1.5 二次函数的应用（10大题型提分练）（题型专练）数学湘教版九年级下册

1.5 二次函数的应用 题型一 图形（运动）问题 1．如图，点E，F，G，H是边长为2的正方形各边上的点，且设A，E两点间的距离为x，四边形的面积为y，则y与x的函数图象可能为（） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，点P从点A沿向点C以的速度运动，同时点Q从点C沿向点B以的速度运到（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形的面积最小值为（    ） A．19 B．16 C．15 D．12 3．如图，等边的边长为，直线l经过点A且直线，直线l从点A出发沿以的速度向点C移动，直到经过点C即停止，直线l分别与或交于点M，与交于点N，若的面积为，直线l的移动时间为，则下面最能反映y与x之间函数关系的大致图象是（    ）    A．   B．   C．   D．   4．如图，某农户要建一个矩形菜地，菜地的一边靠墙（墙长度等于），另外三边用木栏围成，木栏总长为，设菜地边的长为，菜地面积为． (1)求出y与x的函数关系式； (2)当x为多少米时，围成的菜地的面积最大，最大面积是多少？ 题型二 拱桥、喷水、投球问题 5．如图，武汉晴川桥可以近似地看作抛物线，桥拱和路面之间用等距的9根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，这些钢索中最短的一根长8.1米，那么这些钢索中最长的一根长 米． 6．建水双龙桥，俗称“十七孔桥”，位于云南省建水县，是一座具有极高历史，艺术和科学价值的古桥，如图，古桥横断面是抛物线形状，当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽．则水面上升米后水面宽度为 米． 7．如图，铅球运动员掷铅球的高度与水平距离之间的函数关系式是，则该运动员此次掷铅球的成绩是 ． 8．小江自制了一把水枪（图1），他将水枪固定，在喷水头距离地面1米的位置进行实验．当喷射出的水流与喷水头的水平距离为2米时，水流达到最大高度3米，该水枪喷射出的水流可以看成抛物线，图2为该水枪喷射水流的平面示意图． (1)求该抛物线的解析式； (2)在距离喷水头水平距离为4米的位置处放置一个障碍物，试问当障碍物的高度小于多少米时，水流能越过该障碍物． 题型三 销售问题 9．某商店购进一批单价为8元的商品，如果按每件10元出售，每天可以销售100件，经调查发现，销售单价每提高1元，销售量相应减少10件，则销售价提高 元时，可以使每天的销售利润最大． 10．某商场销售一种商品，进价为每个20元，规定每个商品售价不低于进价，且不高于60元．经调查发现，每天的销售量（个）与每个商品的售价（元）之间满足一次函数关系，其部分数据如表所示： 每个商品的售价（元） … 30 40 50 … 每天的销售量（个） … 100 80 60 … (1)求与之间的函数关系式； (2)设商场每天获得的总利润为（元），求与之间的函数关系式； (3)不考虑其他因素，当商品的售价为多少元时，商场每天获得的总利润最大?最大利润是多少? 11．某商场购进一批单价为元的商品，在商场试销发现：每天销售量y(件) 与销售单价 x(元/件)之间满足如图所示的函数关系： (1)求y 与 x 之间的函数关系式； (2)写出每天的利润 w 与销售单价x 之间的函数关系式；售价定为多少时，才能使每天的利润 w 最大？每天的最大利润是多少？ 题型四 增长率问题 12．最新报道显示，2023年我国新能源汽车累计销量为万辆，销量逐年增加，若2025年的累计销量为y万辆，平均每年增长率为x，则y关于x的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 13．某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金（元）关于x的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 14．为了解决药价虚高给老百姓带来的求医难的问题，国家决定对某药品分两次降价．若设平均每次降价的百分率为x，该药品的原价是50元，降价后的价格是y元，则y与x之间的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 题型五 线段周长问题 15．如图，已知二次函数的图像与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点，其中． (1)求二次函数的表达式； (2)若点D是二次函数图像上的一点，且点D在第一象限，轴于点F，交于点E，当线段的长为最大值时，求的面积． 题型六 面积问题问题 16．在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P在y轴左侧的抛物线上，且满足，求点P坐标； (3)如图2，过点的直线与抛物线交于F，G两点，点D为抛物线的顶点，连接，，将分成两部分的面积之差为1，求直线的解析式． 题型七 角度问题 17．如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，点坐标为，与轴交于点，点为抛物线顶点，点为中点． (1)求二次函数的解析式； (2)若在直线上方的抛物线上存在点，使得，求点的坐标． 题型八 特殊三角形问题 18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与 轴交于点，作直线． (1)求该抛物线对应的函数解析式． (2)在轴上是否存在点，使得以 为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若是直线下方抛物线上一动点，则当点的坐标为_______时，面积最大． 