第06讲 分式方程（讲练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（北京专用）

第二章 方程与不等式 第06讲 分式方程（2~7分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 分式方程的解法（高频考点） 考点二 与分式方程的解有关的问题（高频考点） 考点三 分式方程的应用（高频考点） 04题型精研·考向洞悉 命题点一 分式方程的解法 ►题型01 解分式方程 命题点二 与分式方程的解有关问题 ►题型01 分式方程的解为正数 ►题型02 分式方程无解 ►题型03 已知分式方程的解求参数 命题点三 分式方程的应用 ►题型01 分式方程的工程问题 ►题型02 分式方程的行程问题 ►题型03 分式方程的经济问题 ►题型04 分式方程的其他问题 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 解分式方程 能解可化为一元一次方程的分式方程 5年5考 中考中本考点考查内容以分式方程解法、分式方程的应用题为主.预计2025年北京中考还将继续考查分式方程解法、分式方程的应用题，为避免丢分，学生应扎实掌握． 分式方程的应用 能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性 近10年连续考查 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 分式方程的解法（高频考点） 分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 增根的概念：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根. 1. 分式方程与整式方程的根本区别：分母中含有未知数，也是判断分式方程的依据. 2. 去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项. 3. 分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解． 4. 分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根． 5. 解分式方程可能产生使分式方程无意义的根，检验是解分式方程的必要步骤. 6. 分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解. 1．方程 的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解方程，先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】解：， 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入， ∴是原方程的解， 故答案为：． 2．方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解题步骤是解题的关键； 根据分式方程解题步骤解题即可求解． 【详解】解： 两边乘得： 去括号： 将代入， 即 经检验， 是该分式方程的解， 故答案为：． 3．解分式方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】此题考查的是解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤是解决此题的关键. （1）两边同乘以)将分式方程转化为整式方程，从而求出方程的解，然后进行验根即可解答； （2）两边同乘以将分式方程转化为整式方程，从而求出方程的解，然后进行验根得出答案． 【详解】（1）解：两边同乘以得 解得：， 检验：当时， 是原分式方程的解， （2）解：两边同乘以得： ， 解得：， 检验：当时，为方程的增根， ∴是原分式方程的增根， ∴原分式方程无解． 考点二 与分式方程的解有关的问题（高频考点） 1.由分式方程的解的情况求字母系数的取值范围，一般解法是： ①根据未知数的范围求出字母的范围； ②把使分母为0的未知数的值代入到去分母后的整式方程中，求出对应的字母系数的值； ③综合①②，求出字母系数的范围. 2.依据分式方程的增根确定字母参数的值的一般步骤： 1)先将分式方程转化为整式方程; 2)由题意求出增根; 3)将增根代入所化得的整式方程，解之就可得到字母参数的值. 考点三 分式方程的应用（高频考点） 用分式方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义;+ 1）检验所求的解是否是所列分式方程的解. 2）检验所求的解是否符合实际意义. 答：实际问题的答案. 与分式方程有关应用题的常见类型： 命题点一 分式方程的解法 ►题型01 解分式方程 1．方程的解为 . 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法和步骤是解题的关键． 先去分母，转化为解一元一次方程，注意要检验是否有增根． 【详解】解： ， 解得：， 经检验：是原方程的解， 所以，原方程的解为， 故答案为：． 2．方程的解为 ． 【答案】 【分析】方程两边同时乘以化为整式方程，解整式方程即可，最后要检验． 【详解】解：方程两边同时乘以，得， 解得：， 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 3．解方程：． 【答案】原方程无解 【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的增根， ∴ 原方程无解． 命题点二 与分式方程有关的解的问题 ►题型01 分式方程的解为正数 1．若关于x的方程=3的解为正数，则m的取值范围是（ ） A．m＜ B．m＜且m≠ C．m＞﹣ D．m＞﹣且m≠﹣ 【答案】B 【分析】先去分母解方程，根据方程的解为正数列不等式即可 【详解】解：去分母得：x+m﹣3m=3x﹣9， 整理得：2x=﹣2m+9，解得：x=， 已知关于x的方程=3的解为正数， 所以﹣2m+9＞0，解得m＜， 当x=3时，x==3，解得：m=， 所以m的取值范围是：m＜且m≠． 故选：B． 【点睛】本题考查含参数的分式方程解法，不等式，分式有意义条件，解题的关键是掌握含参数的分式方程解法，不等式，分式有意义条件． ►题型02 分式方程无解 1．若关于x的分式方程有增根，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了解分式方程 ，利用增根求字母的值，增根就是使最简公分母为零的未知数的值；解决此类问题的步骤：①化分式方程为整式方程；②让最简公分母等于零求出增根的值；③把增根代入到整式方程中即可求得相关字母的值． 先把分式方程去分母转化为整式方程，然后由分式方程有增根求出x的值，代入到转化以后的整式方程中计算即可求出m的值． 【详解】解：去分母得：，整理得：， ∵关于x的分式方程有增根，即， ∴， 把代入到中得：， 解得：； 故答案为：3． 2．如果关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．5 B．3 C．1 D．－1 【答案】C 【分析】先将分式方程化成整式方程，再根据分式方程无解可得，然后将代入整式方程求出的值即可得． 【详解】解：， 方程两边同乘以化成整式方程为， 关于的分式方程无解， ，即， 将代入方程得：， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式方程无解问题，根据分式方程无解得出方程的增根是解题关键． ►题型03 已知分式方程的解求参数 1．