第09讲 平面直角坐标系与函数初步（讲练）（思维导图+5考点+2命题点6种题型+难度分层练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（山东专用）

第三章 函数 第09讲 平面直角坐标系与函数初步（4~10分） （思维导图+5考点+2命题点6种题型） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 有序数对与坐标 考点二 由坐标的位置求参数 考点三 坐标的简单应用 考点四 函数 考点五 自变量取值范围 04题型精研·考向洞悉 命题点一 平面直角坐标系 ►题型01 平移变换 ►题型02 轴对称变换 ►题型03 旋转变换 ►题型04 规律性问题 命题点二 函数初步 ►题型01 从图像获取信息 ►题型02 几何动点与函数图像 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次（地区版加） 命题预测 平面直角坐标系 · 理解平面直角坐标系的有关概念，能画出平面直角坐标系. 2024省卷8题， 该专题内容是初中代数最重要的部分，是代数的基础，非常重要，年年都会考查，分值为10分左右.预计2025年各地中考还将出现，在选择、填空题中出现的可能性较大． 点的坐标 特征与变换 · 在给定的平面直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置，由点的位置写出坐标. · 对给定的正方形，会选择合适的平面直角坐标系，写出它的顶点坐标，体会可以用坐标表达简单图形. · 在平面直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，知道对应顶点坐标之间的关系. · 在平面直角坐标系中，能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移一定距离后图形的顶点坐标，知道对应顶点坐标之间的关系. 坐标方法的简单应用 · 在实际问题中，能建立适当的平面直角坐标系，描述物体的位置. · 在平面上，运用方位角和距离刻画两个物体的相对位置. 函数 · 探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义;了解函数的概念和表示法，能举出函数的实例; · 能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析; · 能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值; · 能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系理解函数值的意义; · 结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论. 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 1. 有序数对（a，b）与（b，a）顺序不同，含义也不同. 2. 坐标轴上的点不属于任何象限. 3. 坐标平面内点的坐标是有序实数对，当a≠b时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标. 4. 坐标平面内的点可以用有序实数对来表示，反过来每一个有序实数对应着坐标平面内的一个点，即坐标平面内的点和有序实数对是一一对应的关系. 考点一 有序数对与坐标 有序数对概念：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a ，b）. 点的坐标 对于坐标轴内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应 的数a、b分别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序数对A(a，b)叫做点A的坐标，记作 A(a，b). 【例1】．（2022·山东日照·一模）下列表述中能确定准确位置的是（    ） A．教室从左到右第3列 B．文博演出中心第10排 C．北偏东 D．东经，北纬 【答案】D 【分析】本题考查了有序数对表示位置，根据位置的确定需要两个条件对各选项分析判断即可得解，理解位置的确定需要两个条件是解题的关键． 【详解】解：A、教室从左到右第3列，不能确定具体位置，故本选项不符合题意； B、文博演出中心第10排，不能确定具体位置，故本选项不符合题意； C、北偏东，不能确定具体位置，故本选项不符合题意； D、东经，北纬，能确定位置，故本选项符合题意． 故选：D． 【变式1-1】．（2021·山东德州·二模）若点P在第二象限，且到x轴的距离是3，到y轴的距离是1，点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系各象限坐标符号的特征和点到坐标轴的距离，掌握各象限坐标符号的特征和点到坐标轴的距离是关键．根据到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值进行求解即可． 【详解】解：∵点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是1， ∴点P的横坐标的绝对值为1，纵坐标的绝对值为3， 又∵点P在第二象限， ∴点P的坐标为． 故选：B． 【变式1-2】．（2023·山东淄博·二模）如图，将一片枫叶固定在正方形网格中，若点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标确定位置．根据点的坐标为，点的坐标为确定坐标原点，建立平面直角坐标系，由坐标系可以直接得到答案． 【详解】解：如图， 点的坐标为． 故选：D． 【变式1-3】．（2023·山东枣庄·一模）在平面直角坐标系的第二象限内有一点，点到轴的距离为3，到轴的距离为4，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】分析：根据第二象限内点的坐标特征，可得答案． 详解：由题意，得 x=-4，y=3， 即M点的坐标是（-4，3）， 故选C． 考点二 由坐标的位置求参数 点P(x，y)的位置 在象限内 第一象限 x＞0，y＞0 第二象限 x＜0，y＞0 第三象限 x＜0，y＜0 第四象限 x＞0，y＜0 坐标轴上 x轴 y=0  y轴 x=0  原点 x=y=0  在角平分线上 第一、三象限 x=y 第二、四象限 x= -y 在平行坐标轴的直线上 平行x轴 所有点的 纵 坐标相等 平行y轴 所有点的 横 坐标相等 【例2】．（2023·山东日照·中考真题）若点在第四象限，则m的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】根据第四象限的点横坐标为正，纵坐标为负进行求解即可。 【详解】解：∵点在第四象限， ∴， 解得， 故答案为：。 【点睛】本题主要考查了根据点所在的象限求参数，解一元一次不等式组，熟知第四象限内点的符号特点是解题的关键。 【变式2-1】．（2022·山东济宁·二模）已知点P（3－m，m－1）在第二象限，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】让点P的横坐标小于0，纵坐标大于0列式求值即可． 【详解】解：∵点P（3－m，m－1）在第二象限， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2-2】．（2022·山东德州·二模）在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则整数m的值为 ． 【答案】2 【分析】根据第二象限的点的横坐标小于0，纵坐标大于0列出不等式组，然后求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∴整数m的值为2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了点的坐标及解一元一次不等式组，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键． 【变式2-3】．（2021·山东淄博·二模）已知点P（x＋2，2x－3）在y轴上，则x＝ ． 【答案】-2 【分析】根据若点在由y轴上，则横坐标为0，即可求解． 【详解】解：∵点P（x＋2，2x－3）在y轴上， ∴x+2=0， ∴x=-2． 故答案为：-2 考点三 坐标的简单应用 用坐标表示地理位置的方法 1）选择一个适当的参照点为原点建立直角坐标系，并确定x轴、y轴的正方向； 2）根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出长度单位； 3）坐标平面内画出这些点，并写出各点的坐标和各个地点的名称. 【例3】．（2024·山东德州·二模）“在生活的舞台上，我们都是不屈不挠的拳击手，面对无尽的挑战，挥洒汗水，拼搏向前！”今年的春节档《热辣滚烫》展现了角色坚韧不拔的精神面貌，小明、小华、小亮三人也观看了此电影．如图是利用平面直角坐标系画出的影院内分布图，若分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，建立平面直角坐标系，他们是这样描述自己的座位： ①小明：表示我座位的坐标为； ②小华：在小明的座位向右走4个座位，再向上走2个座位，就可以找到我了； ③小亮：小旗帜所在的位置就是我的座位了． 则小亮座位的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标确定位置．根据小明座位的坐标为，建立平面直角坐标系，进而分别分析得出答案． 【详解】解：∵小明座位的坐标为， ∴建立平面直角坐标系如图， ∵小旗帜位置的坐标为， ∴小亮座位的坐标为， 故答案为：． 【变式3-1】．（2022·山东滨州·二模）如图，若在象棋棋盘上建立直角坐标系，使“帥”位于点，“炮”位于点，则“兵”位于的点的坐标为 ．    