第15讲 图形的平移（4大知识点+12大考点）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（北师大版）

第15讲 图形的平移 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．通过具体实例认识平面图形的平移，探索它的基本性质，会进行简单的平移画图. 2.在直角坐标系中，能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移后图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系. 知识点1 图形的平移 1.平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移. 如图3 - 1,△ABC经过平移得到△DEF, 点 A,B,C 分别平移到了点 D,E,F.点A与点D是一组对应点，线段AB与线段DE 是一组对应线段，∠BAC 与 ∠EDF是一组对应角. 思考：你还能从图3- 1中找出其他的对应点、 对应线段和对应角吗? 要点：（1）图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离． （2）图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置. 知识点2 平移的性质 平移的性质： 图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离，平移不改变线段、角的大小，具体来说： （1）平移后，对应线段平行（或在一条直线上）且相等； （2）平移后，对应角相等； （3）平移后，对应点所连线段平行（或在一条直线上）且相等； （4）平移后，新图形与原图形的形状与大小不变. 要点：（1）“连接各组对应点的线段”的线段的长度实际上就是平移的距离． （2）要注意“连接各组对应点的线段”与“对应线段”的区别，前者是通过连接平移前后的对应点得到的，而后者是原来的图形与平移后的图形上本身存在的. 知识点3 平移作图 平移作图是平移基本性质的应用，在具体作图时，应抓住作图的“四步曲”－定、找、移、连． (1)定：确定平移的方向和距离； (2)找：找出表示图形的关键点； (3)移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点； (4)连：按原图形顺次连接对应点． 知识点4 平移有关的坐标变换 设(x,y)是原图形上的一点，当它沿x轴方向平移a个单位长度(a>0)、沿y轴方向平移b个单位长度(b>0)后，这个点与其对应点的坐标之间有如下关系： 考点一:判断生活中的平移现象 例1．如图是运动员冰面上表演的图案，下列四个选项中，能由原图通过平移得到的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查学生对平移和旋转的认识，知道平移和旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小．平移是物体运动时，物体上任意两点间，从一点到另一点的方向与距离都不变的运动．旋转是物体运动时，每一个点离同一个点（可以在物体外）的距离不变的运动，称为绕这个点的转动，这个点称为物体的转动中心．所以，它并不一定是绕某个轴的．然后根据平移与旋转定义判断即可． 【解析】解：列四个图案中，可以通过右图平移得到的是：    故选：C． 【变式1-1】．下列运动属于平移的是（    ） A．飞机在地面上沿直线滑行 B．在游乐场里荡秋千 C．推开教室的门 D．风筝在空中随风飘动 【答案】A 【分析】本题考查了生活中的平移现象，在平面内，把一个图形整体沿某一直线的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移． 根据平移的概念逐项判断即可． 【解析】解：A、飞机在地面上沿直线滑行，属于平移变换，符合题意； B、在游乐场里荡秋千，属于旋转变换，不符合题意； C、推开教室的门，属于旋转变换，不符合题意； D、风筝在空中随风飘动，不属于平移，不符合题意； 故选：A． 【变式1-2】．小明读了“子非鱼，安知鱼之乐？”后，兴高采烈地利用电脑画出了几幅鱼的图案．下列选项中的图形，可以通过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是生活中的平移现象，熟知图形平移变换、旋转、翻折变换的性质是解答此题的关键． 根据图形平移的性质和旋转、翻折的性质对各选项进行逐一分析即可． 【解析】解：A、由图中所示的图案通过平移而成，故本选项正确，符合题意； B、由图中所示的图案通过旋转而成，故本选项错误，不符合题意； C、由图中所示的图案通过翻折而成，故本选项错误，不符合题意； D、由图中所示的图案通过旋转而成，故本选项错误，不符合题意； 故选：A． 【变式1-3】．“写堂堂正正中国字，做堂堂正正中国人”，中国的汉字中有些也具有平移现象，下列汉字中可以看成由平移构成的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查生活中的平移，根据平移的性质，进行判断即可． 【解析】解：根据题意， 可得：“朋”可以通过平移得到． 故选：B． 考点二:图形的平移及有关概念 例2．如图，将△ABC沿BC所在的直线平移得到△A′B′C′，则∠C′的对应角为 ，AC的对应边为 ． 【答案】 ∠ACB； A′C′ 【分析】根据平移的性质可直接得出结果． 【解析】解：∵△ABC沿BC所在的直线平移得到△A′B′C′ ∴△ABC≅△A′B′C′， ∴∠C′的对应角为∠ACB，AC的对应边为A′C′， 故答案为：①∠ACB；②A′C′． 【点睛】题目主要考查平移的性质及全等三角形的性质，理解平移的性质是解题关键． 【变式2-1】．如图，沿着边所在的直线向右平移到，则点的对应点是点 ，点的对应点是点 ，线段的对应线段是线段 ，线段的对应线段是线段 ，平移的方向就是点到点 的方向，平移的距离就是线段 的长度. 【答案】 （或） 【分析】根据平移前后能够重合的点是对应点、重合的边是对应边，即可确定对应点和对线段；图形平移的方向和点平移的方向相同，平移距离就是对应点平移前后的距离. 【解析】解：由平移的定义可知，的对应点是点D，点的对应点是点E，线段的对应线段是线段DF，线段的对应线段是线段EF; 由图形的平移方向和点平移的方向相同，可知平移的方向就是点到点D的方向,平移线段就是B或C平移前后形成的线段即：（或）. 故答案为；；；； ；（或）. 【点睛】本题考查了平移的定义和性质，①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；②新图形中的各点，都是由愿图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，连接各组对应点的线段平行且相等. 【变式2-2】．观察如图中的正六边形ABCDEF，线段AB平移后能得到的线段是 ，EF是线段 平移得到的. 【答案】 ED CB 【分析】根据平移的性质，结合图形，可以直接得出答案． 【解析】解：根据平移的性质可知，线段AB平移后能得到的线段是ED，EF是线段CB平移得到的. 故答案是：ED；CB. 【点睛】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等． 【变式2-3】．如图：六边形ABCDEF由6个相同的等边三角形组成，下列图形中可由△OBC平移得到的是 【答案】△ODE和△OAF 【分析】根据平移的性质，结合图形，对图中的三角形进行分析，求得正确答案． 【解析】△COD方向发生了变化，不属于平移得到； △EOD形状和大小没有变化，属于平移得到； △EOF方向发生了变化，不属于平移得到； △FAO形状和大小没有变化，属于平移得到； △ABO方向发生了变化，不属于平移得到． ∴可以由△OBC平移得到的是△ODE，△OAF． 故答案为△ODE和△OAF． 【点睛】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转，而导致出错． 考点三:求平移的距离 例3．如图，将周长为17cm的△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置，平移后得到一个四边形ABFD的周长为25cm，则平移的距离为 cm． 【答案】4 【分析】根据四边形ABED是平行四边形得出，再根据，即可通过四边形ABFD的周长得到关于AD的方程，解方程即可得到答案． 【解析】设四边形ABFD的周长为 得 ∵根据平移的性质得AB=DE，且AB//DE ∴四边形ABED是平行四边形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 故答案为：4． 【点睛】本题考查图形平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移的相关知识． 【变式3-1】．在边长为1的正方形网格中，右边的“小鱼”图案是由左边的图案经过一次平移得到的，则平移的距离是 ．    【答案】6 【分析】确定一组对应点，从而确定平移距离． 【解析】解：如图，点是一组对应点，，所以平移距离为6； 故答案为：6    【点睛】本题考查图形平移；确定对应点从而确定平移距离是解题的关键． 【变式3-2】．如图，经过平移得到，连接，若cm，则点A与点A'之间的距离为 cm． 