第08讲 不等式（组）及其应用（讲练）（思维导图+10考点+难度分层练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（江苏专用）

第二章 方程（组）与不等式（组） 第08讲 不等式（组）及其应用 （思维导图+10个考点+难度分层练） 目录 考情透视 目标导航 2 知识导图 思维引航 3 考点突破 考法探究 4 重点考点一 不等式及不等式的基本性质 4 重点考点二 一元一次不等式 5 重点考点三 一元一次不等式组 7 重点考点四 不等式（组）的实际应用 7 题型精研 考向洞悉 8 第一部分：常考考点讲练 8 考点1：不等式的性质 8 考点2：不等式的解集 9 考点3：在数轴上表示不等式的解集 9 考点4：解一元一次不等式 10 考点5：一元一次不等式的整数解 11 考点6：由实际问题抽象出一元一次不等式 11 考点7：一元一次不等式的应用 12 考点8：解一元一次不等式组 13 考点9：一元一次不等式组的整数解 14 考点10：一元一次不等式组的应用 15 分层训练 巩固提升 16 基础夯实训练 16 能力拔高训练 19 考点要求 新课标要求 命题预测 不等式及不等式的基本性质 · 结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质 中考数学中，一元一次不等式(组) 的解法及应用题时有考察. 其中不等式性质、解一元一次不等式(组)，通常是以选择题或填空题的形式出现，难度不大.而不等式（组）相关的应用题常会和其它考点(如二元一次方程组、二次函数等) 结合考察，常以解答题形式出现，此时难度上升，需要小心应对.对于一元一次不等式（组）中含参数问题，难度偏大，但是考察几率并不大，为避免丢分，学生应在复习过程中扎实掌握． 一元一次不等式 · 能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集 一元一次不等式组 · 会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集. 不等式（组）的实际应用 · 能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题. 重点考点一 不等式及不等式的基本性质 一、不等式的相关概念 不等式的定义：用不等号“＞”、“≥”、“＜”、“≤”或“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式. 不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集. 不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示. 解不等式的概念：求不等式的解集的过程，叫做解不等式. 二、不等式的性质 基本性质1 若a>b，则a±c > b±c 若a<b，则a±c < b±c 基本性质2 若a>b,c>0，则ac>bc（或） 基本性质3 若a>b,c<0，则ac<bc（或） 1. 方程与不等式的区别：方程表示的是相等关系，不等式表示的是不等关系. 2. 常见的不等号有：≠，>，≥，<，≤五种. 3. 用数轴表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等号画实心圆点，无等号画空心圆点. 4. 不等式的解与不等式的解集的区别与联系： 1）不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值. 2）不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有的值. 3）不等式的所有解组成了这个不等式的解集，不等式的解集中包括这个不等式的每一个解. 5. 在列不等式时，要注意抓住问题中的一些关键词语，如：不小于，至少，大于、不高于、不低于等. 同时要根据关键词准确地选用不等号．另外，对一些实际问题的分析还要注意结合实际． 6. 运用不等式的性质的注意事项： 1）不等式两边都要参与运算，并且是作同一种运算． 2）不等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子． 3）等式两边不能同时除以0，即0不能作除数或分母． 4） 运用不等式的性质进行不等式变形时,要特别注意性质2和性质3的区别,在乘(或除以)同一个数时,必须先弄清楚这个数是正数还是负数,如果是负数,不等号要改变方向. 根据不等式的基本性质，可知比较两个数或式子的大小可以通过求它们的差来判断．如果两个数或式子分别为m和n，若m-n>0，则m>n；若m-n=0，则m=n；若m-n<0，则m<n. 重点考点二 一元一次不等式 一元一次不等式的概念:不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式叫一元一次不等式. 一元一次不等式的一般形式：或. 步骤 具体做法 依据 注意事项 去分母 在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数 不等式性质2、3 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后要加括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 分配律 去括号法则 1) 去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项; 2) 括号前面是负数时,去掉括号后,括号内各项都要变号； 3）括号前面是正数时,去掉括号后,括号内各项都不变号. 移项 把含有未知数的项移到不等式左边，其它项都移到不等式右边 不等式性质1 1）移项时不要漏项; 2）将不等式中的项从一边移到另一边要变号.而在不等式同一边改变项的位置时不变号. 合并同类项 把不等式变为或的形式 合并同类项法则 1）不要漏项； 2）系数的符号处理要得当. 系数化为1 将不等式两边都除以未知数系数a，得到不等式的解 不等式性质2、3 1)不等式两边都除以未知数系数; 2)当系数为负数，不等号的方向发生改变. 1. 一元一次不等式满足的条件：①不等式的左右两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是1. 2. 进行“去分母”和“系数化为1”时，要根据不等号两边同乘以（或除以）的数的正负，决定是否改变不等号的方向，若不能确定该数的正负，则要分正、负两种情况讨论． 3. 在解一元一次不等式时,上述的五个步骤不一定都能用到,并且也不一定按照自上而下的顺序,要根据不等式的形式灵活安排求解步骤. 与一元一次不等式的特殊解有关的解题方法： 类型一 求一元一次不等式特殊解的方法 解决此类问题的关键：正确求出不等式的解集，再根据题目要求求出其特殊解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 类型二 已知一元一次不等式解集（整数解）求字母的取值． 解决此类问题的关键：先把题目中除未知数外的字母当作常数看待解不等式，再根据题目中的限制条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 重点考点三 一元一次不等式组 一元一次不等式组的概念：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，组成一元一次不等式组． 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． 不等式组解集的确定有两种方法： 1）数轴法：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 2）口诀法：大大取大，小小取小，大小、小大中间找，大大、小小取不了． 解一元一次不等式组的一般步骤： 1） 求出不等式组中各不等式的解集. 2） 将各不等式的解决在数轴上表示出来. 3） 在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 1. 在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来表示不等式组的解集的. 2. 