若是分式方程的根，则a的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】首先根据题意，把代入分式方程中，然后根据一元一次方程的解法，求出a的值即可． 【详解】解：将代入分式方程中， 可得：， 解得， 故选D． 【点睛】本题考查了分式方程的解，解题的关键是熟练掌握分式方程解的意义． 命题点三 分式方程的应用 ►题型01 分式方程的工程问题 1．随着快递业务的不断增加，分拣快件是一项繁重工作，某快递公司为了提高分拣效率，引进智能分拣机，每台机器每小时分拣的快件量是人工每人每小时分拣快件数量的20倍，经过测试，由5台机器分拣6000件快件的时间，比20个人工分拣同样数量的快件节省4小时，求人工每人每小时分拣快件的数量． 【答案】60件 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，解题的关键是掌握正确理解题意，根据题意找出数量关系，列出方程求解． 设人工每人每小时分拣件，则每台机器每小时分拣件，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设人工每人每小时分拣件，则每台机器每小时分拣件， 依题意列方程：． 解得：， 经检验是原方程的解且有实际意义 所以原方程的解为 答：人工每人每小时分拣60件快件． 2．综合与实践． 如何分配工作，使公司支付的总工资最少 素材1 壮锦是工艺美术织品，是壮族人民最精彩的文化创造之一，其历史也非常悠久．某公司承接到2160个壮锦手提包的订单，计划将任务分配给甲、乙两个生产部门去完成． 甲部门每天生产的总数是乙部门每天生产总数的2倍，甲部门单独完成这项任务所需的时间比乙部门单独完成少18天． 素材2 经调查，这项订单需要支付甲部门4800元/天，乙部门3000元/天． 素材3 由于甲部门有其他工作任务，甲部门工作天数不超过乙部门工作天数的一半． 问题解决 任务1 确定工作效率 求甲、乙部门原来每天分别生产多少个壮锦手提包； 任务2 拟订设计方案 ①若设甲部门工作m天，则甲部门完成壮锦手提包______个，乙部门工作时间可表示为______天； ②如何安排甲、乙两部门工作的天数，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少？最少需要多少元？ 【答案】任务1：甲部门原来每天生产120个壮锦手提包，乙部门原来每天生产60个壮锦手提包；任务2：①，；②甲部门工作9天，乙部门工作18天，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少，最少需要97200元． 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，一次函数的最大利润问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设乙部门每天能生成个壮锦手提包，依题意，列式得，注意经检验是方程的解，即可作答． （2）设甲部门工作天，则乙部门的工作时间为（天）．再依题意，得出，解出，根据利润公式得出，运用一次函数的性质，进行分析作答即可． 【详解】解：任务1：设乙部门原来每天生产x个壮锦手提包，则甲部门原来每天生产2x个壮锦手提包， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲部门原来每天生产120个壮锦手提包，乙部门原来每天生产60个壮锦手提包； 任务2：①设甲部门工作m天，则甲部门完成壮锦手提包个，乙部门工作时间可表示为天， 故答案为：，； ②由题意得：， 解得：， 设该公司支付的总工资为y元， 由题意得：， ， 随m的增大而减小， 当时，y有最小值， 此时，， 答：甲部门工作9天，乙部门工作18天，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少，最少需要97200元． 3．甲、乙两个工程队承担了福州市今年旧城改造工作中的一个办公楼项目，若乙队单独工作3天后，再由两队合作7天就可以完成这个项目，已知乙队单独完成这个项目所需天数是甲队单独完成这个项目所需天数的2倍．求甲，乙两个工程队单独完成这个项目各需多少天． 【答案】甲单独完成这个项目需天，乙两个工程队单独完成这个项目需天 【分析】本题考查分式方程的应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．设甲单独完成这个项目需天，则乙工程队单独完成这个项目需天，根据乙队单独工作3天后，再由两队合作7天就可以完成这个项目，列分式方程，解分式方程即可． 【详解】解：设甲单独完成这个项目需天，则乙工程队单独完成这个项目需天，根据题意得， 答：甲单独完成这个项目需天，乙两个工程队单独完成这个项目需天． ►题型02 分式方程的行程问题 1．2024年12月7日哈尔滨第五届采冰节在松花江北岸启幕，吸引了众多游客，小帅一家从距离哈尔滨180km的地方开车前往，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来的速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40min到达目的地．设前一小时的行驶速度为每小时千米，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列分式方程，熟练地根据题意找到等量关系是解题的关键．根据实际用时列出相应的分式方程． 【详解】解：设前一小时的行驶速度为，则一小时后的速度为， 由题意得：， 故选：B． 2．随着国家提倡节能减排，新能源车将成为时代“宠儿”．端午节，君君一家驾乘刚购买的新能源车，去相距的古镇旅行，原计划以速度匀速前行，因急事以计划速度的倍匀速行殃，结果就比原计划提前了到达，则原计划的速度v为 ． 【答案】60 【分析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出分式方程解决问题． 根据比原计划提前了到达列方程，即可解得答案． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，并符合题意， ∴原计划的速度为； 故答案为：60． 3．京城路边排满了各种颜色的共享单车，本着低碳出行与强身健体的理念，赵老师决定改骑共享单车上下班．通过一段时间的体验，赵老师发现每天上班所用时间只比自驾车多小时．已知赵老师家距学校千米，上下班高峰时段，自驾车的速度是自行车速度的倍．求赵老师骑共享单车每小时行驶多少千米. 【答案】赵老师骑共享单车每小时行驶千米 【分析】本题考查了分式方程的应用；设赵老师骑共享单车每小时行驶千米，根据题意列出方程，解方程并检验即可求解． 【详解】解：设赵老师骑共享单车每小时行驶千米， 依题意得． 解方程得． 经检验，是原方程的解且符合实际意义． 答：赵老师骑共享单车每小时行驶千米． 4．在周末自驾游中，李明和张华相约从A城前往B城进行户外探险.已知A、B两城相距120公里，两人均匀速行驶，李明与张华的速度之比为． (1)若张华先行15公里后，李明才开始从A城出发，李明出发30分钟恰好追上张华，求李明驾驶的速度为每小时多少公里； (2)若张华比李明早出发30分钟，结果反而比李明晚30分钟到达B城，求李明驾驶的速度为每小时多少公里． 【答案】(1)每小时90公里 (2)每小时60公里 【分析】本题考查了分式方程和一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）设李明驾驶的速度为每小时公里，则张华的速度为每小时公里，根据路程＝速度时间，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设李明驾驶的速度为每小时y公里，则张华的速度为每小时公里，根据时间＝路程＋速度结合张华比李明多用1小时，即可得出关于y的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得，设李明驾驶的速度为每小时公里，则张华的速度每小时公里， 依题意得： 解得：，则． 