19．综合与探究 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点． (1)求此抛物线的表达式． (2)是位于第一象限内抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求此时点的坐标及的面积． (3)抛物线的对称轴上是否存在一点，使得是等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型九 特殊四边形问题 20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交，B两点，与轴交于点，抛物线的顶点为点．    (1)求抛物线的解析式； (2)经过，两点的直线交抛物线的对称轴于点，点为直线上方抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求点的坐标； (3)点在抛物线对称轴上，点在轴上，是否存在这样的点与点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由． 21．如图，二次函数的图象与x轴的交点分别为和，与y轴交于点C，Q是直线上方二次函数图象上一动点． (1)求二次函数的解析式． (2)如图1，过点Q作x轴的平行线交于点E，过点Q作y轴的平行线交x轴于点D，求的最大值及点Q的坐标． (3)如图2，设M为抛物线对称轴上一动点，当点Q，点M运动时，在坐标轴上确定点N，使四边形为矩形，求出所有符合条件的点N的坐标． 题型十 相似三角形问题 22．如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，为的中点． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，是否存在以为直角的与相似，若存在，请求出一个符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 23．如图，某植物园有一块足够大的空地，用一段长为米的篱笆围成一个一边利用一堵墙的矩形花圃，墙长为6米，其中边大于或等于墙长，中间用篱笆隔开．设的长为x米，的长为y米，矩形花圃的面积为s米．    (1)直接写出y关于x，s关于x的函数关系式以及自变量x的取值范围； (2)当的长为多少时，矩形花圃的面积最大？最大面积为多少？ 24．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元．为了扩大销售，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件． (1)若使商场平均每天赢利1200元，则每件衬衫应降价多少元？ (2)若想获得最大利润，每件衬衫应降价多少元？最大利润为多少元？ 25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于，两点，直线：交轴于点．点为直线下方抛物线上一动点，过点作轴的垂线，垂足为，分别交直线，于点，． (1)求抛物线的表达式； (2)当时，求的面积； (3)①是轴上一点，当四边形是平行四边形时，求点的坐标； ②在①的条件下，第一象限有一动点，满足，求周长的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.5 二次函数的应用 题型一 图形（运动）问题 1．如图，点E，F，G，H是边长为2的正方形各边上的点，且设A，E两点间的距离为x，四边形的面积为y，则y与x的函数图象可能为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的综合，正方形的性质及勾股定理，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．先求得，，再由，可得，得出与、是二次函数关系，从而得出函数的图象． 【详解】解：设正方形的边长为，则， ， ， ， ， ， ， ， 可知开口向上，顶点坐标为， 与的函数图象是D． 故选：D． 2．如图，在中，，，，点P从点A沿向点C以的速度运动，同时点Q从点C沿向点B以的速度运到（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形的面积最小值为（    ） A．19 B．16 C．15 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的最值，勾股定理．利用分割图形求面积法找出是解题的关键．在中，利用勾股定理可得，设运动时间为，则，，利用分割图形求面积法可得，利用配方法即可求出四边形的面积最小值． 【详解】解：在中，，，， ， 设运动时间为，则，， 当时，四边形的面积取最小值，最小值为． 故选：C． 3．如图，等边的边长为，直线l经过点A且直线，直线l从点A出发沿以的速度向点C移动，直到经过点C即停止，直线l分别与或交于点M，与交于点N，若的面积为，直线l的移动时间为，则下面最能反映y与x之间函数关系的大致图象是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的应用等知识，根据直线的位置分两种情况讨论是解题关键．过点作于点，先求出，，，再分两种情况：①和②，利用相似三角形的判定与性质可求出与之间的函数关系式，然后根据二次函数的图象特点即可得． 