【答案】 【分析】利用平移的性质解题即可． 【解析】解：∵经过平移得到， cm, ∴cm, 故答案为：． 【点睛】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【变式3-3】．如图，将边长为6cm的等边△ABC沿BC边向右平移得到△DEF．平移后，如果四边形ABFD的周长是22cm，那么平移的距离应该是 cm． 【答案】2 【分析】根据平移的性质，得；根据等边三角形的性质，得，结合题意，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案． 【解析】根据题意，得：， ∴四边形ABFD的周长 ∴ 故答案为：2． 【点睛】本题考查了等边三角形、平移的知识；解题的关键是熟练掌握等边三角形、平移的性质，从而完成求解． 考点四:平移的性质 例4．把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，则新图形与原图形的形状和大小关系为（   ） A．形状相同，大小不一样 B．大小相同，形状不同 C．形状和大小完全相同 D．形状和大小完全不相同 【答案】C 【分析】本题考查图形的平移，根据平移前后图形的形状和大小完全相同，进行判断即可． 【解析】解：由题意，平移前后图形的形状和大小完全相同， 故选C． 【变式4-1】．如图所示，将三角形平移到．在这两个平移中： （1）三角形与三角形的 和 完全相同．即平移不改变 ．平移改变 ． （2）观察平移前后的对应线段、等，对应角、等的关系，可以发现 ． （3）连接各组对应点的线段即，，之间的数量关系是 ；位置关系是 ． 【答案】 大小 形状 图形的大小和形状 图形的位置 对应线段平行（共线）且相等，对应角相等 相等 平行（或共线） 【分析】（1）根据平移的性质即可求解； （2）根据平移的性质即可求解； （3）根据平移的性质即可求解． 【解析】解：（1）三角形与三角形的大小和形状完全相同．即平移不改变图形的大小和形状．平移改变图形的位置． （2）观察平移前后的对应线段、等，对应角、等的关系，可以发现对应线段平行（共线）且相等，对应角相等． （3）连接各组对应点的线段即，，之间的数量关系是相等；位置关系是平行（或共线）． 故答案为：大小；形状；图形的大小和形状；图形的位置；对应线段平行（共线）且相等，对应角相等；相等；平行（或共线）． 【点睛】本题主要考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【变式4-2】．如图，三角形经过平移得到三角形，下面与和一定相等的分别是（    ）    A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据平移的性质，进行判断即可． 【解析】解：∵三角形经过平移得到三角形， ∴，， ∴，， ∴，； 故选D． 【点睛】本题考查平移的性质，熟练掌握平移的性质，是解题的关键． 【变式4-3】．如图，经过平移后得到，下列说法： ① ② ③ ④和的面积相等 ⑤四边形和四边形的面积相等，其中正确的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】根据平移的性质逐一判断即可． 【解析】解：经过平移后得到， ∴，故①正确； ，故②正确； ，故③正确； 和的面积相等，故④正确； 四边形和四边形都是平行四边形，且，即两个平行四边形的底相等，但高不一定相等， ∴四边形和四边形的面积不一定相等，故⑤不正确； 综上：正确的有4个 故选A． 【点睛】此题考查的是图形的平移，掌握平移的性质是解题关键． 考点五:点坐标的平移 例5．点向上平移3个单位，则所得到的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形的平移变化，根据平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减求解即可． 【解析】解：点向上平移3个单位，则所得到的点的坐标为 故选：D． 【变式5-1】．在平面直角坐标系中，将点向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移．熟练掌握点的平移的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，是解题的关键． 根据点的平移规律：左减右加，上加下减解答，即可判断． 【解析】∵点向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点， ∴，， ∴． 故选：B． 【变式5-2】．在平面直角坐标系中，线段的端点分别为，将线段平移到，且点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形变化−平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据点A、的坐标确定出平移规律，求出点的坐标即可． 【解析】解：∵，， ∴平移规律为向右平移6个单位，向上平移4个单位， ∵， ∴点的坐标为， 故选：C． 【变式5-3】．点在平面直角坐标系中的位置如图所示，则坐标对应的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标，解题的关键是得到点的坐标移动的规律． 由移动到，点向右移动1个单位，依此观察图形即可求解． 【解析】解：∵由移动到， ∴点向右移动1个单位， 观察图形可得坐标对应的点可能是点D． 故选：D． 【变式5-4】．如图，在平面直角坐标系中，点，将线段平移至的位置，则的值为（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】A 【分析】本题考查坐标与平移，根据点的平移规则，左减右加，上加下减，求出的值即可． 【解析】解：由图可知：点平移后的对应点为：， ∴平移规则为：先向右平移2个单位，再向上平移2个单位， ∴， ∴； 故选A． 考点六:平移图案设计 例6．在的方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图②中所示的位置，与三角形乙拼成一个长方形，下面平移的方法中正确的是（   ） A．先向下平移2格，再向右平移1格 B．先向下平移2格，再向右平移2格 C．先向下平移2格，再向右平移3格 D．先向下平移3格，再向右平移2格 【答案】C 【分析】本题考查图形的平移，根据平移后图形的位置，进行判断即可． 【解析】解：由图可知，图①中的三角形甲先向下平移2个单位，再向右平移3个单位到图②中所示的位置，与三角形乙拼成一个长方形； 故选：C． 【变式6-1】．如图，为保持原图的模样，应选下图、、、的哪一块拼在图案的空白处（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是利用平移设计图案，先根据题意找出基础图形是解答此题的关键．根据题意找出平移的图形即可得出结论． 【解析】解：由图可知，此图案由如图的图形平移而成， ， 所以通过比较需要补充B图形，才能与空白处的上方图形组成如图， 故选：B． 考点七:平移作图 例7．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，已知的顶点都在格点上． (1)若和关于直线l对称，请画出； (2)将向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到，请画出，并画出平移方向． 【答案】(1)作图见详解； (2)作图见详解． 【分析】本题考查了作图—轴对称变换、作图—平移变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质和平移的性质． （1）利用网格作出各顶点关于直线l对称的点，再顺次连接即可； （2）利用平移的性质作出图形即可． 【解析】（1）解：如图，作出各顶点关于直线l对称的点，再顺次连接，即为所作， （2）解：如图，找出将各顶点向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度的对应点，再顺次连接各点，即为所作；平移方向如图所示． 【变式7-1】．如图为正方形网格，三角形的三个顶点均在格点上，现将三角形平移，把点A平移到点，B、C的对应点分别为点． (1)请画出平移后的三角形（不写作法）； (2)图中一共有哪些平行线段，请全部列举出来． 【答案】(1)见解析 (2)平行线段有：，， 【分析】本题考查了平移作图以及平移的性质，掌握连接各组对应点的线段平行是解题关键． （1）根据点的平移方式确定点B、C的对应点，依次连接即可； （2）根据平移的性质作答即可． 【解析】（1）解：如图，三角形即为所求； （2）解：由平移的性质可知，平行线段有：，，． 【变式7-2】．经过平移，小鱼上的点移到了点． (1)请画出平移后的小鱼； (2)该小鱼是怎样从点移到了点？（上下左右） 【答案】(1)见解析 (2)先向右平移9个方格，再向下平移5个方格（或先向下平移5个方格，再向右平移9个方格） 【分析】本题考查了作图平移变换的知识，注意利用数学知识对图形的阅读以及理解，做题的关键是作各个关键点的对应点． （1）将所给图形的各个顶点按平移条件找出它的对应点，顺次连接，即得到平移后的图形； （2）观察图形即可数出． 【解析】（1）解：所画图形如下所示： （2）解：观察图形即可看出，先向右平移9个方格，再向下平移5个方格（或先向下平移5个方格，再向右平移9个方格）． 