1.5 二次函数与一元二次方程、不等式-2025年高考数学艺考生总复习（新教材新高考）

1.5 二次函数与一元二次方程、不等式 【题型1】 一元二次不等式及其解法 【基础知识】 二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系： (以下均以为例) 判别式 二次函数   的图象 一元二次方程 的根 有两个相异实数根 有两个相等实数根 没有实数根 一元二次不等式 的解集 一元二次不等式 的解集 ② 二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系，可充分利用二次函数图像去理解； ③ 求解一元二次不等式时，利用二次函数图像思考，需要确定二次函数的开口方向，判别式，两根的大小与不等式的解集有关，而对称轴是不会影响解集的. 【例】填表 方程 方程根的情况 二次函数图像 解不等式 【经典例题】 【例1】（2025·浙江·模拟预测）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·广东·专练）已知命题，，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（2025·广东·专练）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2（2025·浙江·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3（2024·湖南郴州·模拟预测）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 4（2024·天津·模拟预测）已知，，则是的（    ）条件 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 5（2025·广东·专练） 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6（2024·甘肃张掖·模拟预测）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【题型2】 分式不等式的解法 【基础知识】 解分式不等式可等价为有理整式不等式(组)求解. 由于与均意味同号，故与等价的； 与均意味异号，故与等价的； 可得① ，且. 比如且. ② ，且. 比如且. 【例】解不等式的解集是 . 解析 不等式，等价于，解得. 【经典例题】 【例1】不等式的解集为 ． 【巩固练习】 1（2025·广东·专练）不等式的解为（    ） A． B．或 C． D．或 2 （2024·陕西商洛·模拟预测）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3（2025·广东·专练）已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【题型3】 一元二次不等式的解集为全体实数或空集 【经典例题】 【例1】（2024·浙江·模拟预测）若不等式的解为全体实数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·广东·专练）已知关于x的不等式的解集是，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（2025·广东·专练）若不等式的解集为R，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 2（2025·广东·专练）一元二次不等式对一切实数都成立，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3（2025·广东·专练）命题“，使得”成立的一个充分不必要条件可以是（    ） A．（0,1） B． C． D． 4（2025·全国·专练）已知条件：“不等式的解集是空集”，则条件： “”是条件的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5（2025·广东·专练）若对任意实数都有意义，则实数的取值范围是 . 【题型4】 综合问题 【经典例题】 【例1】（2025·广东·专练）已知关于的不等式的解集为或． (1)求的值； (2)求关于的不等式的解集． 【巩固练习】 1（2024·浙江绍兴·三模）若关于的不等式的解集为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 2（多选）（2025·广东·专练）已知关于的不等式的解集是，则（    ） A． B． C． D．不等式的解集是或 3已知不等式的解集为或或． (1)求实数a，b的值； (2)解不等式． 4（2025·广东·专练）已知关于的一元二次不等式的解集为 (1)求和的值 (2)求不等式的解集 【A组---基础题】 1（2025·全国·模拟预测）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 2（2025·浙江·模拟预测）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 3（2022·天津河西·一模）设，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知命题p：集合，命题q：集合，则p是q的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 5（2024·天津河西·一模）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6若不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 7（2025·湖南·模拟预测）已知不等式的解集非空，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8（2025·湖南·专练）不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 9若“，使得不等式成立”是假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 10（2025·山东·专练）若命题“，”为假命题，则该命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 11（多选）（2025·广东·专练）已知命题，则命题p成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 12（多选）（2024·广东深圳·模拟预测）下列说法正确的是（    ） A．