2.4 指数幂和对数的运算-2025年高考数学艺考生总复习（新教材新高考）

2.4 指数幂和对数的运算 【题型1】 n次方根与分数指数幂 【基础知识】 1 次方根 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且. 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数. 负数没有偶次方根；的任何次方根都是. 注意：(1) (2)当是奇数时，，当是偶数时， 【例1】求值， . 解 ， . 2 正数的正分数指数幂的意义 ① 正数的正分数指数幂的意义，规定： 巧记“子内母外”(根号内的作分子，根号外的作为分母) 【例】把下列根式和指数幂相互转化：，，. 解 ，，. ② 正数的负分数指数幂的意义： ③ 的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义. 【经典例题】 【例1】 将根式化为分数指数幂是（    ） A． B． C． D． 【例2】当有意义时，化简的结果是（    ）． A． B． C． D． 【巩固练习】 1将写成分数指数幂的形式为（    ） A． B． C． D． 2若，则（    ） A． B． C． D． 3化简：（    ） A．0 B． C．或0 D． 【题型2】指数幂运算 【基础知识】 实数指数幂的运算性质 ① ； ② ； ③ . 【经典例题】 【例1】计算：； 【巩固练习】 1计算： 值为（    ） A． B． C． D． 2计算：（    ） A． B． C．3 D． 3计算： （    ） A． B． C． D． 4计算： 【题型3】 对数式与指数式的互换 【基础知识】 1对数的概念 概念 一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作 (底数，真数，对数) 两个重要对数 常用对数以为底的对数，记为； 自然对数以无理数为底的对数的对数，记为． 对数式与指数式的互化 对数式 指数式 如 ；. 结论 ① 负数和零没有对数 ② 特别地，，， 解释 ， 中，如没意义； 由对数式与指数式的互化得， . 【经典例题】 【例1】下列指数式与对数式互化不正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【例2】（2023·四川绵阳·一模）设，则的值是（    ） A．1 B．2 C．4 D．9 【巩固练习】 1下列对数式中，与指数式等价的是（    ） A． B． C． D． 2将化为对数式正确的是（    ） A． B． C． D． 3已知，则（    ） A． B． C． D． 4方程的解为（　　） A． B． C． D． 5 （2022·安徽合肥·模拟预测）方程的解是（    ） A．1 B．2 C．e D．3 【题型4】 对数运算性质 【基础知识】 对数的运算性质 如果，，，有 ① ② ③ ④ 【例】计算 解析 . 【经典例题】 【例1】计算 【例2】（2024·山东聊城·二模）已知函数为上的偶函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1计算：（    ） A． B．0 C．1 D．2 2计算：（    ） A．4 B． C． D． 3计算：（    ） A． B．1 C． D． 4计算：的值为（    ） A． B． C．1 D． 5（2023·湖南岳阳·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D．5 6已知函数，则（    ） A．0 B．1 C． D． 7设函数则等于（    ） A． B． C．4 D．10 8（2023·甘肃·一模）已知是定义域为的奇函数，当时，，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【题型5】 换底公式 【基础知识】 换底公式 【例】求的值. 解 . 【经典例题】 【例1】计算的值为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1已知，，那么用含a、b的代数式表示为（    ） A． B． C． D． 2计算：的值为（    ） A． B． C．1 D．2 3计算:(    ) A． B． C． D． 4（2024·青海·模拟预测）若，，则（   ） A．1 B．－1 C．2 D．－2 5若，，则的值约为（    ） A．2.301 B．2.322 C．2.507 D．2.699 【A组---基础题】 1化简的结果是（   ） A． B． C． D． 2若，则（    ） A．1 B． C． D． 3计算：（    ） A． B．2 C．1 D．0 4若，则（    ） A． B． C． D． 5计算：（    ） A． B． C． D． 6计算（    ） A．2 B． C． D． 7式子的值为（    ） A． B． C． D． 8计算：的值是（    ） A． B． C． D． 9（2023·河南开封·三模）已知是定义在上的奇函数，当时，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 10（2022·青海海东·一模）若函数，则（    ） A． B． C． D． 11对于一个声强为I（单位：）的声波，其声强级L（单位：）可由如下公式计算：（其中是能引起听觉的最弱声强）.设声强为时的声强级为70，声强为时的声强级为60，则等于（   ） A．10 B．100 C． D．10000 12（多选）下列运算正确的有（    ） A． B． C． D． 13（多选）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 14计算下列各式的值. (1)； (2). 【B组---提高题】 1已知函数，则（    ） A． B．1 C． D． 2（2024·湖北·模拟预测）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 3（2022·广西·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D．1 4“学如逆水行舟，不进则退：心似平原跑马，易放难收”（明：《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．假设初始值为1，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是一年后“进步者”是“退步者”的倍．照此计算，大约经过（    ）天“进步者”是“退步者”的2倍（参考数据：，，） A．35 B．37 C．38 D．39 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.4 指数幂和对数的运算 【题型1】 n次方根与分数指数幂 【基础知识】 1 次方根 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且. 