2.1 函数的概念及其表示-2025年高考数学艺考生总复习（新教材新高考）

2.1 函数的概念及其表示 【题型1】 函数的概念与表示方法 【基础知识】 1函数的概念 设是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数．记作：．其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 2 函数的表示方法 表格法 图像法 解析式 3分段函数 定义：有些函数在其定义域中，对于自变量的不同取值范围，对应关系不同，这样的函数通常称为分段函数． Eg ，. 【经典例题】 【例1】（2024·四川达州·二模）已知，则 . 【答案】1 【分析】应用分段函数解析式分层计算即可. 【详解】. 故答案为：1. 【例2】 （2025·广东·专练）设函数的定义域为，满足，当时，，则 【答案】/ 【分析】 将写成的形式，再由解析式代入计算即可得. 【详解】由可得， 又，所以， 可得. 故答案为： 【巩固练习】 1（2025·广东·专练）已知函数，则（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】根据解析式求函数值. 【详解】, 故选:D. 2（2023·吉林长春·模拟预测）已知函数，，当时，，的值分别为（    ） A．1，0 B．0，0 C．1，1 D．0，1 【答案】A 【分析】分x为有理数和无理数，利用 和的解析式求解. 【详解】解：当x为有理数时，，, , 当x为无理数时，，， ，， 故选：D 3（2025·全国·模拟预测）已知函数，则 （    ） A．-6 B．0 C．4 D．6 【答案】A 【分析】 由分段函数解析式，利用周期性求得，进而求目标函数值. 【详解】 由分段函数知：当时，周期， 所以， 所以． 故选：A 4（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数若，则实数（    ） A．－5 B．5 C．－6 D．6 【答案】A 【分析】先求，再由列方程求解即可. 【详解】由题意可得， 因为，即， 所以，得， 故选：A 5（2025·广东·专练）已知函数，若，则的值等于（   ）. A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的函数，代入解方程即得. 【详解】函数，由，得，则，解得， 所以的值等于. 故选：C 6（2023·辽宁·一模）若函数满足，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】将和分别代入，联立即可求解. 【详解】代入可得①， 代入可得② 联立①②解得， 故选：B 7（2024·浙江温州·模拟预测）已知定义域为的函数满足，求出是（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】利用赋值即可求解. 【详解】令则，所以， 故选：D 8（2024·江苏南通·二模）已知对于任意，都有，且，则（    ） A．4 B．8 C．64 D．256 【答案】D 【分析】由题意有，得，求值即可. 【详解】由，当时，有， 由，则有. 故选：D 9（2025·广东·专练）已知定义在上的函数满足，，则（    ） A． B．2 C．6 D．10 【答案】D 【解析】因为函数满足，，利用赋值法求解. 【详解】因为函数满足，， 所以，即， 所以即， ， 故选：D 【题型2】 求函数的定义域 【基础知识】 1 概念： 函数自变量的取值范围. 2求函数的定义域主要应考虑以下几点 若为整式，则其定义域为实数集． 若是分式，则其定义域是使分母不等于的实数的集合． 若为偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于的实数的集合． 若是对数型函数，则其定义域是使真数部分大于的实数的集合． 若是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，即交集．[来源:Zxxk.Com] 实际问题中，定义域要受到实际意义的制约． 【例】求下列函数的定义域. (1) (2). 答案 (1) (2). 【经典例题】 【例1】（2025·广东·专练）函数的定义域是 . 【答案】 【分析】根据函数有意义列不等式组求解即可. 【详解】函数的定义域为 ，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 【巩固练习】 1（2025·广东·专练）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数有意义列不等式可求结论. 【详解】依题意，，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A 2（2025·湖南·专练）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数解析式，列不等式组求解即可. 【详解】由题意可得，解得或. 所以函数的定义域为. 故选：A 3函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据具体函数定义域的求法求解即可. 【详解】因为， 所以，解得且， 故的定义域为. 故选：D. 4（2025·湖北·专练）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义域即可求解. 【详解】∵， ∴函数的定义域为， 故选：A. 【题型3】 求函数的值域 【基础知识】 1概念 函数值的取值范围 2 求值域的方法 配方法 数形结合 换元法 函数单调性法 分离常数法 基本不等式法 【例】求下列函数值域. 解析 (1) 函数的值域是； (2) 画出的图象． 由图象可知的值域为． 【经典例题】 常见的（一次函数、二次函数、反比例函数）的函数值域 【例1】已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用函数的定义域与值域的求法，求得和，结合集合交集的运算，即可求解. 【详解】由函数，可得， 又由函数有意义，可得，解得，所以， 所以. 故选：A. 【巩固练习】 1函数，的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由反比例函数的单调性求值域即可. 【详解】因为函数是反比例函数，在上单调递减，所以， 所以值域为． 