1.6 基本不等式-2025年高考数学艺考生总复习（新教材新高考）

1.6 基本不等式 【题型1】 基本不等式常见的解题方法 【基础知识】 若，则 (当且仅当时，等号成立). ① 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数. ② 基本不等式的几何证明 (当点重合，即时，取到等号) ③运用基本不等式求解最值时，牢记：一正，二定，三等. 一正指的是；二定指的是是个定值，三等指的是不等式中取到等号. 【经典例题】 方法1 直接法 【例1】（2024·甘肃定西·一模）的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2023·天津南开·一模）已知实数，则的最小值为 . 【巩固练习】 1（2025·广东·专练）函数的最小值是（    ） A．4 B．5 C． D． 2（2025·广东·专练）“对任意实数都有”是“”的（   ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3（2025·湖北·专练）若，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 4（2025·河北·专练）已知x，y为正实数，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 5（2025·广东·专练）设，则函数的最小值为（ ） A．6 B．7 C．10 D．11 6（2024·全国·模拟预测）若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7（2024·四川达州·二模）已知实数满足，则最小值为（    ） A．4 B．8 C． D． 8（2022·河南·三模）已知二次函数（）的值域为，则的最小值为（    ） A． B．4 C．8 D． 9（2025·广东·专练）实数满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 方法2 凑项法 【例1】（2023·山西忻州·模拟预测）已知，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【巩固练习】 1（2025·广东·专练）若在处取得最小值，则（    ） A．1 B．3 C． D．4 2（2025·山东·专练）的最小值为（   ）． A．4 B．6 C．8 D．10 3（2025·广东·专练）已知，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 4函数的最小值为（    ） A．2 B．5 C．6 D．7 5（2025·浙江·专练）设，则函数，的最小值为（    ） A．7 B．8 C．14 D．15 6（2025·湖南·专练）当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7（2025·广东·专练）已知，则当 时，取最小值为 ． 方法3 换元法 【例1】（2025·广东·专练）当时，函数的最小值为 ． 【巩固练习】 1（2025·河南·专练）若，则的最小值为（　　） A．3 B．4 C．1 D．2 2（2025·山东·专练）函数有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2 3（2025·广东·专练）已知，则函数的最小值是 4（2025·广东·专练）已知，若，则的最小值为 . 【题型2】 基本不等式的变形 【基础知识】 ① ，积定求和； ② ，和定求积： ③ (联系了与平方和) ④ (联系了与平方和) 【例1】若，，，求的最大值. 解析 因为(当时取到等号)，所以的最大值是. 【经典例题】 【例1】（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1 （2025·全国·模拟预测）若实数a，b满足，则ab的最大值为（    ） A．2 B．1 C． D． 2（2025·广东·专练）已知正数，满足，则（    ） A． B． C． D． 3（2025·河南·专练）若正实数a，b满足，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C． D．4 4（2025·广东·专练）已知正数x，y满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5（2022·海南·模拟预测）中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为，，，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 6（2023·上海·模拟预测）已知正实数a、b满足，则的最大值为 ． 7（2025·广东·专练）已知，则的最大值为 ． 【A组---基础题】 1（2025·广东·专练）已知为正实数，且，则的最小值是（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 2（2025·山东·专练）已知，则取得最小值时的值为（   ） A．3 B．2 C．4 D．5 3（2025·山东·专练）的最小值为（    ） A． B． C． D． 4（2025·广东·专练）已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D．3 5（2023·北京东城·一模）已知，则的若，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．的最小值为1 C．的最小值为2 D．的最小值为2 6（多选）（2025·广东·专练）若，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 7（多选）（2025·浙江·专练）设正实数a，b满足，则下列结论正确的是（   ） A．有最小值1 B．有最小值2 C．有最大值 D．有最大值8 8（多选）（2025·广东·专练）已知，若恒成立，则实数的取值可能是（    ） A．4 B．1 C． D． 9已知，，且，则的最小值为 ． 