利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分. 重点考点四 不等式（组）的实际应用 一元一次不等式（组）的应用题的关键语句： 1）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 2）对一些实际问题的分析还要注意结合实际.有些不等关系隐含于生活常识中,如小王用50元去买单价为6元的笔记本.设买x本，求x的取值范围时,其问题中就隐含着所花钱数不能超过50元.由此可得出不等式 6x≤50. 用一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 第一部分：常考考点讲练 考点1：不等式的性质 【例1】（2024•高邮市一模）若，则下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2018•锡山区校级四模）某数学兴趣小组在研究下列运算流程图时发现，取某个实数范围内的作为输入值，则永远不会有输出值，这个数学兴趣小组所发现的实数的取值范围是　　． 【变式2】（2024•秦淮区二模）与几何证明一样，代数推理也需要有理有据．请先完成第（1）题的填空，再完成第（2）题的证明． （1）已知实数，满足，求证． 证明：， （实数的加法法则）， （不等式的基本性质． ①　 　． ②　　 ， ． ③　　． （2）已知实数，满足，求证． （注：无需写出每步的依据． 考点2：不等式的解集 【例2】（2023•灌云县校级三模）已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为　　． 【变式1】（2016•如皋市校级二模）若关于的一元一次不等式组有解，则的取值范围是　　． 【变式2】（2017•江阴市自主招生）已知关于的不等式的解集是，求的值． 考点3：在数轴上表示不等式的解集 【例3】（2024•沭阳县一模）一个不等式组的解集在数轴上的表示如图，则这个不等式组的解集是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2024•秦淮区校级模拟）解不等式组． 请结合题意，完成本题的解答． （1）解不等式①，得　　． （2）解不等式③，得　　． （3）把不等式①、②和③的解集在数轴上表示出来． （4）从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集　　． 【变式2】（2019•邗江区校级模拟）一个矩形，两边长分别为和，如果它的周长小于，面积大于．求的取值范围，并将取值范围在数轴上表示出来． 考点4：解一元一次不等式 【例4】（2024•通州区二模）若的值同时大于和的值，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2024•邗江区一模）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． ． 解： 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 任务一：填空： ①以上解题过程中，第二步是依据 　 　（运算律）进行变形的； ②第 　　步开始出现错误，这一步错误的原因是 　　； 任务二：请直接写出该不等式的正确解集． 【变式2】（2021•江都区校级模拟）已知方程的解为非正数，为负数，求的取值范围． 考点5：一元一次不等式的整数解 【例5】（2023•灌云县校级模拟）若实数3是不等式的一个解，则可取的最大整数是　　 A． B．2 C． D．3 【变式1】（2024•秦淮区模拟）①解不等式，然后在数轴上标出范围：； ②该不等式有无最大非负整数解？若有，请写出． 【变式2】（2024•扬州三模）（1）计算：． （2） 求不等式的正整数解． 考点6：由实际问题抽象出一元一次不等式 【例6】（2024•建邺区二模）某知识竞赛共有20题，答对一题得5分，答错或不答每题扣2分．小明答对了道题，得分不低于70分，则可列不等式是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023•海陵区校级二模）语句“的2倍与的和是负数”可以表示为　　 A． B． C． D． 【变式2】（2019•滨海县一模）把一些书分给几名同学，若________；若每人分11本，则不够．依题意，设有名同学，可列不等式，则横线上的信息可以是　　 A．每人分7本，则可多分9个人 B．每人分7本，则剩余9本 C．每人分9本，则剩余7本 D．其中一个人分7本，则其他同学每人可分9本 考点7：一元一次不等式的应用 【例7】（2024•无锡）某校积极开展劳动教育，两次购买，两种型号的劳动用品，购买记录如下表： 型劳动用品（件 型劳动用品（件 合计金额（元 第一次 20 25 1150 第二次 10 20 800 （1）求，两种型号劳动用品的单价； （2）若该校计划再次购买，两种型号的劳动用品共40件，其中型劳动用品购买数量不少于10件且不多于25件．该校购买这40件劳动用品至少需要多少元？（备注：，两种型号劳动用品的单价保持不变） 【变式1】（2024•邳州市校级一模）今年我市新冠疫情在各地医疗队的帮助下，得到有效控制，我市准备向某客运公司租用、两种类型客车，陆续将支援队护送离城，已知每辆型客车的载客人数比每辆型客车多10人，如果单独租用型客车护送900人，与单独租用型客车护送700人所用车辆数一样多．（特别注明：本题中载客人数不考虑客车司机） （1）问每辆、型客车分别可载多少人？ （2）某天，有630位支援人员需护送，客运公司根据需要，安排了、型汽车共16辆，每辆型客车的租金为1200元，每辆型客车的租金为1000元，总租金不超过17800元，问有哪几种租车方案，哪种方案较省钱，费用多少？ 【变式2】（2023•姑苏区一模）某天小明在家锻炼身体．第一组运动是做20个波比跳，40个深蹲，完成后，运动监测软件显示共消耗热量132大卡（大卡是热量单位）；第二组运动是做30个波比跳，30个深蹲，完成后，软件显示共消耗热量174大卡（每个动作之间的衔接时间忽略不计）． （1）小明做每个波比跳和每个深蹲各消耗热量多少大卡？ （2）若小明只做波比跳和深蹲两个动作，每个波比跳耗时5秒，每个深蹲也耗时5秒，小明想要通过10分钟的锻炼，消耗至少200大卡，至少要做多少个波比跳？ 考点8：解一元一次不等式组 【例8】（2024•宿豫区一模）若不等式组有解，则的取值范围是． 【变式1】（2024•鼓楼区模拟）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【变式2】（2024•天宁区校级二模）解方程组和不等式组： （1） 解方程组：； （2）解不等式组：． 考点9：一元一次不等式组的整数解 【例9】（2024•南通一模）若关于的不等式组有且只有3个整数解，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2024•沭阳县校级三模）解关于的不等式组：，并求出它所有整数解的和． 【变式2】（2024•泰州二模）（1）计算：； （2） 解不等式组，并写出该不等式组的非负整数解． （3） 考点10：一元一次不等式组的应用 【例10】（2024•高新区校级三模）某公司安装物流箱，现有型和型两种物流箱可供选择，若安装2个型物流和3个型物流箱共11.8万元，且型物流箱单价比型物流箱单价高0.6万元． （1）求型物流箱和型物流箱的单价； （2）某社区需安装物流箱共30个，其中型物流箱不少于18个，为了更多地推广型物流箱，公司决定将每个型物流箱降价元，型物流箱价格不变，若总费用不低于67.2万元，求的取值范围． 【变式1】（2024•无锡一模）这个冬天，“哈尔滨”爆火的背后，除了回忆青春的热情高涨，还有网友们的推波助澜，更离不开文旅产品的推动．某文创公司生产甲、乙两种产品共360个，其中甲产品的制作费（元与产量（个的函数图象如图中实线所示，乙产品的制作费始终为15元个． （1）当时，求与的函数表达式； （2）若甲产品的生产数量不少于30个，且乙产品的生产数量不低于甲产品生产数量的3倍，如何分配甲，乙两产品的生产数量，才能使该文创公司的总制作费最低？ 【变式2】（2023•苏州一模）某文具店计划购进、两种笔记本，已知种笔记本的进价比种笔记本的进价每本便宜3元．现分别购进种笔记本150本，种笔记本300本，共计6300元． （1）求、两种笔记本的进价； （2）文具店第二次又购进、两种笔记本共100本，且投入的资金不超过1380元．