染个体的总数为 (1+x)2. ②分裂问题：细胞在分裂过程中，原细胞数目不计入分裂总数中，若原细胞数目为1，每一个细胞分裂为x 个细胞，则第一次分裂后的细胞总数为x，第二次分裂后的细胞总数为x2. 5）碰面问题（循环）问题 ① 重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m． ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场 ∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分． ∴m =n（n－1） ② 不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m． ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场． ∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠． ∴m = n（n－1） 命题点一 一元二次方程的解法 ►题型01 解一元二次方程 1．解下列方程 (1)； (2)． 2．解方程： (1) (2)． 3．解方程： (1)． (2)． 命题点二 一元二次方程的根的问题 ►题型01 判断一元二次方程的根的情况 1．已知方程，则方程的根的情况是（   ） A．方程没有实数根 B．方程的两个实数根情况不确定 C．方程有两个不相等的实数根 D．方程有两个相等的实数根 2．关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数由m的值确定 3．关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 4．一元二次方程的根的情况为（    ） A．无实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．不能判定 5．一元二次方程的根的情况是（    ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 6．已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值． ►题型02 由方程根确定字母的值 1．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ） A． B． C．4 D．16 2．若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 3．关于x的方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根． 4．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若为正整数，且该方程的根都是整数，求的值． 5．已知方程， (1)求证：对任意实数m，方程总有两个实数根； (2)任给一个m值，使得方程有两个不同的正实数根，并求出方程的两根． 命题点三 一元二次方程的应用 ►题型01 一元二次方程的传播问题 1．有一种“微信点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案在朋友圈中发布，同时还规定“@”一定数量的其他人，邀请他们也参与活动．小明被邀请参加一次“微信点名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人，如果收到小明邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人，且从小明开始算起，转发两轮后共有91人被邀请参与该活动．设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为（    ） A． B． C． D． 2．在一次聚会上，每两个人之间都互相赠送了一份礼物，若一共送出了90份礼物，则参加聚会的人有（    ） A．9人 B．10人 C．11人 D．12人 3．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，求这种植物每个支干长出的小分支个数 ►题型02 一元二次方程的增长率问题 1．自电影《长津湖》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，前三天累计票房收入达18亿元，若将增长率记作x，则方程可列为（   ） A． B． C． D． 2．2024年北京第一季度GDP约为1.058万亿元，第三季度GDP约为1.167万亿元，设2024年北京平均每季度GDP增长率为，则可列关于的方程为（    ） A． B． C． D． 3．某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元． (1)商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率； (2)市场调研表明：当每个商品售价为20元时，平均每天能够售出40个，当销售单价每降1元时，平均每天就能多售出10个．在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品应降价多少元？最大利润是多少？ 4．芯片目前是全球紧缺资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发展新兴产业．某芯片公司引进了1条内存芯片生产线，开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个． (1)已知第二、三季度生产量的平均增长率相同，求第二、三季度生产量的平均增长率； (2)经调查发现，1条生产线的最大产能是600万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度．该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？ ►题型03 一元二次方程的与图形有关的问题 1．如图，在一个长为，宽为的矩形地面上修等宽的三条互相垂直的道路，余下部分种草，草地面积为，求道路的宽度．设小路的宽为，依据上述条件，可列出一元二次方程： ． 2．手卷是国画装裱中横幅的一种体式，以能握在手中顺序展开阅览得名，它主要由“引首”、“画心”、“拖尾”三部分组成（这三部分都是矩形形状），分隔这三部分的其余部分统称为“隔水”．下图中手卷长，宽，引首和拖尾完全相同，其宽度都为，若隔水的宽度为，画心的面积为，根据题意，可列方程是 ． 3．某同学利用电脑进行画册封面设计，画册封面是矩形，该矩形相邻两边长分别为和，封面内部是一个矩形科技画，科技画四周留有相同的宽度．已知科技画的面积是，求科技画四周的宽度． 4．列方程解决实际问题： 为了丰富学生的课余生活，培养学生德智体美劳全面发展，101中教育集团成立了众多种类的学生社团．其中金鹏社团会定期组织学生参与农耕劳作，感受劳动之美．如图①，在生态大棚中有一块矩形空地，其中边的长比边的2倍少1，计划在矩形空地上一边增加，另一边增加，构成一个正方形区域，作为学生栽种鲜花的劳动教育基地． (1)直接写出正方形区域的边长是________m； (2)在实际建造时，从校园美观和实用的角度考虑，按图②的方式进行改造，先在正方形区域一侧建成宽的画廊，再在余下地方建成宽度相等的两条小道后，其余地方栽种鲜花，如果栽种鲜花区域的面积为90，求小道的宽度． 5．如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为19米，若停车位总占地面积为390平方米，停车场内车道的宽都相等，求车道的宽． ►题型04 一元二次方程的数字问题 1．如图所示的是某月的日历表，在此日历表上可以用一个正方形圈出3×3个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．如果圈出的9个数中，最小数x与最大数的积为192，那么根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 2．一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数字的乘积等于72，若设个位数字为x，列出方程为 ． ►题型05 一元二次方程的经济问题 1．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现：若这种衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．现在要使得盈利达到1050元，问则应降价多少元？若设这种衬衫每件降价x元，则可列出方程为（　　） A． B． C． D． 2．今年是中华人民共和国成立75周年，国庆期间一款主题为“强国有我”的纪念品深受欢迎．