【详解】解：过点作于点， ∵等边的边长为， ∴，， ∴， ， 直线， ， 由题意得：， ， 如图1，当时，   ， ，即， 解得，此函数图象是开口向上的抛物线的一部分； 如图2，当时，   ， ，即， 解得， ，此函数图象是开口向下的抛物线的一部分； 观察四个选项可知，只有选项C符合题意， 故选：C． 4．如图，某农户要建一个矩形菜地，菜地的一边靠墙（墙长度等于），另外三边用木栏围成，木栏总长为，设菜地边的长为，菜地面积为． (1)求出y与x的函数关系式； (2)当x为多少米时，围成的菜地的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)当x为米时，围成的菜地的面积最大，最大面积是 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用； （1）根据矩形的面积公式建立二次函数的解析式即可； （2）根据二次函数的解析式结合可得，再根据二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：根据题意得，， ∴y与x的函数关系式为； （2）解：， ∵墙长度等于， ∴， 解得， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值，最大值为， 答：当x为米时，围成的菜地的面积最大，最大面积是 题型二 拱桥、喷水、投球问题 5．如图，武汉晴川桥可以近似地看作抛物线，桥拱和路面之间用等距的9根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，这些钢索中最短的一根长8.1米，那么这些钢索中最长的一根长 米． 【答案】22.5 【分析】本题考查二次函数的实际应用，以所在直线为轴，点为坐标原点，建立直角坐标系，由题意，抛物线过点，求出函数解析式，求出顶点坐标即可得出结果． 【详解】解：以所在直线为轴，点为坐标原点，建立直角坐标系，如图： 由题意，得：抛物线过点， 设抛物线的解析式为：，把代入，得： ， 解得：， ∴， ∴当时，有最大值为22.5， ∴这些钢索中最长的一根长为22.5米； 故答案为：22.5 6．建水双龙桥，俗称“十七孔桥”，位于云南省建水县，是一座具有极高历史，艺术和科学价值的古桥，如图，古桥横断面是抛物线形状，当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽．则水面上升米后水面宽度为 米． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，以抛物线的顶点为原点建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为，利用待定系数法可得抛物线解析式为，把代入可得，据此即可求解，正确建立平面直角坐标系是解题的关键． 【详解】解：如图，以抛物线的顶点为原点建立平面直角坐标系， 设抛物线解析式为，将点代入得，， 解得， ∴抛物线解析式为， 当时，， 解得， ∴当水面上升米后水面宽度为米， 故答案为：． 7．如图，铅球运动员掷铅球的高度与水平距离之间的函数关系式是，则该运动员此次掷铅球的成绩是 ． 【答案】6 【分析】本题考查二次函数的实际应用，求出抛物线与轴的交点坐标，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴当时，， 解得：或（舍去）； ∴该运动员此次掷铅球的成绩是； 故答案为：6． 8．小江自制了一把水枪（图1），他将水枪固定，在喷水头距离地面1米的位置进行实验．当喷射出的水流与喷水头的水平距离为2米时，水流达到最大高度3米，该水枪喷射出的水流可以看成抛物线，图2为该水枪喷射水流的平面示意图． (1)求该抛物线的解析式； (2)在距离喷水头水平距离为4米的位置处放置一个障碍物，试问当障碍物的高度小于多少米时，水流能越过该障碍物． 【答案】(1) (2)1米 【分析】本题考查抛物线的应用．掌握用待定系数法求抛物线解析式，二次函数图象性质，是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）把代入抛物线解析式，求出y值，即得障碍物小于的高度． 【详解】（1）解：由题意，抛物线顶点为， ∴可设该抛物线的表达式为． 将点代入， 得， 解得， 故该抛物线的表达式为； （2）解：当时， ． 故当障碍物的高度小于1米时，水流能越过该障碍物． 题型三 销售问题 9．某商店购进一批单价为8元的商品，如果按每件10元出售，每天可以销售100件，经调查发现，销售单价每提高1元，销售量相应减少10件，则销售价提高 元时，可以使每天的销售利润最大． 【答案】4 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．设销售价提高元时，每天的销售利润为元，根据利润（销售价进价）销售量建立函数关系式，利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】解：设销售价提高元时，每天的销售利润为元， 由题意得： ， 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值， 即销售价提高4元时，可以使每天的销售利润最大， 故答案为：4． 10．某商场销售一种商品，进价为每个20元，规定每个商品售价不低于进价，且不高于60元．经调查发现，每天的销售量（个）与每个商品的售价（元）之间满足一次函数关系，其部分数据如表所示： 每个商品的售价（元） … 30 40 50 … 每天的销售量（个） … 100 80 60 … (1)求与之间的函数关系式； (2)设商场每天获得的总利润为（元），求与之间的函数关系式； (3)不考虑其他因素，当商品的售价为多少元时，商场每天获得的总利润最大?