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数. 负数没有偶次方根；的任何次方根都是. 注意：(1) (2)当是奇数时，，当是偶数时， 【例1】求值， . 解 ， . 2 正数的正分数指数幂的意义 ① 正数的正分数指数幂的意义，规定： 巧记“子内母外”(根号内的作分子，根号外的作为分母) 【例】把下列根式和指数幂相互转化：，，. 解 ，，. ② 正数的负分数指数幂的意义： ③ 的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义. 【经典例题】 【例1】 将根式化为分数指数幂是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用根式与指数幂的互化直接求解. 【详解】根式化为分数指数幂是. 故选：A 【例2】当有意义时，化简的结果是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据根式有意义求得的范围，化简所求根式即可. 【详解】因为有意义，所以，则， 则 ， 故选：C. 【巩固练习】 1将写成分数指数幂的形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据根式与指数幂的互化即可求解. 【详解】将写成分数指数幂的形式为. 故选：B. 2若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据根式的性质化简即可得解. 【详解】因为， 所以， 故选：A 3化简：（    ） A．0 B． C．或0 D． 【答案】A 【分析】根据根式的性质即可求解. 【详解】因为 所以， 故， 故选：A 【题型2】指数幂运算 【基础知识】 实数指数幂的运算性质 ① ； ② ； ③ . 【经典例题】 【例1】计算：； 【答案】 【分析】根据幂指数运算即可； 【详解】原式 ． 【巩固练习】 1计算： 值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数运算的性质化简求值即可. 【详解】. 故选：B. 2计算：（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】利用指数运算化简求得表达式的值. 【详解】原式. 故选：D 3计算： （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将根式转化为指数式，化简可得解. 【详解】， 故选：B. 4计算： 【答案】 【分析】根据分数指数幂，零指数幂以及负指数幂的运算法则可求解. 【详解】原式. 【题型3】 对数式与指数式的互换 【基础知识】 1对数的概念 概念 一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作 (底数，真数，对数) 两个重要对数 常用对数以为底的对数，记为； 自然对数以无理数为底的对数的对数，记为． 对数式与指数式的互化 对数式 指数式 如 ；. 结论 ① 负数和零没有对数 ② 特别地，，， 解释 ， 中，如没意义； 由对数式与指数式的互化得， . 【经典例题】 【例1】下列指数式与对数式互化不正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】结合指数式与对数式互化的知识确定正确答案. 【详解】根据指数式与对数式互化可知： 对于选项A：等价于，故A正确； 对于选项B：等价于，故B正确； 对于选项C：等价于，故C错误； 对于选项D：等价于，故D正确； 故选：C. 【例2】（2023·四川绵阳·一模）设，则的值是（    ） A．1 B．2 C．4 D．9 【答案】B 【分析】根据对数的定义，结合指数式的运算律，可得答案. 【详解】由，则，，. 故选：B. 【巩固练习】 1下列对数式中，与指数式等价的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数式与对数式的关系直接判断即可. 【详解】对于A，等价于，A错误； 对于B，等价于，B错误； 对于C，等价于，C正确； 对于D，等价于，D错误. 故选：C. 2将化为对数式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指对互化即可求解. 【详解】化为对数式：， 故选：B 3已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数与对数的互化公式求解即可. 【详解】解：因为，所以， 故选：A 4方程的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把对数式化为指数式即可得出． 【详解】方程，化为：x． 故选：D． 5 （2022·安徽合肥·模拟预测）方程的解是（    ） A．1 B．2 C．e D．3 【答案】D 【分析】利用指数与对数的转化即可得到结果. 【详解】∵，∴，∴. 故选：D. 【题型4】 对数运算性质 【基础知识】 对数的运算性质 如果，，，有 ① ② ③ ④ 【例】计算 解析 . 【经典例题】 【例1】计算 【答案】 【分析】利用对数的性质，以及换底公式，将各个对数项转换为同底数对数相加或相减的形式，再进行计算即可. 【详解】由对数的运算性质可得， 因为，则， 因为，则 ； 且， 将上述结果代入原式，可得： . 胡最终计算得到：. 【例2】（2024·山东聊城·二模）已知函数为上的偶函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偶函数的定义可得，结合函数解析式和对数的运算性质即可求解. 【详解】因为为偶函数，所以， 则. 故选：A 【巩固练习】 1计算：（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】对数运算可解. 【详解】. 故选：D 2计算：（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数的概念，即可求出结果. 【详解】令，则，∴. 故选：B. 3计算：（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】利用对数运算性质计算得解. 【详解】. 故选：A 4计算：的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用对数的换底公式和运算性质，即可求解. 【详解】因为， 故选：D. 5（2023·湖南岳阳·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】由对数的运算规则，求解方程. 【详解】由，得，即，解得. 故选：B 6已知函数，则（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】先求出，进而计算. 【详解】． 故选：A． 7设函数则等于（    ） A． B． C．4 D．10 【答案】C 【分析】运用分段函数求函数值，代入对应函数段的解析式即可. 