某商家将该款每件进价为20元的纪念品，按每件24元出售，每日可售出40件．经市场调查发现，这种纪念品每件涨价1元，日销售量会减少2件． (1)每件纪念品涨价多少元时，每日的利润为280元？ (2)每件纪念品应涨价多少元，才能使每日利润最大，最大利润是多少元？ 3．某超市销售一种饮料，平均每天可售出80箱，每箱利润100元．天气渐热，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价，据测算，若每箱饮料每降价1元，每天可多售出2箱．针对这种饮料的销售情况，请解答以下问题： (1)当每箱饮料降价10元时，这种饮料每天销售获利多少元？ (2)为了尽可能地清理库存，并且要使每天销售饮料获利9600元，问每箱应降价多少元？ 4．成都“蒲江猕猴桃”是维含量特别高的红心猕猴桃，营养丰富，老少皆宜，某种植基地年开始种植“猕猴桃”亩，该基地这两年“猕猴桃”种植面积的平均年增长率为． (1)求到年“猕猴桃”的种植面积达到多少亩？ (2)市场调查发现，当“猕猴桃”的售价为元/千克时，每天能售出千克，售价每降价元，每天可多售出千克． ①若降价元，每天能售出多少千克？（用的代数式表示） ②为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地“猕猴桃”的平均成本价为元/千克，若要销售“猕猴桃”每天获利元，则售价应降低多少元？ ►题型06 一元二次方程的几何动态问题 1．如图，中，，，，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则（　　）秒后，的面积等于4． A．1 B．2 C．4 D．1或4 2．如图，在中，，，，现有动点P从点B出发，沿射线BA方向运动，动点Q从点C出发，沿射线方向运动，已知点P的速度是，点Q的速度是，它们同时出发，设运动时间是    (1)当时，求的面积. (2)经过多少秒时，的面积是8. 3．如图，在直角坐标系xOy中，四边形OACB为矩形，C点的坐标为的（3，6），若点P从O点沿OA向点A以1cm/s的速度运动，点Q从点A沿AC以2cm/s的速度运动，如果P，Q分别从O，A同时出发，问： (1)经过多长时间△PAQ的面积为2？ (2)△PAQ的面积能否达到3？请说明理由； (3)经过多长时间，P、Q两点之间的距离为cm？ 05分层训练·巩固提升 基础巩固 1．将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为（   ） A．或 B． C．或 D． 3．据统计，2021年全国城镇居民人均消费支出约为万元，2023年提升到约万元．如果设这两年城镇居民人均消费支出的年平均增长率为x，那么根据题意可以列方程为（   ） A． B． C． D． 4．若关于的方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 5．将一根长为的铁丝剪成两段，每段分别围成正方形，它们面积之和等于．设一个正方形的边长为，可列得的方程是（   ） A． B． C． D． 6．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮被感染后就会有144台电脑被感染．每轮感染中平均一台电脑会感染 台电脑． 7．某厂家2022年1~5月份的某种产品产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家这种产品产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程 ． 8．如图，学校计划在一块长，宽的矩形空地内修建两块相同的矩形绿地，使得两块矩形绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，若两个矩形绿地面积共，那么人行通道的宽度是多少米？设人行通道的宽度是x米，可列方程为 ．    9．关于x的一元二次方程x2＋（2m＋1）x＋m2-1=0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根． 10．流感是一种传染性极高的疾病，我们要加强预防和治疗．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有个人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为多少？ 11．小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，已知原作品的长为，宽为，在装裱后左右两边的边宽相等，天头长与地头长也相等，且均为一边宽的5倍，如果在装裱后，原作品的面积恰好是装裱后作品总面积的，那么装裱后左右两边的边宽分别是多少？ 能力提升 1．若方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ． 2.已知一元二次方程的两个根为，则 ． 3．已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． 4．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，方程总有两个实数根； (2)如果此方程有一个根小于1，求m的取值范围． 5．学校计划利用一片空地建一个长方形自行车车棚，其中一面靠墙，墙的长度为8米．在与墙平行的一面开一个2米宽的门，已知现有的木板材料可修建的总长为26米，且全部用于除墙外其余三面外墙的修建． (1)长方形车棚与墙垂直的一面至少为__________米； (2)如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路（如图中阴影），若车棚与墙垂直的一面长按（1）中的最小长度，则停放电动车的区域面积能否达到54平方米，若能，此时小路的宽度是多少米？若不能，请说明理由． 6．将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用，如利用配方法求最小值，求的最小值． 解：； 不论取何值，总是非负数，即， ；即当时，有最小值， 根据上述材料，解答下列问题： (1)求的最小值； (2)若，，比较、的大小（写出比较过程）； (3)若三角形中某两边、满足，求． 7．抖音直播卖货一成为一些商家重要的销售手段，同时也为政府销售农产品提供了一个新的销售平台． 某县为帮助本县的花椒种植户销售花椒，在某电商在平台上对本县一花椒种植户的袋装（500g/袋）花椒面进行直播销售． 该袋装花椒各种成本为20元/袋，如果按40元/袋销售，每天可卖出2000袋，通过市场调查发现，每袋烙锅辣椒面售价每降低1元，日销售量可增加200袋 (1)若要每天获利43200元，商家又要尽快销售完所有花椒，每袋售价降价多少元？ (2)该花椒种植户在线上销售的同时，也在线下实体店售卖同时销售，标价为50元/袋．为提高市场竞争力，增加线下销售量，种植户决定打折销售，但其售价不低于（1）中的售价又不高于45元，则线下销售价格的最少可以打几折？最多可以打几折？ 8．阅读下列材料： 北京市正围绕着“政治中心、文化中心、国际交往中心、科技创新中心”的定位，深入实施“人文北京、科技北京、绿色北京”的发展战略．“十二五”期间，北京市文化创意产业展现了良好的发展基础和巨大的发展潜力，已经成为首都经济增长的支柱产业． 2011年，北京市文化创意产业实现增加值1938.6亿元，占地区生产总值的12.2%．2012年，北京市文化创意产业继续呈现平稳发展态势，实现产业增加值2189.2亿元，占地区生产总值的12.3%，是第三产业中仅次于金融业、批发和零售业的第三大支柱产业．2013年，北京市文化产业实现增加值2406.7亿元，比上年增长9.1%，文化创意产业作为北京市支柱产业已经排到了第二位．2014年，北京市文化创意产业实现增加值2749.3亿元，占地区生产总值的13.1%，创历史新高，2015年，北京市文化创意产业发展总体平稳，实现产业增加值3072.3亿元，占地区生产总值的13.4%． 根据以上材料解答下列问题： (1)用折线图将2011－2015年北京市文化创意产业实现增加值表示出来，并在图中标明相应数据； (2)根据绘制的折线图中提供的信息，预估2016年北京市文化创意产业实现增加值约_____________亿元，你的预估理由_____________． 9．通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的． 某小组决定使用20斤清水，对某件存留1斤污水衣服分别进行漂洗，且每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水． (1)该小组设计了如下两个方案，请你完善方案内容： 方案一：采用一次漂洗的方式. 将20斤清水一次用掉，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________； 方案二：采用两次漂洗的方式. 