【答案】 【分析】直接利用“帅”位于点（-3，-2），即可得出原点的位置，进而得出“兵”位于的点的坐标． 【详解】解：如图所示：根据“帥”位于点，“炮”位于点建立平面直角坐标系，则“兵”位于的点的坐标为：（-5，1）． 故答案为：（-5，1）    【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置是解题关键． 【变式3-2】．（2023·山东枣庄·一模）如图是一盘中国象棋残局的一部分，以“帅”为原点建立坐标系，知道“兵”所在位置的坐标是（2，3），则“炮”所在位置的坐标是 . 【答案】（﹣3，2）   【分析】根据“兵”的位置向左平移两个单位的直线是y轴，向下平移三个单位的直线是x轴，可得平面直角坐标系，根据“炮”的位置，可得点的坐标． 【详解】由“兵”的位置向左平移两个单位的直线是y轴，向下平移三个单位的直线是x轴，得 平面直角坐标系，“炮“的位置是(−3,2)， 故答案为(−3,2). 【点睛】本题考查了坐标确定位置,利用“兵”的位置向左平移两个单位的直线是y轴,向下平移三个单位的直线是x轴得出平面直角坐标系是解题关键. 【变式3-3】．（2021·山东淄博·二模）如图，小黔与小红在玩“五子棋”；小黔是黑子，他把第四子下在棋盘坐标的上，则小红下的白色第三子的棋盘坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是坐标与图形，根据建立坐标系，再确定小红下的白色第三子的棋盘坐标即可. 【详解】解：如图， 小红下的白色第三子的棋盘坐标是， 故答案为：． 考点四 函数 一、函数的相关概念： 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量. 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量. 函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数. 函数值概念：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值. 函数解析式：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式. 函数图像上点的坐标与解析式之间的关系： 1）将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在. 2）两个函数图形交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解. 二、函数的三种表示法及其优缺点 解析法：两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法. 列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法. 图像法：用图像表示函数关系的方法叫做图像法. 优点 缺点 解析法 准确反映整个变化过程中自变量与函数的关系 求对应值是要经过比较复杂的计算，而且实 际问题中有的函数值不一定能用解析式表示 列表法 自变量和与它对应的函数值数据一目了然 所列对应数值个数有限，不容易看出自变量 与函数值的对应关系，有局限性 图像法 形象的把自变量和函数值的关系表示出来 图像中只能得到近似的数量关系 【例4】．（2024·山东滨州·二模）已知函数经过点且y随x增大而减小，请写出一个满足上述条件的函数关系式： ． 【答案】（此题答案不唯一） 【分析】此题主要考查了一次函数的性质，开放性试题，答案不唯一，满足条件即可．设一次函数的表达式为，由随的增大而减小，则，图像经过点，可得b的值，综合两者取值即可． 【详解】解：设一次函数的表达式为， ∵图像经过点， ∴， ∵随的增大而减小， ∴，即取负数， 当时， 函数解析式为． 故答案为：． 【变式4-1】．（2023·山东德州·二模）请写出一个图象经过点的函数的关系式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】让时，函数值写出一个正比例函数即可． 【详解】解：函数经过点． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了函数关系式，解题的关键是正确掌握函数的性质． 【变式4-2】．（2021·山东济宁·中考真题）已知一组数据0，1，，3，6的平均数是，则关于的函数解析式是 ． 【答案】 【分析】根据平均数的公式直接列式即可得到函数解析式． 【详解】解：根据题意得： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平均数的概念，熟练掌握平均数的公式是解决本题的关键． 【变式4-3】．（2023·山东济宁·一模）请写出一个过点（1，1），且与x轴无交点的函数表达式 ． 【答案】答案不唯一，如： 【详解】试题分析：首先与x轴无交点，则考虑反比例函数和开口向上且顶点在一、二象限的二次函数．然后设出解析式，把（1,1）带入即可求得解析式. 考点：确定函数解析式. 考点五 自变量取值范围 自变量的取值范围：使函数有意义的自变量的全体取值，叫做自变量的取值范围. 确定自变量取值范围的方法： 1）函数解析式为整式时，字母取值范围为全体实数； 2）函数解析式含有分式时，分式的分母不能为零； 3）函数解析式含有二次根式时，被开方数大于等于零； 4）函数解析式中含有指数为零的式子时，底数不能为零； 5）实际问题中函数取值范围要和实际情况相符合，使之有意义. 【例5】．（2021·山东枣庄·二模）函数 中自变量x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，且， 解得且． 故答案为：且． 【变式5-1】．（2023·山东青岛·三模）函数的自变量的取值范围为 【答案】/ 【分析】本题主要考查了求自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0进行求解即可． 【详解】解：∵要有意义， ∴， ∴， ∴函数的自变量的取值范围为， 故答案为：． 【变式5-2】．（2024·山东菏泽·三模）在函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记分式的分母不为零是解题的关键．根据分式的分母不为零列出不等式组，解不等式组得到答案． 【详解】解：由题意得：且， 解得：且， 故答案为：且． 【变式5-3】．（2022·山东烟台·二模）函数中自变量x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查的是求解函数的取值范围，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据分式与二次根式有意义的条件可得且，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴且， 解得：且， 故答案为：且． 1. 解决与点坐标变化有关的规律问题一般方法： （1)若点的坐标在坐标轴上或象限内循环(周期)变化时，先求出第一个循环周期内相关点的坐标，然后找出所求点经过循环后位于第一个循环周期内的哪个位置，从而求出坐标； （2)点的坐标是成倍递推变化时，先求出前几个点的坐标，然后归纳出后一个点坐标与前一个点坐标之间存在的规律． 2. 解决与点坐标变化有关的规律问题的注意事项： （1）求什么找什么的规律； （2）变化规律最好用算式而不是得数表示； （3）找算式中数字与序号间的变化规律； （4）找坐标的变化规律，分两步进行：先找位置规律再找数字规律（点的坐标题型首先用这一条）. 04题型精研·考向洞悉 命题点一 平面直角坐标系 ►题型01 平移变换 【例1】．（2024·山东淄博·中考真题）如图，已知，两点的坐标分别为，，将线段平移得到线段．若点的对应点是，则点的对应点的坐标是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了点的平移规律与图形的平移，关键是掌握平移规律，左右移，纵不变，横减加，上下移，横不变，纵加减．根据平移的性质，结合已知点，的坐标，知点的横坐标加上了1，纵坐标加1，则的坐标的变化规律与点相同，即可得到答案． 【详解】解：平移后对应点C的坐标为， 点的横坐标加上了4，纵坐标加1， ， 点坐标为， 即， 故答案为：． 【变式1-1】．（2024·山东潍坊·二模）如图，等边的边长为6，以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，点 B 在第二象限，将沿x轴正方向平移得到，与交于点C，若，则的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，平移的性质，解直角三角形的计算，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．过点作于点，利用等边三角形的性质和解直角三角形的计算得到，，进而得到，利用等边三角形的性质和平移的性质，证明为等边三角形，得到，进而得到平移距离，再利用平移的性质，即可得到的坐标． 【详解】解：等边的边长为6， ，， 过点作于点， ，， ， 将沿x轴正方向平移得到， ，， 为等边三角形， ， ， ， ， 由平移的性质可知，． 故答案为：． 【变式1-2】．（2022·山东淄博·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．若将平移后得到，点A的对应点C的坐标是，则点B的对应点D的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平移、坐标与图形等知识点，根据题意确定平移方式是解题的关键．根据点点A的对应点C的坐标是可确定平移方式，然后根据平移方式平移点B即可解答． 【详解】解：∵点的对应点C的坐标是， ∴向左平移2个单位长度，向下平移2个单位长度得到， ∴点的对应点D的坐标是，即． 故答案为． 【变式1-3】．（2022·山东青岛·二模）在平面直角坐标系中，把点向右平移5个单位得到点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】把点向右平移5个单位，纵坐标不变，横坐标增加5，据此解题． 