2.5 指数函数-2025年高考数学艺考生总复习（新教材新高考）

2.5 指数函数 【题型1】 指数函数的图象 【基础知识】 1 指数函数概念 一般地，函数且叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为. 2 指数函数的图像与性质 函数名称 指数函数 定义 函数且叫做指数函数 图象 【例】画出函数和的图象. 解 【经典例题】 【例1】（2025·陕西·专练）函数与，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是（    ） A．B．C．D． 【例2】函数的大致图像是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1函数的图象大致是（    ） A．B．C．D． 2（2025·广东·专练）已知函数，则函数的图像经过（    ）． A．第一、二、四象限 B．第二、三、四象限 C．第二、四象限 D．第一、二象限 3（2025·全国·专练）函数（，且）的图象可能是（    ）. A．B．C．  D． 4函数（且）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 5函数(是自然底数)的大致图像是（    ） A．B．C．D． 【题型2】比较指数式大小 【基础知识】 指数函数的图像与性质 函数名称 指数函数 定义 函数且叫做指数函数 图象 定义域 值域 过定点 图象过定点，即当时，． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上是增函数 在上是减函数 【例】比较与的大小. 解析 两个幂的底数都是，想到指数函数，则，， 而是增函数，所以，即。 【经典例题】 【例1】（2024·云南·二模）若，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【巩固练习】 1（2025·江西鹰潭·模拟预测）下列比较大小正确的是（    ） A． B． C． D． 2 （2025·广东·专练）已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3（2025·河北·专练）设，，，则（    ） A． B． C． D． 4（2025·广东·专练）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5（2025·湖北·专练）已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 6已知，则m，n的大小关系为（    ） A． B． C． D．不能确定 7（2025·陕西榆林·模拟预测）已知非零实数，满足，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 8（2022·河南商丘·三模）已知且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【题型3】 求解指数型不等式 【基础知识】 指数函数的图像与性质 函数名称 指数函数 定义 函数且叫做指数函数 图象 定义域 值域 过定点 图象过定点，即当时，． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上是增函数 在上是减函数 【例】解不等式. 解析 ，而是增函数，所以。 【经典例题】 【例1】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（2024·北京·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2（2024·山西太原·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3（2024·重庆·三模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4（2024·江西·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 5（2024·山西·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【题型4】 指数型函数的最值或范围问题 【基础知识】 若函数在上单调递增，则在上的最小值为，最大值为； 若函数在上单调递减，则在上的最小值为，最大值为. 【经典例题】 【例1】（2023·湖南岳阳·模拟预测）若函数在上的最小值与最大值的和等于24，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【例2】（2025·广东·专练）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（2025·河南·专练）函数在区间上的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2（2025·广东·专练）函数在区间上的最大值（    ） A．125 B．25 C． D． 3（2024·江西南昌·三模）已知集合，.则（   ） A． B． C． D． 4（2025·广东·专练）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【A组---基础题】 1（2025·广东·专练）函数的图像不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 3（2025·湖北·专练）函数的图象是（    ） A． B． C． D． 4（2023·上海闵行·一模）已知a，，，则下列不等式中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 5（2025·广东·专练）若，则（    ） A． B． C． D． 6设，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 7函数在区间上的最大值（    ） A．