10（2025高三·全国·专题练习）若，则的最大值为 11若，则的最小值为 . 12（2024·四川成都·三模）若正实数满足，则的最大值为 （用表示）． 【B组---提高题】 1（多选）（2025·广东·专练）下列函数中最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 2（2023·辽宁葫芦岛·二模）若，则的最小值是 （    ） A． B．1 C．2 D． 3（2024·湖北黄冈·一模）若，且，则的最小值为（    ） A．20 B．12 C．16 D．25 4（2025·广东·专练）若对于任意，恒成立，则实数的取值不可以是（    ） A． B． C． D． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.6 基本不等式 【题型1】 基本不等式常见的解题方法 【基础知识】 若，则 (当且仅当时，等号成立). ① 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数. ② 基本不等式的几何证明 (当点重合，即时，取到等号) ③运用基本不等式求解最值时，牢记：一正，二定，三等. 一正指的是；二定指的是是个定值，三等指的是不等式中取到等号. 【经典例题】 方法1 直接法 【例1】（2024·甘肃定西·一模）的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式即可得解. 【详解】由题意知，所以， 所以. 当且仅当，即时，等号成立. 故选：B. 【例2】（2023·天津南开·一模）已知实数，则的最小值为 . 【答案】 【分析】运用基本不等式求和的最小值即可. 【详解】∵，，， ∴，当且仅当即时取等号. 故答案为：. 【巩固练习】 1（2025·广东·专练）函数的最小值是（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式即可得解. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 则的最小值是. 故选：D. 2（2025·广东·专练）“对任意实数都有”是“”的（   ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】恒成立问题转化为最值问题求解，再根据推出关系判断必要不充分条件可得. 【详解】由题意，当时，恒成立， 设，， 则，当且仅当时等号成立， 所以， 故命题“对任意实数都有”. 又，且， 故“对任意实数都有”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3（2025·湖北·专练）若，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令可知A，C错误；由根据同向不等式相加的性质可知B错误；根据以及等号不成立可知D正确. 【详解】因为： 对于A：当，所以，故A错误； 对于B：因为，所以，故B错误； 对于C：当，，故C错误； 对于D：因为，所以， 又因为，则，故不取等，即，故D正确； 故选：D. 【点睛】本题考查了不等式的性质，考查了基本不等式取等的条件，属于基础题. 4（2025·河北·专练）已知x，y为正实数，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据题意利用基本不等式运算求解. 【详解】因为x，y为正实数，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 5（2025·广东·专练）设，则函数的最小值为（ ） A．6 B．7 C．10 D．11 【答案】D 【分析】利用基本不等式求解可得答案. 【详解】，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值为， 故选：D. 6（2024·全国·模拟预测）若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】， 当且仅当且，即时等号成立， 故选：B. 7（2024·四川达州·二模）已知实数满足，则最小值为（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】运用基本不等式求最小值即可. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当且，即时等号成立. 故选：B 8（2022·河南·三模）已知二次函数（）的值域为，则的最小值为（    ） A． B．4 C．8 D． 【答案】B 【分析】根据的值域求得，结合基本不等式求得的最小值. 【详解】由于二次函数（）的值域为， 所以，所以， 所以， 当且仅当即时等号成立. 故选：B 9（2025·广东·专练）实数满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】用已知条件消元后用基本不等式即可. 【详解】因为， 所以 所以，当且仅当取等号 故选：D． 方法2 凑项法 【例1】（2023·山西忻州·模拟预测）已知，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】利用基本不等式性质求解即可. 【详解】因为，所以 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值为. 故选：D 【巩固练习】 1（2025·广东·专练）若在处取得最小值，则（    ） A．1 B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】结合基本不等式求得正确答案. 【详解】依题意， ， 当且仅当时等号成立. 故选：B 2（2025·山东·专练）的最小值为（   ）． A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】采用配凑法由基本不等式求出即可； 【详解】， 当且仅当即时取等号， 故选：B. 3（2025·广东·专练）已知，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式求和的最小值. 