2.2 函数的单调性与最值-2025年高考数学艺考生总复习（新教材新高考）

2.2 函数的单调性与最值 【题型1】简单具体函数单调性 【基础知识】 1 函数单调性的概念 1 一般地，设函数的定义域为，区间: 如果，当时，都有，那么就说在区间上单调递增(左图).特别地，当函数在它定义域上单调递增时，我们就称它是增函数. 如果，当时，都有，那么就说在区间上单调递减(右图).特别地，当函数在它定义域上单调递减时，我们就称它是减函数. 2如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性．区间叫做函数的单调区间． 注 的三个特征一定要予以重视．函数单调性定义中的有三个特征：一是任意性，即任意取，“任意”二字绝对不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定；三是同属一个单调区间，三者缺一不可． 【例】 若函数的定义域为且满足，则函数在上为 (　　) A．增函数 B．减函数 C．先增后减 D．不能确定 解析 由于函数单调性的定义突出了的任意性，所以仅凭区间内几个有限的函数值的关系，是不能做为判断单调性的依据的，也就是说函数单调性定义的三个特征缺一不可．故选． 2 判断函数单调性的方法 （1）定义法 （2）数形结合 （3）性质法 增函数+增函数增函数，减函数+减函数减函数； 但增函数增函数不一定是增函数，比如，均是增函数，而不是. 【经典例题】 【例1】（多选）（2025·广东揭阳·专练）下列函数中，在区间上为减函数的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·湖南·专练）函数的一个单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（2025·湖南·专练）已知函数在上的图像如图，则函数单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 2（2025·湖北·专练）函数的单调区间为（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在单调递增，在单调递减 D．在单调递减，在单调递增 3（2025·河南·专练）函数，的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 4（2025·广东·专练）函数的单调递减区间为（　 ） A． B． C． D． 5（2023·海南海口·模拟预测）函数的单调递减区间是（    ） A． B．和 C． D．和 【题型2】复合函数单调性 【基础知识】 复合函数的单调性 (1)如果则称为的复合函数； 比如： (和的复合函数)； (和的复合函数)； (和的复合函数). (2) 同增异减 设函数的值域是，函数 若在各自区间单调性相同，则复合函数在区间上递增； 若在各自区间单调性不同，则复合函数在区间上递减. 【经典例题】 【例1】（2025·广东·专练）函数的单调增区间为（    ） A． B． C．和 D． 【例2】（2025·江西·专练）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（2025·湖南·专练）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 2（2025·河南·专练）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 3（2025·湖北·专练）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【题型3】根据函数单调性求参数 【经典例题】 【例1】（2024·山东·二模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【例2】（2023·陕西商洛·一模）已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（2025广东·专练）函数在上是减函数．则（　　） A． B． C． D． 2（2025广东·专练）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3（2024·广东揭阳·二模）已知函数在上不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4（2025山东·专练）如果函数在区间上单调递增，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5（2025河北·专练）已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型4】利用函数单调性解不等式 【基础知识】 若递增，，则. 若递增，，则. 递减，有类似结论！ 【例】若递增，比较与大小. 答案 . 【例】若递增比较与大小. 答案 . 