【变式7-3】．如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)三角形中任意一点经平移后对应的点为，将三角形作同样的平移得到三角形． ①画出平移后的三角形，写出的坐标． ②求出三角形的面积． (2)若将线段沿水平方向平移一次，竖直方向平移一次，两次平移扫过的图形没有重叠部分、两次平移后B点的对应点的坐标为，已知线段扫过的面积为20，请直接写出a，b的数量关系：______． 【答案】(1)①作图见解析； ②的面积为 (2) 【分析】本题考查了平移与坐标、格点三角形的面积求法，解题的关键的是熟知平移的性质与利用“割补法”求三角形的面积． （1）①由点P的对应点坐标知，需将三角形向右平移5个单位、向上平移3个单位，据此可得； ②利用割补法求解可得答案． （2）利用平行四边形的面积公式计算即可． 【解析】（1）①如图，即为所求； ②的面积 （2）如下图（假设），线段沿水平方向平移扫过的平行四边形，其底为，高为3，面积为；线段沿竖直方向平移扫过的平行四边形，其底为,高为2，则面积为， 根据题意 同理，或或， ∴依然成立 故答案为：． 考点八:平移有关的实际问题 例8．如图，长方形地块周长为104米，在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，当道路宽为2米时，道路的总面积为 ． 【答案】100平方米/ 【分析】本题主要考查利用平移解决实际问题，熟练掌握平移的性质是解题的关键．利用平移将道路平移到边缘后可得道路的长度，再利用道路的长度乘以其宽度进行计算即可． 【解析】解：将道路平移后，如图： ∵长方形地块周长为104米，道路宽为2米， ∴道路的总长度（米）， ∴道路的总面积（平方米）． 故答案为：100平方米． 【变式8-1】．如图，一块长为am，宽为bm的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路左边线向右平移tm就是它的边线．若a：b＝5：3，b：t＝6：1，则小路面积与绿地面积的比为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据a、b、t之间的比将其长度表示出来，再由题意得出小路是四个平行四边形组成的，从而求出小路面积，再用长方形面积减去小路面积得到绿地面积即可求出答案． 【解析】解：∵a：b＝5：3，b：t＝6：1， 设m，则m，m． ∵小路左边线向右平移tm就是它的边线， ∴小路是四个平行四边形，且底为tm，高的和为bm． ∴小路面积， 绿地面积． ∴小路面积与绿地面积的比为， 故选：A． 【点睛】本题考查了生活中的平移现象，解题的关键是能够根据平移得出小路的宽度，从而将小路和绿地的面积都表示出来． 【变式8-2】．如图，某酒店重新装修后，准备在大厅主楼梯上铺设红色地毯．已知这种地毯每平方米售价元，主楼梯道宽，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要 元． 【答案】2800 【分析】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 利用平移的性质求出大厅主楼梯上铺设红色地毯的长，然后求出面积进行计算，即可解答． 【解析】解：由题意得： ， (元)，购买地毯至少需要元， 故答案为：． 考点九:平移在平面直角坐标系、一次函数中的应用 例9．生活中很多图案都与斐波那契数列1，1，2，3，5，8，…相关，如图，在平面直角坐标系中，依次以这组数为半径作90°的圆弧，得到一组螺旋线，若各点的坐标分别为，，，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题考查了在平面直角坐标系中的点的坐标变化规律，解题的关键是找出每个点的坐标及运动规律，观察图象，找出图中每个点的运动轨迹与数组的变化规律，推出的坐标，即可解决问题； 【解析】解：观察发现：先向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到；先向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到； 先向左平移2个单位，再向下平移2个单位得到； 先向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到； 先向右平移5个单位，再向上平移5个单位得到； 根据1，1，2，3，5，8，13，…的变化规律可知， 先向右平移8个单位，再向下平移8个单位得到； 故答案为 【变式9-1】．如图，点，沿轴向右平移后得到，点的对应点在直线上，则向右平移的长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象上的坐标特点，以及坐标与图形的变化-平移，掌握相关性质是解题的关键． 根据平移的性质知．由一次函数图象上点的坐标特征可以求得点的坐标，所以根据两点间的距离公式可以求得线段的长度，即可得的长度，进而可得的坐标，然后再利用两点之间的距离公式计算即可． 【解析】解：如图，连接．    ∵点的坐标为点，沿轴向右平移后得到， ∴点的纵坐标是； 又∵点的对应点在直线上， ∴， 解得：， ∴的坐标为，可知向右平移了个单位长度， 故选：B． 【变式9-2】．如图，的顶点坐标分别为，，，将沿轴向右平移，当点落在直线上时，线段扫过的面积为（   ） A．24 B．18 C． D．28 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，平移的性质，坐标与图形；设当向右平移到位置时，点与点重合，根据题意得出的长，进而即可求解． 【解析】解：如图所示，设当向右平移到位置时，点与点重合，此时在直线上， ， ， 将代入中得：，即， ，即， ， 则线段扫过的面积． 故选：D． 【变式9-3】．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，．将点C向右平移n个单位后得到点．若点落在内（包括边界），则n的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形变化－平移．先求出中点和中点的坐标，依此即可求出的取值范围． 【解析】解：，的坐标分别为，， 中点和中点的坐标分别为，， 的坐标为，，， 的取值范围是． 故选：A． 【变式9-4】．如图，在平面直角坐标系中，已知点，将线段先沿轴正方向平移，然后沿轴正方向平移，得到线段，连接点及其对应点．若，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变换-平移，过C作轴于E，可证，即得，，线段先向右平移3个单位，再向上平移1个单位，从而可得答案． 【解析】解：过C作轴于E，如图： ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴线段先向右平移3个单位，再向上平移1个单位， ∴的对应点D的坐标是． 故答案为：． 【变式9-5】．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在y轴上，顶点B在x轴上，，把沿x轴向右平移至与相交于点G，连接，若点，则点F的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查平移的性质，勾股定理，等腰三角形的判定及性质． 由得到，是等腰直角三角形，进而证得是等腰直角三角形，设，则，由平移有，从而在中，根据勾股定理构造方程即可解答． 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 根据平移可得， ∴， ∴， ∴ 设， ∴， ∵由平移可得， ∴在中，，即， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴点F的坐标为． 故答案为： 考点十:平移与三角形的证明 例10．如图，直角中，，，则内部四个小直角三角形的周长为 ． 【答案】56 【分析】本题考查了平移的性质、勾股定理，根据图形得到内部四个小直角三角形的周长等于直角的周长是解题的关键．由图形可知，内部小直角三角形直角边是由直角直角边平移得到的，故内部四个小直角三角形的周长等于直角的周长，利用勾股定理得到的长度，然后计算周长即可． 【解析】解：由图形可知，内部小直角三角形直角边是由直角直角边平移得到的， 内部四个小直角三角形的周长等于直角的周长， 根据勾股定理得，， 内部四个小直角三角形的周长为：． 故答案为：56． 【变式10-1】．如图，中，，，点D在AC上，，将线段沿方向平移得到线段，点E，F分别落在，上，则的周长为 ． 【答案】12 【分析】此题主要考查了平移的性质，以及等腰三角形的判定与性质，根据题意得出的长是解题关键．直接利用平移的性质得出，进而得出，进而求出答案． 【解析】解：∵将沿的方向平移得到线段， ∴，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长为：． 故答案为：12 【变式10-2】如图，在直角三角形中，，将三角形沿方向平移得到三角形． (1)求的度数． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平移的性质，三角形内角和定理，注意：①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；②连接各组对应点的线段平行且相等． （1）根据平移可得，对应角相等，由的度数可得的度数； （2）根据平移可得，对应点连线的长度相等，由的长可得的长． 【解析】（1）解：在中，，， ， 由平移得，； （2）解：由平移得，， ，， ， ． 【变式10-3】已知：如图，的面积为，现将沿直线向右平移个单位到的位置． (1)求边上的高； (2)若， ①求线段的长； ②连接，当时等腰三角形时，求a的值． 【答案】(1)边上的高为4； (2)①；②当是等腰三角形时，的值为5或6或． 【分析】本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，掌握勾股定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）作于，根据三角形的面积公式计算； 根据勾股定理求出、，根据平移的性质解答； 分、、三种情况，根据勾股定理计算即可． 【解析】（1）解：作于， 的面积为16，， ， 解得，即边上的高为4； （2）解：在中，， ， 在中，， 由平移的性质可知，； 当时，； 当时，， 则； 当时，， 在中，， 即， 解得， 则当是等腰三角形时，的值为5或6或． 考点十一:平移有关的规律题 例11．如图，长方形中，，第一次平移长方形沿的方向向右平移4个单位长度，得到长方形，第2次平移长方形沿的方向向右平移4个单位长度，得到长方形，……，第n次平移长方形沿的方向向右平移4个单位长度，得到长方形（），若的长度为2021，则n的值为 ． 【答案】504 【分析】本题主要平移的性质，线段的和差． 根据平移得到，从而可得与n的关系式，根据即可求解． 【解析】由题意可得点B向右平移4个单位长度得到点，点向右平移4个单位长度得到点，……，点向右平移4个单位长度得到点， ∴， ∴， ∴当时，， 解得：， 故答案为：504． 【变式11-1】．如图，，点A，B在直线a上，点C在直线b上，且，把沿方向每次平移的距离．第一次平移得到第一幅图；第二次平移得到第二幅图；第三次平移得到第三幅图…继续平移，那么第二十次平移得到第二十幅图中等边三角形的个数是（   ） A．60 B．61 C．80 D．100 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质、等边三角形的性质、图形类规律探索，由平移的性质和等边三角形的定义并结合图形得出规律第个图形中等边三角形的个数为个，由此计算即可得解． 【解析】解：由平移的性质和等边三角形的定义可得： 第1个图形中等边三角形的个数为：个， 第2个图形中等边三角形的个数为：个， 第3个图形中等边三角形的个数为：个， …， 第个图形中等边三角形的个数为：个， 故第二十次平移得到第二十幅图中等边三角形的个数是个， 故选：C． 考点十二:解答综合题 例12．在数学研究课上，研究小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度： 【问题情境】 在平面直角坐标系中有不重合的两点和点，若，则轴，且线段MN的长度为若，则轴，且线段MN的长度为； 【实践操作】 (1)若点、，则轴，的长度为 ﹔若点，且轴，且，则点N的坐标为 ． 【拓展应用】 (2)如图，在平面直角坐标系中，，，． ①如图1，求的面积； ②如图2，点D在线段上，将点D向右平移4个单位长度至E点，若的面积等于14，求点D坐标． 【答案】(1)3；或 (2)①10，② 【分析】（1）根据材料给的与坐标轴平行直线上两点的距离公式求解即可； （2）①先计算，再利用面积公式计算即可； ②设，由等积法，得到，再结合图形，利用得到点的坐标 【解析】（1）解：，， ，， ， 或， 或； 故答案为：3；或 （2）①，，， , ②连接， 设， ， ， ， ∵点D向右平移4个单位长度得到E点， ， 【点睛】本题是三角形综合题，考查了坐标与图形的性质，平移的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 【变式12-1】．两个三角板，，按如图所示的位置摆放，点B与点D重合，边与边在同一条直线上（假设图形中所有的点，线都在同一平面内）．其中，，，．现固定三角板，将三角板沿射线方向平移，设三角板平移的距离为（），两个三角板重叠部分的面积为． (1)当时， ． (2)当点E落在边上时， ， ． (3)当时，求y的值． (4)当两个三角板重叠部分为等腰直角三角形时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1)； (2)2，2； (3)2.38； (4)或． 【分析】（1）当时，重叠部分是一个等腰直角三角形，根据等腰直角三角形面积公式计算即可； （2）当点E落在边上时，重叠部分是一个等腰直角三角形，结合图形，根据等腰直角三角形面积公式计算即可； （3）当时，此时重叠部分面积，求出所需的边长代入计算即可； （4）分三种情况：①当三角板刚开始平移时，②当三角板继续平移，直到点B与点F重合时，③时，分别得出重叠部分的图形求出对应的取值范围即可． 【解析】（1）解：当时，三角板平移的距离为，此时重叠部分是一个等腰直角三角形，根据等腰直角三角形面积公式， 故答案为：； （2）解：当点E落在边上时，如图所示： ，， ，，， ， ∴，， 故答案为：2，2； （3）解：当时，如图所示： ，，， ， ， ， ， 设与交于点G， 此时重叠部分面积 ； 当时，y的值是2.38； （4）解：当两个三角板重叠部分为等腰直角三角形时， ①当三角板刚开始平移时，即时，重叠部分始终是等腰直角三角形． ②当三角板继续平移，直到点B与点F重合时， 此时，在这个范围内，重叠部分是四边形， ③继续平移，因为，所以时，点A在F的左边，重叠部分也是等腰直角三角形． 如图所示： 所以x的取值范围是或． 【点睛】本题考查三角形的平移及面积计算，等腰直角三角形的性质等知识，通过分析三角板平移过程中不同位置重叠部分的形状，利用三角形面积公式来求解，对于每个小问根据给定的条件确定重叠部分三角形的底和高，进而计算面积或者确定平移距离． 【变式12-2】．的边在直线l上，，且，的边也在直线l上，边与边重合，且． (1)如图1，直接写出与的数量关系：______，与的位置关系：______； (2)将沿直线l向左平移到图2的位置时，交于点O，交于点Q，连接，，求证：； (3)将沿直线l向左平移到图3的位置时，的延长线交的延长线于点Q，连接，，试探究与满足的数量关系，并说明理由； (4)若，，点P在的延长线上继续向左平移，当时，请直接写出与的面积之比． 【答案】(1)，； (2)证明见解析 (3)，证明见解析； (4) 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，，进而证明结论； （2）利用定理证明，可得，结合，，从而可得答案； （3）证明，根据全等三角形性质得到，根据角的和差可得，，结合三角形内角和定理可得结论． （4）先求解，如图，在上截取，而，可得，，证明，结合，，，再利用三角形的面积公式计算即可． 【解析】（1）解：∵，， ∴， 同理可得，， ∴，， ∴，； 故答案为：，； （2）证明：∵，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， 而， ∴． （3）解：， 理由如下： ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 而， ∴． （4）解：∵，， ∴， 如图， 在上截取，而， ∴，， ∴，而， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查的是平移的性质，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，熟练的利用平移的性质解题是关键． 一、单选题 1．把如图所示的图案进行平移，能得到的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平移的定义，在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移，且平移只改变位置，不改变大小，方向和形状，据此分析求解即可． 【解析】解：根据平移只改变位置，不改变大小，方向和形状可知，只有C选项中的图形是由题干中的图形平移得到的， 故选：C． 2．如图，△ABC沿BC平移得到△DCE，下列说法正确的是（　　） A．点B的对应点是点E B．点C的对应点是E C．点C的对应点是点C D．点C没有移动位置 【答案】B 【分析】根据平移的性质，结合图形确定出对应点即可得出答案． 【解析】解：∵△ABC沿BC平移得到△DCE， ∴点B的对应点是点C， 点C的对应点是点E， 点A的对应点是点D， ∴只有B选项正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了平移的性质．熟练掌握平移的性质，准确识图是解题的关键． 3．如图，沿直线向右平移后到达的位置，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平移的性质，根据三角形的内角和定理，求出的度数，平移的性质，得到，即可得出结果． 【解析】解：∵，， ∴， ∵沿直线向右平移后到达的位置， ∴； 故选A． 4．