不等式的解集是 B．不等式的解集是 C．若不等式恒成立，则a的取值范围是 D．若关于x的不等式的解集是，则的值为 13（2024·上海·高考真题）已知则不等式的解集为 ． 14（2025·湖南·专练）已知不等式的解集是{x|2＜x＜3}，则不等式的解集是 ． 15（2025·浙江·专练）已知不等式的解集为，不等式的解集为. (1)求. (2)若不等式的解集为，求，的值. 【B组---提高题】 1（2024·陕西·二模）若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2（2024·江西南昌·三模）已知“”，“”，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3（2025·湖南·专练）若对任意，恒成立，则的最小值为 . 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.5 二次函数与一元二次方程、不等式 【题型1】 一元二次不等式及其解法 【基础知识】 二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系： (以下均以为例) 判别式 二次函数   的图象 一元二次方程 的根 有两个相异实数根 有两个相等实数根 没有实数根 一元二次不等式 的解集 一元二次不等式 的解集 ② 二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系，可充分利用二次函数图像去理解； ③ 求解一元二次不等式时，利用二次函数图像思考，需要确定二次函数的开口方向，判别式，两根的大小与不等式的解集有关，而对称轴是不会影响解集的. 【例】填表 方程 方程根的情况 二次函数图像 解不等式 解析 方程 方程根的情况 二次函数图像 解不等式 或 无解 【经典例题】 【例1】（2025·浙江·模拟预测）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解一元二次不等式，得到集合中元素具体范围，再由集合运算求得. 【详解】集合， 集合， 所以. 故选：A. 【例2】（2025·广东·专练）已知命题，，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】是的必要不充分条件，推导出,,，由此能求出实数的取值范围． 【详解】命题，，即：， 是的必要不充分条件， 则,,，由，解得． 实数的取值范围为． 故选：D． 【巩固练习】 1（2025·广东·专练）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次不等式的解法求解即可. 【详解】因为， 所以，解得， 则不等式的解集为. 故选：B. 2（2025·浙江·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一元二次不等式的解法和交集的运算得出即可. 【详解】， 所以， 故选：C 3（2024·湖南郴州·模拟预测）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合解不等式求出取值范围，再根据交集求公共部分求得结果. 【详解】集合，则， 集合，则， ∴， 故选：D. 4（2024·天津·模拟预测）已知，，则是的（    ）条件 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】分别求得对应命题的范围，根据集合语言和命题语言的关系，即可判断. 【详解】由得， 由得， 则是的必要不充分条件. 故选：B. 5（2025·广东·专练） 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式进行判断即可． 【详解】由得， 是的必要不充分条件， ， 故选：B． 6（2024·甘肃张掖·模拟预测）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照正负分类讨论取绝对值，运算得解. 【详解】当，即或时， 不等式等价于，即， 解得，所以； 当，即时，不等式等价于不等式，即， 解得或，所以. 综上，不等式的解集是. 故选：C. 【题型2】 分式不等式的解法 【基础知识】 解分式不等式可等价为有理整式不等式(组)求解. 由于与均意味同号，故与等价的； 与均意味异号，故与等价的； 可得① ，且. 比如且. ② ，且. 比如且. 【例】解不等式的解集是 . 解析 不等式，等价于，解得. 【经典例题】 【例1】不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】先移项把分式不等式右侧变为0，再把转化为一元二次不等式，解不等式即可. 【详解】不等式，移项得到，即， 得，解得，即不等式解集为. 故答案为：. 【巩固练习】 1（2025·广东·专练）不等式的解为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】把分式不等式转化为整式不等式，即可得解. 【详解】由，得，即，因此，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：A 2 （2024·陕西商洛·模拟预测）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】分别解出两个不等式的解集，即可求解. 【详解】因为，解得或， 即，解得或， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 3（2025·广东·专练）已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意可得且，即可将不等式等价转化为，解得即可. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以且，则， 所以不等式，即，即，等价于， 解得或， 所以不等式的解集为. 故选：C 【题型3】 一元二次不等式的解集为全体实数或空集 【经典例题】 【例1】（2024·浙江·模拟预测）若不等式的解为全体实数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类讨论与两种情况，结合二次不等式恒成立问题的解决方法即可得解. 【详解】当时，不等式可化为，显然不合题意； 当时，因为的解为全体实数， 所以，解得； 综上：. 故选：C. 【例2】（2025·广东·专练）已知关于x的不等式的解集是，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对二次项系数是否为0分类讨论可得正确的选项. 【详解】若，则，此不等式恒不成立，故原不等式无解，符合题设； 若，因为不等式的解为空集，故， 故， 综上，， 故选：A. 【巩固练习】 1（2025·广东·专练）若不等式的解集为R，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的性质，结合分类讨论，即可得到结论． 【详解】若，则不等式为，满足条件， 若，要使不等式恒成立，则满足， 即，则， 所以， 综上，实数的取值范围为． 故选：A 2（2025·广东·专练）一元二次不等式对一切实数都成立，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式恒成立可得且，列式运算求解即可. 【详解】因为一元二次不等式对一切实数都成立， 则，解得， 所以k的取值范围为. 故选：A. 3（2025·广东·专练）命题“，使得”成立的一个充分不必要条件可以是（    ） A．（0,1） B． C． D． 【答案】A 【分析】先将命题转化为二次函数在R上恒成立问题，然后求出a的范围，最后利用集合法得出答案. 【详解】，使得,等价于在R上恒成立， 令，由二次函数的性质可得 当时，恒成立，解得， 要想是命题“，使得”成立的一个充分不必要条件, 只需要满足为的子集即可， 四个选项中，只有选项A满足题意. 故选：A 4（2025·全国·专练）已知条件：“不等式的解集是空集”，则条件： “”是条件的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先分和两种情况讨论求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】因为不等式的解集是空集， 所以不等式的解集是， 当即 时， 若 ，则 ， 舍； 若 ，则 ， ； 当时，则 ，解得 ， 综上所述 ， 所以条件是条件的充分不必要条件． 故选：A． 5（2025·广东·专练）若对任意实数都有意义，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意得，恒成立，然后对k的取值进行分类讨论，结合二次函数的性质可求． 【详解】对任意实数，都有意义，即恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 故，则，解得， 综上：的取值范围是. 故答案为：. 【题型4】 综合问题 【经典例题】 【例1】（2025·广东·专练）已知关于的不等式的解集为或． (1)求的值； (2)求关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集确定对应方程的根，再利用方程的系数与根的关系求参数即可； （2）代入参数，解一元二次不等式即可. 【详解】（1）关于的不等式的解集为或， ∴，且和4是方程的两实数根， 由根与系数的关系知，，解得； （2）由（1）知，时， 不等式为 ， ∴不等式的解集是. 【巩固练习】 1（2024·浙江绍兴·三模）若关于的不等式的解集为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】由题得、为方程的根，利用韦达定理计算即可得解. 【详解】由已知可得、为方程的根， 由韦达定理可得：，解得： 故选：B 2（多选）（2025·广东·专练）已知关于的不等式的解集是，则（    ） A． B． C． D．不等式的解集是或 【答案】ABD 【分析】由一元二次不等式的解和韦达定理逐项判断即可. 【详解】由题意可知，1，3是方程的两个根，且，， A：由以上可知，故A正确； B：当时，代入方程可得，故B正确； C：因为，不等式的解集是，故将代入不等式左边为，故C错误； D：原不等式可变为，且，约分可得，解集为或，故D正确； 故选：ABD 3已知不等式的解集为或或． (1)求实数a，b的值； (2)解不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）得到为方程的两根，由韦达定理得到方程，求出； （2）分式不等式转化为，求出不等式解集. 【详解】（1）由题意得为方程的两根，且， 故，解得； （2）由（1）得， ， 等价于，解得， 不等式解集为 4（2025·广东·专练）已知关于的一元二次不等式的解集为 (1)求和的值 (2)求不等式的解集 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解、根与系数关系列方程组来求得. （2）先因式分解，进而求得不等式的解集. 【详解】（1）依题意，关于的一元二次不等式的解集为 所以，解得. （2）由于，所以不等式， 即，由于， 所以不等式的解集为， 所以不等式的解集. 【A组---基础题】 1（2025·全国·模拟预测）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解一元二次不等式得到集合，再根据交集的定义求得结果. 【详解】由，得，所以． 由，得，所以． 所以． 故选：A． 2（2025·浙江·模拟预测）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可解出集合，然后进行补集、交集的运算即可． 【详解】，，则，因此，. 故选：B. 【点睛】本题考查补集和交集的运算，涉及一元二次不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题. 3（2022·天津河西·一模）设，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意解出不等式比较两范围大小即可得出结果. 【详解】解不等式可得或； 显然是或的真子集， 所以可得“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知命题p：集合，命题q：集合，则p是q的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】解出集合、，利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】或，或， 是的真子集， 因此，是的必要不充分条件. 故选：B 5（2024·天津河西·一模）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据分式不等式和一元二次不等式的解法，结合充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】由得，解得， 由得，所以，解得， 所以“”是“”成立的必要不充分条件. 故选：B 6若不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】D 【分析】分和两种情况讨论求解即可. 【详解】不等式的解集为， 当，即时，不等式为恒成立，故符合题意； 当，即时，不等式的解集为， 则，解得. 综上可得，实数的取值范围是. 故选：D. 7（2025·湖南·模拟预测）已知不等式的解集非空，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用一元二次不等式、函数、方程的关系计算即可. 【详解】由题意可知，解之得. 故选：B 8（2025·湖南·专练）不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，分类讨论并结合一元二次不等式恒成立求出范围. 【详解】不等式对一切实数都成立，当时，成立，则， 当时，必有，解得，则， 所以的取值范围为. 故选：D 9若“，使得不等式成立”是假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由“，使得不等式成立”是假命题，则其否命题为真命题，再根据不等式恒成立进行求解即可. 【详解】由“，使得不等式成立”是假命题， 则其否命题为真命题，即“，使得不等式成立”是真命题， 即，使得不等式恒成立， 当时，恒成立， 当时，要使，不等式恒成立， 则，解得， 综上知， 故选：A 10（2025·山东·专练）若命题“，”为假命题，则该命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题设有，为真命题，结合求参数，即可得答案. 【详解】由题设，，为真命题， 所以，可得， A是一个必要不充分条件，B是一个既不充分也不必要条件， C是一个充要条件，D是一个充分不必要条件. 故选：D 11（多选）（2025·广东·专练）已知命题，则命题p成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】解不等式得命题p的充要条件，然后根据所求集合为的真子集，即可求解. 【详解】，解得， 所以， 所以p的一个充分不必要条件必须为集合的真子集， 选项AC符合题意. 故选：AC 12（多选）（2024·广东深圳·模拟预测）下列说法正确的是（    ） A．不等式的解集是 B．不等式的解集是 C．若不等式恒成立，则a的取值范围是 D．若关于x的不等式的解集是，则的值为 【答案】CD 【分析】对于AB，直接解一元二次不等式即可判断；对于C，对分类讨论即可判断；对于D，由一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系，先求得，然后即可判断. 【详解】对于A，或，故A错误； 对于B，，故B错误； 若不等式恒成立， 当时，是不可能成立的， 所以只能，而该不等式组无解，综上，故C正确； 对于D，由题意得是一元二次方程的两根， 从而，解得， 而当时，一元二次不等式满足题意， 所以的值为，故D正确. 故选：CD. 13（2024·上海·高考真题）已知则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】求出方程的解后可求不等式的解集. 【详解】方程的解为或， 故不等式的解集为， 故答案为：. 14（2025·湖南·专练）已知不等式的解集是{x|2＜x＜3}，则不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】根据不等式的解集是，得到2和3是方程的两个根，利用韦达定理列方程解得，，然后代入不等式，解不等式即可. 【详解】因为不等式的解集是， 所以2和3是方程的两个根， 所以，，解得， 代入，得， 即，解得或. 故答案为：或. 15（2025·浙江·专练）已知不等式的解集为，不等式的解集为. (1)求. (2)若不等式的解集为，求，的值. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）分别解不等式得集合A，B，后可求交集； （2）由（1）可得的根，后由韦达定理可得答案. 【详解】（1）解得，即， 解得，即 （2）由的解集为， ，3是方程的两个根， ，，， 此时满足题意. 故，. 【B组---提高题】 1（2024·陕西·二模）若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 将代入原不等式，可得，解之即可求解. 【详解】由题意知，当时，可变为，符合题意； 当时，由，得， 即，解得或且； 综上，实数a的取值范围为. 故选：D 2（2024·江西南昌·三模）已知“”，“”，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用给定条件得到，再利用分离参数法求解参数范围即可. 【详解】若是的充分不必要条件，故在时恒成立， 故得，令，由二次函数性质得在时单调递增， 则，可得，故B正确. 故选：B 3（2025·湖南·专练）若对任意，恒成立，则的最小值为 . 【答案】2 【分析】令，得，再根据，恒成立，解得的值，最后验证恒成立即可. 【详解】令，则，故， 由，恒成立，则恒成立， 当时，要使恒成立，则，， 此时恒成立， ， 当时，要使恒成立， ，， ，此时，， ， 此时，，时取等号， 当，，时，则 恒成立， 的最小值为， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛： 本题的关键是，令，得，再根据不等式恒成立进行求解. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$