【经典例题】 【例1】（2025广东·专练）已知函数是定义在上的单调减函数：若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2023·河南洛阳·一模）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（2025广东·专练）已知函数是定义在区间上的函数，且在该区间上单调递增，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2（2024·湖北武汉·二模）已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3（2025广东·专练）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4（2025·江西·模拟预测）已知函数则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【题型5】利用函数单调性求函数最值或值域 【基础知识】 1 函数最值的概念 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足： (1) ，都有；(2)，使得； 那么，我们称是函数的最大值.(最小值类似定义) 简单来说，最大值和最小值分别是函数图像中最高点和最低点的函数值. 【例1】下图为函数，的图象，指出它的最大值、最小值． 解析 观察函数图象可以知道，图象上最高点坐标为，最低点坐标为，所以当时，函数取得最大值；当时，取得最小值． 2 利用函数单调性求函数最值 若函数在上单调递增，则在上的最小值为，最大值为； 若函数在上单调递减，则在上的最小值为，最大值为. 【经典例题】 【例1】（2024·江西上饶·一模）.函数f(x)＝－x＋在上的最大值是（    ） A． B．－ C．－2 D．2 【巩固练习】 1（2025广东·专练）若函数在上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是（　　） A．2 B． C．2或 D．0 2（2025广东·专练）已知函数，则在区间的值域为（    ） A． B． C． D． 3（2025广东·专练）已知函数，，则函数（  ） A．有最小值，无最大值 B．有最大值，无最小值 C．既有最小值又有最大值 D．既无最小值，又无最大值 4（2025广东·专练）已知函数，其定义域是，，则下列说法正确的是　　 A．有最大值，无最小值 B．有最大值，最小值 C．有最大值，无最小值 D．有最大值2，最小值 5函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 6（多选）（2025广东·专练）若函数的定义域为，值域为，则a的值可能为（ ） A．1 B．2 C．4 D．5 【A组---基础题】 1已知函数是实数集上的减函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2（2025广东·专练）函数的单调减区间是（    ） A． B． C． D． 3（2025河北·专练）函数的单调增区间是（    ）. A． B． C． D．， 4（2025江西·专练）函数y＝的递增区间是（    ） A．(－∞，－2) B．[－5，－2] C．[－2,1] D．[－5,1] 5（2025广东·专练）“”是“函数在上单调递增”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6定义在上的函数满足，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7函数在上的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 8函数的最小值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 9（2025浙江·专练）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 10（多选）如图是函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．在 上单调递减 B．在上单调递增 C．在区间上的最大值为3，最小值为 D．在上有最大值3，有最小值 11（多选）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 12（多选）已知函数的值域为，则的定义域可以为（   ） A． B． C． D． 13（2023·北京顺义·一模）能说明“若对任意的都成立，则在上单调递增”为假命题的一个函数是 ． 14（2024·广东深圳·三模）函数的单调递增区间是 ． 15（2024高三·全国·专题练习）已知函数，，则不等式的解集为 ． 【B组---提高题】 1已知函数，且的最大值为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2设函数则函数的单调递增区间为 A． B． C． D． 3（2023·四川泸州·一模）已知的值域为，则的最小值为（    ） A．0 B．2 C． D．1 4已知函数的最小值是，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2 函数的单调性与最值 【题型1】简单具体函数单调性 【基础知识】 1 函数单调性的概念 1 一般地，设函数的定义域为，区间: 如果，当时，都有，那么就说在区间上单调递增(左图).特别地，当函数在它定义域上单调递增时，我们就称它是增函数. 如果，当时，都有，那么就说在区间上单调递减(右图).特别地，当函数在它定义域上单调递减时，我们就称它是减函数. 2如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性．区间叫做函数的单调区间． 注 的三个特征一定要予以重视．