若第一次用14斤清水，第二次用6斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________；若在第一次用斤清水，第二次用斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________（用含有x的代数式表示）； 通过计算分析，方案__________（“一”或“二”）的漂洗效果更好. (2)若采用方案二，第一次用__________斤清水，漂洗效果最好，二次漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________． $$第二章 方程与不等式 第07讲 一元二次方程（2~7分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 一元二次方程的解法（高频考点） 考点二 根据一元二次方程根的情况求参数（高频考点） 考点三 一元二次方程的应用（高频考点） 04题型精研·考向洞悉 命题点一 一元二次方程的解法 ►题型01 解一元二次方程 命题点二 一元二次方程根的情况 ►题型01 判断一元二次方程的根的情况 ►题型02 由方程根确定字母的值 命题点三 一元二次方程的应用 ►题型01 一元二次方程的传播问题 ►题型02 一元二次方程的增长率问题 ►题型03 一元二次方程的与图形有关的问题 ►题型04 一元二次方程的数字问题 ►题型05 一元二次方程的经济问题 ►题型06 一元二次方程的几何动态问题 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 一元二次方程的解法 （1）理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程； （2）会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等； 5年5考 （1）本考点内容以考查解一元二次方程、根的判别式、一元二次方程的应用题为主。 （2）预计2025年北京中考还将继续考查上述的3个题型，复习过程中要多注意各基础考点的巩固，特别是解法中公式法的公式，不要和后续二次函数顶点坐标的纵坐标公式记混了． 一元二次方程的应用 能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性. 近10年连续考查 考点一 一元二次方程的解法（高频考点） 解一元二次方程的方法 基本思路 通过“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原方程的解. 特征 步骤 解法 直接开平方法 形如ax2=b（a≠0）的一元二次方程 1）方程两边同时除以a，得x2= 2）两边分别开方得x1=，x= - 配方法 可配成 (mx+a) 2=b 形式的 一元二次方程 1）移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项； 2）二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数； 3）配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为 (mx+a)2=b（b≥0）的形式； 4）求解：判断右边等式符号，开平方并求解. 【注意】：①当b <0时，方程无解 ②当b≥0时，方程的根是x= 因式分解法 可化成 (ax+b)(cx+d)=0形式的 一元二次方程 1）将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0； 2）将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式； 3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； 4）求解. 口诀：右化零，左分解，两因式，各求解. 公式法 适用所有 一元二次方程 1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算)； 2）求出b2-4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解； 3）如果b2-4ac≥0, 将a、b、c的值代入求根公式：； 4）最后求出x1，x2。 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解法选择： 1）当a=1，b为偶数，c≠0时，首选配方法； 2）当b=0时，首选直接开平方法； 3）当c=0时，可选因式分解法或配方法； 4）当a=1，b≠0，c≠0时，可选配方法或因式分解法； 5）当a≠1，b≠0，c≠0时，可选公式法或因式分解法. 考点二 一元二次方程的根的情况（高频考点） 根的判别式 一般地，式子叫做一元二次方程 根的判别式，通常. 根的情况与判别式的关系 ＞0 方程有两个不相等的实根: =0 方程有两个相等的实根： ＜0 方程无实根 考点三 一元二次方程的应用（高频考点） 用一元二次方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 与一元二次方程有关应用题的常见类型： 1）变化率问题 解决这类问题的关键是理解“增长了”与“增长到”、“降低了”与“降低到”的区别，尤其要理解第二次变化是在第一次变化的基础上发生的.解决此类问题时，务必要记住公式a(1±x)n=b，其中a为增长(或降低)的基础数，x为增长(或降低)的变化率，n为增长(或降低)的次数，b为增长(或降低)后的数量.即： 2）利润和利润率问题 在日常生活中，经常遇到有关商品利润的问题，解决这类问题的关键是利用其中已知量与未量之间的等量关系建立方程模型，并通过解方程来解决问题.要正确解答利润或利润率问题，首先要理解进价、售价、利润及利润率之间的关系：利润=售价一进价；利润率=利润×100%. 3)面积问题 几何图形的面积问题是中考的热点问题，通常涉及三角形、长方形、正方形等图形的面积，需利用图形面积公式，从中找到等量关系解决问题.有关面积的应用题，均可借助图形加以分析，以便于理解题意. 常见类型1：如图1，矩形ABCD长为a，宽为b，空白“回形”道路的宽为x，则阴影部分的面积为(a−2x)(b−2x)． 常见类型2：如图2，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则空白部分的面积为(a−x)(b−x)． 常见类型3：如图3，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则4块空白部分的面积之和能转化为(a−x)(b−x)． 4)分裂（传播）问题 解决此类问题的关键是原细胞或传染源在不在总数中.其一般思路是先分析问题情境，明确是分裂问题还是传播问题，然后找出问题中的数量关系，再建立适当的数学模型求解. ①传播问题：传染源在传播过程中，原传染源的数量计入传染结果，若传染源数量为1，每一个传染源传染x个个体，则第一轮传染后，感染个体的总数为1+x，第二轮传染后感染个体的总数为 (1+x)2. ②分裂问题：细胞在分裂过程中，原细胞数目不计入分裂总数中，若原细胞数目为1，每一个细胞分裂为x 个细胞，则第一次分裂后的细胞总数为x，第二次分裂后的细胞总数为x2. 5）碰面问题（循环）问题 ① 重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m． ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场 ∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分． ∴m =n（n－1） ② 不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m． ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场． ∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠． ∴m = n（n－1） 命题点一 一元二次方程的解法 ►题型01 解一元二次方程 1．解下列方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）将常数项移到等式的右边，利用配方法进行求解即可； （2）利用提公因式法因式分解，进行求解即可． 【详解】（1）解： ， ∴； （2） ， ∴． 2．