第09讲 平面直角坐标系与函数初步（讲练）（思维导图+10考点+7种题型+难度分层练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（江苏专用）

第三章 函数 第09讲 平面直角坐标系与函数初步 （思维导图+10个考点+7种题型+难度分层练） 目录 考情透视 目标导航 2 知识导图 思维引航 3 考点突破 考法探究 4 重点考点一 平面直角坐标系 4 重点考点二 点的坐标特征与变换 5 重点考点三 坐标方法的简单应用 8 重点考点四 函数 9 题型精研 考向洞悉 11 第一部分：常考考点讲练 11 考点1：点的坐标 11 考点2：规律型：点的坐标 11 考点3：坐标确定位置 12 考点4：坐标与图形性质 14 考点5：函数的概念 15 考点6：函数关系式 15 考点7：函数自变量的取值范围 16 考点8：函数值 16 考点9：函数的图象 17 考点10：动点问题的函数图象 19 第二部分：高频题型洞悉 21 题型1：根据点的坐标求点的位置 21 题型2：根据点的位置求点的坐标 22 题型3：平面直角坐标系中的规律性问题 22 题型4：平面直角坐标系中两点间的距离问题 24 题型5：求函数自变量或因变量的取值范围 24 题型6：根据题目信息识别和判断函数图像 25 题型7：从函数图形中获取信息 26 分层训练 巩固提升 28 基础夯实训练 28 能力拔高训练 31 考点要求 新课标要求 命题预测 平面直角坐标系 · 理解平面直角坐标系的有关概念，能画出平面直角坐标系. 该专题内容是初中代数最重要的部分，是代数的基础，非常重要，年年都会考查，分值为10分左右.预计2024年各地中考还将出现，在选择、填空题中出现的可能性较大． 点的坐标 特征与变换 · 在给定的平面直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置，由点的位置写出坐标. · 对给定的正方形，会选择合适的平面直角坐标系，写出它的顶点坐标，体会可以用坐标表达简单图形. · 在平面直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，知道对应顶点坐标之间的关系. · 在平面直角坐标系中，能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移一定距离后图形的顶点坐标，知道对应顶点坐标之间的关系. 坐标方法的简单应用 · 在实际问题中，能建立适当的平面直角坐标系，描述物体的位置. · 在平面上，运用方位角和距离刻画两个物体的相对位置. 函数 · 探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义;了解函数的概念和表示法，能举出函数的实例; · 能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析; · 能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值; · 能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系理解函数值的意义; · 结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论. 重点考点一 平面直角坐标系 有序数对概念：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a ，b）. 相关概念 具体内容 平面直角坐标系 定义 在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，这样就建立了平面直角坐标系. 两轴 水平的数轴叫做x轴或横轴，通常取 向右 方向为正方向； 竖直的数轴叫做y轴或纵轴，通常取 向上 方向为正方向.（见图一） 原点 两坐标轴交点为平面直角坐标系原点. 坐标平面 坐标系所在的平面叫做坐标平面. 象限 x轴和y轴把平面直角坐标系分成四部分，每个部分称为象限. 按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限.（见图一） 点的坐标 对于坐标轴内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应 的数a、b分别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序数对A(a，b)叫做点A的坐标，记作 A(a，b). （见图二） 1. 有序数对（a，b）与（b，a）顺序不同，含义也不同. 2. 坐标轴上的点不属于任何象限. 3. 坐标平面内点的坐标是有序实数对，当a≠b时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标. 4. 坐标平面内的点可以用有序实数对来表示，反过来每一个有序实数对应着坐标平面内的一个点，即坐标平面内的点和有序实数对是一一对应的关系. 在同一平面内，表示物体的位置需要用两个数，而且这两个数顺序不同，表示的位置也不同. 用有序数对表示位置时，必须明确前后两个数表示的实际意义. 重点考点二 点的坐标特征与变换 一、点的坐标特征 点P(x，y)的位置 在象限内 第一象限 x＞0，y＞0 第二象限 x＜0，y＞0 第三象限 x＜0，y＜0 第四象限 x＞0，y＜0 坐标轴上 x轴 y=0  y轴 x=0  原点 x=y=0  在角平分线上 第一、三象限 x=y 第二、四象限 x= -y 在平行坐标轴的直线上 平行x轴 所有点的 纵 坐标相等 平行y轴 所有点的 横 坐标相等 二、点的坐标变化 　 变换方式 具体变换过程 变换后的坐标 点P(x，y) 平移变换 向左平移a个单位 （x-a，y） 向右平移a个单位 (x+a，y) 向上平移a个单位 (x，y+a) 向下平移a个单位 (x，y-a) 简单记为“点的平移右加左减，上加下减” 对称变换 关于x轴对称 (x，-y) 关于y轴对称 (-x，y) 关于原点对称 (-x，-y) 简单记为“关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变” 关于x=m对称 (2m-x，y) 关于y=n对称 (x，2n-y) 旋转变换 绕原点顺时针旋转90° （y，-x） 绕原点顺时针旋转180° (-x，-y) 绕原点逆时针旋转90° （-y，x） 绕原点逆时针旋转180° (-x，-y) 三、点到坐标轴的距离 在平面直角坐标系中，已知点P， 则 1）点P到轴的距离为； 2）点P到轴的距离为； 3）点P到原点O的距离为P＝ . 四、坐标系内点与点之间的距离 点M（x1，y1）与点N（x2，y2）之间的直线距离（线段长度）： 若AB∥x轴，则的距离为； 若AB∥y轴，则的距离为； 1）原点既是x轴上的点，又是y 轴上的点. 2）点的横坐标或纵坐标为0，说明点在 y轴上或在x轴上. 3）已知点的坐标可以求出点到x 轴、y轴的距离，应注意取相应坐标的绝对值. 4）点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两方面： ①到x 轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关； ②距离都是非负数，而坐标可以是负数. 5）因为横轴向右为正，所以点向右平移时横坐标变大，向左平移时横坐标变小，同理向上平移时纵坐标变大，向下平移纵坐标变小. 1. 记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二象限(- ,+)；第三象限(- ,- )；第四象限(+,-)． 2.解决与点坐标变化有关的规律问题一般方法： 1)若点的坐标在坐标轴上或象限内循环(周期)变化时，先求出第一个循环周期内相关点的坐标，然后找出所求点经过循环后位于第一个循环周期内的哪个位置，从而求出坐标； 2)点的坐标是成倍递推变化时，先求出前几个点的坐标，然后归纳出后一个点坐标与前一个点坐标之间存在的规律． 3.解决与点坐标变化有关的规律问题的注意事项： 1）求什么找什么的规律； 2）变化规律最好用算式而不是得数表示； 3）找算式中数字与序号间的变化规律； 4）找坐标的变化规律，分两步进行：先找位置规律再找数字规律（点的坐标题型首先用这一条）. 重点考点三 坐标方法的简单应用 用坐标表示地理位置的方法 1）选择一个适当的参照点为原点建立直角坐标系，并确定x轴、y轴的正方向； 2）根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出长度单位； 3）坐标平面内画出这些点，并写出各点的坐标和各个地点的名称. 在求几何图形面积时，线段的长度往往通过计算某些点横坐标之差的绝对值，或纵坐标之差的绝对值去实现. (横坐标相减时最好用右边的数减左边的数，纵坐标相减时用上边的数减下边的数，这样所得结果就是边或高的长度，就不用绝对值符号了). 重点考点四 函数 一、函数的相关概念： 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量. 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量. 函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数. 函数的取值范围：使函数有意义的自变量的全体取值，叫做自变量的取值范围. 确定函数取值范围的方法： 1）函数解析式为整式时，字母取值范围为全体实数； 2）函数解析式含有分式时，分式的分母不能为零； 3）函数解析式含有二次根式时，被开方数大于等于零； 4）函数解析式中含有指数为零的式子时，底数不能为零； 5）实际问题中函数取值范围要和实际情况相符合，使之有意义. 函数值概念：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值. 函数解析式：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式. 函数图像上点的坐标与解析式之间的关系： 1）将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在. 2）两个函数图形交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解. 二、函数的三种表示法及其优缺点 解析法：两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法. 列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法. 图像法：用图像表示函数关系的方法叫做图像法. 优点 缺点 解析法 准确反映整个变化过程中自变量与函数的关系 求对应值是要经过比较复杂的计算，而且实 际问题中有的函数值不一定能用解析式表示 列表法 自变量和与它对应的函数值数据一目了然 所列对应数值个数有限，不容易看出自变量 与函数值的对应关系，有局限性 图像法 形象的把自变量和函数值的关系表示出来 图像中只能得到近似的数量关系 1）常量和变量的区分：在某个变化过程中，该量的值是否发生变化。 2）函数概念的解读：①有两个变量。 ②一个变量的数值随另一个变量的数值变化而变化。 ③对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应。 3）当已知函数解析式及自变量的值，欲求函数值时，实质就是求代数式的值. 4）当已知函数解析式，且给出函数值,，欲求相应的自变量的值时，实质就是解方程. 5）当给定函数值的一个取值范围，欲求相应的自变量的取值范围时，实质就是解不等式. 函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑： ①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数； ②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0； ③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数． 类型一 动点与函数图象判断的解题策略 方法一：趋势判断法. 根据几何图形的构造特点，对动点运动进行分段，并判断每段对应函数图象的增减变化趋势； 方法二：解析式计算法. 根据题意求出每段的函数解析式，结合解析式对应的函数图象进行判断； 方法三：定点求值法. 结合几何图形特点，在点运动的拐点、垂直点、特殊点处求出函数值，对选项进行排除； 方法四：范围排除法. 根据动点的运动过程，求出两个变量的变化范围，对选项进行排除． 类型二 动点与函数图象计算的解题策略 一看图：注意函数图象横纵坐标分别表示的量与取值范围，以及图象的拐点、最值点等； 二看形：观察题目所给几何图形的特点，运用几何性质分析动点整体运动情况； 三结合：几何动点与函数图象相结合，求出图形中相关线段的长度或图形面积的值； 四计算：结合已知，列出等式，计算未知量，常用勾股定理、面积相等和相似等方法进行计算求解． 