【详解】解：把点向右平移5个单位得到点，则点的坐标为，即， 故答案为：． ►题型02 轴对称变换 【例2】．（2024·山东枣庄·二模）在直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标是 ． 【答案】（-4，-3） 【分析】根据关于x轴对称的点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案． 【详解】解：点关于轴对称点的坐标是（-4，-3）， 故答案为：（-4，-3） 【点睛】主要考查了平面直角坐标系中对称点的规律．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律： （1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； （2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数； （3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 【变式2-1】．（2023·山东德州·二模）若点与点关于x轴对称，则 ． 【答案】/0.125 【分析】本题考查点的坐标规律、负整数指数幂，先根据点的坐标规律可得，再代入求解即可． 【详解】解：∵点与点关于x轴对称， ∴， 把代入得，， 故答案为：． 【变式2-2】．（2023·山东德州·一模）已知点A的坐标为（-1，2），则点A关于x轴对称点的坐标是 ． 【答案】（-1，-2） 【分析】根据点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y）即可解答． 【详解】解：解:由题意，点A（-1，2）关于x轴对称的点的坐标是（-1，-2）． 故答案为：（-1，-2）． 【点睛】本题考查坐标与图形变换，熟练掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标变换规律是解答的关键． 【变式2-3】．（2023·山东烟台·二模）若点和点关于y轴对称，则点在第 象限． 【答案】四 【分析】根据关于轴对称的点：纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得C点坐标，再根据点所在象限可得答案． 【详解】解：由题意，得： ，， 解得：， ∴点在第四象限， 故答案为：四． ►题型03 旋转变换 【例3】．（2022·山东德州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，，点的坐标为，，线段绕点旋转一定的角度后与线段重合，均为格点，则旋转中心点的坐标为 ．    【答案】， 【分析】画出平面直角坐标系，对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心． 【详解】解：平面直角坐标系如图所示，作、的垂直平分线交于点，旋转中心是点，，．    故答案为，． 【变式3-1】．（2021·山东枣庄·二模）在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的顶点在格点上，若是由绕点P按逆时针方向旋转得到，且各顶点仍在格点上，则旋转中心P的坐标是 ．    【答案】 【分析】根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，即旋转中心在对应点连线的垂直平分线上，据此解答． 【详解】解：作的垂直平分线，两线的交点即为旋转中心P，坐标为； 故答案为：．      【变式3-2】．（2021·山东泰安·二模）在直角坐标系中等腰直角三角形在如图所示的位置，点的横坐标为2，将绕点按逆时针方向旋转，得到△，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】过点A作于C，过点作于，根据等腰直角三角形的性质求出，再根据旋转的性质可得，，然后写出点的坐标即可． 【详解】解：如图，过点作于，过点作于， 是等腰直角三角形，点的横坐标为2， ， △是绕点逆时针旋转得到，， ，， 点的坐标为． 故答案为：． 【变式3-3】．（2022·山东潍坊·一模）如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（﹣6，0），C（0，2）．将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转，使点A恰好落在OB上的点A1处，则点B的对应点B1的坐标为 ． 【答案】（，6） 【分析】连接OB1，作B1H⊥OA于H，证明△AOB≌△HB1O，得到B1H=OA=6，OH=AB=2，得到答案． 【详解】解：连接OB1，作B1H⊥OA于H， 由题意得，OA=6，AB=OC=2， 则tan∠BOA=， ∴∠BOA=30°， ∴∠OBA=60°， 由旋转的性质可知，∠B1OB=∠BOA=30°， ∴∠B1OH=60°， 在△AOB和△HB1O， ， ∴△AOB≌△HB1O， ∴B1H=OA=6，OH=AB=2， ∴点B1的坐标为（-2，6）， 故答案为（-2，6）． ►题型04 规律性问题 【例4】．（2023·山东泰安·中考真题）已知，都是边长为2的等边三角形，按下图所示摆放．点都在x轴正半轴上，且，则点的坐标是 ．      【答案】 【分析】先确定前几个点的坐标，然后归纳规律，按规律解答即可． 【详解】解：由图形可得： 如图：过作轴，    ∵ ∴ ∴, 同理： ∴点的横坐标为1，点的横坐标为2，点的横坐标为3，……纵坐标三个一循环， ∴的横坐标为2023， ∵，674为偶数， ∴点在第一象限， ∴． 故答案为． 【变式4-1】．（2023·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线l：与x轴交于点，以为边作正方形点在y轴上，延长交直线l于点，以为边作正方形，点在y轴上，以同样的方式依次作正方形，…，正方形，则点的横坐标是 ．    【答案】 【分析】分别求出点点的横坐标是，点的横坐标是，点的横坐标是，找到规律，得到答案见即可． 【详解】解：当，，解得， ∴点, ∵是正方形， ∴， ∴点， ∴点的横坐标是， 当时，，解得， ∴点， ∵是正方形， ∴， ∴点， 即点的横坐标是， 当时，，解得， ∴点， ∵是正方形， ∴， ∴点的横坐标是， …… 以此类推，则点的横坐标是 故答案为： 【变式4-2】．（2021·山东潍坊·中考真题）在直角坐标系中，点A1从原点出发，沿如图所示的方向运动，到达位置的坐标依次为：A2（1，0），A3（1，1），A4（﹣1，1），A5（﹣1，﹣1），A6（2，﹣1），A7（2，2），…．若到达终点An（506，﹣505），则n的值为 ． 【答案】2022 【分析】终点在第四象限，寻找序号与坐标之间的关系可求n的值． 【详解】解：∵是第四象限的点， ∴落在第四象限． ∴在第四象限的点为 ∵ ∴ 故答案为：2022 【变式4-3】．（2021·山东泰安·中考真题）如图，点在直线上，点的横坐标为2，过点作，交x轴于点，以为边，向右作正方形，延长交x轴于点；以为边，向右作正方形，延长交x轴于点；以为边，向右作正方形，延长的交x轴于点；…；按照这个规律进行下去，则第n个正方形的边长为 （结果用含正整数n的代数式表示）． 【答案】 【分析】根据题中条件，证明所有的直角三角形都相似且确定相似比，再具体算出前几个正方形的边长，然后再找规律得出第个正方形的边长． 【详解】解：点在直线上，点的横坐标为2， 点纵坐标为1． 分别过，作轴的垂线，分别交于，下图只显示一条； , 类似证明可得，图上所有直角三角形都相似，有 ， 不妨设第1个至第个正方形的边长分别用：来表示，通过计算得： ， ， 按照这个规律进行下去，则第n个正方形的边长为， 故答案是：． 命题点二 函数初步 ►题型01 从图像获取信息 【例1】．（2024·山东潍坊·中考真题）中国中医科学院教授屠呦呦因其在青蒿素抗疟方面的研究获2015年诺贝尔生理学或医学奖．某科研小组用石油醚做溶剂进行提取青蒿素的实验，控制其他实验条件不变，分别研究提取时间和提取温度对青蒿素提取率的影响，其结果如图所示： 由图可知，最佳的提取时间和提取温度分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是实验数据的分析和解读，从图中获取信息是解题的关键．根据图像即可得到最佳时间和温度． 【详解】解：由图像可知，在时提取率最高， 时提取率最高， 故最佳的提取时间和提取温度分别为， 故选B． 【变式1-1】．（2022·山东潍坊·中考真题）地球周围的大气层阻挡了紫外线和宇宙射线对地球生命的伤害，同时产生一定的大气压，海拔不同，大气压不同，观察图中数据，你发现，正确的是（    ） A．海拔越高，大气压越大 B．图中曲线是反比例函数的图象 C．海拔为4千米时，大气压约为70千帕 D．图中曲线表达了大气压和海拔两个量之间的变化关系 【答案】D 【分析】根据图象中的数据回答即可． 【详解】解：A．海拔越高，大气压越小，该选项不符合题意； B．∵图象经过点(2，80)，(4，60)， ∴2×80=160，4×60=240，而160≠240， ∴图中曲线不是反比例函数的图象，该选项不符合题意； C．∵图象经过点 (4，60)， ∴海拔为4千米时，大气压约为60千帕，该选项不符合题意； D．图中曲线表达了大气压和海拔两个量之间的变化关系，该选项符合题意； 故选：D． 【变式1-2】．（2021·山东临沂·中考真题）实验证实，放射性物质在放出射线后，质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢，实际上，物质所剩的质量与时间成某种函数关系．下图为表示镭的放射规律的函数图像，据此可计算32mg镭缩减为1mg所用的时间大约是（   ） A．4860年 B．6480年 C．8100年 D．9720年 【答案】C 【分析】根据物质所剩的质量与时间的规律，可得答案． 