解方程： (1) (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程． （1）把移到方程右边，方程两边同时加上1，然后利用配方法解一元二次方程即可． （2）把方程右边移到方程左边，然后提公因式，利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： ， （2）解： ， 3．解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程 （1）根据题意利用公式法求两个解． （2）根据题意利用十字相乘法求两个解． 【详解】（1）解：（1）， 由于， ， ， ， （2）解：（2）， ， ， ， ， 命题点二 一元二次方程的根的问题 ►题型01 判断一元二次方程的根的情况 1．已知方程，则方程的根的情况是（   ） A．方程没有实数根 B．方程的两个实数根情况不确定 C．方程有两个不相等的实数根 D．方程有两个相等的实数根 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，能够熟练运用判别式判断根的情况是解题关键．利用判别式判断二次方程的根的情况即可． 【详解】， ， ， 方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 2．关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数由m的值确定 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，根据分别对应的是有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ 故选：A 3．关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据方程的根的判别式判断即可．熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】整理为一般式为， ， 方程有两个不等实根. 故选A. 4．一元二次方程的根的情况为（    ） A．无实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．不能判定 【答案】B 【分析】利用判别式，判断其结果的符号即可得出结论． 【详解】解：， 有两个不相等的实数根， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式时，方程有两个不相等的实数根是解题的关键． 5．一元二次方程的根的情况是（    ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【答案】C 【分析】先求出的值，再判断出其符号即可． 【详解】解：一元二次方程即为， ， ， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：①当，方程有两个不相等的实数根；②当，方程有两个相等的实数根；③当，方程没有实数根． 6．已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值． 【答案】（1）见详解；（2） 【分析】（1）由题意及一元二次方程根的判别式可直接进行求证； （2）设关于的一元二次方程的两实数根为，然后根据一元二次方程根与系数的关系可得，进而可得，最后利用完全平方公式代入求解即可． 【详解】（1）证明：由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴该方程总有两个实数根； （2）解：设关于的一元二次方程的两实数根为，则有：， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． ►题型02 由方程根确定字母的值 1．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ） A． B． C．4 D．16 【答案】C 【分析】根据方程的根的判别式即可．本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】∵方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴， 解得． 故选C． 2．若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，先由一元二次方程定义可得，再结合一元二次方程根的判别式与根的关系即可解决问题． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴，且， 解得且； 故选：B． 3．关于x的方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根． 【答案】，此时方程的根为 【分析】直接利用根的判别式≥0得出m的取值范围进而解方程得出答案． 【详解】解：∵关于x的方程x2-2x+2m-1=0有实数根， ∴b2-4ac=4-4（2m-1）≥0， 解得：m≤1， ∵m为正整数， ∴m=1， ∴此时二次方程为：x2-2x+1=0， 则（x-1）2=0， 解得：x1=x2=1． 【点睛】此题主要考查了根的判别式，正确得出m的值是解题关键． 4．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若为正整数，且该方程的根都是整数，求的值． 【答案】（1）k＜；（2）2 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围； （2）找出k范围中的整数解确定出k的值，经检验即可得到满足题意k的值． 【详解】解：（1）∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴． 解得：k＜； （2）∵k为正整数， ∴k=1或2． 当k=1时，方程为，两根为，非整数，不合题意； 当k=2时，方程为，两根为或，都是整数，符合题意． ∴k的值为2． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系是解答的关键． 5．已知方程， (1)求证：对任意实数m，方程总有两个实数根； (2)任给一个m值，使得方程有两个不同的正实数根，并求出方程的两根． 【答案】(1)证明见解析 (2)当时，（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了根的判别式和解一元二次方程，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键． （1）先根据根的判别式求出，再由判别式证明即可； （2）把代入方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）已知方程， 其中， ， 对任意实数m，方程总有两个实数根． （2）当时， 原式变为， 整理得， 则或， 解得． 命题点三 一元二次方程的应用 ►题型01 一元二次方程的传播问题 1．有一种“微信点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案在朋友圈中发布，同时还规定“@”一定数量的其他人，邀请他们也参与活动．小明被邀请参加一次“微信点名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人，如果收到小明邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人，且从小明开始算起，转发两轮后共有91人被邀请参与该活动．设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意，根据从小明开始算起，转发两轮后共有91人被邀请参与该活动列出一元二次方程即可． 【详解】解：设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为， 故选：D． 2．在一次聚会上，每两个人之间都互相赠送了一份礼物，若一共送出了90份礼物，则参加聚会的人有（    ） A．9人 B．10人 C．11人 D．12人 【答案】B 【分析】设参加聚会的同学有x人，则每人需赠送出份礼物，根据所有人共送了90份礼物，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设参加聚会的同学有x人，则每人需赠送出份礼物， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴参加聚会的同学有10人． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，求这种植物每个支干长出的小分支个数 【答案】6 【分析】设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，根据主干、支干和小分支的总数是43，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去），． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． ►题型02 一元二次方程的增长率问题 1．自电影《长津湖》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，前三天累计票房收入达18亿元，若将增长率记作x，则方程可列为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．第一天为2，根据增长率为x得出第二天为，第三天为，根据三天累计为18，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：根据题意得：． 故选：D． 2．2024年北京第一季度GDP约为1.058万亿元，第三季度GDP约为1.167万亿元，设2024年北京平均每季度GDP增长率为，则可列关于的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．根据题意及一元二次方程增长率问题列出方程即可． 【详解】解：根据题意列出方程为， 故选：C． 3．某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元． (1)商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率； (2)市场调研表明：当每个商品售价为20元时，平均每天能够售出40个，当销售单价每降1元时，平均每天就能多售出10个．在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品应降价多少元？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)要想获得最大利润，每个商品降价1元，最大利润是250元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用-平均增长率问题，二次函数的应用，找准等量关系，正确构造二次函数是解题的关键． （1）设商城每次降价的百分率为x，根据题意，得，解方程即可． （2）设降价x元，则每个盈利元，每天可售出个，每天的总利润为w元，利用每天销售获得的总利润＝每件的销售利润×每天的销售量，构造二次函数，根据抛物线的最值，结合每个商品的售价不低于进价，解之即可得出x的值即可求得． 【详解】（1）解：设商城每次降价的百分率为x， 根据题意，得， 解得（舍去）， 答：商城每次降价的百分率为． （2）解：设降价y元，则每个盈利元，每天可售出个，每天的总利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，利润最大，为250元， 答：要想获得最大利润，每个商品降价1元，最大利润是250元． 4．芯片目前是全球紧缺资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发展新兴产业．某芯片公司引进了1条内存芯片生产线，开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个． (1)已知第二、三季度生产量的平均增长率相同，求第二、三季度生产量的平均增长率； (2)经调查发现，1条生产线的最大产能是600万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度．该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？ 【答案】(1) (2)4条 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设第二、三季度生产量的平均增长率为，利用第三季度的生产量第一季度的生产量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设应该再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为万个季度，根据该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合在增加产能同时又要节省投入成本，即可得出应该再增加4条生产线． 【详解】（1）解：设第二、三季度生产量的平均增长率为x， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：第二、三季度生产量的平均增长率为． （2）设应该再增加m条生产线， 则每条生产线的最大产能为万个/季度， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又∵在增加产能同时又要节省投入成本， ∴． 答：应该再增加4条生产线． ►题型03 一元二次方程的与图形有关的问题 1．如图，在一个长为，宽为的矩形地面上修等宽的三条互相垂直的道路，余下部分种草，草地面积为，求道路的宽度．设小路的宽为，依据上述条件，可列出一元二次方程： ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，利用平移把草坪变为矩形是本题的关键．利用平移可把草坪变为一个长为，宽为的矩形，从而根据题中的等量关系即可得出方程． 【详解】解：设小路宽为，根据题意得：， 故答案为：． 2．手卷是国画装裱中横幅的一种体式，以能握在手中顺序展开阅览得名，它主要由“引首”、“画心”、“拖尾”三部分组成（这三部分都是矩形形状），分隔这三部分的其余部分统称为“隔水”．下图中手卷长，宽，引首和拖尾完全相同，其宽度都为，若隔水的宽度为，画心的面积为，根据题意，可列方程是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查一元二次方程的应用，设隔水的宽度为，分别表示出画心的长和宽，根据面积列出方程． 【详解】解：根据题意，得． 答案为：． 3．某同学利用电脑进行画册封面设计，画册封面是矩形，该矩形相邻两边长分别为和，封面内部是一个矩形科技画，科技画四周留有相同的宽度．已知科技画的面积是，求科技画四周的宽度． 【答案】科技画四周的宽度为1cm 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设科技画四周的宽度为 ，则科技画的长为，宽为，根据科技画的面积是，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设科技画四周的宽度为 ，则科技画的长为，宽为， 由题意得：， 整理得：， 解得： 不符合题意，舍去， 答：科技画四周的宽度为． 4．列方程解决实际问题： 为了丰富学生的课余生活，培养学生德智体美劳全面发展，101中教育集团成立了众多种类的学生社团．其中金鹏社团会定期组织学生参与农耕劳作，感受劳动之美．如图①，在生态大棚中有一块矩形空地，其中边的长比边的2倍少1，计划在矩形空地上一边增加，另一边增加，构成一个正方形区域，作为学生栽种鲜花的劳动教育基地． (1)直接写出正方形区域的边长是________m； (2)在实际建造时，从校园美观和实用的角度考虑，按图②的方式进行改造，先在正方形区域一侧建成宽的画廊，再在余下地方建成宽度相等的两条小道后，其余地方栽种鲜花，如果栽种鲜花区域的面积为90，求小道的宽度． 【答案】(1)12 (2)小道的宽度为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用； （1）设正方形区域的边长为，则，，根据“边的长比边的2倍少1”，列出元方程，解之即可； （2）设小道的宽度为，则栽种鲜花的区域可合成长，宽的矩形， 根据“栽种鲜花区域的面积为”，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设正方形区域的边长为，则，， ∵边的长比边的2倍少1 ∴， 解得：， 故答案为：； （2）设小道的宽度为，则栽种鲜花的区域可合成长，宽的矩形， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意舍去）， 答：小道的宽度为． 5．如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为19米，若停车位总占地面积为390平方米，停车场内车道的宽都相等，求车道的宽． 【答案】车道的宽为4米 【分析】设车道宽度为米，根据停车位总占地面积为390平方米，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设车道宽度为米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：车道的宽为4米． ►题型04 一元二次方程的数字问题 1．