125 B．25 C． D． 8（2024·浙江·模拟预测）已知集合，则的元素数量是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 9（2024·广西柳州·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 10（2023·四川成都·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 11（2023·辽宁大连·一模）函数在区间[-2,-1]上的最大值是 A．1 B．2 C．4 D． 12（2023·湖北十堰·二模）若集合，，则（    ）． A． B． C． D． 13（多选）下列函数中，在其定义域上为单调递减的函数是（    ） A． B． C． D． 14（多选）若函数（且）的图像过第一、三、四象限，则必有（    ）． A． B． C． D． 【B组---提高题】 1（2025·广东·专练）已知函数过定点M，点M在直线上且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 2（2025·广东·专练）已知函数，若，则的最大值和最小值分别是（   ） A． B． C． D． 3（2024·江西·模拟预测）函数的一个单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 4设函数在区间上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.5 指数函数 【题型1】 指数函数的图象 【基础知识】 1 指数函数概念 一般地，函数且叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为. 2 指数函数的图像与性质 函数名称 指数函数 定义 函数且叫做指数函数 图象 【例】画出函数和的图象. 解 【经典例题】 【例1】（2025·陕西·专练）函数与，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】由直线方程得到直线为增函数，又，可排除D选项. 【详解】对于A，C，由于函数是增函数，图象应该呈上升趋势，所以A，C错误； 对于B，又由指数函数的性质可得，故D错误； 故选：B 【例2】函数的大致图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据函数的最大值排除A B D可得答案. 【详解】因为，所以，排除A B D. 故选：C 【巩固练习】 1函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的单调性及定点即可判断. 【详解】函数单调递增，且过点，B选项满足条件. 故选：B 2（2025·广东·专练）已知函数，则函数的图像经过（    ）． A．第一、二、四象限 B．第二、三、四象限 C．第二、四象限 D．第一、二象限 【答案】B 【分析】根据指数函数的单调性和函数图象的平移变换即可得出结果. 【详解】因为， 所以函数的图象经过一、二象限， 又的图象是由的图象沿y轴向下平移2个单位得到， 所以函数的图象经过二、三、四象限，如图， 故选：B 3（2025·全国·专练）函数（，且）的图象可能是（    ）. A． B． C．   D． 【答案】C 【分析】利用指数函数的图象和性质以及图象的平移变换进行判断. 【详解】因为函数（，且）， 当时，是增函数，并且恒过定点， 又因为的图象在的基础上向下平移超过1个单位长度，故D错误，C正确； 当时，是减函数，并且恒过定点， 又的图象在的基础上向下平移了不到1个单位长度，故A，B错误. 故选：C. 4函数（且）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的解析式，判定得到图象过定点，结合选项，即可求解. 【详解】由题意，函数（且） 当时，可得，即函数的图象过定点， 结合选项，只有图象C适合. 故选：C. 5函数(是自然底数)的大致图像是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的图像与性质即可得出答案. 【详解】解析 ， 函数为偶函数，且过，， 函数在上递增，在上递减，故C符合. 故选：C. 【题型2】比较指数式大小 【基础知识】 指数函数的图像与性质 函数名称 指数函数 定义 函数且叫做指数函数 图象 定义域 值域 过定点 图象过定点，即当时，． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上是增函数 在上是减函数 【例】比较与的大小. 解析 两个幂的底数都是，想到指数函数，则，， 而是增函数，所以，即。 【经典例题】 【例1】（2024·云南·二模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中间数比较与，根据中间数比较与. 【详解】因为，， 所以，因为，， 所以，所以. 故选：D. 【例2】（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件. 【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件. 故选：C. 【巩固练习】 1（2025·江西鹰潭·模拟预测）下列比较大小正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数的单调性可得出、、这三个数的大小. 【详解】因为指数函数为减函数，则. 故选：A. 2 （2025·广东·专练）已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数性质以及中间量“1”即可比较大小. 【详解】根据指数函数性质知，即， 又因为，则. 故选：D. 3（2025·河北·专练）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数的性质计算即可. 【详解】易知，所以. 