最大利润是多少? 【答案】(1) (2) (3)当商品的售价为50元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是1800元 【分析】本题主要考查二次函数的应用． （1）待定系数法求解可得； （2）根据“总利润每千克利润销售量”可得函数解析式； （3）将所得函数解析式配方成顶点式即可得最值情况． 【详解】（1）解：由题意可设与之间的函数关系式为， ∴， 解得， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：由题意可得： ， 即w与x之间的函数表达式是； （3）解：，， ∵， ∴其图象开口向下， ∴当时，取得最大值，最大值为1800， 答：当商品的售价为50元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是1800元． 11．某商场购进一批单价为元的商品，在商场试销发现：每天销售量y(件) 与销售单价 x(元/件)之间满足如图所示的函数关系： (1)求y 与 x 之间的函数关系式； (2)写出每天的利润 w 与销售单价x 之间的函数关系式；售价定为多少时，才能使每天的利润 w 最大？每天的最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)售价定为元时，才能使每天的利润 w 最大，最大为元 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，利用二次函数解决利润问题，利用利润每件的利润乘以销售量构建二次函数关系式是解题的关键． （1）先利用待定系数法求一次函数解析式； （2）用每件的利润乘以销售量得到每天的利润w，然后根据二次函数的性质解决问题即可． 【详解】（1）设y 与 x 之间的函数关系式为， 则由图象可知，当时，， 当时，， ∴， 解得， ∴． （2）已知每件的利润为， 由（1）可知，销售量， ∴， ， 其中， ∴当时，为最大值， ∴售价定为元时，才能使每天的利润 w 最大，最大为元． 题型四 增长率问题 12．最新报道显示，2023年我国新能源汽车累计销量为万辆，销量逐年增加，若2025年的累计销量为y万辆，平均每年增长率为x，则y关于x的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的解析式，学会由实际问题抽象出函数的关系式是解题的关键．利用2025年的累计销量2023年的累计销量平均每年增长率，即可得到函数解析式． 【详解】解：根据题意，y关于x的函数解析式为． 故选：C． 13．某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金（元）关于x的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式是解题的关键． 根据该厂今年一月份新产品的研发资金及以后每月新产品的研发资金与上月相比的增长率，可得出该厂今年二月份、三月份新产品的研发资金，将该厂今年一、二、三月份新产品的研发资金相加，即可得出y关于x的函数关系式． 【详解】解：∵该厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x， 该厂今年二月份新产品的研发资金为万元，三月份新产品的研发资金为万元． 根据题意得：， 故选：B． 14．为了解决药价虚高给老百姓带来的求医难的问题，国家决定对某药品分两次降价．若设平均每次降价的百分率为x，该药品的原价是50元，降价后的价格是y元，则y与x之间的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用．根据题意，得出第一次降价后的价格为元，第二次降价后的价格为元，再根据两次降价后的价格为元，即可得出与的函数关系式． 【详解】解：∵该药品的原价是元，平均每次降价的百分率为， ∴第一次降价后的价格为元， ∴第二次降价后的价格为元， 又∵两次降价后的价格为元， ∴与的函数关系式为：． 故选：D． 题型五 线段周长问题 15．如图，已知二次函数的图像与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点，其中． (1)求二次函数的表达式； (2)若点D是二次函数图像上的一点，且点D在第一象限，轴于点F，交于点E，当线段的长为最大值时，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，以及二次函数的最值问题． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线解析式为，再设，则，即可根据二次函数的性质求解最值． 【详解】（1）解：把代入， 得 解得 ∴二次函数的表达式为： （2）解：令 解得 设直线解析式为： 把代入 得：， 解得： ∴直线解析式为 是二次函数图像上的一点，轴于点F，且交于点E， 设 当时，取最大值 ． 题型六 面积问题问题 16．在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P在y轴左侧的抛物线上，且满足，求点P坐标； (3)如图2，过点的直线与抛物线交于F，G两点，点D为抛物线的顶点，连接，，将分成两部分的面积之差为1，求直线的解析式． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2) (3)直线的解析式为：或 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，两点间距离公式，二次函数的性质．