如图所示的是某月的日历表，在此日历表上可以用一个正方形圈出3×3个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．如果圈出的9个数中，最小数x与最大数的积为192，那么根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，以及利用最大数与最小数的积为192，列出方程即可． 【详解】解：根据图表可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为x，则最大数为x+16， 根据题意得出：x（x+16）=192， 故选B． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据已知得出最大数与最小数的差为16是解题关键． 2．一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数字的乘积等于72，若设个位数字为x，列出方程为 ． 【答案】 【分析】设个位数字为x，则十位数字为，再由个位数字与十位数字的乘积等于72列出方程即可． 【详解】解：设个位数字为x，则十位数字为， 由题意得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了列一元二次方程，正确表示出这个两位数的十位数字是解题的关键． ►题型05 一元二次方程的经济问题 1．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现：若这种衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．现在要使得盈利达到1050元，问则应降价多少元？若设这种衬衫每件降价x元，则可列出方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．设这种衬衫每件降价x元，则每件盈利元，平均每天可售出件，根据盈利达到1050元，列出方程即可． 【详解】解：设这种衬衫每件降价x元，则每件盈利元，平均每天可售出件， 根据题意得：． 故选：B． 2．今年是中华人民共和国成立75周年，国庆期间一款主题为“强国有我”的纪念品深受欢迎．某商家将该款每件进价为20元的纪念品，按每件24元出售，每日可售出40件．经市场调查发现，这种纪念品每件涨价1元，日销售量会减少2件． (1)每件纪念品涨价多少元时，每日的利润为280元？ (2)每件纪念品应涨价多少元，才能使每日利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)当涨价6元或10元时，每日利润为280元 (2)当涨价8元时获得利润最大，最大利润为288元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意列出方程是解答关键． （1）设当每件纪念品涨元时，每日的利润为280元，根据题意列出方程求解； （2）设当涨价元时，每日利润为元，根据题意列出方程求解． 【详解】（1）解：设当每件纪念品涨元时，每日的利润为280元， 根据题意得 整理得 解得：，． 答：当涨价6元或10元时，每日利润为280元． （2）解：设当涨价元时，每日利润为元， 根据题意得 整理得 ∵，抛物线开口向下， 所以，当时，． 答：当涨价8元时获得利润最大，最大利润为288元． 3．某超市销售一种饮料，平均每天可售出80箱，每箱利润100元．天气渐热，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价，据测算，若每箱饮料每降价1元，每天可多售出2箱．针对这种饮料的销售情况，请解答以下问题： (1)当每箱饮料降价10元时，这种饮料每天销售获利多少元？ (2)为了尽可能地清理库存，并且要使每天销售饮料获利9600元，问每箱应降价多少元？ 【答案】(1)9000元 (2)每箱饮料应降价40元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，有理数的混合运算的应用； （1）根据题意列出算式，进行计算即可求解； （2）设每箱饮料降价元，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，每降价1元，可多售出2箱． 降价10元，可多售出20箱． 每天的利润元 （2）设每箱饮料降价元． 由题意得， 解得：， 要尽可能地清理库存 应舍去． 应该降价40元． 答：每箱饮料应降价40元． 4．成都“蒲江猕猴桃”是维含量特别高的红心猕猴桃，营养丰富，老少皆宜，某种植基地年开始种植“猕猴桃”亩，该基地这两年“猕猴桃”种植面积的平均年增长率为． (1)求到年“猕猴桃”的种植面积达到多少亩？ (2)市场调查发现，当“猕猴桃”的售价为元/千克时，每天能售出千克，售价每降价元，每天可多售出千克． ①若降价元，每天能售出多少千克？（用的代数式表示） ②为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地“猕猴桃”的平均成本价为元/千克，若要销售“猕猴桃”每天获利元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1)到年“猕猴桃”的种植面积达到亩； (2)售价应降低元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用及有理数的乘方，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据有理数的乘方运算求解即可； （2）①由降低元，得每天可售出千克，②根据总利润每千克的利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论． 【详解】（1）解：（亩） 答：到年“猕猴桃”的种植面积达到亩； （2）解：①设售价应降低元，则每天可售出千克； ②依题意，得：， 整理，得：， 解得：． ∵要尽量减少库存， ∴． 答：售价应降低元． ►题型06 一元二次方程的几何动态问题 1．如图，中，，，，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则（　　）秒后，的面积等于4． A．1 B．2 C．4 D．1或4 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的几何应用，动点的面积问题，根据题意表示出线段长度，由题意列出方程求解即可，熟练表示出对应线段的长度和准确列出方程是解题的关键． 【详解】 解：设t秒后，的面积等于4 由题意得：，，则 整理得： 解得：，（不合题意，舍去）， 即1秒后，的面积等于4， 故选：A． 2．如图，在中，，，，现有动点P从点B出发，沿射线BA方向运动，动点Q从点C出发，沿射线方向运动，已知点P的速度是，点Q的速度是，它们同时出发，设运动时间是    (1)当时，求的面积. (2)经过多少秒时，的面积是8. 【答案】(1)的面积为 (2)2秒或8秒 【分析】（1）根据各边之间的关系，可找出当时，的长，再利用三角形的面积计算公式，即可求出结论； （2）利用时间路程速度，可分别求出点，到达点的时间，分，及三种情况考虑，根据的面积是面积的一半，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】（1）解：当时，，， ，， 的面积， 答：当时，的面积为； （2）解：（秒，（秒． 当时，，， ， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）； 当时，，， ， 整理得：， ， 方程无解； 当时，，， ， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）； 综上所述，经过2秒或8秒时，的面积是8．    【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 3．如图，在直角坐标系xOy中，四边形OACB为矩形，C点的坐标为的（3，6），若点P从O点沿OA向点A以1cm/s的速度运动，点Q从点A沿AC以2cm/s的速度运动，如果P，Q分别从O，A同时出发，问： (1)经过多长时间△PAQ的面积为2？ (2)△PAQ的面积能否达到3？请说明理由； (3)经过多长时间，P、Q两点之间的距离为cm？ 【答案】(1)1s或2s． (2)不能，理由见详解． (3)2s． 【分析】（1）根据面积计算公式表示出长和宽后列式计算即可． （2）同（1）求出面积后算判别式判断是否有解即可． （3）设出时间后，求出两点的坐标，利用勾股定理表示出线段PQ的长度后解方程即可． 【详解】（1）解：设经过x s，△的面积为2．由题意得 解得，故经过1 s或2 s，△的面积为2． （2）解：设经过x s，△的面积为3。由题意，得 整理，得， ∵， ∴该方程无实数根， ∴△的面积不能达到3． （3）解：设经过y s，P，Q两点之间的距离为， 由题意，得 ，解得（不合题意，舍）， 故经过2 s，P，Q两点间的距离为． 