故选：D 4（2025·广东·专练）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化为同底，然后利用的单调性可解. 【详解】， 因为在R上单调递增，且， 所以，即. 故选：A 5（2025·湖北·专练）已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，举例说明判断A，C，D；利用指数函数单调性判断B作答. 【详解】取，满足，显然有、、成立，即选项A，C，D都不正确； 指数函数在R上单调递增，若，则必有，B正确. 故选：B 6已知，则m，n的大小关系为（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用指数函数单调性比较大小即可. 【详解】函数是R上的减函数，由，得. 故选：B 7（2025·陕西榆林·模拟预测）已知非零实数，满足，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取可判断A、C；根据，在上单调性，结合可判断B、D. 【详解】解：由题知，不妨取，则， 故选项A错误； 因为在上单调递增，由， 所以，故选项B正确； 当时，，故选项C错误； 因为在上单调递增，由， 可得，故选项D错误. 故选：B 8（2022·河南商丘·三模）已知且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】利用指数函数的单调性即可判断 【详解】由“”可知，函数在上单调递增，所以，充分性成立； 因为，所以当时，则；当时，则，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A 【题型3】 求解指数型不等式 【基础知识】 指数函数的图像与性质 函数名称 指数函数 定义 函数且叫做指数函数 图象 定义域 值域 过定点 图象过定点，即当时，． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上是增函数 在上是减函数 【例】解不等式. 解析 ，而是增函数，所以。 【经典例题】 【例1】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用指数函数的单调性解集合得：，再利用求根式函数定义域解集合得：，最后利用并集求出结果即可. 【详解】因为，， 所以， 故选：A. 【巩固练习】 1（2024·北京·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数函数性质确定集合，再由交集定义计算． 【详解】，又， 所以， 故选：A． 2（2024·山西太原·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简集合B，再根据集合的运算得解. 【详解】，则. 故选：B. 3（2024·重庆·三模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据真数大于零和解指数不等式即可求出集合,然后求出交集. 【详解】由得, 由得，则. 故选:D. 4（2024·江西·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用列举法表示集合A，解指数不等式化简集合B，再利用交集的定义求解即得. 【详解】依题意，，， 则． 故选：C 5（2024·山西·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出两个集合，再根据交集的定义即可得解. 【详解】或， ， 所以. 故选：D. 【题型4】 指数型函数的最值或范围问题 【基础知识】 若函数在上单调递增，则在上的最小值为，最大值为； 若函数在上单调递减，则在上的最小值为，最大值为. 【经典例题】 【例1】（2023·湖南岳阳·模拟预测）若函数在上的最小值与最大值的和等于24，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据指数函数的单调性求出最值即可得解. 【详解】因为函数在上是增函数， 所以， 则，所以. 故选：C. 【例2】（2025·广东·专练）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意求集合，进而求交集. 【详解】由题意可知：， ， 所以. 故选：C. 【巩固练习】 1（2025·河南·专练）函数在区间上的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】分析可知函数在区间上单调递增，结合单调性求最值. 【详解】因为在区间上单调递增，则函数在区间上单调递增， 所以函数在区间上的最小值为. 故选：A. 2（2025·广东·专练）函数在区间上的最大值（    ） A．125 B．25 C． D． 【答案】A 【分析】判断函数的单调性，利用单调性求出最大值即得. 【详解】函数在R上单调递减， 所以当时，. 故选：A 3（2024·江西南昌·三模）已知集合，.则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次根式的定义域结合指数函数的值域求出对应集合，再取交集即可. 【详解】令，解得，故， 易得，故，则， 故，故A正确， 故选：A 4（2025·广东·专练）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，将集合化简，再结合交集的运算，即可得到结果. 【详解】 或， ，所以， 故选：C 【A组---基础题】 1（2025·广东·专练）函数的图像不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据指数函数的图象，再平移后得到 ，直接判断选项. 【详解】函数经过第一、二象限，向下平移3个单位后得到函数，则经过一、三、四象限，不经过第二象限. 故选：B 2函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的解析式可得函数是以为底数的指数函数，再根据指数函数的图像即可得出答案. 