第一部分：常考考点讲练 考点1：点的坐标 【例1】（2024•邗江区校级三模）在平面直角坐标系的第二象限内有一点，点到轴的距离为9，到轴的距离为6，则点的坐标是什么？　　 A． B． C． D． 【变式1】（2021•常州二模）在平面直角坐标系中，已知直线经过二、三、四象限，且还经过点，，和，则下列判断正确的是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2024•新北区校级模拟）对于平面直角坐标系中的点，若的坐标为，其中为常数，且，则、互为“系关联点”，比如：的“2系关联点”为，即：．若点的“系关联点”为，且满足，则的值为 　　． 考点2：规律型：点的坐标 【例2】（2024•盐城三模）如图，平面直角坐标系中，△，△，△，都是斜边在轴上的等腰直角三角形，点，，，；则根据图示规律点的坐标为　　 A． B． C． D． 【变式1】（2022•南京）如图，在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点按如下规律依序排列：，，，，，，，，，，，，，，，按这个规律，则是第 　　个点． 【变式2】（2019•洪泽区一模）如图，点的坐标为，在轴的正半轴上，且，过点作垂足为，交轴于点过点作，垂足为，交轴于点，过点作，垂足为交轴于点：过点作，垂足为，交轴于点按此规律进行下去，则点的横坐标为　　． 考点3：坐标确定位置 【例3】（2023•泗洪县二模）如图，一束光线从点出发，经轴上的点反射后经过点，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2024•广陵区校级四模）中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，若“馬”的坐标为，“車”的坐标为，则“炮”的坐标为　　 A． B． C． D． 【变式2】（2022•泗洪县模拟）如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿，将其放在平面直角坐标系中，表示叶片“顶部” ，两点的坐标分别为，，则叶杆“底部”点的坐标为 　　． 【变式3】（2019•锡山区一模）定义：在平面直角坐标系中，把从点出发沿纵或横方向到达点（至多拐一次弯）的路径长称为，的“实际距离”．如图，若，，则，的“实际距离”为5，即或．环保低碳的共享单车，正式成为市民出行喜欢的交通工具．设，，三个小区的坐标分别为，，，若点表示单车停放点，且满足到，，的“实际距离”相等，则点的坐标为 　　． 考点4：坐标与图形性质 【例4】（2024•盱眙县校级模拟）如图，平面直角坐标系中，，点坐标为，点坐标为，过、点分别作平行线，交轴于、两点，若，直线、之间距离的最大值为 　　． 【变式1】．（2024•姑苏区校级二模）对于平面直角坐标系内点，我们定义如下变换：将点的横坐标乘以2再减去1，纵坐标加上3就可以得到新的一点，已知点，，点在线段上运动（不包含点，，将点进行变换后得到点，连接，则线段长度的范围是 　　． 【变式2】（2023•新北区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，、、三点的坐标分别为，，，点为线段上的一个动点，连接，过点作交轴于点，当点在上运动时，点随之运动，设点的坐标为，则的取值范围是 　　． 【变式3】（2024•滨湖区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点坐标为，点为线段上的动点，始终保持，射线交直线于点，则的最大值为 　　． 考点5：函数的概念 【例5】（2024•盱眙县校级一模）如图是某同学利用计算机软件绘制的某函数的图象，根据图象判断可能是下列的哪一个函数　　 A． B． C． D． 【变式1】．（2018•如东县二模）在平面直角坐标系中，已知点，，，，其中不可能与点在同一函数图象上的一个点是　　 A．点 B．点 C．点 D．点 考点6：函数关系式 【例6】（2024•海陵区校级三模）若是的函数，其图象过点、，写出一个符合此条件的函数表达式：　　 ． 【变式1】（2024•工业园区校级二模）有一段长度为的金属滑块在笔直的轨道上滑动．如图，滑块沿方向从左向右匀速滑动，滑动速度为，滑动开始前滑块左端与点重合，滑动到右端与点重合时停止．设运动时间为时，滑块左端离点的距离为，右端离点的距离为，记．已知滑块在从左向右滑动的过程中，当和时，与之对应的的两个值互为相反数，则与的函数关系式为 　　． 【变式2】（2023•武进区一模）如图，在中，，，动点从点出发，以的速度沿方向运动到点，动点同时从点出发，以的速度沿折线方向运动到点．设的面积为，运动时间为，写出点在上运动时与之间函数关系式 　　． 【变式3】（2020•滨海县一模）如图，、两地相距，一列火车从地出发沿方向以的速度行驶，在行驶过程中，这列火车离地的路程与行驶时间之间的函数关系式是　　． 考点7：函数自变量的取值范围 【例7】（2024•梁溪区校级模拟）函数中，自变量的取值范围是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2021•泰州模拟）函数中，自变量的取值范围为 　　． 考点8：函数值 【例8】（2024•亭湖区三模）已知，均为关于函数，当时，函数值分别为，，若时，都有，则称，为“复兴”函数，则以下函数是“复兴”函数的是　　 A．， B．， C．， D．， 【变式1】（2024•邗江区二模）随着城市中汽车保有量的增多，交通噪声对人们生活的影响越来越大．用声压级来度量声音的强弱，其中声压级、听觉下限阈值是大于0常数）、实际声压满足如下关系：．如表为不同声源的声压级及声压： 声源 与声源的距离 声压级 实际声压 燃油汽车 10 80 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，，则　　． 【变式2】（2024•盐都区校级一模）如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中是的函数，下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组与的对应值． 输入 1 3 5 输出 4 8 6 4 根据以上信息，解答下列问题： （1）当输入的值为0时，输出的值为：　　； （2）求，的值； （3）当输出的值为0时，求输入的值． 考点9：函数的图象 【例9】（2024•滨海县校级模拟）如图，已知函数图象与轴只有三个交点，分别是，，． ①当时，或； ②当时，有最小值，没有最大值； ③当时，随的增大而增大； ④若点在函数图象上，则的值只有3个． 上述四个结论中正确的有　　 A．①② B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【变式1】（2024•盐都区三模）小明向各种空水壶内匀速注水，壶内水的深度（单位：与注水时间（单位：的函数关系如图所示，选项中是各种水壶的平面图，则小明使用的水壶是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2019•秦淮区校级模拟）某品牌电热水器，每单位时间内进出水都是一定的，设从某一时刻开始4分钟内只进冷水，不出热水，在随后的8分钟内既进冷水又出热水，如果时间（分钟）与水量（升之间的函数关系如图所示． （1）每分钟进水多少？ （2）当时，与有何关系？ （3）若12分钟后只放热水，不进冷水，求的表达式，并在图中把相应的图象补充完整． 考点10：动点问题的函数图象 【例10】（2023•海安市校级二模）已知等腰直角的斜边，正方形的边长为，把和正方形如图放置，点与点重合，边与在同一条直线上，将沿方向以每秒个单位的速度匀速平行移动，当点与点重合时停止移动．在移动过程中，与正方形重叠部分的面积与移动时间的函数图象大致是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023•靖江市模拟）如图1，已知，、分别从、同时开始旋转，按逆时针方向旋转，旋转到与重合时停止旋转，按顺时针方向旋转，旋转到与重合后，立刻按原速度逆时针返回，与重合停止旋转．根据观察，、最终同时停止旋转，旋转过程中的大小记作，旋转时间记作，与之间的关系如图2所示． （1）依据图象，请直接填写：　　；旋转的速度是 　　；　　； （2）当时，求旋转时间的值． 【变式2】（2022•常熟市模拟）如图（1），在平面直角坐标系中，点、分别在轴和轴上，轴，．点从点出发，以的速度沿边匀速运动，点从点出发，沿线段匀速运动．点与点同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．设点运动的时间为，的面积为，已知与之间的函数关系如图（2）中的曲线段、线段与曲线段． （1）点的运动速度为　　，点的坐标为　 　； （2）求曲线段的函数解析式； （3）当为何值时，的面积是四边形的面积的？ 第二部分：高频题型洞悉 题型1：根据点的坐标求点的位置 【例1】（2024•秦淮区校级三模）已知点关于轴的对称点为，则　　． 【变式1】（2010•姜堰区校级模拟）如图，两只福娃发现所处的位置分别为、，则、、三个点中为坐标原点的是 　　． 【变式2】（2005•淮安）如图是创星中学的平面示意图，其中宿舍楼暂未标注，已知宿舍楼在教学楼的北偏东约的方向，与教学楼实际距离约为200米，试借助刻度尺和量角器，测量图中四点位置，能比较准确地表示该宿舍楼位置的是　　 A．点 B．点 C．点 D．点 【变式3】（2024•海州区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，已知关于的函数图象与轴有且只有三个公共点，坐标分别为，，．关于该函数的四个结论如下： ①当时，； ②当时，有最小值； ③将该函数图象向右平移1个或3个单位长度后得到的函数图象经过原点； ④若点是该函数图象上一点，则符合要求的点只有两个． 其中正确的结论有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型2：根据点的位置求点的坐标 【例2】（2023•南京模拟）点位于平面直角坐标系第四象限，且到轴的距离是5，到轴的距离是2，则点关于原点对称的的坐标是　　 A． B． C． D． 【变式1】．（2023•新北区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，、、三点的坐标分别为，，，点为线段上的一个动点，连接，过点作交轴于点，当点在上运动时，点随之运动，设点的坐标为，则的取值范围是 　　． 题型3：平面直角坐标系中的规律性问题 【例3】（2021•清江浦区二模）如图，直线的函数表达式为，过点作轴，与直线交于点，以原点为圆心，长为半径画圆弧交轴于点；再作轴，交直线于点，以原点为圆心，长为半径画圆弧交轴于点；，按此作法进行下去，则点的坐标为 　，　． 【变式1】．（2020•玄武区模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点坐标分别为、 、、 ，点 绕点旋转得点，点绕点旋转得点，点绕点旋转得点，点绕点旋转得点，点绕点旋转得点，，重复操作依次得到点，，，，，，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 【变式2】（2019•润州区二模）如图，在平面直角坐标系中，对角线为1的正方形，点在轴的正半轴上，如果以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形，照此规律作下去，则点的坐标为　　 A．， B．， C． D． 题型4：平面直角坐标系中两点间的距离问题 【例4】（2022•江阴市模拟）如图，半径为1的的圆心在坐标原点，为直线上一点，过点作的切线，切点为，连接，．下列结论： ①当为等腰直角三角形时，点坐标为； ②当时，点坐标为； ③面积最小值为； ④． 其中正确的有　　 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式1】（2019•滨湖区模拟）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为（其中为实数），当的长最小时，的值为　　 A． B． C．3 D．4 题型5：求函数自变量或因变量的取值范围 【例5】（2024•梁溪区二模）若分式有意义，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023•锡山区校级模拟）函数中自变量的取值范围是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2022•张家港市一模）函数中，自变量的取值范围是　　 A． B． C． D． 