【详解】解：由图可知： 1620年时，镭质量缩减为原来的， 再经过1620年，即当3240年时，镭质量缩减为原来的， 再经过1620×2=3240年，即当4860年时，镭质量缩减为原来的， ...， ∴再经过1620×4=6480年，即当8100年时，镭质量缩减为原来的， 此时mg， 故选C． 【变式1-3】．（2024·山东临沂·二模）如图，关于的函数的图象与轴有且仅有三个交点，分别是，，，对此，小华认为：①当时，；②当时，有最小值；③点在函数的图象上，符合要求的点只有1个；④将函数的图象向右平移1个或3个单位长度经过原点．其中正确的结论有（   ） A．①②③ B．②③④ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查了函数的图象与性质，一次函数图象，解题的关键是数形结合．结合函数图象逐个分析即可． 【详解】由函数图象可得： 当时，或；故①错误； 当时，有最小值；故②正确； 点在直线上，直线与函数图象有3个交点，故③错误；    将函数的图象向右平移1个或3个单位长度经过原点，故④正确； 故选：C． ►题型02 几何动点与函数图像 【例2】．（2021·山东聊城·中考真题）如图，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB与CD之间的距离为4，AD＝5，CD＝3，∠ABC＝45°，点P，Q同时由A点出发，分别沿边AB，折线ADCB向终点B方向移动，在移动过程中始终保持PQ⊥AB，已知点P的移动速度为每秒1个单位长度，设点P的移动时间为x秒，△APQ的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依次分析当、、三种情况下的三角形面积表达式，再根据其对应图像进行判断即可确定正确选项． 【详解】解：如图所示，分别过点D、点C向AB作垂线，垂足分别为点E、点F， ∵已知AB∥CD，AB与CD之间的距离为4， ∴DE=CF=4， ∵点P，Q同时由A点出发，分别沿边AB，折线ADCB向终点B方向移动，在移动过程中始终保持PQ⊥AB， ∴PQ∥DE∥CF， ∵AD=5， ∴, ∴当时，P点在AE之间，此时，AP=t， ∵, ∴， ∴， 因此，当时，其对应的图像为，故排除C和D； ∵CD＝3， ∴EF=CD=3， ∴当时，P点位于EF上，此时，Q点位于DC上，其位置如图中的P1Q1，则， 因此当时，对应图像为，即为一条线段； ∵∠ABC＝45°， ∴BF=CF=4， ∴AB=3+3+4=10， ∴当时，P点位于FB上，其位置如图中的P2Q2，此时，P2B=10-x， 同理可得，Q2P2=P2B=10-x， ， 因此当时，对应图像为，其为开口向下的抛物线的的一段图像； 故选：B． 【变式2-1】．（2022·山东潍坊·中考真题）如图，在▱ABCD中，∠A=60°，AB=2，AD=1，点E，F在▱ABCD的边上，从点A同时出发，分别沿A→B→C和A→D→C的方向以每秒1个单位长度的速度运动，到达点C时停止，线段EF扫过区域的面积记为y，运动时间记为x，能大致反映y与x之间函数关系的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分0≤x≤1，1<x<2，2≤x≤3三种情况讨论，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：当0≤x≤1时，过点F作FG⊥AB于点G， ∵∠A=60°，AE=AF=x， ∴AG=x， 由勾股定理得FG=x， ∴y=AE×FG=x2，图象是一段开口向上的抛物线； 当1<x<2时，过点D作DH⊥AB于点H， ∵∠DAH=60°，AE=x，AD=1，DF= x-1， ∴AH=， 由勾股定理得DH=， ∴y=(DF+AE)×DH=x-，图象是一条线段； 当2≤x≤3时，过点E作EI⊥CD于点I， ∵∠C=∠DAB=60°，CE=CF=3-x， 同理求得EI=(3-x)， ∴y= AB×DH -CF×EI=-(3-x)2=-x2+x-，图象是一段开口向下的抛物线； 观察四个选项，只有选项A符合题意， 故选：A． 【变式2-2】．（2022·山东菏泽·中考真题）如图，等腰与矩形DEFG在同一水平线上，，现将等腰沿箭头所指方向水平平移，平移距离x是自点C到达DE之时开始计算，至AB离开GF为止．等腰与矩形DEFG的重合部分面积记为y，则能大致反映y与x的函数关系的图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移过程，可分三种情况，当时，当时，当时，利用直角三角形的性质及面积公式分别写出各种情况下y与x的函数关系式，再结合函数图象即可求解． 【详解】过点C作CM⊥AB于N，， 在等腰中，， ， ①当时，如图，， ， ， ∴，y随x的增大而增大； ②当时，如图， ， ∴当时，y是一个定值为1； ③当时，如图，， ， , 当x=3，y=1，当3<x<4，y随x的增大而减小，当x=4，y=0， 结合ABCD选项的图象， 故选：B． 【变式2-3】．（2023·山东烟台·中考真题）如图1，在中，动点从点出发沿折线匀速运动至点后停止．设点的运动路程为，线段的长度为，图2是与的函数关系的大致图象，其中点为曲线的最低点，则的高的长为 ．      【答案】/ 【分析】过点作于点，当点与重合时，在图2中点表示当时，点到达点，此时当在上运动时，最小，勾股定理求得，然后等面积法即可求解． 【详解】如图过点作于点，当点与重合时，在图2中点表示当时，点到达点，此时当在上运动时，最小，    ∴， 在中， ∴ ∵， ∴, 故答案为：． 05分层训练·巩固提升 基础巩固 一、单选题 1．下列各图象中，是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数的概念，深刻理解函数的概念是解题的关键：函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，是的函数．对函数概念的理解，主要抓住以下三点：（1）有两个变量；（2）一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而变化；（3）对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应．注意事项：判断两个变量是否有函数关系，不仅看它们之间是否有关系式存在，更重要的是看对于的每一个确定的值，是否有唯一确定的值与其对应；函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系．函数的意义反映在图象上一个简单的判断方法是：作垂直轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点． 根据函数的概念逐项分析判断即可． 【详解】解：A、根据图象可知，给一个值，有且只有个值与其对应，满足函数的定义，故选项符合题意； B、根据图象可知，给一个值，有不止个值与其对应，不满足函数的定义，故选项不符合题意； C、根据图象可知，给一个值，有不止个值与其对应，不满足函数的定义，故选项不符合题意； D、根据图象可知，给一个值，有不止个值与其对应，不满足函数的定义，故选项不符合题意； 故选：． 2．若点在y轴上，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标，根据轴上点的坐标特征得出，进而求得，即可求解． 【详解】解：∵点在y轴上， ∴， ∴ ∴，在第四象限， 故选：D． 3．老师在黑板上写了四个点，，，，，嘉淇将这些点描在平面直角坐标系中如图所示，其中所描位置有错误的是（　　） A．点M B．点N C．点P D．点Q 【答案】D 【分析】本题考查根据坐标描点，写出图中各点的坐标，与所给的四个点的坐标比较，即可得到所描错误的点． 【详解】解：由图可得：，，，， ∴点与老师所写的点不一致， 故所描位置有错误的是点Q． 故选：D 4．在平面直角坐标系内有一点P，若点P位于第四象限，并且点P到x轴和y轴的距离分别为5，4，则点P的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了点在第四象限时点的坐标的符号，解题的关键是熟练掌握点到轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到轴的距离为点的横坐标的绝对值． 已知点P在第四象限内，那么横坐标大于0，纵坐标小于0，进而根据到坐标轴的距离判断坐标． 【详解】解：因为点P在第四象限，所以其横、纵坐标分别为正数、负数， 又因为点P到轴的距离为5，到轴的距离为4， 所以点P的坐标为． 故选：B． 5．在函数中，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件、二次根式有意义的条件等知识点，掌握分式和二次根式有意义的条件是解题的关键．根据分式和二次根式有意义的条件列不等式求解即可． 【详解】解：∵， ∴，解得：． 故选：B． 6．如图，在平面直角坐标系中，，，，根据这个规律，探究可得点的坐标是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标规律探究，观察图象可知，即可得出结果． 【详解】解：观察图象可知：， ∴， ∴； 故选A． 二、填空题 7．若点，则点P到y轴的距离为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，掌握点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解答本题的关键． 根据到y轴的距离为点的横坐标的绝对值求解即可． 【详解】解：点到y轴的距离为3． 故答案为：3 8．如记录了某地一月份某天的温度随时间变化的情况，根据图象可知，在这一天中，时和 的温度是．    【答案】 【分析】本题考查了函数图象．理解函数图象的横轴和纵轴表示的量，读懂图意是解题的关键． 根据横轴表示时间，纵轴表示温度．由此可找具体的时刻相对应的时间和温度，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，时和的温度是， 故答案为：． 