函数单调性定义中的有三个特征：一是任意性，即任意取，“任意”二字绝对不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定；三是同属一个单调区间，三者缺一不可． 【例】 若函数的定义域为且满足，则函数在上为 (　　) A．增函数 B．减函数 C．先增后减 D．不能确定 解析 由于函数单调性的定义突出了的任意性，所以仅凭区间内几个有限的函数值的关系，是不能做为判断单调性的依据的，也就是说函数单调性定义的三个特征缺一不可．故选． 2 判断函数单调性的方法 （1）定义法 （2）数形结合 （3）性质法 增函数+增函数增函数，减函数+减函数减函数； 但增函数增函数不一定是增函数，比如，均是增函数，而不是. 【经典例题】 【例1】（多选）（2025·广东揭阳·专练）下列函数中，在区间上为减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据各选项给定函数的解析式直接判断即得. 【详解】函数，在上都为减函数，AC都是； 当时，，则函数在上为减函数，B是； 函数在上为增函数，D不是. 故选：ABC 【例2】（2025·湖南·专练）函数的一个单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知，先判断函数的奇偶性，然后分段画出图像，即可读取单调减区间. 【详解】由已知，函数为偶函数， 当时，；当时，； 可画出函数图像，图下图所示： 所以函数的单调递减区间为、， 故选：A. 【巩固练习】 1（2025·湖南·专练）已知函数在上的图像如图，则函数单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数单调性与图象的关系进行判断即可． 【详解】若函数单调递增，则对应图象为上升趋势， 由图可知：的单调递增区间为. 故选：B． 2（2025·湖北·专练）函数的单调区间为（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在单调递增，在单调递减 D．在单调递减，在单调递增 【答案】D 【分析】求出函数的对称轴，根据二次函数的性质即可求解. 【详解】的对称轴为，开口向上， 所以在单调递减，在单调递增， 故选：D 3（2025·河南·专练）函数，的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出函数的对称轴，即可判断函数的单调性. 【详解】解：函数对称轴为，开口向上， 所以函数，的单调减区间为. 故选：D 4（2025·广东·专练）函数的单调递减区间为（　 ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】写出函数分段形式的解析式，再画出函数的图象，数形结合可知单调区间. 【详解】. 画出函数图象，如图可知，函数的单调递减区间为. 故选：B. 5（2023·海南海口·模拟预测）函数的单调递减区间是（    ） A． B．和 C． D．和 【答案】B 【分析】将绝对值函数转化成分段函数，由二次函数的性质即可求 【详解】， 则由二次函数的性质知，当时，的单调递减区间为； 当，的单调递减区间为， 故的单调递减区间是和. 故选：B 【题型2】复合函数单调性 【基础知识】 复合函数的单调性 (1)如果则称为的复合函数； 比如： (和的复合函数)； (和的复合函数)； (和的复合函数). (2) 同增异减 设函数的值域是，函数 若在各自区间单调性相同，则复合函数在区间上递增； 若在各自区间单调性不同，则复合函数在区间上递减. 【经典例题】 【例1】（2025·广东·专练）函数的单调增区间为（    ） A． B． C．和 D． 【答案】C 【分析】由可得且，然后求出的减区间即可. 【详解】由可得且， 因为开口向下，其对称轴为， 所以的减区间为和 所以的单调增区间为和 故选：C 【例2】（2025·江西·专练）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出函数的定义域，再根据二次函数及复合函数的性质求解即可. 【详解】由题意可得，即，解得或， 令（或），则， 因为的对称轴为， 所以在上递减，在上递增， 因为在定义域内递增， 所以在上递减，在上递增. 故选：C 【巩固练习】 1（2025·湖南·专练）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得的定义域，利用复合函数的单调性，结合二次函数单调性可得答案. 【详解】函数中，，解得， 又的开口向下，对称轴方程为， 函数在上单调递减，在上单调递增，又在上单调递增， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间是. 故选：A 2（2025·河南·专练）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出函数的定义域，令，可知该函数在上单调递减，由单调性的性质即可得出答案. 【详解】解：由，解得, 所以函数的定义域为， 令，其图象是开口向下的抛物线，对称轴方程为， 该函数在上单调递减， 则函数的单调递增区间是. 故选：C. 3（2025·湖北·专练）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出函数的定义域，再确定在上单调递增，结合复合函数单调性，即可求得答案. 