题型6：根据题目信息识别和判断函数图像 【例6】（2023•广陵区二模）图1是变量与变量的函数关系的图象，图2是变量与变量的函数关系的图象，则与的函数关系的图象可能是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2024•南京自主招生）将向右平移两个单位，向下平移1个单位，与有两个交点，分别为，，则　　． 【变式2】（2021•梁溪区校级二模）如图，中，，，．点是斜边上一个动点．过点作，垂足为，交边（或边于点，设，的面积为，则与之间的函数图象大致为　　 A． B． C． D． 【变式3】（2022•邳州市校级模拟）在同一平面直角坐标系中，函数和函数是常数，且的图象可能是　　 A． B． C． D． 题型7：从函数图形中获取信息 【例7】（2024•常州）在马拉松、公路自行车等耐力运动的训练或比赛中，为合理分配体能，运动员通常会记录每行进所用的时间，即“配速”（单位：．小华参加的骑行比赛，他骑行的“配速”如图所示，则下列说法中错误的是　　 A．第所用的时间最长 B．第的平均速度最大 C．第和第的平均速度相同 D．前的平均速度大于最后的平均速度 【变式1】（2024•高港区三模）为了解某新能源汽车的充电速度，实验小组调查研究发现：当汽车充电率（充电率满足时，用该品牌汽车专用充电桩充电，汽车充电率与充电时间（单位：的函数图象是折线；用公共充电桩充电时，汽车充电率与充电时间（单位：的函数图象是线段．研究表明：为保护电池寿命，当充电率超过0.8时，品牌专用充电桩的充电速度与公共充电桩充电速度相同．根据以上信息，回答下列问题： （1）求的函数解析式． （2）若该汽车充电率从0.2至0.9，用品牌专用充电桩比公共充电桩充电少用多少时间？ 【变式2】（2023•海安市模拟）如图1，在矩形中，，对角线，相交于点，动点从点出发，沿向点运动，设点的运动路程为，的面积为，与的函数关系图象如图2所示，①四边形的面积为12；②边的长为4；③当时，是等边三角形；④的面积为3时，的值为3或10，则以上结论正确的有　　个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】（2022•姜堰区二模）如图1，在中，，，为的中点，为线段上一动点，设，，图2是关于的函数图象，且最低点的横坐标是，则　　． 基础夯实训练 1．（2024•广陵区校级四模）中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，若“馬”的坐标为，“車”的坐标为，则“炮”的坐标为　　 A． B． C． D． 2．（2024•溧阳市模拟）在平面内直角坐标系中，正方形、、、按如图所示的方式放置，其中点在轴上，点、、、、、、在轴上，已知正方形的边长为1，，则正方形的边长是　　 A． B． C． D． 3．（2023•金坛区一模）某项工作，已知每人每天完成的工作量相同，且一个人完成需要12天．若个人共同完成需要天，选取6组数对，在坐标系中进行描点，则正确的是　　 A． B． C． D． 4．（2024•盐城三模）若，，三点在同一函数图象上，则该函数图象可能是　　 A． B． C． D． 5．（2024•海门区校级模拟）如图1，在菱形中，动点从点出发，沿运动至终点．设点的运动路程为，的面积为，若与的函数图象如图2所示，则图中的值为 　　． 6．（2024•姜堰区二模）如图，在中国象棋的残局上建立平面直角坐标系，如果“相”和“兵”的坐标分别是和，那么“卒”的坐标为 　　． 7．（2024•江宁区校级三模）如图，△，△，△，△为正整数）均为等边三角形，它们的边长依次是2，4，6，，，顶点，，，均在轴上，点是所有等边三角形的中心，点的坐标为 　　． 8．（2021•邗江区一模）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点是第二象限内的一个动点，连接、、，且，则的最大值是 　　． 9．（2024•吴江区二模）已知点回答下列问题： （1）点在轴上，求出点的坐标； （2）点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，求的值 能力拔高训练 10．（2020•沭阳县模拟）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点，请你观察图中正方形，，，每个正方形四条边上的整点的个数．按此规律推算出正方形四条边上的整点的总个数有　　 A．152 B．156 C．160 D．168 11．（2024•盱眙县校级模拟）九年级2班数学兴趣小组利用数学软件探究函数的图象，输入了一组，的值，得到了它的函数图象，借助学习函数的经验，可以推断输入的，的值满足　　 A．， B．， C．， D．， 12．（2023•苏州模拟）如图1，点为矩形中边的中点，点从点出发，沿以的速度运动到点，图2是点运动时，的面积随时间变化的函数图象，则的值为　　 A．5 B． C．3 D．2 13．（2022•海州区校级二模）如图，在中，，，，动点从点出发，沿折线以的速度匀速运动，动点从出发沿以的速度匀速运动，若动点、同时从点出发任意一点到达点时两点都停止运动，则这一过程中，的面积与运动时间之间的关系大致图象是　　 A． B． C． D． 14．（2023•京口区模拟）如图1，在矩形中，动点从出发，沿方向运动，当点到达点时停止运动，过点作，交于点，设点运动路程为，，如图2所表示的是与的函数关系的大致图象，当点在上运动时，的最大长度是，则矩形的面积是　　． 15．（2023•姑苏区一模）如图①，四边形中，，．动点，均以的速度同时从点出发，其中点沿折线运动到点停止，点沿运动到点停止，设运动时间为，的面积为，则与的函数图象如图②所示，则　　． 16．（2022•雨花台区校级模拟）函数的图象如图所示，下列结论中： ①该函数自变量的取值范围是； ②该函数有最小值； ③方程有三个根； ④如果，和，是该函数图象上的两个点，当时一定有． 所有正确结论的序号是 　　． 17．（2024•盱眙县校级模拟）如图，平面直角坐标系中，，点坐标为，点坐标为，过、点分别作平行线，交轴于、两点，若，直线、之间距离的最大值为 　　． 18．（2023•宿豫区三模）如图，在平面直角坐标系中，、、、，点在第一象限，且，则的最小值为 　　． 19．（2021•海安市模拟）如图①，为矩形的边上一点，点从点出发沿折线运动到点停止，点从点出发沿运动到点停止，它们的运动速度都是．现，两点同时出发，设运动时间为，的面积为，与的对应关系如图②所示． （1）在图①中，　　，矩形的周长为　　； （2）求图②中线段对应的函数解析式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 函数 第09讲 平面直角坐标系与函数初步 （思维导图+10个考点+7种题型+难度分层练） 目录 考情透视 目标导航 2 知识导图 思维引航 3 考点突破 考法探究 4 重点考点一 平面直角坐标系 4 重点考点二 点的坐标特征与变换 5 重点考点三 坐标方法的简单应用 8 重点考点四 函数 9 题型精研 考向洞悉 11 第一部分：常考考点讲练 11 考点1：点的坐标 11 考点2：规律型：点的坐标 12 考点3：坐标确定位置 15 考点4：坐标与图形性质 19 考点5：函数的概念 26 考点6：函数关系式 27 考点7：函数自变量的取值范围 30 考点8：函数值 30 考点9：函数的图象 33 考点10：动点问题的函数图象 36 第二部分：高频题型洞悉 41 题型1：根据点的坐标求点的位置 41 题型2：根据点的位置求点的坐标 43 题型3：平面直角坐标系中的规律性问题 48 题型4：平面直角坐标系中两点间的距离问题 51 题型5：求函数自变量或因变量的取值范围 54 题型6：根据题目信息识别和判断函数图像 55 题型7：从函数图形中获取信息 58 分层训练 巩固提升 62 基础夯实训练 62 能力拔高训练 70 考点要求 新课标要求 命题预测 平面直角坐标系 · 理解平面直角坐标系的有关概念，能画出平面直角坐标系. 该专题内容是初中代数最重要的部分，是代数的基础，非常重要，年年都会考查，分值为10分左右.预计2024年各地中考还将出现，在选择、填空题中出现的可能性较大． 点的坐标 特征与变换 · 在给定的平面直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置，由点的位置写出坐标. · 对给定的正方形，会选择合适的平面直角坐标系，写出它的顶点坐标，体会可以用坐标表达简单图形. · 在平面直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，知道对应顶点坐标之间的关系. · 在平面直角坐标系中，能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移一定距离后图形的顶点坐标，知道对应顶点坐标之间的关系. 坐标方法的简单应用 · 在实际问题中，能建立适当的平面直角坐标系，描述物体的位置. · 在平面上，运用方位角和距离刻画两个物体的相对位置. 函数 · 探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义;了解函数的概念和表示法，能举出函数的实例; · 能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析; · 能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值; · 能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系理解函数值的意义; · 结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论. 重点考点一 平面直角坐标系 有序数对概念：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a ，b）. 相关概念 具体内容 平面直角坐标系 定义 在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，这样就建立了平面直角坐标系. 两轴 水平的数轴叫做x轴或横轴，通常取 向右 方向为正方向； 竖直的数轴叫做y轴或纵轴，通常取 向上 方向为正方向.（见图一） 原点 两坐标轴交点为平面直角坐标系原点. 坐标平面 坐标系所在的平面叫做坐标平面. 象限 x轴和y轴把平面直角坐标系分成四部分，每个部分称为象限. 按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限.（见图一） 点的坐标 对于坐标轴内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应 的数a、b分别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序数对A(a，b)叫做点A的坐标，记作 A(a，b). （见图二） 1. 有序数对（a，b）与（b，a）顺序不同，含义也不同. 2. 坐标轴上的点不属于任何象限. 3. 坐标平面内点的坐标是有序实数对，当a≠b时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标. 4. 坐标平面内的点可以用有序实数对来表示，反过来每一个有序实数对应着坐标平面内的一个点，即坐标平面内的点和有序实数对是一一对应的关系. 在同一平面内，表示物体的位置需要用两个数，而且这两个数顺序不同，表示的位置也不同. 用有序数对表示位置时，必须明确前后两个数表示的实际意义. 重点考点二 点的坐标特征与变换 一、点的坐标特征 点P(x，y)的位置 在象限内 第一象限 x＞0，y＞0 第二象限 x＜0，y＞0 第三象限 x＜0，y＜0 第四象限 x＞0，y＜0 坐标轴上 x轴 y=0  y轴 x=0  原点 x=y=0  在角平分线上 第一、三象限 x=y 第二、四象限 x= -y 在平行坐标轴的直线上 平行x轴 所有点的 纵 坐标相等 平行y轴 所有点的 横 坐标相等 二、点的坐标变化 　 变换方式 具体变换过程 变换后的坐标 点P(x，y) 平移变换 向左平移a个单位 （x-a，y） 向右平移a个单位 (x+a，y) 向上平移a个单位 (x，y+a) 向下平移a个单位 (x，y-a) 简单记为“点的平移右加左减，上加下减” 对称变换 关于x轴对称 (x，-y) 关于y轴对称 (-x，y) 关于原点对称 (-x，-y) 简单记为“关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变” 关于x=m对称 (2m-x，y) 关于y=n对称 (x，2n-y) 旋转变换 绕原点顺时针旋转90° （y，-x） 绕原点顺时针旋转180° (-x，-y) 绕原点逆时针旋转90° （-y，x） 绕原点逆时针旋转180° (-x，-y) 三、点到坐标轴的距离 在平面直角坐标系中，已知点P， 则 1）点P到轴的距离为； 2）点P到轴的距离为； 3）点P到原点O的距离为P＝ . 四、坐标系内点与点之间的距离 点M（x1，y1）与点N（x2，y2）之间的直线距离（线段长度）： 若AB∥x轴，则的距离为； 若AB∥y轴，则的距离为； 1）原点既是x轴上的点，又是y 轴上的点. 2）点的横坐标或纵坐标为0，说明点在 y轴上或在x轴上. 