答：李明驾驶的速度为每小时90公里； （2）解：设李明驾驶的速度为每小时y公里，则张华的速度为每小时公里， 则由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 答：李明驾驶的速度为每小时60公里． ►题型03 分式方程的经济问题 1．端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场进来鲜肉粽和红枣粽．每千克鲜肉粽进价比红枣粽多元，用元购进的鲜肉粽比用元购进的红枣粽重千克．求该商场每千克红枣粽进价是多少元？ 【答案】该商场每千克红枣粽进价是元 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确找出相等关系是解题的关键． 设该商场每千克鲜肉粽的进价是元，则每千克红枣粽的进价是元，根据用元购进鲜肉粽的数量和用元购进红枣粽的重千克，列分式方程求解即可； 【详解】解：设该商场每千克鲜肉粽的进价是元，则每千克红枣粽的进价是元， 解得： 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 该商场每千克红枣粽进价是元； 答：该商场每千克红枣粽进价是元． 2．山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的型车去年销售总额为50000元，今年每辆销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少． ，两种型号车的进货和销售价格如下表： 型车 型车 进货价格（元） 1100 1400 销售价格（元） 今年的销售价格 2000 (1)今年型车每辆售价多少元？（用列方程的方法解答） (2)该车行计划新进一批型车和新款型车共80辆，且型车的进货数量不超过型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？ 【答案】(1)今年型车每辆售价1600元； (2)当新进型车27辆，型车53辆时，这批车获利最大 【分析】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，一次函数的解析式的运用，解答时由销售问题的数量关系求出一次函数的解析式是关键． （1）设今年型车每辆售价元，则去年售价每辆为元，由卖出的数量相同建立方程求出其解即可； （2）设今年新进型车辆，则型车辆，获利元，由条件表示出与之间的关系式，由的取值范围就可以求出的最大值． 【详解】（1）解：设今年型车每辆售价元，则去年售价每辆为元，由题意，得 ， 解得：． 经检验，是原方程的根． 答：今年型车每辆售价1600元； （2）解：设今年新进型车辆，则型车辆，获利元，由题意，得 ， ． 型车的进货数量不超过型车数量的两倍， ， ． ． ， 随的增大而减小． 时，元． 型车的数量为：辆． 当新进型车27辆，型车52辆时，这批车获利最大． 3．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著读书活动，用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城8折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第一批少4套，求第一批购进的“四大名著”每套的价格是多少元． 【答案】每套的价格是150元 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则第二批购买的“四大名著”每套的价格为元，根据“用2400元购买的套数只比第一批少4套”建立方程求解，即可解题． 【详解】解：设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则第二批购买的“四大名著”每套的价格为元．       根据题意，得， 解得．       经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：第一批购进的“四大名著”每套的价格是150元． ►题型04 分式方程的其他问题 1．如图，“丰收号”小麦的试验田是边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收号”小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了． (1)“丰收号”小麦试验田的单位面积产量是 ，“丰收号”小麦试验田的单位面积产量是 ．单位面积产量高的是 ：（填“丰收号”或“丰收号”） (2)若高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍，求“丰收号”小麦的试验田的边长． 【答案】(1)，，“丰收号” (2) 【分析】（）根据题意可以求得两块试验田的面积，从而可以求得哪种小麦的单位面积产量高； （）根据“高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍”列出分式方程，解方程即可求解； 本题考查了分式的混合运算，分式方程的应用，掌握分式的运算及分式方程的解法是解题的关键． 【详解】（1）解：“丰收号”小麦试验田的单位面积产量为， “丰收号”小麦试验田的单位面积产量为 ， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴单位面积产量高的是“丰收号”， 故答案为：，，“丰收号”； （2）解：由题意可得， ， 方程两边同乘得，， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：“丰收号”小麦试验田的边长为． 2．一年一度的元旦节即将到来，某校初三年级的家委会妈妈们准备购买签字笔和圆规两种文具作为小礼物送给初三年级的孩子们，计划用2400元购买签字笔，用900元购买圆规，已知一支签字笔和一个圆规的售价之和为15元，计划购买签字笔的数量是圆规数量的4倍． (1)求计划分别购买多少支签字笔和多少个圆规？ (2)实际购买时，家委会妈妈们发现每支签字笔的售价降低了，每个圆规的售价便宜了元，根据各班对两种文具喜好的调查结果，家委会的妈妈们调整了购买签字笔和圆规的数量，实际购买圆规的数量比计划购买圆规的数量增加了个，但实际购买签字笔和圆规的总数量与计划购买签字笔和圆规的总数量相同，最终实际购买签字笔和圆规的总费用比计划购买签字笔和圆规的总费用减少了元，求的值． 【答案】(1)计划购买400支签字笔，100个圆规 (2)10 【分析】本题考查分式方程的应用，一元二次方程的实际应用： （1）设一支签字笔x元，则一个圆规元，根据“计划购买签字笔的数量是圆规数量的4倍”列分式方程，解方程即可； （2）根据单价、数量、总价之间的关系，列一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设一支签字笔x元，则一个圆规元， 由题意得：， 去分母，得， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 签字笔的单价为6元，圆规的单价为（元）， 购买签字笔的数量为：（支）， 购买圆规的数量为：（个）， 即计划购买400支签字笔，100个圆规； （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得，， ， ． 