故选：D 2（2024·山西晋城·一模）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简集合N,再求并集. 【详解】因为，所以，所以． 故选：A 3 （2024·河北承德·二模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数型函数的定义域和二次函数值域即可得到，再根据交集含义计算即可. 【详解】集合中，所以或，集合中， 所以， 故选：A. 利用数形结合求函数值域 【例1】（2025·广东·专练）函数的值域是 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质，作出图象，结合图象求解即可. 【详解】解：因为，开口向下，对称轴为， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 作出函数的图象，如图所示： 所以当时，函数取最小值，为0； 当时，函数取最大值，为16； 所以函数的值域为. 故答案为： 【巩固练习】 1（2021·四川泸州·模拟预测）函数的值域为 . 【答案】 【分析】根据的解析式求得的值域. 【详解】时，， 时，， 所以的值域为. 故答案为： 2（2021·四川遂宁·模拟预测）函数的值域为 ． 【答案】 【解析】按和分别求出函数的值域，取并集可得答案． 【详解】当时， 当时， 综上可得，的值域为 故答案为： 3函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质即可求解. 【详解】函数的图象是一条开口向下的抛物线，对称轴为， 所以该函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，又， 所以，即函数的值域为. 故选：B. 4（2022·湖北·一模）已知函数，关于函数的结论正确的是（    ） A． B．的值域为 C．的解集为 D．若，则x的值是1或 【答案】B 【分析】根据函数解析式，画出函数图象，结合图象一一判断即可； 【详解】解：因为，函数图象如下所示： 由图可知，故A错误； 的值域为，故B正确； 由解得，故C错误； ，即，解得，故D错误； 故选：B 简单复合函数的函数值域 【例1】（2025·广东·专练）函数，的值域为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，得，再代入运算即可. 【详解】由，得， 所以． 故选：C. 【巩固练习】 1（2025·河南·专练）函数值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质进行求解即可. 【详解】因为，所以， 故选：D 2（2025·山东·专练）已知集合， 集合， 则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得集合，可求. 【详解】由，集合， 由，集合， 所以. 故选：B. 3（2025·广东·专练）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分离常数后，得到函数值域. 【详解】， 因为，所以，故值域为． 故选：D 4（2025·山西·专练）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出定义域，进而根号下配方求出值域. 【详解】令得，，故定义域为， . 故选：A 5（2024·北京怀柔·模拟预测）已知函数，则对任意实数x，函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质求出函数值域得解. 【详解】依题意，， 显然，则，于是， 所以函数的值域是. 故选：C 6（2025·山东济宁·模拟预测）函数在[-4，-2]上的值域是 . 【答案】 【解析】利用反比例型函数的单调性进行求解即可. 【详解】因为函数在上是单调递减函数， 所以当时，函数也是单调递减函数， 因此有：，即， 所以函数在[-4，-2]上的值域是. 故答案为： 【A组---基础题】 1（2025·广东·专练）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将代入计算即可作答. 【详解】函数，所以. 故选：B 2（2023·湖南岳阳·模拟预测）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据开偶数次方根号里的数大于等于零即可得解. 【详解】由， 得，解得， 所以函数的定义域是. 故选：B. 3函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由偶次根式的被开方数大于等于零，分母不为零求解即可. 【详解】由解得或． 故选:D． 4（2025·广东·专练）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的定义域即可求解. 【详解】， 所以函数的定义域为， 故选：D 5（2025·河北·专练）定义在R上的函数满足，，则等于（    ） A．10 B．6 C．12 D．16 【答案】C 【分析】根据题目的的等量关系，运用赋值法即可求得答案. 【详解】解析：令得， 令，得. 故选：C 6已知函数，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】C 【分析】根据分段函数解析式分段讨论得到方程（不等式）组，解得即可. 【详解】因为，且， 则或，解得. 故选：C 7（2025·广东·专练）下列函数中，值域为(0，+∞)的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出每一个选项的函数的值域判断得解. 【详解】A. 函数的值域为，所以该选项与已知不符； B. 函数的值域为，所以该选项与已知不符； C. 函数的值域为，所以该选项与已知不符； D.函数的值域为(0，+∞)，所以该选项与已知相符. 故选D 【点睛】本题主要考查函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 8（2025·广东·专练）下列函数的定义域与值域相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出各函数的定义域和值域，逐一判断即可. 【详解】函数的定义域和值域都为R，A正确； 的定义域为，值域为，B错误； 的定义域为R，值域为，C错误； 的定义域为R，值域为，D错误. 