精品解析：浙江省湖州市长兴县龙山中学共同体素养检测2024-2025学年八年级上学期12月月考数学试题

浙江省湖州市长兴县龙山中学共同体素养检测2024-2025学年八年级上学期12月月考数学试题 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，必须在答题卷的左边填写班级、姓名、座位号等信息． 3．所有答案都必须写在答题卷标定的位置上，注意试题序号和答题序号相对应． 一、单选题（本题有10小题，每题3分，共30分） 1. 用不等式表示：“a的与b的和为正数”，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 在球的体积公式中，下列说法正确的是（ ） A. 是变量，是常量 B. V、r是变量，是常量 C. V、r是变量，是常量 D. 以上都不对 3. 在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则整数m的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 如图，为给金源学子提供良好的阅读环境，金源学校有一块三角形小树林，需要在小树林里建一图书角供同学们使用，要使图书角到小树林三条边的距离相等，图书角的位置应选在（ ） A. 的三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条高所在直线的交点 D. 三边的中垂线的交点 5. 解不等式时，下列去分母正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图,已知△ABC,∠ABC=2∠C,以B为圆心任意长为半径作弧,交BA、BC于点E. F,分别以E. F为圆心,以大于EF的长为半径作弧,两弧交于点P,作射线BP交AC于点,则下列说法不正确的是( ) A. ∠ADB=∠ABC B. AB=BD C. AC=AD+BD D. ∠ABD=∠BCD 7. 如图，在四边形中，，在边，上分别找一点，使的周长最小，此时( ) A. B. C. D. 8. 关于x的不等式组有四个整数解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m．其行走路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2，…，第n次移动到An．则△OA2A2018的面积是（　　） A. 504m2 B. m2 C. m2 D. 1009m2 10. 如图所示，是三内角平分线的交点，于E，延长线交于D，的延长线交于，下列结论： ①； ②； ③； ④． 其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（本题有6小题，每题3分，共18分） 11. 直角坐标系中，点P（x，y）在第三象限，且P到x轴和y轴的距离分别为3，4，则点P的坐标为_____． 12. 如图，中，于点，则的长为______． 13. 在平面直角坐标系中，已知点，与点关于轴对称，那么的值为______． 14. 已知关于的不等式组有解，实数的取值范围为______． 15. 如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，顶点A在x轴负半轴上，B在y轴正半轴上，且C（4，﹣4），则点B的坐标为_____． 16. 如图，长方形中，，将其沿折叠，点分别落到点与点处，恰好点C在上，且，则线段的长度为______． 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 解不等式组：，并求出它的非负整数解． 18. 如图，在中，，以点B为圆心，长为半径画弧，交线段于D；以点A为圆心，长为半径画弧，交线段于点E，连接． （1）若，求的度数； （2）若，求的长． 19. 如图，在正方形网格中，若点A的坐标为，点C的坐标为，按要求回答下列问题． （1）在图中建立正确的直角坐标系，并写出点B的坐标． （2）求出的面积． （3）在图中画出关于y轴的对称图形． 20. 已知关于x，y的方程组的解都为正数． （1）求a的取值范围． （2）在（1）的条件下，已知的解是，求整数的值． 21. 如图，在△ABC中，AB＜AC，边的垂直平分线交的外角的平分线于点，垂足为E，DF⊥AC于点F，于点，连接CD． (1)求证：BG＝CF； (2)若AB＝10cm，AC＝14cm，求AG的长． 22. 在中，，点在边上运动（点不与点，重合），连接，在内部作，与边相于点． （1）如图，当时，______（度），______（度）； （2）如图，若，证明：； （3）在点的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，直接写出此时的度数；若不可以，请说明理由． 23. 根据以下素材，探索完成任务： 快餐方案的确定 素材1 鸡蛋、牛奶和谷物的部分营养成分见表： 项目 鸡蛋 牛奶 谷物 蛋白质 15 3.0 9.0 脂肪 5.2 3.6 32.4 碳水化合物 1.4 4.5 50.8 素材2 L中学为学生提供的早餐中，包含一个的鸡蛋、一份牛奶和一份谷物食品． 素材3 L中学为学生提供的午餐有A、B两种套餐（见表）．为了平衡膳食，建议控制学生的主食和肉类摄入量，在一周内，每个学生午餐主食的摄入量不超过，午餐肉类摄入量不超过． 