3．今年春节假期国内又将迎来旅游高峰，滑雪游成为热门主题，许多市民选择前往沙坪坝区的融创茂雪世界进行滑雪体验． (1)该雪世界提供成人票和儿童票两种选择，其中一张成人票比一张儿童票贵元，购买2张成人票和1张儿童票的总费用为元．求成人票价和儿童票价分别是多少元？ (2)某滑雪装备店销售成人及儿童所需的雪具，其中成人雪具的价格比儿童雪具贵，有顾客发现，用元购买成人雪具的数量比用同样金额购买儿童雪具的数量少套，求成人雪具的单价． 【答案】(1)一张成人票的票价为元，一张儿童票的票价为元 (2)元 【分析】（）设一张儿童票的票价为元，则一张成人票的票价为元，根据题意列出方程即可求解； （）设儿童雪具的价格为元，则成人雪具的价格为元，根据题意列出方程求出的值，进而即可求解； 本题考查了一元一次方程和分式方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：设一张儿童票的票价为元，则一张成人票的票价为元， 由题意得，， 解得， ∴， 答：一张成人票的票价为元，一张儿童票的票价为元； （2）解：设儿童雪具的价格为元，则成人雪具的价格为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是分式方程的解，符合题意， ∴， 答：成人雪具的价格为元． 4．第一届全国青少年三大球运动会于2024年11月20日至11月28日在长沙市和岳阳市举行．有来自全国25个省、自治区、直辖市的96支队伍、约1500名运动员到湖南省参赛，决赛场次总计308场．长沙市南雅中学作为本次三大球运动会的承办地之一，承担了足球赛事．在筹备期间，为了确保赛事顺利进行，学校准备一次性购买若干个足球和排球，用480元购买足球的数量和用390元购买排球的数量相同，已知足球的单价比排球的单价多15元． (1)足球和排球的单价各是多少元？ (2)根据学校实际情况，需一次性购买足球和排球共100个，但要求其总费用不超过7550元，那么学校最多可以购买多少个足球？ 【答案】(1)足球的单价是80元，排球的单价是65元 (2)70个 【分析】（1）设足球的单价是元，则排球的单价是元，根据数量总价单价，结合用480元购买足球的数量和用390元购买排球的数量相同，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设学校可以购买个足球，则可以购买个足球，利用总价单价数量，结合购买足球和排球的总费用不超过7550元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论． 【详解】（1）解：设足球的单价是元，则排球的单价是元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． 答：足球的单价是80元，排球的单价是65元． （2）解：设学校可以购买..个足球，则可以购买个排球， 依题意得：， 解得：． 又为正整数， 可以取的最大值为70． 答：学校最多可以购买70个足球． 05分层训练·巩固提升 基础巩固 1．如果分式的值为，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解分式方程，根据分式的值为，列出分式方程，解分式方程即可求解，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 【详解】∵分式的值为， ∴， 方程两边同时乘以得， ， 解得， 检验：把代入得，， ∴是原分式方程的解， 故选：． 2．分式方程的两边同时乘以，约去分母，得到的整式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查分式方程去分母，熟练掌握解分式方程是解题的关键．根据解分式方程的方法即可得到答案． 【详解】解：两边同时乘以， 得， 故选C． 3．甲做360个零件与乙做480个零件所出的时间相同，已知两人每天共做140个零件，若设甲每天做个零件，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列分式方程，找准等量关系是解题关键．先求出乙每天做个零件，再根据甲做360个零件与乙做480个零件所出的时间相同列出方程即可得． 【详解】解：由题意可知，乙每天做个零件， 则可列方程为， 故选：A． 4．定义运算“”：，若，则的值为(    ) A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据定义运算的法则进行求解即可． 【详解】解：当时， ， ， 解得． 经检验，符合题意，是分式方程的解． 当时， ， ． 解得． 经检验，符合题意，是分式方程的解． 故选D． 【点睛】本题考查定义新运算：正确理解新运算的运算法则是解题的关键． 5．如图所示，小琳总结了“解可化为一元一次方程的分式方程”的运算流程，那么A和分别代表的是（    ）    A．分式的基本性质1，最简公分母 B．分式的基本性质1，最简公分母 C．等式的基本性质2，最简公分母 D．等式的基本性质2，最简公分母 【答案】C 【分析】根据等式的基本性质：去分母变形是两边同时乘以最简公分母；当整式方程的解使最简公分母为0时，原方程无解． 【详解】解：根据分式方程的解题步骤，去分母依据是等式的基本性质2，整式方程的根使分母为0时，原方程无解． 故选：C 【点睛】本题考分式方程的求解，理解分式方程求解步骤的依据是解题的关键． 6．某农业合作社在春耕期间采购了，两种型号无人驾驶农耕机器，已知每台型机器的进价比每台型机器进价的2倍少万元；采购相同数量的，两种型号机器．分别花费了万元和万元．若设每台型机器的进价为万元，根据题食可列出关于的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的应用．熟练掌握分式方程的应用是解题的关键． 设每台型机器的进价为万元，则每台型机器的进价为万元，根据采购数量相同可列方程． 【详解】解：设每台型机器的进价为万元，则每台型机器的进价为万元， 依题意得，， 故选：C． 7．方程的解为 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的求解，根据去分母，去括号，移项合并同类项，检验的过程进行求解即可． 【详解】解：， 去分母，得：， 去括号得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 8．学校用3600元去商场购买消毒液对教室进行消毒．经过还价，每瓶便宜2元，结果比用原价多买了60瓶．若设原价每瓶x元，则可列出方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程， 由原价及还价后每瓶便宜2元，可得出还价后每瓶元，利用数量总价单价，结合结果比用原价多买了60瓶，即可得出关于的分式方程，此题得解． 【详解】解：设原价每瓶x元，还价后每瓶元， 根据题意有：， 故答案为：． 9．清明节期间，初二某班同学租一辆面包车前去故宫游览，面包车的租金为元，出发时又增加了名同学，且租金不变，这样每个同学比原来少分摊了元车费，若设实际参加游览的同学，一共有人则可列分式方程 ． 【答案】 【分析】关键描述语是：“每个同学比原来少分摊了10元车费”；等量关系为：原有的同学每人分担的车费－实际每人分担的车费＝20；据此列出分式方程即可． 【详解】解：设实际参加游览的同学一共有人， 由题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到相应的等量关系是解决问题的关键． 10．无人机是现代科技领域的重要创新之一，使用无人机对茶园进行病虫害防治，可以提高效率．