【详解】由可得， 解得或， 由图象的对称轴为， 则在上单调递增， 故的单调递减区间为， 故选：C 【题型3】根据函数单调性求参数 【经典例题】 【例1】（2024·山东·二模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合二次函数的性质，求得解得，再由，进而求得的取值范围. 【详解】由函数的对称轴是， 因为函数在区间上是增函数，所以，解得， 又因为，因此，所以的取值范围是. 故选：A． 【例2】（2023·陕西商洛·一模）已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知函数在每一段上为增函数，且在时，一次函数的值不小于二次函数的值，然后解不等式组可求得结果. 【详解】因为是定义在上的增函数， 所以，解得. 故选：B 【巩固练习】 1（2025广东·专练）函数在上是减函数．则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数的性质即可求解. 【详解】根据题意，函数在上是减函数，则有，解得， 故选：B． 2（2025广东·专练）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的对称轴列不等式即可得解. 【详解】由二次函数性质可知，要使函数在上单调递减，只需， 解得，即的取值范围为. 故选：A 3（2024·广东揭阳·二模）已知函数在上不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性列出不等式求解即得. 【详解】函数的图象对称轴为，依题意，，得， 所以的取值范围为. 故选：C 4（2025山东·专练）如果函数在区间上单调递增，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的开口方向和对称轴得到不等式，求出答案. 【详解】开口向上，对称轴为， 要想函数在区间上单调递增，则需，解得， 故实数的取值范围是 故选：A 5（2025河北·专练）已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分段函数在R上单调递减，需满足在每一段上单调递减，且分段处左端点值大于等于右端点值，从而得到不等式，求出实数的取值范围. 【详解】由题意得在上单调递减，在上单调递减， 且分段处左端点值大于等于右端点值， 故，解得. 故选：C 【题型4】利用函数单调性解不等式 【基础知识】 若递增，，则. 若递增，，则. 递减，有类似结论！ 【例】若递增，比较与大小. 答案 . 【例】若递增比较与大小. 答案 . 【经典例题】 【例1】（2025广东·专练）已知函数是定义在上的单调减函数：若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性即可解不等式． 【详解】由已知，解得， 故选：D 【例2】（2023·河南洛阳·一模）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由分段函数表达式，判断其单调性，利用单调性，求解不等式． 【详解】根据题目所给的函数解析式，可知函数在上是减函数， 所以，解得． 故选：B 【巩固练习】 1（2025广东·专练）已知函数是定义在区间上的函数，且在该区间上单调递增，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知有，即可求取值范围. 【详解】因为函数是定义在区间上的增函数，满足， 所以，解得. 故选：D 2（2024·湖北武汉·二模）已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】消去绝对值可得函数的单调性，利用函数单调性解不等式即可得. 【详解】由，故在上单调递增， 由，有，即. 故选：A. 3（2025广东·专练）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合二次函数和分段函数性质，研究给定函数的单调性，再借助单调性求解不等式作答. 【详解】因为开口向下的二次函数，对称轴为，故函数在上单调递减； 为开口向上的二次函数，对称轴为，故函数在上单调递减，且，因此函数在R上单调递减，则，即， 解得或， 所以实数的取值范围是。 故选：D 4（2025·江西·模拟预测）已知函数则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据在R上单调递增可求解. 【详解】易得函数在R上单调递增， 则由可得，解得， 故不等式的解集为. 故选：A． 【题型5】利用函数单调性求函数最值或值域 【基础知识】 1 函数最值的概念 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足： (1) ，都有；(2)，使得； 那么，我们称是函数的最大值.(最小值类似定义) 简单来说，最大值和最小值分别是函数图像中最高点和最低点的函数值. 【例1】下图为函数，的图象，指出它的最大值、最小值． 解析 观察函数图象可以知道，图象上最高点坐标为，最低点坐标为，所以当时，函数取得最大值；当时，取得最小值． 2 利用函数单调性求函数最值 若函数在上单调递增，则在上的最小值为，最大值为； 若函数在上单调递减，则在上的最小值为，最大值为. 【经典例题】 【例1】（2024·江西上饶·一模）.函数f(x)＝－x＋在上的最大值是（    ） A． B．－ C．－2 D．