【详解】时，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 故选：B. 4函数的最小值为（    ） A．2 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】由基本不等式即可求解. 【详解】由可得，所以， 当且仅当，即时等号成立， 故选:D 5（2025·浙江·专练）设，则函数，的最小值为（    ） A．7 B．8 C．14 D．15 【答案】D 【分析】利用基本不等式求解. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以函数的最小值为15， 故选:D． 6（2025·湖南·专练）当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式求解最值即可求解. 【详解】当时，，故，当且仅当，即时等号成立， 所以不等式恒成立，故，故， 故选：D 7（2025·广东·专练）已知，则当 时，取最小值为 ． 【答案】 5 14 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取最小值为. 故答案为：；. 方法3 换元法 【例1】（2025·广东·专练）当时，函数的最小值为 ． 【答案】 【分析】将函数变形为，利用基本不等式可得. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值为. 故答案为： 【巩固练习】 1（2025·河南·专练）若，则的最小值为（　　） A．3 B．4 C．1 D．2 【答案】B 【分析】利用，结合基本不等式可求最小值. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故选：B. 2（2025·山东·专练）函数有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2 【答案】D 【分析】分离常数后，用基本不等式可解. 【详解】令，，，. 将其代入，原函数可化为，当且仅当，即时等号成立，此时. 故选：D 3（2025·广东·专练）已知，则函数的最小值是 【答案】/ 【分析】利用换元法与基本不等式即可得解. 【详解】因为，则，令，则，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 4（2025·广东·专练）已知，若，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据题意，化简得到，设，求得，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由，且，可得， 则， 设，可得且， 可得， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为. 故答案为：. 【题型2】 基本不等式的变形 【基础知识】 ① ，积定求和； ② ，和定求积： ③ (联系了与平方和) ④ (联系了与平方和) 【例1】若，，，求的最大值. 解析 因为(当时取到等号)，所以的最大值是. 【经典例题】 【例1】（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助不等式的性质与基本不等式逐项判断即可得. 【详解】对A：由，故，即，故A错误； 对B：由，，则，且， 当且仅当时，等号成立，故，故B正确； 对C：由，故，即有， 又由B可得，即，故C错误； 对D：由，故，即，故D错误. 故选：B. 【巩固练习】 1 （2025·全国·模拟预测）若实数a，b满足，则ab的最大值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式求解积的最大值. 【详解】∵，， ∴，即，当且仅当时等号成立， ∴． 故选：D． 2（2025·广东·专练）已知正数，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本不等式直接计算即可. 【详解】由题意得，，则， ，即， 当且仅当，即时等号成立. 故选：C 3（2025·河南·专练）若正实数a，b满足，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】整理已知等式，利用基本不等式建立不等式，解出即可得答案. 【详解】∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，当且仅当时取等号， 故选：B 4（2025·广东·专练）已知正数x，y满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本不等式可得，结合完全平方公式计算即可求解. 【详解】因为，即， 当且仅当时等号成立， 所以． 故选：C． 5（2022·海南·模拟预测）中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为，，，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，将题中的数据代入公式，再结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意可知，三角形的周长为12，则， ， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为16， 所以三角形面积的最大值. 故选：B 6（2023·上海·模拟预测）已知正实数a、b满足，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】由，代入即可得出答案. 【详解】， 当且仅当“”，即时取等， 所以的最大值为. 故答案为： 7（2025·广东·专练）已知，则的最大值为 ． 【答案】2 【分析】利用配方法，结合基本不等式求解即得. 【详解】由，得，当且仅当时取等号， 即，解得， 所以的最大值为2. 故答案为：2 【A组---基础题】 1（2025·广东·专练）已知为正实数，且，则的最小值是（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】B 【分析】化简，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，正实数且，可得， 则，当且仅当时，即时等号成立， 所以的最小值是. 