在销售过程中，、两种笔记本的标价分别为20元本、25元本．两种笔记本按标价各卖出本以后，该店进行促销活动，剩余的种笔记本按标价的七折销售，剩余的种笔记本按标价的八折销售．若第二次购进的100本笔记本全部售出后的最大利润不少于600元，请求出的最小值． 基础夯实训练 1．（2024•盐都区校级一模）不等式的解集在数轴上表示正确的是　　 A． B． C． D． 2．（2024•亭湖区三模）为了减少碳的排放和更高的利用新能源，国家提倡绿牌电动车出行，绿牌电动车的国家标准如图所示，如果电动自行车的车速是 ，电池电压是 ，可载一名未成年人的年龄是周岁，可列出不等式正确的是　　 执行标准 最高车速 电池电压 不超过 能否载人 可载一名16周岁以下未成年人 车辆属性 非机动车 是否需要驾驶证 不需要 A． B． C． D． 3．（2024•盐都区校级模拟）若不等式组无解，那么的取值范围是　　 A． B． C． D． 4．（2024•天宁区校级一模）小明和爸爸妈妈三人玩跷跷板，三人的体重一共为150千克，爸爸坐在跷跷板的一端，体重只有妈妈一半的小明和妈妈一同坐在跷跷板的另一端，这时爸爸那端仍然着地．那么小明的体重应小于 　　千克． 5．（2020•海门市校级模拟）关于的不等式组无解，则的取值范围是 　　． 6．（2018•润州区二模）关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是　　． 7．（2024•广陵区校级四模）（1）计算：； （3） 解不等式组：． 8． （2024•武进区校级模拟）解不等式组，把解集在数轴上表示出来，并写出整数解． 9．（2024•江宁区校级三模）为响应习总书记“扶贫先扶志，扶贫必扶智”的号召，攀枝花市教体局向木里县中小学捐赠一批书籍和实验器材共360套，其中书籍比实验器材多120套． （1）求书籍和实验器材各有多少套？ （2）现计划租用甲、乙两种型号的货车共8辆，一次性将这批书籍和实验器材运往该县，已知每辆甲种货车最多可装书籍40套和实验器材10套，每辆乙种货车最多可装书籍30套和实验器材20套，运输部门安排甲、乙两种型号的货车时，有几种方案？请你帮助设计出来． 10．（2024•梁溪区校级模拟）商场销售，两种商品，其进价，售价如表所示． 商品 进价（元件） 售价（元件） 15 20 35 45 （1）若商场投入3000元购进两种商品共100件，求商场分别购进，两种商品的数量； （2）为了加快销售进度，该商场对商品进行促销，若一次性购物总额不超过500元，则九折优惠；若一次性购物总额超过500元则八折优惠，某单位到该商场购买了这两种商品共付款432元，求该商场获得的最小利润和最大利润． 能力拔高训练 11．（2024•姜堰区二模）若是关于的不等式的一个解，则可取的最大整数为　　 A．6 B．7 C．8 D．9 12．（2024•江都区二模）若关于的不等式组有且仅有两个整数解，则取值范围为　　 A． B． C． D． 13．（2021•泗洪县一模）某单位为某中学捐赠了一批新桌椅．学校组织七年级300名学生搬桌椅，规定一人一次搬两把椅子，两人一次搬一张桌子，每人限搬一次，最多可搬桌椅（一桌一椅为一套）的套数为　　 A．80 B．120 C．160 D．200 14．（2019•工业园区校级二模）不等式组的最大整数解是　　． 15．（2017•连云港三模）已知不等式组的解集是，分解因式：　　． 16．（2017•苏州模拟）当、满足条件时，表示焦点在轴上的椭圆．若表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是 　　． 17．（2021•太仓市自主招生）已知关于的不等式组的整数解有且只有2个，则的取值范围是 　　． 18．（2024•建邺区一模）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 19．（2024•淮安区二模）计算． （1）； （2） 解不等式组，并写出它的所有的整数解． 20．（2021•工业园区校级模拟）2020年6月1日上午，国务院总理李克强在山东烟台考查时表示，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机．波波准备购进、两种类型的便携式风扇到华润万家门口出售．已知2台型风扇和5台型风扇进价共100元，3台型风扇和2台型风扇进价共62元． （1）求型风扇、型风扇进货的单价各是多少元？ （2）波波准备购进这两种风扇共100台，根据市场调查发现，型风扇销售情况比型风扇好，波波准备多购进型风扇，但数量不超过型风扇数量的3倍，购进、两种风扇的总金额不超过1170元．根据以上信息，波波共有几种进货方案？哪种进货方案的费用最低？最低费用为多少元？ 21．（2020•射阳县校级模拟）冬季即将来临，是流感的高发期，某中学积极进行班级环境消毒，总务处购买甲、乙两种消毒液共100瓶，购买这两种消毒液共用780元，其中甲种消毒液共用240元，且乙种消毒液的单价是甲种消毒液单价的1.5倍． （1）求甲、乙两种消毒液的单价各为多少元？ （2）该校准备再次购买这两种消毒液（不包括已购买的100瓶），共140瓶，且所需费用不超过1210元，问甲种消毒液至少要购买多少瓶？ 22．（2018•惠山区校级一模）为全力助推句容建设，大力发展句容旅游，某公司拟派、两个工程队共同建设某区域的绿化带．已知工程队2人与工程队3人每天共完成310米绿化带，工程队的5人与工程队的6人每天共完成700米绿化带． （1）求队每人每天和队每人每天各完成多少米绿化带； （2）该公司决定派、工程队共20人参与建设绿化带，若每天完成绿化带总量不少于1480米，且工程至少派出2人，则有哪几种人事安排方案？ 23．（2020•灌云县一模）某校九年级10个班师生举行毕业文艺汇演，每班2个节目，有歌唱与舞蹈两类节目，年级统计后发现唱歌类节目数比舞蹈类节目数的2倍少4个． （1）九年级师生表演的歌唱与舞蹈类节目数各有多少个？ （2）该校七、八年级师生有小品节目参与，在歌唱、舞蹈、小品三类节目中，每个节目的演出平均用时分别是5分钟、6分钟、8分钟，预计所有演出节目交接用时共花15分钟．若从开始，之前演出结束，问参与的小品类节目最多能有多少个？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 方程（组）与不等式（组） 第08讲 不等式（组）及其应用 （思维导图+10个考点+难度分层练） 目录 考情透视 目标导航 2 知识导图 思维引航 3 考点突破 考法探究 4 重点考点一 不等式及不等式的基本性质 4 重点考点二 一元一次不等式 5 重点考点三 一元一次不等式组 7 重点考点四 不等式（组）的实际应用 7 题型精研 考向洞悉 8 第一部分：常考考点讲练 8 考点1：不等式的性质 8 考点2：不等式的解集 10 考点3：在数轴上表示不等式的解集 11 考点4：解一元一次不等式 13 考点5：一元一次不等式的整数解 15 考点6：由实际问题抽象出一元一次不等式 17 考点7：一元一次不等式的应用 18 考点8：解一元一次不等式组 21 考点9：一元一次不等式组的整数解 22 考点10：一元一次不等式组的应用 24 分层训练 巩固提升 27 基础夯实训练 27 能力拔高训练 33 考点要求 新课标要求 命题预测 不等式及不等式的基本性质 · 结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质 中考数学中，一元一次不等式(组) 的解法及应用题时有考察. 其中不等式性质、解一元一次不等式(组)，通常是以选择题或填空题的形式出现，难度不大.而不等式（组）相关的应用题常会和其它考点(如二元一次方程组、二次函数等) 结合考察，常以解答题形式出现，此时难度上升，需要小心应对.对于一元一次不等式（组）中含参数问题，难度偏大，但是考察几率并不大，为避免丢分，学生应在复习过程中扎实掌握． 一元一次不等式 · 能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集 一元一次不等式组 · 会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集. 不等式（组）的实际应用 · 能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题. 