已知使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是人工每小时对茶园打药的作业面积的6倍，若使用无人机对600亩茶园打药的时间比人工对300亩茶园打药的时间少20小时，求使用无人机每小时对茶园打药的作业面积． 【答案】使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是60亩． 【分析】本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设人工每小时对茶园打药的作业面积是x亩，根据等量关系列出分式方程即可求解 【详解】解：设人工每小时对茶园打药的作业面积是x亩，则使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是亩．                                        由题意，得．                    解得．                                经检验，是原方程的解，且符合题意．   答：使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是60亩． 11．《清明上河图》是北宋画家张择端的作品，是中国十大传世名画之一．如图是某书画家的一幅局部临摹作品，装裱前是长为，宽为的矩形，装裱后，整幅图画长与宽的比是，且四周边衬的宽度相等，求边衬的宽度．    【答案】 【分析】本题考查运用分式方程解决实际问题．设边衬的宽度为，表示出装裱后的长和宽，根据“整幅图画长与宽的比是”即可列出方程，求解并检验即可． 【详解】解：设边衬的宽度为．依题意，得 ＝，   解得：． 经检验，是原方程的解且符合实际意义． 答：边衬的宽度为． 12．某社区积极响应正在开展的“创文活动”，安排甲、乙两个工程队对社区进行绿化改造．已知甲工程队每天能完成的绿化改造面积是乙工程队每天能完成的绿化改造面积的2倍，且甲工程队完成的绿化改造比乙工程队完成的绿化改造少用4天．分别求甲、乙两工程队每天能完成绿化改造的面积． 【答案】甲、乙两工程队每天能完成的绿化改造面积分别是和 【分析】本题考查了分式方程的应用．设乙工程队每天能完成的绿化改造面积是，则甲工程队每天能完成的绿化改造面积是，由甲工程队完成的绿化改造比乙工程队完成的绿化改造少用4天，列出方程，可求解． 【详解】解：设乙工程队每天能完成的绿化改造面积是， 则甲工程队每天能完成的绿化改造面积是． 根据题意，得，解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意．此时． 故甲、乙两工程队每天能完成的绿化改造面积分别是和． 13．随着网络技术的发展，市场对产品的需求越来越大．为满足市场需求，某大型产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度．现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需的时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，求该厂家更新技术前每天生产多少万件产品？ 【答案】120万件 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意，找出正确的等量关系列出方程是解题的关键． 设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产万件产品，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产万件产品， 依题意，得：． 解得：． 经检验，是原方程的解且符合实际意义． 答：更新技术前每天生产120万件产品． 14．南沙区某中学为满足学生的需求，丰富大课间运动项目，决定购入、两款运动器材，其中款器材单价是款器材单价的1.2倍，用9900元购买的款器材数量比用7500元购买的款器材数量多5套．分别求出、两款器材的单价． 【答案】A款器材的单价为180元，B款器材的单价为150元 【分析】本题考查分式方程的应用，设B款器材的单价为x元，则A款器材的单价为，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设B款器材的单价为x元，则A款器材的单价为， 根据题意，得， 解得， （元）， 答：A款器材的单价为180元，B款器材的单价为150元． 能力提升 1．若关于x的分式方程有增根，则m的值是（　    　） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】此题考查了分式方程的增根问题，根据解分式方程的方法去分母，把分式方程化为整式方程；接下来把增根的值代入到整式方程中，就可以求出m的值． 【详解】解：， 去分母得到， ∵关于x的分式方程有增根， ∴是方程 的根， 当时，解得： 当时，解得： 故选：A． 2．若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数的范围，先求出分式方程的解，根据解为正数，且分式有意义，得到不等式，进行求解即可． 【详解】解：，解得：， 由题意，得：且， ∴且， 解得：且； 故选D． 16．已知关于x的方程的解是负数，则n的取值范围为 ． 【答案】n＜2且 【详解】解：解方程得：x=n﹣2， ∵关于x的此方程的解是负数， ∴n﹣2＜0， 解得：n＜2． 又∵原方程有意义的条件为：， ∴，即． 故答案为：n＜2且． 3．按要求解答下列问题． 老师在黑板上书写了一个代数式的正确计算结果，随后用手遮住了原代数式的一部分，如图： (1)求被手遮住部分的代数式，并将其化简； (2)原代数式的值能等于吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查的是分式的化简求值，解分式方程，将未知式子看做一个整体是解题的关键． （1）设被手遮住部分的代数式为，代入原式求解可得答案； （2）设，可得，代入原式得被除数，原代数式无意义，所以原代数式的值不能等于． 【详解】（1）解：设被手遮住部分的代数式为， 则， ∴ ， 即：被手遮住部分的代数式为； （2）不能，理由如下： 若能使原代数式的值能等于， 则，即， 解得，经检验：是原方程的解， 但是，当时，原代数式中的除数，原代数式无意义. 所以原代数式的值不能等于． 4．为了提高生产效率，宏达公司对生产线进行了技术更新．更新技术后平均每天比更新技术前多生产万件产品，更新技术后生产万件产品所需时间与更新技术前生产万件产品所需时间相同，求更新技术后每天生产多少万件产品？ 【答案】更新技术后每天生产万件产品． 【分析】本题考查分式方程的应用，正确找出等量关系，列出方程是解题关键．设更新技术后每天生产万件产品，则更新技术前每天生产万件产品，根据“更新技术后生产万件产品所需时间与更新技术前生产万件产品所需时间相同”列出分式方程，解方程即可得答案． 【详解】解：设更新技术后每天生产万件产品，则更新技术前每天生产万件产品， ∵更新技术后生产万件产品所需时间与更新技术前生产万件产品所需时间相同， ∴， 解得：． 经检验：是分式方程的解，且符合题意， 答：更新技术后每天生产万件产品． 5．给出定义：如果两个实数m，n使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数m，n组成的数对称为关于x的分式方程的一个“梦想数对”． 