【详解】由题意知，. 故选：C. 8（2023·甘肃·一模）已知是定义域为的奇函数，当时，，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据奇函数的定义和对数的运算求解. 【详解】因为是定义域为的奇函数， 所以， 故选:B. 【题型5】 换底公式 【基础知识】 换底公式 【例】求的值. 解 . 【经典例题】 【例1】计算的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换底公式可计算出的值. 【详解】由换底公式得， 故选B. 【点睛】本题考查对数的运算，利用换底公式进行计算是解本题的关键，考查计算能力，属于基础题. 【巩固练习】 1已知，，那么用含a、b的代数式表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据换底公式解求得答案. 【详解】由换底公式，. 故选：B. 2计算：的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据换底公式运算求解即可. 【详解】解：． 故选：C 3计算:(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数换底公式,化简原式即可求得答案. 【详解】 故选:D. 【点睛】本题考查了对数的化简求值,掌握对数换底公式是解题关键,考查了计算能力,属于基础题. 4（2024·青海·模拟预测）若，，则（   ） A．1 B．－1 C．2 D．－2 【答案】A 【分析】本题考查指数式与对数式的互化、对数的运算法则、换底公式的应用. 【详解】由 ， 所以 故选：A 5若，，则的值约为（    ） A．2.301 B．2.322 C．2.507 D．2.699 【答案】B 【分析】借助指数与对数的关系及对数运算法则计算即可得. 【详解】由，则. 故选：B. 【A组---基础题】 1化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数幂运算求解即可. 【详解】由题意可得：. 故选：C. 2若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用根式与分数指数幂的互化与运算法则即可得解. 【详解】因为，则， 所以. 故选：C. 3计算：（    ） A． B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】直接根据指数幂的运算性质计算即可. 【详解】. 故选：D. 4若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对数式转化为指数式即可. 【详解】， . 故选：D. 5计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数和指数的运算性质计算可得所求代数式的值. 【详解】. 故选：C. 6计算（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数的运算公式可得答案. 【详解】. 故选：C. 7式子的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对数的换底公式可求得所求代数式的值. 【详解】. 故选：A. 8计算：的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用换底公式直接计算即可. 【详解】. 故选：A. 9（2023·河南开封·三模）已知是定义在上的奇函数，当时，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】计算出，根据函数奇偶性求出. 【详解】因为是定义在上的奇函数，当时，. 所以. 故选：A. 10（2022·青海海东·一模）若函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的解析式由内到外可计算得出的值. 【详解】由题意可得，则. 故选：C. 11对于一个声强为I（单位：）的声波，其声强级L（单位：）可由如下公式计算：（其中是能引起听觉的最弱声强）.设声强为时的声强级为70，声强为时的声强级为60，则等于（   ） A．10 B．100 C． D．10000 【答案】A 【分析】代入求值，得到，，得到答案. 【详解】令，则，解得：， 令，则，解得：， 故. 故选：A 12（多选）下列运算正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据对数的基本运算求解即可. 【详解】对A，，故A错误； 对B，，故B错误； 对C，正确； 对D，正确. 故选：CD 13（多选）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】ACD利用对数运算法则和换底公式可判断；B选项，利用指数幂的运算法则可判断. 【详解】A选项，，A正确； B选项，，B错误； C选项，，C错误； D选项，由换底公式可得，D正确. 故选：AD 14计算下列各式的值. (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用指数幂的运算法则计算即可得解； （2）利用对数的运算法则计算即可得解. 【详解】（1） . （2） . 【B组---提高题】 1已知函数，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据自变量取值所属区间代入对应函数解析式，由内而外逐层求解即可，注意对数恒等式的应用. 【详解】由题意，. 故选：D. 2（2024·湖北·模拟预测）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数的形式，结合对数和指数运算公式，即可求解. 【详解】， 故选：A 3（2022·广西·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】两边同取对数求出，代入式子利用换底公式即可求解. 【详解】由可知，， 即 . 故选：. 4“学如逆水行舟，不进则退：心似平原跑马，易放难收”（明：《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．假设初始值为1，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是一年后“进步者”是“退步者”的倍．照此计算，大约经过（    ）天“进步者”是“退步者”的2倍（参考数据：，，） A．35 B．37 C．38 D．39 【答案】A 【分析】根据题意列出不等式，利用指数和对数的运算性质求解即可． 【详解】假设经过天，“进步者”是“退步者”的2倍， 列方程得， 解得， 即经过约35天，“进步者”是“退步者”的2倍． 故选：A． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$