9．如图，货船A与港口B相距海里，我们用有序数对（南偏西，海里）来描述港口B相对货船A的位置，那么货船A相对港口B的位置可描述为 ．    【答案】（北偏东，35海里） 【分析】以点B为中心点，来描述点A的方向及距离即可． 【详解】解：由题意知货船A相对港口B的位置可描述为（北偏东，35海里）， 故答案为：（北偏东，35海里）． 【点睛】本题考查坐标确定位置，用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西． 10．已知过点，两点的直线平行于x轴，则a的值为 ． 【答案】3 【分析】此题考查坐标与图形的性质，根据两点所在直线平行于x轴，那么这两点的纵坐标相等解答即可． 【详解】解：∵过点，两点的直线平行于x轴， ∴， 故答案为：3． 三、解答题 11．如图，已知在平面内市政府所在位置的坐标为，文化宫所在位置的坐标为， (1)请你根据题目条件，画出平面直角坐标系； (2)写出体育馆、火车站所在位置的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)体育馆，火车站 【分析】本题考查了平面直角坐标系，解题的关键是掌握确定平面直角坐标系的方法． （1）根据市政府所在位置的坐标和文化宫所在位置的坐标，先确定原点，即可画出平面直角坐标系； （2）根据（1）中画出的平面直角坐标系，即可写出体育馆和火车站的坐标． 【详解】（1）解∶平面直角坐标系如图所示． （2）解：由图可知：体育馆，火车站． 12．如图，在平面直角坐标系中完成以下问题： (1)描出点，并顺次连接点； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】主要考查了点的坐标的意义以及与图形相结合的具体运用． （1）根据平面直角坐标系找出点A、B、C、D的位置，然后顺次连接即可； （2）直接由底乘高计算即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：边上的高为3， 四边形的面积． 13．已知平面直角坐标系中有一点． (1)若点到轴的距离为，求点的坐标； (2)若点坐标为，且轴，求点的坐标． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据题意可知的绝对值等于，从而可以得到的值，进而得到点的坐标； （2）根据题意可知点的纵坐标等于点的纵坐标，从而可以得到的值，进而得到点的坐标． 【详解】（1）解：∵点到轴的距离为， ∴， 解得：或， 当时，点的坐标为， 当时，点的坐标为， ∴点的坐标为或； （2）∵点，点且轴， 又∵点位于第四象限， ∴点，点都在轴下方，且到轴的距离相等， ∴， 解得：， ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查点的坐标，点到坐标轴的距离．解题的关键是明确题意，建立关于的方程并求解． 14．适当强度的运动有益身体健康，小圣为了保持身体健康，坚持每天适当运动．某次运动中，小圣的心率P与运动时间t之间的变化关系如图所示，根据图象回答问题： (1)图中点M表示的实际意义是小圣运动时间在第40分钟时，心率为_____次/分． (2)小圣通过查阅资料了解到：对于青少年，心率控制在120次/分～175次/分之间能达到最佳的运动效果．问：本次运动中达到最佳运动效果的时间约持续了多久？ 【答案】(1)160 (2)本次运动中达到最佳运动效果的时间约持续了40分钟 【分析】本题考查了从函数图像获取信息等知识点，正确从函数图像获取信息是解答本题的关键． （1）根据图象点M坐标求解即可； （2）根据图象找出心率达120次/分开始和结束时间点，即可求解． 【详解】（1）图中点M表示的实际意义是当运动时间为40分时，心率为160次/分； （2）∵心率控制在120次/分～175次/分之间能达到最佳的运动效果 ∴由图象可得，当运动10分钟时，心率达到120次/分； 当第50分钟后时，当心率低于120次/分； ∴分钟 ∴本次运动中达到最佳运动效果的时间约持续40分钟． 15．如图是某市一天的气温变化图，在这一天中，气温随着时间变化而变化，请观察图象，回答下列问题：    (1)在这一天中，（凌晨0时到深夜24时均在内）气温在什么时候达到最高，最高温度是多少摄氏度？ (2)什么时间气温达到最低？ (3)上午10时，下午20时的气温各为多少摄氏度？ (4)如果某旅行团这天想去爬山，登山的气温最好在18℃以上，请问该旅行团适宜登山的时间从几点开始，共有多长时间适宜登山？ 【答案】(1)下午14时达到最高，最高温为22℃ (2)深夜24时气温达到最低，最低温度约10℃ (3)上午10时气温20℃，下午20时气温为12℃ (4)从上午8时30分开始到18时结束，共有9.5小时适宜登山 【分析】根据函数图象即可求解． 【详解】（1）在这一天中，（凌晨0时到深夜24时均在内），下午14时达到最高，最高温为22℃； （2）深夜24时气温达到最低，最低温度约10℃； （3）上午10时气温20℃，下午20时气温为12℃ （4）从上午8时30分开始18时结束，共有9.5小时适宜登山． 能力提升 一、单选题 1．平面直角坐标系中点到轴的距离是（   ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标，熟记点到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．根据点到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答． 【详解】解：点到轴的距离是， 故选：A． 2．点在第一象限，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了象限中点的坐标特征和一元一次不等式组的解法，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．根据第一象限内点的坐标符号可得，再解不等式组即可． 【详解】解：∵点在第一象限， ∴， 解得：， 故选：B． 3．用大小完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图所示图案，已知，则B点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的综合运用．结合点的坐标与观察图形可以发现，图形中存在两个数量关系．即从竖直方向看和从水平方向看，列出方程组，从而求出长方形的长与宽．又通过图形可以发现，关于点B，两个长方形的长，一个长方形的长一个长方形的宽，从而求出点B的坐标． 【详解】解：设长方形的长为，宽为， 则， 解得， 则，； 点在第二象限， ， 故选：D． 4．中国象棋文化历史久远．某校开展了以“纵横之间有智慧攻防转换有乐趣”为主题的中国象棋文化节，如图所示是某次对弈的残局图，如果建立平面直角坐标系，使“帅”位于点，“马”位于点，那么“兵”在同一坐标系下的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标的实际应用，根据“帅”和“马”的坐标建立正确的坐标系即可得到答案． 【详解】解：由题意可建立如下平面直角坐标系， ∴“兵”的坐标是， 故选C． 5．函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查函数自变量有意义的条件，根据分式的分母不为零，二次根式的被开方数为非负数解题即可． 【详解】解：由题可得：，， 解得：且， 故选：D． 6．如图，曲线表示一只风筝离地面的高度随飞行时间变化而变化的情况，则下列说法错误的是（    ） A．风筝最初的高度为 B．时风筝的高度和时风筝的高度相同 C．时风筝的高度最高，为 D．到之间，风筝的高度持续上升 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象，根据函数图象逐项判断即可得． 【详解】解：根据函数图象逐项判断如下： A、风筝最初的高度为，正确，不符合题意； B、时风筝的高度和时风筝的高度相同，均为，正确，不符合题意； C、时风筝达到最高高度为，正确，不符合题意； D、到之间，风筝飞行高度先上升后下降，故原说法错误，符合题意； 故选：D． 二、填空题 7．点关于y轴的对称点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答． 【详解】解：点关于y轴的对称点坐标是， 故答案为：． 8．已知点与点关于y轴对称，则 ． 【答案】4 【分析】关于y轴对称的点纵坐标相同，横坐标互为相反数代入求解即可得到答案， 本题考查关于y轴对称的点坐标，解题的关键是：熟练掌握关于y轴对称的点坐标． 【详解】解：∵点与点关于y轴对称， ∴，，即：， ∴， 故答案为：4． 9．年哈尔滨亚洲冬季运动会，是继年北京冬奥会后中国举办的又一重大国际综合性冰雪盛会，将于年月日在哈尔滨市举行．如图，将本次运动会的会徽放入正方形网格中，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用坐标确定位置．先根据，两点的坐标建立好坐标系，即可确定点的坐标． 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴建立坐标系如下： ∴点的坐标为． 故答案为： 10．如图，点在平面直角坐标系中，对其进行轴对称和平移运动：点A关于y轴的对称点为，点关于x轴的对称点为，点向右平移3个单位长度得到点，点向上平移3个单位长度得到点，点关于y轴的对称点为，点关于x轴的对称点为，点向右平移5个单位长度得到点，点向上平移5个单位长度得到点，…，以此规律，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标系中点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图像规律，找到横纵坐标变化规律，从而得到点的规律． 根据图形，得到，每四次一个循环，每次循环的平移规则为向右，向上均平移个单位，进而求出点的坐标即可． 