重点考点一 不等式及不等式的基本性质 一、不等式的相关概念 不等式的定义：用不等号“＞”、“≥”、“＜”、“≤”或“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式. 不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集. 不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示. 解不等式的概念：求不等式的解集的过程，叫做解不等式. 二、不等式的性质 基本性质1 若a>b，则a±c > b±c 若a<b，则a±c < b±c 基本性质2 若a>b,c>0，则ac>bc（或） 基本性质3 若a>b,c<0，则ac<bc（或） 1. 方程与不等式的区别：方程表示的是相等关系，不等式表示的是不等关系. 2. 常见的不等号有：≠，>，≥，<，≤五种. 3. 用数轴表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等号画实心圆点，无等号画空心圆点. 4. 不等式的解与不等式的解集的区别与联系： 1）不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值. 2）不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有的值. 3）不等式的所有解组成了这个不等式的解集，不等式的解集中包括这个不等式的每一个解. 5. 在列不等式时，要注意抓住问题中的一些关键词语，如：不小于，至少，大于、不高于、不低于等. 同时要根据关键词准确地选用不等号．另外，对一些实际问题的分析还要注意结合实际． 6. 运用不等式的性质的注意事项： 1）不等式两边都要参与运算，并且是作同一种运算． 2）不等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子． 3）等式两边不能同时除以0，即0不能作除数或分母． 4） 运用不等式的性质进行不等式变形时,要特别注意性质2和性质3的区别,在乘(或除以)同一个数时,必须先弄清楚这个数是正数还是负数,如果是负数,不等号要改变方向. 根据不等式的基本性质，可知比较两个数或式子的大小可以通过求它们的差来判断．如果两个数或式子分别为m和n，若m-n>0，则m>n；若m-n=0，则m=n；若m-n<0，则m<n. 重点考点二 一元一次不等式 一元一次不等式的概念:不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式叫一元一次不等式. 一元一次不等式的一般形式：或. 步骤 具体做法 依据 注意事项 去分母 在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数 不等式性质2、3 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后要加括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 分配律 去括号法则 1) 去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项; 2) 括号前面是负数时,去掉括号后,括号内各项都要变号； 3）括号前面是正数时,去掉括号后,括号内各项都不变号. 移项 把含有未知数的项移到不等式左边，其它项都移到不等式右边 不等式性质1 1）移项时不要漏项; 2）将不等式中的项从一边移到另一边要变号.而在不等式同一边改变项的位置时不变号. 合并同类项 把不等式变为或的形式 合并同类项法则 1）不要漏项； 2）系数的符号处理要得当. 系数化为1 将不等式两边都除以未知数系数a，得到不等式的解 不等式性质2、3 1)不等式两边都除以未知数系数; 2)当系数为负数，不等号的方向发生改变. 1. 一元一次不等式满足的条件：①不等式的左右两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是1. 2. 进行“去分母”和“系数化为1”时，要根据不等号两边同乘以（或除以）的数的正负，决定是否改变不等号的方向，若不能确定该数的正负，则要分正、负两种情况讨论． 3. 在解一元一次不等式时,上述的五个步骤不一定都能用到,并且也不一定按照自上而下的顺序,要根据不等式的形式灵活安排求解步骤. 与一元一次不等式的特殊解有关的解题方法： 类型一 求一元一次不等式特殊解的方法 解决此类问题的关键：正确求出不等式的解集，再根据题目要求求出其特殊解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 类型二 已知一元一次不等式解集（整数解）求字母的取值． 解决此类问题的关键：先把题目中除未知数外的字母当作常数看待解不等式，再根据题目中的限制条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 重点考点三 一元一次不等式组 一元一次不等式组的概念：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，组成一元一次不等式组． 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． 不等式组解集的确定有两种方法： 1）数轴法：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 2）口诀法：大大取大，小小取小，大小、小大中间找，大大、小小取不了． 解一元一次不等式组的一般步骤： 1） 求出不等式组中各不等式的解集. 2） 将各不等式的解决在数轴上表示出来. 3） 在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 1. 在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来表示不等式组的解集的. 2. 利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分. 重点考点四 不等式（组）的实际应用 一元一次不等式（组）的应用题的关键语句： 1）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 2）对一些实际问题的分析还要注意结合实际.有些不等关系隐含于生活常识中,如小王用50元去买单价为6元的笔记本.设买x本，求x的取值范围时,其问题中就隐含着所花钱数不能超过50元.由此可得出不等式 6x≤50. 用一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 第一部分：常考考点讲练 考点1：不等式的性质 【例1】（2024•高邮市一模）若，则下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据不等式的性质逐项进行判断即可． 【规范解答】解：， ， 即，故选项、不符合题意； ， ，故选项不符合题意； ． 故选项符合题意． 故选：． 【考点评析】此题主要考查了不等式的性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【变式1】（2018•锡山区校级四模）某数学兴趣小组在研究下列运算流程图时发现，取某个实数范围内的作为输入值，则永远不会有输出值，这个数学兴趣小组所发现的实数的取值范围是　　． 【思路点拨】通过找到临界值解决问题． 【规范解答】解：当时，令，解得， ，此时无输出值． 当时，数值越来越大，会有输出值， 当时，数值越来越小，不可能大于10，永远不会有输出值， 综上所述，时，永远不会有输出值． 故答案为． 【考点评析】本题考查不等式的性质，解题的关键是理解题意，学会找到临界值解决问题． 【变式2】（2024•秦淮区二模）与几何证明一样，代数推理也需要有理有据．请先完成第（1）题的填空，再完成第（2）题的证明． （1）已知实数，满足，求证． 证明：， （实数的加法法则）， （不等式的基本性质． ①　实数的乘法法则（或者不等式的基本性质　． ②　　， ． ③　　． （2）已知实数，满足，求证． （注：无需写出每步的依据． 