故选：A 9（2024·广州·专练）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数解析式分段求解，取并集即可. 【详解】当时，， 当时，， 当时，， 所以时，的值域为， 故选：D 10（2023·陕西安康·二模）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简集合A，B后由交集定义可得答案. 【详解】A集合表示函数的定义域，则. B集合表示函数的值域，则.故. 故选：B． 11（2025·广东·专练）二次函数，，则函数在此区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质求解即可. 【详解】解：， 则， 所以函数在此区间上的值域为. 故选：A. 12函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，则，再根据二次函数的性质求出的最大值，进而可得的范围，再计算的范围即可求解. 【详解】令，则且 又因为， 所以，所以， 即函数的值域为， 故选：B. 13（多选）下列函数中值域为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】求出各选项中的函数值域，即可判断得解. 【详解】对于A，函数的定义域为，值域也为，A是； 对于B，函数定义域为R，值域为，B是； 对于C，函数的定义域为，值域为，C不是； 对于D，函数的定义域为R，值域为，D不是. 故选：AB 14（多选）（2025·广东·专练）已知函数，关于函数的结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C． D．若，则的值是2 【答案】BCD 【分析】对A：根据解析式判断定义域；对B：结合一次函数、二次函数求出值域；对C：代值即可求出结果；对D：利用函数值分段讨论求出变量的值. 【详解】对A：由题意知函数的定义域为，故A错误； 对B：当时，；当时，； 则的值域为，故B正确； 对C：当时，，故C正确； 对D：当时，，解得，不合题意； 当时，，解得或（舍去）； 综上所述：若，则的值是2，故D正确； 故选：BCD． 15已知集合，集合，那么 ． 【答案】 【分析】求二次函数值域得集合A，解一元二次不等式得集合B，然后利用交集运算求解即可. 【详解】因为， 又或， 所以 . 故答案为： 16若求 ． 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解法求集合，再根据二次函数的性质求集合. 【详解】由，得，解得， 所以 二次函数的对称轴为， 因为 所以当时，，当时，， 所以 所以 故答案为： 17函数的值域为 . 【答案】 【解析】先求出函数的定义域，再令，则，然后利用配方法结合二次函数的性质求出的取值范围，从而可求出函数的值域 【详解】解：由，得， 令，则， 因为， 所以，所以，即， 所以函数的值域为， 故答案为： 【点睛】此题考查求复合函数的值域，利用了换元法，属于基础题 18求函数的值域为 ． 【答案】 【分析】作出函数的图象，根据图象求值域即可. 【详解】当时，，图象为以为对称轴的抛物线； 当时，，图象为以为对称轴的抛物线； 作出函数的图象如图所示， 因为，，（取不到）， 所以函数的最小值为，无最大值， 结合图象知：函数的值域为. 【B组---提高题】 1（2022·河南平顶山·模拟预测）若函数则（    ） A．10 B．9 C．12 D．11． 【答案】A 【分析】当时，利用迭代式即可求出，又由即可求解. 【详解】当时，， 所以． 故选：A. 2（多选）定义为中最大值，设，则的函数值可以取（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】CD 【分析】分别作出，根据图象可得的值域，对比选项分析判断. 【详解】在同一坐标系内分别作出， 可得的图象（图中实线部分），    所以的值域为， 结合选项可知CD正确，AB错误. 故选：CD. 3（多选）定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】作出函数的图象，求出的最大值和最小值，即可得解. 【详解】， 当时，若，即，解得或； 当时，若，即，解得或，此时. 所以，，作出函数的图象如下图所示： 因为函数在区间上的值域为，则当时，区间的长度取最小值； 当时，区间的长度取最大值. 所以，区间的长度的取值范围是. 故选：BC. 4（多选）已知函数的值域为，则a的值可以是（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】BCD 【分析】首先分别求解与两段函数解析式对应的值域，然后结合题干的整体值域求出参数的取值范围，即可得到答案. 【详解】由题，当时，， 故得时，函数的值域为， 当时，，函数的值域为， 已知函数在上的值域为，故. 故选：BCD 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1 函数的概念及其表示 【题型1】 函数的概念与表示方法 【基础知识】 1函数的概念 设是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数．记作：．其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 2 函数的表示方法 表格法 图像法 解析式 3分段函数 定义：有些函数在其定义域中，对于自变量的不同取值范围，对应关系不同，这样的函数通常称为分段函数． Eg ，. 【经典例题】 【例1】（2024·四川达州·二模）已知，则 . 【例2】 （2025·广东·专练）设函数的定义域为，满足，当时，，则 【巩固练习】 1（2025·广东·专练）已知函数，则（    ） A． B．2 C． D．1 2（2023·吉林长春·模拟预测）已知函数，，当时，，的值分别为（    ） A．1，0 B．0，0 C．1，1 D．0，1 3（2025·全国·模拟预测）已知函数，则 （    ） A．-6 B．0 C．4 D．6 4（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数若，则实数（    ） A．－5 B．5 C．－6 D．6 5（2025·广东·专练）已知函数，若，则的值等于（   ）. A．2 B． C． D． 