如图，经过一定的变换得到，若上一点M的坐标为，那么M点的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与平移，根据图形，得到是由先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到，再根据点的平移规则，左减右加，上加下减，进行求解即可． 【解析】解：观察图形可知，是由先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到， ∴点M的对应点的坐标为， 故选C． 5．如图，将三角形平移得到三角形，下列结论中，不一定成立的是（　 　） A．或与在同一条直线上 B．或与在同一条直线上 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平移的性质，根据平移的性质判断即可,平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等． 【解析】解：A、由平移的性质可知或与在同一条直线上，故A正确； B、由平移的性质可知或与在同一条直线上，故B正确； C、由平移的性质可知，故C正确； D、由平移的性质可知不一定等于，故D不一定正确， 故选：D． 6．如图，中，，现将沿着射线的方向平移2个单位得到，则的周长是（   ） A．15 B．21 C．17 D．19 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、平移的性质，明确题意，求出的边长是解题的关键．根据平移的性质和等边三角形的判定和性质，求得的边长，即可求解． 【解析】解：∵，，，将沿着射线的方向平移2个单位得到， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴的周长是：， 故选：A． 7．在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点． 若点位于第二象限，则m，n的取值范围分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，第二象限内的点的坐标特点，先根据“上加下减，左减右加”的平移规律得到，再根据第二象限内的点横坐标为负，纵坐标为正进行求解即可． 【解析】解：∵将点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点， ∴， ∵在第二象限， ∴， ∴，， 故选：D． 8．定义新运算： ①在平面直角坐标系中，表示动点从原点出发，先沿着轴正方向或负方向（）平移个单位长度，再沿轴正方向()或负方向()平移个单位长度．例如：动点从原点出发，沿着轴负方向平移2个单位长度，再沿着轴正方向平移1个单位长度，记作；②加法运算法则：，其中a，b，c，d为实数． 若动点从原点出发，平移后记作，且满足，则动点的平移情况是（   ） A．先沿着轴正方向平移4个单位长度，再沿着轴正方向平移2个单位长度 B．先沿着轴负方向平移4个单位长度，再沿着轴正方向平移2个单位长度 C．先沿着轴负方向平移4个单位长度，再沿着轴负方向平移2个单位长度 D．先沿着轴正方向平移4个单位长度，再沿着轴负方向平移2个单位长度 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形变化一平移，新定义下的实数的运算，理解题中定义新运算，并能建立关于和的方程是解题的关键．根据题中所给定义，建立关于和的方程，求出和，再利用定义新运算来求解． 【解析】解： ， ， 解得， ∴点， ∴动点从原点出发，先沿着轴负方向平移4个单位长度，再沿着轴负方向平移2个单位长度． 故选：C． 二、填空题 9．在下列图案中可以用平移得到的是 （填代号）． 【答案】③④⑤ 【分析】根据平移的概念：在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移可直接得到答案． 【解析】根据平移的定义可得③④⑤是由平移得到的， 故答案为③④⑤ 【点睛】此题主要考查了生活中的平移，关键是掌握平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等． 10．将点向 平移 个单位长度后得到的点与点关于y轴对称． 【答案】 上 5 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点特征、点平移的特征，根据关于轴对称的点的特征：纵坐标相同，横坐标互为相反数，得出点关于轴对称的点，再根据点平移的特征：把一个点左右平移，则横坐标是左减右加，把一个点上下平移，则纵坐标是上加下减，即可得出结果． 【解析】解：根据关于坐标轴对称的点特征，可知：点关于轴对称的点为， 又∵点， ∵， ∴将点A向上平移个单位长度后得到的点． 故答案为：上；． 11．如图，在中，，将沿平移得到，与相交于点G，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，掌握平移的性质是解题的关键．根据平移的性质得，，从而得到，进而即可求解． 【解析】解：将沿平移得到， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：5． 12．如图，有一块长为、宽为的长方形草坪，其中有三条直道将草坪分为六块，则六块草坪的面积和为 ． 【答案】880 【分析】本题考查了生活中的平移现象，解题的关键是求出草坪总面积的计算方法． 草坪的面积等于矩形的面积减去3条路的面积再加上重合部分的面积，由此计算即可． 【解析】解：由图知，草坪的面积矩形的面积3条路的面积重合部分的面积， 则六块草坪的总面积是：， 故答案为：880． 13．如图，边长为的正方形先向上平移，再向右平移，得到正方形，此时阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质得到，进而求出，则． 【解析】解：由平移的性质可得，， ∴， ∴， 故答案为： 14．如图，沿方向平移得到，连接交于F，的面积为3，则的面积为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了平移的性质，全等三角形的性质与判定，三角形中线的性质，由平移的性质可得，，证明，得到，根据三角形中线平分三角形面积可得，则． 【解析】解：由平移的性质可得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．如图，在中，，，，沿方向平移至，若，则沿方向平移的距离为 ．    【答案】 【分析】本题考查图像的平移，根据平移的性质可得：沿方向平移的距离为的长，根据勾股定理求出的长，即可求解．解题的关键是掌握平移的基本性质：①平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置；②图形上的每个点都平移了相同的距离，对应点之间的距离就是平移的距离；③连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等． 【解析】解：∵在中，，，， ∴， 由沿方向平移至， 则点与点是一组对应点， ∴的长即为沿方向平移的距离， ∵， ∴， ∴沿方向平移的距离为． 故答案为：． 16．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，沿x轴向右平移后得到，点A的对应点是直线上一点，则点B与其对应点间的距离为 ． 【答案】4 【分析】本题考查坐标与图形-平移变换、一次函数图象上点的坐标特征，先根据平移性质和直线表达式求得点的坐标，求得平移距离即可求解． 【解析】解：∵点A的坐标为，沿x轴向右平移后得到， ∴点的纵坐标为3，，轴， ∵点是直线上一点， ∴当时，由得， ∴， ∴， 即点B与其对应点间的距离为4， 故答案为：4． 三、解答题 17．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，线段的端点及点C都在格点（网格线交点）上． (1)将线段向左平移2个单位长度、向上平移5个单位长度后得到线段，在图中画出线段； (2)在图中画出经过点C 且平行于的直线l，并简单的说明画法． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平移的性质，平移变换的作图，正确的理解题意是解题的关键． （1）利用平移的性质根据题意中平移的距离和方向分别作出A，B的对应点，，然后连接即可； （2）将C，T看作是A，B平移后的点，即找到A到的平移方式，将平移到点，作直线即可． 【解析】（1）解：将线段向左平移2个单位长度、向上平移5个单位长度后得到线段 在图中分别将两点向右平移2个单位长度、向上平移5个单位长度，得到对应点，，连接对应点，，线段即为所求． （2）解：如图，将C，T看作是A，B平移后的点，即找到到的平移为：向右平移2个单位长度、向下平移3个单位长度， ∴将向右平移2个单位长度、向下平移3个单位长度，平移到点，作直线即可． 作法：根据平移取格点T，作直线，直线l即为所求． 18．如图，是边长为2的等边三角形，将沿直线平移到的位置，连接，求平移的距离和的长． 【答案】2； 【分析】本题考查的是等边三角形的性质及平移的性质，由平移的性质可知平移的距离，以及，，故可得出，在中利用勾股定理即可得出的长． 【解析】解：由平移而成， 平移的距离为：， ， ∴， ∴ ， 是直角三角形， ，， ． 19．