【点睛】本题主要考查二次方程的实际应用，能够根据题意列出方程是解题关键． 基础巩固 1．将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上4，然后把方程作边写成完全平方形式即可． 【详解】解： 移项得， 配方得，即． 故选：A． 2．关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解，把代入原方程，求出的值，再根据一元二次方程的定义得出，即可解答． 【详解】解：关于的一元二次方程有一个根为， ，且， 解得：， 故选：B． 3．据统计，2021年全国城镇居民人均消费支出约为万元，2023年提升到约万元．如果设这两年城镇居民人均消费支出的年平均增长率为x，那么根据题意可以列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设这两年城镇居民人均消费支出的年平均增长率为x，根据从2021年到2023年人均消费支出，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设这两年城镇居民人均消费支出的年平均增长率为x，根据题意得： 故选：C． 4．若关于的方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．分情况讨论：当时，方程化为一元一次方程，有一个实数解；当时，根据根的判别式的意义得到，解得且，然后综合两种情况得到的取值范围． 【详解】解：①当时，，解得：； ②当时，关于x的方程有实数根， ∴， ∴且， 综上所述，k的取值范围为：． 故选：B． 5．将一根长为的铁丝剪成两段，每段分别围成正方形，它们面积之和等于．设一个正方形的边长为，可列得的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，此题要数形结合，结合图形，设出未知数，然后根据题意列出方程，利用方程即可解决问题．本题可设其中一个正方形的边长为，则另一个正方形的边长为，又因两个正方形的面积和等于，则可列出方程即可． 【详解】解：设一个正方形的边长为， 正方形的四边相等， 此正方形的周长是，另一个正方形的边长是， 根据题意得， 故选：B． 6．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮被感染后就会有144台电脑被感染．每轮感染中平均一台电脑会感染 台电脑． 【答案】11 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，根据“经过两轮被感染后就会有144台电脑被感染”，即可得出关于的一元二次方程，解方程即可得出答案，理解题意，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑， 根据题意列方程得：， 解得（不符合题意，舍去）， 即每轮感染中平均一台电脑会感染11台电脑． 7．某厂家2022年1~5月份的某种产品产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家这种产品产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，观察函数图象，找出该厂家2月及4月的口罩产量，再利用该厂家4月份的口罩产量该厂家2月份的口罩产量（增长率），即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程：， 故答案为：． 8．如图，学校计划在一块长，宽的矩形空地内修建两块相同的矩形绿地，使得两块矩形绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，若两个矩形绿地面积共，那么人行通道的宽度是多少米？设人行通道的宽度是x米，可列方程为 ．    【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是学会寻找等量关系，构建方程解决问题． 根据人行通道的宽度为x米．将两个绿地平移到一起，然后用含x的是表示绿地的长与宽，最后依据面积为列方程即可； 【详解】解：∵矩形空地长50米，宽20米，且人行通道的宽度是x米， ∴两块矩形绿地可合成长为米，宽为米． 根据题意得：． 故答案为：． 9．关于x的一元二次方程x2＋（2m＋1）x＋m2-1=0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根． 【答案】（1）m＞-；（2）x1=0，x2=-3． 【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根即可得出Δ＞0，代入数据即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论； （2）结合（1）结论，令m=1，将m=1代入原方程，利用因式分解法解方程即可得出结论． 【详解】（1）∵关于x的一元二次方程+（2m+1）x+﹣1=0有两个不相等的实数根， ∴Δ==4m+5＞0， 解得：m＞； （2）m=1，此时原方程为+3x=0， 即x（x+3）=0， 解得：=0，=﹣3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的情况，解一元二次方程，解决此题的关键是正确的计算． 10．流感是一种传染性极高的疾病，我们要加强预防和治疗．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有个人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为多少？ 【答案】9 【分析】设每轮传染中平均一个人传染的人数为，则第一轮传染后的感染人数为，第二轮传染的人数为，根据两轮共有人患流感建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为， 根据题意得, 即， ∴， ∴或(舍去)， 答：每轮传染中平均一个人传染的人数为9． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意建立方程． 11．小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，已知原作品的长为，宽为，在装裱后左右两边的边宽相等，天头长与地头长也相等，且均为一边宽的5倍，如果在装裱后，原作品的面积恰好是装裱后作品总面积的，那么装裱后左右两边的边宽分别是多少？ 【答案】装裱后左右两边的边宽为4厘米 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，设装裱后左右两边的边宽为，则天头长与地头长为，根据“原作品的面积恰好是装裱后作品总面积的”结合长方形的面积公式，列出方程求解即可． 【详解】解：设装裱后左右两边的边宽为，则天头长与地头长为， ， 整理得：， 解得：（舍去）， 答：装裱后左右两边的边宽为4厘米． 能力提升 1．若方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根．掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 由方程有两个不相等的实数根，即可得判别式，继而可求得的范围． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． 故答案为： 2.已知一元二次方程的两个根为，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 根据根与系数关系可得，然后将去括号整理即可求得答案． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根为， ， ， 故答案为：． 3．已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值．对于一元二次方程，若该方程的两个实数根为，，则，．先根据根与系数的关系得到，，再根据完全平方公式的变形，求出，由此即可得到答案． 【详解】解： ，是一元二次方程的两个实数根， ，， ， ， ． 故答案为：． 4．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，方程总有两个实数根； (2)如果此方程有一个根小于1，求m的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． （1）根据根的判别式求出△的值，再进行判断即可； （2）解方程得到，根据方程只有一个根小于1，得到不等式，解不等式即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵无论m为何值，总有， ∴无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）解：原方程可化为 解得：， ∵方程有一个根小于1，且， ∴， ∴． 