6（2023·辽宁·一模）若函数满足，则（    ） A． B． C． D．1 7（2024·浙江温州·模拟预测）已知定义域为的函数满足，求出是（    ） A．0 B． C．1 D．2 8（2024·江苏南通·二模）已知对于任意，都有，且，则（    ） A．4 B．8 C．64 D．256 9（2025·广东·专练）已知定义在上的函数满足，，则（    ） A． B．2 C．6 D．10 【题型2】 求函数的定义域 【基础知识】 1 概念： 函数自变量的取值范围. 2求函数的定义域主要应考虑以下几点 若为整式，则其定义域为实数集． 若是分式，则其定义域是使分母不等于的实数的集合． 若为偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于的实数的集合． 若是对数型函数，则其定义域是使真数部分大于的实数的集合． 若是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，即交集．[来源:Zxxk.Com] 实际问题中，定义域要受到实际意义的制约． 【例】求下列函数的定义域. (1) (2). 答案 (1) (2). 【经典例题】 【例1】（2025·广东·专练）函数的定义域是 . 【巩固练习】 1（2025·广东·专练）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2（2025·湖南·专练）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4（2025·湖北·专练）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【题型3】 求函数的值域 【基础知识】 1概念 函数值的取值范围 2 求值域的方法 配方法 数形结合 换元法 函数单调性法 分离常数法 基本不等式法 【例】求下列函数值域. 解析 (1) 函数的值域是； (2) 画出的图象． 由图象可知的值域为． 【经典例题】 常见的（一次函数、二次函数、反比例函数）的函数值域 【例1】已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1函数，的值域为（   ） A． B． C． D． 2（2024·山西晋城·一模）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 3 （2024·河北承德·二模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 利用数形结合求函数值域 【例1】（2025·广东·专练）函数的值域是 ． 【巩固练习】 1（2021·四川泸州·模拟预测）函数的值域为 . 2（2021·四川遂宁·模拟预测）函数的值域为 ． 3函数的值域是（    ） A． B． C． D． 4（2022·湖北·一模）已知函数，关于函数的结论正确的是（    ） A． B．的值域为 C．的解集为 D．若，则x的值是1或 简单复合函数的函数值域 【例1】（2025·广东·专练）函数，的值域为（    ）． A． B． C． D． 【巩固练习】 1（2025·河南·专练）函数值域是（    ） A． B． C． D． 2（2025·山东·专练）已知集合， 集合， 则（    ） A． B． C． D． 3（2025·广东·专练）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 4（2025·山西·专练）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 5（2024·北京怀柔·模拟预测）已知函数，则对任意实数x，函数的值域是（    ） A． B． C． D． 6（2025·山东济宁·模拟预测）函数在[-4，-2]上的值域是 . 【A组---基础题】 1（2025·广东·专练）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 2（2023·湖南岳阳·模拟预测）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4（2025·广东·专练）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 5（2025·河北·专练）定义在R上的函数满足，，则等于（    ） A．10 B．6 C．12 D．16 6已知函数，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．6 7（2025·广东·专练）下列函数中，值域为(0，+∞)的是（    ） A． B． C． D． 8（2025·广东·专练）下列函数的定义域与值域相同的是（    ） A． B． C． D． 9（2024·广州·专练）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 10（2023·陕西安康·二模）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 11（2025·广东·专练）二次函数，，则函数在此区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 12函数的值域为（    ） A． B． C． D． 13（多选）下列函数中值域为的是（   ） A． B． C． D． 14（多选）（2025·广东·专练）已知函数，关于函数的结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C． D．若，则的值是2 15已知集合，集合，那么 ． 16若求 ． 17函数的值域为 . 18求函数的值域为 ． 【B组---提高题】 1（2022·河南平顶山·模拟预测）若函数则（    ） A．10 B．9 C．12 D．11． 2（多选）定义为中最大值，设，则的函数值可以取（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3（多选）定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度可能为（ ） A． B． C． D． 4（多选）已知函数的值域为，则a的值可以是（    ） A． B．2 C．3 D．4 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$