【思路点拨】（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，平方差公式，由此即可证明问题； （2）根据二次根式有意义，平方差公式，不等式的性质，由此即可证明问题． 【规范解答】解：①实数的乘法法则（或者不等式的基本性质． ②平方差公式． ③不等式的基本性质1． （2）解：， ， ， ， ，， ， ， ， ． 【考点评析】本题主要考查了不等式的性质，实数的大小比较和运算法则，平方差公式，二次根式有意义的条件，关键是掌握不等式的性质． 考点2：不等式的解集 【例2】（2023•灌云县校级三模）已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为　　． 【思路点拨】根据不等式的基本性质，由不等式的解集为，可得：，据此求出的取值范围即可． 【规范解答】解：不等式的解集为， ， 的取值范围为：． 故答案为：． 【考点评析】此题主要考查了不等式的解集，要熟练掌握，注意不等式的基本性质的应用． 【变式1】（2016•如皋市校级二模）若关于的一元一次不等式组有解，则的取值范围是　　． 【思路点拨】不等式组中两不等式分别求出解集，由不等式组有解确定出的范围即可． 【规范解答】解：不等式整理得：， 由不等式有解，得到， 则的范围是， 故答案为： 【考点评析】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键． 【变式2】（2017•江阴市自主招生）已知关于的不等式的解集是，求的值． 【思路点拨】不等式组整理后表示出解集，根据已知解集确定出的值即可． 【规范解答】解：原不等式可化为：， 即， 又因原不等式的解集为， 则，， 比较得：，即， 解得：（舍去）． 故无值． 【考点评析】此题考查了不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 考点3：在数轴上表示不等式的解集 【例3】（2024•沭阳县一模）一个不等式组的解集在数轴上的表示如图，则这个不等式组的解集是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据在数轴上表示不等式解集的方法进行解答即可． 【规范解答】解：处是实心圆点且折线向右，3处是空心圆点且折线向左， ． 故选：． 【考点评析】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此题的关键． 【变式1】（2024•秦淮区校级模拟）解不等式组． 请结合题意，完成本题的解答． （1）解不等式①，得　　． （2）解不等式③，得　　． （3）把不等式①、②和③的解集在数轴上表示出来． （4）从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集　　． 【思路点拨】分别求出每一个不等式的解集，根据各不等式解集在数轴上的表示，确定不等式组的解集． 【规范解答】解：（1）解不等式①，得，依据是：不等式的基本性质． （2）解不等式③，得． （3）把不等式①，②和③的解集在数轴上表示出来． （4）从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集为：， 故答案为：（1）；（2）；（4）． 【考点评析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【变式2】（2019•邗江区校级模拟）一个矩形，两边长分别为和，如果它的周长小于，面积大于．求的取值范围，并将取值范围在数轴上表示出来． 【思路点拨】已知矩形的周长为，面积为，列出不等式组即可求解． 【规范解答】解：由题意知， 解得：， 将解集表示在数轴上如下： 【考点评析】本题考查在数轴上表示不等式的解集，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，根据矩形的周长，面积列不等式组解答． 考点4：解一元一次不等式 【例4】（2024•通州区二模）若的值同时大于和的值，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据题意列出不等式组，求出解集即可． 【规范解答】解：的值大于的值， ， 解得：， 的值大于的值， ， ， 的值同时大于和的值， ， ， 故选：． 【考点评析】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式1】（2024•邗江区一模）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． ． 解： 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 任务一：填空： ①以上解题过程中，第二步是依据 　乘法分配律　（运算律）进行变形的； ②第 　　步开始出现错误，这一步错误的原因是 　　； 任务二：请直接写出该不等式的正确解集． 【思路点拨】分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为1，依此即可求解． 【规范解答】解： 第一步， 第二步， 第三步， 第四步， 第五步； ①：以上解题过程中，第二步是依据乘法分配律（运算律）进行变形的； ②第三步开始出现错误，这一步错误的原因是移项没有变号； 任务二：该不等式的正确解集是． 故答案为：乘法分配律；三；移项没有变号． 【考点评析】本题考查了解一元一次不等式，解题词关键是熟练掌握解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 【变式2】（2021•江都区校级模拟）已知方程的解为非正数，为负数，求的取值范围． 【思路点拨】本题可对一元二次方程运用加减消元法解出、关于的式子，然后根据和可分别解出的值，然后根据两个都小于则小于小的，两个都大于则大于大的，或夹在较小的和较大的数之间三种情况判断的取值． 【规范解答】解：， 得，． ， ． 解得． 【考点评析】解：本题考查了二元一次方程的解法和一元一次不等式的性质．根据运算可将、化为关于的式子，然后计算出的取值． 考点5：一元一次不等式的整数解 【例5】（2023•灌云县校级模拟）若实数3是不等式的一个解，则可取的最大整数是　　 A． B．2 C． D．3 【思路点拨】根据实数3是不等式的一个解，可以求得的取值范围，从而可以求得可取的最大整数． 【规范解答】解：由不等式，得， 实数3是不等式的一个解， ， 解得， 可取的最大整数为， 故选：． 【考点评析】本题考查一元一次不等式的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 【变式1】（2024•秦淮区模拟）①解不等式，然后在数轴上标出范围：； ②该不等式有无最大非负整数解？若有，请写出． 【思路点拨】①由，得，再分类讨论即可． ②由①知，故不等式没有最大非负整数解． 【规范解答】解：①， ， ， 若，， 则，， 如图： ． 若，， 则，， 如图： ， 综上所述，如图： 或． ②没有 理由：由①知， 故不等式没有最大非负整数解． 【考点评析】本题考查了一元一次不等式的整数解，在数轴上表示不等式的解集，正确运算是解题关键． 【变式2】（2024•扬州三模）（1）计算：． （2）求不等式的正整数解． 【思路点拨】（1）先计算零指数幂、代入三角函数值、去绝对值符号、计算算术平方根，再计算加减即可； （2）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【规范解答】解：（1）原式 ； （2）， ， ， ， 则， 所以不等式的正整数解为1、2、3． 【考点评析】本题主要考查实数的运算和解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 考点6：由实际问题抽象出一元一次不等式 【例6】（2024•建邺区二模）某知识竞赛共有20题，答对一题得5分，答错或不答每题扣2分．小明答对了道题，得分不低于70分，则可列不等式是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】设答对的题数为道，则答错或不答的题数为道，根据总分答对题数答错或不答题数，结合得分不低于70分，即可得出关于的一元一次不等式． 【规范解答】解：设答对道题，则答错或不答的题数为道， 则． 故选：． 