例如：当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对称为关于的分式方程的一个“梦想数对”． (1)在数对①；②；③中，_________（只填号）是关于x的分式方程的“梦想数对”． (2)若数对是关于的分式方程的一个“梦想数对”求a的值． (3)若数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”，且关于的方程有整数解，直接写出整数c的值． 【答案】(1)①③ (2) (3)或 【分析】（1）根据定义，计算判断即可． （2）根据定义，分式方程的解为，代入方程求a的值即可． （3）根据数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”， 得关于的分式方程的解是，回代方程，得，结合关于的方程的解为，且方程有整数解，解答即可． 本题考查了分式的新定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】（1）解：当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对是关于的分式方程的一个“梦想数对” 故①正确； 当，时，使得关于的分式方程的解是，不是 成立，所以数对不是关于的分式方程的一个“梦想数对” 故②错误； 当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对是关于的分式方程的一个“梦想数对” 故③正确； 故答案为：①③． （2）解：根据定义，分式方程的解为， 故． 解得． （3）解：根据数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”， 得关于的分式方程的解是，回代方程，得， 整理，得， ∴， ∵且， ∴， ∴， ∵方程的解为， ∴， ∵方程有整数解， ∴ 当时，，（舍去）； 当时，，（舍去）； 故或． 6．若关于x的一元一次不等式组有解且至多有3个整数解，且关于y的分式方程有整数解，求所有满足条件的整数a的值之和． 【答案】6 【分析】本题考查一元一次不等式组和分式方程，根据关于的一元一次不等式组的解的情况求出的取值范围，根据关于的方程的解的情况求出的取值情况，然后求出满足条件的的值，即可得出答案． 【详解】解：解不等式组，得， 不等式组有解且最多有3个整数解， ， 解得：， 整数为：1，2，3，4，5，6， 解分式方程，得， 分式方程有整数解， 是整数，且， 整数为：1，5， 所有满足条件的整数的值之和是． 故答案为：6． 7．北京水稻历史悠久，为重振北京稻历史品牌辉煌，丰台区与国家粳稻工程技术研究中心共同建设“国家粳稻工程技术研究中心北京稻育繁种基地”，并于2023年7月正式挂牌、基地除培育优质稻品种外、会建设北京稻科普及培训展厅，并打造北京市中小学生科普实践教育基地，2023年10月，基地试验田迎来丰收，李老师通过探访基地，带来如下信息 信息一：基地有、两块试验田，分别种植普通水稻、粳稻“天隆优717”，试验田比试验田少20亩； 信息二：试验田总产量为10吨，试验田总产量为23吨； 信息三：粳稻“天隆优717”的平均每亩产量是普通水稻平均每亩产量的1.15倍． 根据以上信息，求出粳稻“天隆优717”平均每亩产量． 【答案】0.575吨 【分析】本题考查了分式方程的应用，设普通水稻平均每亩产量为吨，则粳稻“天隆优717”平均每亩产量为吨，利用试验田比试验田少20亩，可列方程，解方程即可解答，解题的关键是找出正确的等量关系． 【详解】解：设普通水稻平均每亩产量为吨， 则粳稻“天隆优717”平均每亩产量为吨． 由题意可得， ． 解得． 检验：当时，． 所以，原分式方程的解为． ． 答：粳稻“天隆优717”平均每亩产量为0.575吨． 8．临近春节，某书店计划在规定日期内采购一批挂历，根据甲、乙两个印刷厂的基本情况，经测算得出以下结论： ①甲厂单独生产这批挂历刚好如期完成； ②乙厂单独生产这批挂历要比规定日期多用6天； ③若甲、乙两厂共同生产3天，余下的由乙厂单独生产也正好如期完成． 根据以上信息，问书店采购这批挂历的规定日期是多少天？ 【答案】规定日期为6天 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设规定日期为天，由题意列出方程，解分式方程，进而即可得解，熟练掌握找准等量关系，正确列出分式方程是解决此题的关键． 【详解】解：设规定日期为天． 由题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：规定日期为6天． 9．如图，小明家、王老师家、学校在同一条路上，小明家到王老师家的路程为，王老师家到学校的路程为．由于小明脚扭伤，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车接小明上学．已知王老师骑自行车的平均速度是步行平均速度的2倍，他每天比平时步行上班多用，则王老师步行的平均速度及骑自行车的平均速度各是多少？ 【答案】王老师步行速度为，骑自行车的速度为 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程是解题的关键． 王老师接小明上学后走的总路程为，平时步行去学校的路程为，根据时间路程速度，以及关键语“比平时步行上班多用了”可得出的等量关系是：接小明上学后走的路程骑车的速度平时上班的路程步行的速度，据此列方程求解即可． 【详解】解：设王老师步行速度为，则骑自行车的速度为， 依题意，可得： ， 解得：， 经检验是原分式方程的根， 则， 答：王老师步行速度为，骑自行车的速度为． $$第二章 方程与不等式 第06讲 分式方程（2~7分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 分式方程的解法（高频考点） 考点二 与分式方程的解有关的问题（高频考点） 考点三 分式方程的应用（高频考点） 04题型精研·考向洞悉 命题点一 分式方程的解法 ►题型01 解分式方程 命题点二 与分式方程的解有关问题 ►题型01 分式方程的解为正数 ►题型02 分式方程无解 ►题型03 已知分式方程的解求参数 命题点三 分式方程的应用 ►题型01 分式方程的工程问题 ►题型02 分式方程的行程问题 ►题型03 分式方程的经济问题 ►题型04 分式方程的其他问题 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 解分式方程 能解可化为一元一次方程的分式方程 5年5考 中考中本考点考查内容以分式方程解法、分式方程的应用题为主.预计2025年北京中考还将继续考查分式方程解法、分式方程的应用题，为避免丢分，学生应扎实掌握． 分式方程的应用 能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性 近10年连续考查 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 分式方程的解法（高频考点） 分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 增根的概念：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根. 1. 分式方程与整式方程的根本区别：分母中含有未知数，也是判断分式方程的依据. 2. 去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项. 3. 分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解． 4. 分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根． 5. 解分式方程可能产生使分式方程无意义的根，检验是解分式方程的必要步骤. 6. 分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解. 1．