故选：B. 2（2025·山东·专练）已知，则取得最小值时的值为（   ） A．3 B．2 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据基本不等式求最值，考查等号成立的条件即可求解. 【详解】，则，当且仅当，即时等号成立. 故选：A 3（2025·山东·专练）的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可得，再利用基本不等式计算可得. 【详解】， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故选：D 4（2025·广东·专练）已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据基本不等式的变形形式直接求解. 【详解】由题意得，，即， 当且仅当，即或时等号成立， 所以的最大值为. 故选：B 5（2023·北京东城·一模）已知，则的若，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．的最小值为1 C．的最小值为2 D．的最小值为2 【答案】A 【分析】A. ，所以该选项正确； B. 函数的最小值不是1，所以该选项错误； C. 函数的最小值不是2，所以该选项错误； D. 当时，，所以函数的最小值为2错误，所以该选项错误. 【详解】解：A. ，当且仅当时等号成立，所以该选项正确； B. ，当且仅当时取等，因为，所以等号不成立，所以函数的最小值不是1，所以该选项错误； C. ，当且仅当时取等，因为，所以等号不成立，所以函数的最小值不是2，所以该选项错误； D. 当时，，所以，所以函数的最小值为2错误，所以该选项错误. 故选：A 6（多选）（2025·广东·专练）若，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由可推导出，利用不等式的基本性质结合基本不等式可判断出各选项的正误. 【详解】，则，，从而，，A选项正确； 在不等式两边同时乘以可得，从而，则、均为正数且不为， 由基本不等式可得，B选项正确； ，在不等式的两边同时乘以得，C选项错误； ，则，则，D选项错误. 故选：AB. 【点睛】本题考查不等式正误的判断，考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，考查推理能力，属于基础题. 7（多选）（2025·浙江·专练）设正实数a，b满足，则下列结论正确的是（   ） A．有最小值1 B．有最小值2 C．有最大值 D．有最大值8 【答案】AC 【分析】利用乘“1”法即可判断A；根据基本不等式即可判断B；平方后利用基本不等式即可判断C；利用常用不等式即可判断D. 【详解】因为正实数满足，所以 ，当且仅当时等号成立，A正确； ，当且仅当时等号成立，B错误； ，，当且仅当时等号成立，C正确； ，当且仅当时等号成立，D错误． 故选：AC． 8（多选）（2025·广东·专练）已知，若恒成立，则实数的取值可能是（    ） A．4 B．1 C． D． 【答案】BCD 【分析】先利用基本不等式求出的最小值，然后解不等式即可. 【详解】因为， 所以，当且仅当，即时等号成立， 因为恒成立，则，即， 解得，故BCD正确，A错误. 故选：BCD 9已知，，且，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】根据基本不等式即可求解最值. 【详解】由得， 又，，所以，当且仅当即时等号成立， 故答案为：2 10（2025高三·全国·专题练习）若，则的最大值为 【答案】2 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】，由于，所以，故，当且仅当时等号成立，故最大值为2 故答案为：2 11若，则的最小值为 . 【答案】0 【分析】构造，利用基本不等式计算即可得出结果. 【详解】由，得， 所以， 当且仅当即时等号成立. 故答案为：0 12（2024·四川成都·三模）若正实数满足，则的最大值为 （用表示）． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求解即得. 【详解】因为是正实数，，所以， 当且仅当时取等号，于是， 所以的最大值为. 故答案为： 【B组---提高题】 1（多选）（2025·广东·专练）下列函数中最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】A项，通过化简二次函数即可得出函数最小值；B，C，D项，利用基本不等式即可得出结论. 【详解】由题意， A项，，故A正确； B项，在中，，所以，当且仅当时，等号成立，故B正确； C项，，，故，当且仅当即时等号成立，C错误； D项，，，只有当时才有，当且仅当即时等号成立，故D错误. 故选：AB. 2（2023·辽宁葫芦岛·二模）若，则的最小值是 （    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】根据给定等式，利用均值不等式变形，再解一元二次不等式作答. 【详解】，当且仅当时取等号， 因此，即，解得， 所以当时，取得最小值2. 故选：C 3（2024·湖北黄冈·一模）若，且，则的最小值为（    ） A．20 B．12 C．16 D．25 【答案】D 【分析】利用，结合基本不等式可求和的最小值. 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故选：D. 4（2025·广东·专练）若对于任意，恒成立，则实数的取值不可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式求出的最大值，结合选项可得 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 由任意，恒成立，  所以， 符合条件有，，，故A、C、D对； ，故B错； 故选：B 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$