如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点坐标分别为，，，将三角形进行平移，使点与坐标原点重合，得到三角形，其中，分别为点，的对应点． (1)画出三角形； (2)若点为三角形内一点，则平移后点的对应点的坐标是 ． (3)求三角形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移、三角形面积，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据平移的性质，结合点的坐标特征可得答案； （3）利用三角形的面积公式计算即可． 【解析】（1）解：∵点与坐标原点重合， 将点、、分别向左平移个单位长度、向下平移个单位得到其对应点， 如图，即为所求： （2）若点为三角形内一点，则平移后点的对应点的坐标是； 故答案为：； （3）的面积为． 20．在平面直角坐标系中，三角形经过平移得到三角形，位置如图所示． (1)分别写出点，的坐标：（ ， ），（ ， ）． (2)请说明三角形是由三角形经过怎样的平移得到的； (3)若点是三角形内部一点，则平移后对应点的坐标为，求和的值． 【答案】(1)1，0， (2)先向左平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度 (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化——平移，三角形面积，解二元一次方程组， （1）观察图形，即可得出点A，的坐标； （2）观察图形，即可得出平移的方式； （3）根据平移的方式，列出方程组求解即可． 【解析】（1）解：观察图象可知，． 故答案为：，． （2）解：三角形是由三角形先向左平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度得到． （3）解：∵三角形是由三角形先向左平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度得到， ∴， 解得，． 21．在平面直角坐标系中，将，，，四个点用线段连接成一个图案，如图所示． (1)如果原来四个点的纵坐标保持不变，横坐标都加上4，将对应所得的点相应地用线段连接起来，那么所得的图案是由原来的图案进行了怎样的平移得到的？写出文字说明，并在图上画出图形； (2)如果原来四个点的横坐标保持不变，纵坐标都减去3，将对应所得的点相应地用线段连接起来，那么所得的图案是由原来的图案进行了怎样的平移得到的？写出文字说明，并在图上画出图形． 【答案】(1)原来图案向右平移4个单位得到新图案，作图见解析 (2)原来图案向下平移3个单位得到新图案，作图见解析 【分析】本题考查作图平移变换，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质，点的横坐标坐标右加左减，纵坐标上加下减． （1）将原来，，，四个点的横坐标都加上4，得到，，，，顺次连接各点，比较所得的图案与原来的图案的位置即得 （2）将，，，四个点的纵坐标都减 ，得到，，，顺次连接各点，比较所得的图案与原来的图案的位置即得． 【解析】（1）解：如图所示，所得的图案是由原来的图案向右平移4个单位得到的； （2）如图所示：所得的图案是由原来的图案向下平移3个单位得到的． 22．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，且满足． (1)______，______． (2)若点在轴的正半轴上，且三角形的面积为6，求点的坐标． (3)将线段沿轴或轴平移得到线段，是否存在四边形，使四边形的面积等于三角形面积的3倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3，4 (2)点的坐标为 (3)存在，点的坐标为或或或 【分析】此题考查了坐标与图形、平移的性质、算术平方根的非负性等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键． （1）根据非负数的性质进行解答即可； （2）由（1）得点，点，则，．设点的坐标为．利用三角形的面积为6列方程，解方程即可得到答案； （3）分线段沿轴平移和线段沿轴平移两种情况分别进行解答即可． 【解析】（1）解：∵，， ∴， 解得， 故答案为： （2）由（1）得点，点， ，． 设点的坐标为． 由题知，解得或0． 当时，点的坐标为，不符合题意，舍去； 点的坐标为． （3）存在． 当线段沿轴平移时，设点的坐标为． ， ， 解得或10， 点的坐标为或； 当线段沿轴平移时，设点的坐标为． ， ，解得， 点的坐标为或 综上，点的坐标为或或或． 23．在图①中，将线段向右平移1个单位得到线段，从而得到封闭图形（即阴影部分）﹔在图②中，将折线向右平移1个单位得到折线，从而得到封闭图形（即阴影部分）． (1)图①，图②图形中，除去阴影部分后，将剩余部分拼在一起就是如图③的图形，若剩余部分的面积分别是，（图①，图②长方形的长均为a个单位，宽均为b个单位），则______，______，____（填“＞”或“＝”或“＜”）﹔ (2)如图④，一块长方形场地由一条弯曲的小路和草地组成．这条弯曲的小路（即阴影部分）任何地方的水平宽度都是，除去小路部分后，空白部分表示的草地的图形可拼在一起形成一个正方形，若这个正方形的面积是，则原长方形场地的长和宽分别是多少m？ (3)如图⑤，一块长方形场地由两条弯曲的小路（阴影部分）和草地组成．竖直方向小路任何地方的水平宽度都是，水平方向小路任何地方的竖直宽度都是．除去小路部分后，空白部分表示草地的图形拼在一起形成一个长方形，且这个长方形的长是宽的2倍，面积是．计划用不超过5200元的总费用将两条小路改铺成鹅卵石路面，若每路面的铺设费用（人工费材料费）约为200元，请问总预算5200元够吗？并说明理由． 【答案】(1)；； (2)长：，宽 (3)够用；理由见解析 【分析】（1）根据长方形面积公式进行解答即可； （2）设除去小路后的图形拼在一起形成的正方形边长为，根据正方形的面积是列出方程，求出x的值即可； （3）设空白部分表示草地的图形拼在一起的长方形宽为，长为，根据这个长方形的面积为，列出方程，解方程得出y的值，然后求出两条小路的总面积，再求出需要的费用，即可得出答案． 【解析】（1）解：根据题意得：；； ∴， 故答案为：；；； （2）解：设除去小路后的图形拼在一起形成的正方形边长为，则： ， （负值舍负）， 长方形场地的长， 长方形场地的宽． （3）解：设空白部分表示草地的图形拼在一起的长方形宽为，长为， 则， （负值舍负）， 长方形场地的宽， 长方形场地的长， 则两条小路的总面积为：， 将两条小路改铺成鹅卵石路面的总费用元， ， ． 答：总预算5200元够． 【点睛】本题主要考查了平移的性质，平方根的应用，无理数的估算，解题的关键是理解题意，熟练掌握平移的性质． 24．某同学在一次课外活动中用硬纸片做了两个直角三角形，中，，，．中，，，．该同学将的直角边与的斜边重合在一起，并将沿方向移动，在移动过程中，D、E两点始终在边上． (1)当移动至什么位置，即的长为多少时，F、C的连线与平行？ (2)当移动至什么位置，即的长为多少时，以线段、、的长为三边长的三角形是直角三角形？ (3)在的移动过程中，是否存在某个位置，使得？如果存在，求出的长；如果不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析． 【分析】本题主要考查平移的性质以及勾股定理的应用，结合已知条件应用相关性质解题即可． （1）因为，，所以，又因为，，，所以，连接，设，则可求证，故的长可求； （2）设，则，再分情况讨论∶为斜边；为斜边；为斜边，综合分析即可求得的长； （3）假设，因为，作的平分线，交于点P，则，所以，，则的值大于边长12，故不存在． 【解析】（1）解：∵，，， ∴， ∵中，，， ∴， 如图1，连接， 当时， ， ∴ ∴ ∴ ∴当时，． （2）设，在中， 当为斜边时， 由得， 解得：， 当为斜边时，由 得， 解得： ∵ ∴， ∴（不合题意舍去） 当为斜边时，由 得， ， 整理得出∶ ∵ ∴此方程无解， 综上所述：当时，以线段、、的长度为三边长的三角形是直角三角形． （3）不存在这样的位置，使得 理由如下∶ 假设（如上图2） ∵ 作的平分线，交于点P， 则，， ∴， ∴ ∴， 又∵ ∴， ∴ ∴不存在这样的位置，使得． 【点睛】本题考查的是平移的性质、勾股定理的应用，以及角平分线的性质，平行的性质等等知识点，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键，解答时，注意勾股定理的应用和正确解出一元二次方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 图形的平移 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．通过具体实例认识平面图形的平移，探索它的基本性质，会进行简单的平移画图. 2.在直角坐标系中，能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移后图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系. 知识点1 图形的平移 1.平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移. 如图3 - 1,△ABC经过平移得到△DEF, 点 A,B,C 分别平移到了点 D,E,F.