5．学校计划利用一片空地建一个长方形自行车车棚，其中一面靠墙，墙的长度为8米．在与墙平行的一面开一个2米宽的门，已知现有的木板材料可修建的总长为26米，且全部用于除墙外其余三面外墙的修建． (1)长方形车棚与墙垂直的一面至少为__________米； (2)如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路（如图中阴影），若车棚与墙垂直的一面长按（1）中的最小长度，则停放电动车的区域面积能否达到54平方米，若能，此时小路的宽度是多少米？若不能，请说明理由． 【答案】(1)10； (2)能，1米． 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用，找出不等关系式和等量关系式是解题的关键． （1）设与墙垂直的一面为米，另一面则为米，然后利用这堵墙的长度为不超过米，列出不等式求解即可； （2）设小路的宽为a米，两边的长分别为米，米，列出方程求解即可求解． 【详解】（1）解：设与墙垂直的一面为米，另一面则为米， 根据题意得：． 解得：， 答：长方形车棚与墙垂直的一面至少米； （2）解：设小路的宽为a米， 根据题意得，． 整理得；， 解得：（舍去），． 答：小路的宽为1米． 6．将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用，如利用配方法求最小值，求的最小值． 解：； 不论取何值，总是非负数，即， ；即当时，有最小值， 根据上述材料，解答下列问题： (1)求的最小值； (2)若，，比较、的大小（写出比较过程）； (3)若三角形中某两边、满足，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式，配方法的应用，整式的加减运算． （1）利用完全平方式的非负性求解即可； （2）先化简，再结合完全平方式的非负性得出，即可求解； （3）先利用完全平方式的非负性，得出，，再代入求代数式的值即可． 【详解】（1）解：． ∵， ∴， ∴当时，有最小值． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 故． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∵． 7．抖音直播卖货一成为一些商家重要的销售手段，同时也为政府销售农产品提供了一个新的销售平台． 某县为帮助本县的花椒种植户销售花椒，在某电商在平台上对本县一花椒种植户的袋装（500g/袋）花椒面进行直播销售． 该袋装花椒各种成本为20元/袋，如果按40元/袋销售，每天可卖出2000袋，通过市场调查发现，每袋烙锅辣椒面售价每降低1元，日销售量可增加200袋 (1)若要每天获利43200元，商家又要尽快销售完所有花椒，每袋售价降价多少元？ (2)该花椒种植户在线上销售的同时，也在线下实体店售卖同时销售，标价为50元/袋．为提高市场竞争力，增加线下销售量，种植户决定打折销售，但其售价不低于（1）中的售价又不高于45元，则线下销售价格的最少可以打几折？最多可以打几折？ 【答案】(1)每件售价应降价8元 (2)没带花椒至少打折，最多打9折 【分析】（1）等量关系式：降价后每袋花椒所获的利润降价后的销售量元，据此列方程，即可求解； （2）不等关系式：售价打折后的线下标价，据此列出不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：设每袋售价应降价x元，则每袋的销售利润为()元，日销售量为()袋， 依题意得∶， 解得∶，， 商家想尽快销售完所有花椒， ． 答：每件售价应降价8元． （2）解：（2）设线下每袋花椒打y折售卖，依题意得 ， 解得：． 答：没带花椒至少打了折，最多打9折． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式组的应用，找出等量关系和不等关系是解题的关键． 8．阅读下列材料： 北京市正围绕着“政治中心、文化中心、国际交往中心、科技创新中心”的定位，深入实施“人文北京、科技北京、绿色北京”的发展战略．“十二五”期间，北京市文化创意产业展现了良好的发展基础和巨大的发展潜力，已经成为首都经济增长的支柱产业． 2011年，北京市文化创意产业实现增加值1938.6亿元，占地区生产总值的12.2%．2012年，北京市文化创意产业继续呈现平稳发展态势，实现产业增加值2189.2亿元，占地区生产总值的12.3%，是第三产业中仅次于金融业、批发和零售业的第三大支柱产业．2013年，北京市文化产业实现增加值2406.7亿元，比上年增长9.1%，文化创意产业作为北京市支柱产业已经排到了第二位．2014年，北京市文化创意产业实现增加值2749.3亿元，占地区生产总值的13.1%，创历史新高，2015年，北京市文化创意产业发展总体平稳，实现产业增加值3072.3亿元，占地区生产总值的13.4%． 根据以上材料解答下列问题： (1)用折线图将2011－2015年北京市文化创意产业实现增加值表示出来，并在图中标明相应数据； (2)根据绘制的折线图中提供的信息，预估2016年北京市文化创意产业实现增加值约_____________亿元，你的预估理由_____________． 【答案】(1)作图见解析 (2)3471.7，用近3年的平均增长率估计2016年的增长率 【分析】（1）找出题中数据，画出折线图即可； （2）只要给出符合预测数据的合理的预测方法即可．如：近三年平均增长率作为预估依据，以此为依据时，设2013年到2015年的平均增长率为x，根据题意可求出x，即可求出2016年北京市文化创意产业实现增加值． 【详解】（1）2011－2015年北京市文化创意产业实现增加值如下图所示： （2）设2013年到2015年的平均增长率为x， 则， 解得：，（舍） ∴估计2016年的增长率为， ∴预估2016年北京市文化创意产业实现增加值约亿元． ∴预估2016年北京市文化创意产业实现增加值约为亿元，依据为近三年平均增长率作为预测2016年数据的依据． 故答案为：，近三年平均增长率作为预测2016年数据的依据． 【点睛】本题考查折线统计图，一元二次方程的实际应用．也考查学生的阅读能力，处理数据的能力． 9．通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的． 某小组决定使用20斤清水，对某件存留1斤污水衣服分别进行漂洗，且每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水． (1)该小组设计了如下两个方案，请你完善方案内容： 方案一：采用一次漂洗的方式. 将20斤清水一次用掉，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________； 方案二：采用两次漂洗的方式. 若第一次用14斤清水，第二次用6斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________；若在第一次用斤清水，第二次用斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________（用含有x的代数式表示）； 通过计算分析，方案__________（“一”或“二”）的漂洗效果更好. (2)若采用方案二，第一次用__________斤清水，漂洗效果最好，二次漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________． 【答案】(1)；；；二 (2)10； 【分析】本题考查分式的计算及应用，理解题意，列出算式，并准确计算是解题的关键． （1）数据计算：分别计算出两种方案漂洗后衣服中存有的污物与原来的污物关系即可解答： 实验结论：比较数据计算得出的数据，即可作出判断； （2）先利用二次函数求出最值，确定出漂洗后衣服中存有的污物与原来污物间的最小值即可解决问题． 【详解】（1）解：方案一：采用一次漂洗的方式． 将20斤清水一次用掉，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的； 方案二：采用两次漂洗的方式． 若第一次用14斤清水，第二次用6斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的， 若在第一次用斤清水，第二次用斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的 ，方案二效果更好； 故答案为：，，；二； （2）解：， 当时有最大值，分母越大，分数值最小，漂洗效果最好， 第一次用 10斤清水，漂洗效果最好， 二次漂洗后该衣服中存有的污物是原来的 故答案为：二，． $$