【考点评析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式的知识，解答本题的关键是找到不等关系． 【变式1】（2023•海陵区校级二模）语句“的2倍与的和是负数”可以表示为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据题意列出不等式即可． 【规范解答】解：语句“的2倍与的和是负数”可以表示为， 故选：． 【考点评析】此题考查了列不等式，读懂题意是解题的关键． 【变式2】（2019•滨海县一模）把一些书分给几名同学，若________；若每人分11本，则不够．依题意，设有名同学，可列不等式，则横线上的信息可以是　　 A．每人分7本，则可多分9个人 B．每人分7本，则剩余9本 C．每人分9本，则剩余7本 D．其中一个人分7本，则其他同学每人可分9本 【思路点拨】根据不等式表示的意义解答即可． 【规范解答】解：由不等式，可得：把一些书分给几名同学，若每人分9本，则剩余7本；若每人分11本，则不够； 故选：． 【考点评析】本题考查根据实际问题列不等式，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系． 考点7：一元一次不等式的应用 【例7】（2024•无锡）某校积极开展劳动教育，两次购买，两种型号的劳动用品，购买记录如下表： 型劳动用品（件 型劳动用品（件 合计金额（元 第一次 20 25 1150 第二次 10 20 800 （1）求，两种型号劳动用品的单价； （2）若该校计划再次购买，两种型号的劳动用品共40件，其中型劳动用品购买数量不少于10件且不多于25件．该校购买这40件劳动用品至少需要多少元？（备注：，两种型号劳动用品的单价保持不变） 【思路点拨】（1）设种型号劳动用品单价为元，种型号劳动用品单价为元，根据表格中的数据，列出方程组求解即可； （2）设够买种型号劳动用品件，则够买种型号劳动用品件，根据题意得出，设购买这40件劳动用品需要元，列出关于的表达式，根据一次函数的性质，即可解答． 【规范解答】解：（1）设种型号劳动用品单价为元，种型号劳动用品单价为元， ， 解得：， 答：种型号劳动用品单价为20元，种型号劳动用品单价为30元． （2）设够买种型号劳动用品件，则够买种型号劳动用品件， 根据题意可得：， 设购买这40件劳动用品需要元， ， ， 随的增大而减小， 当时，取最小值，， 该校购买这40件劳动用品至少需要950元． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，关键是根据题意找到关系式． 【变式1】（2024•邳州市校级一模）今年我市新冠疫情在各地医疗队的帮助下，得到有效控制，我市准备向某客运公司租用、两种类型客车，陆续将支援队护送离城，已知每辆型客车的载客人数比每辆型客车多10人，如果单独租用型客车护送900人，与单独租用型客车护送700人所用车辆数一样多．（特别注明：本题中载客人数不考虑客车司机） （1）问每辆、型客车分别可载多少人？ （2）某天，有630位支援人员需护送，客运公司根据需要，安排了、型汽车共16辆，每辆型客车的租金为1200元，每辆型客车的租金为1000元，总租金不超过17800元，问有哪几种租车方案，哪种方案较省钱，费用多少？ 【思路点拨】（1）设每辆型客车可载人，则每辆型客车可载人，由题意：单独租用型客车护送900人，与单独租用型客车护送700人所用车辆数一样多，列出分式方程，解方程即可； 由（2）设租型客车辆，则租型客车辆，由题意：有630位支援人员需护送，总租金不超过17800元，列出一元一次不等式组，解得，即可解决问题． 【规范解答】解：（1）设每辆型客车可载人，则每辆型客车可载人， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则， 答：每辆型客车可载45人，则每辆型客车可载35人； （2）设租型客车辆，则租型客车辆， 由题意得：， 解得：， 为正整数， 取值为7，8，9， 有3种租车方案， ①租型客车7辆，型客车9辆，费用为：（元； ②租型客车8辆，型客车8辆，费用为：（元； ③租型客车9辆，型客车7辆，费用为：（元； ， 租型客车7辆，型客车9辆较省钱，费用为17400元． 【考点评析】本题考查了一元一次不等式组的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 【变式2】（2023•姑苏区一模）某天小明在家锻炼身体．第一组运动是做20个波比跳，40个深蹲，完成后，运动监测软件显示共消耗热量132大卡（大卡是热量单位）；第二组运动是做30个波比跳，30个深蹲，完成后，软件显示共消耗热量174大卡（每个动作之间的衔接时间忽略不计）． （1）小明做每个波比跳和每个深蹲各消耗热量多少大卡？ （2）若小明只做波比跳和深蹲两个动作，每个波比跳耗时5秒，每个深蹲也耗时5秒，小明想要通过10分钟的锻炼，消耗至少200大卡，至少要做多少个波比跳？ 【思路点拨】（1）设小明做每个波比跳消耗热量大卡，每个深蹲消耗热量大卡，根据第一组运动是做20个波比跳，40个深蹲，完成后，运动监测软件显示共消耗热量132大卡；第二组运动是做30个波比跳，30个深蹲，完成后，软件显示共消耗热量174大卡，列二元一次方程组，求解即可； （2）设小明做个波比跳，根据小明想要通过10分钟的锻炼，消耗至少200大卡，列一元一次不等式，求解即可． 【规范解答】解：（1）设小明做每个波比跳消耗热量大卡，每个深蹲消耗热量大卡， 根据题意，得， 解得， 答：小明做每个波比跳消耗热量5大卡，每个深蹲消耗热量0.8大卡； （2）设小明做个波比跳， 根据题意，得， 解得， 取得最小正整数为25， 答：至少要做25个波比跳． 【考点评析】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键． 考点8：解一元一次不等式组 【例8】（2024•宿豫区一模）若不等式组有解，则的取值范围是． 【思路点拨】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找可得答案． 【规范解答】解：由得：， 由得：， 不等式组有解， ， 故答案为：． 【考点评析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【变式1】（2024•鼓楼区模拟）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【思路点拨】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并把解集在数轴上表示出来即可． 【规范解答】解：， 由①得， 由②得， 故不等式组的解集为． 把解集在数轴上表示出来为： 【考点评析】此题考查的是解一元一次方程组的方法，解一元一次方程组应遵循的法则：“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则．同时考查了在数轴上表示不等式的解集． 【变式2】（2024•天宁区校级二模）解方程组和不等式组： （1）解方程组：； （2）解不等式组：． 【思路点拨】（1）利用加减消元法求解即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【规范解答】解：（1）， ①②，得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 则方程组的解为； （2）由得：， 由得：， 则不等式组的解集为． 【考点评析】本题考查的是解二元一次方程组、二元一次方程组的解和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 考点9：一元一次不等式组的整数解 【例9】（2024•南通一模）若关于的不等式组有且只有3个整数解，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后根据不等式组有且只有3个整数解，即可得到的取值范围． 【规范解答】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 该不等式组的解集是， 关于的不等式组有且只有3个整数解， 这三个整数解是0，1，2， ， 故选：． 