【详解】解：由图可知：，， ， ∴， 从到的平移为：向上平移3个单位长度， 从到的平移为：向上平移5个单位长度， 依次类推， 从到的平移为：向上平移个单位长度， ∵， ∴的坐标为， ∴向上平移个单位长度，得到， ∴，即：； 故答案为：． 三、解答题 11．已知点． (1)若P点在第二象限，求m的取值范围． (2)点P在过点，且与x轴平行的直线上，求P点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平面直角坐标内点的坐标， 对于（1），根据第二象限内的点，横坐标小于0，纵坐标大于0，列出不等式组，解之即可； 对于（2），令纵坐标为，求得m的值，代入点P的坐标即可求解． 【详解】（1）解：∵P点在第二象限， ∴，     解得：； （2）令， 解得， ∴， ∴． 12．如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、． (1)在平面直角坐标系中画出； (2)点C到x轴的距离为 ，到y轴的距离为 ． 【答案】(1)见解析 (2)3；4 【分析】本题考查了在平面直角坐标系中描点，求点到坐标轴的距离，解题的关键是数形结合． （1）先描点，再依次连接即可； （2）根据点求出点C到x轴的距离，到y轴的距离即可． 【详解】（1）解：即为所求作的三角形，如图所示： （2）解：∵， ∴点C到x轴的距离为3，到y轴的距离为4． 13．平面直角坐标系是数轴的拓展，是沟通几何与代数的桥梁．为发展几何直观，感悟数形结合的思想，数学社团的同学们对校园进行了实地调查，作出了如下平面示意图．已知旗杆的位置是，实验楼的位置是． (1)根据所给条件在图中建立适当的平面直角坐标系； (2)用坐标表示位置：食堂是 ，大门是 ； (3)已知体育馆的位置是，教学楼的位置是，在图中标出体育馆和教学楼的位置； (4)若1个单位长度表示，则从大门到图书馆的最短距离为 ． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)见解析 (4) 【分析】本题主要考查坐标表示地理位置，平面直角坐标系的特点， （1）根据旗杆的位置是，实验室的位置是即可确定平面直角坐标系； （2）根据平面直角坐标系即可求解； （3）根据坐标表示地理位置的方法即可求解； （4）根据平面直角坐标系的特点，确定宿舍楼与教学楼之间有几个单位长度，由此即可求解． 【详解】（1）解：已知旗杆的位置是，实验室的位置是， ∴建立平面直角坐标系如图所示， （2）解：根据（1）中的平面直角坐标系可得，食堂，大门， 故答案为：，； （3）解：体育馆的位置是，教学楼的位置是，如图所示，； （4）解：根据（1）中的平面直角坐标系可得，图书馆的位置为，大门的位置为， ∵1个单位长度表示， ∴从大门到图书馆的最短距离为， 故答案为：． 14．探索计算：弹簧挂上物体后会伸长．已知一弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 6 7 弹簧的长度 12 13 14 15 (1)该表格反映了两个变量之间的关系，自变量是______，因变量是______ (2)在弹性限度内如果所挂物体的质量为，弹簧的长度为，根据上表写出y与x的关系式． (3)如果弹簧的最大长度为，那么该弹簧最多能挂质量为多少的物体？ 【答案】(1)所挂物体的质量；弹簧的长度 (2) (3) 【分析】本题主要考查了函数的概念，求函数关系式和自变量的值： （1）根据弹簧的长度随着所挂物体的质量增加而增长即可得到答案； （2）观察表格可知，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度就增长，据此列出对应的关系式即可； （3）根据（2）所求求出当时，的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，弹簧的长度随着所挂物体的质量增加而增长， ∴自变量是所挂物体的质量，因变量是弹簧的长度， 故答案为：所挂物体的质量；弹簧的长度； （2）解：观察表格可知，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度就增长， ∴； （3）解：当，， ∴该弹簧最多能挂质量为的物体． 15．如图，在中，，，．点是中点，动点，分别以每秒1个单位长度的速度同时运动，点从点出发，沿折线运动，到达点时停止运动．点从点出发．泊直线运动．到达点时停止运动，设点，点的运动时间为秒，点P，Q之间的距离为． (1)请直接写出y与x之间的函数表达式并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质； (3)若一次函数的图象与y的图象有两个交点，则k的取值范围为______． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题是一次函数的综合题，考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，待定系数法求函数的解析式． （1）根据直角三角形的性质得到，，推出是等边三角形，得到，当时，如题干图，由题意得，，，根据等边三角形的性质得到，当时，求得，于是得到结论； （2）根据题意作出函数的图象即可，然后根据函数的图象写出函数的性质； （3）过定点，再求出过两个端点和时的值，最后根据函数图象求解即可． 【详解】（1）解：，，， ，， 点是中点， ， ∴是等边三角形， ，, 当时，如图， 由题意得，， ∴，， ∴是等边三角形， 则， 当时，此时，， 则， 则； （2）解：由函数表达式画出函数图象如下： 从图象看，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大（答案不唯一）； （3）解：把代入得，，解得； 把代入得，，解得； 把代入得，，解得； ∵， ∴过定点， ∵一次函数的图象与y的图象有两个交点， ∴结合图形可得． $$第三章 函数 第09讲 平面直角坐标系与函数初步（4~10分） （思维导图+5考点+2命题点6种题型） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 有序数对与坐标 考点二 由坐标的位置求参数 考点三 坐标的简单应用 考点四 函数 考点五 自变量取值范围 04题型精研·考向洞悉 命题点一 平面直角坐标系 ►题型01 平移变换 ►题型02 轴对称变换 ►题型03 旋转变换 ►题型04 规律性问题 命题点二 函数初步 ►题型01 从图像获取信息 ►题型02 几何动点与函数图像 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次（地区版加） 命题预测 平面直角坐标系 · 理解平面直角坐标系的有关概念，能画出平面直角坐标系. 2024省卷8题， 该专题内容是初中代数最重要的部分，是代数的基础，非常重要，年年都会考查，分值为10分左右.预计2025年各地中考还将出现，在选择、填空题中出现的可能性较大． 点的坐标 特征与变换 · 在给定的平面直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置，由点的位置写出坐标. · 对给定的正方形，会选择合适的平面直角坐标系，写出它的顶点坐标，体会可以用坐标表达简单图形. · 在平面直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，知道对应顶点坐标之间的关系. · 在平面直角坐标系中，能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移一定距离后图形的顶点坐标，知道对应顶点坐标之间的关系. 坐标方法的简单应用 · 在实际问题中，能建立适当的平面直角坐标系，描述物体的位置. · 在平面上，运用方位角和距离刻画两个物体的相对位置. 函数 · 探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义;了解函数的概念和表示法，能举出函数的实例; · 能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析; · 能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值; · 能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系理解函数值的意义; · 结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论. 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 1. 有序数对（a，b）与（b，a）顺序不同，含义也不同. 2. 坐标轴上的点不属于任何象限. 3. 坐标平面内点的坐标是有序实数对，当a≠b时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标. 4. 坐标平面内的点可以用有序实数对来表示，反过来每一个有序实数对应着坐标平面内的一个点，即坐标平面内的点和有序实数对是一一对应的关系. 考点一 有序数对与坐标 有序数对概念：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a ，b）. 点的坐标 对于坐标轴内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应 的数a、b分别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序数对A(a，b)叫做点A的坐标，记作 A(a，b). 【例1】．（2022·山东日照·一模）下列表述中能确定准确位置的是（    ） A．教室从左到右第3列 B．文博演出中心第10排 C．北偏东 D．东经，北纬 【变式1-1】．（2021·山东德州·二模）若点P在第二象限，且到x轴的距离是3，到y轴的距离是1，点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】．