3）已知点的坐标可以求出点到x 轴、y轴的距离，应注意取相应坐标的绝对值. 4）点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两方面： ①到x 轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关； ②距离都是非负数，而坐标可以是负数. 5）因为横轴向右为正，所以点向右平移时横坐标变大，向左平移时横坐标变小，同理向上平移时纵坐标变大，向下平移纵坐标变小. 1. 记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二象限(- ,+)；第三象限(- ,- )；第四象限(+,-)． 2.解决与点坐标变化有关的规律问题一般方法： 1)若点的坐标在坐标轴上或象限内循环(周期)变化时，先求出第一个循环周期内相关点的坐标，然后找出所求点经过循环后位于第一个循环周期内的哪个位置，从而求出坐标； 2)点的坐标是成倍递推变化时，先求出前几个点的坐标，然后归纳出后一个点坐标与前一个点坐标之间存在的规律． 3.解决与点坐标变化有关的规律问题的注意事项： 1）求什么找什么的规律； 2）变化规律最好用算式而不是得数表示； 3）找算式中数字与序号间的变化规律； 4）找坐标的变化规律，分两步进行：先找位置规律再找数字规律（点的坐标题型首先用这一条）. 重点考点三 坐标方法的简单应用 用坐标表示地理位置的方法 1）选择一个适当的参照点为原点建立直角坐标系，并确定x轴、y轴的正方向； 2）根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出长度单位； 3）坐标平面内画出这些点，并写出各点的坐标和各个地点的名称. 在求几何图形面积时，线段的长度往往通过计算某些点横坐标之差的绝对值，或纵坐标之差的绝对值去实现. (横坐标相减时最好用右边的数减左边的数，纵坐标相减时用上边的数减下边的数，这样所得结果就是边或高的长度，就不用绝对值符号了). 重点考点四 函数 一、函数的相关概念： 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量. 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量. 函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数. 函数的取值范围：使函数有意义的自变量的全体取值，叫做自变量的取值范围. 确定函数取值范围的方法： 1）函数解析式为整式时，字母取值范围为全体实数； 2）函数解析式含有分式时，分式的分母不能为零； 3）函数解析式含有二次根式时，被开方数大于等于零； 4）函数解析式中含有指数为零的式子时，底数不能为零； 5）实际问题中函数取值范围要和实际情况相符合，使之有意义. 函数值概念：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值. 函数解析式：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式. 函数图像上点的坐标与解析式之间的关系： 1）将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在. 2）两个函数图形交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解. 二、函数的三种表示法及其优缺点 解析法：两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法. 列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法. 图像法：用图像表示函数关系的方法叫做图像法. 优点 缺点 解析法 准确反映整个变化过程中自变量与函数的关系 求对应值是要经过比较复杂的计算，而且实 际问题中有的函数值不一定能用解析式表示 列表法 自变量和与它对应的函数值数据一目了然 所列对应数值个数有限，不容易看出自变量 与函数值的对应关系，有局限性 图像法 形象的把自变量和函数值的关系表示出来 图像中只能得到近似的数量关系 1）常量和变量的区分：在某个变化过程中，该量的值是否发生变化。 2）函数概念的解读：①有两个变量。 ②一个变量的数值随另一个变量的数值变化而变化。 ③对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应。 3）当已知函数解析式及自变量的值，欲求函数值时，实质就是求代数式的值. 4）当已知函数解析式，且给出函数值,，欲求相应的自变量的值时，实质就是解方程. 5）当给定函数值的一个取值范围，欲求相应的自变量的取值范围时，实质就是解不等式. 函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑： ①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数； ②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0； ③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数． 类型一 动点与函数图象判断的解题策略 方法一：趋势判断法. 根据几何图形的构造特点，对动点运动进行分段，并判断每段对应函数图象的增减变化趋势； 方法二：解析式计算法. 根据题意求出每段的函数解析式，结合解析式对应的函数图象进行判断； 方法三：定点求值法. 结合几何图形特点，在点运动的拐点、垂直点、特殊点处求出函数值，对选项进行排除； 方法四：范围排除法. 根据动点的运动过程，求出两个变量的变化范围，对选项进行排除． 类型二 动点与函数图象计算的解题策略 一看图：注意函数图象横纵坐标分别表示的量与取值范围，以及图象的拐点、最值点等； 二看形：观察题目所给几何图形的特点，运用几何性质分析动点整体运动情况； 三结合：几何动点与函数图象相结合，求出图形中相关线段的长度或图形面积的值； 四计算：结合已知，列出等式，计算未知量，常用勾股定理、面积相等和相似等方法进行计算求解． 第一部分：常考考点讲练 考点1：点的坐标 【例1】（2024•邗江区校级三模）在平面直角坐标系的第二象限内有一点，点到轴的距离为9，到轴的距离为6，则点的坐标是什么？　　 A． B． C． D． 【思路点拨】设点的坐标为，根据题意得出，，再根据所在的象限，即可得出答案． 【规范解答】解：设点的坐标为， 点到轴的距离为9，到轴的距离为6， ，， ，， 点在第二象限内， ，． 故选：． 【考点评析】本题主要考查点的坐标，熟练掌握点的坐标特征是解题的关键． 【变式1】（2021•常州二模）在平面直角坐标系中，已知直线经过二、三、四象限，且还经过点，，和，则下列判断正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】设直线的解析式为，根据直线过点0，，，和，得出的表达式，再根据经过二、三、四象限判断出的符号，由此即可得出结论． 【规范解答】解：如图，设直线的解析式为， 直线经过二、三、四象限， ，，随的增大而减小， 选项，，随的增大而减小，，故该选项不符合题意； 选项，，随的增大而减小，，故该选项不符合题意； 选项，，随的增大而减小，，故该选项不符合题意； 选项，故该选项符合题意． 故选：． 【考点评析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数图象与系数的关系，依照题意画出图形，利用数形结合找出，的取值范围是解题的关键． 【变式2】（2024•新北区校级模拟）对于平面直角坐标系中的点，若的坐标为，其中为常数，且，则、互为“系关联点”，比如：的“2系关联点”为，即：．若点的“系关联点”为，且满足，则的值为 　6　． 【思路点拨】点的“系关联点”为，可得点，由即可得出的值． 【规范解答】解：点的“系关联点”为， ，， ，， 又， ， ， 即的值是6． 故答案为：6． 【考点评析】本题主要考查点的坐标与新定义，熟练掌握新定义并列出相关的方程是解题的关键． 考点2：规律型：点的坐标 【例2】（2024•盐城三模）如图，平面直角坐标系中，△，△，△，都是斜边在轴上的等腰直角三角形，点，，，；则根据图示规律点的坐标为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据所给图形，依次求出点为正整数）的坐标，发现规律即可解决问题． 【规范解答】解：由所给图形可知， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， ， 所以点的坐标为，为正整数）， 当时， ，， 所以点的坐标为， 因为， 所以点的坐标为． 故选：． 【考点评析】本题考查点的坐标变化规律，能根据题意发现点的坐标为，为正整数）是解题的关键． 【变式1】（2022•南京）如图，在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点按如下规律依序排列：，，，，，，，，，，，，，，，按这个规律，则是第 　99　个点． 【思路点拨】先根据点的坐标，找出规律，再计算求解． 【规范解答】解：横纵坐标和是0的有1个点， 横纵坐标和是1的有2个点， 横纵坐标和是2的有3个点， 横纵坐标和是3的有4个点， ， 横纵坐标和是的有个点， ， ， 横纵坐标和是13的有14点，分别为：、、、、、、、、、、、、、、 是第个点， 故答案为：99． 【考点评析】本题考查了点的坐标，找到坐标的排列规律是解题的关键． 【变式2】（2019•洪泽区一模）如图，点的坐标为，在轴的正半轴上，且，过点作垂足为，交轴于点过点作，垂足为，交轴于点，过点作，垂足为交轴于点：过点作，垂足为，交轴于点按此规律进行下去，则点的横坐标为　　． 【思路点拨】通过解直角三角形可得出点的坐标，同理可得出点，，，，，，的坐标，根据坐标的变化可得出变化规律“点的坐标为，为正整数）”，再结合即可得出点的坐标，此题得解． 【规范解答】解：，， ， 点的坐标为， 同理，，，，，，，， 点的坐标为，为正整数）． ， 点的坐标为，． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了特殊角的三角函数值以及规律型：点的坐标，根据点的坐标的变化找出变化规律“点的坐标为，为正整数）”是解题的关键． 考点3：坐标确定位置 【例3】（2023•泗洪县二模）如图，一束光线从点出发，经轴上的点反射后经过点，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】延长交轴于点，利用反射定律，推出等角，从而证明得出，得到，得到，设的直线的解析式为，待定系数法求出解析式，并求出直线与轴的交点坐标，即点坐标． 【规范解答】解：延长交轴于点，如图所示： 由反射可知：， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 设的直线的解析式为， ， 解得， 的直线的解析式为， 当时，， ． 故选：． 【考点评析】本题考查了反射定律，全等三角形的性质和判定，待定系数法求一次函数解析式，综合性较强，将知识综合运用是本题的关键． 【变式1】（2024•广陵区校级四模）中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，若“馬”的坐标为，“車”的坐标为，则“炮”的坐标为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】直接利用已知点坐标得出原点位置，进而得出答案． 【规范解答】解：如图所示：建立平面直角坐标系． “炮”的坐标为． 故选：． 【考点评析】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键． 【变式2】（2022•泗洪县模拟）如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿，将其放在平面直角坐标系中，表示叶片“顶部” ，两点的坐标分别为，，则叶杆“底部”点的坐标为 　　． 【思路点拨】根据，的坐标确定出坐标轴的位置，点的坐标可得． 【规范解答】解：，两点的坐标分别为，， 得出坐标轴如图所示位置： 点的坐标为． 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了用坐标确定位置，和由点的位置得到点的坐标．依据已知点的坐标确定出坐标轴的位置是解题的关键． 【变式3】（2019•锡山区一模）定义：在平面直角坐标系中，把从点出发沿纵或横方向到达点（至多拐一次弯）的路径长称为，的“实际距离”．如图，若，，则，的“实际距离”为5，即或．环保低碳的共享单车，正式成为市民出行喜欢的交通工具．设，，三个小区的坐标分别为，，，若点表示单车停放点，且满足到，，的“实际距离”相等，则点的坐标为 　　． 