【考点评析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 【变式1】（2024•沭阳县校级三模）解关于的不等式组：，并求出它所有整数解的和． 【思路点拨】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出范围内的整数求其和即可． 【规范解答】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为：， 原不等式组的整数解为：，，0，1，2， 所有整数解的和为：． 【考点评析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组是关键． 【变式2】（2024•泰州二模）（1）计算：； （2）解不等式组，并写出该不等式组的非负整数解． 【思路点拨】（1）根据二次根式的化简，负指数幂，零次幂，特殊角的锐角三角函数值计算求解即可． （2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分求出不等式组的解集，进而求出非负整数解即可． 【规范解答】解：（1）原式 ； （2）， 由①得：， 由②得：， 不等式组的解集为， 则不等式组的非负整数解为0，1，2． 【考点评析】本题考查的是实数的运算，一元一次不等式组的解法，掌握基础运算的运算法则是解本题的关键． 考点10：一元一次不等式组的应用 【例10】（2024•高新区校级三模）某公司安装物流箱，现有型和型两种物流箱可供选择，若安装2个型物流和3个型物流箱共11.8万元，且型物流箱单价比型物流箱单价高0.6万元． （1）求型物流箱和型物流箱的单价； （2）某社区需安装物流箱共30个，其中型物流箱不少于18个，为了更多地推广型物流箱，公司决定将每个型物流箱降价元，型物流箱价格不变，若总费用不低于67.2万元，求的取值范围． 【思路点拨】（1）设型物流箱的单价为元，则型物流箱的单价为，根据题意列方程并求解即可； （2）根据“安装总费用安装型物流箱的费用安装型物流箱的费用”作答即可． 根据“安装总费用安装型物流箱的费用安装型物流箱的费用”写出关于的函数解析式，分情况讨论的系数，根据一次函数的增减性和的取值范围，求出对应的最小值，令的最小值大于或等于67.2，求出对应的取值范围即可． 【规范解答】解：（1）设型物流箱的单价为元，则型物流箱的单价为． 根据题意，得， 解得， （万元）， 型物流箱的单价为2万元，型物流箱的单价为2.6万元． （2）根据题意，安装型物流箱个， ， 关于的函数解析式为． 得． 当时，，随的减小而减小， ， 当时，取最小值，， 由题意，得，解得， ； 当时，， ， 不符合题意，应舍去； 当时，，随的增大而减小， ， 当时，取最小值，， 由题意，得，解得， 此时不存在． 综上，的取值范围是． 【考点评析】本题考查一次函数、一元一次不等式的应用，掌握一次函数的增减性和一元一次不等式的解法是本题的关键． 【变式1】（2024•无锡一模）这个冬天，“哈尔滨”爆火的背后，除了回忆青春的热情高涨，还有网友们的推波助澜，更离不开文旅产品的推动．某文创公司生产甲、乙两种产品共360个，其中甲产品的制作费（元与产量（个的函数图象如图中实线所示，乙产品的制作费始终为15元个． （1）当时，求与的函数表达式； （2）若甲产品的生产数量不少于30个，且乙产品的生产数量不低于甲产品生产数量的3倍，如何分配甲，乙两产品的生产数量，才能使该文创公司的总制作费最低？ 【思路点拨】（1）用待定系数法可得答案； （2）分两种情况求出总制作费的最小值，再比较可得答案． 【规范解答】解：（1）设， ， 解得， 与的函数表达式为； （2）设甲产品生产个，文创公司的总制作费为元，则乙产品生产个， 甲产品的生产数量不少于30个，且乙产品的生产数量不低于甲产品生产数量的3倍， ， 解得， ①当时，， 当时，最大值为； ②当时，， 对称轴为直线， 时，最小值为5625， ， 甲产品生产90个，乙产品生产270个，该文创公司的总制作费最低． 【考点评析】本题考查一次函数，二次函数的应用，解题关键是读懂题意，列出函数关系式． 【变式2】（2023•苏州一模）某文具店计划购进、两种笔记本，已知种笔记本的进价比种笔记本的进价每本便宜3元．现分别购进种笔记本150本，种笔记本300本，共计6300元． （1）求、两种笔记本的进价； （2）文具店第二次又购进、两种笔记本共100本，且投入的资金不超过1380元．在销售过程中，、两种笔记本的标价分别为20元本、25元本．两种笔记本按标价各卖出本以后，该店进行促销活动，剩余的种笔记本按标价的七折销售，剩余的种笔记本按标价的八折销售．若第二次购进的100本笔记本全部售出后的最大利润不少于600元，请求出的最小值． 【思路点拨】（1）设种笔记本的进价是元，种笔记本的进价是元，由题意：种笔记本的进价比种笔记本的进价每本便宜3元；现分别购进种笔记本150本，种笔记本300本，共计6300元．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设文具店第二次购进种笔记本本，则种笔记本本，根据投入的资金不超过1380元可求的范围；再根据两种笔记本按标价各卖出本以后，该店进行促销活动，剩余的种笔记本按标价的七折销售，剩余的种笔记本按标价的八折销售．若第二次购进的100本笔记本全部售出后的最大利润不少于600元，列出不等式可求出的最小值． 【规范解答】解：（1）设种笔记本的进价是元，种笔记本的进价是元， 由题意得：， 解得：． 答：种笔记本的进价是12元，种笔记本的进价是15元； （2）设文具店第二次购进种笔记本本，则种笔记本本，由题意得： ， 解得， 依题意有：， 解得：， 为整数， 的最小值为20． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式 基础夯实训练 1．（2024•盐都区校级一模）不等式的解集在数轴上表示正确的是　　 A． B． C． D． 解：， ， ， 该不等式的解集在数轴上如图所示： 故选：． 2．（2024•亭湖区三模）为了减少碳的排放和更高的利用新能源，国家提倡绿牌电动车出行，绿牌电动车的国家标准如图所示，如果电动自行车的车速是 ，电池电压是 ，可载一名未成年人的年龄是周岁，可列出不等式正确的是　　 执行标准 最高车速 电池电压 不超过 能否载人 可载一名16周岁以下未成年人 车辆属性 非机动车 是否需要驾驶证 不需要 A． B． C． D． 解：根据如图所示的绿牌电动车的国家标准可知，，，． 故选：． 3．（2024•盐都区校级模拟）若不等式组无解，那么的取值范围是　　 A． B． C． D． 解： 由①得，， 由②得，， 又因为不等式组无解， 所以． 故选：． 4．（2024•天宁区校级一模）小明和爸爸妈妈三人玩跷跷板，三人的体重一共为150千克，爸爸坐在跷跷板的一端，体重只有妈妈一半的小明和妈妈一同坐在跷跷板的另一端，这时爸爸那端仍然着地．那么小明的体重应小于 　25　千克． 解：设小明体重为， 由体重只有妈妈一半的小明得： 妈妈体重为． 由三人体重一共为得： 爸爸的体重为：． 由爸爸坐在跷跷板一端，体重只有妈妈一半的小明和妈妈同坐在跷跷板的另一端．这时，爸爸的那一端仍然着地得： ， ， ． 故小明的体重应． 故答案为：25． 5．（2020•海门市校级模拟）关于的不等式组无解，则的取值范围是 　　． 解：， 由①得：， 由②得：， 不等式组无解， ， 故答案为：． 6．（2018•润州区二模）关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是　　． 解：， ①②得，， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 7．（2024•广陵区校级四模）（1）计算：； （2）解不等式组：． 解：（1）原式 ； （2）， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 不等式组的解集为：． 8．（2024•武进区校级模拟）解不等式组，把解集在数轴上表示出来，并写出整数解． 解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为， 不等式组的解集在数轴上表示为： 9．（2024•江宁区校级三模）为响应习总书记“扶贫先扶志，扶贫必扶智”的号召，攀枝花市教体局向木里县中小学捐赠一批书籍和实验器材共360套，其中书籍比实验器材多120套． （1）求书籍和实验器材各有多少套？ （2）现计划租用甲、乙两种型号的货车共8辆，一次性将这批书籍和实验器材运往该县，已知每辆甲种货车最多可装书籍40套和实验器材10套，每辆乙种货车最多可装书籍30套和实验器材20套，运输部门安排甲、乙两种型号的货车时，有几种方案？请你帮助设计出来． 解：（1）设书籍和实验器材各有套，套， 由题意得，， 解得， 答：书籍和实验器材各有240套，120套； （2）设运输部门安排甲种型号货车辆，则运输部门安排乙种型号货车辆， 由题意得，， 解得， 有4种方案：①运输部门安排甲种型号的货车1辆，乙种型号的货车7辆；②运输部门安排甲种型号的货车2辆，乙种型号的货车6辆；③运输部门安排甲种型号的货车3辆，乙种型号的货车5辆；④运输部门安排甲种型号的货车4辆，乙种型号的货车4辆． 10．（2024•梁溪区校级模拟）商场销售，两种商品，其进价，售价如表所示． 商品 进价（元件） 售价（元件） 15 20 35 45 （1）若商场投入3000元购进两种商品共100件，求商场分别购进，两种商品的数量； （2）为了加快销售进度，该商场对商品进行促销，若一次性购物总额不超过500元，则九折优惠；若一次性购物总额超过500元则八折优惠，某单位到该商场购买了这两种商品共付款432元，求该商场获得的最小利润和最大利润． 解：（1）设购进商品件，则购进商品件． 由题意可得：， 解得， ， 答：商场购进商品，两种商品的数量分别为25件、75件； （2）设该单位购买商品件，购买商品件， ①当一次性购物总额不超过500元时， 则付款总金额为（元， ， ， ，且、均是正整数，是4的倍数， 故满足条件的，有：或． 当，时，利润是：（元； 当，时，则利润是：（元； ②当一次性购物总额超过500元时， 则付款总金额为（元， ， ， ，且、均是正整数，是4的倍数， 故满足条件的，有：或． 当，时，利润为：（元； 当，时，利润为：（元； 由上可得，该商场获得的最小利润是17元，最大利润是67元， 答：该商场获得的最小利润是17元，最大利润是67元． 能力拔高训练 11．（2024•姜堰区二模）若是关于的不等式的一个解，则可取的最大整数为　　 A．6 B．7 C．8 D．9 解：是关于的不等式的一个解， ， ， 是最大整数为7， 故选：． 12．（2024•江都区二模）若关于的不等式组有且仅有两个整数解，则取值范围为　　 A． B． C． D． 解：于的不等式组有且仅有两个整数解，且不等式组的解集为， ， 故选：． 13．（2021•泗洪县一模）某单位为某中学捐赠了一批新桌椅．学校组织七年级300名学生搬桌椅，规定一人一次搬两把椅子，两人一次搬一张桌子，每人限搬一次，最多可搬桌椅（一桌一椅为一套）的套数为　　 A．80 B．120 C．160 D．200 解：设可搬桌椅套，即桌子把，椅子把，则搬桌子需人，搬椅子需人， 根据题意，得 ， 解得． 答：最多可搬桌椅120套． 故选：． 14．（2019•工业园区校级二模）不等式组的最大整数解是　2　． 解：， 由①得，； 由②得，； 不等式组的解集为， 它所包含的整数为，0，1，2． 它的最大整数解为2． 故答案为2． 15．（2017•连云港三模）已知不等式组的解集是，分解因式：　　． 解：， 解①得：， 解②，， 根据题意得：， 解得：， 则原式． 故答案为：． 16．（2017•苏州模拟）当、满足条件时，表示焦点在轴上的椭圆．若表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是 　　． 解：表示焦点在轴上的椭圆，， 表示焦点在轴上的椭圆， ， 解得， 的取值范围是， 故答案为：． 17．（2021•太仓市自主招生）已知关于的不等式组的整数解有且只有2个，则的取值范围是 　　． 解：， 解①得， 解②得， 则不等式组的解集是． 不等式组有2个整数解，则整数解是，． 则． 故答案为：． 18．（2024•建邺区一模）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 解：， 由①得， 由②得． 故此不等式组的解集为， 在数轴上表示为： ． 19．（2024•淮安区二模）计算． （1）； （2）解不等式组，并写出它的所有的整数解． 解：（1）原式 ； （2）由得， 由得：， 则不等式组的解集为， 所以其整数解为2、3、4． 20．（2021•工业园区校级模拟）2020年6月1日上午，国务院总理李克强在山东烟台考查时表示，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机．波波准备购进、两种类型的便携式风扇到华润万家门口出售．已知2台型风扇和5台型风扇进价共100元，3台型风扇和2台型风扇进价共62元． （1）求型风扇、型风扇进货的单价各是多少元？ （2）波波准备购进这两种风扇共100台，根据市场调查发现，型风扇销售情况比型风扇好，波波准备多购进型风扇，但数量不超过型风扇数量的3倍，购进、两种风扇的总金额不超过1170元．根据以上信息，波波共有几种进货方案？哪种进货方案的费用最低？最低费用为多少元？ 解：（1）设型风扇进货的单价是元，型风扇进货的单价是元， 依题意，得：， 解得：． 答：型风扇进货的单价是10元，型风扇进货的单价是16元； （2）设购进型风扇台，则购进型风扇台， 依题意，得：， 解得：， 又为正整数， 可以取72、73、74、75， 波波共有4种进货方案， 方案1：购进型风扇72台，型风扇28台； 方案2：购进型风扇73台，型风扇27台； 方案3：购进型风扇74台，型风扇26台； 方案4：购进型风扇75台，型风扇25台． 型风扇进货的单价大于型风扇进货的单价， 方案4：购进型风扇75台，型风扇25台的费用最低， 最低费用为元． 答：波波共有4种进货方案，方案4：购进型风扇75台，型风扇25台的费用最低，最低费用为1150元． 21．（2020•射阳县校级模拟）冬季即将来临，是流感的高发期，某中学积极进行班级环境消毒，总务处购买甲、乙两种消毒液共100瓶，购买这两种消毒液共用780元，其中甲种消毒液共用240元，且乙种消毒液的单价是甲种消毒液单价的1.5倍． （1）求甲、乙两种消毒液的单价各为多少元？ （2）该校准备再次购买这两种消毒液（不包括已购买的100瓶），共140瓶，且所需费用不超过1210元，问甲种消毒液至少要购买多少瓶？ 解：（1）设甲种消毒液的单价为元，则乙种消毒液的单价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， ， 答：甲、乙两种消毒液的单价分别为6元、9元； （2）设再次购买甲种消毒液瓶，则购买乙种消毒液瓶， 根据题意得：， 解得：， 为整数， 的至少为17， 答：甲种消毒液至少要购买17瓶． 22．（2018•惠山区校级一模）为全力助推句容建设，大力发展句容旅游，某公司拟派、两个工程队共同建设某区域的绿化带．已知工程队2人与工程队3人每天共完成310米绿化带，工程队的5人与工程队的6人每天共完成700米绿化带． （1）求队每人每天和队每人每天各完成多少米绿化带； （2）该公司决定派、工程队共20人参与建设绿化带，若每天完成绿化带总量不少于1480米，且工程至少派出2人，则有哪几种人事安排方案？ 解：（1）设队平均每天完成米绿化带，队平均每天完成米绿化带，依题意有 ， 解得． 故队平均每天完成80米绿化带，队平均每天完成50米绿化带； （2）设该公司决定派工程队共人参与建设绿化带，依题意有 ， 解得， 故人事安排方案为：，或，或，． 23．（2020•灌云县一模）某校九年级10个班师生举行毕业文艺汇演，每班2个节目，有歌唱与舞蹈两类节目，年级统计后发现唱歌类节目数比舞蹈类节目数的2倍少4个． （1）九年级师生表演的歌唱与舞蹈类节目数各有多少个？ （2）该校七、八年级师生有小品节目参与，在歌唱、舞蹈、小品三类节目中，每个节目的演出平均用时分别是5分钟、6分钟、8分钟，预计所有演出节目交接用时共花15分钟．若从开始，之前演出结束，问参与的小品类节目最多能有多少个？ 解：（1）设九年级师生表演的歌唱类节目有个，舞蹈类节目有个， 根据题意，得：， 解得：， 答：九年级师生表演的歌唱类节目有12个，舞蹈类节目有8个； （2）设参与的小品类节目有个， 根据题意，得：， 解得：， 由于为整数， 的最大值为3， 答：参与的小品类节目最多能有3个． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$