（2023·山东淄博·二模）如图，将一片枫叶固定在正方形网格中，若点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】．（2023·山东枣庄·一模）在平面直角坐标系的第二象限内有一点，点到轴的距离为3，到轴的距离为4，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 考点二 由坐标的位置求参数 点P(x，y)的位置 在象限内 第一象限 x＞0，y＞0 第二象限 x＜0，y＞0 第三象限 x＜0，y＜0 第四象限 x＞0，y＜0 坐标轴上 x轴 y=0  y轴 x=0  原点 x=y=0  在角平分线上 第一、三象限 x=y 第二、四象限 x= -y 在平行坐标轴的直线上 平行x轴 所有点的 纵 坐标相等 平行y轴 所有点的 横 坐标相等 【例2】．（2023·山东日照·中考真题）若点在第四象限，则m的取值范围是 ． 【变式2-1】．（2022·山东济宁·二模）已知点P（3－m，m－1）在第二象限，则m的取值范围是 ． 【变式2-2】．（2022·山东德州·二模）在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则整数m的值为 ． 【变式2-3】．（2021·山东淄博·二模）已知点P（x＋2，2x－3）在y轴上，则x＝ ． 考点三 坐标的简单应用 用坐标表示地理位置的方法 1）选择一个适当的参照点为原点建立直角坐标系，并确定x轴、y轴的正方向； 2）根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出长度单位； 3）坐标平面内画出这些点，并写出各点的坐标和各个地点的名称. 【例3】．（2024·山东德州·二模）“在生活的舞台上，我们都是不屈不挠的拳击手，面对无尽的挑战，挥洒汗水，拼搏向前！”今年的春节档《热辣滚烫》展现了角色坚韧不拔的精神面貌，小明、小华、小亮三人也观看了此电影．如图是利用平面直角坐标系画出的影院内分布图，若分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，建立平面直角坐标系，他们是这样描述自己的座位： ①小明：表示我座位的坐标为； ②小华：在小明的座位向右走4个座位，再向上走2个座位，就可以找到我了； ③小亮：小旗帜所在的位置就是我的座位了． 则小亮座位的坐标为 ． 【变式3-1】．（2022·山东滨州·二模）如图，若在象棋棋盘上建立直角坐标系，使“帥”位于点，“炮”位于点，则“兵”位于的点的坐标为 ．    【变式3-2】．（2023·山东枣庄·一模）如图是一盘中国象棋残局的一部分，以“帅”为原点建立坐标系，知道“兵”所在位置的坐标是（2，3），则“炮”所在位置的坐标是 . 【变式3-3】．（2021·山东淄博·二模）如图，小黔与小红在玩“五子棋”；小黔是黑子，他把第四子下在棋盘坐标的上，则小红下的白色第三子的棋盘坐标是 ． 考点四 函数 一、函数的相关概念： 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量. 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量. 函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数. 函数值概念：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值. 函数解析式：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式. 函数图像上点的坐标与解析式之间的关系： 1）将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在. 2）两个函数图形交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解. 二、函数的三种表示法及其优缺点 解析法：两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法. 列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法. 图像法：用图像表示函数关系的方法叫做图像法. 优点 缺点 解析法 准确反映整个变化过程中自变量与函数的关系 求对应值是要经过比较复杂的计算，而且实 际问题中有的函数值不一定能用解析式表示 列表法 自变量和与它对应的函数值数据一目了然 所列对应数值个数有限，不容易看出自变量 与函数值的对应关系，有局限性 图像法 形象的把自变量和函数值的关系表示出来 图像中只能得到近似的数量关系 【例4】．（2024·山东滨州·二模）已知函数经过点且y随x增大而减小，请写出一个满足上述条件的函数关系式： ． 【变式4-1】．（2023·山东德州·二模）请写出一个图象经过点的函数的关系式 ． 【变式4-2】．（2021·山东济宁·中考真题）已知一组数据0，1，，3，6的平均数是，则关于的函数解析式是 ． 【变式4-3】．（2023·山东济宁·一模）请写出一个过点（1，1），且与x轴无交点的函数表达式 ． 考点五 自变量取值范围 自变量的取值范围：使函数有意义的自变量的全体取值，叫做自变量的取值范围. 确定自变量取值范围的方法： 1）函数解析式为整式时，字母取值范围为全体实数； 2）函数解析式含有分式时，分式的分母不能为零； 3）函数解析式含有二次根式时，被开方数大于等于零； 4）函数解析式中含有指数为零的式子时，底数不能为零； 5）实际问题中函数取值范围要和实际情况相符合，使之有意义. 【例5】．（2021·山东枣庄·二模）函数 中自变量x的取值范围是 ． 【变式5-1】．（2023·山东青岛·三模）函数的自变量的取值范围为 【变式5-2】．（2024·山东菏泽·三模）在函数中，自变量x的取值范围是 ． 【变式5-3】．（2022·山东烟台·二模）函数中自变量x的取值范围是 ． 1. 解决与点坐标变化有关的规律问题一般方法： （1)若点的坐标在坐标轴上或象限内循环(周期)变化时，先求出第一个循环周期内相关点的坐标，然后找出所求点经过循环后位于第一个循环周期内的哪个位置，从而求出坐标； （2)点的坐标是成倍递推变化时，先求出前几个点的坐标，然后归纳出后一个点坐标与前一个点坐标之间存在的规律． 2. 解决与点坐标变化有关的规律问题的注意事项： （1）求什么找什么的规律； （2）变化规律最好用算式而不是得数表示； （3）找算式中数字与序号间的变化规律； （4）找坐标的变化规律，分两步进行：先找位置规律再找数字规律（点的坐标题型首先用这一条）. 04题型精研·考向洞悉 命题点一 平面直角坐标系 ►题型01 平移变换 【例1】．（2024·山东淄博·中考真题）如图，已知，两点的坐标分别为，，将线段平移得到线段．若点的对应点是，则点的对应点的坐标是 ． 【变式1-1】．（2024·山东潍坊·二模）如图，等边的边长为6，以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，点 B 在第二象限，将沿x轴正方向平移得到，与交于点C，若，则的坐标为 ． 【变式1-2】．（2022·山东淄博·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．若将平移后得到，点A的对应点C的坐标是，则点B的对应点D的坐标是 ． 【变式1-3】．（2022·山东青岛·二模）在平面直角坐标系中，把点向右平移5个单位得到点，则点的坐标为 ． ►题型02 轴对称变换 【例2】．（2024·山东枣庄·二模）在直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标是 ． 【变式2-1】．（2023·山东德州·二模）若点与点关于x轴对称，则 ． 【变式2-2】．（2023·山东德州·一模）已知点A的坐标为（-1，2），则点A关于x轴对称点的坐标是 ． 【变式2-3】．（2023·山东烟台·二模）若点和点关于y轴对称，则点在第 象限． ►题型03 旋转变换 【例3】．（2022·山东德州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，，点的坐标为，，线段绕点旋转一定的角度后与线段重合，均为格点，则旋转中心点的坐标为 ．    【变式3-1】．（2021·山东枣庄·二模）在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的顶点在格点上，若是由绕点P按逆时针方向旋转得到，且各顶点仍在格点上，则旋转中心P的坐标是 ．    【变式3-2】．（2021·山东泰安·二模）在直角坐标系中等腰直角三角形在如图所示的位置，点的横坐标为2，将绕点按逆时针方向旋转，得到△，则点的坐标为 ． 【变式3-3】．（2022·山东潍坊·一模）如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（﹣6，0），C（0，2）．将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转，使点A恰好落在OB上的点A1处，则点B的对应点B1的坐标为 ． ►题型04 规律性问题 【例4】．（2023·山东泰安·中考真题）已知，都是边长为2的等边三角形，按下图所示摆放．点都在x轴正半轴上，且，则点的坐标是 ．      【变式4-1】．（2023·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线l：与x轴交于点，以为边作正方形点在y轴上，延长交直线l于点，以为边作正方形，点在y轴上，以同样的方式依次作正方形，…，正方形，则点的横坐标是 ．    【变式4-2】．（2021·山东潍坊·中考真题）在直角坐标系中，点A1从原点出发，沿如图所示的方向运动，到达位置的坐标依次为：A2（1，0），A3（1，1），A4（﹣1，1），A5（﹣1，﹣1），A6（2，﹣1），A7（2，2），…．若到达终点An（506，﹣505），则n的值为 ． 【变式4-3】．