套餐 主食 肉类 其他 A B 问题解决 任务1 若一份早餐包含一个的鸡蛋、牛奶和谷物食品，求该份早餐中蛋白质总含量为多少？ 任务2 已知L中学提供的一份早餐的总质量为，蛋白质总含量占早餐总质量的．则每份早餐中牛奶和谷物食品各多少？ 任务3 为平衡膳食，每个学生一周内午餐可以选择A、B套餐各几天（一周按5天计算） 24. 如图1，在中，是的中点，点E在线段上，连结，作交直线于点，连结． 【初步尝试】 （1）如图2，当时，线段的长度是______，线段的长度是______． 【结论探究】 （2）如图3，小宁猜想“”，但她未能想出证明思路，小波介绍了添加辅助线的方法，如表所示，请帮小宁完成证明． 如图，延长至G，使，连结． 【拓展应用】 （3）如图4，当点E在线段的延长线上时，连结，作交直线于点F，连结．请补全图形，并求出当时，线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省湖州市长兴县龙山中学共同体素养检测2024-2025学年八年级上学期12月月考数学试题 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，必须在答题卷的左边填写班级、姓名、座位号等信息． 3．所有答案都必须写在答题卷标定的位置上，注意试题序号和答题序号相对应． 一、单选题（本题有10小题，每题3分，共30分） 1. 用不等式表示：“a的与b的和为正数”，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列一元一次不等式，正数定义等．根据题意可知，即可得到本题答案． 【详解】解：∵a的与b的和为正数， ∴， 故选：A． 2. 在球的体积公式中，下列说法正确的是（ ） A. 是变量，是常量 B. V、r是变量，是常量 C. V、r是变量，是常量 D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了常量和变量，根据变量和常量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量可得答案． 【详解】解：在球的体积公式中，V，r是变量， ，π是常量， 故选：C． 3. 在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则整数m的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据第二象限的点的横坐标小于0，纵坐标大于0列出不等式组，然后求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∴整数m的值为3， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了点的坐标及解一元一次不等式组，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键． 4. 如图，为给金源学子提供良好的阅读环境，金源学校有一块三角形小树林，需要在小树林里建一图书角供同学们使用，要使图书角到小树林三条边的距离相等，图书角的位置应选在（ ） A. 的三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条高所在直线的交点 D. 三边的中垂线的交点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了是角的平分线的判定定理在实际生活中的应用，根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可求解，掌握角平分线的性质及判定是解题的关键． 【详解】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴使图书角到小树林三条边的距离相等，则图书角的位置应选在三条角平分线的交点， 故选：． 5. 解不等式时，下列去分母正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次不等式的解法，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键；因此此题可根据一元一次不等式的解法进行求解即可． 【详解】解： 去分母得：； 故选C． 6. 如图,已知△ABC,∠ABC=2∠C,以B为圆心任意长为半径作弧,交BA、BC于点E. F,分别以E. F为圆心,以大于EF的长为半径作弧,两弧交于点P,作射线BP交AC于点,则下列说法不正确的是( ) A. ∠ADB=∠ABC B. AB=BD C. AC=AD+BD D. ∠ABD=∠BCD 【答案】B 【解析】 【分析】根据作图方法可得BD平分∠ABC，进而可得∠ABD=∠DBC=∠ABC，然后根据条件∠ABC=2∠C可证明∠ABD=∠DBC=∠C，再根据三角形内角和外角的关系可得A说法正确；根据等角对等边可得DB=CD，进而可得AC=AD+BD，可得C说法正确；根据等量代换可得D正确． 【详解】由题意可得BD平分∠ABC， A. ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC=∠ABC, ∵∠ABC=2∠C，∠ADB=∠C+∠DBC， ∴∠ADB=2∠C， ∴∠ADB=∠ABC，故A不合题意； B. ∵∠A≠∠ADB， ∴AB≠BD，故此选项符合题意； C. ∵∠DBC=∠ABC，∠ABC=2∠C， ∴∠DBC=∠C， ∴DC=BD， ∵AC=AD+DC， ∴AC=AD+BD，故此选项不合题意； D. ∵∠ABD=∠ABC，∠ABC=2∠C， ∴∠ABD=∠C，故此选项不合题意； 故选B. 【点睛】此题考查作图—基本作图，解题关键在于掌握作图法则. 7. 如图，在四边形中，，在边，上分别找一点，使的周长最小，此时( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称最短路线问题，平面内最短线路问题求法以及四边形的内角和定理等知识，如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接，交AB于，交于，则点即为所求，结合四边形的内角和即可得出答案． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接，交于，交于，则点即为所求． 四边形中，，， ， 由轴对称，，， 在中， ， ， ． 故选：D． 8. 关于x的不等式组有四个整数解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查不等式组的解集，首先解出不等式的解集，再根据不等式组有且只有四个整数解，得到a的取值范围． 【详解】解：解不等式得，， 解不等式得，， ∵关于x的不等式组有四个整数解，而的四个整数是9，10，11，12， ∴， 解得， ∴a的取值范围是， 故选：A． 9. 在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m．其行走路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2，…，第n次移动到An．则△OA2A2018的面积是（　　） A. 504m2 B. m2 C. m2 D. 1009m2 【答案】A 【解析】 【分析】由OA4n=2n知OA2017=+1=1009，据此得出A2A2018=1009-1=1008，据此利用三角形的面积公式计算可得． 【详解】解：由题意知OA4n=2n， ∴OA2016=2016÷2=1008，即A2016坐标为(1008，0)， ∴A2018坐标为(1009，1)， 则A2A2018=1009－1=1008(m)， ∴＝A2A2018×A1A2＝×1008×1＝504(m2)． 故选：A． 【点睛】本题主要考查点的坐标的变化规律，解题的关键是根据图形得出下标为4的倍数时对应长度即为下标的一半，据此可得． 10. 如图所示，是三内角平分线的交点，于E，延长线交于D，的延长线交于，下列结论： ①； ②； ③； ④． 其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查角平分线性质定理，三角形外角和定理，全等三角形判定及性质等．根据题意逐一对序号进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵是三内角平分线的交点， ∴， ∵，， ∴， ∵于E， ∴， ∵， ∴， ∴，即①成立； ∵是三内角平分线的交点， ∴点到三角形三边距离相等， ∴，即②成立； 如图，过点作与点，与点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴同理， ∴， ∴，即③成立； 由③证得：， ∵， ∴和不一定全等， ∴不一定等于， ∴，即④错误， 故选：A． 二、填空题（本题有6小题，每题3分，共18分） 11. 直角坐标系中，点P（x，y）在第三象限，且P到x轴和y轴的距离分别为3，4，则点P的坐标为_____． 【答案】（﹣4，﹣3） 【解析】 【分析】根据点的坐标的几何意义及点在第三象限内的坐标符号的特点解答即可． 【详解】解：∵点P在第三象限，且点P到x轴和y轴的距离分别为3，4， ∴点P的横坐标是﹣4，纵坐标是﹣3，即点P的坐标为（﹣4，﹣3）． 故答案是：（﹣4，﹣3）． 【点睛】本题考查平面直角坐标系，利用点在第三象限的相关性质即横纵坐标都为负数进行分析. 12. 如图，中，于点，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形面积的不同表示方法及勾股定理的综合应用，根据勾股定理求得的长，再根据三角形的面积公式求得即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 13. 在平面直角坐标系中，已知点，与点关于轴对称，那么的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标，熟练掌握对称点的坐标规律是解题的关键； 根据关于轴对称点坐标的特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可得答案． 【详解】解：点，与点关于轴对称， 得：，， ； 故答案为： 14. 已知关于的不等式组有解，实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据不等式组的解集求参数范围．根据题意解出不等式组，继而得到本题答案． 