点A与点D是一组对应点，线段AB与线段DE 是一组对应线段，∠BAC 与 ∠EDF是一组对应角. 思考：你还能从图3- 1中找出其他的对应点、 对应线段和对应角吗? 要点：（1）图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离． （2）图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置. 知识点2 平移的性质 平移的性质： 图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离，平移不改变线段、角的大小，具体来说： （1）平移后，对应线段平行（或在一条直线上）且相等； （2）平移后，对应角相等； （3）平移后，对应点所连线段平行（或在一条直线上）且相等； （4）平移后，新图形与原图形的形状与大小不变. 要点：（1）“连接各组对应点的线段”的线段的长度实际上就是平移的距离． （2）要注意“连接各组对应点的线段”与“对应线段”的区别，前者是通过连接平移前后的对应点得到的，而后者是原来的图形与平移后的图形上本身存在的. 知识点3 平移作图 平移作图是平移基本性质的应用，在具体作图时，应抓住作图的“四步曲”－定、找、移、连． (1)定：确定平移的方向和距离； (2)找：找出表示图形的关键点； (3)移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点； (4)连：按原图形顺次连接对应点． 知识点4 平移有关的坐标变换 设(x,y)是原图形上的一点，当它沿x轴方向平移a个单位长度(a>0)、沿y轴方向平移b个单位长度(b>0)后，这个点与其对应点的坐标之间有如下关系： 考点一:判断生活中的平移现象 例1．如图是运动员冰面上表演的图案，下列四个选项中，能由原图通过平移得到的是（  ） A． B． C． D． 【变式1-1】．下列运动属于平移的是（    ） A．飞机在地面上沿直线滑行 B．在游乐场里荡秋千 C．推开教室的门 D．风筝在空中随风飘动 【变式1-2】．小明读了“子非鱼，安知鱼之乐？”后，兴高采烈地利用电脑画出了几幅鱼的图案．下列选项中的图形，可以通过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】．“写堂堂正正中国字，做堂堂正正中国人”，中国的汉字中有些也具有平移现象，下列汉字中可以看成由平移构成的是（    ） A． B． C． D． 考点二:图形的平移及有关概念 例2．如图，将△ABC沿BC所在的直线平移得到△A′B′C′，则∠C′的对应角为 ，AC的对应边为 ． 【变式2-1】．如图，沿着边所在的直线向右平移到，则点的对应点是点 ，点的对应点是点 ，线段的对应线段是线段 ，线段的对应线段是线段 ，平移的方向就是点到点 的方向，平移的距离就是线段 的长度. 【变式2-2】．观察如图中的正六边形ABCDEF，线段AB平移后能得到的线段是 ，EF是线段 平移得到的. 【变式2-3】．如图：六边形ABCDEF由6个相同的等边三角形组成，下列图形中可由△OBC平移得到的是 考点三:求平移的距离 例3．如图，将周长为17cm的△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置，平移后得到一个四边形ABFD的周长为25cm，则平移的距离为 cm． 【变式3-1】．在边长为1的正方形网格中，右边的“小鱼”图案是由左边的图案经过一次平移得到的，则平移的距离是 ．    【变式3-2】．如图，经过平移得到，连接，若cm，则点A与点A'之间的距离为 cm． 【变式3-3】．如图，将边长为6cm的等边△ABC沿BC边向右平移得到△DEF．平移后，如果四边形ABFD的周长是22cm，那么平移的距离应该是 cm． 考点四:平移的性质 例4．把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，则新图形与原图形的形状和大小关系为（   ） A．形状相同，大小不一样 B．大小相同，形状不同 C．形状和大小完全相同 D．形状和大小完全不相同 【变式4-1】．如图所示，将三角形平移到．在这两个平移中： （1）三角形与三角形的 和 完全相同．即平移不改变 ．平移改变 ． （2）观察平移前后的对应线段、等，对应角、等的关系，可以发现 ． （3）连接各组对应点的线段即，，之间的数量关系是 ；位置关系是 ． 【变式4-2】．如图，三角形经过平移得到三角形，下面与和一定相等的分别是（    ）    A．， B．， C．， D．， 【变式4-3】．如图，经过平移后得到，下列说法： ① ② ③ ④和的面积相等 ⑤四边形和四边形的面积相等，其中正确的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 考点五:点坐标的平移 例5．点向上平移3个单位，则所得到的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】．在平面直角坐标系中，将点向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【变式5-2】．在平面直角坐标系中，线段的端点分别为，将线段平移到，且点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】．点在平面直角坐标系中的位置如图所示，则坐标对应的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【变式5-4】．如图，在平面直角坐标系中，点，将线段平移至的位置，则的值为（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 考点六:平移图案设计 例6．在的方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图②中所示的位置，与三角形乙拼成一个长方形，下面平移的方法中正确的是（   ） A．先向下平移2格，再向右平移1格 B．先向下平移2格，再向右平移2格 C．先向下平移2格，再向右平移3格 D．先向下平移3格，再向右平移2格 【变式6-1】．如图，为保持原图的模样，应选下图、、、的哪一块拼在图案的空白处（　　） A． B． C． D． 考点七:平移作图 例7．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，已知的顶点都在格点上． (1)若和关于直线l对称，请画出； (2)将向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到，请画出，并画出平移方向． 【变式7-1】．如图为正方形网格，三角形的三个顶点均在格点上，现将三角形平移，把点A平移到点，B、C的对应点分别为点． (1)请画出平移后的三角形（不写作法）； (2)图中一共有哪些平行线段，请全部列举出来． 【变式7-2】．经过平移，小鱼上的点移到了点． (1)请画出平移后的小鱼； (2)该小鱼是怎样从点移到了点？（上下左右） 【变式7-3】．如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)三角形中任意一点经平移后对应的点为，将三角形作同样的平移得到三角形． ①画出平移后的三角形，写出的坐标． ②求出三角形的面积． (2)若将线段沿水平方向平移一次，竖直方向平移一次，两次平移扫过的图形没有重叠部分、两次平移后B点的对应点的坐标为，已知线段扫过的面积为20，请直接写出a，b的数量关系：______． 考点八:平移有关的实际问题 例8．如图，长方形地块周长为104米，在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，当道路宽为2米时，道路的总面积为 ． 【变式8-1】．如图，一块长为am，宽为bm的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路左边线向右平移tm就是它的边线．若a：b＝5：3，b：t＝6：1，则小路面积与绿地面积的比为（       ） A． B． C． D． 【变式8-2】．如图，某酒店重新装修后，准备在大厅主楼梯上铺设红色地毯．已知这种地毯每平方米售价元，主楼梯道宽，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要 元． 考点九:平移在平面直角坐标系、一次函数中的应用 例9．生活中很多图案都与斐波那契数列1，1，2，3，5，8，…相关，如图，在平面直角坐标系中，依次以这组数为半径作90°的圆弧，得到一组螺旋线，若各点的坐标分别为，，，则点的坐标为 ． 【变式9-1】．如图，点，沿轴向右平移后得到，点的对应点在直线上，则向右平移的长度为（    ）    A． B． C． D． 【变式9-2】．如图，的顶点坐标分别为，，，将沿轴向右平移，当点落在直线上时，线段扫过的面积为（   ） A．24 B．18 C． D．28 【变式9-3】．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，．将点C向右平移n个单位后得到点．若点落在内（包括边界），则n的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【变式9-4】．如图，在平面直角坐标系中，已知点，将线段先沿轴正方向平移，然后沿轴正方向平移，得到线段，连接点及其对应点．