【思路点拨】若设，构建方程组即可解决问题． 【规范解答】解：设，由“实际距离”的定义可知： 点只能在区域内， ，， 又到，，距离相等， ，① ，② 要将与中绝对值去掉， 需要判断在3的左侧和右侧，以及在的上侧还是下侧， 将矩形分割为4部分，若要使到，，的距离相等， 由图可知只能在矩形中， 故，， 则方程可变为：， 解得，，，则 故答案为：． 【考点评析】此题主要考查了坐标确定位置，正确理解实际距离的定义是解题关键． 考点4：坐标与图形性质 【例4】（2024•盱眙县校级模拟）如图，平面直角坐标系中，，点坐标为，点坐标为，过、点分别作平行线，交轴于、两点，若，直线、之间距离的最大值为 　　． 【思路点拨】如详解中的辅助线作图法，可证△△，并设，，然后将相关线段都用与的代数式表示出来，再证，得出比例式，然后可得，可求得的最大值，从而可求得的最大值为． 【规范解答】解：如图，自点作延长线的垂线，垂足为点；自，垂足为点． 设，，由题意可知，，， ，， ，，， △△，则，， ，， ，又， ， ， ， 即， 即的最大值为， ， ． 即的最大值为． 即直线、之间距离的最大值为． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了勾股定理、三角形相似的判定和性质、求二次函数的最大值、平行线之间的距离等综合知识点，构造相似三角形与平行线间的距离是解题的关键． 【变式1】．（2024•姑苏区校级二模）对于平面直角坐标系内点，我们定义如下变换：将点的横坐标乘以2再减去1，纵坐标加上3就可以得到新的一点，已知点，，点在线段上运动（不包含点，，将点进行变换后得到点，连接，则线段长度的范围是 　　． 【思路点拨】先设出点的坐标，根据题意即可得到的坐标，然后表示出，再根据点，，点在线段上运动（不包含点，，即可得到的取值范围． 【规范解答】解：点，，点在线段上运动（不包含点，， 点的横纵坐标相等， 设点的坐标为， 点的坐标为， ， 当时，，当时，， 由已知可得，， 线段长度的范围是， 故答案为：． 【考点评析】本题考查坐标与图形的性质、两点间的距离，解答本题的关键是明确题意，求出的取值范围． 【变式2】（2023•新北区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，、、三点的坐标分别为，，，点为线段上的一个动点，连接，过点作交轴于点，当点在上运动时，点随之运动，设点的坐标为，则的取值范围是 　　． 【思路点拨】分三种情况讨论：①当点在之间时，当延长交轴于点，即过点作，垂足为，根据已知条件证明，得到，设，则，，从而得到与的函数关系式，求出最值，从而求出的最值即可； ②过点作，延长交轴于点，连接，当点运动到点处时，根据已知条件求出，两点坐标，再根据其它各点坐标求出，，，，，从而根据勾股定理求出和的平方和，于的平方和，列出方程求出即可； ③过点作轴于点，延长交轴于点，连接，当点运动到点时，根据已知条件求出，两点坐标，再根据其它各点坐标求出，，，，从而根据勾股定理求出，，和的平方和，于的平方和，列出方程求出即可； 【规范解答】解：①如图所示：当点在之间时，当延长交轴于点，即过点作，垂足为， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， ， ，， 当时，有最大值， ， 当时，有最小值0， ， 的取值范围为： ②如图1所示，过点作，延长交轴于点，连接，当点运动到点时， ，， 轴， ， ，， ，，轴， ， ， ，，， ， ，， 轴轴， ， ， ， ， ， ， ， ； ③如图2所示，过点作轴于点，延长交轴于点，连接，当点运动到点时， ，， 轴， ，， ，，， ，，， ，轴， ， ， 轴， ， ，， ， ， ， 轴轴， ， ， ， ， 的取值范围是：， 综上可知：， 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了坐标与图形性质，解题关键是根据已知条件求出有关点的坐标和有关线段． 【变式3】（2024•滨湖区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点坐标为，点为线段上的动点，始终保持，射线交直线于点，则的最大值为 　　． 【思路点拨】在轴上取点，使得，设点的坐标为，通过证得△△，得到，将相关线段的长度代入整理得到：．由根的判别式推知，由此求得最值． 【规范解答】解：在轴上取点，使得，设点的坐标为， ， ， △△， ， 点的坐标为， ，， ， 在△中，设，则，由勾股定理，得， ，， ， 整理，得：． 的值是存在的， 方程根的判别式△， ，（舍去）， ， 因此，的最大值为． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了坐标与图形性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，直角三角函数等知识点，作出辅助线构建相似三角形是解题的关键． 考点5：函数的概念 【例5】（2024•盱眙县校级一模）如图是某同学利用计算机软件绘制的某函数的图象，根据图象判断可能是下列的哪一个函数　　 A． B． C． D． 【思路点拨】由图象可知，当时，函数值不存在，当时，，当时，随的增大先增大后减小；据此即可判断． 【规范解答】解：、，当时，随的增大而减小，与图象不符，不符合题意； 、，满足图象特点，符合题意； 、，当时，，与图象不符，不符合题意； 、，当时，，与图象不符，不符合题意； 故选：． 【考点评析】本题考查了函数的图象；能够通过函数的图象得出结论是解题的关键． 【变式1】．（2018•如东县二模）在平面直角坐标系中，已知点，，，，其中不可能与点在同一函数图象上的一个点是　　 A．点 B．点 C．点 D．点 【思路点拨】根据“对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应”，可知点不可能与在同一函数图象上． 【规范解答】解：根据函数的定义可知：点不可能与点在同一函数图象上， 故选：． 【考点评析】本题考查了函数的概念，解决问题的关键是正确理解：对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应． 考点6：函数关系式 【例6】（2024•海陵区校级三模）若是的函数，其图象过点、，写出一个符合此条件的函数表达式：　（答案不唯一）　． 【思路点拨】先设该函数解析式为，再将点、代入求解． 【规范解答】解：当该函数是一次函数时，设该函数解析式为， 得， 解得， 该函数解析式为（答案不唯一）． 【考点评析】该题考查了运用待定系数法确定一次函数解析式的能力，关键是能准确理解并运用该方法进行求解． 【变式1】（2024•工业园区校级二模）有一段长度为的金属滑块在笔直的轨道上滑动．如图，滑块沿方向从左向右匀速滑动，滑动速度为，滑动开始前滑块左端与点重合，滑动到右端与点重合时停止．设运动时间为时，滑块左端离点的距离为，右端离点的距离为，记．已知滑块在从左向右滑动的过程中，当和时，与之对应的的两个值互为相反数，则与的函数关系式为 　　． 【思路点拨】设的距离为 ，分别求出当时和时的值，再根据相反数定义可列式求出的值，进而即可求出与的函数关系式． 【规范解答】解：设的距离为 ， 当时，， 当时，， 当和时，与之对应的的两个值互为相反数， ， ， ． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了求一次函数解析式，掌握题意求出的距离是解题的关键． 【变式2】（2023•武进区一模）如图，在中，，，动点从点出发，以的速度沿方向运动到点，动点同时从点出发，以的速度沿折线方向运动到点．设的面积为，运动时间为，写出点在上运动时与之间函数关系式 　　． 【思路点拨】作，分点在上运动时，判断出点在点处，表示出，由直角三角形的性质表示出的长，利用三角形面积公式得出函数解析式即可． 【规范解答】解：，， ， 动点从点出发，以的速度沿方向运动到点，动点同时从点出发，以的速度沿折线方向运动到点， 当点在上运动，即时，点与点重合， 过点作于点，如图2所示： 由题意知， ，， ， 为等腰直角三角形， ， ． 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了动点问题的函数图象，掌握题意弄清两点的运动路线，根据点、所在位置，得出函数解析式是解题的关键． 【变式3】（2020•滨海县一模）如图，、两地相距，一列火车从地出发沿方向以的速度行驶，在行驶过程中，这列火车离地的路程与行驶时间之间的函数关系式是　　． 【思路点拨】根据火车从地出发沿方向以120千米小时的速度行驶，则火车行驶的路程速度时间，火车离地的路程与行驶时间之间的函数关系式是：火车离地的路程、两地的距离火车行驶的路程． 【规范解答】解：、两地相距，一列火车从地出发沿方向以的速度行驶， 离地的路程与行驶时间之间的函数关系式是． 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了一次函数关系式，掌握路程的等量关系是解决本题的关键． 考点7：函数自变量的取值范围 【例7】（2024•梁溪区校级模拟）函数中，自变量的取值范围是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据分母不能为0可得，然后进行计算即可解答． 【规范解答】解：由题意得： ， 解得：， 故选：． 【考点评析】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分母不能为0是解题的关键． 【变式1】（2021•泰州模拟）函数中，自变量的取值范围为 　　． 【思路点拨】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，据此即可求解． 【规范解答】解：根据题意得， 解得：． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了函数自变量的取值范围，初中范围内一般要考虑三种情况：1、分母不等于0；2、二次根式被开方数是非负数；3、0的0次幂或负指数次幂无意义． 考点8：函数值 【例8】（2024•亭湖区三模）已知，均为关于函数，当时，函数值分别为，，若时，都有，则称，为“复兴”函数，则以下函数是“复兴”函数的是　　 A．， B．， C．， D．， 【思路点拨】结合题意，根据二次函数、反比例函数的性质，对各个选项逐个分析，即可得了答案． 【规范解答】解：（1）选项， ，， ， 当时，，且， ， 即此选项不合题意； （2）选项， ，， ， 当时，， 即此选项不合题意； （3）选项， ，， ， 当时，， 即此选项不合题意； （4）选项， ，， ， 当时，， ， 即此选项符合题意； 故选：． 【考点评析】本题考查了不等式，二次函数、反比例函数的智识，解题的关键是熟练掌握二次函数、反比例函数图象的性质，从而完成求解． 【变式1】（2024•邗江区二模）随着城市中汽车保有量的增多，交通噪声对人们生活的影响越来越大．用声压级来度量声音的强弱，其中声压级、听觉下限阈值是大于0常数）、实际声压满足如下关系：．如表为不同声源的声压级及声压： 声源 与声源的距离 声压级 实际声压 燃油汽车 10 80 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，，则　100　． 【思路点拨】根据公式分别计算，，然后比较即可． 【规范解答】解：根据题意得，，， ， 故答案为：100． 【考点评析】本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力． 【变式2】（2024•盐都区校级一模）如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中是的函数，下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组与的对应值． 输入 1 3 5 输出 4 8 6 4 根据以上信息，解答下列问题： （1）当输入的值为0时，输出的值为：　6　； （2）求，的值； （3）当输出的值为0时，求输入的值． 【思路点拨】（1）把代入，即可得到结论； （2）将，代入解方程即可得到结论； （3）分和两种情况讨论，解方程即可得到结论． 【规范解答】解：（1）当输入的值为0时，输出的值为， 故答案为：0； （2）将，代入， 得， 解得； （3）当时，， ； 当时，， ； 综上，输出的值为0时，输入的值为或9． 【考点评析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，函数值，正确地求得函数的解析式是解题的关键． 考点9：函数的图象 【例9】（2024•滨海县校级模拟）如图，已知函数图象与轴只有三个交点，分别是，，． ①当时，或； ②当时，有最小值，没有最大值； ③当时，随的增大而增大； ④若点在函数图象上，则的值只有3个． 上述四个结论中正确的有　　 A．①② B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【思路点拨】根据函数图象结合选项进行解答即可． 