懂得利用分类讨论的思想是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设点，根据，利用两点间的距离公式得出，求出，再代入二次函数解析式求出横坐标，即可得到答案； （3）设直线的解析式为：，联立得，则，求出，得到轴，，则， ，根据将分成两部分的面积之差为1，当 当时，则，当时，则，可得或，代入即可得出结论． 【详解】（1）解：已知抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点，把点，点，点的坐标代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为． （2）解：设点，因为在y轴左侧的抛物线上，所以， 已知，，， ， 又， ， 化简得：， 则 将代入得到， 解得（不合题意，舍去）， ∴ ． （3）解：过点的直线与抛物线交于F，G两点，点D为抛物线的顶点，设直线的解析式为：， 联立得， ， 抛物线解析式为：， ， ， 轴，， ， ， 将分成两部分的面积之差为1， 当时，则， ， ， ， 直线的解析式为：； 当时，则， ， ， ， 直线的解析式为：； 综上所述，直线的解析式为：或． 题型七 角度问题 17．如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，点坐标为，与轴交于点，点为抛物线顶点，点为中点． (1)求二次函数的解析式； (2)若在直线上方的抛物线上存在点，使得，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）求出点坐标，可得是等腰直角三角形，即得，得到， 过点作交抛物线于点，过点作轴于点，可得，得到是等腰直角三角形，即得，设，则，可得，，进而得到，解方程即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，等腰直角三角形的判定和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：把、代入得， ， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：当时，， 解得，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 如图，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，则， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 解得(不合，舍去) 或， ∴． 题型八 特殊三角形问题 18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与 轴交于点，作直线． (1)求该抛物线对应的函数解析式． (2)在轴上是否存在点，使得以 为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若是直线下方抛物线上一动点，则当点的坐标为_______时，面积最大． 【答案】(1) (2)存在，或 (3) 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到面积的计算、直角三角形的性质，分类求解是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解 （2）当是斜边时，根据勾股定理列出等式即可求解∶ 当或为斜边时，同理可解； （3）由即可求解． 【详解】（1）解：将点，代入， 得即 解得 则该抛物线对应的函数解析式为． （2）答：存在． 理由：由抛物线的函数解析式知，当时， 点的 坐 标 为． 设点的坐标为， 则，，． 当是斜边时，则， 解得， 即点的坐标为或 (舍去，此时点和点重合，不能构成三角形)． 当或为斜边时，同理可得或 ， 解得或， 即点的坐标为或 ( 舍 去 ) ． 综上，点点的坐标为或． （3）解：如图，过点作轴交于点，连接，． 设直线的表达式为，将点，代入，得 解得． 则直线的表达式为：． 设点，则点， ． ， 当时 ，面积最大，最大值为8． 此时，点 19．综合与探究 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点． (1)求此抛物线的表达式． (2)是位于第一象限内抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求此时点的坐标及的面积． (3)抛物线的对称轴上是否存在一点，使得是等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，的面积为 (3)或或或或 【分析】（1）把点代入抛物线中可得的值，从而可得抛物线的解析式； （2）过点Q作x轴的垂线，交于点M，求出直线的解析式，设，则，求出，根据的面积为列关系式，再利用二次函数的性质即可解答； （3）先求出抛物线的对称轴为，设，再求出，由等腰三角形性质，分情况讨论：①当时；②当时；③当时，从而可以解答． 