2 【答案】A 【分析】由题可知f(x)在上是减函数，从而可求出其最大值 【详解】解：因为函数和在上均为减函数， 所以f(x)在上是减函数， ∴f(x)max＝f(－2)＝2－＝. 故选：A 【点睛】此题考查函数的单调性，利用函数的单调性求函数的最值，属于基础题 【巩固练习】 1（2025广东·专练）若函数在上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是（　　） A．2 B． C．2或 D．0 【答案】C 【分析】根据一次函数单调性，分类讨论，解出即可 【详解】当时，由题意得，则； 当时，，则； 综上，. 故选：C. 2（2025广东·专练）已知函数，则在区间的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二次函数的单调性计算即可得. 【详解】， 则在上单调递减，在单调递增， 又，，， 故在区间的值域为. 故选：C. 3（2025广东·专练）已知函数，，则函数（  ） A．有最小值，无最大值 B．有最大值，无最小值 C．既有最小值又有最大值 D．既无最小值，又无最大值 【答案】D 【分析】画出函数图像，根据图像得到答案. 【详解】函数的图像时是由向右平移1个单位形成， 画出函数图像，如图所示：    根据图像知，函数在上既无最小值，又无最大值. 故选：D 4（2025广东·专练）已知函数，其定义域是，，则下列说法正确的是　　 A．有最大值，无最小值 B．有最大值，最小值 C．有最大值，无最小值 D．有最大值2，最小值 【答案】A 【分析】将化为，判断在，的单调性，即可得到最值． 【详解】解：函数 即有在，递减， 则处取得最大值，且为， 由取不到，即最小值取不到． 故选：． 【点睛】本题考查函数的最值的求法，注意运用单调性，考查运算能力，属于基础题． 5函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断函数的单调性，再利用函数的单调性可求出函数的值域. 【详解】因为和在上递增， 所以在上递增， 所以，， 所以函数的值域为. 故选：C 6（多选）（2025广东·专练）若函数的定义域为，值域为，则a的值可能为（ ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】BC 【分析】通过解方程，结合二次函数的图象进行求解即可. 【详解】令，或， 令， 二次函数的对称轴为， 函数图象如下图所示： 要想函数的定义城为，值域为， 只需，选项BC符合， 故选：BC 【A组---基础题】 1已知函数是实数集上的减函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数为减函数可得，从而得出答案. 【详解】由函数是实数集上的减函数，又 所以，解得 故选：C 2（2025广东·专练）函数的单调减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数的解析式，画出函数图象，即可求解单调区间. 【详解】， 画出的图象如下： 的单调减区间为， 故选：A    3（2025河北·专练）函数的单调增区间是（    ）. A． B． C． D．， 【答案】D 【分析】首先求出函数的定义域，再根据反比例函数的性质及函数的变换规则判断即可. 【详解】函数的定义域为， 又的图象是由向右平移个单位而来， 的单调递增区间为，， 所以的单调递增区间为，. 故选：D 4（2025江西·专练）函数y＝的递增区间是（    ） A．(－∞，－2) B．[－5，－2] C．[－2,1] D．[－5,1] 【答案】B 【分析】先求出函数的定义域，再根据幂函数和二次函数的单调性可得结果. 【详解】由5－4x－x2≥0，得函数的定义域为{x|－5≤x≤1}. 令，，则在上递增， ∵t＝5－4x－x2＝－(x2＋4x＋4)＋9＝－(x＋2)2＋9，对称轴方程为x＝－2，抛物线开口向下， 所以函数在[－5，－2]上单调递增， ∴函数y＝的递增区间是[－5，－2]. 故选：B. 【点睛】本题考查了求复合函数的单调区间，易错点：忽视函数的定义域.属于基础题. 5（2025广东·专练）“”是“函数在上单调递增”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据二次函数的单调性得到不等式，求出，根据是的真子集，得到答案. 【详解】函数在上单调递增， 故，解得， 因为是的真子集， 所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件. 故选：A 6定义在上的函数满足，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件判断函数单调性，利用单调性解不等式求参数范围. 【详解】因为函数满足， 所以函数在上单调递增， 根据题设不等式关系，有， 即，解得或. 故选：A 7函数在上的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知函数在上单调递减，结合单调性求最值. 【详解】因为在上单调递增，且恒成立， 可知函数在上单调递减， 当时，，所以函数在上的最小值为. 故选：B. 8函数的最小值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】去掉绝对值得到分段函数，结合函数单调性得到最小值. 【详解】， 由于在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递增， 又，即分段处端点值相等， 故在处取得最小值，最小值为. 