方程 的解为 ． 2．方程的解为 ． 3．解分式方程： (1) (2) 考点二 与分式方程的解有关的问题（高频考点） 1.由分式方程的解的情况求字母系数的取值范围，一般解法是： ①根据未知数的范围求出字母的范围； ②把使分母为0的未知数的值代入到去分母后的整式方程中，求出对应的字母系数的值； ③综合①②，求出字母系数的范围. 2.依据分式方程的增根确定字母参数的值的一般步骤： 1)先将分式方程转化为整式方程; 2)由题意求出增根; 3)将增根代入所化得的整式方程，解之就可得到字母参数的值. 考点三 分式方程的应用（高频考点） 用分式方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义;+ 1）检验所求的解是否是所列分式方程的解. 2）检验所求的解是否符合实际意义. 答：实际问题的答案. 与分式方程有关应用题的常见类型： 命题点一 分式方程的解法 ►题型01 解分式方程 1．方程的解为 . 2．方程的解为 ． 3．解方程：． 命题点二 与分式方程有关的解的问题 ►题型01 分式方程的解为正数 1．若关于x的方程=3的解为正数，则m的取值范围是（ ） A．m＜ B．m＜且m≠ C．m＞﹣ D．m＞﹣且m≠﹣ ►题型02 分式方程无解 1．若关于x的分式方程有增根，则 ． 2．如果关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．5 B．3 C．1 D．－1 ►题型03 已知分式方程的解求参数 1．若是分式方程的根，则a的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 命题点三 分式方程的应用 ►题型01 分式方程的工程问题 1．随着快递业务的不断增加，分拣快件是一项繁重工作，某快递公司为了提高分拣效率，引进智能分拣机，每台机器每小时分拣的快件量是人工每人每小时分拣快件数量的20倍，经过测试，由5台机器分拣6000件快件的时间，比20个人工分拣同样数量的快件节省4小时，求人工每人每小时分拣快件的数量． 2．综合与实践． 如何分配工作，使公司支付的总工资最少 素材1 壮锦是工艺美术织品，是壮族人民最精彩的文化创造之一，其历史也非常悠久．某公司承接到2160个壮锦手提包的订单，计划将任务分配给甲、乙两个生产部门去完成． 甲部门每天生产的总数是乙部门每天生产总数的2倍，甲部门单独完成这项任务所需的时间比乙部门单独完成少18天． 素材2 经调查，这项订单需要支付甲部门4800元/天，乙部门3000元/天． 素材3 由于甲部门有其他工作任务，甲部门工作天数不超过乙部门工作天数的一半． 问题解决 任务1 确定工作效率 求甲、乙部门原来每天分别生产多少个壮锦手提包； 任务2 拟订设计方案 ①若设甲部门工作m天，则甲部门完成壮锦手提包______个，乙部门工作时间可表示为______天； ②如何安排甲、乙两部门工作的天数，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少？最少需要多少元？ 3．甲、乙两个工程队承担了福州市今年旧城改造工作中的一个办公楼项目，若乙队单独工作3天后，再由两队合作7天就可以完成这个项目，已知乙队单独完成这个项目所需天数是甲队单独完成这个项目所需天数的2倍．求甲，乙两个工程队单独完成这个项目各需多少天． ►题型02 分式方程的行程问题 1．2024年12月7日哈尔滨第五届采冰节在松花江北岸启幕，吸引了众多游客，小帅一家从距离哈尔滨180km的地方开车前往，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来的速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40min到达目的地．设前一小时的行驶速度为每小时千米，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．随着国家提倡节能减排，新能源车将成为时代“宠儿”．端午节，君君一家驾乘刚购买的新能源车，去相距的古镇旅行，原计划以速度匀速前行，因急事以计划速度的倍匀速行殃，结果就比原计划提前了到达，则原计划的速度v为 ． 3．京城路边排满了各种颜色的共享单车，本着低碳出行与强身健体的理念，赵老师决定改骑共享单车上下班．通过一段时间的体验，赵老师发现每天上班所用时间只比自驾车多小时．已知赵老师家距学校千米，上下班高峰时段，自驾车的速度是自行车速度的倍．求赵老师骑共享单车每小时行驶多少千米. 4．在周末自驾游中，李明和张华相约从A城前往B城进行户外探险.已知A、B两城相距120公里，两人均匀速行驶，李明与张华的速度之比为． (1)若张华先行15公里后，李明才开始从A城出发，李明出发30分钟恰好追上张华，求李明驾驶的速度为每小时多少公里； (2)若张华比李明早出发30分钟，结果反而比李明晚30分钟到达B城，求李明驾驶的速度为每小时多少公里． ►题型03 分式方程的经济问题 1．端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场进来鲜肉粽和红枣粽．每千克鲜肉粽进价比红枣粽多元，用元购进的鲜肉粽比用元购进的红枣粽重千克．求该商场每千克红枣粽进价是多少元？ 2．山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的型车去年销售总额为50000元，今年每辆销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少． ，两种型号车的进货和销售价格如下表： 型车 型车 进货价格（元） 1100 1400 销售价格（元） 今年的销售价格 2000 (1)今年型车每辆售价多少元？（用列方程的方法解答） (2)该车行计划新进一批型车和新款型车共80辆，且型车的进货数量不超过型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？ 3．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著读书活动，用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城8折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第一批少4套，求第一批购进的“四大名著”每套的价格是多少元． ►题型04 分式方程的其他问题 1．如图，“丰收号”小麦的试验田是边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收号”小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了． (1)“丰收号”小麦试验田的单位面积产量是 ，“丰收号”小麦试验田的单位面积产量是 ．单位面积产量高的是 ：（填“丰收号”或“丰收号”） (2)若高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍，求“丰收号”小麦的试验田的边长． 2．一年一度的元旦节即将到来，某校初三年级的家委会妈妈们准备购买签字笔和圆规两种文具作为小礼物送给初三年级的孩子们，计划用2400元购买签字笔，用900元购买圆规，已知一支签字笔和一个圆规的售价之和为15元，计划购买签字笔的数量是圆规数量的4倍． (1)求计划分别购买多少支签字笔和多少个圆规？ (2)实际购买时，家委会妈妈们发现每支签字笔的售价降低了，每个圆规的售价便宜了元，根据各班对两种文具喜好的调查结果，家委会的妈妈们调整了购买签字笔和圆规的数量，实际购买圆规的数量比计划购买圆规的数量增加了个，但实际购买签字笔和圆规的总数量与计划购买签字笔和圆规的总数量相同，最终实际购买签字笔和圆规的总费用比计划购买签字笔和圆规的总费用减少了元，求的值． 