【详解】（1）解：把点代入抛物线中， 得：， 解得： 抛物线的解析式为：； （2）解：如图，过点Q作x轴的垂线，交于点M， 抛物线中，令，则， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴的面积为， ∵， ∴当时，的面积最大，最大面积为， 此时，的面积为； （3）解：∵抛物线的对称轴为， 设， ∴， ①当时， 则， 解得：， 此时，； ②当时， 则， 解得：， ∴点的坐标为或； ③当时， 则，即， 解得：， ∴点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或或或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，求函数解析式，二次函数与问题的问题，等腰三角形的性质，熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键． 题型九 特殊四边形问题 20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交，B两点，与轴交于点，抛物线的顶点为点．    (1)求抛物线的解析式； (2)经过，两点的直线交抛物线的对称轴于点，点为直线上方抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求点的坐标； (3)点在抛物线对称轴上，点在轴上，是否存在这样的点与点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在这样的点M与点N，使以M，N，C，B为顶点的四边形是平行四边形，点M的坐标为或或． 【分析】（1）由点A，C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，利用配方法可求出顶点E的坐标，由点B，C的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点D的坐标；设，直线解析式为，得出直线解析式为，，依据，利用二次函数的性质解答即可得解∶ （3）设点M的坐标为，点N的坐标为，分四边形为平行四边形、四边形为平行四边形及四边形为平行四边形三种情况，利用平行四边形的性质找出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：将，，代入， 得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：当时，有， 解得：，， 点的坐标为， ， 点的坐标为， 设过两点的直线解析式为， 将，代入， 得：， 解得：， 直线的解析式为， 点纵坐标为， ， 如图，与交于点，    设， 直线的解析式为， 代入坐标，得：， 解得：， 直线解析式为， 点的纵坐标为：， ，， 当时，最大， 的纵坐标为：， 此时点的坐标为：； （3）解：存在这样的点与点，使以M，N，C，B为顶点的四边形是平行四边形， 理由如下：设点的坐标为，点的坐标为， 分三种情况考虑：    ①如图2，当四边形为平行四边形时， 得：， 解得：， 此时点的坐标为：； ②如图3，当四边形为平行四边形时， 得：， 解得：， 此时点的坐标为：； ③如图4，当四边形为平行四边形时， 得：， 解得：， 此时点的坐标为：； 综上所述，存在这样的点与点，使以M，N，C，B为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及平行四边形的性质，解题的关键是∶(1)根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；(2)利用一次函数图象上点的坐标特征及配方法，求出点D，E的坐标；(3)分四边形为平行四边形、四边形为平行四边形及四边形为平行四边形三种情况求出点M的坐标 21．如图，二次函数的图象与x轴的交点分别为和，与y轴交于点C，Q是直线上方二次函数图象上一动点． (1)求二次函数的解析式． (2)如图1，过点Q作x轴的平行线交于点E，过点Q作y轴的平行线交x轴于点D，求的最大值及点Q的坐标． (3)如图2，设M为抛物线对称轴上一动点，当点Q，点M运动时，在坐标轴上确定点N，使四边形为矩形，求出所有符合条件的点N的坐标． 【答案】(1) (2)最大值为， (3)点N的坐标为或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是方程思想的应用． （1）利用待定系数法即可求解； （2）先求得直线的解析式，设，则，．得到，利用二次函数的性质求解即可； （3）设，，根据矩形的性质，表示出，分当N点在y轴上和点N在x轴负半轴上时，两种情况讨论，列式计算求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， 设． 又∵， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵抛物线与y轴交于点C， ∴点C的坐标为． ∵，在直线上 设直线解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为． 设，则，． ∴． ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为， 此时的 （3）设，， 设的中点为． ∵四边形是矩形， ∴的中点为K， ∴． ∵点N在坐标轴上， ∴或， 当时，，轴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴；    当时，点N在x轴上，如图， 过点Q作轴于点H． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 解得或， ∴点Q在直线上方， ∴， ∴， ∴， 综上所述，点N的坐标为或． 题型十 相似三角形问题 22．如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，为的中点． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，是否存在以为直角的与相似，若存在，请求出一个符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，点的坐标为或或或 【分析】本题考查待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质，相似三角形的性质，掌握分类讨论思想是解题的关键 （1）运用待定系数法，将点，代入，解方程组即可得到抛物线的解析式，进而根据二次函数的图象及性质即可求出顶点C的坐标； （2）把代入抛物线解析式，求出点B的坐标，从而得到，的长，若与相似，则或．设，则，，，分两种情况讨论：①，②，代入求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点和点， ∴，解得： ∴抛物线的解析式为． ∵该抛物线的对称轴为直线， ∴把代入得． ∴顶点的坐标为； （2）解：存在． 当时，代入得， ∴点B的坐标为， ∵， ∴在中有，， ∴若与相似，则或， ∴或． 设点的坐标为， ∴点的坐标为 ∴，， ∴分两种情况讨论： ①如图1，若， 则， 解得或，（舍去）． ∴当时，， 当时，． ∴此时点的坐标为或； ②如图2，若， 则， 解得或，（舍去）． ∴当时，， 当时，． ∴此时点的坐标为或； ∴综上所述，所有符合条件的点的坐标为或或或． 23．如图，某植物园有一块足够大的空地，用一段长为米的篱笆围成一个一边利用一堵墙的矩形花圃，墙长为6米，其中边大于或等于墙长，中间用篱笆隔开．设的长为x米，的长为y米，矩形花圃的面积为s米．    (1)直接写出y关于x，s关于x的函数关系式以及自变量x的取值范围； (2)当的长为多少时，矩形花圃的面积最大？最大面积为多少？ 【答案】(1)，， (2)当的长为9米时，矩形花圃的面积最大，且最大面积为平方米 【分析】（1）由题意知，，，可求，由，可求，进而可得，由题意知，，整理作答即可； （2）由题意知，，然后求最值即可． 【详解】（1）解：由题意知，，， 整理得，， ∵， ∴，则， 由题意知，， ∴，，； （2）解：由题意知，． ∵， ∴当时，取得最大值，且最大值为， 答：当的长为9米时，矩形花圃的面积最大，且最大面积为平方米． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，一次函数解析式，二次函数解析式，一元一次不等式的应用，二次函数的最值等知识．熟练掌握一次函数的应用，二次函数的应用，一次函数解析式，二次函数解析式，一元一次不等式的应用，二次函数的最值是解题的关键． 24．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元．为了扩大销售，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件． (1)若使商场平均每天赢利1200元，则每件衬衫应降价多少元？ (2)若想获得最大利润，每件衬衫应降价多少元？最大利润为多少元？ 【答案】(1)若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价10元或20元 (2)每件衬衫降价15元时，最大利润是元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，求二次函数的解析式及二次函数的应用等知识点， (1)设每件衬衫应降价元，根据每件的利润×销售量=平均每天的盈利，列方程求解即可； (2)根据：总利润=单件利润×销售量列出函数关系式，配方成二次函数顶点式可得函数最值情况，进而即可得解； 熟练掌握根据题意准确抓住相等关系式并加以应用是解决此题的关键． 【详解】（1）解：设每件衬衫应降价元，则依题意，得： , 整理，得，, 解得：, 答：若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价10元或20元； （2）解：设每件衬衫降价元时，商场平均每天赢利最多为, 则, ， ， 时，商场赢利最多，此时（元）， 答：每件衬衫降价15元时，最大利润是元. 25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于，两点，直线：交轴于点．点为直线下方抛物线上一动点，过点作轴的垂线，垂足为，分别交直线，于点，． (1)求抛物线的表达式； (2)当时，求的面积； (3)①是轴上一点，当四边形是平行四边形时，求点的坐标； ②在①的条件下，第一象限有一动点，满足，求周长的最小值． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】（1）利用待定系数法求解即可． （2）先求出直线的表达式为，再求得，可得出，，最后用三角形面积公式求解即可； （3）①过点作于，证明，推出，，由，可得，由题意直线的解析式为，设，，根据，构建方程求解，可得结论； ②因为的周长为，所以要使得的周长最小，只要的值最小，因为，所以当点在上时，的值最小． 【详解】（1）解：抛物线过，两点， ， 解得， ； （2）解：设直线的解析式为，代入得， ， 直线的表达式为， 当时，，解得， ， 当，， ，， ； （3）解：①如图1中，过点作于， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ，， ， ， 当时，，， ，， ， ， ， ， ； ②如图2中， ∵，， ∴， ∴， ， 的周长为， 要使得的周长最小，只要的值最小， ， 当点在上时，的值最小， 当时，， ∴，， ， 的周长的最小值为． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$