若，则点的坐标是 ． 【变式9-5】．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在y轴上，顶点B在x轴上，，把沿x轴向右平移至与相交于点G，连接，若点，则点F的坐标为 ． 考点十:平移与三角形的证明 例10．如图，直角中，，，则内部四个小直角三角形的周长为 ． 【变式10-1】．如图，中，，，点D在AC上，，将线段沿方向平移得到线段，点E，F分别落在，上，则的周长为 ． 【变式10-2】如图，在直角三角形中，，将三角形沿方向平移得到三角形． (1)求的度数． (2)若，求的长． 【变式10-3】．已知：如图，的面积为，现将沿直线向右平移个单位到的位置． (1)求边上的高； (2)若， ①求线段的长； ②连接，当时等腰三角形时，求a的值． 考点十一:平移有关的规律题 例11．如图，长方形中，，第一次平移长方形沿的方向向右平移4个单位长度，得到长方形，第2次平移长方形沿的方向向右平移4个单位长度，得到长方形，……，第n次平移长方形沿的方向向右平移4个单位长度，得到长方形（），若的长度为2021，则n的值为 ． 【变式11-1】．如图，，点A，B在直线a上，点C在直线b上，且，把沿方向每次平移的距离．第一次平移得到第一幅图；第二次平移得到第二幅图；第三次平移得到第三幅图…继续平移，那么第二十次平移得到第二十幅图中等边三角形的个数是（   ） A．60 B．61 C．80 D．100 考点十二:解答综合题 例12．在数学研究课上，研究小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度： 【问题情境】 在平面直角坐标系中有不重合的两点和点，若，则轴，且线段MN的长度为若，则轴，且线段MN的长度为； 【实践操作】 (1)若点、，则轴，的长度为 ﹔若点，且轴，且，则点N的坐标为 ． 【拓展应用】 (2)如图，在平面直角坐标系中，，，． ①如图1，求的面积； ②如图2，点D在线段上，将点D向右平移4个单位长度至E点，若的面积等于14，求点D坐标． 【变式12-1】．两个三角板，，按如图所示的位置摆放，点B与点D重合，边与边在同一条直线上（假设图形中所有的点，线都在同一平面内）．其中，，，．现固定三角板，将三角板沿射线方向平移，设三角板平移的距离为（），两个三角板重叠部分的面积为． (1)当时， ． (2)当点E落在边上时， ， ． (3)当时，求y的值． (4)当两个三角板重叠部分为等腰直角三角形时，直接写出x的取值范围． 【变式12-2】．的边在直线l上，，且，的边也在直线l上，边与边重合，且． (1)如图1，直接写出与的数量关系：______，与的位置关系：______； (2)将沿直线l向左平移到图2的位置时，交于点O，交于点Q，连接，，求证：； (3)将沿直线l向左平移到图3的位置时，的延长线交的延长线于点Q，连接，，试探究与满足的数量关系，并说明理由； (4)若，，点P在的延长线上继续向左平移，当时，请直接写出与的面积之比． 一、单选题 1．把如图所示的图案进行平移，能得到的图形是（   ） A． B． C． D． 2．如图，△ABC沿BC平移得到△DCE，下列说法正确的是（　　） A．点B的对应点是点E B．点C的对应点是E C．点C的对应点是点C D．点C没有移动位置 3．如图，沿直线向右平移后到达的位置，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，经过一定的变换得到，若上一点M的坐标为，那么M点的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 5．如图，将三角形平移得到三角形，下列结论中，不一定成立的是（　 　） A．或与在同一条直线上 B．或与在同一条直线上 C． D． 6．如图，中，，现将沿着射线的方向平移2个单位得到，则的周长是（   ） A．15 B．21 C．17 D．19 7．在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点． 若点位于第二象限，则m，n的取值范围分别是（    ） A． B． C． D． 8．定义新运算： ①在平面直角坐标系中，表示动点从原点出发，先沿着轴正方向或负方向（）平移个单位长度，再沿轴正方向()或负方向()平移个单位长度．例如：动点从原点出发，沿着轴负方向平移2个单位长度，再沿着轴正方向平移1个单位长度，记作；②加法运算法则：，其中a，b，c，d为实数． 若动点从原点出发，平移后记作，且满足，则动点的平移情况是（   ） A．先沿着轴正方向平移4个单位长度，再沿着轴正方向平移2个单位长度 B．先沿着轴负方向平移4个单位长度，再沿着轴正方向平移2个单位长度 C．先沿着轴负方向平移4个单位长度，再沿着轴负方向平移2个单位长度 D．先沿着轴正方向平移4个单位长度，再沿着轴负方向平移2个单位长度 二、填空题 9．在下列图案中可以用平移得到的是 （填代号）． 10．将点向 平移 个单位长度后得到的点与点关于y轴对称． 11．如图，在中，，将沿平移得到，与相交于点G，则的长为 ． 12．如图，有一块长为、宽为的长方形草坪，其中有三条直道将草坪分为六块，则六块草坪的面积和为 ． 13．如图，边长为的正方形先向上平移，再向右平移，得到正方形，此时阴影部分的面积为 ． 14．如图，沿方向平移得到，连接交于F，的面积为3，则的面积为 ．    15．如图，在中，，，，沿方向平移至，若，则沿方向平移的距离为 ．    16．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，沿x轴向右平移后得到，点A的对应点是直线上一点，则点B与其对应点间的距离为 ． 三、解答题 17．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，线段的端点及点C都在格点（网格线交点）上． (1)将线段向左平移2个单位长度、向上平移5个单位长度后得到线段，在图中画出线段； (2)在图中画出经过点C 且平行于的直线l，并简单的说明画法． 18．如图，是边长为2的等边三角形，将沿直线平移到的位置，连接，求平移的距离和的长． 19．如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点坐标分别为，，，将三角形进行平移，使点与坐标原点重合，得到三角形，其中，分别为点，的对应点． (1)画出三角形； (2)若点为三角形内一点，则平移后点的对应点的坐标是 ． (3)求三角形的面积． 20．在平面直角坐标系中，三角形经过平移得到三角形，位置如图所示． (1)分别写出点，的坐标：（ ， ），（ ， ）． (2)请说明三角形是由三角形经过怎样的平移得到的； (3)若点是三角形内部一点，则平移后对应点的坐标为，求和的值． 21．在平面直角坐标系中，将，，，四个点用线段连接成一个图案，如图所示． (1)如果原来四个点的纵坐标保持不变，横坐标都加上4，将对应所得的点相应地用线段连接起来，那么所得的图案是由原来的图案进行了怎样的平移得到的？写出文字说明，并在图上画出图形； (2)如果原来四个点的横坐标保持不变，纵坐标都减去3，将对应所得的点相应地用线段连接起来，那么所得的图案是由原来的图案进行了怎样的平移得到的？写出文字说明，并在图上画出图形． 22．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，且满足． (1)______，______． (2)若点在轴的正半轴上，且三角形的面积为6，求点的坐标． (3)将线段沿轴或轴平移得到线段，是否存在四边形，使四边形的面积等于三角形面积的3倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 23．在图①中，将线段向右平移1个单位得到线段，从而得到封闭图形（即阴影部分）﹔在图②中，将折线向右平移1个单位得到折线，从而得到封闭图形（即阴影部分）． (1)图①，图②图形中，除去阴影部分后，将剩余部分拼在一起就是如图③的图形，若剩余部分的面积分别是，（图①，图②长方形的长均为a个单位，宽均为b个单位），则______，______，____（填“＞”或“＝”或“＜”）﹔ (2)如图④，一块长方形场地由一条弯曲的小路和草地组成．这条弯曲的小路（即阴影部分）任何地方的水平宽度都是，除去小路部分后，空白部分表示的草地的图形可拼在一起形成一个正方形，若这个正方形的面积是，则原长方形场地的长和宽分别是多少m？ (3)如图⑤，一块长方形场地由两条弯曲的小路（阴影部分）和草地组成．竖直方向小路任何地方的水平宽度都是，水平方向小路任何地方的竖直宽度都是．除去小路部分后，空白部分表示草地的图形拼在一起形成一个长方形，且这个长方形的长是宽的2倍，面积是．计划用不超过5200元的总费用将两条小路改铺成鹅卵石路面，若每路面的铺设费用（人工费材料费）约为200元，请问总预算5200元够吗？并说明理由． 24．某同学在一次课外活动中用硬纸片做了两个直角三角形，中，，，．中，，，．该同学将的直角边与的斜边重合在一起，并将沿方向移动，在移动过程中，D、E两点始终在边上． (1)当移动至什么位置，即的长为多少时，F、C的连线与平行？ (2)当移动至什么位置，即的长为多少时，以线段、、的长为三边长的三角形是直角三角形？ (3)在的移动过程中，是否存在某个位置，使得？如果存在，求出的长；如果不存在，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$