3．今年春节假期国内又将迎来旅游高峰，滑雪游成为热门主题，许多市民选择前往沙坪坝区的融创茂雪世界进行滑雪体验． (1)该雪世界提供成人票和儿童票两种选择，其中一张成人票比一张儿童票贵元，购买2张成人票和1张儿童票的总费用为元．求成人票价和儿童票价分别是多少元？ (2)某滑雪装备店销售成人及儿童所需的雪具，其中成人雪具的价格比儿童雪具贵，有顾客发现，用元购买成人雪具的数量比用同样金额购买儿童雪具的数量少套，求成人雪具的单价． 4．第一届全国青少年三大球运动会于2024年11月20日至11月28日在长沙市和岳阳市举行．有来自全国25个省、自治区、直辖市的96支队伍、约1500名运动员到湖南省参赛，决赛场次总计308场．长沙市南雅中学作为本次三大球运动会的承办地之一，承担了足球赛事．在筹备期间，为了确保赛事顺利进行，学校准备一次性购买若干个足球和排球，用480元购买足球的数量和用390元购买排球的数量相同，已知足球的单价比排球的单价多15元． (1)足球和排球的单价各是多少元？ (2)根据学校实际情况，需一次性购买足球和排球共100个，但要求其总费用不超过7550元，那么学校最多可以购买多少个足球？ 05分层训练·巩固提升 基础巩固 1．如果分式的值为，那么的值是（    ） A． B． C． D． 2．分式方程的两边同时乘以，约去分母，得到的整式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 3．甲做360个零件与乙做480个零件所出的时间相同，已知两人每天共做140个零件，若设甲每天做个零件，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 4．定义运算“”：，若，则的值为(    ) A． B． C． D．或 5．如图所示，小琳总结了“解可化为一元一次方程的分式方程”的运算流程，那么A和分别代表的是（    ）    A．分式的基本性质1，最简公分母 B．分式的基本性质1，最简公分母 C．等式的基本性质2，最简公分母 D．等式的基本性质2，最简公分母 6．某农业合作社在春耕期间采购了，两种型号无人驾驶农耕机器，已知每台型机器的进价比每台型机器进价的2倍少万元；采购相同数量的，两种型号机器．分别花费了万元和万元．若设每台型机器的进价为万元，根据题食可列出关于的方程为（   ） A． B． C． D． 7．方程的解为 8．学校用3600元去商场购买消毒液对教室进行消毒．经过还价，每瓶便宜2元，结果比用原价多买了60瓶．若设原价每瓶x元，则可列出方程为 ． 9．清明节期间，初二某班同学租一辆面包车前去故宫游览，面包车的租金为元，出发时又增加了名同学，且租金不变，这样每个同学比原来少分摊了元车费，若设实际参加游览的同学，一共有人则可列分式方程 ． 10．无人机是现代科技领域的重要创新之一，使用无人机对茶园进行病虫害防治，可以提高效率．已知使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是人工每小时对茶园打药的作业面积的6倍，若使用无人机对600亩茶园打药的时间比人工对300亩茶园打药的时间少20小时，求使用无人机每小时对茶园打药的作业面积． 11．《清明上河图》是北宋画家张择端的作品，是中国十大传世名画之一．如图是某书画家的一幅局部临摹作品，装裱前是长为，宽为的矩形，装裱后，整幅图画长与宽的比是，且四周边衬的宽度相等，求边衬的宽度．    12．某社区积极响应正在开展的“创文活动”，安排甲、乙两个工程队对社区进行绿化改造．已知甲工程队每天能完成的绿化改造面积是乙工程队每天能完成的绿化改造面积的2倍，且甲工程队完成的绿化改造比乙工程队完成的绿化改造少用4天．分别求甲、乙两工程队每天能完成绿化改造的面积． 13．随着网络技术的发展，市场对产品的需求越来越大．为满足市场需求，某大型产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度．现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需的时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，求该厂家更新技术前每天生产多少万件产品？ 14．南沙区某中学为满足学生的需求，丰富大课间运动项目，决定购入、两款运动器材，其中款器材单价是款器材单价的1.2倍，用9900元购买的款器材数量比用7500元购买的款器材数量多5套．分别求出、两款器材的单价． 能力提升 1．若关于x的分式方程有增根，则m的值是（　    　） A．或 B． C． D．或 2．若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 16．已知关于x的方程的解是负数，则n的取值范围为 ． 3．按要求解答下列问题． 老师在黑板上书写了一个代数式的正确计算结果，随后用手遮住了原代数式的一部分，如图： (1)求被手遮住部分的代数式，并将其化简； (2)原代数式的值能等于吗？请说明理由． 4．为了提高生产效率，宏达公司对生产线进行了技术更新．更新技术后平均每天比更新技术前多生产万件产品，更新技术后生产万件产品所需时间与更新技术前生产万件产品所需时间相同，求更新技术后每天生产多少万件产品？ 5．给出定义：如果两个实数m，n使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数m，n组成的数对称为关于x的分式方程的一个“梦想数对”． 例如：当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对称为关于的分式方程的一个“梦想数对”． (1)在数对①；②；③中，_________（只填号）是关于x的分式方程的“梦想数对”． (2)若数对是关于的分式方程的一个“梦想数对”求a的值． (3)若数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”，且关于的方程有整数解，直接写出整数c的值． 6．若关于x的一元一次不等式组有解且至多有3个整数解，且关于y的分式方程有整数解，求所有满足条件的整数a的值之和． 7．北京水稻历史悠久，为重振北京稻历史品牌辉煌，丰台区与国家粳稻工程技术研究中心共同建设“国家粳稻工程技术研究中心北京稻育繁种基地”，并于2023年7月正式挂牌、基地除培育优质稻品种外、会建设北京稻科普及培训展厅，并打造北京市中小学生科普实践教育基地，2023年10月，基地试验田迎来丰收，李老师通过探访基地，带来如下信息 信息一：基地有、两块试验田，分别种植普通水稻、粳稻“天隆优717”，试验田比试验田少20亩； 信息二：试验田总产量为10吨，试验田总产量为23吨； 信息三：粳稻“天隆优717”的平均每亩产量是普通水稻平均每亩产量的1.15倍． 根据以上信息，求出粳稻“天隆优717”平均每亩产量． 8．临近春节，某书店计划在规定日期内采购一批挂历，根据甲、乙两个印刷厂的基本情况，经测算得出以下结论： ①甲厂单独生产这批挂历刚好如期完成； ②乙厂单独生产这批挂历要比规定日期多用6天； ③若甲、乙两厂共同生产3天，余下的由乙厂单独生产也正好如期完成． 根据以上信息，问书店采购这批挂历的规定日期是多少天？ 9．如图，小明家、王老师家、学校在同一条路上，小明家到王老师家的路程为，王老师家到学校的路程为．由于小明脚扭伤，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车接小明上学．已知王老师骑自行车的平均速度是步行平均速度的2倍，他每天比平时步行上班多用，则王老师步行的平均速度及骑自行车的平均速度各是多少？ $$