【详解】解：由，得函数是以为底数的指数函数， 且函数为减函数，故D选项符合题意. 故选：D. 3（2025·湖北·专练）函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】确定函数的奇偶性与单调性，用排除法确定正确结论． 【详解】，是偶函数，可排除C，D， 又时，是增函数，排除B． 故选：A． 【点睛】本题考查由解析式选函数图象问题，可由解析式研究函数的性质，如奇偶性，单调性，对称性等等，研究函数值的变化规律，特殊的函数值等等用排除法确定正确选项． 4（2023·上海闵行·一模）已知a，，，则下列不等式中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据不等式性质可判断A，B；举反例可判断C；根据指数函数的单调性判断D. 【详解】对于A，B，a，，，则,一定成立； 对于C，取，满足，则， 当时，，故C中不等式不一定成立； 对于D，由，由于在R上单调递增，则成立， 故选：C 5（2025·广东·专练）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取特殊值即可排除A、B选项；即可排除C选项；由单调性知D正确. 【详解】取，显然，A错误；，B错误； 若，无意义，C错误；若，则，D正确. 故选：D. 6设，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的单调性即可判断. 【详解】因为在R上增函数，所以，即， 又在R上减函数，所以，即， 所以. 故选：B. 7函数在区间上的最大值（    ） A．125 B．25 C． D． 【答案】A 【分析】判断函数的单调性，利用单调性求出最大值即得. 【详解】函数在R上单调递减， 所以当时，. 故选：A 8（2024·浙江·模拟预测）已知集合，则的元素数量是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性得，即可求解. 【详解】由于，故，又，故，有5个元素， 故选：D. 9（2024·广西柳州·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出集合，再求. 【详解】， 则. 故选：C. 10（2023·四川成都·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接解出集合，再利用指数函数单调性即可解出集合，最后根据并集含义即可得到答案. 【详解】由题意可得，集合，，解得， 则，所以. 故选：C. 11（2023·辽宁大连·一模）函数在区间[-2,-1]上的最大值是 A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】根据函数的单调性，判断出当时函数取得最大值，并由此求得最大值. 【详解】由于为定义域上的减函数，故当时函数取得最大值为.故选C. 【点睛】本小题主要考查指数函数的单调性，考查指数运算，考查函数最值的求法，属于基础题. 12（2023·湖北十堰·二模）若集合，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的意义求出集合A，根据指数函数的性质求出集合B，结合集合间的关系即可求解. 【详解】因为， ， 所以． 故选：C. 13（多选）下列函数中，在其定义域上为单调递减的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据函数的解析式，直接判断函数的单调性. 【详解】A.在上单调递减，故A正确； B.在单调递减，在单调递增，故B错误； C.在定义域单调递增，故C错误； D.在定义域上单调递增，故D正确. 故选：AD 14（多选）若函数（且）的图像过第一、三、四象限，则必有（    ）． A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】对底数分情况讨论即可得答案. 【详解】解：若，则的图像必过第二象限，而函数（且）的图像过第一、三、四象限，所以． 当时，要使的图像过第一、三、四象限，则，即． 故选：BC 【点睛】此题考查了指数函数的图像和性质，属于基础题. 【B组---提高题】 1（2025·广东·专练）已知函数过定点M，点M在直线上且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数函数性质确定定点坐标，结合题设有，应用基本不等式“1”的代换求目标式最小值. 【详解】由题设，恒过点，则， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以目标式最小值为. 故选：A 2（2025·广东·专练）已知函数，若，则的最大值和最小值分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，得到，令，从而将问题转化成求在区间上的最值，即可求解. 【详解】由，得到，令， 则，对称轴， 当时，取得最大值，最大值为， 当时，取得最小值，最小值为， 所以的最大值和最小值分别是，， 故选：B. 3（2024·江西·模拟预测）函数的一个单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数型复合函数的单调性即可得出答案. 【详解】令，则， 由复合函数的单调性可知： 的单调递减区间为函数的单调递减区间， 又函数， 即函数为偶函数， 结合图象，如图所示， 可知函数的单调递减区间为和， 即的单调递减区间为和． 故选：C． 4设函数在区间上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合指数函数和二次函数的单调性，由复合函数单调性可得答案. 【详解】函数分为外函数：，内函数：； 根据复合函数同增异减法则，在区间上单调递增， 且外函数单调递减，则内函数在也单调递减； 为二次函数，开口向下，对称轴为，所以，所以. 故选：A． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$