（2021·山东泰安·中考真题）如图，点在直线上，点的横坐标为2，过点作，交x轴于点，以为边，向右作正方形，延长交x轴于点；以为边，向右作正方形，延长交x轴于点；以为边，向右作正方形，延长的交x轴于点；…；按照这个规律进行下去，则第n个正方形的边长为 （结果用含正整数n的代数式表示）． 命题点二 函数初步 ►题型01 从图像获取信息 【例1】．（2024·山东潍坊·中考真题）中国中医科学院教授屠呦呦因其在青蒿素抗疟方面的研究获2015年诺贝尔生理学或医学奖．某科研小组用石油醚做溶剂进行提取青蒿素的实验，控制其他实验条件不变，分别研究提取时间和提取温度对青蒿素提取率的影响，其结果如图所示： 由图可知，最佳的提取时间和提取温度分别为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】．（2022·山东潍坊·中考真题）地球周围的大气层阻挡了紫外线和宇宙射线对地球生命的伤害，同时产生一定的大气压，海拔不同，大气压不同，观察图中数据，你发现，正确的是（    ） A．海拔越高，大气压越大 B．图中曲线是反比例函数的图象 C．海拔为4千米时，大气压约为70千帕 D．图中曲线表达了大气压和海拔两个量之间的变化关系 【变式1-2】．（2021·山东临沂·中考真题）实验证实，放射性物质在放出射线后，质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢，实际上，物质所剩的质量与时间成某种函数关系．下图为表示镭的放射规律的函数图像，据此可计算32mg镭缩减为1mg所用的时间大约是（   ） A．4860年 B．6480年 C．8100年 D．9720年 【变式1-3】．（2024·山东临沂·二模）如图，关于的函数的图象与轴有且仅有三个交点，分别是，，，对此，小华认为：①当时，；②当时，有最小值；③点在函数的图象上，符合要求的点只有1个；④将函数的图象向右平移1个或3个单位长度经过原点．其中正确的结论有（   ） A．①②③ B．②③④ C．②④ D．③④ ►题型02 几何动点与函数图像 【例2】．（2021·山东聊城·中考真题）如图，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB与CD之间的距离为4，AD＝5，CD＝3，∠ABC＝45°，点P，Q同时由A点出发，分别沿边AB，折线ADCB向终点B方向移动，在移动过程中始终保持PQ⊥AB，已知点P的移动速度为每秒1个单位长度，设点P的移动时间为x秒，△APQ的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】．（2022·山东潍坊·中考真题）如图，在▱ABCD中，∠A=60°，AB=2，AD=1，点E，F在▱ABCD的边上，从点A同时出发，分别沿A→B→C和A→D→C的方向以每秒1个单位长度的速度运动，到达点C时停止，线段EF扫过区域的面积记为y，运动时间记为x，能大致反映y与x之间函数关系的图象是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】．（2022·山东菏泽·中考真题）如图，等腰与矩形DEFG在同一水平线上，，现将等腰沿箭头所指方向水平平移，平移距离x是自点C到达DE之时开始计算，至AB离开GF为止．等腰与矩形DEFG的重合部分面积记为y，则能大致反映y与x的函数关系的图象为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】．（2023·山东烟台·中考真题）如图1，在中，动点从点出发沿折线匀速运动至点后停止．设点的运动路程为，线段的长度为，图2是与的函数关系的大致图象，其中点为曲线的最低点，则的高的长为 ．      05分层训练·巩固提升 基础巩固 一、单选题 1．下列各图象中，是的函数的是（   ） A． B． C． D． 2．若点在y轴上，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．老师在黑板上写了四个点，，，，，嘉淇将这些点描在平面直角坐标系中如图所示，其中所描位置有错误的是（　　） A．点M B．点N C．点P D．点Q 4．在平面直角坐标系内有一点P，若点P位于第四象限，并且点P到x轴和y轴的距离分别为5，4，则点P的坐标是（   ） A． B． C． D． 5．在函数中，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，，，，根据这个规律，探究可得点的坐标是（   ）． A． B． C． D． 二、填空题 7．若点，则点P到y轴的距离为 ． 8．如记录了某地一月份某天的温度随时间变化的情况，根据图象可知，在这一天中，时和 的温度是．    9．如图，货船A与港口B相距海里，我们用有序数对（南偏西，海里）来描述港口B相对货船A的位置，那么货船A相对港口B的位置可描述为 ．    10．已知过点，两点的直线平行于x轴，则a的值为 ． 三、解答题 11．如图，已知在平面内市政府所在位置的坐标为，文化宫所在位置的坐标为， (1)请你根据题目条件，画出平面直角坐标系； (2)写出体育馆、火车站所在位置的坐标． 12．如图，在平面直角坐标系中完成以下问题： (1)描出点，并顺次连接点； (2)求四边形的面积． 13．已知平面直角坐标系中有一点． (1)若点到轴的距离为，求点的坐标； (2)若点坐标为，且轴，求点的坐标． 14．适当强度的运动有益身体健康，小圣为了保持身体健康，坚持每天适当运动．某次运动中，小圣的心率P与运动时间t之间的变化关系如图所示，根据图象回答问题： (1)图中点M表示的实际意义是小圣运动时间在第40分钟时，心率为_____次/分． (2)小圣通过查阅资料了解到：对于青少年，心率控制在120次/分～175次/分之间能达到最佳的运动效果．问：本次运动中达到最佳运动效果的时间约持续了多久？ 15．如图是某市一天的气温变化图，在这一天中，气温随着时间变化而变化，请观察图象，回答下列问题：    (1)在这一天中，（凌晨0时到深夜24时均在内）气温在什么时候达到最高，最高温度是多少摄氏度？ (2)什么时间气温达到最低？ (3)上午10时，下午20时的气温各为多少摄氏度？ (4)如果某旅行团这天想去爬山，登山的气温最好在18℃以上，请问该旅行团适宜登山的时间从几点开始，共有多长时间适宜登山？ 能力提升 一、单选题 1．平面直角坐标系中点到轴的距离是（   ） A．3 B．4 C．5 D．7 2．点在第一象限，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．用大小完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图所示图案，已知，则B点的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．中国象棋文化历史久远．某校开展了以“纵横之间有智慧攻防转换有乐趣”为主题的中国象棋文化节，如图所示是某次对弈的残局图，如果建立平面直角坐标系，使“帅”位于点，“马”位于点，那么“兵”在同一坐标系下的坐标是（   ） A． B． C． D． 5．函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 6．如图，曲线表示一只风筝离地面的高度随飞行时间变化而变化的情况，则下列说法错误的是（    ） A．风筝最初的高度为 B．时风筝的高度和时风筝的高度相同 C．时风筝的高度最高，为 D．到之间，风筝的高度持续上升 二、填空题 7．点关于y轴的对称点坐标是 ． 8．已知点与点关于y轴对称，则 ． 9．年哈尔滨亚洲冬季运动会，是继年北京冬奥会后中国举办的又一重大国际综合性冰雪盛会，将于年月日在哈尔滨市举行．如图，将本次运动会的会徽放入正方形网格中，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为 ． 10．如图，点在平面直角坐标系中，对其进行轴对称和平移运动：点A关于y轴的对称点为，点关于x轴的对称点为，点向右平移3个单位长度得到点，点向上平移3个单位长度得到点，点关于y轴的对称点为，点关于x轴的对称点为，点向右平移5个单位长度得到点，点向上平移5个单位长度得到点，…，以此规律，点的坐标为 ． 三、解答题 11．已知点． (1)若P点在第二象限，求m的取值范围． (2)点P在过点，且与x轴平行的直线上，求P点的坐标． 12．如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、． (1)在平面直角坐标系中画出； (2)点C到x轴的距离为 ，到y轴的距离为 ． 13．平面直角坐标系是数轴的拓展，是沟通几何与代数的桥梁．为发展几何直观，感悟数形结合的思想，数学社团的同学们对校园进行了实地调查，作出了如下平面示意图．已知旗杆的位置是，实验楼的位置是． (1)根据所给条件在图中建立适当的平面直角坐标系； (2)用坐标表示位置：食堂是 ，大门是 ； (3)已知体育馆的位置是，教学楼的位置是，在图中标出体育馆和教学楼的位置； (4)若1个单位长度表示，则从大门到图书馆的最短距离为 ． 14．探索计算：弹簧挂上物体后会伸长．已知一弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 6 7 弹簧的长度 12 13 14 15 (1)该表格反映了两个变量之间的关系，自变量是______，因变量是______ (2)在弹性限度内如果所挂物体的质量为，弹簧的长度为，根据上表写出y与x的关系式． (3)如果弹簧的最大长度为，那么该弹簧最多能挂质量为多少的物体？ 15．如图，在中，，，．点是中点，动点，分别以每秒1个单位长度的速度同时运动，点从点出发，沿折线运动，到达点时停止运动．点从点出发．泊直线运动．到达点时停止运动，设点，点的运动时间为秒，点P，Q之间的距离为． (1)请直接写出y与x之间的函数表达式并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质； (3)若一次函数的图象与y的图象有两个交点，则k的取值范围为______． $$