【详解】解：∵有解， ∴解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴，即：， 故答案为：． 15. 如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，顶点A在x轴负半轴上，B在y轴正半轴上，且C（4，﹣4），则点B的坐标为_____． 【答案】（0，8） 【解析】 【分析】过C作CD⊥x轴于D，判定△ABO≌△CAD，即可得到AO=CD，BO=AD，再根据OD=4=CD，可得AO=4，进而得出AD=BO=8，进而得到点B的坐标． 【详解】如图，过C作CD⊥x轴于D，则∠ADC=∠BOA=90°，如图所示： ∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠ABO+∠BAO=90°=∠CAD+∠BAO， ∴∠ABO=∠CAD， ∴△ABO≌△CAD， ∴AO=CD，BO=AD， ∵C（4，﹣4）， ∴OD=4=CD， ∴AO=4， ∴AD=4+4=8， ∴BO=8， ∴B（0，8）， 故答案为：（0，8）. 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 16. 如图，长方形中，，将其沿折叠，点分别落到点与点处，恰好点C在上，且，则线段的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，折叠性质，全等三角形判定及性质等知识，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键． 根据题意设，，证明和全等，再利用勾股定理得，即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴，， 根据折叠性质得：，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即，解得：， ∴， 故答案为：. 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 解不等式组：，并求出它的非负整数解． 【答案】，0，1 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组的解集，非负整数的定义．根据题意先解出一元一次不等式组，再找出其中的非负整数即可． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为：， 的非负整数解是：0，1． 18. 如图，在中，，以点B为圆心，长为半径画弧，交线段于D；以点A为圆心，长为半径画弧，交线段于点E，连接． （1）若，求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据等腰三角形的性质求出，计算即可； （2）根据勾股定理求出，根据线段的和差可得结论． 【小问1详解】 解：∵，， ∴． ∵， ∴． ∴； 【小问2详解】 解：∵，， 由勾股定理得：， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查的是勾股定理，三角形的内角和定理，掌握勾股定理是解题的关键． 19. 如图，在正方形网格中，若点A的坐标为，点C的坐标为，按要求回答下列问题． （1）在图中建立正确的直角坐标系，并写出点B的坐标． （2）求出的面积． （3）在图中画出关于y轴的对称图形． 【答案】（1） 如图， 点B的坐标为； （2）5 （3） 如图，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查直角坐标系、网格作图—关于y轴对称、三角形面积等知识： （1）根据点C，A的坐标建立直角坐标系，即可； （2）用所在的三角形的面积减去其周围的三个三角形的面积，即可求解； （3）找到点A，B，C关于y轴的对称点，即可求解． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：略． 20. 已知关于x，y的方程组的解都为正数． （1）求a的取值范围． （2）在（1）的条件下，已知的解是，求整数的值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解一元一次不等式． （1）先解出二元一次方程组为，再根据题意得，即可得到本题答案； （2）根据题意得，继而得到本题答案． 【小问1详解】 解：这个方程组的解为：， 由题意，得， 即， ∴原不等式组的解集为：； 【小问2详解】 解：的解为， ， ， ， ∴整数a的值为：2． 21. 如图，在△ABC中，AB＜AC，边的垂直平分线交的外角的平分线于点，垂足为E，DF⊥AC于点F，于点，连接CD． (1)求证：BG＝CF； (2)若AB＝10cm，AC＝14cm，求AG的长． 【答案】 （1）证明：如图所示，连接DB， AD是△ABC的外角平分线，DG⊥AB，DF⊥CA， DF=DG， DE垂直平分BC， DC=DB， 在Rt△CDF与Rt△BDG中 ， Rt△CDF≌Rt△BDG (HL) ， BG=CF． （2）2. 