【规范解答】解：根据函数图象可知： ①当时，或，正确； ②当时，有最小值，没有最大值，正确； ③当时，随的增大而增大，错误； ④如图，结合函数图象可知： 若点同时在函数图象上，则的值有3个，故④正确． 故选：． 【考点评析】本题考查了函数的图象，数形结合是解答本题的关键． 【变式1】（2024•盐都区三模）小明向各种空水壶内匀速注水，壶内水的深度（单位：与注水时间（单位：的函数关系如图所示，选项中是各种水壶的平面图，则小明使用的水壶是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据函数图象的变化即可得出结论． 【规范解答】解：根据图象可知，刚开始注水的时候，水的深度变化的是先慢后快，且不是线性关系， 水壶应该是下宽上窄型，只有选项符合， 故选：． 【考点评析】本题考查了函数图象的实际应用，数形结合是解题的关键． 【变式2】（2019•秦淮区校级模拟）某品牌电热水器，每单位时间内进出水都是一定的，设从某一时刻开始4分钟内只进冷水，不出热水，在随后的8分钟内既进冷水又出热水，如果时间（分钟）与水量（升之间的函数关系如图所示． （1）每分钟进水多少？ （2）当时，与有何关系？ （3）若12分钟后只放热水，不进冷水，求的表达式，并在图中把相应的图象补充完整． 【思路点拨】（1）由题意得前4分钟只进冷水，则进水的速度为：，即可求 （2）当时，利用待定系数法求出函数解析式，即可知与的关系 （3）求出出水速度，即可求得函数的表达式，从而画出相应的图象 【规范解答】解：依题意 （1）每分钟进水：（升分） （2）由图设，将点，代入得 ，解得 故当时，有 （3）由（1）知进水的速度进 则进出，得出 放完水所用的时间：， 故在8分钟后放完，此时与轴的交点为 则设函数表达式为： 将点，，代入得 解得 故函数表达式为： 补充的函数图象如下： 【考点评析】此题主要考查函数图象与实际的应用，理解折点的含义是解题的关键 考点10：动点问题的函数图象 【例10】（2023•海安市校级二模）已知等腰直角的斜边，正方形的边长为，把和正方形如图放置，点与点重合，边与在同一条直线上，将沿方向以每秒个单位的速度匀速平行移动，当点与点重合时停止移动．在移动过程中，与正方形重叠部分的面积与移动时间的函数图象大致是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】分别求出，，，的函数关系式即可判断． 【规范解答】解：①当时，，函数为开口方向向上的抛物线； ②当时，如图， 设交于，则， 则， ，函数为开口方向向下的抛物线； ③当时，； ④当时，同理可得，函数为开口方向向下的抛物线； 故只有选项符合题意． 故选：． 【考点评析】本题主要考查了动点问题的函数图象，根据题意得出相应的函数关系式是解答本题的关键． 【变式1】（2023•靖江市模拟）如图1，已知，、分别从、同时开始旋转，按逆时针方向旋转，旋转到与重合时停止旋转，按顺时针方向旋转，旋转到与重合后，立刻按原速度逆时针返回，与重合停止旋转．根据观察，、最终同时停止旋转，旋转过程中的大小记作，旋转时间记作，与之间的关系如图2所示． （1）依据图象，请直接填写：　120　；旋转的速度是 　　；　　； （2）当时，求旋转时间的值． 【思路点拨】（1）根据图象和题中的条件得到角度，再用相遇问题来求出所用的时间． （2）根据相遇，追击来解决旋转的时间． 【规范解答】解：（1）根据图象，轴上的点是，是最大值，也就是没运动时的角度， 所以． 观察图象得到运动6秒时，，两条线重合，所以， 因为在最终停止运动，运动两个路程，运动一个路程， 所以， ， 当运动秒时，到， 所以（秒， 当运动秒时，运动到，又返回到， 所以（秒， 即（秒． 故答案为：，，27秒． （2）当、未相遇时， （秒， 当、相遇后，没到时， （秒 当、相遇后，且到达过， ， 解得， 所以当时，，，． 【考点评析】本题考查了图象与数据之间的关系，关键用路程问题来解决问题． 【变式2】（2022•常熟市模拟）如图（1），在平面直角坐标系中，点、分别在轴和轴上，轴，．点从点出发，以的速度沿边匀速运动，点从点出发，沿线段匀速运动．点与点同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．设点运动的时间为，的面积为，已知与之间的函数关系如图（2）中的曲线段、线段与曲线段． （1）点的运动速度为　4　，点的坐标为　 　； （2）求曲线段的函数解析式； （3）当为何值时，的面积是四边形的面积的？ 【思路点拨】（1）结合函数图象得出当2秒时，，此时的面积为，进而求出为，即可得出点的速度，进而求出的长即可； （2）首先得出，，则，利用求出即可； （3）首先得出的面积，进而得出点坐标，进而得出直线解析式为：，当时，求出的值，再将代入求出的值，即可得出答案． 【规范解答】解：（1）由题意可得出：当2秒时，的面积的函数关系式改变，则在上运动2秒， 当2秒时，，此时的面积为， 为， 点的运动速度为：， 当运动到5秒时，函数关系式改变，则， ，可求出， ； 故答案为：4，； （2）如图（1）：，， 过点作于点， 则， ， 即曲线段的函数解析式为：； （3）， ， 当时，， 直线解析式为：，当时，，解得：， 将代入，解得：， ，故， 综上所述：或，的面积是四边形的面积的． 【考点评析】此题主要考查了动点问题的函数图象以及三角形，面积求法和待定系数法求函数解析式等知识，利用分类讨论得出是解题关键． 第二部分：高频题型洞悉 题型1：根据点的坐标求点的位置 【例1】（2024•秦淮区校级三模）已知点关于轴的对称点为，则　　． 【思路点拨】关于轴对称点的坐标特点：纵坐标互为相反数，横坐标不变，即可得出答案． 【规范解答】解：点关于轴的对称点为， ，， ， 故答案为：． 【考点评析】此题主要考查了关于轴、轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键． 【变式1】（2010•姜堰区校级模拟）如图，两只福娃发现所处的位置分别为、，则、、三个点中为坐标原点的是 　　． 【思路点拨】运用平移规律确定原点的位置． 【规范解答】解：从向右平移2个单位长度，向下平移2个单位长度，可知点是原点． 【考点评析】考查类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力，知道一个点的坐标求原点，可逆向推理即可． 【变式2】（2005•淮安）如图是创星中学的平面示意图，其中宿舍楼暂未标注，已知宿舍楼在教学楼的北偏东约的方向，与教学楼实际距离约为200米，试借助刻度尺和量角器，测量图中四点位置，能比较准确地表示该宿舍楼位置的是　　 A．点 B．点 C．点 D．点 【思路点拨】直接利用刻度尺和量角器进行测量来判断． 【规范解答】解：通过测量，宿舍楼位置是．故选：． 【考点评析】本题主要考查了学生的动手操作能力、利用点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力． 【变式3】（2024•海州区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，已知关于的函数图象与轴有且只有三个公共点，坐标分别为，，．关于该函数的四个结论如下： ①当时，； ②当时，有最小值； ③将该函数图象向右平移1个或3个单位长度后得到的函数图象经过原点； ④若点是该函数图象上一点，则符合要求的点只有两个． 其中正确的结论有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】①②③通过观察函数图象观察判断即可； ④写出点所在的函数的表达式，并画出图象，根据它们交点的个数即可得出答案． 【规范解答】解：①当时，或，故①错误； ②由图象可知，当时，有最小值，故②正确； ③将该函数图象向右平移1个单位长度时，原图象上的坐标为的点过原点， 将该函数图象向右平移3个单位长度时，原图象上的坐标为的点过原点， 故③正确； ④令，， 则， 如图所示，的图象与原图象有三个交点， 故④错误； 所以正确的结论有2个． 故选：． 【考点评析】本题考查函数的图象，根据函数的图象分析其上坐标的特征是解题的关键． 题型2：根据点的位置求点的坐标 【例2】（2023•南京模拟）点位于平面直角坐标系第四象限，且到轴的距离是5，到轴的距离是2，则点关于原点对称的的坐标是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】可先根据到轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到轴的距离为点的横坐标的绝对值，进而判断出点的符号，点的坐标；然后由“两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反”得到的坐标． 【规范解答】解：到轴的距离为5，到轴的距离为2， 纵坐标可能为，横坐标可能为， 点在第四象限， 坐标为． 点关于原点对称的的坐标是． 故选：． 【考点评析】本题考查点的坐标的确定；用到的知识点为：点到轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到轴的距离为点的横坐标的绝对值． 【变式1】．（2023•新北区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，、、三点的坐标分别为，，，点为线段上的一个动点，连接，过点作交轴于点，当点在上运动时，点随之运动，设点的坐标为，则的取值范围是 　　． 【思路点拨】分三种情况讨论：①当点在之间时，当延长交轴于点，即过点作，垂足为，根据已知条件证明，得到，设，则，，从而得到与的函数关系式，求出最值，从而求出的最值即可； ②过点作，延长交轴于点，连接，当点运动到点处时，根据已知条件求出，两点坐标，再根据其它各点坐标求出，，，，，从而根据勾股定理求出和的平方和，于的平方和，列出方程求出即可； ③过点作轴于点，延长交轴于点，连接，当点运动到点时，根据已知条件求出，两点坐标，再根据其它各点坐标求出，，，，从而根据勾股定理求出，，和的平方和，于的平方和，列出方程求出即可； 【规范解答】解：①如图所示：当点在之间时，当延长交轴于点，即过点作，垂足为， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， ， ，， 当时，有最大值， ， 当时，有最小值0， ， 的取值范围为： ②如图1所示，过点作，延长交轴于点，连接，当点运动到点时， ，， 轴， ， ，， ，，轴， ， ， ，，， ， ，， 轴轴， ， ， ， ， ， ， ， ； ③如图2所示，过点作轴于点，延长交轴于点，连接，当点运动到点时， ，， 轴， ，， ，，， ，，， ，轴， ， ， 轴， ， ，， ， ， ， 轴轴， ， ， ， ， 的取值范围是：， 综上可知：， 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了坐标与图形性质，解题关键是根据已知条件求出有关点的坐标和有关线段． 【变式2】（2019•天宁区校级二模）某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第棵树种植在点，处，其中，，当时，，，表示非负实数的整数部分，例如，．按此方案，第2017棵树种植点的坐标为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据规律找出种植点横坐标及纵坐标的通式，代入2017即可求得种植点的坐标． 【规范解答】解：组成的数列为 1，0，0，0，0，1，0，0，0，0，1，0，0，0，0，， 将，2，3，4，5，， 一一代入计算得数列为 1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，1，2，3，4，5， 即的重复规律是，，，，．． 数列为1，1，1，1，1，2，2，2，2，2，3，3，3，3，3，4，4，4，4，4， 即的重复规律是，． 由题意可知第2017棵树种植点的坐标应． 故选：． 【考点评析】本题给出递推式，着重考查了数列的性质和应用，解题时要注意创新题的灵活运用，属于中档题． 题型3：平面直角坐标系中的规律性问题 【例3】（2021•清江浦区二模）如图，直线的函数表达式为，过点作轴，与直线交于点，以原点为圆心，长为半径画圆弧交轴于点；再作轴，交直线于点，以原点为圆心，长为半径画圆弧交轴于点；，按此作法进行下去，则点的坐标为 　，　． 【思路点拨】依据直线为，点，轴，可得，，同理可得，，，，，依据规律可得点的坐标为，． 【规范解答】解：直线为，点，轴， 当时，， 即， ，， ， ， 以原点为圆心，长为半径画圆弧交轴于点， ，， 同理可得，，，，， 点的坐标为，， ， ，， 故答案为：，． 【考点评析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题时注意：直线上任意一点的坐标都满足函数关系式． 【变式1】．（2020•玄武区模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点坐标分别为、 、、 ，点 绕点旋转得点，点绕点旋转得点，点绕点旋转得点，点绕点旋转得点，点绕点旋转得点，，重复操作依次得到点，，，，，，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】通过前几个点坐标确定周期，即可判断在周期内所处位置． 【规范解答】解：结合图象确定前几个点的坐标为： 、 、 、 、 发现周期为 4， ， 故是周期内的第四个， 同 坐标． 故选：． 【考点评析】本题考查了坐标与图形变化旋转、规律型点的坐标，解决本题的关键是根据点的坐标变化寻找规律． 【变式2】（2019•润州区二模）如图，在平面直角坐标系中，对角线为1的正方形，点在轴的正半轴上，如果以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形，照此规律作下去，则点的坐标为　　 A．， B．， C． D． 【思路点拨】首先求出、、、、、、、、的坐标，找出这些坐标的之间的规律，然后根据规律计算出点的坐标． 【规范解答】解：正方形对角线，正方形是正方形的对角线为边， ， 点坐标为， 同理可知，点坐标为，， 同理可知，点坐标为，， 点坐标为，，点坐标为， ，，，， ，，，， 由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍， ， 的纵横坐标符号与点的相同，横坐标为负值，纵坐标是0， 的坐标为，． 故选：． 【考点评析】本题主要考查正方形的性质和坐标与图形的性质的知识点，解答本题的关键是由点坐标的规律发现每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，此题难度较大． 题型4：平面直角坐标系中两点间的距离问题 【例4】（2022•江阴市模拟）如图，半径为1的的圆心在坐标原点，为直线上一点，过点作的切线，切点为，连接，．下列结论： ①当为等腰直角三角形时，点坐标为； ②当时，点坐标为； ③面积最小值为； ④． 其中正确的有　　 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【思路点拨】根据切线的性质可得，根据题意设，利用两点间距离公式可得，当为等腰直角三角形时，可得，然后进行计算即可判断①；当时，可求出，从而可得，然后进行计算即可判断②；在中，利用勾股定理可得，从而求出的最小值，然后利用三角形的面积进行计算即可判断③；在上取一点为，使，从而可求出，然后利用③的结论可得，从而可得，即可判断④． 【规范解答】解：与相切于点， ， 点在直线上， 设， ， 当为等腰直角三角形时， ， ， ， ， ， 故①正确； 当时， ， ， ， ，， 或， 故②不正确； 在中，，， ， 当时，的最小值为1， 的最小值为1， 面积最小值， 故③正确； 如图：在上取一点为，使， ， ， 由③可得：， ， ， 故④正确， 所以，上列结论，其中正确的有3个， 故选：． 【考点评析】本题考查了含30度角的直角三角形，切线的性质，等腰直角三角形，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，两点间距离公式，熟练掌握二次函数的最值，以及两点间距离公式是解题的关键． 【变式1】（2019•滨湖区模拟）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为（其中为实数），当的长最小时，的值为　　 A． B． C．3 D．4 【思路点拨】由两点间的距离公式可得出关于的二次函数关系式，利用配方法结合二次函数的性质即可得出当取最小值时的值． 【规范解答】解：由两点间的距离公式可知：， ， 当时，最小． 故选：． 【考点评析】本题考查了两点间的距离公式以及二次函数的性质，解题的关键是找出关于的二次函数关系式． 题型5：求函数自变量或因变量的取值范围 【例5】（2024•梁溪区二模）若分式有意义，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据分式有意义的条件可得，再解即可． 【规范解答】解：由题意得：， 解得：． 故选：． 【考点评析】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义，分母不为零． 【变式1】（2023•锡山区校级模拟）函数中自变量的取值范围是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案． 【规范解答】解：， ． 故选：． 【考点评析】本题考查了函数自变量的取值范围，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数是解题的关键． 【变式2】（2022•张家港市一模）函数中，自变量的取值范围是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案． 【规范解答】解：， ， 故选：． 【考点评析】本题考查了函数自变量的取值范围，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 题型6：根据题目信息识别和判断函数图像 【例6】（2023•广陵区二模）图1是变量与变量的函数关系的图象，图2是变量与变量的函数关系的图象，则与的函数关系的图象可能是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】由图1可设，为常数，且，，由图2可设为常数，，将代入得，再根据一次函数图象与系数之间的关系即可判断． 【规范解答】解：由图1可设，为常数，且，，由图2可设为常数，， 将代入得：， 与的函数关系为一次函数关系， ，，， ，， 与的函数图象过一、二、四象限． 故选：． 【考点评析】本题主要考查函数的图象，一次函数的图象与性质，根据图象正确设出函数解析式，学会利用整体思想解决问题是解题关键． 【变式1】（2024•南京自主招生）将向右平移两个单位，向下平移1个单位，与有两个交点，分别为，，则　　． 【思路点拨】运用反比例函数图象上点的特征和中心对称性、对称点与对称点的关系建立方程． 【规范解答】解：根据反比例函数的特征可知： 的图象关于点中心对称，又恒过点， ，， ， ， 故答案为： 【考点评析】本题主要考查了反比例函数的性质，中心对称在反比例函数中的灵活运用，借助特殊点、中心点巧妙建立关系是解题的关键． 【变式2】（2021•梁溪区校级二模）如图，中，，，．点是斜边上一个动点．过点作，垂足为，交边（或边于点，设，的面积为，则与之间的函数图象大致为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】分点在上和上两种情况进行讨论即可． 【规范解答】解：在中，，，， 由勾股定理可得，， ． 当点在上时， ，， ， ； 当点在上时，如图所示： ，，， ，， ， 该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下．并且当点在时，，． 故选：． 【考点评析】本题考查动点问题的函数图象，有一定难度，解题关键是注意点在上这种情况． 【变式3】（2022•邳州市校级模拟）在同一平面直角坐标系中，函数和函数是常数，且的图象可能是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据的正负判断一次函数经过的象限和二次函数的开口方向和对称轴的正负，然后逐个分析即可． 【规范解答】解：当时， 一次函数过一二三象限， 抛物线开口向上，对称轴，故、不符合题意， 当时， 一次函数过二三四象限， 抛物线开口向下，对称轴，故不符合题意． 故选：． 【考点评析】本题考查二次函数的图象和一次函数的图象，能够通过一次函数和二次函数的系数判断出大概图象是解答本题的关键． 题型7：从函数图形中获取信息 【例7】（2024•常州）在马拉松、公路自行车等耐力运动的训练或比赛中，为合理分配体能，运动员通常会记录每行进所用的时间，即“配速”（单位：．小华参加的骑行比赛，他骑行的“配速”如图所示，则下列说法中错误的是　　 A．第所用的时间最长 B．第的平均速度最大 C．第和第的平均速度相同 D．前的平均速度大于最后的平均速度 【思路点拨】根据“速度路程时间”解答即可． 【规范解答】解：由图象可知， 第所用的时间最长，约4.5分钟，故选项说法正确，不符合题意； 第所用的时间最长最小，即平均速度最大，故选项说法正确，不符合题意； 第和第的平均速度相同，故选项说法正确，不符合题意； 前的平均速度小于最后的平均速度，故选项说法错误，符合题意． 故选：． 【考点评析】本题考查一次函数的图象，掌握时间、速度、路程之间的数量关系是解题的关键． 【变式1】（2024•高港区三模）为了解某新能源汽车的充电速度，实验小组调查研究发现：当汽车充电率（充电率满足时，用该品牌汽车专用充电桩充电，汽车充电率与充电时间（单位：的函数图象是折线；用公共充电桩充电时，汽车充电率与充电时间（单位：的函数图象是线段．研究表明：为保护电池寿命，当充电率超过0.8时，品牌专用充电桩的充电速度与公共充电桩充电速度相同．根据以上信息，回答下列问题： （1）求的函数解析式． （2）若该汽车充电率从0.2至0.9，用品牌专用充电桩比公共充电桩充电少用多少时间？ 【思路点拨】（1）直接利用待定系数求解即可； （2）易得使用品牌专用充电桩充电率从0.2至0.8所用时间，以及使用公共充电桩的充电速度，进而求得该汽车使用公共充电桩充电率从0.2至0.9所用时间，由当充电率超过0.8时，品牌专用充电桩的充电速度与公共充电桩充电速度相同，以此求出使用品牌专用充电桩充电率从0.8至0.9所需时间，以此即可求解． 【规范解答】解：（1）设的解析式为， 由题图可知，过点，， ，解得：， 的解析式为． （2）该汽车使用公共充电桩充电时， 充电速度为，且充电率从0.2至0.9需， 由题图可知，该汽车使用专用充电桩充电时， 充电率从0.2至0.8，所用时间为， 当充电率超过0.8时，品牌专用充电桩的充电速度与公共充电桩充电速度相同， 充电率从0.8至0.9需， 所以汽车使用专用充电桩充电时，充电率从0.2至0.9需， 即该汽车充电率从0.2至0.9，用品牌专用充电桩比公共充电桩充电少用． 【考点评析】本题主要考查一次函数的应用、用待定系数法求函数解析式，根据题图寻找解题所需信息是解题关键． 【变式2】（2023•海安市模拟）如图1，在矩形中，，对角线，相交于点，动点从点出发，沿向点运动，设点的运动路程为，的面积为，与的函数关系图象如图2所示，①四边形的面积为12；②边的长为4；③当时，是等边三角形；④的面积为3时，的值为3或10，则以上结论正确的有　　个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】注意图2中的表示的是的面积，而图1的的底边是一个不变的量，则的面积与点到的距离有关，寻找点的特殊位置，对应的函数图象，以此即可求解． 【规范解答】解：由图2可知，当点运动点时，， 四边形为矩形， ，故①正确； 由图2可知，当，，即点运动到点，， 四边形为矩形， ，， 由， 解得：或， ， ，，故②正确； 当时，即，点在上， 在中，， ， 不可能是等边三角形，故③错误； 由结论①可得，当点运动点时，，， 结合图②，当点运动到点时，， 此时， 的面积为3时，的值为3或10，故④正确． 故正确的结论有①②④，共3个． 故选：． 【考点评析】本题主要考查动点问题的函数图象、矩形的性质，理解题意，正确理解函数图象，利用特殊点的表示的实际意义解决问题是解题关键． 【变式3】（2022•姜堰区二模）如图1，在中，，，为的中点，为线段上一动点，设，，图2是关于的函数图象，且最低点的横坐标是，则　3　． 【思路点拨】作点关于的对称点，连接，与的交点为点，此时最小．根据题意可知，，所以，即，由此可得出结论． 【规范解答】解：作点关于的对称点，连接，与的交点为点，此时最小． 根据题意可知，，， 在中，，， ， ， 为等腰直角三角形， 由对称性可知，为等腰直角三角形，， ， ， ， ，即， 解得， ． ． 故答案为：3． 【考点评析】本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、等腰直角三角形的性质、轴对称最值问题．解 题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程． 基础夯实训练 1．（2024•广陵区校级四模）中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，若“馬”的坐标为，“車”的坐标为，则“炮”的坐标为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】直接利用已知点坐标得出原点位置，进而得出答案． 【规范解答】解：如图所示：建立平面直角坐标系． “炮”的坐标为． 故选：． 【考点评析】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键． 2．（2024•溧阳市模拟）在平面内直角坐标系中，正方形、、、按如图所示的方式放置，其中点在轴上，点、、、、、、在轴上，已知正方形的边长为1，，则正方形的边长是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】利用正方形的性质结合锐角三角函数关系得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案． 【规范解答】解：正方形的边长为1，，， ，，， ， 则， 同理可得：， 故正方形的边长是：， 则正方形的边长为：， 故选：． 【考点评析】此题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数关系，得出正方形的边长变化规律是解题关键． 3．（2023•金坛区一模）某项工作，已知每人每天完成的工作量相同，且一个人完成需要12天．若个人共同完成需要天，选取6组数对，在坐标系中进行描点，则正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】利用已知条件得出与的函数关系式，利用函数关系式即可得出结论． 【规范解答】解：一个人完成需12天， 一人一天的工作量为， 个人共同完成需天， 一人一天的工作量为， 每人每天完成的工作量相同， ． ， 是的反比例函数， 选取6组数对，在坐标系中进行描点，则正确的是：． 故选：． 【考点评析】本题主要考查了函数的图象，掌握已知条件得出与的函数关系式是解题的关键． 4．（2024•盐城三模）若，，三点在同一函数图象上，则该函数图象可能是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】由点，，在同一个函数图象上，可得与关于轴对称；当时，随的增大而增大，继而求得答案． 【规范解答】解：点，， 与关于轴对称， 即这个函数图象关于轴对称，故选项，不符合题意； ，， 当时，随的增大而增大，故选项符合题意，选项不符合题意． 故选：． 【考点评析】此题考查了函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键． 5．（2024•海门区校级模拟）如图1，在菱形中，动点从点出发，沿运动至终点．设点的运动路程为，的面积为，若与的函数图象如图2所示，则图中的值为 　22　． 【思路点拨】由图象上点知，且点在点时，的面积为48，连接交于点，则可求出和，利用勾股定理求出，得到． 【规范解答】解：如图1，连接交于点， 由图2知，，且时，的面积为48， 四边形是菱形， ，且，， ， ， ， ， ． 故答案为：22． 【考点评析】本题考查了三角形的面积公式、菱形的对角线互相垂直平分的性质、勾股定理和函数图象，要求学生学会由函数图象找出对应的信息，理解的几何意义时关键． 6．（2024•姜堰区二模）如图，在中国象棋的残局上建立平面直角坐标系，如果“相”和“兵”的坐标分别是和，那么“卒”的坐标为 　　． 【思路点拨】根据“相”和“兵”的坐标分别是和，建立平面直角坐标系即可得出答案． 【规范解答】解：如图建立平面直角坐标系， 所以“卒”的坐标为． 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查坐标确定位置，建立平面直角坐标系是解题的关键． 7．（2024•江宁区校级三模）如图，△，△，△，△为正整数）均为等边三角形，它们的边长依次是2，4，6，，，顶点，，，均在轴上，点是所有等边三角形的中心，点的坐标为 　　． 【思路点拨】主要利用了等边三角形的性质和解直角三角形求出点、、的坐标，找到点的变化规律，求出点的坐标，再利用轴对称的性质可得． 【规范解答】解：△，△，△，，△为正整数）均为等边三角形，它们的边长依次是2，4，6，，，顶点，，，均在轴上， 过点作轴于点，连接， 点是所有等边三角形的中心， ， ， ， ， 的坐标为， 同理可得，， 则第二个三角形的顶点的坐标为， 则第三个三角形的顶点的坐标为， ， 是第675个等边三角形的第1个顶点，位于第三象限， 点的坐标是， 由与关于轴对称， 点的坐标是， 故答案为：． 【考点评析】此题考查了点的变化规律，解答本题的关键是找到点的变化规律． 8．（2021•邗江区一模）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点是第二象限内的一个动点，连接、、，且，则的最大值是 　8　． 【思路点拨】先证明，从而得点在以为直径的半圆上，进而得当过的中点时，的值最大，即可求解． 【规范解答】解：， ， ， 点在以为直径的半圆上， 点， 的中点坐标为， 当过中点时，最大，最大值． 故答案为：8． 【考点评析】本题主要考查图形与坐标，圆周角定理的推论，勾股定理，推出点在以为直径的半圆上是解题的关键． 9．（2024•吴江区二模）已知点回答下列问题： （1）点在轴上，求出点的坐标； （2）点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，求的值 【思路点拨】（1）根据轴上点的特点作答即可； （2）根据点到轴和轴相等列出，再结合第二象限点的特点求出，代入即可． 【规范解答】解：（1）在轴上， ， 解得：， ， ； （2）点到轴和轴距离相等， ， 在第二象限， ，， ，， ， 解得：， ． 【考点评析】本题主要考查的是点的坐标，熟知平面直角坐标系内点的坐标特点是解题的关键． 能力拔高训练 10．（2020•沭阳县模拟）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点，请你观察图中正方形，，，每个正方形四条边上的整点的个数．按此规律推算出正方形四条边上的整点的总个数有　　 A．152 B．156 C．160 D．168 【思路点拨】分别数出正方形，，四条边上的整点的个数．找出规律，按此规律即可推算出正方形四条边上的整点的总个数． 【规范解答】解：观察图中正方形，，， 每个正方形四条边上的整点的个数分别为： 8个，即， 16个，即， 24个，即， 所以正方形四条边上的整点的总个数有： 个． 故选：． 【考点评析】本题考查了规律型：点的坐标，解决本题的关键是通过找每个正方形边上的整点个数的规律，得出一般结论． 11．（2024•盱眙县校级模拟）九年级2班数学兴趣小组利用数学软件探究函数的图象，输入了一组，的值，得到了它的函数图象，借助学习函数的经验，可以推断输入的，的值满足　　 A．， B．， C．， D．， 【思路点拨】由两支曲线的分界线在轴左侧可以判断的正负，由时的函数图象判断的正负． 【规范解答】解：， 的取值范围是，由图可知，两支曲线的分界线位于轴的右侧， ，由图可知，当时的函数图象位于轴的下方， 当时，， 又当时，， ， 故选：． 【考点评析】本题考查了函数的图象与系数之间的关系，能够从函数的图象中获取信息是解题的关键． 12．（2023•苏州模拟）如图1，点为矩形中边的中点，点从点出发，沿以的速度运动到点，图2是点运动时，的面积随时间变化的函数图象，则的值为　　 A．5 B． C．3 D．2 【思路点拨】根据图象的三角形的面积可得长为，再利用矩形的性质和勾股定理列方程可求． 【规范解答】解：矩形中，， 当点在边上运动时，的值不变， ， 点为矩形中边的中点， ， ， 即． 当点在上运动时，逐渐减小， ， 在中， ， ， 解得． 故选：． 【考点评析】本题考查动点问题函数图象，根据图象分析得出的值是解题关键． 13．（2022•海州区校级二模）如图，在中，，，，动点从点出发，沿折线以的速度匀速运动，动点从出发沿以的速度匀速运动，若动点、同时从点出发任意一点到达点时两点都停止运动，则这一过程中，的面积与运动时间之间的关系大致图象是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】当点在段时，，当点在段时，，即可求解． 【规范解答】解：，，则，， 当点在段时，，为开口向上的抛物线， 当点在段时，过点作于点， ，为开口向下的抛物线， 故选：． 【考点评析】本题考查的是动点问题的函数图象，涉及到二次函数、解直角三角形，本题的关键是，确定点在不同时间段对应的函数表达式，进而解答． 14．（2023•京口区模拟）如图1，在矩形中，动点从出发，沿方向运动，当点到达点时停止运动，过点作，交于点，设点运动路程为，，如图2所表示的是与的函数关系的大致图象，当点在上运动时，的最大长度是，则矩形的面积是　5　． 【思路点拨】易证，可得，根据二次函数图象对称性可得在中点时，有最大值，列出方程式即可解题． 【规范解答】解：若点在上时，如图 ，， ， 在和中，，， ， 由二次函数图象对称性可得在中点时，有最大值，此时，，即， ，当时，代入方程式解得：（舍去），， ， ，， 矩形的面积为； 故答案为：5． 【考点评析】本题考查了二次函数动点问题，考查了相似三角形的判定和性质，考查了矩形面积的计算，本题中由图象得出为中点是解题的关键． 15．（2023•姑苏区一模）如图①，四边形中，，．动点，均以的速度同时从点出发，其中点沿折线运动到点停止，点沿运动到点停止，设运动时间为，的面积为，则与的函数图象如图②所示，则　15　． 【思路点拨】结合图象可知当时，点到达点，此时，，从而可求出此时的高，当时，点到达点，点已经停止，此时，．由，可知此时的高也为，再根据三角形的面积公式即可求出的长． 【规范解答】解：过点作于，如图所示： 当时，到达点，即，此时， ， ， 当时，点到达点，此时点已停止运动，此时，， ， 此时的高也为， ， ， 故答案为：15． 【考点评析】本题考查动点问题的函数图象，平行线间的距离，三角形的面积公式等知识．利用数形结合的思想是解题关键． 16．（2022•雨花台区校级模拟）函数的图象如图所示，下列结论中： ①该函数自变量的取值范围是； ②该函数有最小值； ③方程有三个根； ④如果，和，是该函数图象上的两个点，当时一定有． 所有正确结论的序号是 　①③　． 【思路点拨】根据函数解析式，结合函数图象进行判断． 【规范解答】解：如图： ①函数中，分母不能为0，所以函数自变量的取值范围是，故①符合题意． ②如图所示，函数没有最大值，没有最小值，故②不符合题意． ③如图所示，函数的图象与直线有3个交点，所以方程有三个根，故③符合题意． ④如图所示，当时，随的增大而减小， 当时，， ，故④不符合题意． 综上所述，正确的结论有①③个． 故答案为：①③． 【考点评析】本题考查了根据函数图象和性质，函数与方程的关系，数形结合是解题的关键． 17．（2024•盱眙县校级模拟）如图，平面直角坐标系中，，点坐标为，点坐标为，过、点分别作平行线，交轴于、两点，若，直线、之间距离的最大值为 　　． 【思路点拨】如详解中的辅助线作图法，可证△△，并设，，然后将相关线段都用与的代数式表示出来，再证，得出比例式，然后可得，可求得的最大值，从而可求得的最大值为． 【规范解答】解：如图，自点作延长线的垂线，垂足为点；自，垂足为点． 设，，由题意可知，，， ，， ，，， △△，则，， ，， ，又， ， ， ， 即， 即的最大值为， ， ． 即的最大值为． 即直线、之间距离的最大值为． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了勾股定理、三角形相似的判定和性质、求二次函数的最大值、平行线之间的距离等综合知识点，构造相似三角形与平行线间的距离是解题的关键． 18．（2023•宿豫区三模）如图，在平面直角坐标系中，、、、，点在第一象限，且，则的最小值为 　　． 【思路点拨】以为圆心，为半径作，根据，可求得轨迹是在第一象限的部分，连接，则，连接，在上取点，，连接，可得，从而，可得，，故当，，共线时，最小，最小值为，即可得的最小值为． 【规范解答】解：如图： ，， ， 以为圆心，为半径作，在优弧上取一点，连接，，则， ， ， 、、、四点共圆，即轨迹是在第一象限的部分， 连接，则， 连接， ， 直线解析式为，， 在上取点，，连接， ， ， ， ， ， ， ， 当，，共线时，最小，最小值为的长， ，，， ，即最小值为， 的最小值为； 故答案为：． 【考点评析】本题考查四点共圆，相似三角形，两点间的距离公式等知识，解题关键是利用相似三角形对应边成比例将问题进行转化成求的最小值． 19．（2021•海安市模拟）如图①，为矩形的边上一点，点从点出发沿折线运动到点停止，点从点出发沿运动到点停止，它们的运动速度都是．现，两点同时出发，设运动时间为，的面积为，与的对应关系如图②所示． （1）在图①中，　5　，矩形的周长为　　； （2）求图②中线段对应的函数解析式． 【思路点拨】（1）根据函数图象各点实际意义得出，及边长然后求解． （2）先由点的实际意义求出点坐标，再通过待定系数法求解． 【规范解答】解：（1）由图象可知，点与重合时，运动时间为， 即， 此时， 的面积为， 解得， 点到点时运动时间为，此时运动的路程为， ， 作于点， 则，， 在中，由勾股定理得： ， ， 矩形的周长为． 故答案为：5，18． （2）运动到所用时间为， 此时的面积为． 点坐标为． 设所在直线解析式为， 将，代入解析得： ， 解得， ． 【考点评析】本题考查函数图象的实际应用，解题关键是读懂图象，了解图象中每个点的实际含义． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$