故选：B 9（2025浙江·专练）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据二次函数的单调性及断点处左侧的函数值不大于右侧函数值得到不等式，解得即可. 【详解】因为在上单调递增，在上单调递增， 又在上单调递增， 所以，解得， 即实数的取值范围是. 故选：B 10（多选）如图是函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．在 上单调递减 B．在上单调递增 C．在区间上的最大值为3，最小值为 D．在上有最大值3，有最小值 【答案】BD 【分析】根据函数图象，结合函数的基本性质，逐项判断，即可得出结果． 【详解】对于A，B选项，由函数图象可得，在和上单调递减，在上单调递增，故A错误，B正确； 对于C选项，由图象可得，函数在区间上的最大值为，无最小值，故C错误； 对于D选项，由图象可得，函数在上有最大值，有最小值，故D正确； 故选：BD． 11（多选）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】求出函数的开口方向和对称轴，得到函数单调性，从而判断出正误. 【详解】， 因为，所以开口向上，对称轴为， 故在上单调递减，在上单调递增， 故，A正确，B错误； ，C正确，D错误. 故选：AC 12（多选）已知函数的值域为，则的定义域可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据二次函数的性质即可求解. 【详解】， 且， 故时，的值域为，不符合， 当或，或时，值域均为，符合要求， 故选：BCD 13（2023·北京顺义·一模）能说明“若对任意的都成立，则在上单调递增”为假命题的一个函数是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】举例，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】令，则对任意的都成立， 但在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在上不是增函数. 故答案为：. 14（2024·广东深圳·三模）函数的单调递增区间是 ． 【答案】 【分析】作出函数的图象，根据图象即可求出结果. 【详解】函数， 由，解得或， 函数的图象如图所示， 由图可知，函数的单调递增区间为. 故答案为：. 15（2024高三·全国·专题练习）已知函数，，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】先把函数写成分段函数的形式，利用二次函数的性质分析函数单调性，把函数不等式转化为代数不等式，求解即可. 【详解】由已知得， 则在上单调递减， ∴解得， ∴所求不等式的解集为． 答案：. 【B组---提高题】 1已知函数，且的最大值为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合二次函数的性质，分和两种情况讨论最值即可； 【详解】由题意可得函数的对称轴方程为， 当时，在上单调递减，则，不符合题意； 当时，要使的最大值为，则，即， 解得（舍去），或， 所以实数的取值范围是， 故选：C. 2设函数则函数的单调递增区间为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】分别求出函数各段的单调性，转化为一次函数或二次函数的单调性，即可求解. 【详解】当单调递减； 当单调递增； 当或时，对称轴方程为， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 的单调递增区间是. 故选:A. 【点睛】本题考查分段函数的单调性，实际上是考查一次函数、二次函数的单调性，对于常用函数的单调性要熟记，要注意分段函数各区间单调性相同，不一定能合并，属于基础题. 3（2023·四川泸州·一模）已知的值域为，则的最小值为（    ） A．0 B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】首先判断，再分和两种情况讨论，求出的取值范围，即可得解. 【详解】因为的值域为， 当时，显然值域不为，故舍去； 当时函数 单调递减，即， 又，函数的值域不为，故舍去； 所以， 此时当时，函数单调递增， 又函数在上单调递减，在上单调递增，且时， 当时，只需满足，解得， 当时，只需满足，解得， 综上可得，即的最小值为. 故选：D 4已知函数的最小值是，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据端点处的函数值，然后讨论以及，即可得出实数a的取值范围. 【详解】由已知可得显然在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得最小值，， 当时，开口向上，对称轴为， 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得最小值，解得； 当，即时，，则在上单调递增， 所以在处取得最小值，，解得； 当时，开口向下，则在上必存在比小的值，不满足题意； 当时，，易得，不满足题意； 综上，. 故选：A. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$