【解析】 【分析】（1）连接DB，根据垂直平分线和角平分线的性质可先证明Rt△CDF≌Rt△BDG，即可求证； （2）证明△ADG≌△ADF，再利用线段的和差即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：GAD=FAD，AGD=AFD，AD=AD， 在△ADG与△ADF中 △ADG≌△ADF(AAS)， AG=AF， BG=CF， ， AG=(AC-AB)= (14-10)=2 (cm) ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定、线段的垂直平分线定理和角平分线性质等知识点，添加适当的辅助线，利用中垂线的性质构造三角形全等是解题的关键． 22. 在中，，点在边上运动（点不与点，重合），连接，在内部作，与边相于点． （1）如图，当时，______（度），______（度）； （2）如图，若，证明：； （3）在点的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，直接写出此时的度数；若不可以，请说明理由． 【答案】（1），； （2） 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （3）的形状可以是等腰三角形，的度数为为或． 【解析】 【分析】（）根据三角形内角和定理得到，然后利用，，即可得解； （）首先推导出进一步推导出，利用外角的性质得到，利用证明即可； （）分三种情况讨论：当时，当时，当时，根据三角形的内角和定理以及等腰三角形的判定定理即可得到结论； 本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∵， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：的形状可以是等腰三角形，的度数为或，理由如下: ∵，， ∴， 分三种情况讨论： 当时，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴点与点重合，不合题意； 当时，， ∴， ∵， ∴， 综上所述，的形状可以是等腰三角形，的度数为为或． 23. 根据以下素材，探索完成任务： 快餐方案的确定 素材1 鸡蛋、牛奶和谷物的部分营养成分见表： 项目 鸡蛋 牛奶 谷物 蛋白质 15 3.0 9.0 脂肪 5.2 3.6 32.4 碳水化合物 1.4 4.5 50.8 素材2 L中学为学生提供的早餐中，包含一个的鸡蛋、一份牛奶和一份谷物食品． 素材3 L中学为学生提供的午餐有A、B两种套餐（见表）．为了平衡膳食，建议控制学生的主食和肉类摄入量，在一周内，每个学生午餐主食的摄入量不超过，午餐肉类摄入量不超过． 套餐 主食 肉类 其他 A B 问题解决 任务1 若一份早餐包含一个的鸡蛋、牛奶和谷物食品，求该份早餐中蛋白质总含量为多少？ 任务2 已知L中学提供的一份早餐的总质量为，蛋白质总含量占早餐总质量的．则每份早餐中牛奶和谷物食品各多少？ 任务3 为平衡膳食，每个学生一周内午餐可以选择A、B套餐各几天（一周按5天计算） 【答案】任务一：；任务二：该早餐中牛奶，谷物；任务三：每个学生一周内午餐可以选择套餐3天、套餐2天或可以选择套餐4天、套餐1天． 【解析】 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意，正确列方程组和不等式组是解题关键． 任务一：根据题意得到谷物、牛奶以及鸡蛋中每的蛋白质含量，即可得到答案； 任务二：设该早餐中牛奶，谷物，根据“早餐的总质量为，蛋白质总含量占早餐总质量的”列二元一次方程组求解即可； 任务三：设每周共有天选套餐，天选套餐，根据“在一周内，每个学生午餐主食的摄入量不超过，午餐肉类摄入量不超过”列一元一次不等式组，取整数解即可． 【详解】解：任务一：由题意可知：谷物中蛋白质含量，牛奶中蛋白质含量，鸡蛋中蛋白质含量， 则． 答：该份早餐中蛋白质总含量为； 任务二：设该早餐中牛奶，谷物， 列方程组得：， 解得：， 答：该早餐中牛奶，谷物； 任务三：设每周共有天选套餐，天选套餐， 根据题意得：． 解得： 或， 当时，；当时，． 答：每个学生一周内午餐可以选择套餐3天、套餐2天或可以选择套餐4天、套餐1天． 24. 如图1，在中，是的中点，点E在线段上，连结，作交直线于点，连结． 【初步尝试】 （1）如图2，当时，线段的长度是______，线段的长度是______． 【结论探究】 （2）如图3，小宁猜想“”，但她未能想出证明思路，小波介绍了添加辅助线的方法，如表所示，请帮小宁完成证明． 如图，延长至G，使，连结． 【拓展应用】 （3）如图4，当点E在线段的延长线上时，连结，作交直线于点F，连结．请补全图形，并求出当时，线段的长． 【答案】（1）5，3； （2）证明：如图1中，延长至，使，连结． , ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图3中， 11 【解析】 【分析】（1）证明四边形是矩形，再利用三角形中位线定理解决问题即可； （2）利用全等三角形的性质证明，再证明，利用勾股定理可得结论； （3）如图3中，延长至G，使，连结，设，利用勾股定理构建方程求解． 【详解】（1）解：∵点点都是中点 ∴、都是中位线 （2）略 （3）解：延长至，使，连结．设． 易证 ∴ ∴ ∴ ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线定理．利用倍长线段法，构造全等三角形，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $